contenido conjuntos relaciones funciones conjuntos

CONTENIDO

CONJUNTOS

RELACIONES

FUNCIONES

CONJUNTOS

Conjuntos Conjuntos

Determinación

De un conjunto

Determinación

De un conjunto

OperacionesOperaciones

Conjuntos especialesConjuntos especiales

Relaciones entre

conjuntos

Relaciones entre

conjuntos

NotaciónNotación

Número de elementos de un conjunto

Número de elementos de un conjunto

• Es una colección de objetos.

•Los objetos de la colección pueden ser personas, números, colores, letras, figuras, etc.

NOTACIÓNCada conjunto se representa con letras Mayúsculas,

tales como A , B , C ...

Sus elementos se denotan con letras minúsculas y se separan mediante punto y, punto y coma.

Ejemplo:

A= {e; u; c; a; l; i; p; t; o }

Q = El conjunto de los colores del arcoíris.

A= {cabeza, tronco, extremidades}B= {x / x es un día de la semana}

0;1;2;3;4;5;6;....N / ; ; ; 0a

Q x x a Z b Z bb

DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS

FINITOFINITO

INFINITOINFINITO

UNITARIOUNITARIO

VACÍO O NULO

VACÍO O NULO

UNIVERSAL

UNIVERSAL

Es un conjunto que tiene un número limitado de elementos

Es cuando sus diferentes elementos no se pueden contar

Es todo conjunto que consta de un soloelemento

Es aquel conjunto que no tiene elementos se denota por: ó { }

Conjunto referencial que contiene a todos los elementos de los conjuntos dados. Se representa con La letra “U”

Conjuntos Iguales

Conjuntos Iguales

Conjuntos DiferentesConjuntos Diferentes

ConjuntosDisjuntosConjuntosDisjuntos

Inclusión y subconjunto

s

Inclusión y subconjunto

s

Conjunto PotenciaConjunto Potencia

Son los que tienen exactamente los mismoselementos

Dos conjuntos son diferentes si al menos uno de sus Elementos no son iguales

Son los que no tienen ningún elemento en común.

Se dice que un conjunto A está incluido en otro conjunto B, sí y solo sí , todos los elementos de A pertenece a B ; es decir :

BxAxBA

Es el conjunto formado por todos los subconjuntos del conjunto dado. Se denota por "P(A)"

UNIÓN O REUNIÓN DE CONJUNTOS

Dado dos conjuntos A y B , se tiene :

A B = { x/ x A x B }

Propiedades:

AB BA

BA

A B A B B A B

1. ; 2.

3. 4.

A A A A A B B A

A A Si A B A B B

INTERSECIÓN DE CONJUNTOS Dado dos conjuntos A y B , se tiene : A B = { x/ x A x B }

Propiedades:

BA

A B A B A A B

1. A A A ; A

2. A B B A

3. (A B) C A (B C)

4. A U A

5. A

Dado dos conjuntos A y B , se tiene : A - B = { x/ x A x B }

PROPIEDADES

A B A B A B A

1. 2.

3. 3.

A A A A

A Si A B A B

B A

DIFERENCIA DE CONJUNTOS

DIFERENCIA SIMÉTRICA

Dado dos conjuntos A y B ; la diferencia Simétrica , denotada por A B se define así:

A B = (A – B ) U (B – A)

= (A B) - (A B)

PROPIEDADES:

BA

1. A A 2. A A

3. A Δ B BΔ A 4. A B C A B C

COMPLEMENTO

Dado el universo U y un conjunto A ; el complemento de A, denotado por A O Ac se define así :

Ac = { x/ x U x A } = U – A

PROPIEDADES

AcA

U

1. (A ) A 2. A A U

3. A A 4. U

5. U 6. A B A B

Al número de elementos o Cardinal de un Conjunto se denota así: n(A) ó Card (A)

PROPIEDADES

1. Si A y B son conjuntos disjuntos , entonces:

n(A B) n(A) n(B)

2. Si A y B son conjuntos cualesquiera :

n(A - B) n(A) - n(A B)

3. Si A y B son conjuntos no disjuntos, entonces:

n(A B) n(A) n(B) - n(A B)

4. Si A , B y C son conjuntos cualesquiera, tales que:

A B C , entonces:

( ) ( ) n A B C n A

( ) ( ) ( )

( ) - ( ) ( )

n B n C n A B

n A C n B C n A B C

n A

n(A)n P(A) =2

Recuerda:Para encontrar el número de elementos del

conjunto potencia se utiliza lo siguiente:

Donde: es el número de elementos de

A.

RELACIONES

CONCEPTOSean A y B conjuntos. Una relación de A a B es

cualquier subconjunto R del producto cartesiano A×B. A se conoce como dominio y B como rango de R. 

Dado el siguiente diagrama que relaciona los elementos de A con los de B

b está relacionado

con 1

b está relacionado

con 1

3 es el correspondient

e de d

3 es el correspondient

e de d

DOMINIO DE UNA RELACIÓN Dom(R) = x / xA (x,y) R

Dom(R) = {b, c, d}

IMAGEN DE UNA RELACIÓN Im(R) = y / yB (x,y) R

Im(R) = {1, 3, 4}

Sea H = { x / x es un ser humano} y R la relación “es madre de” R es una relación en H. Por qué?Como Ana es la madre de Luis, decimos que el

par (Ana,Luis) R.Note que los pares que verifiquen R son un

subconjunto de H x H.

EJEMPLO

PROPIEDADES DE LAS RELACIONES

DEFINIDAS EN UN CONJUNTO

PROPIEDADESPropiedad reflexiva

Propiedad simétrica

Propiedad antisimétrica

Propiedad transitiva

PROPIEDAD REFLEXIVALa propiedad reflexiva dice que todos los

elementos de un conjunto están relacionados con si mismo

R es reflexiva si para todo x A, el par (x,x) R

R es reflexiva si para todo x A, el par (x,x) R

PROPIEDAD SIMÉTRICA

Si un elemento está relacionado con otro, éste segundo también está relacionado con el primero

R es simétrica si siempre que un par (x,y) R, el par (y,x) también pertenece a R

R es simétrica si siempre que un par (x,y) R, el par (y,x) también pertenece a R

EJEMPLODado A = {3, 4, 2} decir si las siguientes

relaciones en A2 son simétricas

R = {(2, 3), (3, 4), (4, 3), (3, 2), (4, 4)}

S = {(3, 2), (4, 3), (2, 2), (3, 4)}

PROPIEDAD ANTISIMÉTRICAUna relación es asimétrica si ningún par

ordenado de la relación cumple la propiedad simétrica.

EJEMPLODado A = {2, 4, 6} decir si las siguientes

relaciones en A2 son antisimétricas

R = {(2, 2), (4, 4)}

S = {(2, 4)}

T ={(4, 6), (2, 2), (6, 4), (4, 2)}

PROPIEDAD TRANSITIVALa propiedad transitiva dice que si un elemento

está relacionado con otro y éste está a su vez relacionado con un tercero, el primer elemento está relacionado con el tercero.

R es transitiva si x , y ,z , (x,y) R (y,z) R (x,z) R

EJEMPLODado A = {2, 4, 6, 3} decir si las siguientes

relaciones en A2 son transitivas

R = {(2, 2), (2, 3), (4, 6), (6, 2), (4, 2), (4, 3), (6, 3)}

S = {(2, 2), (4, 4), (4, 2), (2, 6), (6, 4), (6, 2)}

FUNCIONES

DEFINICIÓNUna función de un conjunto A no vacío en un

conjunto B no vacío, es una relación que se establece entre ambos conjuntos de tal forma que a todo elemento de A le corresponde un único de B . !x A IR y B IR y f x

xfyx

IRBIRAf

:

: Variable Independientex es la imagen de f x x

: ariable Dependientey f x V : es la preimagen de x f x

EL DOMINIO

Es el conjunto de los primeros componentes de una función

El rangoEs el conjunto de todos los segundos componentes de una función

XX

Df Rf

Y=(x)Y=(x)

donde :

Dominio de fDF={xєA/!yєB^y=f(x)}

Rango de f

RF={y=f(x)єΒ/XєA}

AA BB

A f B

En este caso no es una función porque el elemento x2 єA le esta correspondiendo dos elementos y єB

X1

X2

X3

Y1

Y2

Y3

NO ES FUNCIÓN

F es una función de R en R si y solo si toda recta vertical corta a la grafica de f en un punto a lo mas

GRAFICA DE UNA FUNCIÓN

TRABAJEMOS EN GRUPO