RELACIONES Y FUNCIONES

Objetivo

Determinar el producto de dos conjuntos en el plano cartesiano y cuando se presente una relación entre estos dos conjuntos, identificar y explicar  cuándo la relación es reflexiva, transitiva o simétrica.

RELACIONES

Una relación se define como un subconjunto de un producto cartesiano.

Simbólicamente:

A  conjunto de partida

B  conjunto de llegada.

Sean los conjuntos:    

A = (2, 4, 6)

B = (1, 2, 3)

A x B = {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (4, 1), (4, 2), (4,3), (6, 1), (6, 2), (6, 3)}

Un subconjunto  S que satisfaga  x > y  será:

S =  {(2, 1), (4, 1), (4, 2), (4,3), (6, 1), (6, 2), (6, 3)}

Relación inversa

Sean los conjuntos:    

A = (1, 2, 3, 4)          

B = (1, 2)

Definamos la relación, x es divisor de y.

Luego:    

R = { ( 1 , 1 ) , ( 1 , 2 ) , ( 2 , 2 ) }

Gráficamente:

Encontremos ahora  la relación S  de B en A dada  por  "y es múltiplo de x"

S = { ( 1 , 1 ) , ( 2 , 1 ) , ( 2 , 2 ) }

Gráficamente:

Relación reflexiva

Sea  el conjunto   

A = {1, 2, 3}

Relacionar A  en A y escribir las parejas ordenadas:

R = { ( 1 , 1 ) , ( 2 , 2 ) , ( 3 , 3 ) }

Cada uno de los elementos de  A  está  relacionado consigo mismo, es decir, cada pareja ordenada pertenece a la relación. Relaciones  con estas características reciben el nombre de reflexivas.

Simbólicamente se puede expresar como:

Para todo elemento:

Diagrama sagital:

Relación simétrica

Sea la relación  R = {(3, 4), (5, 6), (6, 5), (4, 3)} cada pareja ordenada de la relación tiene su recíproco, es decir, para  (3, 4) existe (4, 3), que también pertenece a R.

Cuando en una relación de x con y se deduce la relación y con x, se puede decir que la relación es simétrica, es decir:

Gráficamente:

Relación transitiva

Analicemos la siguiente relación

R = { ( 4 , 5 ) , ( 5 , 2 ) , ( 4 , 2 ) }

El elemento 5 se relaciona en la primera y segunda pareja ordenada y sirve para obtener otra pareja ordenada con los elementos con los cuales se ha relacionado en la primera y segunda pareja ordenada. Cuando en una relación se presenta esta característica se puede decir que la relación es transitiva.

Simbólicamente:

Gráficamente:

Relación equivalente

Si una relación es al mismo tiempo reflexiva, simétrica y transitiva se puede decir que es equivalente. Un ejemplo de relación equivalente puede ser: "b es paralelo a, a"

Gráficamente:

Analizando la gráfica:

La recta  a se puede considerar paralela a sí misma, es decir, cumple con la propiedad para ser relación reflexiva.

 

Por definición la recta  a  es paralela a la recta  b, y viceversa, luego la relación en este aspecto es simétrica.

También se deduce que si  la recta  a  es paralela a la recta  b y a es paralela a otra recta  c, entonces b es paralela con la recta  c.

Esta es la condición para que se cumpla la relación transitiva.

Si a es paralela a b, y b es paralela a c, entonces a es paralela a c.

Analiza si la relación "ser perpendicular a" es una relación de equivalencia.

Dado el conjunto Q = { 10, 12, 13, 15 }, y la relación

Realiza el conjunto de parejas ordenadas.

Construye el diagrama correspondiente.

Elabora el plano cartesiano.

Hallar el dominio y el codominio de la relación.

Qué tipo de relación es

FUNCIONES

Dos líneas se pueden cortar en forma perpendicular u oblicua. Cuando se cortan en forma perpendicular forman un eje de coordenadas rectangulares.

Este eje de coordenadas llamado plano cartesiano, sirve para graficar un conjunto de parejas ordenadas  generadas por un producto cartesiano.

Para realizar la gráfica de una función en un plano cartesiano se procede así:

Se trazan los ejes de coordenadas x  y.

El dominio de la función se coloca sobre el eje de coordenadas  x.

El codominio de la función se coloca sobre el eje de coordenadas  y.

Las parejas ordenadas se representan por puntos.

Sean los conjuntos  

A = { 2, 4, 6 }   

B = { 3, 5 }

Realizar el producto cartesiano.

Definir el dominio de la función

Definir el codominio de la función.

Representar las parejas ordenadas en un plano cartesiano.

Desarrollo:

Producto cartesiano  A x B = {(2, 3), (2, 5), (4, 3), (4, 5), (6, 3), (6, 5)}

El dominio de la función es el mismo conjunto  A,   D = {2, 4, 6}

El codominio de la función es el mismo conjunto  B,   Cd = {3, 5}

Plano cartesiano:

Gráfica:

Función lineal   Y = f(x)

En una función lineal representada por la relación   Y = f(x), para cada valor que se le asigne a la variable  x, hay un valor de y. Los valores que se le asignen a  x  reciben el nombre de abscisas, y los valores que resulten de y los llamaremos: ordenadas de la función.

Al realizar la gráfica de estos valores (puntos) nos resulta una línea recta o curva que será la gráfica de la función o ecuación   Y = f(x).

En una función   Y = f(x)  como a  x  le asignamos valores independientes para obtener valores de  y, la llamaremos variable independiente, y como  el valor de  y depende de los valores que se le asignen a  x, entonces a  y  la llamaremos variable dependiente.

Representar gráficamente la función   y = 3x + 3

Dando valores a la variable  x, se obtienen valores correspondientes  de la variable y:

para   x = 0          y = 3(0) + 3 =  0 + 3 = 3               y =  3

para   x = 1          y = 3(1) + 3 =  3 + 3 = 6               y =  6

para   x = 2          y = 3(2) + 3 =  6 + 3 = 9               y =  9

para   x = 3          y = 3(3) + 3 =  9 + 3 = 12             y = 12

para   x = -1        y = 3(-1) + 3 =  -3 + 3 = 0              y =  0

para   x = - 2       y = 3(-2) + 3 =  -6 + 3 = -3             y =- 3

para   x = - 3       y = 3(-3) + 3 =  -9 + 3 = -6             y =- 6

 

Representando los valores   de la variable x como abscisas y los valores correspondientes de la variable  y como ordenadas, se obtiene una serie de puntos. La recta que  se forma de la unión de esos puntos es la gráfica

de          y = 3x + 3

Gráfica:

 

Trazar las líneas que pasan por los puntos:

1. (1, 2) y (3, 4)

2. (-3, -2) y (-1, -4)

3. (-4, 3) y (0, 3)

4. (-2, -4) y (-3, -6)

Representa gráficamente las funciones:

 

1. y = 3x + 6

2. y = -2x - 4

3. y = 4x + 5

4. y = 8 - 3x

5. y = -3x

Representa las funciones lineales sabiendo que y es la variable dependiente:

1. 2x = 3y

2. 3y = 4x + 5

3. 2x = y - 1

4. 8x + 2y = 16

5. 6x - y = 2

Pendiente de la línea recta

La gráfica de una función lineal y = mx + b, donde m y b pertenecen a los números

Reales (R) corresponden a una línea recta. La línea recta que resulta de graficar una

función lineal puede tener una inclinación respecto del eje x, eje horizontal, que recibe

el nombre de pendiente (m).

En la fórmula y = mx + b, se

tiene que:

m = pendiente de la recta

b = es el punto donde la línea recta corta el eje y.

Sea la función  y = 4x – 2, hallar su pendiente y el punto de corte.

Según la fórmula general   y = mx + b, se tiene que  m = 4   y  b = - 2

Por tanto, la pendiente de la recta es  4 y corta el eje  y  en el punto –2.

Realizando la gráfica de la recta podemos comprobar estos valores:

para   x = 0          y = 4(0) - 2 =  0 - 2 = -2              y = -2

para   x = 1          y = 4(1) - 2 =  4 - 2 =  2                y = 2

para   x = 2          y = 4(2) - 2 =  8 - 2 =  6                y = 6

para   x =-1          y = 4(-1) - 2 =  -4 - 2 = -6             y =-6

para   x =-2          y = 4(-2) - 2 =  -8 - 2 = -2             y =-10

Gráfica:

Sea el triángulo ABC.

La altura BC = 8 unidades

El cateto AB = 2 unidades

La pendiente viene dada por

Luego:

m = 8/2 = 4 m = 4

Y observemos que la recta corta el eje y en el punto -2.

b = -2

En las siguientes funciones halla el valor de la pendiente y el punto en donde

la recta corta al eje y.

Función constante

Si en la ecuación general, y = mx + b, m = 0, entonces, y = b, y como el valor de b

es una constante la función lineal toma el nombre de función constante. Esto quiere

decir que, el valor de y siempre va a ser el mismo, mientras los valores de x, serán

todos los puntos que estén sobre la línea recta y paralelos al eje x.

Gráficamente:

Función cuadrática

Es una función cuyos valores están dados por la fórmula:

Donde a, b y c son números reales y a diferente de 0, c es el término independiente,

reciben el nombre de función cuadrática.

Representación gráfica

Ubicando los puntos en un plano cartesiano:

Sea la función cuadrática

Dándole valores a x, para obtener valores de y:

Ubicando los puntos en un plano cartesiano: