06 algebra booleana

ALGEBRA DE BOOLE

“El álgebra booleana, como cualquier otro sistema matemático deductivo, puede definirse con un conjunto de elementos, un conjunto de operadores y un número de axiomas no probados o postulados. En 1854 George Boole presentó un tratamiento sistemático de la lógica, y desarrolló para este propósito un sistema algebraico que ahora se conoce como álgebra booleana. En 1938 C. E. Shannon introdujo un álgebra booleana de dos valores denominada álgebra de interruptores, en la cual demostró que las propiedades de los circuitos eléctricos y estables con interruptores, pueden representarse con esta álgebra. Para la definición formal del álgebra booleana, se emplean los postulados formulados por E. V. Hungtington en 1904. Estos postulados o axiomas no son únicos para definir el álgebra booleana. Se han usado otros conjuntos de postulados.” [6]El álgebra booleana es una estructura algebraica definida en un conjunto de elementos B junto con dos operadores binarios + y �siempre y cuando se cumpla con 6 postulados de Huntington

Postulados de Huntington

1 a) B es un conjunto cerrado respecto al operador +b) B es un conjunto cerrado respecto al operador �

Un conjunto B esta cerrado respecto a un operador binario si, paracada par de elementos de B, el operador binario especifica una reglapara obtener un número único de B. Por lo tanto:

x, y � B 1(a) x + y � B 1(b) x � y � B

Postulados de Huntington

2a) Existe un elemento identidad en el conjunto B para el operador +b) Existe un elemento identidad en el conjunto B para el operador �

Un conjunto B tiene un elemento identidad respecto a una operaciónbinaria * en B si existe un elemento Z � B con la propiedad: Z * x = x *Z = x para cualquier x � B. Por lo tanto en el álgebra boolena loselementos identidad son: 0 para la operación + y 1 para la operación �

x, Z � B 2(a) x + Z = Z + x = x 2(b) x � Z = Z � x = x

Postulados de Huntington

3a) B es un conjunto conmutativo respecto al operador +b) B es un conjunto conmutativo respecto al operador �

Un operador binario * en un conjunto B se dice que es conmutativosiempre que: x * y = y * x para x, y � B. Por lo tanto:

x, y � B 3(a) x + y = y + x 3(b) x � y = y � x

Postulados de Huntington

4 a) � es distributivo sobre +b) + es distributivo sobre a �

Si * y � son dos operadores binarios en un conjunto B , se dice que * esdistributivo sobre � siempre que: x*(y � z) = (x * y) � (x * z). Por lo tanto:x, y, z � B

4(a) x � (y + z) = (x � y) + (x � z) 4(b) x + (y � z) = (x + y) � (x + z)

Postulados de Huntington

5 Para cada elemento x � B, existe un elemento x’ � B (llamado complemento de x) tal que:

a) x + x’ = 1b) x � x’ = 0

Postulados de Huntington

6 Existen al menos 2 elementos x, y � B tales que x z y.

B = {0,1]

Postulados de Huntington

El álgebra booleana se parece en algunosaspectos al álgebra ordinaria. Sin embargo, sedebe tener cuidado de no sustituir las reglas delálgebra boleana por las reglas de el álgebratradicional cuando no son aplicables.

Teoremas del Álgebra de Boole

1a x + x = x

Deducción:x + x = (x + x) � 1 por el postulado 2(b) de Huntington

= (x + x) � (x + x’) 5(a) = x + (x � x’) 4(b)= x + 0 5(b)= x 2(a)

Teoremas del Álgebra de Boole

1b x � x = x

Deducción:x � x = (x � x) + 0 por el postulado 2(a) de Huntington

= (x � x) + (x � x’) 5(b) = x � (x + x’) 4(a)= x � 1 5(a)= x 2(b)

Teoremas del Álgebra de Boole

2a x + 1 = 1

Deducción: x + 1 = 1 � (x + 1) por el postulado 2(b) de Huntington

= (x + x’) � (x + 1) 5(a) = x + (x’ � 1) 4(b)= x + x’ 2(b)= 1 5(a)

Teoremas del Álgebra de Boole

2b x � 0 = 0

Deducción: x � 0 = 0 + (x � 0) por el postulado 2(a) de Huntington

= (x � x’) + (x � 0) 5(b) = x � (x’ + 0) 4(a)= x � x’ 2(a)

= 0 5(b)

Teoremas del Álgebra de Boole

3 (x’)’=x

Deducción: Si x = 1

x' = 0 por el postulado 5 5(a) x + x’ = 1 o 1 + 0 = 1

5(b) x � x’ = 0 o 1 � 0 = 0Entonces el complemento de 0 es 1 por lo tanto:

x' = 0 o (x’)’ = 1 = x

Teoremas del Álgebra de Boole

4a x + (x � y) = x

Deducción:x + x � y = x � 1 + x � y = x por el postulado 2(b) de Huntington

= x � (1 + y) 4(a) = x � (y + 1) 3(a)= x � 1 2(a)= x 2(b)

Teoremas del Álgebra de Boole

4b x � ( x + y) = x

Deducción:x � ( x + y) = (x + 0) � ( x + y) por el postulado 2(a) de Huntington

= x + (0 � y) 4(b) = x + (y � 0) 3(b)= x + 0 2(b)= x 2(a)

Teoremas del Álgebra de Boole

Otros teoremas válidos para la álgebra boleana:

5. Teorema asociativo.x + (y + z) = (x + y) + zx � (y � z)= (x � y) � z

6. Teorema de Morgan(x + y)’ = x’ � y’(x � y)’ = x’ + y’

7. Teorema de Adyacencia Lógicax � y + x � y’ = x(x + y) � (x + y’) = x

Funciones Booleanas

Una función booleana es una expresión formadapor variables binarias, los operadores OR, AND,NOT y el signo de igual. También puede estarpresente el paréntesis y el símbolo de negación.

Funciones Booleanas

La Operación OR se define así:

z0 + 0 = 0z0 + 1 = 1z1 + 0 = 1z1 + 1 = 1

Funciones Booleanas

La función AND se define de la siguiente manera:

z0 � 0 = 0z0 � 1 = 0z1 � 0 = 0z1 � 1 = 1

Funciones Booleanas

La función NOT (negación) se define como se muestra a continuación:

z0’ = 1z1’ = 0

Funciones Booleanas

Un ejemplo de función boleana seria:

S = x � y’ + z

Para conocer el valor de S para diferentes valoresde las variables x, y, z se genera la tabla deverdad de la función.

Funciones Booleanas

100111000011111101111001100110000010101100001000Sx � y’y’zyx

Tabla de verdad de la función S = x � y’ + z