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TEORIA DENUMEROS
Cuerpos
Polinomios sobrecuerpos
Division depolinomios
Existencia deelementosprimitivos
Mas sobreprimalidad
Primos deMersenne
Algoritmo AKS
Criptografıa
El metodo deRabin
El metodo RSA
Aritmetica denumerosgrandes
Representaciones
Operaciones
Curso de posgrado MATEMATICA DISCRETA
T. N. Hibbard - J. F. Yazlle
Facultad de Ciencias Exactas
Universidad Nacional de Salta
Cap. 2: TEORIA DE NUMEROS (II)
TEORIA DENUMEROS
Cuerpos
Polinomios sobrecuerpos
Division depolinomios
Existencia deelementosprimitivos
Mas sobreprimalidad
Primos deMersenne
Algoritmo AKS
Criptografıa
El metodo deRabin
El metodo RSA
Aritmetica denumerosgrandes
Representaciones
Operaciones
Cuerpos
Definicion
Un cuerpo es (K ,+,×) tales que:
(K ,+) es grupo conmutativo (elemento neutro 0).
(K − {0},×) es grupo conmutativo (elemento neutro 1).
Se cumple la ley distributiva de + respecto de ×:∀a, b, c ∈ K , a× (b + c) = a× b + a× c .
Si p es primo, Zp es un cuerpo con la suma y el productomodulo p.
TEORIA DENUMEROS
Cuerpos
Polinomios sobrecuerpos
Division depolinomios
Existencia deelementosprimitivos
Mas sobreprimalidad
Primos deMersenne
Algoritmo AKS
Criptografıa
El metodo deRabin
El metodo RSA
Aritmetica denumerosgrandes
Representaciones
Operaciones
Cuerpos
Definicion
Un cuerpo es (K ,+,×) tales que:
(K ,+) es grupo conmutativo (elemento neutro 0).
(K − {0},×) es grupo conmutativo (elemento neutro 1).
Se cumple la ley distributiva de + respecto de ×:∀a, b, c ∈ K , a× (b + c) = a× b + a× c .
Si p es primo, Zp es un cuerpo con la suma y el productomodulo p.
TEORIA DENUMEROS
Cuerpos
Polinomios sobrecuerpos
Division depolinomios
Existencia deelementosprimitivos
Mas sobreprimalidad
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Operaciones
Cuerpos
Definicion
Un cuerpo es (K ,+,×) tales que:
(K ,+) es grupo conmutativo (elemento neutro 0).
(K − {0},×) es grupo conmutativo (elemento neutro 1).
Se cumple la ley distributiva de + respecto de ×:∀a, b, c ∈ K , a× (b + c) = a× b + a× c .
Si p es primo, Zp es un cuerpo con la suma y el productomodulo p.
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Cuerpos
Polinomios sobrecuerpos
Division depolinomios
Existencia deelementosprimitivos
Mas sobreprimalidad
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Operaciones
Cuerpos
Definicion
Un cuerpo es (K ,+,×) tales que:
(K ,+) es grupo conmutativo (elemento neutro 0).
(K − {0},×) es grupo conmutativo (elemento neutro 1).
Se cumple la ley distributiva de + respecto de ×:∀a, b, c ∈ K , a× (b + c) = a× b + a× c .
Si p es primo, Zp es un cuerpo con la suma y el productomodulo p.
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Cuerpos
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Division depolinomios
Existencia deelementosprimitivos
Mas sobreprimalidad
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Cuerpos
Definicion
Un cuerpo es (K ,+,×) tales que:
(K ,+) es grupo conmutativo (elemento neutro 0).
(K − {0},×) es grupo conmutativo (elemento neutro 1).
Se cumple la ley distributiva de + respecto de ×:∀a, b, c ∈ K , a× (b + c) = a× b + a× c .
Si p es primo, Zp es un cuerpo con la suma y el productomodulo p.
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Polinomios sobre cuerpos
Definicion
Polinomio p sobre un cuerpo K :
sucesion infinita p0, p1, . . . ∈ K , tal que∃n ≥ 0 : ∀j > n, pj = 0.
Polinomio nulo: ∀j ∈ N, pj = 0.
Si p no es nulo, ∃g ∈ N : pg 6= 0 ∧ ∀j > g , pj = 0g → grado de p.
Valor de p en a ∈ K : p(a) =∑∞
j=0 pjaj =
∑gj=0 pja
j .Si p(a) = 0, a es una raız de p.
Suma de polinomios p y q: p + q con (p + q)j = pj + qj .
Producto de polinomios p y q: p × q con(p × q)j =
∑i+k=j piqk .
∀a ∈ K , (p + q)(a) = p(a) + q(a) ∧ (p × q)(a) = p(a)× q(a).
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Polinomios sobre cuerpos
Definicion
Polinomio p sobre un cuerpo K :sucesion infinita p0, p1, . . . ∈ K , tal que∃n ≥ 0 : ∀j > n, pj = 0.
Polinomio nulo: ∀j ∈ N, pj = 0.
Si p no es nulo, ∃g ∈ N : pg 6= 0 ∧ ∀j > g , pj = 0g → grado de p.
Valor de p en a ∈ K : p(a) =∑∞
j=0 pjaj =
∑gj=0 pja
j .Si p(a) = 0, a es una raız de p.
Suma de polinomios p y q: p + q con (p + q)j = pj + qj .
Producto de polinomios p y q: p × q con(p × q)j =
∑i+k=j piqk .
∀a ∈ K , (p + q)(a) = p(a) + q(a) ∧ (p × q)(a) = p(a)× q(a).
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Polinomios sobre cuerpos
Definicion
Polinomio p sobre un cuerpo K :sucesion infinita p0, p1, . . . ∈ K , tal que∃n ≥ 0 : ∀j > n, pj = 0.
Polinomio nulo: ∀j ∈ N, pj = 0.
Si p no es nulo, ∃g ∈ N : pg 6= 0 ∧ ∀j > g , pj = 0g → grado de p.
Valor de p en a ∈ K : p(a) =∑∞
j=0 pjaj =
∑gj=0 pja
j .Si p(a) = 0, a es una raız de p.
Suma de polinomios p y q: p + q con (p + q)j = pj + qj .
Producto de polinomios p y q: p × q con(p × q)j =
∑i+k=j piqk .
∀a ∈ K , (p + q)(a) = p(a) + q(a) ∧ (p × q)(a) = p(a)× q(a).
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Polinomios sobre cuerpos
Definicion
Polinomio p sobre un cuerpo K :sucesion infinita p0, p1, . . . ∈ K , tal que∃n ≥ 0 : ∀j > n, pj = 0.
Polinomio nulo: ∀j ∈ N, pj = 0.
Si p no es nulo, ∃g ∈ N : pg 6= 0 ∧ ∀j > g , pj = 0
g → grado de p.
Valor de p en a ∈ K : p(a) =∑∞
j=0 pjaj =
∑gj=0 pja
j .Si p(a) = 0, a es una raız de p.
Suma de polinomios p y q: p + q con (p + q)j = pj + qj .
Producto de polinomios p y q: p × q con(p × q)j =
∑i+k=j piqk .
∀a ∈ K , (p + q)(a) = p(a) + q(a) ∧ (p × q)(a) = p(a)× q(a).
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Definicion
Polinomio p sobre un cuerpo K :sucesion infinita p0, p1, . . . ∈ K , tal que∃n ≥ 0 : ∀j > n, pj = 0.
Polinomio nulo: ∀j ∈ N, pj = 0.
Si p no es nulo, ∃g ∈ N : pg 6= 0 ∧ ∀j > g , pj = 0g → grado de p.
Valor de p en a ∈ K : p(a) =∑∞
j=0 pjaj =
∑gj=0 pja
j .Si p(a) = 0, a es una raız de p.
Suma de polinomios p y q: p + q con (p + q)j = pj + qj .
Producto de polinomios p y q: p × q con(p × q)j =
∑i+k=j piqk .
∀a ∈ K , (p + q)(a) = p(a) + q(a) ∧ (p × q)(a) = p(a)× q(a).
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Definicion
Polinomio p sobre un cuerpo K :sucesion infinita p0, p1, . . . ∈ K , tal que∃n ≥ 0 : ∀j > n, pj = 0.
Polinomio nulo: ∀j ∈ N, pj = 0.
Si p no es nulo, ∃g ∈ N : pg 6= 0 ∧ ∀j > g , pj = 0g → grado de p.
Valor de p en a ∈ K : p(a) =∑∞
j=0 pjaj =
∑gj=0 pja
j .
Si p(a) = 0, a es una raız de p.
Suma de polinomios p y q: p + q con (p + q)j = pj + qj .
Producto de polinomios p y q: p × q con(p × q)j =
∑i+k=j piqk .
∀a ∈ K , (p + q)(a) = p(a) + q(a) ∧ (p × q)(a) = p(a)× q(a).
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Definicion
Polinomio p sobre un cuerpo K :sucesion infinita p0, p1, . . . ∈ K , tal que∃n ≥ 0 : ∀j > n, pj = 0.
Polinomio nulo: ∀j ∈ N, pj = 0.
Si p no es nulo, ∃g ∈ N : pg 6= 0 ∧ ∀j > g , pj = 0g → grado de p.
Valor de p en a ∈ K : p(a) =∑∞
j=0 pjaj =
∑gj=0 pja
j .Si p(a) = 0, a es una raız de p.
Suma de polinomios p y q: p + q con (p + q)j = pj + qj .
Producto de polinomios p y q: p × q con(p × q)j =
∑i+k=j piqk .
∀a ∈ K , (p + q)(a) = p(a) + q(a) ∧ (p × q)(a) = p(a)× q(a).
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Polinomios sobre cuerpos
Definicion
Polinomio p sobre un cuerpo K :sucesion infinita p0, p1, . . . ∈ K , tal que∃n ≥ 0 : ∀j > n, pj = 0.
Polinomio nulo: ∀j ∈ N, pj = 0.
Si p no es nulo, ∃g ∈ N : pg 6= 0 ∧ ∀j > g , pj = 0g → grado de p.
Valor de p en a ∈ K : p(a) =∑∞
j=0 pjaj =
∑gj=0 pja
j .Si p(a) = 0, a es una raız de p.
Suma de polinomios p y q: p + q con (p + q)j = pj + qj .
Producto de polinomios p y q: p × q con(p × q)j =
∑i+k=j piqk .
∀a ∈ K , (p + q)(a) = p(a) + q(a) ∧ (p × q)(a) = p(a)× q(a).
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Definicion
Polinomio p sobre un cuerpo K :sucesion infinita p0, p1, . . . ∈ K , tal que∃n ≥ 0 : ∀j > n, pj = 0.
Polinomio nulo: ∀j ∈ N, pj = 0.
Si p no es nulo, ∃g ∈ N : pg 6= 0 ∧ ∀j > g , pj = 0g → grado de p.
Valor de p en a ∈ K : p(a) =∑∞
j=0 pjaj =
∑gj=0 pja
j .Si p(a) = 0, a es una raız de p.
Suma de polinomios p y q: p + q con (p + q)j = pj + qj .
Producto de polinomios p y q: p × q con(p × q)j =
∑i+k=j piqk .
∀a ∈ K , (p + q)(a) = p(a) + q(a) ∧ (p × q)(a) = p(a)× q(a).
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Definicion
Polinomio p sobre un cuerpo K :sucesion infinita p0, p1, . . . ∈ K , tal que∃n ≥ 0 : ∀j > n, pj = 0.
Polinomio nulo: ∀j ∈ N, pj = 0.
Si p no es nulo, ∃g ∈ N : pg 6= 0 ∧ ∀j > g , pj = 0g → grado de p.
Valor de p en a ∈ K : p(a) =∑∞
j=0 pjaj =
∑gj=0 pja
j .Si p(a) = 0, a es una raız de p.
Suma de polinomios p y q: p + q con (p + q)j = pj + qj .
Producto de polinomios p y q: p × q con(p × q)j =
∑i+k=j piqk .
∀a ∈ K , (p + q)(a) = p(a) + q(a) ∧ (p × q)(a) = p(a)× q(a).
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Polinomios sobre cuerpos
Notacion
Para a ∈ K y n ∈ N:
El polinomio a es el polinomio p tal que p0 = a y∀j > 0, pj = 0.
El polinomio xn representa al polinomio p tal que pn = 1y ∀j 6= n, pj = 0.(x × p designa el polinomio q tal que q0 = 0 y qi+1 = pipara todo i .)
Para polinomios p, q, decimos que p < q cuando
p = 0 y q 6= 0, o bienp 6= 0 6= q y el grado de p es menor que el grado de q.
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Notacion
Para a ∈ K y n ∈ N:
El polinomio a es el polinomio p tal que p0 = a y∀j > 0, pj = 0.El polinomio xn representa al polinomio p tal que pn = 1y ∀j 6= n, pj = 0.
(x × p designa el polinomio q tal que q0 = 0 y qi+1 = pipara todo i .)
Para polinomios p, q, decimos que p < q cuando
p = 0 y q 6= 0, o bienp 6= 0 6= q y el grado de p es menor que el grado de q.
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Notacion
Para a ∈ K y n ∈ N:
El polinomio a es el polinomio p tal que p0 = a y∀j > 0, pj = 0.El polinomio xn representa al polinomio p tal que pn = 1y ∀j 6= n, pj = 0.(x × p designa el polinomio q tal que q0 = 0 y qi+1 = pipara todo i .)
Para polinomios p, q, decimos que p < q cuando
p = 0 y q 6= 0, o bienp 6= 0 6= q y el grado de p es menor que el grado de q.
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Notacion
Para a ∈ K y n ∈ N:
El polinomio a es el polinomio p tal que p0 = a y∀j > 0, pj = 0.El polinomio xn representa al polinomio p tal que pn = 1y ∀j 6= n, pj = 0.(x × p designa el polinomio q tal que q0 = 0 y qi+1 = pipara todo i .)
Para polinomios p, q, decimos que p < q cuando
p = 0 y q 6= 0, o bienp 6= 0 6= q y el grado de p es menor que el grado de q.
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Notacion
Para a ∈ K y n ∈ N:
El polinomio a es el polinomio p tal que p0 = a y∀j > 0, pj = 0.El polinomio xn representa al polinomio p tal que pn = 1y ∀j 6= n, pj = 0.(x × p designa el polinomio q tal que q0 = 0 y qi+1 = pipara todo i .)
Para polinomios p, q, decimos que p < q cuando
p = 0 y q 6= 0, o bien
p 6= 0 6= q y el grado de p es menor que el grado de q.
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Notacion
Para a ∈ K y n ∈ N:
El polinomio a es el polinomio p tal que p0 = a y∀j > 0, pj = 0.El polinomio xn representa al polinomio p tal que pn = 1y ∀j 6= n, pj = 0.(x × p designa el polinomio q tal que q0 = 0 y qi+1 = pipara todo i .)
Para polinomios p, q, decimos que p < q cuando
p = 0 y q 6= 0, o bienp 6= 0 6= q y el grado de p es menor que el grado de q.
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Teorema de la division para polinomios
Dados dos polinomios p, q sobre un cuerpo K con q 6= 0,existen dos polinomios c , r sobre K con r < q tal quep = c × q + r .
Algoritmo para division de polinomios
D(p, q) =. si (p < q) (0, p). sino. . si (p y q tienen el mismo grado g). . . (pg/qg , p − (pg/qg )× q). . sino. . . (c, r) := D(p, x × q). . . (c1, r1) := D(r , q). . . (x × c + c1, r1)
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Teorema de la division para polinomios
Dados dos polinomios p, q sobre un cuerpo K con q 6= 0,existen dos polinomios c , r sobre K con r < q tal quep = c × q + r .
Algoritmo para division de polinomios
D(p, q) =
. si (p < q) (0, p)
. sino
. . si (p y q tienen el mismo grado g)
. . . (pg/qg , p − (pg/qg )× q)
. . sino
. . . (c, r) := D(p, x × q)
. . . (c1, r1) := D(r , q)
. . . (x × c + c1, r1)
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Dados dos polinomios p, q sobre un cuerpo K con q 6= 0,existen dos polinomios c , r sobre K con r < q tal quep = c × q + r .
Algoritmo para division de polinomios
D(p, q) =. si (p < q) (0, p). sino
. . si (p y q tienen el mismo grado g)
. . . (pg/qg , p − (pg/qg )× q)
. . sino
. . . (c, r) := D(p, x × q)
. . . (c1, r1) := D(r , q)
. . . (x × c + c1, r1)
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Dados dos polinomios p, q sobre un cuerpo K con q 6= 0,existen dos polinomios c , r sobre K con r < q tal quep = c × q + r .
Algoritmo para division de polinomios
D(p, q) =. si (p < q) (0, p). sino. . si (p y q tienen el mismo grado g)
. . . (pg/qg , p − (pg/qg )× q)
. . sino
. . . (c, r) := D(p, x × q)
. . . (c1, r1) := D(r , q)
. . . (x × c + c1, r1)
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Teorema de la division para polinomios
Dados dos polinomios p, q sobre un cuerpo K con q 6= 0,existen dos polinomios c , r sobre K con r < q tal quep = c × q + r .
Algoritmo para division de polinomios
D(p, q) =. si (p < q) (0, p). sino. . si (p y q tienen el mismo grado g). . . (pg/qg , p − (pg/qg )× q). . sino
. . . (c, r) := D(p, x × q)
. . . (c1, r1) := D(r , q)
. . . (x × c + c1, r1)
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Dados dos polinomios p, q sobre un cuerpo K con q 6= 0,existen dos polinomios c , r sobre K con r < q tal quep = c × q + r .
Algoritmo para division de polinomios
D(p, q) =. si (p < q) (0, p). sino. . si (p y q tienen el mismo grado g). . . (pg/qg , p − (pg/qg )× q). . sino. . . (c, r) := D(p, x × q)
. . . (c1, r1) := D(r , q)
. . . (x × c + c1, r1)
TEORIA DENUMEROS
Cuerpos
Polinomios sobrecuerpos
Division depolinomios
Existencia deelementosprimitivos
Mas sobreprimalidad
Primos deMersenne
Algoritmo AKS
Criptografıa
El metodo deRabin
El metodo RSA
Aritmetica denumerosgrandes
Representaciones
Operaciones
Division de polinomios
Teorema de la division para polinomios
Dados dos polinomios p, q sobre un cuerpo K con q 6= 0,existen dos polinomios c , r sobre K con r < q tal quep = c × q + r .
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Teorema
Un polinomio de grado n sobre un cuerpo no tiene mas que nraıces en el cuerpo.
Teorema
Todo cuerpo finito tiene un elemento primitivo.
Podemos demostrarlo si logramos demostrar que
Lema
En cualquier cuerpo finito, si hay un elemento de ordenmultiplicativo m y otro de orden multiplicativo n, entonces hayun elemento de orden multiplicativo mcm(m, n).
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Lema
Si un grupo tiene un elemento de orden n y m es factor de nentonces existe un elemento de orden m.
Lema
En un grupo finito conmutativo, si elementos a, b tienenordenes m, n respectivamente y m, n son coprimos entonces elorden de ab es mn.
Lema
En un grupo finito conmutativo, sean m1, ...,mk los ordenes delos elementos a1, ..., ak respectivamente, con mi coprimo conmj siempre que i 6= j . Entonces el orden de a1 · · · ak esm1 · · ·mk .
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¿Como encontrar primos grandes?
Es un problema interesante por sı mismo.
Y tambien porque hay aplicaciones importantes querequieren de primos grandes.
Por calculos a mano
Ano Dıgitos
1588 6
1772 10
1867 13
1876 39
Con computadorasAno Dıgitos
1952 687
1963 3.376
1971 6.002
1979 13.395
1989 65.087
1999 2.098.960
2006 9.808.358
2008 12.978.189
2013 17.425.170
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Definicion
Un numero primo de la forma 2p − 1 se dice primo deMersenne.
Teorema
Sea n > 2. 2n − 1 es primo si y solo si
1 n es primo, y
2 Ln−2 = 0, siendo {Lm} la sucesion definida por
L0 = 4 Lm+1 = resto(L2m − 2, 2n − 1)
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1 n es primo, y
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Consecuencia del Pequeno Teorema de Fermat
Dado n ∈ N:si existe a t.q. 1 < a < n y an−1 6≡n 1, entonces n no es primo.
Ejemplo
Fermat conjeturo que todo numero de la forma 22n + 1 esprimo.Pero 3232 ≡232+1 3029026160.
Luego, por su propio teorema, 225+ 1 no es primo.
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Ejemplo
Fermat conjeturo que todo numero de la forma 22n + 1 esprimo.
Pero 3232 ≡232+1 3029026160.
Luego, por su propio teorema, 225+ 1 no es primo.
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Luego, por su propio teorema, 225+ 1 no es primo.
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Fermat conjeturo que todo numero de la forma 22n + 1 esprimo.Pero 3232 ≡232+1 3029026160.
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Generalizacion del Pequeno Teorema de Fermat
Sean n, a ∈ N con mcd(n, a) = 1.
Entonces,n es primo ⇐⇒ ∀x ∈ N, (x + a)n ≡n xn + a
Notacion
Para n ≥ 2 y polinomios p(x), q(x), s(x), si resto(p(x), s(x)) yresto(q(x), s(x)) tienen los mismos coeficientes modulo n,entonces decimos que p(x) ≡ q(x) mod (s(x), n)
Clave para un algoritmo de tiempo polinomico
Dado n primo impar, existe r ≤⌈log5
2 n⌉
tal que para todo asuficientemente pequeno ocurre
(x + a)n ≡ xn + a mod (x r − 1, n)
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Notacion
Para n ≥ 2 y polinomios p(x), q(x), s(x), si resto(p(x), s(x)) yresto(q(x), s(x)) tienen los mismos coeficientes modulo n,entonces decimos que p(x) ≡ q(x) mod (s(x), n)
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Notacion
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si resto(p(x), s(x)) yresto(q(x), s(x)) tienen los mismos coeficientes modulo n,entonces decimos que p(x) ≡ q(x) mod (s(x), n)
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Notacion
Para n ≥ 2 y polinomios p(x), q(x), s(x), si resto(p(x), s(x)) yresto(q(x), s(x)) tienen los mismos coeficientes modulo n,
entonces decimos que p(x) ≡ q(x) mod (s(x), n)
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tal que para todo asuficientemente pequeno ocurre
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Sean n, a ∈ N con mcd(n, a) = 1. Entonces,n es primo ⇐⇒ ∀x ∈ N, (x + a)n ≡n xn + a
Notacion
Para n ≥ 2 y polinomios p(x), q(x), s(x), si resto(p(x), s(x)) yresto(q(x), s(x)) tienen los mismos coeficientes modulo n,entonces decimos que p(x) ≡ q(x) mod (s(x), n)
Clave para un algoritmo de tiempo polinomico
Dado n primo impar, existe r ≤⌈log5
2 n⌉
tal que para todo asuficientemente pequeno ocurre
(x + a)n ≡ xn + a mod (x r − 1, n)
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El metodo RSA
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Algoritmo AKS para primalidad
AKS(n) =
. si (∃a ∈ N, b > 1 : n = ab) NO
. r := mın{m : mcd(n,m) = 1 ∧mın{k > 0 : nk ≡m 1} > log2
2n}. si (∃a ≤ r : 1 < mcd(a, n) < n) NO. si (n ≤ r) SI
. para a = 1..⌊√
Φ(r) log2 n⌋
. . si ((X + a)n 6= X n + a mod (X r − 1, n)) NO
. SI
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AKS(n) =. si (∃a ∈ N, b > 1 : n = ab) NO
. r := mın{m : mcd(n,m) = 1 ∧mın{k > 0 : nk ≡m 1} > log2
2n}. si (∃a ≤ r : 1 < mcd(a, n) < n) NO. si (n ≤ r) SI
. para a = 1..⌊√
Φ(r) log2 n⌋
. . si ((X + a)n 6= X n + a mod (X r − 1, n)) NO
. SI
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AKS(n) =. si (∃a ∈ N, b > 1 : n = ab) NO. r := mın{m : mcd(n,m) = 1 ∧
mın{k > 0 : nk ≡m 1} > log22n}
. si (∃a ≤ r : 1 < mcd(a, n) < n) NO
. si (n ≤ r) SI
. para a = 1..⌊√
Φ(r) log2 n⌋
. . si ((X + a)n 6= X n + a mod (X r − 1, n)) NO
. SI
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AKS(n) =. si (∃a ∈ N, b > 1 : n = ab) NO. r := mın{m : mcd(n,m) = 1 ∧
mın{k > 0 : nk ≡m 1} > log22n}
. si (∃a ≤ r : 1 < mcd(a, n) < n) NO
. si (n ≤ r) SI
. para a = 1..⌊√
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. . si ((X + a)n 6= X n + a mod (X r − 1, n)) NO
. SI
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AKS(n) =. si (∃a ∈ N, b > 1 : n = ab) NO. r := mın{m : mcd(n,m) = 1 ∧
mın{k > 0 : nk ≡m 1} > log22n}
. si (∃a ≤ r : 1 < mcd(a, n) < n) NO
. si (n ≤ r) SI
. para a = 1..⌊√
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. . si ((X + a)n 6= X n + a mod (X r − 1, n)) NO
. SI
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. si (∃a ≤ r : 1 < mcd(a, n) < n) NO
. si (n ≤ r) SI
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. si (∃a ≤ r : 1 < mcd(a, n) < n) NO
. si (n ≤ r) SI
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mın{k > 0 : nk ≡m 1} > log22n}
. si (∃a ≤ r : 1 < mcd(a, n) < n) NO
. si (n ≤ r) SI
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mın{k > 0 : nk ≡m 1} > log22n}
. si (∃a ≤ r : 1 < mcd(a, n) < n) NO
. si (n ≤ r) SI
. para a = 1..⌊√
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. . si ((X + a)n 6= X n + a mod (X r − 1, n)) NO
. SI
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Descripcion del problema
Personajes: Emisor (E)
- Receptor (R) - Intruso (I).
R desea recibir mensaje secreto M que envıa E.
I puede leer lo que E mande.
Entonces E, en lugar de M, envıa C = f (M), con alguna findicada por R.(M: mensaje original C : mensaje cifrado.)
R conoce un metodo para calcular f −1. Recibido C ,calcula f −1(C ) = M, recuperando ası el M original.
Si I no conoce f −1, no puede enterarse del contenido deM.
¿Cuales f son apropiadas?
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Personajes: Emisor (E) - Receptor (R)
- Intruso (I).
R desea recibir mensaje secreto M que envıa E.
I puede leer lo que E mande.
Entonces E, en lugar de M, envıa C = f (M), con alguna findicada por R.(M: mensaje original C : mensaje cifrado.)
R conoce un metodo para calcular f −1. Recibido C ,calcula f −1(C ) = M, recuperando ası el M original.
Si I no conoce f −1, no puede enterarse del contenido deM.
¿Cuales f son apropiadas?
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R desea recibir mensaje secreto M que envıa E.
I puede leer lo que E mande.
Entonces E, en lugar de M, envıa C = f (M), con alguna findicada por R.(M: mensaje original C : mensaje cifrado.)
R conoce un metodo para calcular f −1. Recibido C ,calcula f −1(C ) = M, recuperando ası el M original.
Si I no conoce f −1, no puede enterarse del contenido deM.
¿Cuales f son apropiadas?
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R desea recibir mensaje secreto M que envıa E.
I puede leer lo que E mande.
Entonces E, en lugar de M, envıa C = f (M), con alguna findicada por R.(M: mensaje original C : mensaje cifrado.)
R conoce un metodo para calcular f −1. Recibido C ,calcula f −1(C ) = M, recuperando ası el M original.
Si I no conoce f −1, no puede enterarse del contenido deM.
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R desea recibir mensaje secreto M que envıa E.
I puede leer lo que E mande.
Entonces E, en lugar de M, envıa C = f (M), con alguna findicada por R.(M: mensaje original C : mensaje cifrado.)
R conoce un metodo para calcular f −1. Recibido C ,calcula f −1(C ) = M, recuperando ası el M original.
Si I no conoce f −1, no puede enterarse del contenido deM.
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I puede leer lo que E mande.
Entonces E, en lugar de M, envıa C = f (M), con alguna findicada por R.
(M: mensaje original C : mensaje cifrado.)
R conoce un metodo para calcular f −1. Recibido C ,calcula f −1(C ) = M, recuperando ası el M original.
Si I no conoce f −1, no puede enterarse del contenido deM.
¿Cuales f son apropiadas?
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I puede leer lo que E mande.
Entonces E, en lugar de M, envıa C = f (M), con alguna findicada por R.(M: mensaje original
C : mensaje cifrado.)
R conoce un metodo para calcular f −1. Recibido C ,calcula f −1(C ) = M, recuperando ası el M original.
Si I no conoce f −1, no puede enterarse del contenido deM.
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R desea recibir mensaje secreto M que envıa E.
I puede leer lo que E mande.
Entonces E, en lugar de M, envıa C = f (M), con alguna findicada por R.(M: mensaje original C : mensaje cifrado.)
R conoce un metodo para calcular f −1. Recibido C ,calcula f −1(C ) = M, recuperando ası el M original.
Si I no conoce f −1, no puede enterarse del contenido deM.
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R desea recibir mensaje secreto M que envıa E.
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Entonces E, en lugar de M, envıa C = f (M), con alguna findicada por R.(M: mensaje original C : mensaje cifrado.)
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Si I no conoce f −1, no puede enterarse del contenido deM.
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I puede leer lo que E mande.
Entonces E, en lugar de M, envıa C = f (M), con alguna findicada por R.(M: mensaje original C : mensaje cifrado.)
R conoce un metodo para calcular f −1. Recibido C ,calcula f −1(C ) = M, recuperando ası el M original.
Si I no conoce f −1, no puede enterarse del contenido deM.
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Funciones de encriptacion apropiadas
Propiedades deseables de f
1 Que sea facilmente aplicable a M.
2 Invertible (o casi).
3 Que f −1(C ) sea facil de calcular para R pero difıcil para I,por mas que conozca f (M), ¡y aun conociendo f !.
Consecuencias de ello (si se logra):
La seguridad de la comunicacion no esta basada enmantener f en secreto.
E y R no necesitan reunirse para intercambiar f y f −1.
f puede ser periodicamente modificada.
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1 Que sea facilmente aplicable a M.
2 Invertible (o casi).
3 Que f −1(C ) sea facil de calcular para R pero difıcil para I,por mas que conozca f (M), ¡y aun conociendo f !.
Consecuencias de ello (si se logra):
La seguridad de la comunicacion no esta basada enmantener f en secreto.
E y R no necesitan reunirse para intercambiar f y f −1.
f puede ser periodicamente modificada.
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1 Que sea facilmente aplicable a M.
2 Invertible (o casi).
3 Que f −1(C ) sea facil de calcular para R pero difıcil para I,
por mas que conozca f (M), ¡y aun conociendo f !.
Consecuencias de ello (si se logra):
La seguridad de la comunicacion no esta basada enmantener f en secreto.
E y R no necesitan reunirse para intercambiar f y f −1.
f puede ser periodicamente modificada.
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2 Invertible (o casi).
3 Que f −1(C ) sea facil de calcular para R pero difıcil para I,por mas que conozca f (M),
¡y aun conociendo f !.
Consecuencias de ello (si se logra):
La seguridad de la comunicacion no esta basada enmantener f en secreto.
E y R no necesitan reunirse para intercambiar f y f −1.
f puede ser periodicamente modificada.
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E y R no necesitan reunirse para intercambiar f y f −1.
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2 Invertible (o casi).
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E y R no necesitan reunirse para intercambiar f y f −1.
f puede ser periodicamente modificada.
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2 Invertible (o casi).
3 Que f −1(C ) sea facil de calcular para R pero difıcil para I,por mas que conozca f (M), ¡y aun conociendo f !.
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1 Que sea facilmente aplicable a M.
2 Invertible (o casi).
3 Que f −1(C ) sea facil de calcular para R pero difıcil para I,por mas que conozca f (M), ¡y aun conociendo f !.
Consecuencias de ello (si se logra):
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E y R no necesitan reunirse para intercambiar f y f −1.
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1 Que sea facilmente aplicable a M.
2 Invertible (o casi).
3 Que f −1(C ) sea facil de calcular para R pero difıcil para I,por mas que conozca f (M), ¡y aun conociendo f !.
Consecuencias de ello (si se logra):
La seguridad de la comunicacion no esta basada enmantener f en secreto.
E y R no necesitan reunirse para intercambiar f y f −1.
f puede ser periodicamente modificada.
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Ejemplos de esquemas (no satisfactorios)
1 p: un primo grande
a: elemento primitivo de Zp
f (M) = aM mod p (es biyeccion).Debilidad: f −1 es difıcil de calcular (incluso para R).
2 p: un primo grande tal que p ≡4 3f (M) = M2 mod p (es casi invertible).f −1(C ) = ±C (p+1)/4 mod pDebilidad: El calculo de f −1 es facil para I.
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1 p: un primo grandea: elemento primitivo de Zp
f (M) = aM mod p (es biyeccion).Debilidad: f −1 es difıcil de calcular (incluso para R).
2 p: un primo grande tal que p ≡4 3f (M) = M2 mod p (es casi invertible).f −1(C ) = ±C (p+1)/4 mod pDebilidad: El calculo de f −1 es facil para I.
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1 p: un primo grandea: elemento primitivo de Zp
f (M) = aM mod p (es biyeccion).
Debilidad: f −1 es difıcil de calcular (incluso para R).
2 p: un primo grande tal que p ≡4 3f (M) = M2 mod p (es casi invertible).f −1(C ) = ±C (p+1)/4 mod pDebilidad: El calculo de f −1 es facil para I.
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1 p: un primo grandea: elemento primitivo de Zp
f (M) = aM mod p (es biyeccion).Debilidad: f −1 es difıcil de calcular (incluso para R).
2 p: un primo grande tal que p ≡4 3f (M) = M2 mod p (es casi invertible).f −1(C ) = ±C (p+1)/4 mod pDebilidad: El calculo de f −1 es facil para I.
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2 p: un primo grande tal que p ≡4 3
f (M) = M2 mod p (es casi invertible).f −1(C ) = ±C (p+1)/4 mod pDebilidad: El calculo de f −1 es facil para I.
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2 p: un primo grande tal que p ≡4 3f (M) = M2 mod p (es casi invertible).f −1(C ) = ±C (p+1)/4 mod p
Debilidad: El calculo de f −1 es facil para I.
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2 p: un primo grande tal que p ≡4 3f (M) = M2 mod p (es casi invertible).f −1(C ) = ±C (p+1)/4 mod pDebilidad: El calculo de f −1 es facil para I.
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n = pq con p y q primos grandes y distintos, ambos ≡4 3
f (M) = M2 mod n (tambien es casi invertible).Si C = f (M), entonces M es la solucion a uno de los siguientescuatro sistemas:{
M ≡p Cp+1
4
M ≡q Cq+1
4
{M ≡p C
p+14
M ≡q −Cq+1
4{M ≡p −C
p+14
M ≡q Cq+1
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{M ≡p −C
p+14
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M ≡p Cp+1
4
M ≡q Cq+1
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p+14
M ≡q −Cq+1
4{M ≡p −C
p+14
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{M ≡p C
p+14
M ≡q Cq+1
4
{M ≡p C
p+14
M ≡q −Cq+1
4{M ≡p −C
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M ≡p Cp+1
4
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p+14
M ≡q −Cq+1
4{M ≡p −C
p+14
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M ≡p Cp+1
4
M ≡q Cq+1
4
{M ≡p C
p+14
M ≡q −Cq+1
4
{M ≡p −C
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M ≡p Cp+1
4
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p+14
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M ≡p Cp+1
4
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M ≡q −Cq+1
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n = pq con p y q primos grandes y distintos
d : cualquier coprimo con (p − 1)(q − 1)e: el inverso de d en Z(p−1)(q−1)
f (M) = Me mod nf −1(C ) = Cd mod n
Claves del funcionamiento
Para todo n, {k ∈ Zn : mcd(k, n) = 1} es grupo con elproducto modulo n. Su orden se denota ϕ(n).
Si a es coprimo con n, entonces aϕ(n)+1 ≡n a.
En particular, para n = pq con p y q primos distintos:
ϕ(n) = (p − 1)(q − 1).∀a ∈ Zn, a
(p−1)(q−1)+1 ≡n a.Si d , e se eligen de acuerdo al metodo, entonces(Md)e = M.
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n = pq con p y q primos grandes y distintosd : cualquier coprimo con (p − 1)(q − 1)
e: el inverso de d en Z(p−1)(q−1)
f (M) = Me mod nf −1(C ) = Cd mod n
Claves del funcionamiento
Para todo n, {k ∈ Zn : mcd(k, n) = 1} es grupo con elproducto modulo n. Su orden se denota ϕ(n).
Si a es coprimo con n, entonces aϕ(n)+1 ≡n a.
En particular, para n = pq con p y q primos distintos:
ϕ(n) = (p − 1)(q − 1).∀a ∈ Zn, a
(p−1)(q−1)+1 ≡n a.Si d , e se eligen de acuerdo al metodo, entonces(Md)e = M.
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Para todo n, {k ∈ Zn : mcd(k, n) = 1} es grupo con elproducto modulo n. Su orden se denota ϕ(n).
Si a es coprimo con n, entonces aϕ(n)+1 ≡n a.
En particular, para n = pq con p y q primos distintos:
ϕ(n) = (p − 1)(q − 1).∀a ∈ Zn, a
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Para todo n, {k ∈ Zn : mcd(k, n) = 1} es grupo con elproducto modulo n. Su orden se denota ϕ(n).
Si a es coprimo con n, entonces aϕ(n)+1 ≡n a.
En particular, para n = pq con p y q primos distintos:
ϕ(n) = (p − 1)(q − 1).∀a ∈ Zn, a
(p−1)(q−1)+1 ≡n a.Si d , e se eligen de acuerdo al metodo, entonces(Md)e = M.
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Si a es coprimo con n, entonces aϕ(n)+1 ≡n a.
En particular, para n = pq con p y q primos distintos:
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En particular, para n = pq con p y q primos distintos:
ϕ(n) = (p − 1)(q − 1).∀a ∈ Zn, a
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Si a es coprimo con n, entonces aϕ(n)+1 ≡n a.
En particular, para n = pq con p y q primos distintos:
ϕ(n) = (p − 1)(q − 1).∀a ∈ Zn, a
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Si a es coprimo con n, entonces aϕ(n)+1 ≡n a.
En particular, para n = pq con p y q primos distintos:
ϕ(n) = (p − 1)(q − 1).∀a ∈ Zn, a
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Si a es coprimo con n, entonces aϕ(n)+1 ≡n a.
En particular, para n = pq con p y q primos distintos:
ϕ(n) = (p − 1)(q − 1).∀a ∈ Zn, a
(p−1)(q−1)+1 ≡n a.Si d , e se eligen de acuerdo al metodo, entonces(Md)e = M.
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Ataque a Rabin y RSA
Si I puede factorizar n, entonces puede decodificar los mensajes.
Un metodo de factorizacion: sacar raıces cuadradas en Zn
Si a, b ∈ Zn satisfacen simultaneamente
a 6= ±b
a2 ≡n b2,
entonces mcd(a + b, n) es factor propio de n.
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Representacion de numeros
Se elige B > 1 (la base de numeracion).
n se representa mediante sucesion d = [d0, . . . , dk ]:
0 ≤ di < B para cada i .n =
∑ki=0 di × B i .
(Sucesion vacıa: ∅ → representa a 0.)
Valor a partir de la representacion
val(d ,B) =. si (d = ∅) 0. sino d0 + B × val(resto(d))
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n se representa mediante sucesion d = [d0, . . . , dk ]:
0 ≤ di < B para cada i .
n =∑k
i=0 di × B i .
(Sucesion vacıa: ∅ → representa a 0.)
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Se elige B > 1 (la base de numeracion).
n se representa mediante sucesion d = [d0, . . . , dk ]:
0 ≤ di < B para cada i .n =
∑ki=0 di × B i .
(Sucesion vacıa: ∅ → representa a 0.)
Valor a partir de la representacion
val(d ,B) =. si (d = ∅) 0. sino d0 + B × val(resto(d))
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∑ki=0 di × B i .
(Sucesion vacıa: ∅ → representa a 0.)
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∑ki=0 di × B i .
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. sino d0 + B × val(resto(d))
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∑ki=0 di × B i .
(Sucesion vacıa: ∅ → representa a 0.)
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. si (n = 0) ∅
. sino
. . (c , r) := cr(n,B)
. . [r , rep(c ,B)]
val(rep(n,B),B) = n
rep(val(d ,B),B) = d salvo dıgitos 0 no significativos.
¿Operaciones entre numeros dados por representaciones?
Implementar algoritmos en base a representaciones.
Se supone accesibilidad a las tablas de operaciones entredıgitos.
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. sino
. . (c , r) := cr(n,B)
. . [r , rep(c ,B)]
val(rep(n,B),B) = n
rep(val(d ,B),B) = d salvo dıgitos 0 no significativos.
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. . [r , rep(c ,B)]
val(rep(n,B),B) = n
rep(val(d ,B),B) = d salvo dıgitos 0 no significativos.
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rep(val(d ,B),B) = d salvo dıgitos 0 no significativos.
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val(rep(n,B),B) = n
rep(val(d ,B),B) = d salvo dıgitos 0 no significativos.
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d + e = suma(d , e, 0)
dondesuma(d , e, c) =. si (d = ∅) si (c = 0) e sino aumentar(e). sino. . si (e = ∅) si (c = 0) d sino aumentar(d). . sino. . . si (d0 + e0 + c < B) [d0 + e0 + c , suma(resto(d), resto(e), 0)]. . . sino [d0 + e0 + c − B, suma(resto(d), resto(e), 1)]dondeaumentar(d) =. si (d = ∅) [1]. sino. . si (d0 < B − 1) [d0 + 1, resto(d)]. . sino [0, aumentar(resto(d))]
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. si (d = ∅) si (c = 0) e sino aumentar(e)
. sino
. . si (e = ∅) si (c = 0) d sino aumentar(d)
. . sino
. . . si (d0 + e0 + c < B) [d0 + e0 + c , suma(resto(d), resto(e), 0)]
. . . sino [d0 + e0 + c − B, suma(resto(d), resto(e), 1)]dondeaumentar(d) =. si (d = ∅) [1]. sino. . si (d0 < B − 1) [d0 + 1, resto(d)]. . sino [0, aumentar(resto(d))]
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d + e = suma(d , e, 0)dondesuma(d , e, c) =. si (d = ∅) si (c = 0) e sino aumentar(e)
. sino
. . si (e = ∅) si (c = 0) d sino aumentar(d)
. . sino
. . . si (d0 + e0 + c < B) [d0 + e0 + c , suma(resto(d), resto(e), 0)]
. . . sino [d0 + e0 + c − B, suma(resto(d), resto(e), 1)]dondeaumentar(d) =. si (d = ∅) [1]. sino. . si (d0 < B − 1) [d0 + 1, resto(d)]. . sino [0, aumentar(resto(d))]
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. . sino
. . . si (d0 + e0 + c < B) [d0 + e0 + c , suma(resto(d), resto(e), 0)]
. . . sino [d0 + e0 + c − B, suma(resto(d), resto(e), 1)]dondeaumentar(d) =. si (d = ∅) [1]. sino. . si (d0 < B − 1) [d0 + 1, resto(d)]. . sino [0, aumentar(resto(d))]
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d + e = suma(d , e, 0)dondesuma(d , e, c) =. si (d = ∅) si (c = 0) e sino aumentar(e). sino. . si (e = ∅) si (c = 0) d sino aumentar(d). . sino. . . si (d0 + e0 + c < B) [d0 + e0 + c , suma(resto(d), resto(e), 0)]
. . . sino [d0 + e0 + c − B, suma(resto(d), resto(e), 1)]dondeaumentar(d) =. si (d = ∅) [1]. sino. . si (d0 < B − 1) [d0 + 1, resto(d)]. . sino [0, aumentar(resto(d))]
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d + e = suma(d , e, 0)dondesuma(d , e, c) =. si (d = ∅) si (c = 0) e sino aumentar(e). sino. . si (e = ∅) si (c = 0) d sino aumentar(d). . sino. . . si (d0 + e0 + c < B) [d0 + e0 + c , suma(resto(d), resto(e), 0)]. . . sino [d0 + e0 + c − B, suma(resto(d), resto(e), 1)]
dondeaumentar(d) =. si (d = ∅) [1]. sino. . si (d0 < B − 1) [d0 + 1, resto(d)]. . sino [0, aumentar(resto(d))]
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. si (d = ∅) [1]
. sino
. . si (d0 < B − 1) [d0 + 1, resto(d)]
. . sino [0, aumentar(resto(d))]
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. sino
. . si (d0 < B − 1) [d0 + 1, resto(d)]
. . sino [0, aumentar(resto(d))]
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No tan similar, pero de todos modos → EJERCICIO.Claves:
Multiplicar por la base equivale a insertar un 0.
Hacer subfuncion que multiplica un dıgito por unasucesion.
La funcion principal:
Hace llamada recursiva conveniente.Multiplica esa respuesta por B.Invoca convenientemente a la subfuncion.Ejecuta la suma correspondiente para obtener el resultado.
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Multiplicar por la base equivale a insertar un 0.
Hacer subfuncion que multiplica un dıgito por unasucesion.
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Multiplica esa respuesta por B.Invoca convenientemente a la subfuncion.Ejecuta la suma correspondiente para obtener el resultado.
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Multiplicar por la base equivale a insertar un 0.
Hacer subfuncion que multiplica un dıgito por unasucesion.
La funcion principal:
Hace llamada recursiva conveniente.Multiplica esa respuesta por B.
Invoca convenientemente a la subfuncion.Ejecuta la suma correspondiente para obtener el resultado.
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No tan similar, pero de todos modos → EJERCICIO.Claves:
Multiplicar por la base equivale a insertar un 0.
Hacer subfuncion que multiplica un dıgito por unasucesion.
La funcion principal:
Hace llamada recursiva conveniente.Multiplica esa respuesta por B.Invoca convenientemente a la subfuncion.
Ejecuta la suma correspondiente para obtener el resultado.
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Multiplicar por la base equivale a insertar un 0.
Hacer subfuncion que multiplica un dıgito por unasucesion.
La funcion principal:
Hace llamada recursiva conveniente.Multiplica esa respuesta por B.Invoca convenientemente a la subfuncion.Ejecuta la suma correspondiente para obtener el resultado.
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Division a partir de representaciones
crB(d , e,B) =
. si (d < e) (∅, d)
. sino
. . (c , r) := crB(d , [0, e],B)
. . (c1, r1) := cr(r , e)
. . ([0, c] + c1, r1)
¿Como saber si d < e?
si (d = ∅). si (e = ∅) NO sino SIsino. si (e = ∅) NO. sino. . si (resto(d) < resto( ¡OPS! Falta Espacio → EJERCICIO
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Operaciones
Division a partir de representaciones
crB(d , e,B) =. si (d < e) (∅, d)
. sino
. . (c , r) := crB(d , [0, e],B)
. . (c1, r1) := cr(r , e)
. . ([0, c] + c1, r1)
¿Como saber si d < e?
si (d = ∅). si (e = ∅) NO sino SIsino. si (e = ∅) NO. sino. . si (resto(d) < resto( ¡OPS! Falta Espacio → EJERCICIO
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crB(d , e,B) =. si (d < e) (∅, d). sino. . (c , r) := crB(d , [0, e],B)
. . (c1, r1) := cr(r , e)
. . ([0, c] + c1, r1)
¿Como saber si d < e?
si (d = ∅). si (e = ∅) NO sino SIsino. si (e = ∅) NO. sino. . si (resto(d) < resto( ¡OPS! Falta Espacio → EJERCICIO
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crB(d , e,B) =. si (d < e) (∅, d). sino. . (c , r) := crB(d , [0, e],B). . (c1, r1) := cr(r , e)
. . ([0, c] + c1, r1)
¿Como saber si d < e?
si (d = ∅). si (e = ∅) NO sino SIsino. si (e = ∅) NO. sino. . si (resto(d) < resto( ¡OPS! Falta Espacio → EJERCICIO
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crB(d , e,B) =. si (d < e) (∅, d). sino. . (c , r) := crB(d , [0, e],B). . (c1, r1) := cr(r , e). . ([0, c] + c1, r1)
¿Como saber si d < e?
si (d = ∅)
. si (e = ∅) NO sino SIsino. si (e = ∅) NO. sino. . si (resto(d) < resto( ¡OPS! Falta Espacio → EJERCICIO
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si (d = ∅). si (e = ∅) NO sino SI
sino. si (e = ∅) NO. sino. . si (resto(d) < resto( ¡OPS! Falta Espacio → EJERCICIO
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si (d = ∅). si (e = ∅) NO sino SIsino. si (e = ∅) NO
. sino
. . si (resto(d) < resto( ¡OPS! Falta Espacio → EJERCICIO
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