1. elasticidad

FÍSICA III

FIS

ICA

III

1

Por: Daniel Alejandro Lino López

TEMA 1: ELASTICIDAD

ELA

ST

ICID

AD

2

• 1.1. Estados de la materia. • 1.2. Sólidos. • 1.2.1. Sólido cristalino. • 1.2.2. Sólido amorfo. • 1.3. Elasticidad. • 1.3.1. Ley de Hooke. • 1.3.2. Esfuerzo y deformación. • 1.3.3. Concepto de módulo. • 1.3.4. Módulo de Young.

Estados de la materiaSolidos

• Volumen y forma constante.

• Tienen la mayor fuerza de cohesión entre sus partículas

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Líquidos

• Volumen constante.• Forma variable.• Menor fuerza de

cohesión que los sólidos.

Gases.

• Volumen y forma variables.

• Fuerza de cohesión casi nula

Tipos de materiales

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Naturales

Materiales que se encuentran en la naturaleza.

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ArtificialesMateriales elaborados por los seres humanos.

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Solidos amorfos

Formas y caras indefinidas.Estructura desordenada.

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Ejemplos de materiales amorfos• el cuero• el caucho• fibras textiles• celulosa y sus derivados• el vidrio• pinturas y barnices• resinas sintéticas

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Sólidos cristalinos• Su estructura forma redes definidas.

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Tipos de cristalesTipo de cristal Características Propiedades Ejemplos

Iónicos Formados por aniones y cationes.

Duros y frágilesAlto punto de fusión.Buenos conductores de calor y electricidad

Sales Silicatos

Covalente Fuerza de cohesión debida a enlaces covalentes.

Duros e incomprensiblesMalos conductores de calor y electricidad

GrafitoDiamanteCuarzo

Moleculares Fuerza de cohesión debida a puentes H y fuerzas de Van der Waals

BlandosMalos conductores de electricidad y calor

Hielo (Agua)I2

Métalicos Electrones deslocalizados.Masa constituida por atomos metalicos

DurosBuenos conductores de calor y electricidad

LiCaNa

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Propiedades de los materiales

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Dureza

La resistencia que tiene un material a alteraciones . Se dividen en materiales blandos y duros.

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Fragilidad

Se refiere a que tan fácil es de corromper la estructura de un material.

Se clasifican en frágil o tenaz.

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Maleabilidad

Es la facilidad, flexibilidad con la que se puede manipular un material.

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Prueba de dureza Rockwell

Uso de la prueba Rockwell• Control de calidad de procesos • Investigaciones (desarrollo de nuevos materiales)

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Deformación (axial)• Cambio en las dimensiones (su volumen no cambia) de un

sólido debidos a fuerzas externas.

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Deformación elástica

El cuerpo tiende a regresar a su forma original después de que se deja de aplicar la fuerza externa.

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Deformación plástica

El cuerpo no vuelve a su estado original.

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EsfuerzoEs la relación que hay entre la fuerza y el área donde es aplicada.

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𝑬𝑪𝑼𝑨𝑪𝑰 Ó𝑵𝟏 :𝝈 (𝑷𝒂)=𝑭 (𝑵 )𝑨(𝒎𝟐)

Deformación unitaria

Razón de cambio en alguna de las dimensiones del cuerpo con respecto a su dimensión original.

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𝑬𝑪𝑼𝑨𝑪𝑰 Ó𝑵𝟐 :𝜺=𝚫𝑳𝑳𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍

Gráfica Esfuerzo-Deformación unitaria

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Módulo de Young

Es la relación que hay entre el esfuerzo aplicado y la deformación unitaria.

Nota: Solo es aplicable en la zona elástica

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𝑬𝑪𝑼𝑨𝑪𝑰 Ó𝑵𝟑 :𝚼 (𝑷𝒂)=𝝈𝜺

PROBLEMA 1Un alambre de metal de 75.0 cm de longitud y 0.130 cm de diámetro se alarga 0.0350 cm cuando se le cuelga una carga de 8.00 kg en uno de sus extremos. Encuentre el esfuerzo, la deformación unitaria y el módulo de Young para el material del alambre.

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FASE 1: DATOSSe deducen los datos del problema así como las variables. Se hacen las conversiones necesarias en las unidades.

VARIABLES:

Fase dos: Análisis de problemaSe analiza que es lo que se pide en el problema y como se puede llegar a obtenerlo al compararlo con las formulas. Se deduce que otros cálculos son necesarios.

falta calcular fuerza y área. F(Peso)= m(g) ; 25

VARIABLES:

Fase 3: Sustituciones y simplificaciones

Fase 4: Cálculos

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𝜀=0.00035𝑚.75𝑚

𝛶 (𝑃𝑎)=𝜎𝜀

Problema 2

Si el límite elástico del acero es de 248 Mpa y el módulo de Young es de 207000 Mpa.a) ¿Cual es la carga máxima que se puede colgar de un alambre

de una grúa de acero de 6 mm de diámetro y 2 m de longitud, sin exceder su limite elástico?

b) Determine el incremento en la longitud bajo el efecto de esta carga.

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Solución inciso a)

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Fase 1: Datos

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Fase 2:Análisis del problema Lo que se pide es la masa de la carga. La cual se

obtendrá de la ecuación del peso

Fase 3: SustitucionesSe sustituye mg en la ecuación de esfuerzo y se despejará m. También hay que calcular el área.

Fase 4: Cálculos

m=?

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𝑚=714.57𝐾𝑔

Inciso b)

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Si el límite elástico del acero es de 248 Mpa y el módulo de Young es de 207000 Mpa.

b) Determine el incremento en la longitud bajo el efecto de esta carga

Fase 1: Datos𝜎=248𝑀𝑝𝑎 ( 1𝑥10

6𝑃𝑎1𝑀𝑃𝑎 )=?

𝐿𝑜=2𝑚

𝛾=207000𝑀𝑝𝑎( 1 𝑥106 𝑃𝑎

1𝑀𝑃𝑎 )=?

Fase 2: Análisis

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Sabiendo el módulo de Young y el esfuerzo al que se somete la carga solo queda calcular la elongación.

También se conoce la Lo por lo que se puede sustituir la elongación y despejar ΔL.

Se sustituye la dentro de la ecuación del módulo.

Se simplifica la ecuación.

Se despeja para que se pueda calcular

Fase 3: Sustitución

Fase 4: Cálculos

Se sustituyen los valores de las variables conocidas (constantes)

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∆ 𝐿=2 .48 𝑥108 𝑃𝑎∗2𝑚

2.07𝑥 1011𝑃𝑎

Problema 3(Resolver en clase)

Un alambre cuya sección transversal es de 4 mm2 se alarga 0.1 mm cuando está sometido a un peso determinado. En que medida se alargará un trozo de alambre del mismo material y longitud si su área de sección transversal es de 8 mm2 y se le somete al mismo peso?

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Problema 4Una viga maestra de acero de 16 ft con área de sección transversal de 10 in2 sostiene una carga de compresión de 20 toneladas. ¿Cuál es la disminución resultante en la longitud de la viga?

Módulo de Young del acero = 13x106 lb/in2

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Problema 5

Dos alambres. A y B, son del mismo material y están sometidos a las mismas cargas. Comente cuáles serán sus alargamientos relativos cuando: (a) El alambre A tiene el doble de longitud y de diámetro que el

alambre B.(b) El alambre A tiene el doble de longitud que el alambre B y su

diámetro es igual a la mitad del diámetro del alambre B.

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Esfuerzo cortanteOcurre cuando dos fuerzas actúan en un cuerpo con una diferente dirección y línea de acción.

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Deformación (cortante)Es el ángulo φ (radianes) en el que se flexiona el cuerpo, provocado por el esfuerzo cortante.

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𝑬𝑪𝑼𝑨𝑪𝑰 Ó𝑵 𝟒:𝝓 (𝒓𝒂𝒅)=tan−𝟏𝒉𝒍

Módulo de corte

Es la razón de cambio entre el esfuerzo cortante y la deformación cortante.

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𝑬𝑪𝑼𝑨𝑪𝑰 Ó𝑵𝟓 :𝑺(𝑷𝒂)=𝝈𝑪

𝝓

Problema 6

Un tornillo de acero tiene una sección transversal de 1.8 X 10-4 m2 y sobresale 3.8 cm de la pared. Si el extremo del perno está sometido a una fuerza cortante de 35 kN, ¿Cuál será la flexión hacia abajo del perno?

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Datos𝐴=1.8 𝑥10−4𝑚2𝑙=3.8𝑐𝑚( 1𝑚

100𝑐𝑚 )=3.8𝑥 10−2𝑚𝐹=35𝑘𝑁 ( 1000𝑁1𝑘𝑁 )=3.5𝑥 104𝑁

𝑆=𝜎𝐶

𝜙𝜎𝐶=𝐹

𝐴𝜙=tan−1 𝑑

𝑙

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Se despeja la deformación

A ambos lados se les pone como tangente

A ambos lados se les pone como tangente

Se sustituye tan(ϕ)

Se despeja la distancia desplazada

Resultado

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Resortes

Material de forma espiral (generalmente hecho de metal), diseñado para almacenar energía potencial elástica.

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Ley de Hooke

Un “cuerpo” al ser sometido a una fuerza externa genera una fuerza de misma magnitud, en dirección contraria. Esta fuerza depende de la distancia desplazada (deformada) y la capacidad del resorte para almacenar energía.

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𝑬𝑪𝑼𝑨𝑪𝑰 Ó𝑵𝟔 : 𝑭 ( 𝑵 )=−𝒌(𝑵𝒎 )𝒙 (𝒎)

Constante de elasticidad k

Representa la razón de cambio que hay entre la fuerza aplicada y el distancia desplazada.

Sus unidades son .

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Ejemplos

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Problema 7

Se tiene un resorte con una constante de elasticidad k de 45 N/m. ¿Cuánta fuerza se le tendrá que aplicar para que pueda comprimirse 5 cm?

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En resumen• La ley de Hooke calcula la fuerza de reacción.• La fuerza de reacción siempre ira en dirección contraria al

desplazamiento.• La fuerza de reacción siempre ira en dirección contraria

(diferente signo) a la fuerza aplicada.• La fuerza aplicada es la fuerza externa a la que es sometido un

objeto.• La fuerza de reacción es la fuerza que genera un cuerpo al

estar sometido a una fuerza aplicada.• El signo tanto en la fuerza como en el desplazamiento significa

la dirección del objeto respecto a su origen (cuando esta en equilibrio). 49

MAS (Movimiento Armónico Simple)

Es un movimiento oscilatorio sin “fricción”

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Características de un MAS

AmplitudPeríodoFrecuenciaLongitud de onda

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Problema 8

Un resorte colgado se le tira hacia abajo 8 cm y luego se le suelta, por lo que oscila en forma de un MAS. Un estudiante determina que el tiempo transcurrido para 50 vibraciones completas es de 74.1 s.

• ¿Cuáles son el periodo y la frecuencia del movimiento?• Si la constante de elasticidad es de 40N/cm ¿Cuánta fuerza se

necesitó para estirarlo?

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Aplicación de la 2da ley de NewtonLa segunda ley de newton nos dice que la fuerza en un objeto produce una aceleración, esta aceleración será inversamente proporcional a la masa del objeto.

Al aplicar la 2da ley de newton a la ley de Hooke queda de la forma:

De esta ecuación se deduce que la aceleración debida a la ley de Hooke siempre será en dirección opuesta al desplazamiento.

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Energía potencial elástica

Es la energía que almacena un resorte al ser comprimido, flexionado o alargado.

Su unidad como el de toda energía es el Joule. (J)La energía es una unidad escalar.

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𝑬𝑪𝑼𝑨𝑪𝑰 Ó𝑵𝟕 :𝑼 𝑬 ( 𝑱 )=𝟏𝟐𝒌(𝑵

𝒎)𝒙 (𝒎)

𝟐

Energía de fricción, energía cinética.

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Problema 9

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Un resorte tiene atada una masa de 0.4 kg que oscila con MAS a lo largo de una superficie sin fricción, como en la figura 14.5. La constante del resorte es de 20 N/m y la amplitud de 5 cm.

a) ¿Cuál es la velocidad máxima de la masa?

b) ¿Cuál es la velocidad cuando la masa se halla a una distancia de +3 cm a la derecha de la posición de equilibrio?