Álgebra moderna

UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREAL FACULTAD DE EDUCACIN Y CIENCIAS HUMANAS

ESCUELA PROFESIONAL DE EDUCACIN SECUNDARIA

ESPECIALIDAD: MATEMTICA - FSICA

GUA DE PRCTICA

FERNANDO GAMARRA MORALES

[email protected]

celular: 952-290888 R.P.M:*122826

- 2 -

Profesor: Fernando Gamarra Morales.

PRESENTACIN

Cuando a finales del siglo XIX y principios del siglo XX la matemtica sufri una crisis de

fundamentos, la comunidad acadmica matemtica mundial inici una titnica tarea de precisar las bases que sostenan esta ciencia. Muchos fueron los esfuerzos por no permitir que la matemtica se

desplomara por carencia de sustento en sus principales fundamentos. Las contribuciones no se

dejaron esperar. Entre stas las ms importantes estn la creacin de la teora de conjuntos, por parte de George Cantor y la construccin de la teora de los nmeros por parte de Bertrand Russel,

en su obra Introduccin a la Filosofa de la Matemtica.

A partir de entonces, se ha intentado, con mayor nfasis, que todo conocimiento matemtico

se encuentre bien estructurado y sostenido por un proceso lgico deductivo que no facilite, y menos permita, la posibilidad de hacer tambalear el edificio construido tomando como base ese

conocimiento.

Ms adelante, en los inicios de la segunda parte del siglo XX, los matemticos intensifican su tarea en la bsqueda de organizar las ideas y los conceptos utilizando la teora de conjuntos y las

relaciones que se pueden construir dentro de stos, especialmente las relaciones que se reconocen

como operaciones, o leyes de composicin, dentro de los conjuntos. Esta bsqueda da como resultado una tendencia que lleva a pensar que la matemtica es la ciencia de las estructuras.

La idea de estructura es bastante amplia, como lo sealan Bouvier y Le lionnais (1984): Se dice que un conjunto est provisto de estructura si se dan una o varias relaciones, una o varias leyes

de composicin internas o externas, una o varias topologas sobre este conjunto.

Entre el gran nmero de estructuras del lgebra, ms frecuentemente estudiadas, se

encuentran, desde las ms simples a las ms complejas: grupiode, monoide, grupo, anillo, campo,

espacio vectorial.

El esfuerzo realizado por el profesor Fernando Gamarra Morales es muy significativo, en

tanto que las estructuras matemticas son entidades totalmente abstractas y que, como tal, no son

fciles de enfrentar y menos an de tratar o manejar con lenguaje, tanto retrico como simblico, sencillo que llegue a ser comprendido y trabajado por quienes se estn iniciando en el estudio de la

matemtica a un nivel primariamente avanzado.

El profesor Gamarra fue un destacado estudiante de matemtica en las aulas universitarias y

su intuicin matemtica lo condujo a formar parte del cuerpo de docentes que se dedicaban a formar profesores de matemtica en las aulas de su alma mater, como asesor y jefe de prcticas de lgebra

Moderna. Considero que lo que hoy nos alcanza es fruto de ese trabajo silencioso pero fructfero, al

fin.

Siempre quedar cargo del lector la bsqueda de situaciones y contenidos que se enmarquen

dentro de las estructuras que aparecen en este documento. Porque es claro que no hay obra que est

totalmente terminada y que su autor todava se encuentre entre nosotros.

Me permito invitar a los acuciosos lectores a trabajar este documento con lpiz y papel a la mano, de manera que todo lo que encuentren de interesante puedan, inmediatamente, trabajarlo para

lograr los mejores resultados de su bsqueda.

Lima, marzo de 2014.

Dr. Luis Palomares Alvario.

- 3 -


INTRODUCCIN

Este es una gua de prctica de lgebra moderna que escrib hace algn buen tiempo

atrs y que ahora, gracias a la tecnologa, se pone a disposicin para el servicio de la

educacin superior.

El lgebra es la parte de las matemticas que se centra ms especficamente en la

estructura de las operaciones que se definen en conjuntos particulares. En el origen de esta

disciplina est la resolucin de ecuaciones polinomiales y gran parte de la disciplina se

desarroll con este objetivo.

El estudio de las estructuras algebraicas naci a inicios del siglo IXX relacionndolo

con la teora de ecuaciones, definindolo posteriormente como un conjunto dotado de un

procedimiento que permite combinar sus elementos de acuerdo con unas leyes.

Actualmente el concepto de estructura algebraica se define como un conjunto X dotado de

una o varias operaciones (funciones f : X X X ) que satisfacen ciertas propiedades.

Esta teora desempea un papel muy importante en la matemtica y en las ciencias,

ya que aparecen en materias que aparentemente no estn relacionadas entre s, como en la

mecnica cuntica, la geometra y topologa, en el anlisis y algebra, fsica, qumica y an

la biologa misma.

El estudio de las estructuras algebraicas es muy interesante; existe mucha

investigacin y dedicacin de un gran nmero de matemticos al respecto, esto tambin

desarrolla mucho la imaginacin.

El objetivo de esta gua de prctica es facilitar el estudio de las estructuras

algebraicas, cada tema tiene una serie de definiciones y/o conceptos de modo que el lector

pueda tener una visin de conjunto de cada tema, seguido de una serie de ejercicios que

ayudarn a reforzar la comprensin concreta de los mismos.

Fernando Gamarra Morales.

Tacna, enero de 2014.

- 4 -


LEY DE COMPOSICIN INTERNA

I. DEFINICIONES.- 1. Funcin:

Si f es una relacin no vaca de A en B

Entonces f es una funcin de A en B

si y slo si

x y z x y f x z f y z, , ; , ,

2. Aplicacin:

Si f es una funcin de A en B Entonces f es una aplicacin definida de A en B

si y slo si

x A y B x y f; / ,

3. Ley de Composicin Interna:

Si * es una funcin de AxA en A

Entonces * es una L.C.I. definida en A

si y slo si * es una aplicacin de AxA en A

4. Propiedades:

Si * es una L.C.I. definida en A Entonces * es conmutativa en A

si y slo si

a b A a b b a, ;

Entonces * es asociativa en A

si y slo si

a b c A a b c a b c, , ;

Si * y & son L.C.I. definidas en A Entonces * es distributiva con respecto a & en A

si y slo si

a b c A a b c a b a c

b c a b a c a

, , ; & &

& &

- 5 -


5. Elementos Notables:

Si * es una L.C.I. definida en A

n A Entonces n es elemento neutro para * en A

si y slo si

a A a n a n a;


n es neutro para * en A

a A , a A' Entonces a es elemento simtrico de a para * en A

si y slo si

a a n a a ' '


e A Entonces e es elemento absorbente para * en A

si y slo si

a A a e e e a;


e es elemento absorbente para * en A

a A Entonces a es elemento nilpotente para * en A

si y slo si a a e


a A Entonces a es elemento idempotente para * en A

si y slo si a a a


a A Entonces a es elemento regular para * en A

si y slo si

x y A a x a y x y

x a y a x y

, ;


a A Entonces a es elemento central para * en A

si y slo si

x A a x x a;

- 6 -


II. EJERCICIOS.-

1. Sea Q* = Q - {0}. Explicar que la divisin (denotada generalmente por : ) es una ley de composicin interna definida en Q*. Comprobar si las siguientes proposiciones se verifican para

la divisin en Q*.

a) a : b = b : a b) (a : b) : c = a : (b : c)

c) a b c d a b c d: : : : : : d) a : b = a : c b = c e) b : a = c : a b = c

2. Sea * una ley de composicin interna definida en Q por:

a) a b a b ab b) a ba b ab

2 c) a b

a b

3

Determinar cuales de estas operaciones binarias verifican las propiedades conmutativa y asociativa.

3. Define la siguiente tabla pitagrica una ley de composicin interna en {1,2,3}?, en {1,2,3,4}?

& 1 2 3

1

2 3

1 3 4

2 1 3 1 3 2

4. Cuando se construye la tabla pitagrica de una ley de composicin interna en un conjunto finito. a) Pueden quedar casilleros vacos? Por qu? b) Un casillero puede contener ms de un elemento? Por qu?

5. Cuntas operaciones se pueden construir en un conjunto de 3 elementos?, en un conjunto de n

elementos?

6. Considrese el conjunto F, de las aplicaciones f i (i = 1, 2, 6) de R - {0, 1} en R

definidas por:

f x x1 : f x x21

1:

f x

x

x31

:

f xx41

: f x x5 1: f xx

x61

1:

Demostrar que la composicin de aplicaciones es una ley de composicin interna definida en F.

7. En Z se define * por medio de a b = 2(a + b). Estudiar las operaciones con sus propiedades y

la existencia de elementos distinguidos (elementos notables).

8. Analizar las propiedades y elementos distinguidos de : R R2 definida por a b 0 .

9. Formar la tabla de composicin de aplicaciones biyectivas de A = {1, 2, 3} en si mismo.

10. Se sabe que * es una ley de composicin interna en A, que satisface:

a b c d A a b c d a c b d, , , ; . Demostrar que es asociativa y conmutativa, si existe elemento neutro.

11. {0}, {0, 1}, {1}, {-1, 1}, {-1, 0, 1} son partes del conjunto de los enteros. La multiplicacin es

cerrada para cada una de ellas?

- 7 -


12. Con las partes del conjunto de los enteros del ejercicio anterior construir la tabla pitagrica

con las operaciones de , y . Verificar si existen elementos notables en cada uno de ellos.

13. Examnese el conjunto de los nmeros naturales pares para las leyes de composicin internas:

a b a b ab , , .

14. Sobre el conjunto E = {1, 2, 3, 6} designamos a-b al MCD de a y b. Tablese y estdiese esta ley.

15. Sobre el conjunto E = {1, 2, 5} se designa con a b el resto de la divisin a b entre 3. Tablese

esta ley. Qu propiedades cumple? Tiene elementos distinguidos?

16. En N, ser o no ley de composicin interna? La ley: a + b + ab es conmutativa?, es

asociativa?, tiene elementos notables?

17. Demostrar si son leyes de composicin interna:

a) La reunin en P(E). b) La interseccin en P(E). c) La diferencia simtrica en P(E). Tienen elemento neutro?, tienen elementos absorbentes?, existen elementos simetrizables?

18. En el conjunto de los nmeros racionales se ha definido la ley: a & b = a + b + ab.

a) Estudiar la conmutatividad y la asociatividad. b) Demostrar que existe elemento neutro. c) Estudiar la distributividad respecto a la adicin o de la multiplicacin. d) Demostrar que cualquier racional diferente de -1 admite un inverso respecto a esta ley. e) Demostrar que dados dos elementos a y b cualesquiera resolver la ecuacin: a & x = b. f) Resolver 3 & x = 2 y (-3) & x = 2

19. Si la ley % es asociativa en E, y a es un elemento de E, entonces se define otra ley:

x & y = x % a % y. Demostrar que es asociativa.

20. Mostrar que el conjunto Z con la operacin $; tal que: m $ n = m + n + mn = (1+m)(1+n)-1, es

un monoide conmutativo. Qu sirve en (Z, $) de elemento neutro? Hallar en (Z,$) todos los elementos invertibles.

- 8 -


GRUPOIDES

I. DEFINICIONES.- 1. Grupoide:

Si A es un conjunto no vaco.

* es una L.C.I. definida en A

Entonces (A, *) es un grupoide o magma

si y slo si

AbaAba ;,

2. Sub - grupoide:

Si (A , *) es un grupoide

S A

Entonces (S , *) es un sub - grupoide de (A , *)

si y slo si

(S , *) es un grupoide.

3. Homomorfismo:

Si (A , *) y (B , &) son grupoides.

h es una aplicacin de A en B Entonces h es un homomorfismo de A en B

si y slo si

x y A h x y h x h y, ; &

4. Transformacin:

Si (G , *) es un grupoide.

f es una funcin definida en G Entonces f es una transformacin del grupoide

G

si y slo si f es una aplicacin

5. Semigrupo:

Si A es un conjunto no vacio.

& es una L.C.I. definida en A

Entonces (A , &) es un semigrupo si y slo si

i) (A , &) es un grupoide. ii) & es asociativa en A.

- 9 -


6. Monoide:

Si (A , *) y (B , &) son grupoides.

h es una aplicacin de A en B Entonces h es un homomorfismo de A en B

si y slo si

yhxhyxhAyx &;,

II. EJERCICIOS.- 1. Cules son grupoides?

a) (S , &) donde 1&;,,4,3,2,1 yxSyxS b) ,Z c) ,N d) ,Q e) ,Z

2. Es $,Z un grupoide cuando se define por: a) baba $

b) 2$ baba c) abbaba $

d) 0$ ba

e) aba $

f) 1$ ba

3. Construir un grupoide conmutativo de orden 3.

4. Demostrar que el conjunto Q*, dse los nmeros racionales diferentes de cero, dotado de la divisin usual de nmeros racionales, es un grupoide. Es conmutativo? Es semigrupo? Es

monoide?

5. Sea 4,3,2,1G . Las operaciones binarias definidas en G por las tablas siguientes convierten a G en un grupoide.

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4

1

2 3

4

1 2 3 4

2 4 2 4 3 2 1 4

4 4 4 4

1

2 3

4

1 2 3 4

2 1 4 3 3 4 1 2

4 2 3 1

1

2 3

4

1 1 1 1

2 2 2 2 3 3 3 3

4 4 4 4

Cules de los grupoides son semigrupos? Cules son monoides? Qu elementos son inversos?

6. Sea G el grupoide constituido por el conjunto Q con la operacin binaria % definida por

abbaba % . Es el grupoide %,Q un semigrupo? Existe un elemento neutro en %,Q ? Qu elementos del grupoide tienen inversos?

7. La misma pregunta que el ejercicio anterior para el conjunto Q y la ley abba .

8. Si en los grupoides de los ejercicios N 6 y N 7 se sustituye Q por el conjunto Z Se obtienen las mismas respuestas?.

9. Sean a, b y c tres elementos inversibles de un semigrupo. Demostrar que a(bc) posee un inverso y que es (cb)a.

- 10 -


10. Sea 3,2,1E y F(E,E) = el conjunto de aplicaciones biyectivas en E. Encontrar todos los elementos inversibles de ,E)F(E, , es la composicin de funciones.

11. Expresar con ayuda de las transformaciones: a& y &a, la funcin de los elementos notables.

12. Sean ,A un monoide y AS . Por definicin ,S es un sub-monoide de ,A s y solo si ,S es un monoide. Demostrar que la interseccin de toda familia de sub-monoides de A, es un sub-monoide de A.

13. Sean ,A un semigrupo y S una parte no vaca de A. La interseccin de todos los sub-semigrupos que contienen a S se llama sub-semigrupo generado por S, y lo denotamos por:

iSS . Donde cada iS es un subsemigrupo que contiene a S. Si AS , entonces se dice

que A est generado por S. Verificar para ,N y ,Z . i) 1S NS ii) 1,1 S ZS

14. Sea 1G . Es ,G un grupoide, si es la multiplicacin usual de enteros?, tiene neutro?, absorvente?, elementos inversibles?

15. La misma pregunta que el ejercicio anterior cuando 4 1G , con la multiplicacin usual de los complejos.

16. Sea if , 6,5,4,3,2,1i , el conjunto G de las aplicaciones de 1,0R en R definidas, 1,0 Rx , por: xxf :1

xxf

1

1:2

x

xxf

1:3

xxf

1:4

1:5

x

xxf

xxf 1:6

Estdiese las propiedades y la existencia de elementos notables.

17. Sea R* el conjunto de los nmeros reales diferentes de cero. Sea & la operacin binaria

definida en R* por baba & para *, Rba . Demostrar que &,*R es un grupoide asociativo, pero no es conmutativo.

18. Sea la operacin definida en G = RxR por (a,b) (c,d) = (ac , bc+d). Es (G , ) un grupoide conmutativo?, es asociativo?, tiene elementos distinguidos?

19. Sea G el semigrupo de los enteros con la adicin usual de enteros y sea H el semigrupo de los

enteros pares con la adicin usual. Verificar que la aplicacin HGh : : xx 2 es un homomorfismo de G en H.

20. La misma pregunta que el ejercicio anterior, pero con H = el semigrupo de los nmeros

naturales.

21. El mismo enunciado que el ejercicio N 19, pero:

a) HGh : definida por 2xx

- 11 -


b) HGh : definida por 0x

22. Sea G el semigrupo de los nmeros naturales con la adicin y H el semigrupo de nmeros

naturales con la multiplicacin. Demostrar que la aplicacin HGp : , definida por

xxp 2 es un homomorfismo.

23. Sean $,3,2,1G y &,,, cbaH , los grupoides con las operaciones y & definidas por:

$ 1 2 3 & a b c

1

2 3

1 2 3

2 3 1 3 1 2

a

b c

c a b

b b a c a b

Cules de las siguientes aplicaciones son homomorfismo?

a) a1 , b2 , c3 b) a1 , a2 , a3 c) a1 , b2 , b3

d) b1 , c2 , c3 e) b1 , b2 , b3 f) c1 , a2 , b3

24. Sea G el semigrupo de los nmeros naturales con la adicin usual. Determinar cules de las siguientes aplicaciones en G son homomorfismos.

a) 12 xxf b) 22xxg c) 1xh

25. La aplicacin m: P(E)P (E) : P E-P, es un homomorfismo entre los grupoides (P(E),) y (P(E),). Es todava un isomorfismo (se llama isomorfismo de De Morgan).

26. Un isomorfismo es involutivo si la composicin consigo mismo origina la identidad. Demostrar que el isomorfismo de De Morgan es involutivo.

27. ,5Z es un sub-grupoide de ,Z . En general ,nZ es un sub-grupoide de ,Z . Existen restricciones para n?

28. Si ba , entonces el monoide ,,baR de todas las relaciones definidas en ba , tienen 16 elementos, de los cuales tres son nilpotentes y once idempotentes, cules son?

29. Demostrar que en todo monoide abeliano se verifica: nnn yxyx &&

30. Si ,&A es un monoide abeliano, la aplicacin AAfn : definida por nxx es un

automorfismo de &,A .

31. En N se define la ley & por baba & . Cules son los subgrupoides de ,&N engendrados

respectivamente por 2,12,1,0, y .

32. Sea una L.C.I. definida por: bamcmba , . Cul es el subgrupoide de ,N engendrados por: y7,3,10,8,8,6,6,3,2,1,56 respectivamente?

33. Sea una L.C.I. definida por: baMCDba , . Cul es el subgrupoide de ,N engendrados por: 36,128 y los subconjuntos del ejercicio anterior?

- 12 -


GRUPOS

I. DEFINICIONES.-

1. Grupo:

Si A es un conjunto no vaco. * es una L.C.I. definida en A

Entonces (A, *) es un grupo

si y slo si

i) ,A es un monoide. ii) Todos los elementos de A son simetrizables.

Si adems: iii) * es conmutativa en A

Entonces (A, *) es un grupo abeliano o conmutativo

2. Sub - grupo:

Si (G , *) es un grupo

S A

Entonces (S , *) es un sub - grupo de (G , *)

si y slo si

(S , *) es un grupo.

3. Teorema de caracterizacin de sub-grupos:

Si (G , *) es un grupo.

AS

Entonces SyxSyx 1;, (S,*) es sub-grupo de (G,*)

4. Homomorfismo:

Si (A , *) y (B , &) son grupos. h es una aplicacin de A en B

Entonces h es un homomorfismo de A en B

si y slo si

bhahbahAba &*;,

- 13 -


5. Ncleo de un homomorfismo:

Si f es un homomorfismo de A en B.

n es el elemento neutro de (A, *) Entonces C es el ncleo de f

si y slo si

C = Nf = Ker f = f-1(n).

si y slo si

nxfAxC /

6. Imagen de un grupo segn un homomorfismo:

Si f es un homomorfismo de A en B.

Entonces C es la imagen de A, segn f

si y slo si C = Im f = f(A)

si y slo si

yxfAxByC ;/

II. EJERCICIOS.- 1. Es (S,*) un grupo si:

a) S = Z y * es la multiplicacin usual de enteros? b) S = Q y * es la multiplicacin usual de racionales?

c) 0/ qQqqS y * es la multiplicacin usual de nmeros racionales? d) 2/ zZzzS y * es la multiplicacin usual de nmeros enteros? e) S = R y * la adicin usual de nmeros reales? f) S = Z y * se define por a*b = 0

2. Sea P el conjunto de enteros pares. Demostrar que P con la adicin de enteros pares es un grupo.

3. Sea S el conjunto de los nmeros reales de la forma 2ba , donde Qba , y no son

simultneamente iguales a cero. Demostrar que S, dotado de la multiplicacin usual de los nmeros

reales, es un grupo.

4. Sea S el conjunto de los nmeros complejos de la forma 5 ba donde Qcba ,, y no son

simultneamente iguales a cero. Demostrar que S, con la multiplicacin usual de los nmeros

complejos es un grupo.

5. Las siguientes tablas definen cada una, una operacin binaria. Es un grupo el grupoide resultante? 1 2 a b

1

2

1 2

2 1

a

b

b a

a b

6. Sea n un entero positivo cualquiera y sea ZbanbaGn ,/ donde Z es el conjunto de los enteros. Demostrar que Gn es un grupo respecto a la adicin. Cundo ocurre que Gn=Z?

7. Sea n un entero positivo cualquiera. Sea ZbanibaGn ,/ donde 1i y Z es el conjunto de enteros. Es Gn un grupo respecto a la adicin? Es Gn un grupo respecto a la

multiplicacin de nmeros complejos?

- 14 -


8. Sea D = Z x Z. Defnase dbcadcba c 1,,, . Demostrar que D es un grupo respecto a la operacin . Ser ,D un grupo abeliano?

9. Sea G = Z x Z. Defnase dbcadcba c 2,,, . Demostrar que G es un grupo respecto a la operacin . Ser ,G un grupo abeliano?

10. Del ejercicio anterior. En G se define:

dbcadcba c 2,,&, . Es un grupo abeliano? Es G un grupo respecto a la operacin: dbcadcba c 2,,$, ?

11. Determinar en cada caso si el par ,G es un grupo a) ZkkxxG 12/ , es el producto ordinario. b) ZkkxxG 3/ , es la adicin en Z. c) QbabaG ,/2 , es el producto habitual. d) ZkxxG k 2/ , es el producto de enteros.

12. Demostrar que ,nR es un grupo abeliano, siendo Rn el conjunto de todas las n-uplas de nmeros reales, y la suma definida por:

nnnn yxyxyxyyyxxx ,...,,,...,,,...,, 22112121 .

13. Sea ,Q el grupo aditivo de los racionales. Es Z un sub-grupo de Q? Es N un sub-grupo de Q?.

14. Es 0Z un subgrupo de ,Q , el grupo multiplicativo de los nmeros racionales diferentes de cero?

15. Es Q un sub-grupo de ,C , el grupo aditivo de los nmeros complejos?

16. Es Q definido como en el ejercicio N 14, un sub-grupo de ,C , el grupo multiplicativo de los

nmeros complejos diferentes de cero?

17. Es Q un sub-grupo del grupo de los nmeros reales de la forma 2ba , tales que Qba , y

a y b no son simultneamente iguales a cero, si la operacin binaria es la multiplicacin?

18. Demostrar que la interseccin de dos subgrupos H y K de un grupo G es un subgrupo. Cabe decir lo mismo de la unin?

19. Sea D el grupo del ejercicio N 8. Determinar si ZaaH /0, y ZqqK /,0 son subgrupos de D.

20. Sea G el grupo del ejercicio N 9. Determinar si ZaaH /0, y ZqqK /,0 son subgrupos de G.

21. Formar el conjunto de todas las simetras y rotaciones del tringulo equiltero, que lo transforman congruentemente, y verificar que dicho conjunto con la composicin de funciones es un grupo.

22. Determinar todos los subgrupos del ejercicio anterior.

23. Sea 0/,...,, 21 inn xRxxxH . Demostrar que ,H es un sub-grupo de ,nR .

24. Verificar que ,22xR es un grupo abeliano y que ,H es un sub-grupo, siendo H el conjunto de matrices reales de dos filas y dos columnas que verifican A=-A

t, tales matrices se llaman anti

simtricas y satisfacen aij=-aij.

25. Verificar que 1E dotado de la multiplicacin y 0F dotado de la adicin son dos grupos isomorfos.

- 15 -


26. Demostrar que 1,1G dotado de la multiplicacin es un grupo.

27. Prubese que, sobre un grupo (multiplicativo) cualquiera, la ecuacin axbcx = abx admite solucin nica. Determnese esta.

28. Sobre un grupo multiplicativo cualquiera, hllese una solucin de la ecuacin xax = bba-1.

29. Sobre un grupo abeliano cualquiera resulvase la ecuacin: xabxc = bxa.

30. Sobre el conjunto QQ de pares ordenados de racionales ba, tales que 0a , definimos la ley dbcacdcba ,,, . Demustrese que esta ley confiere al conjunto estructura de grupo.

31. Estdiese el grupo de isometras de un rectngulo. Hllese su orden; reconzcase que es abeliano; hllese sus automorfismos y el grupo que estos forman; hllese tambin sus sub grupos.

32. Sobre 1,0Q se consideran las cuatro funciones:

xxf :1 , x

xf1

:2 , xxf :3 , x

xf1

:4

Demustrese que forman un grupo con la composicin de funciones. Comprese con el grupo del

rectngulo.

33. En las condiciones del ejercicio precedente, estdiese el grupo de las seis funciones:

xxf :1 x

xf1

:2 xxf 1:3

xxf

1

1:4

x

xxf

1:5

1:6

x

xxf

34. Estdiese el grupo de isometras del cuadrado. Determnese todos sus subgrupos, uno de ellos es isomorfo al grupo del rectngulo, cul?.

35. Demostrar que en el conjunto de los pares racionales ba, dotados de la ley: dbcacdcba ,,, , los pares b,1 forman un grupo.

36. Sean 0 RA y la funcin AAf : tal que 2xxf . Demostrar que f es un morfismo del grupo ,A en s mismo y determinar su ncleo y su imagen.

37. Investigar si AAf : definida por 3xxf es un morfismo, en el mismo caso del ejercicio anterior.

38. Demostrar que RNf : tal que xxf 2log es un isomorfismo de ,N en ,R .

39. Sean ,G un grupo y Ga . Se define GGf : mediante axaxf 1 . Determinar que f es un automorfismo (isomorfismo sobre s mismo), definido por Ga ; se llama automorfismo interno.

40. Demostrar que la composicin de dos homomorfismos de grupos es un homomorfismo.

41. Sea ,G un grupo. En G se define la operacin & mediante baba & . Demostrar que ,&G es un grupo.

42. En Q2 se considera definida por: dbcacdcba ,,, . Determinar si Q2 tiene estructura de grupo con .

43. Demostrar que el semigrupo ,X es un grupo si y solo si las ecuaciones bax y bxa son resolubles en X.

- 16 -


44. Sean los grupos ,3R y ,2R . Probar que 23: RRf definida por 3231321 ,,, xxxxxxxf es un homomorfismo. Determinar su ncleo y su imagen.

45. Sea el grupo ,Z . Demostrar que la funcin ZZf : definida por 43

xxf es un

homomorfismo. Determinar su Ker f e Im f.

46. Cules son los sub grupos de ,12Z ? Indique una parte generatriz de cada subgrupo.

47. Cul es el subgrupo del grupo cclico ,24Z engendrado por 3 ?

48. Cules son los subgrupos del grupo cclico ,13Z engendrados respectivamente por 3 , 5 y 10 ?

49. Hallar los subgrupos normales de los grupos de permutaciones de dos elementos (S2), de tres elementos (S3) y de cuatro elementos (S4).

50. Es normal el subgrupo

312

321,

321

321 de S3?

51. Es normal el subgrupo

1234

4321,

2143

4321,

3412

4321,

4321

4321 de S4?

- 17 -


ANILLOS

I. DEFINICIONES.-

1. Anillo:


* y & son L.C.I. definidas en A

Entonces (A, *,&) es un anillo

si y slo si

i) ,A es un grupo abeliano. ii) (A,&) es un semigrupo. iii) & es distributiva con respecto a * en A

2. Sub - anillo:

Si (A ,*,&) es un anillo

S A

Entonces (S ,*,&) es un sub - anillo de (A ,*,&)

si y slo si (S ,*,&) es un anillo.

3. Teorema de caracterizacin de sub-anillos:

Si (A ,*,&) es un anillo.

AS

Entonces SbaSbaSba &,;, 1 (S,*,&) es sub-anillo de (A,*,&)

4. Homomorfismo de anillos:

Si (A ,*,&) y (B,%,$) son anillos. f es una aplicacin de A en B

Entonces f es un homomorfismo de A en B

si y slo si

yfxfyxf

yfxfyxfAyx

$&

%*;,

5. Anillo sin divisores de cero:

Si ,&,A es un anillo. n es el elemento neutro de ,A Entonces ,&,A no tiene divisores de cero

si y slo si

nynxnyxAyx &;,

- 18 -


6. Dominio de integridad:

Si ,&,A es un anillo sin divisores de cero. Entonces ,&,A es un anillo ntegro

si y slo si

,&A es abeliano

7. Ideal de un anillo:

Si ,&,A es un anillo. AI

Entonces I es un ideal de A

si y slo si

i) I es sub anillo de A

ii) IxyIyxAyIx &&,

II. EJERCICIOS.-

1. Demustrese que los elementos n y a forman un anillo para las leyes: a n = n a = a a & n = n & a = a n n = n n & n = n a a = n a & a = a Interprtese lo anterior reemplazando n por PAR y a por IMPAR.

2. En Z2 se definen la adicin y la multiplicacin mediante:

byaxbayx ,,, 0,',, xabayx Verificar que ,,2Z es un anillo y clasificarlo.

3. En Z2 se consideran la suma habitual de pares ordenados y el producto definido por:

bxayaxyxba ,,, . Comprobar que ,,2Z es un anillo conmutativo con unidad.

4. ZbabaxRxA ,2/ . Comprobar que A es un anillo conmutativo y con unidad, con la suma y el producto de nmeros reales. Investigar si admite divisores de cero.

5. Con relacin al anillo del ejercicio anterior, verificar que: AAf : , tal que

22 babaf es un isomorfismo de A en A, respecto de la adicin y de la multiplicacin.

6. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones en ,,5Z :

343

22

yx

yx

032

324

yx

yx

12

3

yx

yx 123 x

7. Sea P(E) el conjunto potencia de E. Demostrar que (P(E), , ) es un anillo con unidad. 8. Forman un ideal los elementos no invertibles de los anillos Z16 y Z21?

9. Demostrar que A=2Z es ntegro.

- 19 -


10. (P(E), ,). Es un anillo con unidad?

11. El conjunto de los nmeros racionales b

a tal que b es mltiplo de 5. Forman un anillo con unidad?

CUERPOS Y CAMPOS

I. DEFINICIONES.-

1. Cuerpo:


* y & son L.C.I. definidas en A

Entonces (A, *,&) es un cuerpo

si y slo si

i) ,A es un anillo. ii) (A*,&) es un grupo.

2. Teorema de caracterizacin de sub-anillos:

Si (K ,*,&) es un cuerpo.

KS

Entonces

SaSa

KdeanillosubesS

1 (S,*,&) es sub-cuerpo de (K,*,&)

3. Campo:

Si K es un conjunto no vaco.

* y & son L.C.I. definidas en K Entonces (K, *,&) es un campo

si y slo si

i) ,&,K es un anillo. ii) (K*,&) es un grupo abeliano.

- 20 -


II. EJERCICIOS.-

1. Demostrar que Qbaba ,/2 es un cuerpo conmutativo.

2. El conjunto de las matrices triangulares superiores

Rcba

b

caT ,,/

0 forman un sub-anillo

de RaM ijx ,22 . M2x2 es un cuerpo?, es un campo?, T es sub-cuerpo?, es sub-campo?

3. Dentro del cuerpo de los racionales, frmese el menor subconjunto que sea un Dominio de integridad y contenga al nmero 1/5. La misma cuestin si los nmeros son 1/5 y 1/7. Generalcese.

4. Consideremos los pares racionales ba, con las leyes: dbcadcba ,,, cbadbdacdcba ,2,, Demustrese que forman un cuerpo. Ser campo?

5. La misma cuestin para bcadbdacdcba ,,, .

6. En P(E) se definen las leyes: '' XYYXYX y YXYX . Es anillo?

Demustrese que en este anillo se tiene siempre X2=X. En tales condiciones se dice que todo elemento es idempotente par4a la segunda ley. Ser idempotente para la primera ley?. La estructura

definida, es campo?

- 21 -


POLINOMIOS

I. DEFINICIONES.-

1. Sucesin:

Si s es una funcin de N en A. Entonces C es una sucesin

si y slo si

nsC si y slo si

nsnsnANsC

:

es una aplicacin

2. Polinomio Formal:

Si K es un anillo conmutativo con unidad pn es una sucesin en K, tal que

p(n+1) = p(n+2) = = 0 Entonces p es un polinomio formal de grado n sobre el anillo K o con coeficientes en K

si y slo si

npp

3. Anillo de polinomios:

Si P es el conjunto de polinomios con coeficientes en K

(P,+) es un grupo abeliano

,P es un monoide abeliano Entonces xK es un anillo de polinomios con coeficientes en K

si y solo si

,,PxK

4. Suma de polinomios:

Si f = (f0, f1, f2, ) g = (g0, g1, g2, ) son polinomios definidos en K

Entonces (f + g) es la suma de f y g si y slo si

f + g = (f0+g0, f1+g1, f2+g2, , fi+gi, )

- 22 -


5. Producto de polinomios:

Si f = (f0, f1, f2, ) g = (g0, g1, g2, ) son polinomios definidos en K

Entonces (f g) es el producto de f y g

si y slo si f g = (p0, p1, p2, , pk, )

tal que

kji

iik gfp

II. EJERCICIOS.-

1. Sean u = (-1,0,2) y v = (0,2,-3) polinomios definidos en Z. Hallar u + v ; uv ; u2 ; v2.

2. Sean u = (1,2) y b v = (3,4) polinomios definidos en Z5. Hallar u + v ; uv ; u2 ; v

2 ; u

2v

2

; u3.

3. Sean u = (0,0,1/2) y v = (-1/3,0,2/5) polinomios definidos en Q. Hallar Hallar u + v ; uv ; u

2 ; u

3 ; u

4 ; v

2.

4. Sean u = (2,1/2) y v = 3,0,0,2 polinomios definidos en R. Hallar u + v ; uv ; u3 ; v2. 5. Sean u = (1+2i,1/2) y v = (0 , 2-i , i-2) polinomios definidos en C. Hallar u +v ; uv ; u2 ; v2.

6. Los polinomios f(x) = x5 + 3x4 + x3 + 4x2 + 3x 1 ; g(x) = x2 +x +1 pueden ser considerados como

pertenecientes al anillo xZ o, digamos, al anillo xZ5 , de acuerdo a como se interpreten sus coeficientes. Utilizando el algoritmo de la divisin, mostrar que en el primer caso f(x) no se divide exactamente por g(x), y en el segundo caso se divide exactamente.

7. Sobre el cuerpo de los enteros mdulo cinco multiplquese y ordnese los dos polinomios:

23142 22 xxxx y 22 42 xx

8. La misma cuestin con los siguientes polinomios, que pertenecen a xZ7 :

136425 23 xxxx y 32 243 xx 9. Cuntos polinomios distintos de segundo grado, de tercer grado de n-simo grado podemos

formar sobre el cuerpo K = Z3.

10. Sobre el cuerpo Z7 determnese c y d de modo que: dcxxxx 234 53 sea un cuadrado

perfecto, de qu polinomio?

11. Sobre el cuerpo de los nmeros racionales, demuestre que, mediante un cambio de variable, el

polinomio: 13478 2 xxx se reduce a un polinomio de segundo grado.

12. Efectese la divisin de 63106 234 xxxxA , entre xxB 32 , dedzcase de ello la descomposicin de A en dos trinomios de segundo grado.

13. Sobre el cuerpo Z7, determnese un polinomio cbxaxxP 2 , tal que: P(1) = 4 , P(2) = 0 , P(6) = 1.

14. Cul es el valor numrico de 14742 34 xxxA para 31x ?

15. Dados en xZ6 los polinomios: 2,1,0,4,3p y 3,5,1q . Determinar:

- 23 -


a) qp 2 b) qp c) qp 2 d) el grado de qp 2

16. Obtener el nmero de polinomios en xZ de grado menor que cuatro con coeficientes ai tales que 31 ia .

17. Determinar a, b, c en R, de modo que:

i) 12219,16,4 xcxxbxxxa ii) 111,2 2 xcbxxxa

18. Obtener el cociente y el resto de la divisin de a entre b, pertenecientes a xQ , en los siguientes casos:

a) a = (0,-1) , b = (-1,1/2) b) a = (2,0,-1,0,1) , b = (-1,2,0,0,-1) c) a = (0,-1,0,1) , b = (-1,0,2)

19. Mediante la regla de Ruffinni, determinar el cociente y el resto de la divisin de a entre b en: a) a = (-1,a3,0,-a) , b = (-a,1) b) a = (2,4,1,0,3) , b = (2,1) en Z5[x]

20. Investigar si los siguientes polinomios son irreductibles en xQ y en xR : a) a = (-3,0,0,1) b) b = (4,0,5) c) c = (-1,0,0,0,0,0,1)

Álgebra moderna

Documents