cap8 factorización
Post on 10-Jul-2015
469 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Factorización
Capítulo 8
8. Factorización
8.1 Factorización LU
8.2 Factorización LDU
8.3 Factorización QR
Factorización LU
Sea A una matriz de m % n, A se puede factorizar en la forma LU
A = LU
Donde L es matriz triangular inferior de m % m y
U es una matriz escalonada de m % n. Si esta factorización existe, se llama factorización LU o descomposición LU
Ejemplo
Determinar la factorización LU de la matriz A
2 3 1 4 1
6 6 5 11 4
4 18 6 14 1
2 9 3 4 9
A
− − − − −
=
−
− − −
2 3 1 4 1
0 3 2 1 1
0 0 0 2 1
0 0 0 0 3
U
−
− =
3
2
1
4
2 5
1 0 0 0
1 0 0
1 0
1
L
=
−
−
−
Ejemplo
Usar la factorización LU para resolver el sistema A x = b si:
4 2 1 11
20 7 12 ; 70
8 13 17 17
bA
−
= − = −
4 2 1 1 0 0 4 2 1
20 7 12 5 1 0 0 3 7
8 13 17 2 3 1 0 0 2
A LU
− −
= − = = − − −
1
2
3
1 0 0 1 1
5 1 0 7 0
2 3 1 1 7
(1 1,1 5 , 6 )
A L U b
L b
x x
y
y
y
y
y
= =
=
= −
= −
1
2
3
(1,
4 2 1 11
0 3 7 15
0 0 6
2, 3)
2
Ux y
x
x
x
x
=
−
= − −
= −
Factorización LDU
La factorización A = LDU se refiere a la situación en la que L es una matriz triangular inferior (como en LU), Des una matriz diagonal y U es una matriz triangular con unos en la diagonal. Basta sacar como factores los elemen-tos diagonales de U de la factorización LU para obtener las matrices D y U.
Ejemplo
1 0 0 1 3 2
2 1 0 ; 0 1 2
3 7 1 0
1 3 2
0 27
2 5 6 ;
3 2 7
= = − − −
= − −
L UA
Hallar la factorización LDU de la matriz A
Para factorización LDU:
1 0 0 1 3 2
0 1 0 ; 0 1 2
0 0 27
1 3 2
0 1 2
0 0 27 0 0 1
= − = −
− ⇒
D U
Factorización QR
Si A es una matriz m % n con columnas linealmen-te independientes, entonces A puede factorizarse en la forma
A = QR
En la que Q es una matriz con columnas ortonor-males y R es una matriz triangular superior inver-tible.
R = QTA
Ejemplo
1 1 0
1 1 0
1 1 1
1 1 1
− =
A
Encontrar la factorización QR de A
1 1
2 1
2 2 1
1 1
3 1 3 2
3 3 1 2
1 1 2 2
(1,1,1,1);
(1 2, 3 2,1 2,1 2);
( 2 3,0,1 3,1 3);
= =
⋅
= − = −
⋅
⋅ ⋅
= − − = −
⋅ ⋅
u v
v uu v u
u u
v u v uu v u u
u u u u
Ejemplo (continuación)
31 2
1 2 3
1 3 6
2 6 3
1 30
2 2
1 3 6
2 6 6
1 3 6
2 6 6
=
−
−
=
uu uQ
u u u
Q
2 1 1
30 3
3
60 0
6
T
= =
R Q A
top related