2.6 ecuación de bernoulli · 2019. 7. 5. · 76 capítulo 2. ecuaciones diferenciales de primer...

74 Capítulo 2. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

2.6 Ecuación de BernoulliA una ecuación diferencial de la forma

(2.65)

con n un número real, se le llama ecuación de Bernoulli.Si n — 0 o n — 1, (2.65) es una ecuación diferencial lineal. Además si n = 1, la

ecuación se puede resolver mediante separación de variables. Así que nos concentramosen el caso en que n ^ 0,1.

El método para resolver una ecuación de Bernoulli consiste en transformarla en unaecuación diferencial lineal mediante un cambio de variable, veamos.

Dividiendo ambos lados de (2.65) por yn, resulta

Sea

entonces

por lo cual

Sustituyendo (2.67) y (2.68) en la ecuación diferencial (2.66) obtenemos

DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia Bibliomedia@mail.com

74 Capítulo 2. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

2.6 Ecuación de BernoulliA una ecuación diferencial de la forma

(2.65)

con n un número real, se le llama ecuación de Bernoulli.Si n — 0 o n — 1, (2.65) es una ecuación diferencial lineal. Además si n = 1, la

ecuación se puede resolver mediante separación de variables. Así que nos concentramosen el caso en que n ^ 0,1.

El método para resolver una ecuación de Bernoulli consiste en transformarla en unaecuación diferencial lineal mediante un cambio de variable, veamos.

Dividiendo ambos lados de (2.65) por yn, resulta

Sea

entonces

por lo cual

Sustituyendo (2.67) y (2.68) en la ecuación diferencial (2.66) obtenemos

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74 Capítulo 2. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

2.6 Ecuación de BernoulliA una ecuación diferencial de la forma

(2.65)

con n un número real, se le llama ecuación de Bernoulli.Si n — 0 o n — 1, (2.65) es una ecuación diferencial lineal. Además si n = 1, la

ecuación se puede resolver mediante separación de variables. Así que nos concentramosen el caso en que n ^ 0,1.

El método para resolver una ecuación de Bernoulli consiste en transformarla en unaecuación diferencial lineal mediante un cambio de variable, veamos.

Dividiendo ambos lados de (2.65) por yn, resulta

Sea

entonces

por lo cual

Sustituyendo (2.67) y (2.68) en la ecuación diferencial (2.66) obtenemos

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74 Capítulo 2. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

2.6 Ecuación de BernoulliA una ecuación diferencial de la forma

(2.65)

con n un número real, se le llama ecuación de Bernoulli.Si n — 0 o n — 1, (2.65) es una ecuación diferencial lineal. Además si n = 1, la

ecuación se puede resolver mediante separación de variables. Así que nos concentramosen el caso en que n ^ 0,1.

El método para resolver una ecuación de Bernoulli consiste en transformarla en unaecuación diferencial lineal mediante un cambio de variable, veamos.

Dividiendo ambos lados de (2.65) por yn, resulta

Sea

entonces

por lo cual

Sustituyendo (2.67) y (2.68) en la ecuación diferencial (2.66) obtenemos

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75

(2.69)

(2.70)

(2.71)

2.6. Ecuación de Bernoulli

que es una ecuación diferencial lineal.

EJEMPLO 1. Resolver

Solución. Dividiendo la ecuación (2.69) por y2, resulta

Sea

Sustituyendo en (2.70)

Resolviendo la ecuación diferencial lineal tenemos

y recordando que w

de donde

EJEMPLO 2. Resolver

Solución. Veamos si es una ecuación de Bernoulli.

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(2.69)

(2.70)

(2.71)

2.6. Ecuación de Bernoulli

que es una ecuación diferencial lineal.

EJEMPLO 1. Resolver

Solución. Dividiendo la ecuación (2.69) por y2, resulta

Sea

Sustituyendo en (2.70)

Resolviendo la ecuación diferencial lineal tenemos

y recordando que w

de donde

EJEMPLO 2. Resolver

Solución. Veamos si es una ecuación de Bernoulli.

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75

(2.69)

(2.70)

(2.71)

2.6. Ecuación de Bernoulli

que es una ecuación diferencial lineal.

EJEMPLO 1. Resolver

Solución. Dividiendo la ecuación (2.69) por y2, resulta

Sea

Sustituyendo en (2.70)

Resolviendo la ecuación diferencial lineal tenemos

y recordando que w

de donde

EJEMPLO 2. Resolver

Solución. Veamos si es una ecuación de Bernoulli.

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76 Capítulo 2. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

Así, efectivamente se trata de una ecuación de Bernoulli. Dividiendo por y3, se sigue que

Sea w Entonces

Resolviendo la ecuación diferencial lineal se obtiene

EJEMPLO 3. Resolver

Solución. Nótese que

luego la ecuación (2.72) no es de Bernoulli en la variable y, pero si la escribimos como

tenemos que

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76 Capítulo 2. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

Así, efectivamente se trata de una ecuación de Bernoulli. Dividiendo por y3, se sigue que

Sea w Entonces

Resolviendo la ecuación diferencial lineal se obtiene

EJEMPLO 3. Resolver

Solución. Nótese que

luego la ecuación (2.72) no es de Bernoulli en la variable y, pero si la escribimos como

tenemos que

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76 Capítulo 2. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

Así, efectivamente se trata de una ecuación de Bernoulli. Dividiendo por y3, se sigue que

Sea w Entonces

Resolviendo la ecuación diferencial lineal se obtiene

EJEMPLO 3. Resolver

Solución. Nótese que

luego la ecuación (2.72) no es de Bernoulli en la variable y, pero si la escribimos como

tenemos que

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2.6. Ecuación de Bernoulli 77

la cual es una ecuación diferencial de Bernoulli en x. Dividiendo por x2, resulta

Sea w Sustituyendo en (2.73) resulta

(2.73)

y resolviendo la ecuación diferencial lineal en w obtenemos

Ya que w se tiene

de donde

EJERCICIOS 2.6

Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales de Bernoulli.

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2.6. Ecuación de Bernoulli 77

la cual es una ecuación diferencial de Bernoulli en x. Dividiendo por x2, resulta

Sea w Sustituyendo en (2.73) resulta

(2.73)

y resolviendo la ecuación diferencial lineal en w obtenemos

Ya que w se tiene

de donde

EJERCICIOS 2.6

Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales de Bernoulli.

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2.6. Ecuación de Bernoulli 77

la cual es una ecuación diferencial de Bernoulli en x. Dividiendo por x2, resulta

Sea w Sustituyendo en (2.73) resulta

(2.73)

y resolviendo la ecuación diferencial lineal en w obtenemos

Ya que w se tiene

de donde

EJERCICIOS 2.6

Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales de Bernoulli.

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SOLUCIONES

222

v c6. x = y\ny- - + -

2 y

8. y = — cscx

9. x = -ey + ce

10. y - l -

Ejercicios 2.6, Página 77

1.

2.

y--

X2 +V cy2

x'¿

—

—

X

ex

Q / i

4. y = (x + ex2)"3

5. y = \/3 + ce-3x2

6. x2 = "

7. y =

2 + CÍ/5

1cVT- x2 - 7

8. y = ^ce-8*2 + 2

9. y(l + 21nx + cx2

10. x(2 - y2 + ce'2'2/

= 4

= 1

Ejercicios 2.7, Página 80

1. y2 + 2j/(l - x) - 4x2 + 12x + c = 0

2. (l + e5í ')2(l+ sen2x)5 = c

3. y - v/TTce3A

4. y7 + 7eysenx = c

Respuestas a los problemas

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