cálculo de la derivada de una función

Cálculo de la derivada de una función.

-Definición de la derivada.-Reglas para la determinación de derivadas.

Concepto de derivada.

Se define la derivada de una función como el límite de la razón de cambio instantánea que sufre la variable dependiente, al establecerse un incremento a la variable independiente; positivo o negativo, y este incremento lo aproximamos a cero.

Gráfica de una recta tangente a una curva

Concepto de derivada.

La derivada de una función también se define como la pendiente de una línea recta en un punto dado sobre la curva de una función; con ello se puede establecer la recta que hace tangencia en el punto establecido previamente.

Reglas para determinar la derivada de una función.

Ejemplo. Sea la función a la cual se desea hallar su derivada, procedamos a aplicar el concepto de derivada, así tenemos.

Ahora calculemos cada uno de los términos involucrados en la definición

Reglas para determinar la derivada de una función.

Sea f(x)= entonces, al tener un incremento x, la función también sufre un cambio, que se puede expresar de la siguiente manera:

Con ello, desarrollando el binomio al cuadrado y el producto, obtenemos:

Reglas para determinar la derivada de una función.

Nuestro siguiente paso, para encontrar la derivada de la función, es: restar a la función obtenida con el incremento, la función original; así tenemos:

Reglas para determinar la derivada de una función.

El siguiente paso, en nuestro cálculo de la derivada, es dividir toda la ecuación obtenida entre ∆𝑥

Operando la división únicamente en el lado derecho de la igualdad, y ordenando los términos, obtenemos.

Reglas para determinar la derivada de una función.

Finalmente tomemos el límite a la razón de cambio

Lo que determina la derivada cuando

Por lo tanto = 2x + 2 representa

la derivada de la función propuesta.

Concepto de derivada.

Como ya se dijo la derivada de una función f(x) representa la razón de cambio instantánea de la misma con respecto al incremento de la variable x, sea este positivo o negativo.

Así mismo, el valor de la derivada representa la pendiente o inclinación de una recta tangente en un punto determinado de la función.

Determinación de la pendiente

Veamos la gráfica de la función de nuestro ejemplo y la recta tangente en x = 1

La pendiente en x = 1, es

m = =

la ordenada, cuando x = 1, es

Determinación de la ecuación de la recta tangente.

Así, el punto de tangencia es: T(1, 6) y la ecuación de la recta tangente, es

Ecuación de la recta tangente

Gráfica de nuestro ejemplo.

Cálculo de la derivada de una función.

Presentación elaborada por:

Mtro. Víctor Manuel Santes Espinosa

Tultitlán, estado de México a 07 de octubre de 2014.

Referencias bibliográficas:

Dennis G. Zill. (1987). Cálculo con Geometría Analítica. Grupo Editorial Iberoamérica. México.

Raymond A. Barnett. (1990). Matemáticas para Administración y Ciencias Sociales. 2da. Edición. Editorial Mc Graw Hill. México.

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