am3 murmis tp1 - ej. 17

Análisis Matemático III - Guía de Trabajos Prácticos - T.P. No 1 Variable Compleja - Algebra y Topología en Complejos

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T. P. No 1 - EJERCICIOS RESUELTOS

Enunciado

17. Dados los conjuntos Ai :

{ }A z z1 1= <: A z z i21

23 2= ≤ − ≤

:

A z Arg z3 04

= ∈

: ,π

( )A z z4 11

4= ∈ −

:Re ,

( )A z zn51

= =

:Im A z z y Arg z6 2 2 02

= − = ∈

: ,π

A z z i71

21= < − <

: { }A z z82 9 0= − =:

A z zn

i

mn m N9

1= = + ∈

: , { }A z z i z i10 2 3 2 3 10= + − + − + <:

estudiar para todos ellos:

17.1 ( )INT Ai

17.2 ( )FR Ai

17.3 ( )ADH Ai

17.4 si son abiertos o cerrados

17.5 ( )ACUM Ai

17.6 ( )AISL Ai

17.7 si son conexos

Resolución Resuelto por: Miguel Goldstein Revisado por: Eduardo G. Murmis - Gustavo M. Murmis

Primero, recordemos las diferentes categorías de puntos de un espacio métrico E, dado un conjunto A E⊂ . El conjunto de puntos con una misma característica forman el subconjunto correspondiente (por ejemplo, el conjunto de puntos de adherencia conforman el subconjunto de Adherencia).

( ) ( ) ( )/c Interior A U c U c A∈ ⇔ ∃ ⊂

En otras palabras, un punto es interior si se puede encontrar un entorno de c tal que todo el entorno esté incluido en el conjunto A

( ) ( ) ( )/c Exterior A U c U c A∈ ⇔ ∃ ⊂

Análogamente, un punto es exterior si existe al menos un entorno que esté completamente fuera del conjunto A.


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Si bien ( ) ( )Ext A Int A∩ = ∅ , no es cierto que ( ) ( )Ext A Int A E∪ = , pues

algunos puntos pueden no ser interiores ni exteriores.

( ) ( ) ( ) ( ):c Frontera A U c U c A U c A∈ ⇔ ∀ ∩ ≠ ∅ ∧ ∩ ≠ ∅

Justamente, los que no son interiores ni exteriores, se definen como puntos frontera. Son aquellos para los cuales todos los entornos incluyen algunos puntos que pertenecen y otros que no pertenecen al conjunto A.

Se puede demostrar que ( ) ( ) ( )Ext A Int A Fr A E∪ ∪ =

( ) ( ) ( ):c Adherencia A U c U c A∈ ⇔ ∀ ∩ ≠ ∅

El conjunto de adherencia está compuesto por todos aquellos puntos para los cuales en todo entorno, hay al menos un punto que pertenezca al conjunto.

( ) ( ) ( ):c Acumulacion A V c V c A∈ ⇔ ∀ ∩ ≠ ∅

Los puntos de acumulación son un subconjunto de los de adherencia: son aquellos puntos para los cuales todo vecinal contiene al menos un punto del conjunto.

( ) ( ) ( )/c Aislado A c A V c V c A∈ ⇔ ∈ ∧ ∃ ∩ = ∅

Como se entiende del nombre, un punto es aislado si el punto pertenece al conjunto y al mismo tiempo existe un vecinal que no contiene ningún punto del conjunto.

Por otro lado, los conjuntos se pueden clasificar en abiertos y/o cerrados, en función de si incluyen o no su frontera:

( )

( ) ( )

A Abierto FR A A

A Cerrado FR A A FR A

∈ ⇔ ∩ = ∅∈ ⇔ ∩ =

Un conjunto es conexo si y solo si se puede ir de cualquier punto del

conjunto a cualquier otro punto del conjunto por un camino simple totalmente incluido en el conjunto. En otras palabras,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ), / , /

n

n

D RD Conexo

x y D D I a b a x b y I Dγ γ γ γ ⊂∈ ⇔ ∀ ∈ × ⇒ ∃ = → = ∧ = ∧ ⊂ ℝ

Con estos conceptos, graficaremos para cada conjunto iA los subcon-juntos correspondientes.

En la notación utilizada, un borde punteado indica que no está incluido en el conjunto, mientras que la curva continua indica la inclusión en el conjunto. Todos los conjuntos están indicados en rojo y sus bordes en negro.


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Conjunto 1A

{ }A z z1 1= <: ( ) { }1 : 1INT A z z= <

( ) { }1 : 1FR A z z= = ( ) { }1 : 1ADH A z z= ≤

( ) { }1 : 1ACUM A z z= ≤ ( )1AISL A = ∅

Este conjunto es abierto, porque no incluye ningún punto de su frontera.

( ) { } { }1 1 : 1 : 1A FR A z z z z∩ = < ∩ = = ∅

Es conexo porque se puede llegar de cualquier punto a cualquier punto del conjunto mediante al menos un camino que esté incluido en el conjunto.


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Conjunto 2A

A z z i21

23 2= ≤ − ≤

: ( )2

1: 3 2

2INT A z z i

= < − <

( ) { }12 2: 3 3 2FR A z z i z i= − = ∨ − = ( ) { }1

2 2: 3 2ADH A z z i= ≤ − ≤

( ) { }12 2: 3 2ACUM A z z i= ≤ − ≤ ( )2AISL A = ∅

Este conjunto es cerrado, porque contiene a toda su frontera:

( ) { }12 2 2

1: 3 2 : 3 3 2

2A FR A z z i z z i z i

∩ = ≤ − ≤ ∩ − = ∨ − =

( ) { } ( )12 2 22

: 3 3 2A FR A z z i z i FR A∩ = − = ∨ − = =


5i

7i/2

3i

5i

7i/2

3i

5i

7i/2

3i

5i

7i/2

3i

5i

7i/2

3i

5i

7i/2

3i


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Conjunto 3A

3 : 0,4

A z Arg zπ = ∈

( )3 : 0,

4INT A z Arg z

π = ∈

( ) { }{ }3 4: 0,FR A z Arg z π= ∈ ( ) { }3 4: 0,ADH A z Arg z π= ∈

( ) { }3 4: 0,ACUM A z Arg z π= ∈ ( )3AISL A = ∅

Este conjunto es abierto, porque todos sus puntos son interiores:

( ) { }{ }3 3 4: 0, : 0,

4A FR A z Arg z z Arg z ππ ∩ = ∈ ∩ ∈ = ∅

.


π/4

π/4 π/4

π/4 π/4


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Conjunto 4A

( )4

1: Re 1,

4A z z

= ∈ −

( ) ( )4

1: Re 1,

4INT A z z

= ∈ −

( ) ( ) { }{ }14 4: Re 1,FR A z z= ∈ − ( ) ( ) [ ]{ }1

4 4: Re 1,ADH A z z= ∈ −

( ) ( ) [ ]{ }14 4: Re 1,ACUM A z z= ∈ − ( )4AISL A = ∅

Este conjunto es abierto, porque no contiene a ningún punto de su

frontera. ( ) ( ) ( ){ } ( ) { }{ }1 14 4 4 4: Re 1, : Re 1,A FR A z z z z∩ = ∈ − ∩ ∈ − = ∅


-1 ¼

-- -- -1 ¼

-1 ¼ -1 ¼

-1 ¼ -1 ¼


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Conjunto 5A

( )5

1: ImA z z

n = =

( )5INT A = ∅

Nota: El eje horizontal está punteado para

resaltar que el eje no pertenece al conjunto

( ) ( ) ( )5

1: Im Im 0FR A z z z

n = = ∨ =

( ) ( ) ( )5

1: Im Im 0ADH A z z z

n = = ∨ =

( ) ( ) ( )5

1: Im Im 0ACUM A z z z

n = = ∨ =

( )5AISL A = ∅

Este conjunto no es cerrado ni abierto, porque

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 55

1 1 1: Im : Im Im 0 : ImA FR A z z z z z z z

FR An n n

≠ ∅ ∩ = = ∩ = ∨ = = = ≠ No es conexo porque, por ejemplo, no se puede llegar, por ejemplo, de 1

a ½+i mediante un camino que esté incluido en el conjunto.

i ½ i ¼ i

i ½ i ¼ i

i ½ i ¼ i

i ½ i ¼ i

i ½ i ¼ i

i ½ i ¼ i


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Conjunto 6A

6 : 2 2 0,2

A z z Arg zπ = − = ∧ ∈

( )6INT A = ∅

( ) { }6 2: 2 2 0,FR A z z Arg z π= − = ∧ ∈ ( ) { }6 2: 2 2 0,ADH A z z Arg z π= − = ∧ ∈

( ) { }6 2: 2 2 0,ACUM A z z Arg z π= − = ∧ ∈ ( )6AISL A = ∅

Este conjunto no es abierto ni cerrado, porque contiene a parte de su

frontera.

( ) ( ){ } { }6 6 2 2: 2 2 0, : 2 2 0,A FR A z z Arg z z z Arg zπ π∩ = − = ∧ ∈ ∩ − = ∧ ∈

( ) ( ){ } ( )6 6 26

: 2 2 0,A FR A z z Arg z

FR Aπ

≠ ∅∩ = − = ∧ ∈

≠


2

2i

2i

2

2i

2

2i

2

2i

2

2i

2


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Conjunto 7A

A z z i71

21= < − <

: ( )7

1: 1

2INT A z z i

= < − <

( )7

1: 1

2FR A z z i z i

= − = ∨ − =

( )7

1: 1

2ADH A z z i

= ≤ − ≤

( )7

1: 1

2ACUM A z z i

= ≤ − ≤

( )7AISL A = ∅

Este conjunto es abierto, porque no contiene ningún punto de su frontera:

( )7 7

1 1: 1 : 1

2 2A FR A z z i z z i z i

∩ = < − < ∩ − = ∨ − = = ∅


2i

i

½i

2i

i

½i

2i

i

½i

2i

i

½i

2i

i

½i

2i

i

½i


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Conjunto 8A

{ } { }28 : 9 0 3,3A z z= − = = − ( )8INT A = ∅

( ) { }28 : 9 0FR A z z= − = ( ) { }2

8 : 9 0ADH A z z= − =

( )8ACUM A = ∅ ( ) { }28 : 9 0AISL A z z= − =

Este conjunto es cerrado, porque su frontera está completamente incluida

en el conjunto:

( ) { } { } { }2 2 28 8 8: 9 0 : 9 0 : 9 0A FR A z z z z z z A∩ = − = ∩ − = = − = =

Es no conexo porque no se puede llegar de -3 a 3 por un camino incluido en el conjunto.

-3 3 -3 3

-3 3 -3 3

-3 3 -3 3


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Conjunto 9A

Nota: ,n m N∈

91

:i

A z zn m

= = +

( )9INT A = ∅

( )9

1 1: 0

i iADH A z z z z z

n m n m = = + ∨ = ∨ = ∨ =

( ) ( )9 9FR A ADH A=

( )9

1: 0

iACUM A z z z z

n m = = ∨ = ∨ =

( )9

1:

iAISL A z z

n m = = +

Este conjunto no es cerrado ni abierto, porque

( ) ( )9 99

1: ,

iFR A A z z n m N

FR An m

≠ ∅ ∩ = = + ∈ ≠

Es no conexo porque no se puede llegar, por ejemplo, de ½+i a 1+i/2 por un camino incluido en el conjunto.

¼ ½ 1

i ½i

¼i

¼ ½ 1

i ½i

¼ ½ 1

i ½i

¼i

¼ ½ 1

i ½i

¼i

¼ ½ 1

i ½i

¼i

¼ ½ 1

i ½i

¼i


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Conjunto 10A

La expresión de este conjunto define el lugar geométrico de los puntos

del plano que cumplen que la suma de sus distancias a dos puntos fijos ( 2 3i− + y 2 3i− ) es menor a un valor constante (10 ). Esto corresponde a la definición geométrica de una elipse y a los puntos fijos se los llama focos.

{ }A z z i z i10 2 3 2 3 10= + − + − + <: ( ) { }10 : 2 3 2 3 10INT A z z i z i= + − + − + <

( ) { }10 : 2 3 2 3 10FR A z z i z i= + − + − + = ( ) { }10 : 2 3 2 3 10ADH A z z i z i= + − + − + ≤

• -2+3i

• 2-3i

• -2+3i

• 2-3i

• -2+3i

• 2-3i

• -2+3i

• 2-3i


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( ) { }10 : 2 3 2 3 10ACUM A z z i z i= + − + − + ≤ ( )10AISL A = ∅

Este conjunto es abierto, porque la intersección entre el conjunto y su

frontera es nula:

( ) { } { }10 10 : 2 3 2 3 10 : 2 3 2 3 10A FR A z z i z i z z i z i∩ = + − + − + < ∩ + − + − + = = ∅


• -2+3i

• 2-3i

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