05 gustavo rubiano

Los ubicuos espacios de Alexandroff

Gustavo N. Rubiano O.

Universidad Nacional de Colombia, Bogota

Departamento de Matematicas

Bogota, 2013

Gustavo N. Rubiano O. () Espacios de Alexandroff Enero 2013 1 / 57

Contenido

1 Introduccion

2 Caracterizaciones en topologıa

3 Caracterizacion en el orden

4 Caracterizacion por filtros

5 Caracterizacion como puntos

6 Vision algebraica

7 Bibliografıa

Contenido

1 Introduccion

6 Vision algebraica

7 Bibliografıa

Contenido

1 Introduccion

6 Vision algebraica

7 Bibliografıa

Contenido

1 Introduccion

6 Vision algebraica

7 Bibliografıa

Contenido

1 Introduccion

6 Vision algebraica

7 Bibliografıa

Contenido

1 Introduccion

6 Vision algebraica

7 Bibliografıa

Contenido

1 Introduccion

6 Vision algebraica

7 Bibliografıa

Conjuntos

P. S. Alexandroff introdujo en 1937 la nocion de ‘Diskreteraume’ al requerir que una coleccion de subconjuntos fueraestable para las operaciones conjuntistas elementales.

DefinicionDado un conjunto X , una familia T = {Ui}i∈I de subconjuntos (i. e.,T ⊆ 2X) se llama de Alexandroff si es cerrada para intersecciones yuniones arbitrarias.

Se dice entonces que el par (X,T) es un A-espacio. Estos espaciosson ahora llamados de Alexandroff, quasidiscretos (M. Erne),principales (Steiner [10]) , finitamente generados (Herrlich [13] ),saturados (Lorrain [5]). P. Johnstone se refirio a estas topologıas en[15] como de Alexandroff o simplemente A-espacios.

Conjuntos

TopologıaCada A-espacio es en particular un espacio topologico dondepermitimos que la interseccion arbitraria de abiertos sea de nuevo unconjunto abierto (A-topologıa).

Luego, para un X en particular tenemos las siguiente relacion entreclases

Tf(X) ⊆ A(X) ⊆ Top(X)

Tf(X) es la coleccion de las topologıas finitas sobre X .

A(X) es la coleccion de las A-topologıas sobre X .

Top(X) es la coleccion de las topologıas sobre X .

Si X es finito A(X) = Top(X).

Ejemplo

Subclases de A(X) son:

La clase T lf(X) de las topologıas localmente finitas (cadapunto del espacio posee una vecindad abierta finita).

Por supuesto, todo conjunto finito es localmente finito, pero notodo conjunto localmente finito es finito. Consideremos la lıneadigital Z la cual tiene como base las vecindades minimales V (n):para n ∈ Z, V (n) = {n} si n es impar yV (n) = {n− 1, n, n+ 1} si n es par. Entonces Z es un espacioT0–localmente finito el cual no es finito.

Las topologıas particionadas, donde los conjuntos abiertostambien son cerrados (provienen en su base de relaciones deequivalencia).

Las A-topologıas no tienen separacion mayor a T1.La unica topologıa de Alexandroff que es T1 es la topologıadiscreta.

Ejemplo

Caracterizaciones en topologıaLos A-espacios son exactamente los espacios topologicos para loscuales cada punto a ∈ X esta contenido en una vecindad N(a)minimal (por inclusion).

De la definicion de A-topologıa para el espacio X , para cada a ∈ X ,

Na :=⋂

{Va ⊆ X : Va es una vecindad abierta de a}.

Base minimal.

La clase A(funX) ⊆ (2X)X de funciones f : X → ℘(X) tales que:

1 Para todo a ∈ X se tiene a ∈ f(a)

2 Para todo a, b ∈ X con b ∈ f(a) se tiene f(b) ⊆ f(a)

coincide con A(X).Gustavo N. Rubiano O. () Espacios de Alexandroff Enero 2013 6 / 57

Na :=⋂

Base minimal.

Na :=⋂

Base minimal.

La relacion

Existe una manera de asignar a una funcion f una A-topologıa (yvisceversa).

A(funX) ⊆ (2X)X −→ A(X)

f 7→ 〈{f(a) : a ∈ X}〉

f(a) = Na ← T

(a cada f asignamos la base {f(a) : a ∈ X}).

La relacion

Existe una manera de asignar a una funcion f una A-topologıa (yvisceversa).

A(funX) ⊆ (2X)X −→ A(X)

f 7→ 〈{f(a) : a ∈ X}〉

f(a) = Na ← T

(a cada f asignamos la base {f(a) : a ∈ X}).

¿Como crearlas?

Sea α : X −→ X una funcion arbitraria. Entonces α∗ : X −→ ℘(X)

α∗(x) := {x} ∪ α−1(x) ∪ α−2(x) ∪ · · · =⋃

{α−n(x) : n ≥ 0}

satisface (1) y (2), y por tanto corresponde a una topologıa deAlexandroff sobre X .

Caracterizacion en el orden

Estructura pre-ordenada

Un preorden (o casi-orden) sobre un conjunto X es una relacionreflexiva y transitiva sobre X . Si la relacion es ademas antisimetrica,la llamamos un orden parcial.

Las familias Pre(X), A(X) (pre-ordenes y A-topologıas) para unconjunto X estan ordenadas por la inclusion.

Dado un conjunto X , los pares (A(X),⊆) y (Pre(X),⊆) sonretıculos completos.

En 1935, Alexandroff y Tucker inventaron de manera independienteun metodo general de construir topologıas sobre pre-ordenes. Estemetodo proporciona una de las primeras relaciones entre lasestructuras orden versus topologıa, y muestra una correspondenciauno a uno entre las topologıas de Alexandroff y los preordenes sobreun conjunto X dado.

Posteriormente, Steiner en 1966 mostro que el retıculo de lastopologıas de Alexandroff era anti-isomorfo al retıculo de lospreordenes sobre X .

En 1936, Garrett Birkhoff observo que inherente al estudio de latopologıa esta la nocion de comparar por contenencia dos topologıassobre un mismo conjunto. En su artıculo [12], Birkhoff es el primeroen estudiar detenidamente este orden en la coleccion Top(X) detodas las topologıas sobre el conjunto X , y muestra que se trata deun retıculo completo.

La relacion

(1935, Alexandroff and Tucker [1], [17])

Existe una manera de asignar a un pre-orden una A-topologıa (yvisceversa).

Pre(X) −→ A(X)

≤ 7→ T(≤)

ET ← T

La relacion

Pre(X) −→ A(X)

≤ 7→ T(≤)

ET ← T

La relacion

Pre(X) −→ A(X)

≤ 7→ T(≤)

ET ← T

≤ 7→ T(≤) : Sea ≤ un pre-orden en X , la A–topologıa T(≤)sobre X es la generada por los filtros principales↑x := {y ∈ X : y ≥ x}, x ∈ X .

A ⊆ X es abierto si A =⋃

(A es un conjunto superior).

La coleccion B = {↑x : x ∈X} de los filtros principales(↑x = {y ∈ X : x ≤ y}) es una base minimal para una topologıasobre X . Esta topologıa, notada como T(≤) es de Alexandroff.

≤ 7→ T(≤) : Sea ≤ un pre-orden en X , la A–topologıa T(≤)sobre X es la generada por los filtros principales↑x := {y ∈ X : y ≥ x}, x ∈ X .

A ⊆ X es abierto si A =⋃

(A es un conjunto superior).

La coleccion B = {↑x : x ∈X} de los filtros principales(↑x = {y ∈ X : x ≤ y}) es una base minimal para una topologıasobre X . Esta topologıa, notada como T(≤) es de Alexandroff.

La relacion inversa o cada espacio topologico lleva

de manera intrınseca un pre-orden

ET ← T : Dada una topologıa T definimos un pre-orden(especializacion) ET as

xET y ⇔ cada abierto que contiene a x tambien contiene a y

⇔ x ∈ {y}

⇔ y ∈ Vx para toda vecindad Vx

⇔ {x} ⊆ {y}.

y es mas especial que x, ya que esta contenido en mas conjuntosabiertos.

⇔ x ∈ {y}

⇔ {x} ⊆ {y}.

⇔ x ∈ {y}

⇔ {x} ⊆ {y}.

≤T es una relacion que es reflexiva y transitiva; esta construccion‘reversa’ el orden en el sentido que ≤T ⊇≤G siempre que T ⊆ G.

Dado un preorden R sobre X, existen, en general, muchas topologıasT para las cuales ≤T= R, pero T(≤) es la mas fina de ellas.

En un sentido general —sin condiciones sobre la topologıa ni elcardinal de X— tenemos cierta relacion inversa: ET(E) = E. Pero enel caso en que las topologıas sean de Alexandroff, estas relaciones soninversas la una de la otra pues tenemos ademas que T(ET) = T.

ET(E) = E & T(ET) = T

El retıculo (A(X),⊆) es anti-isomorfo al retıculo (Pre(X),⊆).

Este pre-orden ≤T es un orden parcial si y solo si el espacio X es T0.(Es antisimetrico –y por tanto un orden parcial– si y solo si X es T0.)

ET(E) = E & T(ET) = T

Las dos construcciones anteriores son categoricamente hablando unisomorfismo concreto entre la categorıa de los conjuntospre-ordenados con funciones isotonas (i.e. preservan el orden) y lacategorıa de los espacios de Alexandroff con las funciones continuas.El isomorfismo inverso fue establecido al restringir el functor deespecializacion ≤T, el cual olvida la estructura topologica y anade acambio una estructura de orden.

En particular, si X es finito, los conjuntos Pre(X) yTop(X) tienen la misma cantidad de elementos.

•a •b •c •d

Figura: Grafo asociado a T = {{b}, {a, b}, {b, c, d},X, ∅} (cada nododeberıa tener un bucle pero lo suprimimos por comodidad)

En particular, si X es finito, los conjuntos Pre(X) yTop(X) tienen la misma cantidad de elementos.

•a •b •c •d

Figura: Grafo asociado a T = {{b}, {a, b}, {b, c, d},X, ∅} (cada nododeberıa tener un bucle pero lo suprimimos por comodidad)

Las topologıas booleanas son aquellas que tienen como base unaparticion de X . En particular, cada una de estas topologıas resultaser de Alexandroff.

El conjunto ordenado (Bool(X),⊆) de las topologıas booleanas esanti-isomorfo al retıculo (Equiv(X),⊆) de las relaciones deequivalencia sobre X (pre-ordenes en particular).

Dada una topologıa J , la relacion RJ definida por

xRJ y ⇐⇒ x ∈ {y} & y ∈ {x},

es una relacion de equivalencia sobre X .

xRJ y ⇐⇒ x ∈ {y} & y ∈ {x},

Caracterizacion por filtros

Un filtro F en un conjunto X es una coleccion no vacıa desubconjuntos de X que satisface:

1 Si F1, F2 ∈ F entonces F1 ∩ F2 ∈ F .

2 Si F1 ⊆ F y F1 ∈ F entonces F ∈ F .

La coleccion (Fil(X),⊆) es un retıculo completo.

Existe una manera de asignar a un filtro F y un elemento fijo p ∈ Xuna topologıa:

Fil(X) −→ Top(X)

(p,F) 7→ G(p,F) := ℘(X − {p}) ∪ F

Si F resulta ser un ultrafiltro, entonces G(p,F) es llamada unaultratopologıa.

Si F es un ultrafiltro principal, entonces G(p,F) es llamada una

ultratopologıa principal.Una ultratopologıa principal es de la forma G(x,U〈y〉), conx, y ∈ X , x 6= y, y U〈y〉 es el ultrafiltro principal generado por{y}, i. e., U〈y〉 =↑y = {F ⊆ X : y ∈ F}.

Una topologıa J sobre X se dice principal si es discreta o es lainterseccion de ultratopologıas principales:

J =⋂

{G(x, ↑y) : x 6= y}.

Steiner [10] probo que esto es equivalente a requerir que J sea deAlexandroff,

Principal ∼= Alexandroff

J =⋂

{G(x, ↑y) : x 6= y}.

J =⋂

{G(x, ↑y) : x 6= y}.

J =⋂

{G(x, ↑y) : x 6= y}.

J =⋂

{G(x, ↑y) : x 6= y}.

℘(X)

{∅, X}

ultratopologıas

bcbc bcbc

Caracterizacion como puntos

Dado un conjunto X podemos identificar cada subconjunto de X consu funcion caraterıstica, de suerte que la coleccion ℘(X) de sussubconjuntos, es identificada con el conjunto de funciones2X = {0, 1}X.

℘(X) ≈ 2X ≈∏

{0, 1}i.

La topologıa en 2X es la producto, donde Xi = {0, 1} es discreto(llamamos a este espacio el cubo 2X).

El cubo 2X es compacto, de Hausdorff, regular, totalmentedesconectado, etc.

Algunos conjuntos (sub)basicos: para cada a ∈ X , sea

a+ := {A ∈ 2X : a ∈ A} = π−1a ({1})

a− := {A ∈ 2X : a /∈ A} = π−1a ({0}).

Notese que a+ = 2X − a− con lo que cada abierto subbasico estambien cerrado.

Con esta identificacion es posible dar significado a que una topologıaT ⊆ 2X sea abierta, cerrada, aberrada, compacta, etc. y en particularmirar lo que son las A-topologıas (¿caracterizarlas?)

Por supuesto, una cosa es que el espacio (X,T) sea compacto y otraque la topologıa T lo sea.

ϕ :∏

{0, 1}i −→ ℘(X)

χA 7→ A

ϕ es biyectiva.

2X ≈∏

i∈X{0, 1}i tiene la topologıa producto, y al considerarsobre ℘(X) la topologıa final (U es abierto en ℘(X) si y solo siϕ−1(U) es abierto en 2X) hacemos de ϕ un homeomorfismo.

Una topologıa T sobre X se puede ver como un subconjunto delcubo de cantor 2X

2X es un espacio de funciones con la topologıa punto− abierto,la proyeccion πx : 2X −→ {0, 1} esta definida comoπx(χA) = χA(x) para cada x ∈ X .

ϕ :∏

{0, 1}i −→ ℘(X)

χA 7→ A

ϕ es biyectiva.

2X ≈∏

ϕ :∏

{0, 1}i −→ ℘(X)

χA 7→ A

ϕ es biyectiva.

2X ≈∏

ϕ :∏

{0, 1}i −→ ℘(X)

χA 7→ A

ϕ es biyectiva.

2X ≈∏

ϕ :∏

{0, 1}i −→ ℘(X)

χA 7→ A

ϕ es biyectiva.

2X ≈∏

Proposicion

En el retıculo (℘(X),⊆) los intervalos cerrados

[K,F ] = {A ∈ ℘(X) : K ⊆ A ⊆ F}

con K finito (casi nada) y F cofinito (casi todo) constituyen unabase B para la topologıa producto en 2X .

TeoremaB es una base para la topologıa final T en ℘(X):

1. B ⊆ T.

Demostracion.Sea [K,F ] ∈ B y definamos los conjuntos Gi = {1} si i ∈ K,Gi = {0} si i ∈ F c y Gi = {0, 1} si i ∈ X − (F c ∪K). Entonces

ϕ−1([K,F ]) =∏

es un abierto basico en 2X .Por tanto [K,F ] ∈ T y ası B ⊆ T.

TeoremaB es una base para la topologıa final T en ℘(X):

1. B ⊆ T.

Demostracion.Sea [K,F ] ∈ B y definamos los conjuntos Gi = {1} si i ∈ K,Gi = {0} si i ∈ F c y Gi = {0, 1} si i ∈ X − (F c ∪K). Entonces

ϕ−1([K,F ]) =∏

es un abierto basico en 2X .Por tanto [K,F ] ∈ T y ası B ⊆ T.

2. Dado U ∈ T y A ∈ U , existe [K,F ] ∈ B tal queA ∈ [K,F ] ⊆ U .

Demostracion.Sean U ∈ T y A ∈ U ; existe J ⊆ X finito tal que

ϕ−1(A) ∈∏

Gi ⊆ ϕ−1(U)

donde Gi = {1} o Gi = {0} si i ∈ J , y Gi = {0, 1} si i ∈ X − J .Sean

K = {i ∈ J : Gi = {1}} y L = {i ∈ J : Gi = {0}}.

finitos y disjuntos. ϕ−1([K,F ]) =∏

Gi donde F = Lc. Por tanto

A ∈ [K,F ] ⊆ U .

Como ϕ es homeomorfismo, B se puede ver como una base para latopologıa producto en 2X .

2. Dado U ∈ T y A ∈ U , existe [K,F ] ∈ B tal queA ∈ [K,F ] ⊆ U .

Demostracion.Sean U ∈ T y A ∈ U ; existe J ⊆ X finito tal que

ϕ−1(A) ∈∏

Gi ⊆ ϕ−1(U)

donde Gi = {1} o Gi = {0} si i ∈ J , y Gi = {0, 1} si i ∈ X − J .Sean

K = {i ∈ J : Gi = {1}} y L = {i ∈ J : Gi = {0}}.

finitos y disjuntos. ϕ−1([K,F ]) =∏

Gi donde F = Lc. Por tanto

A ∈ [K,F ] ⊆ U .

Como ϕ es homeomorfismo, B se puede ver como una base para latopologıa producto en 2X .

Reescribimos al intervalo [K,F ] como

[K,F ] = {A ∈ 2X : K ⊆ A & A ∩ F c = ∅}

(K es finito y F es cofinito), entonces estos intervalos sonsubconjuntos aberrados (abiertos y cerrados) en 2X ya que,

[K,F ]c =

[∅, {k}c]

l∈F c

[{l}, X ]

¿Que topologıas son subconjuntos cerrados en 2X?

Si las caracterizamos tenemos entonces otra definicion para estatopologıa.

TeoremaSea T una topologıa sobre X . Las siguientes afirmaciones sonequivalentes:

1 T es de Alexandroff.

2 T ⊆ 2X es un cerrado en el cubo 2X .

La demostracion esta basada en la siguiente caracterizacion desubconjunto cerrado de un espacio topologico:

F ⊆ X es cerrado si dada una red {sα}α∈D en F ,

sα → x implica x ∈ F.

La demostracion esta basada en la siguiente caracterizacion desubconjunto cerrado de un espacio topologico:

F ⊆ X es cerrado si dada una red {sα}α∈D en F ,

sα → x implica x ∈ F.

Demostracion.=⇒: Sea Aα una red de abiertos en T tal que Aα converge (en 2X) aun conjunto A. Mostremos entonces que A ∈ T.Dado x ∈ A consideremos su vecindad minimal Nx (ya que T es deAlexandroff). Es suficiente ver que Nx ⊆ A. Como Aα → A y x ∈ A,existe un ındice β tal que para todo α > β se tiene que x ∈ Aα.Como cada Aα es abierto, entonces Nx ⊆ Aα para todo α > β y portanto Nx ⊆ A.

⇐=: Sean x ∈ X y Aα la red de todas las vecindades abiertas de xordenadas por la contenencia inversa. Entonces Aα converge (en 2X)a⋂

Aα. Como T es un cerrado, entonces⋂

Aα ∈ T y por tanto T esde Alexandroff.

Demostracion.=⇒: Sea Aα una red de abiertos en T tal que Aα converge (en 2X) aun conjunto A. Mostremos entonces que A ∈ T.Dado x ∈ A consideremos su vecindad minimal Nx (ya que T es deAlexandroff). Es suficiente ver que Nx ⊆ A. Como Aα → A y x ∈ A,existe un ındice β tal que para todo α > β se tiene que x ∈ Aα.Como cada Aα es abierto, entonces Nx ⊆ Aα para todo α > β y portanto Nx ⊆ A.

⇐=: Sean x ∈ X y Aα la red de todas las vecindades abiertas de xordenadas por la contenencia inversa. Entonces Aα converge (en 2X)a⋂

Aα. Como T es un cerrado, entonces⋂

Aα ∈ T y por tanto T esde Alexandroff.

Sea T una topologıa de Alexandroff sobre X

T es compacta en 2X , (2X es compacto).

La clausura T de T en 2X es una topologıa.

T es la topologıa de Alexandroff mas pequena conteniendo a T

¿Para que topologıas T 6= 2X?

Vision algebraica

DefinicionUn semigrupo (S, ·) es un conjunto no vacıo S junto con unaoperacion · que es binaria y asociativa.

· : S × S −→ S

(s, t) 7→ s · t

Sean (S, ·) un semigrupo y X 6= ∅. S actua sobre el conjunto X siexiste una funcion

∗ : S ×X −→ X

tal que s1 ∗ (s2 ∗ x) = (s1 · s2) ∗ x para todo s1, s2 ∈ S, x ∈ X .Si ademas S posee un elemento identico 1, entonces 1 ∗ x = x paratodo x ∈ X .En caso que S no posea un elemento identico, S1 denota alsemigrupo obtenido de S al anadirle un elemento identico.

DefinicionUn semigrupo (S, ·) es un conjunto no vacıo S junto con unaoperacion · que es binaria y asociativa.

· : S × S −→ S

(s, t) 7→ s · t

Sean (S, ·) un semigrupo y X 6= ∅. S actua sobre el conjunto X siexiste una funcion

∗ : S ×X −→ X

tal que s1 ∗ (s2 ∗ x) = (s1 · s2) ∗ x para todo s1, s2 ∈ S, x ∈ X .Si ademas S posee un elemento identico 1, entonces 1 ∗ x = x paratodo x ∈ X .En caso que S no posea un elemento identico, S1 denota alsemigrupo obtenido de S al anadirle un elemento identico.

Para cada x ∈ X , el efecto de S sobre un punto x, es decir elconjunto Ox = {s ∗ x : s ∈ S} es la orbita de x.

Es decir Ox esta formado por los y ∈ X tal que y = s ∗ x, para alguns ∈ S.

Para x, y ∈ X con x ∈ Oy tenemos Ox ⊆ Oy.

Cada semigrupo (S, ·) actua sobre sı mismo utilizando su laoperacion binaria ·.

Bajo esta accion, la orbita de un elemento a ∈ S es el idealprincipal Oa = S · a = {s · a : s ∈ S1}

La conexion: ¿topologıas provenientes de acciones

de semigrupos?

Sea S un semigrupo actuando sobre un conjunto X . Reemplazando aS por S1 si es necesario, podemos asumir que S tiene una identidad,y ası x ∈ Ox para cada x ∈ X .

TeoremaSea S un semigrupo con identidad (monoide) actuando sobre unconjunto X no vacıo. La coleccion de las orbitasB(S) = {Ox : x ∈ X} es una base (consistente de todas lasvecindades abiertas minimales) para una topologıa de AlexandroffT(S) sobre X .

La conexion: ¿topologıas provenientes de acciones

de semigrupos?

Sea S un semigrupo actuando sobre un conjunto X . Reemplazando aS por S1 si es necesario, podemos asumir que S tiene una identidad,y ası x ∈ Ox para cada x ∈ X .

TeoremaSea S un semigrupo con identidad (monoide) actuando sobre unconjunto X no vacıo. La coleccion de las orbitasB(S) = {Ox : x ∈ X} es una base (consistente de todas lasvecindades abiertas minimales) para una topologıa de AlexandroffT(S) sobre X .

La conexion con el orden

Sea (S, ·, e) un monoide (e la unidad).

La relacion binaria � definida sobre S por

s � t ⇐⇒ t = u · s para algun u ∈ S

define un preorden en S (I. A. Green, Z. Ross, 1952)

Por tanto, induce una topologıa de Alexandroff T(�) sobre S.

Ademas, si S actua sobre si mismo bajo ·, obtenemos a T(S)

T(S) = T(�) (Os =↑ s).

La conexion entre semigrupos y preordenes (a izquierda de Green) esbien conocida por los algebristas, mientras que la equivalencia de lospreordenes y las topologıas de Alexandroff es conocida por lostopologos.

De otra parte, las relaciones directas entre semigrupos y topologıasprincipales ha recibido menos atencion. Como se muestra 1, no todatopologıa principal sobre X proviene de una estructura de semigruposobre X via el preorden de Green.

¿Existe una correspondencia 1-1 entre topologıas principales sobre Xy una coleccion de subgrupos de transformaciones sobre Xapropiado?

1B. Richmond, Semigroups and their topologies arising from Green’s

left quasiorder, Appl. Gen. Topol., 2008.Gustavo N. Rubiano O. () Espacios de Alexandroff Enero 2013 41 / 57

Los semigrupos de la correspondencia

Dado X 6= ∅ la coleccion Hom(X) de las funciones de X en X esun monoide al considerar como operacion ◦ la composicion usual defunciones y la funcionidentidad 1X(x) = x para cada x ∈ X como launidad.

Si S ⊆ Hom(X) es un sub-semigrupo, S actua sobre X via lafuncion evaluacion

· : S ×X −→ X

(f, x) 7→ f(x)

Los semigrupos de la correspondencia

Dado X 6= ∅ la coleccion Hom(X) de las funciones de X en X esun monoide al considerar como operacion ◦ la composicion usual defunciones y la funcionidentidad 1X(x) = x para cada x ∈ X como launidad.

Si S ⊆ Hom(X) es un sub-semigrupo, S actua sobre X via lafuncion evaluacion

· : S ×X −→ X

(f, x) 7→ f(x)

Subsemigrupos de Hom(X)

S 7→ T(S): Dado un subsemigrupo S ⊆ Hom(X), la topologıa T(S)sobre X es generada por la coleccion de orbitas

Ox = {f(x) : f ∈ S}

provenientes de la accion de S sobre X . Recuerdese que estacoleccion de orbitas forman una base minimal de vecindades abiertas.

ϕ : Subsemigrupos(Hom(X)) −→ A(X)

S 7→ T(S)

La correspondencia no es 1-1

Dos subsemigrupos S1 y S2 de Hom(X) generan la misma topologıasobre X por medio de ϕ ( T(S1) = T(S2)) sii las orbitas de susacciones sobre X son iguales.

Restringir entonces el dominio de ϕ:

Por cada coleccion de subgrupos que generan cierta topologıa –ϕ−1(T(S))– escogemos al subgrupo maximal de esta coleccion(subsemigrupo saturado).

¿Que sub-semigrupos considerar?

DefinicionSea X 6= ∅. Un sub-semigrupo T de Hom(X) es saturado si:

1 1X ∈ T , donde 1X(x) = x para todo x ∈ X (identidad).

2 Si T actua sobre X via la funcion evaluacion, y para cada x ∈ XOT

x = {f(x) : f ∈ T} es la orbita de x para esta accion,entonces

T = {f ∈ Hom(X) : f(x) ∈ OTx , para cada x ∈ X}.

No hay mas funciones en Hom(X) que envıan a cada x dentro deOT

x que las pertenecientes a T .

La correspondencia

ϕ : S(X) −→ A(X)

S 7→ T(S)

S(X) es la coleccion de todos los semigrupos saturados de Hom(X).

S 7→ T(S): Dado un semigrupo saturado S ⊆ Hom(X), la topologıaT(S) sobre X es generada por la coleccion de orbitas

Ox = {f(x) : f ∈ S}

provenientes de la accion de S sobre X . Recuerdese que estacoleccion de orbitas forman una base minimal de vecindades abiertas.

EjemploSean X = R y

T = {f : R −→ R | f(x) ≤ x para cada x ∈ R}.

T es un subsemigrupo saturado de transformaciones sobre R.La topologıa T(T ) sobre R es la topologıa generada por las colas(−∞, a], a ∈ R.

EjemploSean X = R y

T = {f : R −→ R | f(x) ≤ x para cada x ∈ R}.

T es un subsemigrupo saturado de transformaciones sobre R.La topologıa T(T ) sobre R es la topologıa generada por las colas(−∞, a], a ∈ R.

La construccion inversaDada T una topologıa de Alexandroff sobre un conjunto X , sea Nx lavecindad minimal abierta para cada x.

La coleccion de funciones

S(T) = {f ∈ Hom(X) : f(x) ∈ Nx para cada x ∈ X}

es un sub-semigrupo saturado de Hom(X).

λ : A(X) −→ S(X)

T 7→ S(T)

Si permitimo que S(T) actue sobre X , para cada x ∈ X la orbitaOx = {f(x) : f ∈ S(T)} es precisamente la vecindad minimal, esdecir, Ox = Nx.

λ : A(X) −→ S(X)

T 7→ S(T)

λ : A(X) −→ S(X)

T 7→ S(T)

La correspondencia es biunıvoca

Las funciones

ϕ : S(X) −→ A(X) y λ : A(X) −→ S(X)

definidas por ϕ(S) = T(S) y λ(T) = S(T) son inversas la una de laotra:

ϕ(λ(T)) = T & λ(ϕ(S)) = S

Esta correspondencia es un anti-isomofismo ((S(X),⊆) es unretıculo completo).

Las topologıas de Alexandroff son semigrupos saturados detransformaciones.

Ejemplo

Dado T subconjunto de Hom(X), consideremos el subgrupogenerado por T ,

〈T 〉 =⋂

{S : T ⊆ S ⊆ Hom(X), S es un semigrupo }.

〈T 〉 actua sobre X via la funcion evaluacion y genera ası unatopologıa principal T sobre X la cual corresponde a un unicosubgrupo saturado 〈T 〉sat.

Para dar ejemplos, simplemente debemos tomar cualquiersubconjunto T ⊆ Hom(X).

Sean X = Z y T = {f+, f−} ⊆ Hom(Z)

Ejemplo

〈T 〉 =⋂

Ejemplo

〈T 〉 =⋂

Ejemplo

〈T 〉 =⋂

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

f+(x) =

x si x es impar

x+ 1 si x es par

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

f−(x) =

x si x es impar

x− 1 si x es par

Ejemplo

〈T 〉sat = {f : Z −→ Z | f(x) = x si x es impar y

f(x) ∈ {x− 1, x, x+ 1} si x es par }.

〈T 〉sat produce la topologıa de Khalimskya sobre Z, para la cualNn = {n} si n es impar, y Nn = {n− 1, n, n+ 1} si n es par.

aKhalimsky, Efim, Topological structures in computer science. Journalof Applied Math. and Simulation Vol. 1 1 (1987), 25-40.

Ejemplo

f(x) ∈ {x− 1, x, x+ 1} si x es par }.

Ejemplo

f(x) ∈ {x− 1, x, x+ 1} si x es par }.

Bibliografıa I

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7. Khalimsky, E., Kopperman, R. D. and Meyer, P. R., Computer

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R. Kopperman, Digital Topology, Lecture Notes in ComputerScience, 2003, Volume 2886, Discrete Geometry for ComputerImagery, Pages 1-15

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