UNIVERSIDAD PRIVADA ANTENOR ORREGOFACULTAD DE INGIENERA INDUSTRIAL

LGEBRA Aplicaciones Del lgebra en la Ingeniera

ALUMNO:SILVA VIDAL JAVIER

PROFESOR:AVALOS RODRIGUEZ JESUS PASCUAL

2014 1

INTRODUCCIN

El lgebra lineal es una de las ramas de las matemticas que estudian conceptos tales como vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales y en un enfoque ms formal, espacios vectoriales, y sus transformaciones lineales. Es un rea activa que tiene conexiones con muchas reas dentro y fuera delas matemticas como anlisis funcional, anlisis estructural, ecuaciones diferenciales, investigacin de operaciones, grficas por computadora, ingeniera,

Sin embargo en este trabajo analizaremos su aplicacin a un rea especfica la del anlisis de estructuras, adems este trabajo nos servir para tener una base firme para lo que nos encontraremos ms avanzados para lograr un mejor conocimiento ms objetivos, por eso a partir de un ejemplo de la vida real, de algunas situaciones que encontraremos en nuestro lugar de trabajo una vez que salgamos de la Universidad

Rehabilitacin de una estructura de hormignConsideremos la siguiente situacin:Una estructura de hormign est deteriorada en un 25%, debido un proceso de corrosin. Se envuelve la estructura en una malla de titanio a la que se Aplica un micro voltaje que invierte el proceso qumico de corrosin, logrando que mensualmente se recupere el 40% de la zona deteriorada, aunque se sigue deteriorando mensualmente un 20% de la zona sana. Cul ser la situacin a los 3 meses? Y a los 10 meses? Y al cabo de mucho tiempo? Si consideramos tantos por uno, al cabo de un mes se ha recuperado 0.250.4 = 0.1 de la zona deteriorada, pero la zona sana se ha reducido a 0.75 0.8 = 0.6. En total, la zona sana al cabo de un mes ser: 0.1 + 0.6 =0.7. Si procedemos del mismo modo con la zona deteriorada, resulta: 0.25 0.6 + 0.75 0.2 = 0.15 + 0.15 = 0.3. Podemos intentar resolver el problema construyendo una tabla:

MesesDeterioradoSano

00.250.75

10.25 0.6 = 0.150.75 0.2 = 0.150.15 + 0.15 = 0.30.25 0.4 = 0.10.75 0.8 = 0.60.1 + 0.6 = 0.7

20.3 0.6 = 0.180.75 0.2 = 0.140.18 + 0.14 = 0.320.3 0.4 = 0.120.7 0.8 = 0.560.12 + 0.56 = 0.68

30.32 0.6 = 0.1920.68 0.2 = 0.1360.192 + 0.136 = 0.3280.32 0.4 = 0.1280.68 0.8 = 0.5440.128 + 0.544 = 0.672

Podemos ver que al cabo de 3 meses las partes deterioradas y sanas de las estructuras son 0.328 y 0.672. Pero este procedimiento es muy lento y no viable para periodos de tiempo ms largos. Para eso es preciso usar mtodos ms prcticos, mtodos como la diagonalizacin de una matriz

Diagonalizacin de una matrizRecordando definiciones El nmero I es un autovalor de la matriz A si y solo si

Siendo I la matriz unidad. A cada valor de le corresponde un auto vector

Ejemplo.- Sea la matriz

Entonces:

Para el clculo del auto vector , correspondiente al autovalor , resolvemos

Y obtenemos: Teorema 1. Si la matriz A, cuadrada de orden n, tiene n auto vectores linealmente independientes, entonces la matriz es diagonal, siendo las columnas de la matriz P los autovectores de A. Las entradas diagonales de D son precisamente los auto valores de A:

Ejemplo.- Consideremos la matriz del ejemplo anterior

Entonces:

Teorema 2. Si los auto valores de A son ,,,, entonces los auto valores deson , ,, , y los autovectores de A son tambin autovectores de . La matriz P, que diagonaliza A, Tambin Diagonaliza

Ya que cada cancela una P.Consideremos la matriz de los ejemplos anteriores

Tomando K= 2

Teorema 3. Si A es diagonalizable, , entonces

Ejemplo.- Consideremos de nuevo la matriz ATomando k=2;

Clculos matricialesVolvemos al problema anterior y generalizamos:Sea = tanto por uno deteriorado en el mes k.Sea = tanto por uno sano en el mes k.La situacin sugiere una ecuacin en diferencias

Que matricialmente ser:

Donde:

Puesto que conocemos la condicin inicial

Tenemos que Por tanto el problema queda reducido a:

La matriz

Es la llamada matriz de transicin y cumple que la suma de los elementos de cada columna es igual a la unidad y son todos ellos no negativos.Es preciso calcular , Hallamos sus auto valores:

Y sus autovectores

El primer autovector es cualquier mltiplo de

Por otra parte

El segundo autovector es cualquier mltiplo de

Diagonalizamos A

Para K = 3 y K=10 MesesDeterioradoSano

30.3280.672

100.33332460.6666754

Segn vemos en la frmula anterior, la variacin de est gobernada por los factores y la estabilidad del proceso depende de los autovalores de . Si todos los autovalores , la ecuacin en diferencias es estable si , para algn i dicha ecuacin es inestable. Si para algn i , se dice que la ecuacin es neutralmente estable. En nuestro caso , y la variacin de depende nicamente de , siendo neutralmente estable.Cuando

Ya que tiende a cero, por ser 0.4