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RELATIVIDAD ESPECIAL DE EINSTEIN Deducción de

Javier García – GILAB / IFAE

EL PLAN

1.- PRINCIPIOS DE LA RELATIVIDAD 2.- TRANSFORMACIÓN DE LORENTZ 3.- DEFINICIÓN DE DISTANCIA EN EL ESPACIO ORDINARIO 4.- DEFINICIÓN DE DISTANCIA EN EL ESPACIO-TIEMPO 5.- TIEMPO PROPIO – DILATACIÓN DEL TIEMPO 6.- CUADRIMOMENTO 7.- ENERGÍA

Suposiciones previas: a) El espacio es homogéneo e isótropo. b) El tiempo es homogéneo.

Suposiciones de la Relatividad de Einstein: c) Todos los observadores que se desplazan a velocidad constante uno de otro (observadores inerciales) son "equivalentes" en el sentido de que experimentan las mismas leyes generales de la naturaleza.

PRINCIPIOS DE LA RELATIVIDAD

d) Todo observador mide la misma velocidad para la luz independiente de la velocidad de la fuente.

a), b) y c) implican:

p q

r s

1

1psqr

s q

r p

o Mismo evento descrito por dos observadores A y B con movimiento relativo a velocidad velocidad constante.

TRANSFORMACIÓN DE LORENTZ

Imposición velocidad relativa v:

p s

TRANSFORMACIÓN DE LORENTZ

Imposición de d)

Substituyéndolo todo:

TRANSFORMACIÓN DE LORENTZ

Pero c) obliga a que la transformación y su inversa tengan la misma forma excepto el cambio de signo en la velocidad relativa. Hemos de obligar a que:

p 1

p 1 v2

c2

La solución a esta ecuación es: p 1

1 v2

c2

Sustituimos:

tB

xB

1

1 v2

c2

1 v

c2

v 1

tA

xA

tA

xA

1

1 v2

c2

1 v

c2

v 1

tB

xB

TRANSFORMACIÓN DE LORENTZ

Llegamos a las transformaciones de Lorentz:

tB 1

1 1

c2v2

tA vc2

xA

xB 1

1 1

c2v2

vtA xA

Normalmente se le llama 1

1 1

c2v2

y vc con lo que:

tB tA c xA

xB ctA xA

TRANSFORMACIÓN DE LORENTZ

PRIMERA CONCLUSIÓN Cada punto del espacio tiempo representa un EVENTO. Cada observador inercial asigna un par de números (tiempo y posición) que deben estar relacionados por las transformaciones de LORENTZ para preservar los principios de relatividad y la homogeneidad y la isotropía del espacio.

¿Por qué no se detectó antes? Porque la velocidad de la luz es enorme c=3×10⁸m/s. Por lo que:

tB tA

xB vtA xA

Galileo

DEFINICIÓN DE DISTANCIA EN EL ESPACIO ORDINARIO

Dos puntos del espacio

x1

y1

x2

y2

PASOS PARA CALCULAR LA DISTANCIA

en donde la ’regla de multiplicación escalar es1 0

0 1

1) Restamos

xA

yA

x2A

y2A

x1

A

y1A

x2

A x1A

y2A y1

A

2) Lo multiplicamos por él mismo

xA yA1 0

0 1

xA

yA x1

A x2A2 y1

A y2A2

R cos sin

sin cos

Rotaremos los dos puntos y volveremos a calcular la distancia:

cos sin

sin cos

x1A

y1A

x1

A cos y1A sin

y1A cos x1

A sin

cos sin

sin cos

x2A

y2A

x2

A cos y2A sin

y2A cos x2

A sin

Restamos:

xB

yB

x2A cos x1

A cos y1A sin y2

A sin

y2A cos y1

A cos x1A sin x2

A sin

DEFINICIÓN DE DISTANCIA EN EL ESPACIO ORDINARIO

xB yB1 0

0 1

xB

yB x1

A x2A2 y1

A y2A2

Coinciden!

CONCLUSIÓN Existe una cantidad númerica (distancia al cuadrado) asociada a dos puntos cualesquiera del espacio que es independiente del estado de rotación del observador, es decir, todo observador mide lo mismo.

DEFINICIÓN DE DISTANCIA EN EL ESPACIO ORDINARIO

PREGUNTA ¿Existe alguna cantidad numérica asociada a dos puntos del espacio tiempo en la que estén de acuerdo todos los observadores inerciales?

RESPUESTA SÍ, pero no es exactamente igual a la del espacio ordinario.

(se puede demostrar sustituyendo las transformaciones de Lorentz)

DEFINICIÓN DE DISTANCIA EN EL ESPACIO-TIEMPO

¿Cuál es la 'regla de multiplicación' (métrica)? Es decir, ¿qué matriz tenemos que poner entre dos 'eventos' para que al multiplicar dé la 'distancia al cuadrado’?

M P

P Q

Desarrollando:

Mt2 Qx2 2Ptx c2t2 x2

Por lo que:

M c2

Q 1

P 0

Así pues la métrica del espacio tiempo es:

DEFINICIÓN DE DISTANCIA EN EL ESPACIO-TIEMPO

Dos observadores con velocidad relativa v

c2tA2 xA2 c2tB2 xB2

Una mosca está en el origen de coordenadas de B todo el rato:

c2tA2 vtA2 c2tB2 02

c2 v2 tA2 c2tB2

1 v2

c2tA2 tB2

1 v2

c2tA tB

tA 1

1 v2

c2

tB

TIEMPO PROPIO – DILATACIÓN DEL TIEMPO

EX: Si el observador B va al 99% de la velocidad de la luz, y si el reloj de la mosca marca un entonces el reloj del observador A marca:

tB 1s

tA 1

10.992 1 7. 0888s

tA tB

TIEMPO PROPIO – DILATACIÓN DEL TIEMPO

Ejemplo numérico

tA 1

1 v2

c2

tB

c2t2 x2 IGUAL PARA TODO OBSERVADOR

t IGUAL PARA TODO OBSERVADOR

m IGUAL PARA TODO OBSERVADOR

Resulta que da:

m2 c2t2x2

2 IGUAL PARA TODO OBSERVADOR

m2 c2t2x2

2 m2c2

Desarrollando un poco:

c2m2 mu2 m2c2

con 1

1 u2

c2

CUADRIMOMENTO

comparando:

c2m2 mu2 m2c2

CUADRIMOMENTO

c2t2 x2

Interpretación de sus componentes

Velocidades pequeñas

1

1 u2

c2

1 u2

2c21

10.12 1. 005

1

10.12 1 0.12

2 1. 005

mu mu

1 u2

c2

mu p mu

Ejemplo numérico

ENERGÍA y MOMENTO RELATIVISTA

Por lo que:

E m2c4 p2c2

1

1 u2

c2

1 u2

2c2 m m mu2

21

c2

mc2 mc2 mu2

2E mc2

ENERGÍA y MASA RELATIVIDAD

E m2c4 p2c2

Si el objeto está en reposo u 0 p 0