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ANALISIS DE SUCESIONES Y PROGRESIONES
TRABAJO COLABORATIVO 1
ANGIE NAYIBE OJEDA BENAVIDES COD.1123329469
VICTOR HUGO DIAZ COD. 1130631110
GEOVANNY BOHORNEZ COD. 14637881
GRUPO 100410_39
TUTORA:
ANGELA PAOLA SUAREZ
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA
INGENIERIA AMBIENTAL
2015
INTRODUCCION
En esta unidad de Análisis de sucesiones y progresiones se define el concepto de sucesiones, definiendo sus diversas formas de expresión, estudiando las propiedades de las progresiones aritméticas y geométricas, así como las diferencias entre las dos.
Se proyecta que lleguemos a ser capaces de aplicar las expresiones de los términos generales o las sumas de términos en el desarrollo de los problemas.
DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD
Fase 1
1. Entre las ciudades A y B hay una distancia que resulta de multiplicar el número de su grupo colaborativo por 20 Km.
20 KM * 39 = 780 Km
Dos ciclistas parten cada uno de una ciudad hacia otra. ¿A los cuantos días se encuentran si el que va de la ciudad A hacia la B recorre 1 km el primer día, 2 km el segundo día, 3 km el tercer día y así sucesivamente, el otro en sentido contrario, es decir de la ciudad B hasta la A, recorre 5 km el primer día, 7 km el segundo día, 9 km el tercer día y así sucesivamente?
¿Cuántos kilómetros recorre cada uno?
Solución:
Cada ciclista es una progresión aritmética
- Ciclista A:
𝑢𝑎 = 1
𝑑 = 𝑎2 − 𝑎1 = 2 − 2 = 1 Esta es la diferencia común ciclista A
𝑢𝑛 = 𝑢𝑎 + (𝑛 − 𝑎) ∗ 𝑑 Termino general
De acuerdo al término general de las progresiones aritméticas, n correspondería al
número de días que tardarían en encontrarse los ciclistas.
𝑢𝑛Seria los kilometros que recorre el ciclista.
Remplazamos
𝑢𝑛 = 1 + (𝑛 − 1) ∗ 1
𝑢𝑛 = 𝑛 Ecuación 1
- Ciclista B:
𝑢𝑎 = 5
𝑑 = 𝑎2 − 𝑎1 = 7 − 5 = 2 Diferencia común ciclista B
Reemplazamos
𝑢𝑛 = 5 + (𝑛 − 1) ∗ 2
𝑢𝑛 = 5 + 2𝑛 − 2
𝑢𝑛 = 2𝑛 + 3Ecuacion 2
Desde la ciudad A a la B existe 780km y viceversa
A---------------C------780km-------------------B
B-------------C---------780km-------------------B
El ciclista A recorrerá una distancia x hasta que se encontrara con el ciclista B en un
punto C, la distancia entre A y C será x en n días.𝑥 = 𝑛𝐴
El ciclista B se encontrara con el ciclista A en un punto C y recorrerá la distancia de
780km – x.
Donde 780 − 𝑥 = 𝑛𝐵
Por lo tanto:
De acuerdo a la ecuación 1 y 2
𝑥 = 𝑛Ecuacion 3
780 − 𝑥 = 2𝑛 + 3Ecuacion 4
Sustituimos el valor de x en la ecuación 3 y 4
780 − 𝑛 = 2𝑛 + 3
Simplificamos
3𝑛 = 780 − 3
3𝑛 = 777
𝑛 =777
3
𝑛 = 259Dias que tardaran en encontrarse.
El ciclista A recorrerá 𝑥 = 𝑛= 𝑥 = 259𝑘𝑚
El ciclista B recorrerá 780 − 𝑥 = 780 − 259 = 521𝑘𝑚
2. Halle el termino número 15, 𝑎15, y la suma de esos 15 términos, 𝑠15, de la progresión geométrica, cuya razón es 2, donde:
𝑎1 = 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑢 𝑔𝑟𝑢𝑝𝑜 𝑐𝑜𝑙𝑎𝑏𝑜𝑟𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜
𝑎1 = 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 = 39
𝑟 = 𝑟𝑎𝑧ó𝑛 𝑐𝑜𝑚ú𝑛 = 39
Solución:
Datos: 𝑎1=39 𝑟 = 2 𝑠15=? 𝑎15 =?
Hallar el término 𝑎15:
Usamos la ecuación: 𝑎𝑛 = 𝑎1 ∗ 𝑟𝑛−1
𝑎15 = 39 ∗ 215−1
𝑎15 = 39 ∗ 214
𝑎15 = 39 ∗ 16384
𝒂𝟏𝟓 = 𝟔𝟑𝟖𝟗𝟕𝟔
Hallamos 𝑠15:𝑈𝑠𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 ∶ 𝑆𝑛 =𝑎1(𝑟𝑛−1)
𝑟−1
𝑆15 =39(215 − 1)
2 − 1
𝑆15 =39(32768 − 1)
1
𝑆15 =39 ∗ 32767
1
𝑺𝟏𝟓 = 𝟏𝟐𝟕𝟕𝟗𝟏𝟑
3. Halle el primer término de una progresión aritmética en donde la diferencia común de -6 y el décimo término
𝑎1 = 39
𝑑 = −6
𝑎10 = 39 ∗ 15 = 585
Solución:
𝑢𝑛 = 𝑢𝑎 + (𝑛 − 𝑎) ∗ 𝑑 Término general
Remplazamos en la ecuación y operamos
585 = 𝑎1 + (10 − 1) ∗ (−6)
585 = 𝑎1 − 54
𝑎1 = 585 + 54
𝑎1 = 639
4. El primer término de una progresión aritmética, cuya diferencia común es 1, es el número de su grupo colaborativo y el último es 2.154. Halle la suma de todos los números de la progresión e indique cuántos términos hay en ella (n).
Solución:
d= 1
𝑎1 = 39
𝑈𝑛 = 2154
2154 = 39 + (𝑛 − 1) ∗ 1
2154 − 39 = 𝑛 − 1
2154 − 39 = 𝑛 − 1
𝑛 = 2116 Términos en la progresión
Hallamos la suma de todos los números
𝑠 =𝑛(𝑈𝑎 + 𝑈𝑛)
2
𝑠 =2116(39 + 2154)
2
𝑠 =2116(2193)
2= 𝑠 =
4640388
2
𝑠 = 2320194
5. Se excavó un pozo para extraer agua subterránea. ¿Qué profundidad tiene el
pozo si por el primer metro excavado se pagó $ 15.000.000 y por cada metro adicional se canceló el 20% más que el inmediatamente anterior, sabiendo que en total se pagaron $193.738.560? La razón de esta progresión geométrica es r=1,2 Solución: Tenemos los siguientes datos
𝑆𝑛 = 193.738.560
𝑈1 = 15.000.000 𝑟 = 1.2
A partir de la ecuación de sumatoria, despejamos n.
𝑆𝑛 =𝑈1(𝑞𝑛 − 1)
𝑞 − 1
𝑈1 ∗ 𝑞𝑛 − 𝑈1 = 𝑆𝑛(𝑞 − 1) → 𝑈1 ∗ 𝑞𝑛 = 𝑈1 + 𝑆𝑛(𝑞 − 1)
𝑈1 ∗ 𝑞𝑛 = 𝑈1 + 𝑆𝑛(𝑞 − 1) → 𝑞𝑛 =𝑈1 + 𝑆𝑛(𝑞 − 1)
𝑈1
𝑞𝑛 =(15.000.000 + 193.738.560(1.2 − 1))
15.000.000
𝑞𝑛 =53.747.712
15.000.000= 3.5831808
𝑞𝑛 = 3.5831808 → 𝑙𝑜𝑔𝑞(𝑞𝑛) = 𝑙𝑜𝑔𝑞(3.5831808)
𝑛 = 𝑙𝑜𝑔𝑞(3.5831808)
𝑛 =𝐿𝑛(3.5831808)
𝐿𝑛(1.2)
𝑛 = 7 Rta/ El pozo tiene una profundidad de 7 metros FÓRMULAS A UTILIZAR PROGRESIONES ARITMÉTICAS
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1) ∗ 𝑑 𝑎𝑛 = 𝑒𝑛é𝑠𝑖𝑚𝑜 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜
𝑛 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑑 = 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑐𝑜𝑚ú𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑔𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚é𝑡𝑖𝑐𝑎 (𝑃𝐴)
𝑆𝑛 =𝑎1 + 𝑎𝑛
2∗ 𝑛
𝑆𝑛 = 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑛 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑃𝐴 𝑎𝑛 = 𝑒𝑛é𝑠𝑖𝑚𝑜 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑎1 = 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜
𝑛 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS
𝑎𝑛 = 𝑎1 ∗ 𝑟𝑛−1
𝑎1 = 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑛 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠
𝑟 = 𝑟𝑎𝑧ó𝑛 𝑐𝑜𝑚ú𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑃𝐺
𝑆𝑛 =𝑎1(𝑟𝑛 − 1)
𝑟 − 1
𝑆𝑛 = 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑛 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑃𝐺
𝑎1 = 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑛 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑟 = 𝑟𝑎𝑧ó𝑛 𝑐𝑜𝑚ú𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑃𝐺
CONCLUSIONES
Para realizar los ejercicios anteriores tuvimos que hacer un recorrido por el módulo de la unidad 1 análisis de sucesiones y progresiones y reforzar los conocimientos ya adquiridos en el transcurso de esta unidad.
Podemos destacar la importancia del conocimiento de ANALISIS DE SUCESIONES Y
PROGRESIONES ya que entendiendo bien estos temas podremos resolver situaciones
futuras en nuestro día a día.
REFERENCIAS
Cepeda, W. (E.d.) (2010). Calculo diferencial. Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD
Los 10 casos de factorización. (n.d.) Recuperado de https://www.youtube.com/watch?v=VX4eFFcLvCE
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