algebra - relaciones y funciones - teoria y problemas - jesus

5/16/2018 Algebra - Relaciones y Funciones - Teoria y Problemas - Jesus - slidepdf.com

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I.E.P.P. “THOR HERDAHL” - TÚCUME Prof. Jesús C. Cubas Montalván

“Nunca consideres el estudio como una obligación, sino como una oportunidad para penetrar en el bello y maravilloso mundo del saber” Página 1

ALGEBRA: RELACIONES BINARIAS Y FUNCIONES

RELACIONES BINARIAS

A. PAR ORDENADOEl par ordenado es un ente matemático formadopor dos elementos: primera y segundacomponente; dotado de un orden que asigna ellugar de cada elemento.

, ; ;a b a a b

B. IGUALDAD DE PARES ORDENADOSDos pares ordenados (a, b) y (c, d) son iguales, siy solo si, a = c y b = d . Simbólicamente:

, ,a b c d a c b d

C. PRODUCTO CARTESIANOSean A y B dos conjuntos no vacíos, el productocartesiano A x B, se define por:

, / A B a b a A b B

Se observa que:Si A B A B B A A B B A A B

n A B n A n B

D. RELACIONES BINARIASDados dos conjuntos no vacíos A y B, un conjunto R de pares ordenados se llama relación de A en B,

si es subconjunto cualquiera de A x B.

:

, /

R A B

R A B

R x y A B xRy

A se llama conjunto de partida B se llama conjunto de llegada

E. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNARELACIÓN

1. Diagrama de flechas

2. Diagrama cartesiano

3. Diagrama de árbol

4. Tabla de doble entrada

F. DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIÓNEl dominio de una relación es el conjunto de lasprimeras componentes de la relación, tambiénllamadas preimágenes.El rango de una relación es el conjunto de lassegundas componentes de la relación, tambiénllamadas imágenes.

G. DIAGONAL DE UN CONJUNTODado un conjunto A, la diagonal del producto A x A que se denota D(A) se define por:

, / D A x y A A x y

H. RELACIÓN INVERSASi R es una relación de A en B entonces R

-1 es unarelación de B en A llamado relación inversa de A.

1, , y x R x y R

I. RELACIÓN COMPUESTADada las relaciones: R de A en B, y S de B en C , dedenomina relación compuesta de S con R, y sedenota SoR a la relación:

:

, / , , ,

o

o

S R A C

S R x z A C x y R y z S

J. PROPIEDADES DE LAS RELACIONESSea R una relación de A en A (o en A

2).

1. RELACIÓN REFLEXIVA

, x A x x R

2. RELACIÓN SIMÉTRICA

, , x y R y x R 3. RELACIÓN TRANSITIVA

, , , x y R y z R x z R





4. RELACIÓN DE EQUIVALENCIAUna relación es de equivalencia, si es reflexiva,simétrica y transitiva.

5. RELACIÓN ANTISIMÉTRICA

, ,a b R a b b a R

6. RELACIÓN DE ORDENUna relación es de orden si es reflexiva,antisimétrica y transitiva.

* Una relación es estrictamente reflexiva , si esreflexiva, simétrica, transitiva, antisimétrica y deorden.

K. RELACIONES DE R EN R El producto cartesiano R x R es el conjunto detodos los pares ordenados (x, y) tal que. La gráfica cartesiana de R x R define el planocartesiano.Una relación es un conjunto del productocartesiano R x R = R

2. Su gráfica es cualquierfigura contenida en el plano cartesiano.

L. INTERSECCIÓN DE RELACIONESPara hallar la intersección de relaciones, seresuelve el sistema de ecuaciones de x e y, lassoluciones representadas por pares ordenados,indican la intersección.

FUNCIONESA. FUNCIÓN

Dados dos conjuntos no vacíos A y B, y unarelación, entonces f es una función de A

en B si, y solo si para todos y cada uno de loselementos de x de A existe a lo más un elemento y de B que le corresponde a x. Matemáticamente sedefine por:

, , f es funcion x y f x z f y z

B. FUNCIÓN INYECTIVAUna función f es inyectiva, si cada elemento delrango de f es imagen de un solo elemento deldominio de f . Esto es, si f es una funciónunivalente.Dada la gráfica de una función inyectiva, cualquier

recta horizontal la corta en un solo punto. 1 2 1 2 1 2, f x f x x x x x Dom f

FUNCIÓN SOBREYECTIVAUna función f de A en B es una funciónsobreyectiva o suryectiva, si el rango de f coincidecon el conjunto de llegada.

: f A B es suryectiva Ran f A

FUNCIÓN BIYECTIVAUna función f de A en B es una función biyectiva si f es inyectiva y suryectiva a la vez

. FUNCIÓN DE APLICACIÓNUna función f de A en B es una función deaplicación si Dom(f) = A.

C. FUNCIÓN INVERSADada una función biyectiva f, se llama funcióninversa de f, que se denota por f-1 o f*, la funcióndefinida por:

* 1, / f f f x x x Dom f

D. ÁLGEBRA DE FUNCIONES

1. IGUALDAD DE FUNCIONES

:

.

.

Dos funciones son iguales si

i Dom f Dom g

ii f x g x x Dom f

2. ADICIÓN

Dom f g Dom f Dom g

f g x f x g x

3. SUSTRACCIÓN

Dom f g Dom f Dom g f g x f x g x

4. MULTIPLICACIÓN

,

Dom f g Dom f Dom g

f g x f x g x x Dom f g

5. DIVISIÓN

/ 0

,

f Dom Dom f x Dom g g x

g

f x f f x x Domg g x g

EJERCICIOSNIVEL I

1. Si se cumple que:(4x+3y; 8y-3x) = (-2y-7; 10y +2x - 4)

Determine: E = x-y + (-y)x a) 4 b) 17 c) 32d) 57 e) 145

2. Dados los conjuntos:P = xZ / 2x2 + 3x = x3 Q = xN / 8 - x2 = 2x

El número de posibles relaciones de P en Q es:a) 4 b) 8 c) 16d) 32 e) 64

3. Dada la relación:R = (a, b) N x N/a + b = 20

¿Cuáles de las siguientes proposiciones son nofalsas?I. R es reflexivaII. R es simétricaIII. R es transitiva

a) Sólo I b) Sólo II c) I, IIId) Todas e) Ninguna

x R y R

: A R R

f A B





2

2

2

2

a)

c)

b)

d)

e)

2

2

2

2

2

-2

-2

-2

-2

-2

-2

-2

-2

-2

-2

-2

1

1

1

1

Ninguna de las anteriores

4. Dadas las relaciones:f = {(1,3), (2,4), (3,2), (1,4)}g = {(1,4), (2,2), (3,1)}h = {(1,3), (2,3), (3,3), (4,3)}Son funciones:a) g y h b) f y g c) f y hd) f e) h

5. De las afirmaciones que a continuación se dan:1. Toda función es una relación2. Toda relación es una función3. Todo conjunto de partida de una función es

subconjunto del dominio de la función4. (f g) (x) = f(x) g(x)Son verdaderas:a) 1, 2 y 3 b) 1, 3 y 4 c) 2, 3 y 4d) 1 y 4 e) 3 y 4

6. Siendo A = x Z / 1 x 5 y la relación Rdefinida por:R = (2;2), (2;1), (1;1), (4;4), (3;c), (a;b), (2;3),

(c;b), (3;1) Si R es una relación de equivalencia; entonces elvalor de:

E = b cbba

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

7. Dada la relación:R= (x;y) R2 / x2 + y2 - 8x + 4y + 11 0 Además: Dom (R) = a, b y Ran (R)= c, d

Hallar: E = a + b + c + da) -4 b) -2 c) 2 d) 4 e) 9

8. Sabiendo que:R = (x; y) R2 / y x2 T = (x; y) R2 / x2 + y2 25 Hallar el rango de: R Ta) 0, 5 b) -5, 5 c) 0, 5 d) 0, 5 e) 5, 10

9. Sea:R1 = (x, y) R2 / x2 + y2 4 R2 = (x, y) R2 / y x - 1 La región R1 R2 está dada por:

10. ¿Cuáles de las siguientes relaciones norepresentan a una función?R1 = (x; y) R2 / y = 2 R2 = (x; y) R2 / x = -3 R3 = (x; y) R2 / 2x = y - 1 R4 = (x; y) R2 / x2 = 4 - y2 R5 = (x; y) R2 / f(x) = -x2 + 3 a) R1 y R2 b) R2 y R3 c) R3 y R4 d) R4 y R5 e) R2 y R4

11. Hallar: E = m + n + p + q; sabiendo que:f = (4m-7; 53), (3, log n ), (8,2p), (125, q+80) Es una función identidad.a) 100 b) 720 c) 836d) 1020 e) 1063

12. Dadas las funciones:f = (0;2), (2;4), (4;5), (6;-1), (7;-2) g = (0;3), (1;2), (3,-4), (4;-1), (7;2) h = (0;1), (4;-3a), (7;4), (a+2;a-1), (4;10-a2)

Hallar: R = suma de los elementos del rango de:(f + g) - (g.h) a) -11 b) -13 c) -15d) -17 e) -19

13. Dadas las funciones:F = (x; y) R2 / y = x4

G =

4x

1y / R)y;x(

2

2

Hallar: Dom (F + G) (x)a) -; 4 b) -; 4 - 2

c) R - 2 d) -; + e) -; -2 2; 4

14. Dadas las funciones: f, g. R R, tales que.f (x - 1) = 3x2 + ax + 12g (x+1) = 5x + 7Hallar el valor de "a" tal que:

fog(-2) = -4aa) 33 b) 43 c) 53d) 63 e) 73

15. Si: f(x) = {(X,Y) / Y = / X – 1/ – 1}, el dominio yrango de f : R R , son respectivamente:

a) R , R b) R – {1} , Rc) Z ; ,1 d) R ; ,1

e) R ; 1,

16. La gráfica de la función: f(x) = -x + 1, es:a) b) c)

d) e)





Y

X

)1( )2(

)3( )4(

17. La gráfica de la función: f(x) = /x – 1/, es:a) b) c)

d) e)

18. Dados los diagramas siguientes:

Representan una función:a) 1 y 2 b) 1 y 3 c) 2 y 3d) 1, 3 y 4 e) 1, 2 y 4

19. De los siguientes diagramas:

Representan una función:a) I b) III c) I y IIId) II y III e) Todas

20. Si a = 1/2, entonces la gráfica de la función:Y = f(X) = aX es:a) b) c)

d) e)

21. Señale la gráfica que no corresponda a la funciónvalor absoluto indicada:

a) b) c)

d) e)

22. Sean: 3x2y / y,xA2

4x5 / 4y / y,xB Una de las regiones sombreadas adjuntas

representa: (A – B) (B – A)a) b)

c) d)

e)

23. A la relación: x5y ,Rx / y;xR ¿Cuál de los gráficos le corresponde?

a) b) c)

d) e)

/ X / )X(f

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

6

5 6

55

6

5

6

5

/ 2X / )X(f 2 / X / )X(f

2 / X / )X(f / 2X / )X(f

1

1

2

3

4

2 3 4

Y

X

I

1

a

b

cd

2 3 6

Y

X

III

1

a

b

d

e

2 3 4

Y

X

II

1

359

2

3489

A B

246

8

1

2378

A B

a

bc

a

b

A Ba

bc

a

b

A B





Y

X

)4,2(

)1,1(

24. Sean:f(x) = x2 + 6x – 7 , x ,3

g(x) =6xx

12x4x3x

2

22

Hallar: Ran (f) – Dom(g*)a) {0 , 1} b) c) {2 , 3}

d) {3 , -2} e) N.A25. Si: A= {1 , 3 , 5} y B = {2, 4 , 6}

¿Cuál de los siguientes gráficos corresponde auna función biyectiva?

I II

III IV

a) II y III b) II y IV c) Sólo IId) Sólo IV e) Sólo III

NIVEL II26. La gráfica mostrada, representa la relación:

a) 02y2x

b) 02y2x

c) 0yx22

d) 0yxx e) 0yxy

27. El gráfico:

Es la representación de la Relación R siguiente:

a) 049yx,RyRx / y,xR22

b) 049yx,RyRx / y,xR22

c) 049yx,RyRx / y,xR22

d) 07yx,RyRx / y,xR22

e) 07yx,RyRx / y,xR22

28. Sabiendo que: xy ;RyRx / y,xR2

1

Calcular el valor de k si la relación k xy ;ERxy,xR

2

Y la gráfica de 2R1R es:a) -1b) 1c) 2d) 4e) -2

29. Sea 16yx9 ;RyRxy,xR22

Calcular el dominio de R.a) 4,3 b) [9, 16] c) [-4, 4]

d) 16,3 e) 9,4

30. Sea la recta L cuya ecuación es y = (x + 4)/2.Determinar el área de la región sombreada de

máxima superficie:a) 9b) 27/8c) 81/8d) 10e) 12

31. La gráfica que se muestra representa dosrelaciones R1 y R2. : Hallar:

)RR(Ran)RR(Dom 2121 a) [0, 4]

b) [1, 4]

c) [1, 4]

d) [1, 3]

e) [1, 2]

32. Sean:

09yx ;y,Rx / y,xR22

1

06y2x3 ;Ry,Rx / y,xR2 Calcular el rango de 2R1R

a) 3,3 b) 3,3 c) 4,3

d)

3,

13

15 e) 3,

33. Hallar el área de la región limitada por:

3x3y0 / Ry,xR2

1

8x2y0 / Ry,xR2

2 a) 36 b) 24 c) 18

d) 30 e) 15

7

7

7

7X

Y

L

Y

X

)1,5(





34. La gráfica mostrada corresponde a:a) 4xyx

b) xy4x

c) 4xy4x

d) 4xy4x

e) 4xy4x

35. La gráfica mostrada corresponde a:

a) 5y25x2 b) 5yx2 c) 5yx2

d)

e) 5y25x2

36. Una relación se define en el conjunto de losnúmeros reales (R) mediante la expresión:

f(x) =8x6x

8x14x7x

2

23

Entonces de las afirmaciones siguientes acercade f(x):1) Es una función2) Su dominio es: R - {-4 , -2}3) Su rango es: R - {-9}

Son ciertas:a) Sólo 1 b) 1 y 2 c) 2 y 3d) 1 y 3 e) Todas

37. Hallar el rango de la función seccionada definidapor:

4,2xsi,3x2

2,1xsi,0

1,3xsi,1x

)x(f

a) ,54,0 b) 4,20,2

c) 5,20,4 d) 5,10,4

e) N.A.

38. Sean los conjuntos:A = {x Z / X2 = 3X + 10}

B = {x Z / 12x }

Se definan las funciones:f: A Z ; f(x) = 1x

g: B Z ; g(X) = x1

Hallar: Ran(f) – Ran(g)

a) {1,4} b) {-2,1} c) {1}d) {2,5} e) {4}

39. Dadas las funciones

f(x) = 1x2 ; g(x) = 1x

2

Entonces Dom f Dom g , es:a) 1, b) ,1 c) R

d) Dom(f) e)

40. Indicar el dominio de: f(x) = )5x(x a) ,5U0,

b) ,5U0,

c) ,5U0,

d) ,5U2,

e) ,2U0,

41. Dada la función: f(X) = 1 – 2 –X

Su respectiva inversa y su dominio es:

a) 1Y;2LogY1LogX

b)

1Y;2Log

Y1LogX

c) 1Y;2Log

1LogYX

d)

Y;2Log

LogY1X

e) N.A.

42. Si f = {(X,Y) N / /X + Y/ < 3}, su inversa es

igual a la función:a) g = {(0 , 0) , (1 , 0) , (2 , 0) , (1 , 1) , (2 , 2 ) , (0 , 1)}b) h = {(0 , 1) , (2 , 0) , (1 , 1) , (1 , 2) , (3 , 3 ) , (0 , 0)}c) p = {(0 , 0) , (2 , 0) , (0 , 1) , (1 , 1) , (0 , 2 ) , (1 , 2)}d) j = {(0 , 0) , (0 , 1) , (0 , 2) , (1 , 0) , (1 , 1 ) , (2 , 0)}e) k = {(0 , 1) , (2 , 0) , (2 , 1) , (1 , 0) , (0 , 0 ) , (1 , 2)}

43. Sea la función f dada por la gráfica, entonces lafunción inversa es:

a) {(1,2) , (2,1) , (3,3)}b) {(1,1) , (2,2) , (3,3)}c) {(1,3) , (2,1) , (3,3)}d) {(1,2) , (2,3) , (3,1)}

e) {(3,1) , (2,2) , (1,3)}

44. De las siguientes funciones:

f(x) = x -20

x

6

x53

g(x) = 3 23 2 )1x()1x(

h(x) = 22xx1xx1

k(x) =x

)x1(2

Son funciones impares:a) f(x) y g(x) b) h(x) y k(x) c) f(x) y h(x)d) f(x), g(x) y h(x) e) Sólo g(x)

5yx2

4

4

4

4

5225

2

5

2

5

1

2

3

A A

1

2

3

f





45. Dadas las siguientes funciones1) f(x) = 2x – 1

2) g(x) =2x

2x

3) h(x) = x + 16x 2 Son inyectivas:a) 1 b) 1 y 2 c) 2 y 3d) 1 y 3 e) Ninguna

46. Dadas las siguientes funciones1.- f(x) = x2 2.- g(x) = sen x

3.- h(x) =1x

1x

Son funciones sobreyectivas:a) 1 b) 2 c) 3d) 1 y 3 e) Ninguna

47. Dadas las funciones:

1) f(x) = x3

2)

1xsi,)1x(2

x1si,1x)x(g

3) h(x) = 5x – 3

Son biyectivas:a) 1 b) 2 c) 3d) 1 y 3 e) 1, 2 y 3

48. Si f y g son dos funciones y:f(x –1) = 3x+2 g(2x + 3) = 4x + 4

Hallar (g*o f) (x)a) 2x + 5 b) 6x – 5 c) )7x3(

2

1

d) )5x2(2

1 e) 6x + 2

49. Sean las funciones: f(x) = 3x + 4 , g(x) = xCon dominios en el intervalo ,0 . Entonces,

de las afirmaciones siguientes, ¿cuáles sonverdaderas?1) f y g son inyectivas2) Dom {f* o g*} = ,0

3) (f* o g*) (1) = 1

a) 1 b) 2 c) 3d) 1 y 2 e) 1, 2 y 3

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