composición de funciones

Composicion de Funciones

FUNCION REAL DE VARIABLE REAL

Ejercicios de Repaso II

Ma del Carmen Torres Alonso

IES Laguna de Tollon

7 de marzo de 2011

Ma del Carmen Torres Alonso FUNCION REAL DE VARIABLE REAL

Composicion de Funciones

Ejercicio

Dadas las siguientes funciones efectua (g ◦ j), (j ◦ g), (f ◦ h) y (j ◦ h),calculando en cada caso el dominio de la funcion resultante:

(a) f(x) =1

x2 − 4(b) g(x) = x

2 − 6

(c) h(x) =x− 1

x+ 1(d) j(x) = x− 4

Ma del Carmen Torres Alonso FUNCION REAL DE VARIABLE REAL

Composicion de Funciones

(g ◦ j)(x)

Ma del Carmen Torres Alonso FUNCION REAL DE VARIABLE REAL

Composicion de Funciones

(g ◦ j)(x)

Tenemos que:

(g ◦ j)(x)

Ma del Carmen Torres Alonso FUNCION REAL DE VARIABLE REAL

Composicion de Funciones

(g ◦ j)(x)

Tenemos que:

(g ◦ j)(x) = g(j(x))

Ma del Carmen Torres Alonso FUNCION REAL DE VARIABLE REAL

Composicion de Funciones

(g ◦ j)(x)

Tenemos que:

(g ◦ j)(x) = g(j(x)) = g(x− 4)

Ma del Carmen Torres Alonso FUNCION REAL DE VARIABLE REAL

Composicion de Funciones

(g ◦ j)(x)

Tenemos que:

(g ◦ j)(x) = g(j(x)) = g(x− 4) = (x− 4)2 − 6

Ma del Carmen Torres Alonso FUNCION REAL DE VARIABLE REAL

Composicion de Funciones

(g ◦ j)(x)

Tenemos que:

(g ◦ j)(x) = g(j(x)) = g(x− 4) = (x− 4)2 − 6 = x2 − 8x+ 10

Ma del Carmen Torres Alonso FUNCION REAL DE VARIABLE REAL

Composicion de Funciones

(g ◦ j)(x)

Tenemos que:

(g ◦ j)(x) = g(j(x)) = g(x− 4) = (x− 4)2 − 6 = x2 − 8x+ 10

Puesto que (g ◦ j)(x) es una funcion polinomica, su dominio sera todo el

conjunto de numeros reales.

Ma del Carmen Torres Alonso FUNCION REAL DE VARIABLE REAL

Composicion de Funciones

(g ◦ j)(x)

Tenemos que:

(g ◦ j)(x) = g(j(x)) = g(x− 4) = (x− 4)2 − 6 = x2 − 8x+ 10

Puesto que (g ◦ j)(x) es una funcion polinomica, su dominio sera todo el

conjunto de numeros reales.

Dom (g ◦ j) = R

Ma del Carmen Torres Alonso FUNCION REAL DE VARIABLE REAL

Composicion de Funciones

(j ◦ g)(x)

Ma del Carmen Torres Alonso FUNCION REAL DE VARIABLE REAL

Composicion de Funciones

(j ◦ g)(x)

Tenemos que:

(j ◦ g)(x)

Ma del Carmen Torres Alonso FUNCION REAL DE VARIABLE REAL

Composicion de Funciones

(j ◦ g)(x)

Tenemos que:

(j ◦ g)(x) = j(g(x))

Ma del Carmen Torres Alonso FUNCION REAL DE VARIABLE REAL

Composicion de Funciones

(j ◦ g)(x)

Tenemos que:

(j ◦ g)(x) = j(g(x)) = j(

x2 − 6

)

Ma del Carmen Torres Alonso FUNCION REAL DE VARIABLE REAL

Composicion de Funciones

(j ◦ g)(x)

Tenemos que:

(j ◦ g)(x) = j(g(x)) = j(

x2 − 6

)

= (x2 − 6)− 4

Ma del Carmen Torres Alonso FUNCION REAL DE VARIABLE REAL

Composicion de Funciones

(j ◦ g)(x)

Tenemos que:

(j ◦ g)(x) = j(g(x)) = j(

x2 − 6

)

= (x2 − 6)− 4 = x2 − 10

Ma del Carmen Torres Alonso FUNCION REAL DE VARIABLE REAL

Composicion de Funciones

(j ◦ g)(x)

Tenemos que:

(j ◦ g)(x) = j(g(x)) = j(

x2 − 6

)

= (x2 − 6)− 4 = x2 − 10

Puesto que (j ◦ g)(x) es una funcion polinomica, su dominio sera todo el

conjunto de numeros reales.

Ma del Carmen Torres Alonso FUNCION REAL DE VARIABLE REAL

Composicion de Funciones

(j ◦ g)(x)

Tenemos que:

(j ◦ g)(x) = j(g(x)) = j(

x2 − 6

)

= (x2 − 6)− 4 = x2 − 10

Puesto que (j ◦ g)(x) es una funcion polinomica, su dominio sera todo el

conjunto de numeros reales.

Dom (j ◦ g) = R

Ma del Carmen Torres Alonso FUNCION REAL DE VARIABLE REAL

Composicion de Funciones

(f ◦ j)(x)

Ma del Carmen Torres Alonso FUNCION REAL DE VARIABLE REAL

Composicion de Funciones

(f ◦ j)(x)

Tenemos que:

(f ◦ j)(x)

Ma del Carmen Torres Alonso FUNCION REAL DE VARIABLE REAL

Composicion de Funciones

(f ◦ j)(x)

Tenemos que:

(f ◦ j)(x) = f(j(x))

Ma del Carmen Torres Alonso FUNCION REAL DE VARIABLE REAL

Composicion de Funciones

(f ◦ j)(x)

Tenemos que:

(f ◦ j)(x) = f(j(x)) = f (x− 4)

Ma del Carmen Torres Alonso FUNCION REAL DE VARIABLE REAL

Composicion de Funciones

(f ◦ j)(x)

Tenemos que:

(f ◦ j)(x) = f(j(x)) = f (x− 4) =1

(x− 4)2 − 4

Ma del Carmen Torres Alonso FUNCION REAL DE VARIABLE REAL

Composicion de Funciones

(f ◦ j)(x)

Tenemos que:

(f ◦ j)(x) = f(j(x)) = f (x− 4) =1

(x− 4)2 − 4=

1

x2 − 8x+ 12

Ma del Carmen Torres Alonso FUNCION REAL DE VARIABLE REAL

Composicion de Funciones

(f ◦ j)(x)

Tenemos que:

(f ◦ j)(x) = f(j(x)) = f (x− 4) =1

(x− 4)2 − 4=

1

x2 − 8x+ 12

Puesto que (f ◦ j)(x) es una funcion racional, su dominio sera todo el conjunto

de numeros reales salvo los que anulen el denominador.

Ma del Carmen Torres Alonso FUNCION REAL DE VARIABLE REAL

Composicion de Funciones

(f ◦ j)(x)

Tenemos que:

(f ◦ j)(x) = f(j(x)) = f (x− 4) =1

(x− 4)2 − 4=

1

x2 − 8x+ 12

Puesto que (f ◦ j)(x) es una funcion racional, su dominio sera todo el conjunto

de numeros reales salvo los que anulen el denominador.

x2 − 8x+ 12 = 0

Ma del Carmen Torres Alonso FUNCION REAL DE VARIABLE REAL

Composicion de Funciones

(f ◦ j)(x)

Tenemos que:

(f ◦ j)(x) = f(j(x)) = f (x− 4) =1

(x− 4)2 − 4=

1

x2 − 8x+ 12

Puesto que (f ◦ j)(x) es una funcion racional, su dominio sera todo el conjunto

de numeros reales salvo los que anulen el denominador.

x2 − 8x+ 12 = 0 ⇒ x =

8±√64− 48

2=

8± 4

2

Ma del Carmen Torres Alonso FUNCION REAL DE VARIABLE REAL

Composicion de Funciones

(f ◦ j)(x)

Tenemos que:

(f ◦ j)(x) = f(j(x)) = f (x− 4) =1

(x− 4)2 − 4=

1

x2 − 8x+ 12

Puesto que (f ◦ j)(x) es una funcion racional, su dominio sera todo el conjunto

de numeros reales salvo los que anulen el denominador.

x2 − 8x+ 12 = 0 ⇒ x =

8±√64− 48

2=

8± 4

2⇒

{

x = 2

Ma del Carmen Torres Alonso FUNCION REAL DE VARIABLE REAL

Composicion de Funciones

(f ◦ j)(x)

Tenemos que:

(f ◦ j)(x) = f(j(x)) = f (x− 4) =1

(x− 4)2 − 4=

1

x2 − 8x+ 12

Puesto que (f ◦ j)(x) es una funcion racional, su dominio sera todo el conjunto

de numeros reales salvo los que anulen el denominador.

x2 − 8x+ 12 = 0 ⇒ x =

8±√64− 48

2=

8± 4

2⇒

{

x = 2

x = 6

Ma del Carmen Torres Alonso FUNCION REAL DE VARIABLE REAL

Composicion de Funciones

(f ◦ j)(x)

Tenemos que:

(f ◦ j)(x) = f(j(x)) = f (x− 4) =1

(x− 4)2 − 4=

1

x2 − 8x+ 12

Puesto que (f ◦ j)(x) es una funcion racional, su dominio sera todo el conjunto

de numeros reales salvo los que anulen el denominador.

x2 − 8x+ 12 = 0 ⇒ x =

8±√64− 48

2=

8± 4

2⇒

{

x = 2

x = 6

Luego:

Dom (f ◦ j) = R− {2, 6}

Ma del Carmen Torres Alonso FUNCION REAL DE VARIABLE REAL

Composicion de Funciones

(j ◦ h)(x)

Ma del Carmen Torres Alonso FUNCION REAL DE VARIABLE REAL

Composicion de Funciones

(j ◦ h)(x)

Tenemos que:

(j ◦ h)(x)

Ma del Carmen Torres Alonso FUNCION REAL DE VARIABLE REAL

Composicion de Funciones

(j ◦ h)(x)

Tenemos que:

(j ◦ h)(x) = j(h(x))

Ma del Carmen Torres Alonso FUNCION REAL DE VARIABLE REAL

Composicion de Funciones

(j ◦ h)(x)

Tenemos que:

(j ◦ h)(x) = j(h(x)) = j

(

x− 1

x+ 1

)

Ma del Carmen Torres Alonso FUNCION REAL DE VARIABLE REAL

Composicion de Funciones

(j ◦ h)(x)

Tenemos que:

(j ◦ h)(x) = j(h(x)) = j

(

x− 1

x+ 1

)

=x− 1

x+ 1− 4

Ma del Carmen Torres Alonso FUNCION REAL DE VARIABLE REAL

Composicion de Funciones

(j ◦ h)(x)

Tenemos que:

(j ◦ h)(x) = j(h(x)) = j

(

x− 1

x+ 1

)

=x− 1

x+ 1− 4 =

x− 1− 4x− 4

x+ 1

Ma del Carmen Torres Alonso FUNCION REAL DE VARIABLE REAL

Composicion de Funciones

(j ◦ h)(x)

Tenemos que:

(j ◦ h)(x) = j(h(x)) = j

(

x− 1

x+ 1

)

=x− 1

x+ 1− 4 =

x− 1− 4x− 4

x+ 1=

−3x− 5

x+ 1

Ma del Carmen Torres Alonso FUNCION REAL DE VARIABLE REAL

Composicion de Funciones

(j ◦ h)(x)

Tenemos que:

(j ◦ h)(x) = j(h(x)) = j

(

x− 1

x+ 1

)

=x− 1

x+ 1− 4 =

x− 1− 4x− 4

x+ 1=

−3x− 5

x+ 1

Puesto que (j ◦ h)(x) es una funcion racional, su dominio sera todo el conjunto

de numeros reales salvo los que anulen el denominador.

Ma del Carmen Torres Alonso FUNCION REAL DE VARIABLE REAL

Composicion de Funciones

(j ◦ h)(x)

Tenemos que:

(j ◦ h)(x) = j(h(x)) = j

(

x− 1

x+ 1

)

=x− 1

x+ 1− 4 =

x− 1− 4x− 4

x+ 1=

−3x− 5

x+ 1

Puesto que (j ◦ h)(x) es una funcion racional, su dominio sera todo el conjunto

de numeros reales salvo los que anulen el denominador.

x+ 1 = 0

Ma del Carmen Torres Alonso FUNCION REAL DE VARIABLE REAL

Composicion de Funciones

(j ◦ h)(x)

Tenemos que:

(j ◦ h)(x) = j(h(x)) = j

(

x− 1

x+ 1

)

=x− 1

x+ 1− 4 =

x− 1− 4x− 4

x+ 1=

−3x− 5

x+ 1

Puesto que (j ◦ h)(x) es una funcion racional, su dominio sera todo el conjunto

de numeros reales salvo los que anulen el denominador.

x+ 1 = 0 ⇒ x = −1

Ma del Carmen Torres Alonso FUNCION REAL DE VARIABLE REAL

Composicion de Funciones

(j ◦ h)(x)

Tenemos que:

(j ◦ h)(x) = j(h(x)) = j

(

x− 1

x+ 1

)

=x− 1

x+ 1− 4 =

x− 1− 4x− 4

x+ 1=

−3x− 5

x+ 1

Puesto que (j ◦ h)(x) es una funcion racional, su dominio sera todo el conjunto

de numeros reales salvo los que anulen el denominador.

x+ 1 = 0 ⇒ x = −1

Luego:

Dom (j ◦ h) = R− {1}

Ma del Carmen Torres Alonso FUNCION REAL DE VARIABLE REAL