centro de masa - unizar.es

Centro de Masa

Sólido Rígido

Centro de Masa

El centro de masa de un sistema de partículas es un punto en el cual

parecería estar concentrada toda la masa del sistema.

En un sistema formado por partículas discretas el centro de masa se calcula

mediante la siguiente fórmula:

M

m

m

m ii

i

ii

CM

==rr

r

m1

m2

mn

mi

r1

r2 ri

rn

rCM

x

y

z

?==

i

ii

CMm

m rr

m1

m2

mn

mi

r1

r2 ri

rn

rCM

x

y

z

M

m

m

m ii

i

ii

CM

==rr

r

r1 r2

ri

rn x

y

z

Centro de masa de un objeto extendido

rCM

x

y

z

ri

Dmi

El centro de masa de un objeto

extendido se calcula mediante la

integral:

= dmM

CM rr1

El centro de masa de cualquier objeto

simétrico se ubica sobre el eje de

simetría y sobre cualquier plano de

simetría.

Movimiento de un sistema de partículas

Si se deriva respecto al tiempo el centro de masa de un sistema de partícula se

obtiene la velocidad del centro de masa:

M

m

dt

dm

Mdt

d

ii

CM

ii

CMCM

=

==

vv

rrv

1

El momento total del sistema es:

=== totiiiCM mM ppvv

La aceleración del centro de masa es:

=== iii

iCM

CM mMdt

dm

Mdt

da

vva

11

De la segunada ley de Newton:

== iiiCM mM Faa

dt

dM tot

CMext

paF ==

Tomando en cuenta la 3era. Ley de Newton:

El centro de masa se mueve como una partícula imaginaria de masa M

bajo la influencia de la fuerza externa resultante sobre el sistema.

𝑖=1

𝑁

𝐹𝑖 = 𝐹𝑅 =𝑚1𝑎1 +𝑚2𝑎2 +𝑚3𝑎3 +⋯ = 𝑀𝑎?

𝑖=1

𝑁

𝑚𝑖𝑎𝑖 = 𝑀 Ԧ𝑎𝐶𝑀

xmxiiCM M

=1

𝑚𝑖𝑥𝑖 = 𝑀𝑥𝐶𝑀

xmxiiCM M

=1

O bien

Entonces

𝑚𝑖

𝑑𝑥𝑖𝑑𝑡

=𝑚𝑖v𝑖 = 𝑀𝑑𝑥𝐶𝑀𝑑𝑡

= 𝑀v𝐶𝑀

𝑚𝑖

𝑑v𝑖𝑑𝑡

=𝑚𝑖a𝑖 = 𝑀𝑑v𝐶𝑀𝑑𝑡

= 𝑀a𝐶𝑀

• Cuando una fuerza actúa sobre un sistema de partículas, este se comporta de forma que el centro de

masas se mueve como si toda la masa del sistema de partículas estuviese concentrada en él

Un objeto lanzado puede moverse de

manera compleja, pero su centro de masas

describe una parábola

M

vmv

dt

rdm

M

1

dt

rd

M

rmr i

gigi

gi

ii

→→

→→→→

==

=

M

ama

dt

vdm

M

1

dt

vd ig

ig ii

→→

→→

==

aMFamFF Gext

ii

ext

ii i→→→

===→→

• Para un sistema de partículas m1, m2, ..., mi , cada una de ellas

estaría sometida a fuerzas ejercidas por las demás, por lo que

se denominan fuerzas internas y fuerzas del exterior del

sistema Fext

i

→F int

i

→

amFFF iext

i

int

ii i→→→→

=+=Por la 2ª ley de Newton

Por el principio de acción y reacción 0F inti=

→

x

y

z m1

m2

m3

m4

G

• El centro de masas es un punto G que se comporta como una partícula material, en la que se concentra

toda la masa del sistema, tal que su vector de posición cumple que: rg→

M

rmrrmrM i

gigi

i

→→→→

== ( M = mi )

M

xmx ii

g

=

M

ymy ii

g

=

M

zmz ii

g

=

En los sistemas continuos y homogéneos, el centro

de masas coincide con el centro de simetría del

sistema

r1

→

rg

→

r4

→

r2

→

r3

→

=

i

i

i

ii

CMm

rm

r

m1

m2

m3m4

m5

m6

y

xr1

r4

r6

𝑅𝐶𝑀 =σ𝑖=1𝑁 𝑚𝑖𝑥𝑖σ𝑖=1𝑁 𝑚𝑖

𝑅𝐶𝑀 =1

𝑀𝑇

𝑖=1

𝑁

𝑚𝑖𝑥𝑖

𝐫𝐶𝑀 =1

𝑀න𝐫𝑑𝑚

1 Centro de masas Definición:

=

i

i

i

i

i

m

rm

r

CM

===

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

m

zm

zm

ym

ym

xm

x CMCMCM

Coord. cartesianas:

Objetos continuos:

===

dm

zdmz

dm

ydmy

dm

xdmx CMCMCM

Objetos discretos:

CM

ext

R MaF =)(

CM

Si la FR que actúa sobre el

sistema es igual 0,

entonces el Centro de Masa

del Sistema se mueve con

v= cte, o está en reposo

00

sistema

( )M

rm

m

rm

tr i

ii

i

i

i

ii

CM

==

cteVCM = ctePsist =0=ext

RFhttps://phet.colorado.edu/sims/collision-lab/collision-lab_en.html

Ejemplo. Se tienen 3 masas iguales en los

vértices de un triángulo rectángulo. Calcular el vector

C.M.

d

h

a

y

x

d

h

a

y

x

y’

x’

y

x

rCM

z rM

rdmCM = 1

para una distribución continua de masa:

Dmi

r

y

x

m

m

x

-x

y

-y 𝑥𝐶𝑀 =𝑚𝑥 +𝑚(−𝑥)

2𝑚= 0

=

i

i

i

i

i

m

xm

xCM

=

i

i

i

i

i

m

ym

yCM

𝑦𝐶𝑀 =𝑚𝑦 +𝑚(−𝑦)

2𝑚= 0

𝑥𝐶𝑀 = 0

𝑦𝐶𝑀 = 0

j2i5,1r1

→→→+=

• Se toman los tres cuadriláteros marcados, se calcula su centro de simetría mediante el corte de sus

diagonales y se concentra en dichos puntos la masa de cada placa, que se expresa en función de la

densidad superficial de masa

j5,0i5,3r2

→→→+=

j5,3i5,3r3

→→→+=

𝑅𝐶𝑀 =1

𝑀𝑇

𝑖=1

3

𝑚𝑖 Ԧ𝑟𝑖 =

=𝑚1 1,5 Ƽ𝑖+2 Ƽ𝑗 +𝑚2 3,5 Ƽ𝑖+0,5 Ƽ𝑗 +𝑚3 3,5 Ƽ𝑖+3,5 Ƽ𝑗

𝑚1+𝑚2+𝑚3

No tengo m1, m2 ni m3…….

La densidad es lo que me permite

transformar las masas en ‘posiciones’

𝜆 =𝑀

𝐿=𝑑𝑚

𝑑𝑥

𝜎 =𝑀

𝐴=𝑑𝑚

𝑑𝐴

𝛿 =𝑀

𝑉=𝑑𝑚

𝑑𝑉

m1 = S1 = 12 j2i5,1r1

→→→+=

m2 = S2 =

m3 = S3 =

j5,0i5,3r2

→→→+=

j5,3i5,3r3

→→→+=

𝑅𝐶𝑀 =𝑚1 1,5 Ƽ𝑖+2 Ƽ𝑗 +𝑚2 3,5 Ƽ𝑖+0,5 Ƽ𝑗 +𝑚3 3,5 Ƽ𝑖+3,5 Ƽ𝑗

𝑚1+𝑚2+𝑚3

𝑅𝐶𝑀 =12𝜎 1,5 Ƽ𝑖+2 Ƽ𝑗 +𝜎 3,5 Ƽ𝑖+0,5 Ƽ𝑗 +𝜎 3,5 Ƽ𝑖+3,5 Ƽ𝑗

14𝜎

𝑅𝐶𝑀 =25𝜎 Ƽ𝑖 + 28 𝜎 Ƽ𝑗

14𝜎=

25 Ƽ𝑖 + 28 Ƽ𝑗

14

𝑅𝐶𝑀 = 1,8 Ƽ𝑖 + 2 Ƽ𝑗

m1 = S1 = 12 j2i5,1r1

→→→+=

m2 = S2 =

m3 = S3 =

j5,0i5,3r2

→→→+=

j5,3i5,3r3

→→→+=

𝑅𝐶𝑀 =𝑚1 1,5 Ƽ𝑖+2 Ƽ𝑗 +𝑚2 3,5 Ƽ𝑖+0,5 Ƽ𝑗 +𝑚3 3,5 Ƽ𝑖+3,5 Ƽ𝑗

𝑚1+𝑚2+𝑚3

𝑅𝐶𝑀 =12𝜎 1,5 Ƽ𝑖+2 Ƽ𝑗 +𝜎 3,5 Ƽ𝑖+0,5 Ƽ𝑗 +𝜎 3,5 Ƽ𝑖+3,5 Ƽ𝑗

14𝜎

𝑅𝐶𝑀 =25𝜎 Ƽ𝑖 + 28 𝜎 Ƽ𝑗

14𝜎=

25 Ƽ𝑖 + 28 Ƽ𝑗

14

𝑅𝐶𝑀 = 1,8 Ƽ𝑖 + 2 Ƽ𝑗

Objetos continuos:

===

dm

zdmz

dm

ydmy

dm

xdmx CMCMCM

y

x

y’

x’

Objetos continuos:

===

dm

zdmz

dm

ydmy

dm

xdmx CMCMCM

y

x𝜆 =

𝑀

𝐿=𝑑𝑚

𝑑𝑥

𝑀 = 𝜆𝐿

𝑑𝑚 = 𝜆𝑑𝑙

𝑥CM =𝑑𝑚 𝑥

𝑑𝑚𝑦CM =

𝑑𝑚 𝑦

𝑑𝑚

y

x

𝑑𝑚 = 𝜆𝑑𝑙

𝑑𝑙 = 𝑑𝑠 = 𝑅 𝑑𝜃𝑠 = 𝑅 𝜃

𝑅

𝑥CM =𝑑𝑚 𝑥

𝑑𝑚𝑦CM =

𝑑𝑚 𝑦

𝑑𝑚

y

x

𝑑𝑚 = 𝜆𝑑𝑙

𝑑𝑙 = 𝑑𝑠 = 𝑅 𝑑𝜃𝑠 = 𝑅 𝜃

𝑅

𝑥CM =𝑑𝑚 𝑥

𝑑𝑚𝑦CM =

𝑑𝑚 𝑦

𝑑𝑚

y

x

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica3/problemas/solido/cm/cm.html

Centro de masas

Objetos continuos:

Objetos discretos:Ej.

Ej.

Objetos continuos:Ej.

Objetos continuos:Ej.

2 m

4 m

3 m

(11,9)

(10,-3)

(-8,2)3 g

5 g

4 g

Simetria

Determinar el centro de masa del sistema mostrado, si se sabe que las masas para cada

elemento son m1 = 4 kg, m2 = 8 kg, m3 = 3 kg, y m4 = 5 kg.

𝑥𝑐𝑚 =𝑚1𝑥1 +𝑚2𝑥2 +𝑚3𝑥3 +𝑚4𝑥4

𝑚𝑇= 28,5 𝑐𝑚

𝑦𝑐𝑚 =𝑚1𝑦1 +𝑚2𝑦2 +𝑚3𝑦3 +𝑚4𝑦4

𝑚𝑇= 46 𝑐𝑚

Se unen dos varillas uniformes y homogéneas AB de 40 kg de masa y otra varilla BC

semicircular de 60 kg de masa. Determinar la abscisa del centro de masa del conjunto.

Simetria

y

x

A B C10cm

20cm

y

x

A B C10cm

10cm

30cm

x1 x2

y

x10cm

30cm

x1x2 𝑥𝑐𝑚 =

40𝑘𝑔 𝑥1 + 60𝑘𝑔 𝑥2100 𝑘𝑔

= 22 𝑐𝑚

Homework

RCM ?

Tip: Haciendo 4a = 8,8 m, encontramos que a = 2,2 m.

En la figura se muestra un sistema formado por tres alambres del mismo material y de igual

sección Determinar la ordenada del CG

La estructura mostrada se encuentra en equilibrio. Calcular el valor de la masa mA, si mA=

15 kg. Además AD = 10 cm, DB = 35 cm, CD = 20 cm, y θ = 37°

Homework

Simetrias

y

xPlaca (P)

2RR-

Placa Compuesta (C)

y

xDisco (S) =

y

x

𝜎 =𝑀1

4𝜋𝑅2

𝜎 =𝑀

𝐴

M1

-m2

𝜎 =−𝑚2

𝜋𝑅2

MT = M1-m2

𝑥𝑐𝑚 =𝑀1𝑥1 −𝑚2𝑥2

𝑚𝑇=

𝑦𝑐𝑚 =𝑀10 + 𝑚20

𝑚𝑇= 0

=4𝜋𝑅2𝜎 𝑥1 − 𝜋𝑅2𝜎 𝑥2

4𝜋𝑅2𝜎 − 𝜋𝑅2𝜎=

− 𝑥23

=+𝑅

3=

𝑥𝐶𝑀2 = −𝑅𝑥𝐶𝑀1 = 0

Consider the triangular region R with vertices (0,0),(0,3),(3,0) and with density function

𝜌(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦. Find the center of mass.

https://math.libretexts.org/Bookshelves/Calculus/Book%3A_Calculus_(OpenStax)/15%3A_Multiple_Integration/15.6%3A_Calculating_Centers_of_Mass_and_Moments_of_Inertia

Consider the triangular region R with vertices (0,0),(0,3),(3,0) and with density function

𝜌(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦. Find the center of mass.

https://math.libretexts.org/Bookshelves/Calculus/Book%3A_Calculus_(OpenStax)/15%3A_Multiple_Integration/15.6%3A_Calculating_Centers_of_Mass_and_Moments_of_Inertia

FIN

Coming next: