cálculo diferencial e integral de una variable sistema de coordenadas polares curvas notables del...

Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

SISTEMA DE COORDENADAS POLARES

Curvas notables del sistema

Integrales

2Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Habilidades

1. Representa puntos del plano en coordenadas polares.

2. Reconoce las diferentes formas de expresar un punto en coordenadas polares.

3. Deduce la relación entre el sistema cartesiano y el sistema polar.

4. Reconoce y grafica ciertas curvas notables en coordenadas polares.

3Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Sistema de coordenadas Polares

22

222

2 1 ;4

9

2

3

yx

yyxyx

Imaginemos que se quiere determinar el área de un placa delgada limitad por las ecuaciones:

4Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Problema

Una piscina tiene una sección que sigue el perfil de la región interior a la cardioide y exterior a la curva . Si “ r ” está dado en metros, calcule la cantidad de agua necesaria para llenar la piscina hasta una profundidad de 1,5m.

cos22r cos2r

5Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Polo Eje Polar

r

θ

P (r, θ)

Coordenadas Polares (r; θ) de un Punto P

0

Emplea distancias y direcciones.

r es la distancia de O a P.

θ es el ángulo entre el eje polar y el segmento OP.θ es positivo si se mide en dirección contraria a las manecillas del reloj.θ en radianes.

6Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Cuando medimos en la dirección dada por θ, contraria al segmento OP, podemos escribir -r, luego Q(-r; θ) = Q(r; θ + Π) se define como el punto que se encuentra a r unidades del polo en la dirección opuesta a la que da θ.

Q(-r,θ)

Coordenadas Polares (r; θ) de un Punto P

0

θ

P(r,θ)

r

7Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

En coordenadas polares cada punto tiene muchas representaciones

3

.0

2

2n3

2n

3;2

x

y

31;P3

1

En el sistema coordenado cartesiano, todo punto tiene sólo una representación.

Es decir, el punto en coordenadas polares (r; θ), se representa también por

)2;( nθr

))12(;( nθr

3;2P

8Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Conexión entre el sistema Polar y el sistema cartesiano

De la grafica observe que:

sencos ryrx

Estas ecuaciones permiten hallar las coordenadas cartesianas de un punto cuando se conocen lascoordenadas polares.

Para hallar las coordenadas r y θ cuando se conocen x e y, se usan las ecuaciones

2θ

2,tanθ 1222

xy

yxr

Si P es un punto cuyas coordenadas polares son (r; θ) entonces, las coordenadas rectangulares (x; y) de P serán:

y

x

r

P(x; y)P(r; θ)

x

y

θ

Si x=0, el ángulo es Π/2 ó - Π/2, según sea y>0 ó y<0

9Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Gráficas de Ecuaciones Polares

Ejemplo: Trace la gráfica de la ecuación r = 3

1 2 3 4 5 60x2 + y2 = 9

La grafica de una ecuación polar r = f(θ), o de manera más general F(r; θ), consta de los puntos P que tienen al menos una representación polar (r; θ) cuyas coordenadas satisfacen la ecuación.

10Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Identificar y hacer la gráfica de la ecuación: = /4

tan tan

= 0

= /4

= /2

= 3/4

=

= 5/4

= 3/2

= 7/4

y

x

Ejemplo:

1xy

xy

11Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

1. Resuelve: f() = 0.

2. Si existe al menos un valor para el ángulo , la gráfica sí pasa por el polo (0; ).

¿La gráfica pasa por el polo?

¿Cuales de las siguientes gráficas cuyas ecuaciones polares se dan, pasan por el polo?

a) r = 2 sen

b) r = 2 + sen

12Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Simetría1. Si una ecuación no cambia al

sustituir θ por –θ, la gráfica es simétrica respecto al eje polar

(r ; )

(r ; -)

o

2. Si una ecuación no cambia al sustituir r por –r, la gráfica es simétrica respecto al polo. o(-r ; )

(r ; )

3. Si una ecuación no cambia al sustituir θ por Π – θ, la gráfica es simétrica respecto a la recta vertical q = Π/2 (eje y)

(r ; ) (r ; )

13Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Algunas curvas polares comunesCírculos

CardiodesEn general, la gráfica de cualquier ecuación de la forma

)cos1( ar ) sen1( ar

)cos1(2 r

) sen1(2 r

14Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

cos6r2cos2 r

. Encontrar el área de la región R que se encuentra fuera de la curva y dentro de la curva

.

15Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

sen23r .2r

x

y

Calcula el área de la región interna a las curvas

y

16Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Bibliografía

“Cálculo de una variable”

Sexta ediciónJames Stewart

Ejercicios 10.3 Pág. 647 – 648: 2, 4, 6, 8, 16, 18, 24, 30 y 32.