ANALISIS DE SUCESIONES Y PROGRESIONES

TRABAJO COLABORATIVO 1

ANGIE NAYIBE OJEDA BENAVIDES COD.1123329469

VICTOR HUGO DIAZ COD. 1130631110

GEOVANNY BOHORNEZ COD. 14637881

GRUPO 100410_39

TUTORA:

ANGELA PAOLA SUAREZ

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA

INGENIERIA AMBIENTAL

2015

INTRODUCCION

En esta unidad de Análisis de sucesiones y progresiones se define el concepto de sucesiones, definiendo sus diversas formas de expresión, estudiando las propiedades de las progresiones aritméticas y geométricas, así como las diferencias entre las dos.

Se proyecta que lleguemos a ser capaces de aplicar las expresiones de los términos generales o las sumas de términos en el desarrollo de los problemas.

DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD

Fase 1

1. Entre las ciudades A y B hay una distancia que resulta de multiplicar el número de su grupo colaborativo por 20 Km.

20 KM * 39 = 780 Km

Dos ciclistas parten cada uno de una ciudad hacia otra. ¿A los cuantos días se encuentran si el que va de la ciudad A hacia la B recorre 1 km el primer día, 2 km el segundo día, 3 km el tercer día y así sucesivamente, el otro en sentido contrario, es decir de la ciudad B hasta la A, recorre 5 km el primer día, 7 km el segundo día, 9 km el tercer día y así sucesivamente?

¿Cuántos kilómetros recorre cada uno?

Solución:

Cada ciclista es una progresión aritmética

- Ciclista A:

𝑢𝑎 = 1

𝑑 = 𝑎2 − 𝑎1 = 2 − 2 = 1 Esta es la diferencia común ciclista A

𝑢𝑛 = 𝑢𝑎 + (𝑛 − 𝑎) ∗ 𝑑 Termino general

De acuerdo al término general de las progresiones aritméticas, n correspondería al

número de días que tardarían en encontrarse los ciclistas.

𝑢𝑛Seria los kilometros que recorre el ciclista.

Remplazamos

𝑢𝑛 = 1 + (𝑛 − 1) ∗ 1

𝑢𝑛 = 𝑛 Ecuación 1

- Ciclista B:

𝑢𝑎 = 5

𝑑 = 𝑎2 − 𝑎1 = 7 − 5 = 2 Diferencia común ciclista B

Reemplazamos

𝑢𝑛 = 5 + (𝑛 − 1) ∗ 2

𝑢𝑛 = 5 + 2𝑛 − 2

𝑢𝑛 = 2𝑛 + 3Ecuacion 2

Desde la ciudad A a la B existe 780km y viceversa

A---------------C------780km-------------------B

B-------------C---------780km-------------------B

El ciclista A recorrerá una distancia x hasta que se encontrara con el ciclista B en un

punto C, la distancia entre A y C será x en n días.𝑥 = 𝑛𝐴

El ciclista B se encontrara con el ciclista A en un punto C y recorrerá la distancia de

780km – x.

Donde 780 − 𝑥 = 𝑛𝐵

Por lo tanto:

De acuerdo a la ecuación 1 y 2

𝑥 = 𝑛Ecuacion 3

780 − 𝑥 = 2𝑛 + 3Ecuacion 4

Sustituimos el valor de x en la ecuación 3 y 4

780 − 𝑛 = 2𝑛 + 3

Simplificamos

3𝑛 = 780 − 3

3𝑛 = 777

𝑛 =777

3

𝑛 = 259Dias que tardaran en encontrarse.

El ciclista A recorrerá 𝑥 = 𝑛= 𝑥 = 259𝑘𝑚

El ciclista B recorrerá 780 − 𝑥 = 780 − 259 = 521𝑘𝑚

2. Halle el termino número 15, 𝑎15, y la suma de esos 15 términos, 𝑠15, de la progresión geométrica, cuya razón es 2, donde:

𝑎1 = 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑢 𝑔𝑟𝑢𝑝𝑜 𝑐𝑜𝑙𝑎𝑏𝑜𝑟𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜

𝑎1 = 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 = 39

𝑟 = 𝑟𝑎𝑧ó𝑛 𝑐𝑜𝑚ú𝑛 = 39

Solución:

Datos: 𝑎1=39 𝑟 = 2 𝑠15=? 𝑎15 =?

Hallar el término 𝑎15:

Usamos la ecuación: 𝑎𝑛 = 𝑎1 ∗ 𝑟𝑛−1

𝑎15 = 39 ∗ 215−1

𝑎15 = 39 ∗ 214

𝑎15 = 39 ∗ 16384

𝒂𝟏𝟓 = 𝟔𝟑𝟖𝟗𝟕𝟔

Hallamos 𝑠15:𝑈𝑠𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 ∶ 𝑆𝑛 =𝑎1(𝑟𝑛−1)

𝑟−1

𝑆15 =39(215 − 1)

2 − 1

𝑆15 =39(32768 − 1)

1

𝑆15 =39 ∗ 32767

1

𝑺𝟏𝟓 = 𝟏𝟐𝟕𝟕𝟗𝟏𝟑

3. Halle el primer término de una progresión aritmética en donde la diferencia común de -6 y el décimo término

𝑎1 = 39

𝑑 = −6

𝑎10 = 39 ∗ 15 = 585

Solución:

𝑢𝑛 = 𝑢𝑎 + (𝑛 − 𝑎) ∗ 𝑑 Término general

Remplazamos en la ecuación y operamos

585 = 𝑎1 + (10 − 1) ∗ (−6)

585 = 𝑎1 − 54

𝑎1 = 585 + 54

𝑎1 = 639

4. El primer término de una progresión aritmética, cuya diferencia común es 1, es el número de su grupo colaborativo y el último es 2.154. Halle la suma de todos los números de la progresión e indique cuántos términos hay en ella (n).

Solución:

d= 1

𝑎1 = 39

𝑈𝑛 = 2154

2154 = 39 + (𝑛 − 1) ∗ 1

2154 − 39 = 𝑛 − 1

2154 − 39 = 𝑛 − 1

𝑛 = 2116 Términos en la progresión

Hallamos la suma de todos los números

𝑠 =𝑛(𝑈𝑎 + 𝑈𝑛)

2

𝑠 =2116(39 + 2154)

2

𝑠 =2116(2193)

2= 𝑠 =

4640388

2

𝑠 = 2320194

5. Se excavó un pozo para extraer agua subterránea. ¿Qué profundidad tiene el

pozo si por el primer metro excavado se pagó $ 15.000.000 y por cada metro adicional se canceló el 20% más que el inmediatamente anterior, sabiendo que en total se pagaron $193.738.560? La razón de esta progresión geométrica es r=1,2 Solución: Tenemos los siguientes datos

𝑆𝑛 = 193.738.560

𝑈1 = 15.000.000 𝑟 = 1.2

A partir de la ecuación de sumatoria, despejamos n.

𝑆𝑛 =𝑈1(𝑞𝑛 − 1)

𝑞 − 1

𝑈1 ∗ 𝑞𝑛 − 𝑈1 = 𝑆𝑛(𝑞 − 1) → 𝑈1 ∗ 𝑞𝑛 = 𝑈1 + 𝑆𝑛(𝑞 − 1)

𝑈1 ∗ 𝑞𝑛 = 𝑈1 + 𝑆𝑛(𝑞 − 1) → 𝑞𝑛 =𝑈1 + 𝑆𝑛(𝑞 − 1)

𝑈1

𝑞𝑛 =(15.000.000 + 193.738.560(1.2 − 1))

15.000.000

𝑞𝑛 =53.747.712

15.000.000= 3.5831808

𝑞𝑛 = 3.5831808 → 𝑙𝑜𝑔𝑞(𝑞𝑛) = 𝑙𝑜𝑔𝑞(3.5831808)

𝑛 = 𝑙𝑜𝑔𝑞(3.5831808)

𝑛 =𝐿𝑛(3.5831808)

𝐿𝑛(1.2)

𝑛 = 7 Rta/ El pozo tiene una profundidad de 7 metros FÓRMULAS A UTILIZAR PROGRESIONES ARITMÉTICAS

𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1) ∗ 𝑑 𝑎𝑛 = 𝑒𝑛é𝑠𝑖𝑚𝑜 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜

𝑛 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑑 = 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑐𝑜𝑚ú𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑔𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚é𝑡𝑖𝑐𝑎 (𝑃𝐴)

𝑆𝑛 =𝑎1 + 𝑎𝑛

2∗ 𝑛

𝑆𝑛 = 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑛 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑃𝐴 𝑎𝑛 = 𝑒𝑛é𝑠𝑖𝑚𝑜 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑎1 = 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜

𝑛 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS

𝑎𝑛 = 𝑎1 ∗ 𝑟𝑛−1

𝑎1 = 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑛 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠

𝑟 = 𝑟𝑎𝑧ó𝑛 𝑐𝑜𝑚ú𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑃𝐺

𝑆𝑛 =𝑎1(𝑟𝑛 − 1)

𝑟 − 1

𝑆𝑛 = 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑛 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑃𝐺

𝑎1 = 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑛 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑟 = 𝑟𝑎𝑧ó𝑛 𝑐𝑜𝑚ú𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑃𝐺

CONCLUSIONES

Para realizar los ejercicios anteriores tuvimos que hacer un recorrido por el módulo de la unidad 1 análisis de sucesiones y progresiones y reforzar los conocimientos ya adquiridos en el transcurso de esta unidad.

Podemos destacar la importancia del conocimiento de ANALISIS DE SUCESIONES Y

PROGRESIONES ya que entendiendo bien estos temas podremos resolver situaciones

futuras en nuestro día a día.

REFERENCIAS

Cepeda, W. (E.d.) (2010). Calculo diferencial. Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD

Los 10 casos de factorización. (n.d.) Recuperado de https://www.youtube.com/watch?v=VX4eFFcLvCE