1 estado de deformaciÓn en punto de un medio continuo
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1
ESTADO DE DEFORMACIÓN EN PUNTO DE UN MEDIO
CONTINUO
2
HIPÓTESIS
• Cuerpo continuo• Material isótropo y homogéneo• Deformaciones infinitamente pequeñas• Linealidad cinemática
3
HIPOTESIS• Cuerpos rígidos• Estudio atemporal (se prescinde de la
variable tiempo)• Desplazamientos infinitamente pequeños
respecto de las dimensiones del cuerpo
CINEMATICA DEL CUERPO RIGIDO
4
ApuntodelentodesplazamiVectoraA :
5
Movimientos simples del cuerpo rígido
TraslaciónRotación en torno a
un eje
baaa CBA
TraslaciónVector :bRotaciónVector :
6
Desplazamiento de un punto en una rotación
1
Rotaciones pequeñas
tgsen
,,,, AAAAarcAA
,, AAadir A ,,AAaa
Adoptamos
EAaA
, OA AAarcsenEAEA
,, AAdirEAEAdir
9
Desplazamiento relativo
BABABA aaaaa , ABABAB aaaaa ,
0 ,, ABBABA aaaaSi
10
Desplazamiento relativo en un movimiento rígido
Desplazamiento relativo debido a una traslación
0 ,, ABBABA aabaa
Desplazamiento relativo debido a una rotación rígida
EAaA EBaB
EAEBEAEBa AB ,
ABa AB ,
EBEAEBEAa BA ,
BAa BA ,
El desplazamiento relativo debido a una rotación rígida es igual al desplazamiento del punto si se aplica una rotación cuyo eje pasa por el punto considerado fijo
11
12
Si se fija el origen de coordenadas en el punto considerado fijo (A)
El vector posición de un punto B será kzjyixB BBB
B
B
B
xy
xz
yz
Bz
By
Bx
z
y
x
a
a
a
0
0
0
Y el desplazamiento del punto B respecto del A debido a una rotación rígida
BDaB
Matriz antisimétrica D
13
Desplazamiento relativo en el entorno de un punto en un continuo
kajaiaa AzAyAxA
AAAAAx zyxuua ;;
zyxuu ;; zyxvv ;; zyxww ;;
AAAAAy zyxvva ;;
AAAAAz zyxwwa ;;
dzz
udy
y
udx
x
uduuuaa ABBxAxB
,
dzz
vdy
y
vdx
x
vdvvvaa ABByAyB
,
dzz
wdy
y
wdx
x
wdwwwaa ABBzAzB
,
derivablesy continuas Funciones ,, wvu
14
Desplazamiento Relativo Específico
r
r
r
r
r
Ar d
adalím
0*
x
y
z
ra
r
dr
r
radr
rdy
rdz
B
rdx
knjninr rzryrx
rr
rx dr
dxn cos
rr
ry dr
dyn cos
rr
rz dr
dzn cos
16
rzryrxArx n
z
un
y
un
x
u
z
v
y
wx 2
1
rzryrxAry n
z
vn
y
vn
x
v
rzryrxArz n
z
wn
y
wn
x
w
Ar*
z
w
y
w
x
wz
v
y
v
x
vz
u
y
u
x
u
r
Ar*
02
1
2
1
2
10
2
1
2
1
2
10
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
z
v
y
w
x
w
z
u
z
v
y
w
y
u
x
v
x
w
z
u
y
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y
w
z
v
y
v
y
u
x
v
x
w
z
u
x
v
y
u
x
u
r
Matriz de rotación rígida
x
w
z
uy 2
1
y
u
x
vz 2
1
B
B
B
xy
xz
yz
Bz
By
Bx
z
y
x
a
a
a
0
0
0
17
Vector deformación específica
ArArAS
Ar rTrT
*
rz
ry
rx
rz
ry
rx
SArz
Ary
Arx
n
n
n
z
w
y
w
z
v
x
w
z
u
y
w
z
v
y
v
x
v
y
u
x
w
z
u
x
v
y
u
x
u
n
n
n
T
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
xzrzxyryxxrx x
w
z
u
x
v
y
u
x
u
2
1;
2
1;0;0;1 xzxyxx nnnxr
x
w
z
u
x
v
y
u
x
ucolumna xzxyxx 2
1;
2
1;:ª1
yzrzyyryyxrx y
w
z
v
y
v
x
v
y
u
2
1;;
2
10;1;0 yzyyyx nnnyr
y
w
z
v
y
v
x
v
y
ucolumna yzyyyx 2
1;;
2
1:ª2
z
w
y
w
z
v
x
w
z
ucolumna zzzyzx
;2
1;
2
1:ª3
Desplazamientos debidos a rotación rígida del entorno del punto
18
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
TENSOR DE DEFORMACIONES
• Caracteriza al Estado de Deformación (permite conocer el vector deformación asociado a cada dirección pasante por el punto)
• Al cambiar los ejes coordenados (ejes con que se caracteriza al estado de deformación), varía el tensor de deformaciones
• Un versor correpondiente a una dirección determinada tendrá componentes distintos
Si se cambian los ejes de referencia
• El vector deformación asociado a esa dirección, tendrá componentes distintos, pues es el mismo vector físico, representado en otra terna
Como el tensor es simétrico
(deformación pura)
zyyz yxxy xzzx
19
Deformación longitudinal y transversal
rTDr
x
knjninr rzryrx
y
z
r
1
r
rrr
t
rrrrr
22
rrrrt
rr rrt
cosrrr
en srrt
r dir. laen allongitudinn deformació:rr
r dir. laen saln transverdeformació:rt
r dir. laen longitud de variaciónla a asociado está rr
r dir. la deangular variaciónla a asociado está rt
20
Deformación transversal y distorsión
Distorsión: Variación del ángulo inicialmente recto entre dos direcciones
21
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
zyzxz
yzy
xy
xzxyx
22
22
22
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