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Matrices y vectoresConceptos básicos de derivación

Curso de nivelacioón Estadiística y MatemaáticaMatricesDerivadas

Universidad de Costa RicaPrograma Técnico en Riesgo

6 de Mayo 2017

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Definiciones básicasOperaciones básicas con matricesPropiedadesCadenas de Markov

1 Matrices y vectoresDefiniciones básicasOperaciones básicas con matrices

Suma y restaProductoInversa

PropiedadesCadenas de Markov

2 Conceptos básicos de derivaciónRepaso de derivadasPendiente de una curvaReglas básicas de derivación

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¿Qué es una matriz?

DefiniciónSe define como un arreglo rectangular de números, parámetroso variables. Los números miembros del arreglo, son conocidoscomo elementos de la matriz. En vista que la ubicación decada elemento de la matriz se fija sin ambiegüedad mediante elsubíndice, toda matriz es un conjunto ordenado.

Ejemplo

a11 · · · a1n

a21 · · · a2n... . . . ...

am1 · · · amn

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¿Qué es la dimensión de una matriz?

DefiniciónEs el número de filas (m) y el número de columnas (n) con quecuenta una matriz específica.

Dimensión de m ×n

a11 · · · a1n

a21 · · · a2n... . . . ...

am1 · · · amn

(m×n)

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¿Qué es un vector?

DefiniciónEs una matriz de una sóla fila o de una columna.

Vector columna

(4×1)

Vector fila

C = [5 6 7 8

](1×4)

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¿Qué es una matriz cuadrada?

DefiniciónMatriz que tiene la misma cantidad de filas que de columnas(caso particular si la matriz es de dimensión 1, lo cual llamamosescalar).

Matriz cuadrada

D = 0 2 0

3 0 42 3 0

(3×3)

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¿Qué es una matriz identidad?

DefiniciónMatriz cuadrada con unos en la diagonal principal y ceros encualquier otra parte.

Matriz Identidad

I3 = 1 0 0

0 1 00 0 1

(3×3)

1 00 1

](2×2)

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¿Qué es la transpuesta de una matriz?

DefiniciónCuando se intercambian las filas por las columnas de una matrizy se denota como AT (A′).

Matriz transpuesta

3 8 −91 0 4

](2×3)

ET = 3 1

8 0−9 4

(3×2)

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¿Qué es una matriz simétrica?

DefiniciónEs aquella matriz que cumple que A = AT.

Matriz simétrica

F = 1 2 3

2 9 73 7 3

(3×3)

FT = 1 2 3

2 9 73 7 3

(3×3)

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¿Qué es un determinante de una matriz dedimensión 2?

DefiniciónReducción escalar de una matriz cuadrada. Si una fila es múlti-plo de otra fila (o columna),el valor del determinante será cero.

|G| =∣∣∣∣ g11 g12

g21 g22

∣∣∣∣(2×2)

= g11 ∗ g22 − g21 ∗ g12

Ejemplo

|G| =∣∣∣∣ 10 4

∣∣∣∣(2×2)

= 10∗5−8∗4 = 18

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¿Cómo se suma y restan las matrices?

Conformabilidad para la sumaLas matrices deben tener la misma dimensión.

ProcesoSe define como la suma de los elementos correspondientes.

A±B = C[ai j

]± [bi j

] = [ci j

]∀ i = 1, ...,m , j = 1, ...,n

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Ejemplo

13 / 51

Ejemplo

a22 b21

b22 c21

a11 b11 c11

14 / 51

Ejemplo

a11 a12

b11 b12

c11 c12

c22a21 b21 c21

15 / 51

Ejemplo

a21 a22

b21 b22

c21 c22

a12 b12 c12

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Ejemplo

a12 b11

b12 c11

a22 b22 c22

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Ejemplos

[4 92 1

](2×2)

2 00 7

](2×2)

4+2 9+02+0 1+7

](2×2)

6 92 8

](2×2)

[1 2 30 1 4

](2×3)

2 3 0−1 2 5

](2×3)

=[ −1 −1 3

1 −1 −1

](2×3)

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¿Cómo se multiplica una matriz por un escalar?

ProcesoSe define como la multiplicación de cada elemento de la matrizpor el escalar.

k ∗A = [k ∗ai j ]

∀ i = 1, ...,m , j = 1, ...,n

Ejemplo

[3 −10 5

[7∗3 7∗−17∗0 7∗ 5

[21 −7

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¿Cómo se multiplican matrices?

Conformabilidad para la multiplicaciónEl número correspondiente a las columnas de la primera ma-triz (vector) debe ser igual al correspondiente a las filas de lasegunda matriz (vector).

ProcesoSe debe obtener la suma de productos, que se calculan de loselementos i-ésimo fila de la primera matriz y los j-ésima columnade la matriz segunda.

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Ejemplo

21 / 51

Ejemplo

a21 a22

b23 c21

a11 a12 b11

22 / 51

Ejemplo

a11 a12 b12

c11 c12

c23a21 a22

b21 c21

23 / 51

Ejemplo

a21 a22

c21 c22

a11 a12 b12

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Ejemplo

a11 a12 b11

c11 c12

c23a21 a22

b22 c22

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Ejemplo

a21 a22

c21 c22

a11 a12 b13

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Ejemplo

a11 a12 b11

c11 c12

c22a21 a22

b23 c23

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Ejemplos[1 2 14 0 2

](2×3)

3 −41 5

−2 2

(3×2)

3 88 −12

](2×2) 1 9 2

2 3 58 4 1

(3×3)

5 84 76 5

(3×2)

= 53 81

52 6262 97

(3×2)

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¿Cómo se obtiene la inversa de una matriz?

Condición de no singularidadSi el determinante es diferente de 0 se dice que la matriz esuna matriz no singular (tiene inversa) pero si el determinantees igual a 0 se dice que la matriz es singular (no tieneinversa).

Definición

A−1 = 1|A|Adj(A)

Donde:A−1A = I

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¿Cómo se obtiene la inversa de una matriz?

Ejemplo Inversa

H−1 = 1

|H|Adj(H) =−1

−2 3 92 −7 −13

−4 14 34

(3×3)

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Algunas leyes importantes de matrices

Propiedades

A+B = B+A

AB = BA

A+ (B+C) = (A+B)+C

(AB)C = A(BC)

A(B+C) = AB+AC

k ∗ (A+B) = k ∗A+k ∗B = (A+B)∗k

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¿Qué es una Cadena de Markov?Se emplean para medir o estimar movimientos en el tiempo. Re-quiere el uso de una Matriz de transición de Markov (o “Marko-viano”), donde cada valor en la matriz es una probabilidad depasar de un estado (ubicación, trabajo, etc.) a otro estado.También hay un vector que contiene la distribución inicial enlos distintos estados.

Ejemplo

x ′0 =

[A0 B0

[PAA PAB

PBA PBB

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Ejemplo

x ′t M = x ′

x ′t+1M = x ′

x ′t MM = x ′

x ′t M2 = x ′

x ′t Mn = x ′

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Repaso de derivadasPendiente de una curvaReglas básicas de derivación

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¿Qué es una derivada?

DefiniciónEs una función que mide como cambia la variable y ante cam-bios infinidesimales en x. Famosa por su representación ge-ométrica (la pendiente de una curva). Es el resultado del sigu-iente cociente de diferencias:

f ′(x) = d y

d x= lim∆x→0

∆x= lim∆x→0

f (x0 +∆x)− f (x0)

Ejemplo

y = 3x2 −4

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Pendiente de una curva

Figura 1: Pendiente de una curva 39 / 51

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Reglas básicas de derivación

Derivada de una constante

y = kd y

d x= 0

Ejemplos

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Derivada de una potencia

y = axn

d x= anxn−1

Ejemplos

y = −3x−4

y = x34

y = 3px

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Derivada de una suma o una resta

y = f (x)± g (x)d y

d x= f ′(x)± g ′(x)

Ejemplos

y = 5x3 +9x2 +5

y = 2x−4 +13x2 −x−2

y = ax2 +bx + c

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Derivada de un producto

y = f (x)g (x)d y

d x= f ′(x)g (x)+ f (x)g ′(x)

Ejemplos

y = (2x +3)(3x2)

y = (x2 +x)(3x +7)

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Derivada de un cociente

y = f (x)

d x= f ′(x)g (x)− f (x)g ′(x)[

g (x)]2

Ejemplos

y = ax2 +b

y = (x2 −2)(3x +1)

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Regla de la cadenaSi tenemos una función diferenciable z = f (y), donde y es asu vez una función diferenciable de otra variable x, y = g (x),entonces la derivada de z respecto a x es igual a la derivada dez repecto y , por la derivada de y respecto a x.

y = f (g (x))d y

d x= d y

d z× d z

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Regla de la cadena

y = (x2 +3x −2)17

y = (7x3 −5)9

y = (ax +b)5

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Derivadas particales

y = f (x1, x2, ..., xn)

Si mantienen constantes (n −1) variables invariantes mientrasse permite que cambie una variable.

Derivadas parciales

f (x1, x2) = 3x21 +x1x2 +4x2

∂x1= 6x1 +x2

∂x2= x1 +8x2

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Bibliografía

Chiang, A. y Wainwright, K. (2006). Métodos fundamentales deEconomía Matemática. Cuarta edición McGraw-Hill Interamericana,México D.F., México

Sydsaeter,K., Hammond, P., Soto Prieto, M.J. y Vicente Córdoba,J.L.(1998)Matemáticas para el análisis económico. Prentice Hall,Madrid.

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