Álgebra
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ÁLGEBRA
Expresión algebraica (expresión): conjunto de uno o más número o variables (símbolos para los números) combinados por medio de las 4 operaciones básicas fundamentales.Monomio: expresión algebraica que contiene solamente multiplicaciones de números reales y potencias enteras positivas de variables.Término: monomios de una expresión junto con sus signos respectivos.Binomio: suma o resta de 2 monomios.Trinomio: suma o resta de 3 monomios.Polinomio: suma o resta finita de monomios, es decir, un monomio, un binomio y un trinomio también se clasifican como polinomios.
Ejemplos de expresiones algebraicas:
Expresión algebraica Tipo de expresión Variables TérminosCoeficiente
numérico del 1er termino
Bases del 1er
termino
Exponentes del 1er
termino2xy2 Monomio x, y 2xy2 2 x , y 1 , 2
-(4/3)y5 Monomio y -(4/3)y5 -(4/3) y 56 Monomio 6 6
4x3y2 + 3x2y3 Binomio x, y, z 4x3y2 , 3x2y3 4 x , y 3 , 22zy – 6x2z + xy4 Trinomio x, y, z 2zy , – 6x2z , xy4 2 z , y 1 , 1
x4yz2 – 2xz3 + x6 – yz Polinomio x, y, z x4yz2 , – 2xz3 , x6 , – yz 1 x , y , z 4 , 1 , 28x4 – 7x2 + (2/3)x – 5 Polinomio x, 8x4 , – 7x2 , (2/3)x , – 5 8 x 4
8 xy+ z
NO es Polinomio x, y, z
La manera de clasificar los polinomios es por su grado:Grado de un monomio con una sola variable: es el exponente de la variable.Grado de un polinomio con una sola variable: es el grado más grande de cualquiera de sus términos.Grado de un monomio de distintas variables: suma de sus grados en cada una de las variables por separado.Grado de un polinomio con distintas variables: grado mayor de cualquiera de sus términos.
Ejemplos de grados de expresiones algebraicas
Expresión algebraicaTipo de
expresiónVariables
Grado del Monomio
Grado del Polinomio
Grado en x Grado en yGrado en
x y y2xy2 Monomio x, y 1 + 2 = 3 1 2 3
-(4/3)y5 Monomio y 5 0 5 56 Monomio 0 0 0 0
4x3y2 + 3x2y3 Binomio x, y, z 5 3 3 52zy – 6x2z + xy4 Trinomio x, y, z 5 2 4 5
x4yz2 – 2xz3 + x6 – yz Polinomio x, y, z 7 6 1 68x4 – 7x2 + (2/3)x – 5 Polinomio x, 4 4 0 4
Coeficiente: cada uno de los productos de un monomio expresado como el producto de 2 o más símbolos. Cada uno es el coeficiente del otro. El coeficiente numérico es el coeficiente que contiene puros números (contantes) y no variables.Términos semejantes: 2 monomios o términos que solo difieren en sus coeficientes numéricos.Reducción de términos semejantes: si se suman o restan dos o más términos semejantes, únicamente se realizan las operaciones con los coeficientes numéricos y queda la misma base (variables del término) en el resultado. La suma o resta de términos semejantes NO alteran los exponentes de las basesValor numérico: dada una expresión algebraica, su valor numérico se obtiene al sustituir las bases (variables de cada término) por un valor determinado, esto también se llama evaluar la expresión.
SUMA DE MONOMIOS Y POLINOMIOSLeyes mayormente usadas o aplicables en la suma de monomios y polinomios:
Ley distributiva: a (b + c) = ab + acLey conmutativa: a + b = b + aMezcla de las 2 leyes: ab + ac = a (b + c)
Así como sus extensiones a más de 2 términos:Ley distributiva: a (b + c + d) = ab + ac + adLey conmutativa: a + b + c = c + b + aMezcla de las 2 leyes: ab + ac + ad = a (b + c + d)
El proceso de sumar y restar monomios y polinomios consiste en sumar los términos semejantes aplicando las leyes distributivas y conmutativas, por ejemplo:
4ab + 6ab = (4 + 6)ab = 10ab
6xy + 3xy – 5xy = (6 + 3 – 5)xy = 4xy
3a2b + 6a2b + (-8a2b) – 5a2b = (3 + 6 + (-8) – 5)a2b = -4a2b
7y2 + 3xy + 4x2 + 5x3 – 2xy + 2x2 – 6x3 – xy – x2 – 2y2 = 7y2 – 2y2 + 3xy – 2xy – xy + 4x2 + 2x2 – x2 + 5x3 = (7 – 2)y2 + (3 – 2 – 1)xy + (4 + 2 – 1)x2 + 5x3 = 5y2 + 5x2 + 5x3
Cuando trabajamos con sumas y restas de polinomios podemos operar aplicando el signo de la operación como una multiplicación sobre los signos del segundo polinomio o de los demás, si son varios, de esta manera podemos operar igual que la suma o resta de monomios, por ejemplo:
(3x2 – 2xy + y2) + (2xy – 3y2 – 2x2) + (4y2 – 5x2 + 4xy) = 3x2 – 2xy + y2 + 2xy – 3y2 – 2x2 + 4y2 – 5x2 + 4xy = 3x2 – 2x2 – 5x2 – 2xy + 2xy + 4xy + y2 – 3y2 + 4y2 = (3 – 2 – 5)x2 + (– 2 + 2 + 4)xy + (1 – 3 + 4)y2 = -4x2 +4xy + 2y2
(3x2 – 2xy + y2) - (2xy – 3y2 – 2x2) - (4y2 – 5x2 + 4xy) = 3x2 – 2xy + y2 - 2xy + 3y2 + 2x2 - 4y2 + 5x2 - 4xy = 3x2 + 2x2 + 5x2 – 2xy - 2xy - 4xy + y2
+ 3y2 - 4y2 = (3 + 2 + 5)x2 + (– 2 - 2 - 4)xy + (1 + 3 - 4)y2 = 10x2 -8xy
Otra alternativa es realizar las sumas o restas verticales, de igual forma que en aritmética, se ordenan por columna los términos semejantes. Se tiene que considerar el procedimiento de cambios de signos para las restas de polinomios, por ejemplo:
3x2 -2xy y2 3x2 -2xy y2
-2x2 2xy -3y2 2x2 -2xy 3y2
-5x2 4xy 4y2 5x2 -4xy -4y2
-4x2 4xy 2y2 10x2 -8xy 0y2
EJERCICIOS DE LENGUAJE ALGEBRAICO: determina en cada una de las siguientes expresiones algebraicas si se trata de un monomio o polinomio, cuales son las variables, cuántos y cuáles son sus términos, cual es el coeficiente numérico del primer término, las bases y coeficientes del primer término.
Expresión algebraica Tipo de expresión Variables TérminosCoeficiente
numérico del 1er termino
Bases del 1er
termino
Exponentes del 1er
termino3x2yz3xy2
-2x-2z2y3 + 3z2y3x
3xy – 6x2z + 4xy-12xyz + 4xyz3 – xyz3x3 + 7x2 + 3x2 – 5x
2x2 - 3xy + y2
EJERCICIOS DE GRADOS DE UNA EXPRESION: determina en cada una de las siguientes expresiones algebraicas si se trata de un monomio o polinomio, cuales son las variables, y el grado del monomio, polinomio y en grado en x, y y xy.
Expresión algebraicaTipo de
expresiónVariables
Grado del Monomio
Grado del Polinomio
Grado en x Grado en yGrado en
x y y3x2yz3xy2
-2x-2z2y3 + 3z2y3x
3xy – 6x2z + 4xy-12xyz + 4xyz3 – xyz3x3 + 7x2 + 3x2 – 5x
2x2 - 3xy + y2
EJERCICIOS DE VALORES NUMÉRICOS: determina el valor numérico de las siguientes expresiones (recuerda se sustituye el valor supuesto a cada variable), suponiendo que x = 3, y = -4, z = -6
2y + 5z 7x – 11y2 3x2yz 2x2 - 3xy + y2
4x – 2y 12y + 7z 3xy2 (-3x)/(5yx)6x + 5y 3x – 9y -2x 12xy3
3x – 7z -12xyz + 4xyz3 – xyz -2z2y3 + 3z2y3x 12xy – 5y3z – 5 xz2
5x + 4y 3x3 + 7x2 + 3x2 – 5x 3xy – 6x2z + 4xy 12
EJERCICIOS DE SUMAS Y RESTAS DE MONOMIOS Y POLINOMIOS: realiza las siguientes operaciones de sumas y restas de polinomios, cada columna indica la operación a realizar con los elementos de dicha columna, los polinomios en cada ejercicio están separados por comas.
Suma (sumandos separados por comas) Resta (el minuendo es el primer polinomio, los demás son sustraendos)
2a + 6b , 7a – 2b 3x2 – 2y2 + 1 , 2x2 + 5y - 6 , 3 – x -3y2
x – 3y , 2y – 5x 5xy2 – 2x2 + y , xy2 + 2x2 – 3 , 5x – xy
2x – 3y + 4 , 2y – x - 2 4x – 3y2, 2x – 6y2
3x – 2y + 1 , 2x + 5y - 6 , 3 – x -3y 3x – 2y + 1 , 2x + 5y - 6 , 3 – x -3y
5xy – 2x + y , xy + 2x – 3 , 5x – xy 5xy – 2x + y , xy + 2x – 3 , 5x – xy
4x – 3y, 2x – 6y 4x – 3y, 2x – 6y
3x2 – 2y2 + 1 , 2x2 + 5y - 6 , 3 – x -3y2 2a + 6b , 7a – 2b
5xy2 – 2x2 + y , xy2 + 2x2 – 3 , 5x – xy x – 3y , 2y – 5x
4x – 3y2, 2x – 6y2 2x – 3y + 4 , 2y – x - 2
MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS Y POLINOMIOS.
Para la multiplicación de monomios y polinomios es necesario recordar las leyes de los exponentes vistas en aritmética, a continuación de se enumeran brevemente
an = a·a·a···a n vecesam·an = am+n
(am)n = am·n
(a·b)n = an·bn
am / an = am-n
a0 = 1a-n = 1 / an
a1/n = n√aPara la multiplicación de monomios se aplica la ley distributiva, realizando las multiplicaciones de los coeficientes numéricos por un lado y la multiplicación de las variables considerando sus exponentes y las leyes de los exponentes, por ejemplo:
(3x2)(4x3) = (3)(4)(x2)(x3) = (12)(x2+3) = 12x5
(2a)(-3b)(4c) = (2)(-3)(4)(a)(b)(c) = -24abc(-2a2)(-8a3) = (-2)(-8)(a2)(a3) = (16)(a2+3) = 16a5
(-3x2y)(-4xy3)(-5x4y2) = (-3)(-4)(-5)(x2)(x)(x4)(y)(y3)(y2) = (-60)(x2+1+4)(y1+3+2) = -60x7y6
EJERCICIOS DE MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS: realiza las multiplicaciones de monomios que se te piden a continuación:
(5xy2)(2xy2) (12xy)(y2) (-6x)(12y) (-4x2)(x-1)(4a)(-2b) (5xy)(4yx) (12)(-5xy) (24a)(5a-2)(5x2)(2y2) (5x3y2)(2x2y4) (-5y2)(3y) (4x)(-5y)
(2a2b)(-3ab4) (6x2y)(5xy2) (6xy3z2)(3xy4z2) (7y)(12xy)(x-1y2)(x3y-4) (-4x3y5)(y-4) (3a)(3a) (12xyz)(x-4y5z-1)
Para la multiplicación de polinomios realizamos un procedimiento similar al de aritmética, primero colocamos los factores en diferentes líneas, los factores deben de estar ordenados (sus términos deben ordenarse por su grado y procurando que los términos semejantes queden alineados) y se procede a multiplicar en sucesivas iteraciones de termino en termino del factor de la segunda línea a cada factor de la primera línea:
3x -4 x2 -2x +13x -4 2x -3
-12x +16 -3x2 +6x -39x2 -12x 2x3 -4x2 +2x9x2 -24x +16 2x3 -7x2 +8x -3
Lo anterior puede expresarse como:
(3x - 4)(3x - 4) = 9x2 - 24x + 16(x2 – 2x + 1)(2x - 3) = 2x3 – 7x2 + 8x - 3
Observe que los términos semejantes se alinean y que el ultimo paso es la suma de términos semejantes, además recuerde que el producto o resultado debe de ordenarse según el grado de cada término.
Existen ciertas formas o formulas ya desarrolladas para multiplicaciones de polinomios en donde los factores cumplan con ciertas características, estas son las siguientes:
Producto Notable
Forma = Desarrollo Ejemplos
Binomio al cuadrado
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
(x + y)2 = (x)2 + (2)(x)(y) + (y)2 = x2 + 2xy + y2
(x – y)2 = (x)2 – (2)(x)(y) + (y)2 = x2 – 2xy + y2
(x + 3y)2 = (x)2 + (2)(x)(3y) + (3y)2 = x2 + 6xy + 9y2
(x – 3y)2 = (x)2 – (2)(x)(3y) + (3y)2 = x2 – 6xy + 9y2
(3x + 2y)2 = (3x)2 + (2)(3x)(2y) + 4y2 = 9x2 + 12xy + 4y2
(3x – 2y)2 = (3x)2 – (2)(3x)(2y) + 4y2 = 9x2 – 12xy + 4y2
Binomios conjugados
(a + b)(a – b) = a2 – b2(x + y)(x – y) = (x)2 – (y)2 = x2 – y2
(x + 2y)(x – 2y) = (x)2 – (2y)2 = x2 – 4y2
(2x + 3y)(2x – 3y) = (2x)2 – (3y)2 = 4x2 – 9y2
Binomios al cubo
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
(x + y)3 = (x)3 + (3)(x)2(y) + (3)(x)(y)2 + (y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
(x – y)3 = (x)3 – (3)(x)2(y) + (3)(x)(y)2 – (y)3 = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3
(x + 3y)3 = (x)3 + (3)(x)2(3y) + (3)(x)(3y)2 + (3y)3 = x3 + 9x2y + 27xy2 + 27y3
(x – 3y)3 = (x)3 – (3)(x)2(3y) + (3)(x)(3y)2 – (3y)3 = x3 – 9x2y + 27xy2 – 27y3
(3x + 2y)3 = (3x)3 + (3)(3x)2(2y) + (3)(3x)(2y)2 + (2y)3 = 27x3 + 54x2y + 36xy2 + 8y3
(3x – 2y)3 = (3x)3 – (3)(3x)2(2y) + (3)(3x)(2y)2 – (2y)3 = 27x3 – 54x2y + 36xy2 – 8y3
Sumas y diferencias de
cubos
(a + b)(a2 – ab + b2) = a3 + b3
(a – b)(a2 + ab + b2) = a3 – b3
(x + y)(x2 – xy + y2) = x3 + y3
(x – y)(x2 + xy + y2) = x3 – y3
(x + 2y)(x2 – 2xy + 4y2) = x3 + 8y3
(x – 2y)(x2 + 2xy + 4y2) = x3 – 8y3
(2x + 3y)(4x2 – 12xy + 9y2) = 8x3 + 27y3
(2x – 3y)(4x2 + 12xy + 9y2) = 8x3 – 27y3
Otros productos importantes:Cuadrado de un trinomio: (y + z + w)2 = (y + (z + w))2 = y2 + z2 + w2 + 2yz + 2yw + 2zwCuadrado de un polinomio: (x + y + z + w)2 = (x + (y + z + w))2 = x2 + y2 + z2 + w2 + 2xy + 2xz + 2xw + 2yz + 2yw + 2zw
EJERCICIOS DE MULTIPLICACION O PRODUCTO DE POLINOMIOS: realiza las multiplicaciones de los polinomios que se te piden a continuación.
(x + 3)(x + 1) (8x - 3)(8x + 3) (2x2 - 3)(x - 7) (4x - 5)(3x + 6)
(x - 4)(x + 6) (2x2 - 3)(x - 1) (2x + 4)(5x - 2) (-4x + 1)(5x - 3)
(x + 1)(x - 1) (4x - 5)(-2x3 - 4) (3x - 7)(2x + 5) (7x)(2x - 5)(x - 4)(x - 4) (x - 5)(2x + 5) (3x2 - 2)(5x + 6) (5x2)(2x2 - 5)
(3x + 2)(x + 4) (x2 + 4)(x - 3) (-5x2 - 3)(2x + 3) (2x3 – 2x + 2)(x2 + 2)
(-4x - 4)(3x + 4) (2x2 - 3)(x + 6) (3x + 4)(2x - 3) (5x2 – 3x + 2)(x - 4)
EJERCICIOS DE PRODUCTOS NOTABLES: dadas las formas de productos notables anteriores, desarrolla los siguientes productos y obtén un resultado reducido.
(2a + 5b)2 (2a + 5b)(2a – 5b) (2a + 5b)3 (3a + 5b)2
(4x – 2y)2 (4x – 2y)(4x + 2y) (4x – 2y)3 (6x – 5y)2
(6x + 5y)2 (6x + 5y)(6x – 5y) (6x + 5y)3 (x + 3y)2
(3a – 7b)2 (3a – 7b)(3a + 7b) (3a – 7b)3 (4a – 3b)2
(5x + 4y)2 (5x + 4y)(5x – 4y) (5x + 4y)3 (x + 9y)2
(7x – 11y2)2 (7x – 11y2)(7x + 11y2) (7x – 11y2)3 (23x – 4y2)2
(12a + 7b)2 (12a + 7b)(12a – 7b) (12a + 7b)3 (2a + 11b)2
(3x – 9y)2 (3x – 9y)(3x + 9y) (3x – 9y)3 (4x – 7y)2
DIVISIÓN DE MONOMIOS Y POLINOMIOS
Para realizar la división de polinomios se debe seguir los siguientes teoremas (además de los teoremas respecto a las leyes de los exponentes y radicales):
am
an=am−n a
n
an=1( ab )
n
=an
bn ( ambn
c pdq )k
=(ambn )k
(c pdq )k=amkbnk
cpk dqk
A continuación se presenta un ejemplo de división de monomios:
26
22=26−2=24
a7
a5=a7−5=a2
a3
a9=a3−9=a−6= 1
a6
a3
a−3=a3+3=a6
−30a3b2
12a2b4=−2∙3 ∙5a3b2
22 ∙3a2b4=−21−2 ∙31−1∙5a3−2b2−4=−2−1 ∙30 ∙5a1a−2=−5a
2b2
EJERCICIOS DE DIVISION DE MONOMIOS: dada la división de monomios, realiza la mayor simplificación posible, usando las leyes de los signos.
x6
x3x10
x48x5
12x29 x3
24 x6
21a3
14a2b54a4b3 c63a2b5 c2
57 x8 y3 z76 x8 y5
72a3b−96a2b4
−36a3b2
−60a3b−a4b5 c4
−a3b4 c824 x−3 y z−2
x−2 y z−232 x3 y−2
−12x−3 y−2
DIVISIÓN DE POLINOMIOS
Cuando se tienen polinomio ya sea como numerador, como denominador o en ambos, primero debemos representar cada polinomio de forma ordenada, esto es según el grado de cada término, posteriormente dividimos el primer término del dividendo entre el primer término del divisor para obtener el primer termino del cociente, multiplique el termino del cociente dado por el divisor completo y el resultado résteselo a el dividendo, repita los pasosos hasta obtener un residuo, es decir, un termino con grado menor a la de la variable escogida.
3x + 4 3x2 – 2xy + y2
2x - 1 6x2 + 5x – 1 2x2 + xy – 2y2 6x4 – x3y – 6x2y2 + 5xy3 – 2y4
6x2 – 3x 6x4 + 3x3y – 6x2y2
8x – 1 -4x3y + 5xy3 – 2y4
8x – 4 -4x3y – 2x2y2 + 4xy3
3 2x2y2 + xy3 – 2y4
2x2y2 + xy3 – 2y4
0
EJERCICIOS DE DIVISION DE POLINONIOS: realiza la división de los polinomios dados, según el procedimiento previsto anteriormente.
(6a6 + 8a4) ÷ 2a2 (6x4y3 – 4x3y4 + 2xy5) ÷ 2xy3 −12x8 y2 z5−18 x6 y3 z4+24 x2 y4 z5
−6 x2 y2 z 4
6 x3−13x2+8 x−32x−3
6 y3−11 y2d+7 y d2−6d3
3 y2− yd+2d2(4x4 + x3 – 4x2 + 6x - 3) ÷ (x2 + x + 1)
(2x3 – 3x2 – 5x + 11) ÷ (x - 2) (3a2 – a – 2) ÷ (a + 1) (2y2 – x – 7) ÷ (x – 3)
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
Factorizar: acción de expresar un polinomio como el producto de dos o más factores, que son polinomios pero no factorizables ya.Factor común: factor que tienen en común todos los términos de un polinomio, en el proceso de factorización no interesa encontrar el máximo común factor (M.C.F) ó el máximo común divisor (M.C.D). Ejemplo:
Dado el polinomio 8x3 – 4x2 + 12x encontrar el factor común y factorizar:
Primero encontramos el factor numérico usando los coeficientes numéricos de cada término con el procedimiento para encontrar el M.C.D., de modo que el factor numérico es 4.En seguida encontramos la parte faltante del factor común, colocando la variable que se repita en todos los términos, con el coeficiente menor de todos ellos, es decir, x en este ejemplo, así que el factor común es 4x.
Este factor común puede usarse para factorizar el polinomio, si dividimos el polinomio entre el factor común y el cociente obtenido se usa como factor junto con el factor común para formar la expresión factorizada, es decir:
8x3 – 4x2 + 12x = (4x) (2x2 – x + 3)
Donde 4x es el factor común y 2x2 – x + 3 es el cociente de dividir (8x3 – 4x2 + 12x) ÷ (4x)
En álgebra es de mucha importancia la factorización para la simplificación de operaciones algebraicas y su solución, especialmente la de los trinomios, por esto es común usar las formular de los productos notables pero de manera invertida para obtener también los factores necesarios. Por ejemplo:
Factorizar 9x2 – 16, podemos comparar esta fórmula con la de binomios conjugados, de forma que podemos factorizarlo de forma que se exprese como (3x + 4) (3x – 4). Es decir:
9x2 – 16 = (3x + 4) (3x – 4)
Para factorizar trinomios de la forma: ax2 + bx + c, se sigue el siguiente procedimiento:1. Encuentra el factor común y haz una primera factorización, de manera que el factor que acompañe al factor común será
nuestro nuevo objetivo a factorizar.2. Determina si cumple con la forma de alguna de los productos notables conocidos (binomio conjugado o binomio al cuadrado),
para que puedas factorizarlo por formula y terminar la factorización, en caso contrario sigue al paso 3.3. Es necesario encontrar todas las parejas posibles de números (múltiplos) cuyo producto sea el número a, y se prueba con
todos los posibles valores de números cuto producto sea c, de manera que al ser sumados y restados den b, recordando que los factores finales serán de la forma (dx + e) (fx + g).
Ejemplo:
Factorizar 12x2 – 10x – 12:1. Como tienen factor común de 2, entonces 12x2 – 10x – 12 = (2) (6x2 – 5x – 6), debido a que (12x2 – 10x – 12)÷(2)= 6x2 – 5x – 6.2. Ahora no enfocamos en factorizar 6x2 – 5x – 6, como los factores que buscamos son de la forma (dx + e) (fx + g), entonces
necesitamos todos los pares de factores cuyo producto sea 6 (este es el coeficiente del primer término), es decir: 1 y 6, 2 y 3. Y expresamos:
6x 2xx 3x
3. Ahora encontramos los pares de factores cuyo producto sea el 6 (este es el tercer término), es decir: 1 y 6, 2 y 3. Y expresamos todas las posibles combinaciones de factores:
6x 6 6x 1 6x 2 6x 3x 1 x 6 x 3 x 2
2x 6 2x 1 2x 2 2x 33x 1 3x 6 3x 3 3x 2
4. Eliminamos aquellas cuyo producto cruzado tenga factor numérico común, por ejemplo en el primer arreglo:
6x 6 6xx 1 6x
Este arreglo se elimina como opción porque tienen como factor numérico común el 6.De esta forma solo nos quedan las siguientes opciones:
6x 1 2x 3x 6 3x 2
5. En función del término central -5 (este es el segundo término) determinaremos que arreglo es el correcto. Esto es, multiplicaremos en diagonal y veremos si el resultado de las 2 multiplicaciones para cada arreglo al sumarse o restarse es posible que den 5x (para comparar omitiremos el signo por el momento), por ejemplo:
6x 1 x 2x 3 9xx 6 36x 3x 2 4x
Descalificamos el primer arreglo porque no hay forma que al sumar o restar el 36 y el 1 obtenga 5, sin embargo el segundo arreglo es l correcto porque 9 y 4 al sumarse o restarse pueden dar 5.
6. Finalmente determinares los signos de los números de la segunda columna. Recordemos que en este momento estamos factorizando 6x2 – 5x – 6, así que el producto de los 2 numero de la segunda columna debe dar el -6, es decir el tercer término por lo que el signo del tercer término nos dice lo siguiente, si el coeficiente del tercer término es positivo, entonces los 2 números de la segunda columna tienen el mismo signo, si por el contrario es negativo, entonces tienen signos diferentes. Así en este ejemplo entendemos que uno será positivo y otro negativo, pero para saber cual es cual nos remitiremos al segundo
término, debemos comprobar las 2 posibilidades (uno con un signo y otro con el otro) de forma que seleccionaremos aquel que coincida con el segundo término:
2x +3 9x 2x -3 -9x3x -2 -4x 3x +2 4x6x2 -6 5x 6x2 -6 -5x
Así que la correcta es la segunda por los que 6x2 – 5x – 6 = (2x – 3) (3x + 2) y 12x2 – 10x – 12 = (2) (2x – 3) (3x + 2)
EJERCICIOS DE FACTORIZACIÓN: realiza la factorización de las expresiones presentadas a continuación utilizando los métodos previamente explicados.
12 – 18x 4x2 + 4x 18x2y – 24xy2 9x2 + 6x +3
4 – 49x2 x2 + 25 9x2 - 81 x2 -7x +12
x2 – 7xy – 30y2 2x2 + 3x + 1 4x2 – 9x + 2 6x2 – 35x + 36
12x2 – 5x - 2 12x2 – 17x - 6 12 + x – 6x2 8x2 + 18x +4
2x2 – 3x + 5 3x2 – 14x + 8 4x2 – 15x - 4 4x2 + 4x + 1