al ii,practico 2014algera

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA “GABRIEL RENÉ MORENO”

FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y TECNOLOGÍA

GUIA DE EJERCICIOS ÁLGEBRA LINEAL GRUPOS G – H – F.1 – F.2 SEMESTRE I / 2014 U.I: ECUACIONES LINEALES PRACTICO # I.1

1. El SEDES desea realizar una campaña de Prevención del embarazo en adolescentes, para ello aplicó una encuesta a 45 jóvenes sexualmente activos que usan algún método anticonceptivo, la diferencia entre el doble de los jóvenes que usan pastillas anovulatorias y

el triple de los que usan preservativos es de 5. ¿Cuántos jóvenes usan cada uno de estos métodos?

2. Utilizando el método de eliminación de Gauss, encuentre la solución para los sistemas de ecuaciones. a) 2x1 – x2 – x3 = 4 b) 2x1 – 2x2 – x3 = -2 c) x1 – x2 + x3 – x4 – 4x5 – 2x6 = 5

x1 + x2 + 2x3 = 8 3x1 + x2 + x3 = 8 –2x1 + 3x2 – x3 + 2x4 + 2x5 – 3x6 = 9 5x1 – 4x2 – 5x3 = 4 – 4x2 – 5x3 = 2

3. Determine si los sistemas de ecuaciones son consistentes.

8xx21x2x

7xx

21

21

21

;

9x8x3x53x4x4x3

6x4xx20x2x2x

321

321

321

321

; 3x2x2x6x4xx2

7x4xx

321

321

321

; 3xx2x2x3xx2x2x

7xx4xx

4321

4321

4321

4. En el diagrama, x1, x2, x3, x4 representan el número de coches/hora que circulan por la rotonda, y los números

1000, 400, 500, 300 el número de coches/hora que circulan por las vías de ingreso y salida de la misma. Si el número de coches que entra en cada una de las vías es igual al de los que salen, se pide:

i) Plantee el sistema de ecuaciones que interrelaciona x1, x2, x3, x4.

ii) ¿Es posible encontrar una solución única para x1, x2, x3, x4?.

iii) ¿Es posible encontrar fórmulas para hallar x2, x3, x4 si se conoce x1?,¿cuánto valdrían si x1=1000?.

500

x1

1000

300 400

x2x3

x4

5. En un grupo de jóvenes, la cantidad que se identifican entre Pokemones y Pelolais es 45. Dentro de este grupo la mitad de los Pokemones equivale a los dos quintos de los Pelolais. ¿Cuántos Pokemones y Pelolais hay en este grupo?

6. Se dispone de tres lingotes de distintas aleaciones de tres metales A, B y C. El primer lingote contiene 20 g del metal A, 20 g del B y 60

del C. El segundo contiene 10 g de A, 40 g de B y 50 g de C. El tercero contiene 20 g de A, 40 g de B y 40 g de C. ¿Cuántos gramos hay

que coger de cada uno de los tres lingotes para elaborar, uno nuevo que contenga 15 g de A, 35 g de B y 50 g de C.?

7. Demuestre que el sistema es inconsistente si c2a–3b. 2x1 – x2 + 3x3 = a; 3x1 + x2 – 5x3 = b; –5x1 – 5x2 + 21x3 = c

8. Encuentre la solución para los sistemas: 3,81x1–1,61x2+0,91x3=3,72 0,7x1–1,1x2+2,9x3=0,89

–0,71x1+5,41x2+1,61x3=3,16 –1,6x1+3,2x2+1,6x3=3,25

1,51x1+1,11x2–3,21x3=3,78 0,9x1+0,5x2 –2,1x3=3,27

9. En el armario de una bruja hay 10 onzas de trébol de cuatro hojas molido y 14 onzas de mandrágora en polvo. La poción de amor, requiere de 3 1/13 onzas de trébol y 2 2/13 onzas de mandrágora para su elaboración. La poción de cura de resfrío, requiere de 5 5/13 onzas de trébol y 10 10/13

onzas de mandrágora. ¿Cuántas pociones de amor y de cura de resfrío puede elaborar la bruja para terminar con el contenido de su armario?

10. El otro día José, de 70 años de edad quiso repartir entre sus nietos cierta cantidad de dinero. Si les daba 300 bs. a cada uno le sobraba 600 bs. y si les daba 500 bs. le faltaba 1000 bs. ¿Cuántos nietos tiene? ¿Qué cantidad quería repartir?

11. Encuentre los valores de a, b y c para que el sistema sea consistente. 2x1 + 3x2 – x3 = a; x1 – x2 + 3x3 = b; 3x1 + 7x2 – 5x3 = c

12. Halle los valores de k y b para que

3bx2xkx5

x2b x2xx81b xx3kx

212

3

312

1231

tenga: a) solución única, b) infinitas soluciones y c) no tenga solución

GUIA DE ALGEBR A L INE AL GRUPOS F. 1 / F.2 / G / H SEMES TRE I I / 2 014

ING. CARMEN MAIDA

1

U.I: ECUACIONES LINEALES PRACTICO # I.2

1. Encuentre la solución de los sistemas de ecuaciones homogéneos,

a) 3x1 – x2 – x3 = 0 b) –x1 – x2 + x3 – x4 = 0 2x1 + x2 + 2x3 = 0 –2x1 + 3x2 – x3 + 2x4 = 0

x1 – 4x2 – 5x3 = 0 4x1 – 2x2 + 2x3 – 3x4 = 0

2. Por un rotulador, un cuaderno y una carpeta se pagan 3,56 Bs. Se sabe que el precio del cuaderno es la mitad del precio del rotulador y que, el

precio de la carpeta es igual al precio del cuaderno más el 20% del precio del rotulador. Calcula los precios que marcaba cada una de las cosas, sabiendo que sobre esos precios se ha hecho el 10% de descuento.

3. Encuentre la solución de los siguientes sistemas: a) –x1+x2+x3–x4= 4 b) 6x1+x2+x3–x4= 0 c) –2x1+x2+x3= 0

2x1–3x2–x3+4x4= 7 x1 + x2–x3–x4= 3 –x1 + x2–2x3= 0 –2x1+4x2+x3–2x4= 1 3x1–x2–5x3–x4= 2 2x1–x2–x3= 0

5x1–x2+2x3+4x4= –1 x1–x2+3x3+4x4= –1 x1–x2+2x3= 0

4. Encuentre el valor de k para el cual los sistemas tienen a) soluciones no triviales; b) solamente solución trivial

I) x1 – 3x2 – 5x3 = 0 II) 2x1 – kx2 + 5x3 = 0 III) x1 – 3x2 – 5x3 = 0 x1 + x2 – x3 = 0 x1 – x3 = 0 – kx2 + x3 = 0

4x1 –x2+kx3 = 0 4x1 – x2 + 2x3 = 0 2x1 – x2 + 2x3 = 0

5. Una empresa fabrica los productos P1, P2, P3, P4 en cantidades x1, x2, x3 y x4 respectivamente. Emplea los insumos A e B. En la tabla se proporciona el número de unidades que se precisan de cada uno de estos insumos para fabricar una unidad de cada uno de los cuatro bienes

P1 P2 P3 P4

A 3 4 2 2

B 4 5 1 1

a) Calcule las cantidades que pueden fabricarse de cada bien si se dispone de 30 unidades de cada insumo.

b) ¿Hay alguna solución del apartado anterior en la que x3 + x4 > 6?. c) ¿Hay alguna expresión que permita saber cuál es la solución del sistema conocidos x1 y x2?.

6. Un campesino alimenta su ganado con dos tipos de alimento (A y B). Una unidad del alimento A, proporciona por día, a una cabeza de ganado, el 10% de sus requerimientos de proteína y 15% de sus requerimientos de carbohidratos. Una unidad del alimento B, proporciona a una cabeza de

ganado el 12% de sus requerimientos de proteína y 8% de sus requerimientos de carbohidratos. ¿Cuántas unidades de cada tipo de alimento

debe dar el campesino a cada cabeza de su ganado, si desea cubrir el 100% de sus requerimientos?

7. Encuentre la solución para los sistemas: 1/8 x1 – 1/6 x2 + 3/9x3 = 3/2 7 1/2 x1 – 1 1/2 x2 + 2 1/2 x3 = 9 1/2 –1/2 x1 + ¼ x2 + 1/6x3 = 3/6 –6 1/3 x1 + 3 1/3 x2 + 6 1/3 x3 = 5 1/3

1/5 x1 + ½ x2 – 3/2 x3 = 4/8 7 1/5 x1 + 5 1/5 x2 – 2 1/2 x3 = 3 1/2

8. En una residencia de estudiantes se compra semanalmente 110 helados de sabores: vainilla, chocolate y coco. El presupuesto destinado para esta compra es de 540 Bs y el precio de cada helado es de 4 Bs el de vainilla, 5 Bs el de chocolate y 6 Bs el de coco. Conocidos los gustos de

los estudiantes, se sabe que entre helados de chocolate y de coco se compra el 20% más que de vainilla. Plantee un sistema de ecuaciones lineales y mediante el método de Gauss, calcule cuántos helados de cada sabor se compran a la semana.

9. Dado el sistema:

bz2yx

6zayx

3z3yx2

, calcule a, b para que (2, 2, –3) sea una solución

10. El Club de Caza y Pesca, tiene una laguna con tres especies de peces. Los peces son alimentados con tres tipos de alimentos (A, B, C). Un pez

de la especie 1 come en promedio una unidad del alimento A, una de B y dos de C. Un pez de la especie 2 come en promedio tres unidades del alimento A, cuatro de B y cinco de C. Un pez de la especie 3 come en promedio dos unidades del alimento A, una de B y cinco de C. Cada semana

se consumen en el club 25.000 unidades del alimento A, 20.000 unidades del alimento B y 55.000 unidades del alimento C. Todo el alimento es ingerido en esa semana. ¿Cuántos peces de cada especie coexisten en el lago?


ING. CARMEN MAIDA

2

U.II: MATRICES PRACTICO # II.1

1. Encuentre los números x, y, z, u, v para los que se verifica:

21

03

15

30u3

v33·

1z

y0

2x

2. Para qué valores de x, y, z las siguientes matrices

241

146

316

zyx1

1zy26

3zx3x

son iguales?

3. Sean las matrices, encuentre: a) 5A–7Bt, b) E2+F2; e) (E+F)2

40116701090524321

A ;

56

51

54

54

56

51

56

54

51

53

51

52

00

00B ; E =

701042315

; F=

12

24

12

7376

72

4. Encuentre la matriz X talque (–3X+8E)T = 2XT–F+3ET – D·CT

701042315

E ;

121

222F72

71

31

3,52,97,13,41,21,0

C ;

35

4201

D

5. El SEDUCA tiene interés en la distribución de estudiantes por año y sexo. En el año 1° se inscribieron 100 varones y 55 mujeres, en el año 2° 75 varones y 95 mujeres, en el año 3°, 47 varones y 40 mujeres, en el año 4°, 60 varones y 45 mujeres. Ordene estos datos en una matriz.

6. Una empresa tiene tres librerías, cada una tiene libros de ficción, arte y ciencias. La cantidad de libros por librería se presentan en la tabla:

Librería L1 L2 L3 a) Qué librería dispone de mayor stock de libros de arte.

b) Que representa el elemento a32 y el a23.

c) En que librería y de que temática cree que convendría lanzar una oferta para eliminar un posible exceso de existencia?

Ficción 400 350 100

Arte 200 450 300

Ciencias 100 400 200

7. Un maestro preparó cuatro exámenes a siete estudiantes. El valor de los exámenes se presenta en

la matriz B. Las calificaciones se presentan en la matriz A. El maestro desea que calcule las notas finales de los estudiantes empleando la multiplicación de matrices.

8. Dadas las matrices, determine a qué espacio pertenece cada una de ellas, llévelas a su forma canónica y determine su rango.

9. Encuentre la forma triangular superior de A.B

0346

9660

1635

1426

A

0c30a6

0cb20

10ba5

1cba

B

10. Determinar el valor del parámetro a para que la matriz

1a434a21a

31aaA 2

2

sea simétrica

11. La traza de una matriz cuadrada es igual a la suma de los elementos de la diagonal principal, demuestre

que la traza de B*A es igual 0

12. Obtenga la inversa de la matriz cuadrada de orden 4 cuyo término (i, j) es i+j si i = j y si i j es 0. (9 pts)

13. Calcular B−1, sabiendo que se cumple que )B(2

1)B(

2

12

14. Dada la matriz

31

12A encontrar todas la matrices B tales que AB = BA.

61493250603537519177627357494359684652669879889162658375

A

35,025,030,010,0

B

1012

01B

012311

A

4011678097524321

A

701042315

H

5.33.5

4.00.23.09.0

D


ING. CARMEN MAIDA

3

U.II: MATRICES PRACTICO # II.2 1. La tabla representa los

datos de profundidad

del agua y de lodo

tomados en una laguna

(36mx 60m).

Construya la matriz

(L5x8) de distribución

del lodo, la matriz (A5x8)

de distribución de

profundidad y obtenga

la distribución de la

profundidad libre en la

laguna (P5x8).

Punto x y Profundidad lodo (m) Profundidad agua Punto x y Profundidad lodo (m) Profundidad agua

1 4,50 0,00 0,95 0,99 21 22,50 30,00 0,34 2,93

2 9,00 0,00 1,70 1,70 22 27,00 30,00 0,85 2,90

3 13,50 0,00 1,40 1,50 23 31,50 30,00 0,60 2,50

4 18,00 0,00 0,35 1,50 24 36,00 30,00 0,61 1,13

5 22,50 0,00 0,30 1,40 25 4,50 45,00 0,40 0,75

6 27,00 0,00 1,12 1,40 26 9,00 45,00 1,05 2,57

7 31,50 0,00 0,90 1,00 27 13,50 45,00 0,30 2,94

8 36,00 0,00 0,95 0,95 28 18,00 45,00 0,30 2,94

9 4,50 15,00 0,95 0,95 29 22,50 45,00 0,30 2,94

10 9,00 15,00 1,90 2,40 30 27,00 45,00 0,30 2,90

11 13,50 15,00 1,40 2,53 31 31,50 45,00 0,50 2,40

12 18,00 15,00 0,35 2,50 32 36,00 45,00 0,50 1,58

13 22,50 15,00 0,30 2,68 33 4,50 60,00 0,30 0,72

14 27,00 15,00 0,86 2,70 34 9,00 60,00 0,90 2,60

15 31,50 15,00 0,65 2,40 35 13,50 60,00 0,31 2,94

16 36,00 15,00 0,65 1,10 36 18,00 60,00 0,30 2,98

17 4,50 30,00 0,40 0,74 37 22,50 60,00 0,28 2,94

18 9,00 30,00 1,55 2,43 38 27,00 60,00 0,32 2,94

19 13,50 30,00 0,85 2,95 39 31,50 60,00 0,35 2,36

20 18,00 30,00 0,40 2,95 40 36,00 60,00 0,53 1,54

2. La matriz A, representa los porcentajes que perciben las reparticiones públicas (Prefectura, Municipio, Tesoro Nacional, Universidades públicas, Policía, Fuerzas armadas) por concepto de ingreso por impuestos.

La matriz B representa los ingresos al estado por impuestos. Encuentre: a) la matriz de distribución de los impuestos según origen y destino.; b) el monto que percibe la Universidad por

concepto de IDH.

3. Determine la inversa de las matrices:

231010240151

1023

A ;

6040145260401452

C ;

4. Descomponga A en una matriz simétrica y otra antisimétrica, si

113401312

A

5. Obtenga el valor de k para el cual a) A es no singular, b) A es singular.

1k1kk321

1k1kkA

6. Escriba A.B como producto de matrices elementales

400030002

A ;

162002001

B

8. Sea la matriz

1000sencos0cossen

E , encuentre: a) E·ET; b) (E–ET)2.

9. Encuentre la forma triangular superior de

36

31

74

74

75

71

36

34

51

53

21

52

00

00B

10. Encuentre la traspuesta de [D·(A+B)]:

0504500000054050

A ;

6010145160101451

B ; 4021D

11. Dos negocios de electrodomésticos N1 y N2 reciben por televisores (t) y reproductores de DVD (r) de dos fábricas. Estas recepciones están

representadas por A

9070

8050

f

f)r()t(

2

1

. Los precios en dólares por cada aparato en cada negocio está dado por:B

9070

8050

r

t2N1N

. Calcule e

interprete el producto A·B

VehículosInmuebles

galíasReIDH

10x7,010x8,110x0,210x0,4

B

6

6

6

6

315171535A


ING. CARMEN MAIDA

4

EJEMPLOS RESUELTOS U.II: MATRICES

1. El dueño de un bar ha comprado refrescos, cerveza y vino por importe de 500 Bs. (sin impuestos). El valor del vino es 60 Bs. menos que el de los refrescos y de la cerveza conjuntamente. Teniendo en cuenta que los refrescos deben pagar un IVA del

6%, por la cerveza del 12% y por el vino del 30%, lo que hace que la factura total con impuestos sea de 592.40 Bs, calcular la cantidad invertida en cada tipo de bebida.

40,62440

500

24,006,00200

111

)06,0(A

)1(A

40,9260

500

30,012,006,0111

111

50040,592V30,0C12,0R06,060VCR

500VCR

31

21

)1(A

220160280

100010011

)1(M

)4(A

2201040500

100410111

)(M

)(M

44040,62

500

20024,006,00111P

40,62440

500

24,006,00200

111 12

13

23

21

3

6100

223

220.Bs:vinoEn160.Bs:cervezaEn120.Bs:refrescoEn

invirtióSe220V160C120R

220160120

100010001

2. Determine el valor de m, para el cual el sistema es consistente, luego resuelva el sistema para ese valor de m.

10614m

7

00022062m0

111

)1(A)1(A

)2(A

31

m7

1111114m2

111

3zyx1zyx

mz4myx27zyx

41

31

21

Donde se evidencia que el sistema es independiente del valor que tome m, el sistema no admite solución sin importar que valor tome m.

3. Utilizando la teoría de matrices, encuentre los valores de k y de b para que el sistema tenga las tres alternativas: a) solución única, b) infinitas soluciones, c) no tenga solución

3bx2xkx5

x2bxx2x81bxx3kx

212

3

321

1231

Ordenando 3bx5x2xk

bx2xx21bx3xx8kx

3212

321

3211

Matriz aumentada

3bb

1b

52k212

318k

2

Llevando A a su forma escalonada:

12

2

P

3bb

1b

52k212

318k

)(M

3b1b

b

52k318k212

21

1

2

)]8k([A

3b1b

52k318k

1121

2b

2

21

)]k([A

3b52k

1 1k0

112

312

bkb622b

22

10k21

)2(M

k50

1 1k0

112

26b22bk

2b62bk

2b

2

242k

210k

21

)2(Mb62bk

k50

22k210k0

113

26b22bk

2b

2

242k

21

)10k(1

2

2

2b

22

21

M

6b2bkb62bk

10k24k022k210k0

11

4kA

6b2bk10k24k0

10

112

32

210k

b62bk2b

2210k22k2

21

2

10k3

10k52b44k6bk62k22bk4

10kb62bk

2b

10k12k22k2

10k22k2

21

M

00

10

11

26b22k3bk3kbk26kk00

10

11

2210k

b62bk2b

210k22k2

21


ING. CARMEN MAIDA

5

Se identifican los términos que hacen que el sistema tenga las diferentes opciones de solución

26b22k3bk3kbk26kk00

10

11

2210k

b62bk2b

210k22k2

21

a) Para que A·X=B admita solución única solución única, debe 0

06kk2

0)2k)(3k(

3k0)3k(

2k0)2k( Por tanto, si 3k ó 2k , A·X=B admite solución única.

b) A·X=B admite infinitas soluciones si 0 y 0

06kk2

0)2k)(3k(

3k0)3k(

2k0)2k(

026b22k3bk3kbk2 22

Para 3k : 026b22)3(3)3(b33)3(b2 22

026b229b99b18

026b13

2b

Para 2k : 026b22)2(3)2(b3)2()2(b2 22

026b226b64b8

036b8

4b Por tanto, si ( 3k y b=2) ó ( 2k y b=4) A·X=B admite infinitas soluciones.

c) A·X=B no tiene solución si 0 y 0

06kk2 0)2k)(3k(

3k0)3k(

2k0)2k(

026b22bk3kbk2 22

Para 3k

026b22)3(3)3(b33)3(b2 22

026b229b99b18

026b13 2b

Para 2k : 026b22)2(3)2(b3)2()2(b2 22

026b226b64b8

036b8 4b

Por tanto, si ( 3k y b 2) ó ( 2k y b 4) A·X=B no admite solución.


ING. CARMEN MAIDA

6

4. Encuentre los valores de k para que la matriz

52k212

318kA

2admita inversa

Llevando A a su forma escalonada:

12

2

P

52k212

318k

)(M

52k318k212

21

1

2

)]8k([A

52k318k

1121

2

21

)]k([A

52k

1 1k0

112

31

22

10k21

)2(M

k50

1 1k0

112

2

242k

210k

21

)2(M

k50

22k210k0

113

2

242k

21

)10k(1

2

22

21

M

10k24k022k210k0

11

4kA

10k24k0

10

112

32

2210k22k2

21

2

10k3

10k12k22k2

10k22k2

21

M

00

10

11

6kk00

10

11

210k22k2

21

Para que A admita inversa, debe ocurrir que 06kk2

06kk2 0)2k)(3k(

3k0)3k(

2k0)2k(

Por tanto, si 3k ó 2k , A es inversible.

5. Descomponer A en una matriz simétrica y una antisimétrica.

113201

312A =

03

01310

23

23 +

10

00002

21

21

6. Establezca el rango de la matriz (5E·F2 ) si

700042015

E ; F=

120

221

310

562972

141

120221310

*120

221310

F*FF2

1 752107017010050206535

3542143420104137

*5562972

141*

700042015

*5F*E*5 2

102205

109517

32

109517

23

701

3517

31

21517

12

501

22

00

10

21)135(A

991350

10

21

P

)(M

63700991350

21

)70(A

)35(A

17521070206535

21

P

)(M

1752107017010050206535

F*E*5

El número de filas no nulas de una matriz en su forma escalonada, es igual a su rango , 3F*E*5rang 2


ING. CARMEN MAIDA

7

U.III: DETERMINANTES PRACTICO # III.1

1. Encuentre el determinante de AT si la matriz:

cossen

sencosA ;

751

432

421

A ,

2. Utilizando el método de la adjunta, encuentre la inversa de

4011678097521321

A y

101220012

M

3. Encuentre el determinante de:

10i101i

i1i1E ;

4051670007724051

G

062640222822620424221010004

B

36

31

34

34

35

31

37

34

31

34

31

32

00

00H

4. Demuestre que el |A| = |D|,

4051070007004001

A ;

121433312

D

5. Si el determinante de la matriz de coeficientes es igual a 4, calcule x3 del siguiente sistema:

4 x3dxx3x43 x4cxx5x34 x2 bxx4x2x3x5x3x2

4321

4321

4321

4321

6. Demuestre que si A es una matriz antisimétrica de orden n x n con n impar, entonces el determinante de la matriz A es igual a cero.

7. Se conoce que la matriz AR4x4 tiene su determinante igual a (– 8). Calcular los siguientes determinantes:

a) A3 b) 2A c) 1T A·A d) A

8. Si

ihg

fed

cba

A y 3A , encuentre el determinante de a)

cba

ihg

fed

; b)

ihg

f2e2d2

cba

indicando las propiedades empleadas.

9. Encuentre la matriz de cofactores de A4x4, si A-1, se ha obtenido: A-1 = P13.M1(1/2)·A31(4)·M2(3/5)·A42(-3)·M3(1/42)·A43(1)·M4(2/7)·A12(-1)· I

10. Dadas

400030002

A ;

2221

1211

aaaa

C ;

1000sencos0cossen

E , calcule el determinante con el método de Sarruz.

11. Dadas las matrices

1304022010151201

A y

013122300131

1422

B , obtenga: a) 1)B·A(

12. Sea la matriz B =

senx311senx1111

, a) Obtenga dx

Bd,

13. Dada

0121423030532642

F , obtenga: a) |F|; b) el cofactor c33; c) Cree Ud. que F es inversible? Porqué?

14. Establezca, de manera justificada, si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.

a) Si 0A , A es inversible; b) Si 0A , el sistema A·X = B es inconsistente.

15. Encuentre el valor de t, de modo tal que se verifique que 0

t402

0t0

20t1

16. Obtenga el valor del parámetro x para que

00110112100xx112

A |A| 0.


ING. CARMEN MAIDA

8

4412141075168844221

C;321975321

B;

43211497529450000

A

U.III: DETERMINANTES PRACTICO # III.2

1. Si

c00

00b

0a0

C obtenga: a) C-1, utilizando el método de la adjunta.

3. Sean las matrices

c00

0b0

xx2x

A y

03t210

2t4001

20t0

130t2

B , obtenga: a)dx

Ad; b)

dt

Bd

4. Demuestre que )bc)·(ac)·(ab(A , si

222 cba

cba

111

A

5. Sea

000

100

110

A , demuestre que a) 0A ; b) que A es nulipotente y encuentre el valor k tal que 0Ak

6. Verifique que D

1D 1 para

2c2b2a

cba

111

D

7. Sea

1k1kk

321

1k1kk

A , obtenga el valor de k para el cual A es inversible

8. Obtengadt

Ad, si

t2000

1t200

00t20

700t2

A

9. Utilizando propiedades demuestre que zyx

rqp

cba

2

yxzxzy

qprprq

baaccb

10. Sea la matriz nulipotente

043

143

154

A , obtenga el valor de k para el cual kA

11. Calcule A si i)

315

153

531

A , ii)

i1i10

10i

0i1

A , iii)

22

03A , iv)

210

301

432

A

12. Encuentre la matriz X, si es posible, utilizando la matriz inversa:

22

38

12

22·X·

11

23

13. Encuentre A; si la matriz de cofactores de la A, es:

30248

1193

1082

C y 2A

14. Determine si:

15. Compruebe que la matriz

100

0sencos

0cossen

es singular para cualquier valor real que tome .

CBA


ING. CARMEN MAIDA

9

EJEMPLOS RESUELTOS U.III: DETERMINANTES

1. Encuentre el valor de a para que

4a66

13a5113a

D admita inversa

Si 0D , D admite inversa.

0

4a66

13a5

113a

D

)3a(63016)4a(516)4a)(3a()3a(D

18a630620a5)612a3a4a()3a(D 2

a2)6aa)(3a(D 2

)16a4a4a(D 23

)4a)(4a(D 2

0)4a)(4a( 2 4a0)4a(

2a0)4a( 2

Por tanto, si 4a ó 2a , A admite inversa.

2. Sabiendo que 222 )ba(

0a0b

b0a0

0b0a

a0b0

A , establezca como varía el determinante si en la matriz A se multiplica la segunda fila por

)ba( 22 y a la tercera fila se le suma la primera multiplicada por a2.

Si 222 )ba(A , entonces, el determinante de la matriz lA , obtenida de A)]ba([M)a(AA l 222

231 , sería:

A)]ba([M)a(AA l 222

231

Si adiciona, el determinante no varía; si multiplica por (k), multiplique por (k), entonces:

A*)ba(A l 22

})ba({*)}ba({A l 22222

322 )ba(A l


ING. CARMEN MAIDA

10

MODELO 1 DE PRIMER PARCIAL ALGEBRA LINEAL

1. Al comenzar los estudios de bachillerato se les hace un test a los estudiantes con 30 cuestiones sobre Matemáticas. Por cada cuestión contestada correctamente se le dan 5 puntos y por cada cuestión incorrecta o no contestada se le quitan 2 puntos. Un alumno obtuvo en total

94 puntos. ¿Cuántas cuestiones respondió correctamente?

2. Demuestre que el determinante de la matriz A3x3 es 23 si aij es 0 si i j y es 2 si i = j.

3. Justifique la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones:

a) El determinante de las matrices A, B y C tiene el mismo valor:

4412

141075

16884

4221

C;

321

975

321

B;

4021

14075

2045

7060

A

b) El determinante de la matriz

sen00

tgcossen

cossen0 es sen3.

c) El elemento neutro de la suma de matrices es la matriz identidad.

4. Encuentre A-1 si

aa11

a0a1

11a

A2

2


1. Durante cierto día de verano, el promedio de temperatura en las ciudades de Santa Cruz, Cochabamba y La Paz fue de 88ºF. En Santa Cruz, fue de 9ºF mayor que el promedio de las temperaturas de las otras dos ciudades. En La Paz fue 9ºF menor

que la temperatura promedio de las otras dos ciudades. Cual fue la temperatura de cada ciudad

2. Si X es una solución del sistema de ecuaciones lineales A·X=B, determine B y formule el sistema donde:

1265

0121

1023

B y

8

3

1

2

X

3. Una empresa tiene tres librerías y, cada una de ellas tiene libros de ficción, arte y ciencias. Las cantidades de libros que

tenía en cada librería se representan en la matriz A. Se ha recibido una nueva entrega según la matriz E, y las ventas se

han ordenado en la matriz V. Encuentre las existencias actualizadas

200400100Ciencias300450200Arte100350400Ficción

3L2L1L

A ;

6852607310

V ;

601020205040704060

E

4. Dadas las matrices B=

121433312

y D=

4051070007004001

, compruebe si son invertibles, uti lizando la teoría de determinantes

5. Sean las matrices A,B, sabiendo que 2A , obtenga: a)

2A ; b) 1)B·A( ; c) A5 ; d) 1A

013122100231

1422

B ;

10100101

11000011

A


ING. CARMEN MAIDA

11


1. En la clase de álgebra lineal hay 35 alumnos. Les han regalado por buen comportamiento 2 bolígrafos a cada chica y un cuaderno a cada

chico. Si en total han sido 55 regalos, ¿cuántos chicos y chicas están en la clase?

2. Justifique la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones:

a) El determinante de las matrices

4412

141075

16884

4221

C;

321

975

321

B;

4021

14075

2045

7060

A

es igual

b) El determinante de la matriz

sen00

tgcossen

cossen0 es sen3

.

c) Dos matrices se pueden sumar si y solo si tienen el mismo número de filas.

d) El elemento neutro de la suma de matrices es la matriz identidad.

3. Demuestre que )bc)· (ac)· (ab(A , si

111cbacba

A

222

4. Demuestre que si el sistema homogéneo 0y)ka(cx0dyx)ka(

admite solución no trivial, la variable k satisface la ecuación (a-k)(b-

k) – cd =0

MODELO 4 PRIMER PARCIAL ALGEBRA LINEAL

1. Sea A una matriz del tipo 2x3, B una matriz del tipo 3x2 y C una matriz del tipo 3x2. Sólo una de las siguientes opciones es correcta:

a. At B es de orden 2

b. A B + C es de orden 3

c. B C es del tipo 3x2

d. (A + Bt) C es de orden 2

2. Dos obreros trabajan 8 horas diarias en la misma empresa. El primero gana 50 bs diarios más que el segundo; pero ha trabajado durante 30 jornadas mientras que el primero sólo 24. Si el primero ha ganado 3000 bs menos que el segundo calcular el salario diario de cada obrero

3. Calcular el determinante de la matriz cuadrada de orden 4 cuyo término (i, j) es i si i = j y si i > j es 0. Demuestre que ese determinante es

igual 4!

4. Encuentre: a) d[A]/dx si

22

33

x9x3

x3xA

5. Encuentre A-1 si

aa11

a0a1

11a

A2

2


ING. CARMEN MAIDA

12

U.IV: VECTORES PRACTICO # IV.1

1. Localizar los puntos, en el plano x, y, cuyas coordenadas son: (-2 ,3); (1.4); (-2 , -3); (3, -4); (0, - 5); (4, 0)

2. Localice los puntos, en el tri-espacio, cuyas coordenadas son: (1,2 ,5); (-3,2,4); (2 ,-5,6) (-3,-4,5) (-2 ,-3,-5) (0,-3,2) (2 ,0,2)

3. Trazar los siguientes vectores con el punto inicial en el origen: u = (3,4); v = (-2 , 3); w = (-1, -4); t = (3, -2)

4. Encontrar las componentes del vector cuyo punto inicial es A y punto terminal es B

a) A = (3, 4), B = (2 , -6) b) A = (-2 , 3), B = (-3, 0) c) A = (-1, -4), B = (4, 0). d) A = (3,4,-2),B = (2,-6,0) e) A = (-2,3,5), B = (-3,0,-2) f) A = (-1,-4,0), B = (4,0,5)

5. Determine u 1 + u2 + u3 si: u 1 = (5,-1,4); u2 = (4,2 ,3); u3 = (2,7,-6).

6. Sean los vectores v1 = (1,-2); v 2 = (-5,3); w1 = (1,2 ,3); w2 = (2,4,-1) a) grafique los vectores. b) obtenga el ángulo entre v 1

y v2 c) la norma del vector w 1xw2 d) la dirección de los vectores

7. Determine el ángulo formado por los vectores v = (3, -4, 5), u = (2, -1, 1).

8. Encuentre el punto de intersección de las rectas L1 y L2 y determine la distancia de Po = (-1,3,9) a L1: (L1) x + 1 = 4k y – 3 = k z – 1 = k y (L2) x + 9 = 4k y – 1 = k z – 2 = 3k

9. Sean los vectores v 1= (-1, 0,0), v2 = (1,-3,-1), v3= (1, 1,0), v4= (0,-3,1).

Determine: a) v3+(v4xv2 ): c) v3 (v4xv2 ); d) c) v3 (v4v2 )

10. Encuentre el producto de los vectores que nacen en P 1=(1,-2 ,5) y llegan a P2 =(1,1,1) y P3= (1,2,3).

11. Calcular las proyecciones: a) )0,8(B);5,7(A);4,3(Q);6,1(P si PQProy y ABoyPr ABPQ .

b) de v sobre w y u sobre w si: )2,0,8(w y )7,5,4(v ),1,4,6(u .

12. Encuentre: a) la ecuación del plano que pasa por las rectas b) el ángulo formado por las rectas: (r1) x - 1 = 3k y – 4 = k z + 1 = k

(r2) x + 2 = 2k y + 1 = k z – 1 = 3k

13. Encuentre la intersección de los planos –3x+2y-5z-4=0 y 4x-y+2z-8=0

14. Sean los vectores v1 = (1,-1,1); v2 = (-2, 3, 1); v3= (1,4,-1); u 1= (2,-2, 4); u2 = (1,-2 ,8)y u3= (3,5,-2)

a) Encuentre el punto terminal de v1 si el punto inicial es (1,0) la suma de v1 y v2

b)Encuentre u3xv3

c) Encuentre el punto medio entre los puntos terminales de los vectores u3 y v1.

d) Encuentre el volumen del paralelepípedo formado por los vectores u3 , v2 y u 1

15. Sean los vectores v = 3i–j+k; u=2 i–2 j+k; w=–i+2 j–3k; Encuentre la norma de (u x v) x w

16. Encuentre un vector paralelo a la recta: (r): x + 5 = k y – 1 = 2k z – 2 = – 4k

17. Determinar el valor de x para que los vectores )3,x,1(u y )4,5,2(v a) sean ortogonales, b) sean paralelos, c) formen entre sí un

ángulo = 60º.


ING. CARMEN MAIDA

13

U.IV: VECTORES PRACTICO # IV.2

1. Demostrar que A = (3,0,2), B = (4,3,0) y C = (8,1, -1) son los vértices de un triangulo rectángulo. ¿En qué vértice está el

ángulo recto?

2. Determinar la ecuación del plano que pasa por los puntos A = ( -2 ,1,1), B = (0,2 ,3) y C = (1,0,-1)

3. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto P = (3,4, -5) y es paralelo a los vectores u = (3,1, -1) y v = (1,-2 ,1).

4. Determinar la ecuación de la recta que se obtiene de interseptar de los planos -2x + 3y + 7z + 2 = 0 y x + 2y -3z + 5 = 0.

5. Encontrar el punto de intersección entre la recta

t4zt2y

t54x y el plano 3x –y +z -9 = 0

6 Determine el plano que pasa por el punto (2,-7,6) y que es paralelo al plano 5x -2y +z -9 = 0.

7. Sean las rectas r1 y r2, encuentre: a) el punto de intersección de las rectas; b) un vector perpendicular al plano formado por las rectas; c) el punto de intersección de r1 con el plano xy.

(r1): x + 2 = 5k y – 1 = 3k z – 1 = 2k (r2): x + 1 = 3k y – 6 = 2k z – 4 = k

8. Sean los vectores v = 3i–4j+ 5k; u=2 i–j+k; w=–i+2 j–k; Encuentre:

a) El gráfico del plano formado por u y w; b) El área del paralelogramo formado por u y v

9. Encuentre la intersección de los planos 1 : –2x+2y-5z-4=0; 2 : 4x-y+2z-8=0; 3 : -x-3y+z-6=0

10. Determine el ángulo formado por los planos –6x+2y-2z-4=0 y 5x-3y+2z-8=0

11. Encuentre el vector resultante del producto de los vect ores que tienen su punto inicial en P 1(1, -2, 5) y su punto terminal

en P2 = (2, 1,-1) y P3 = (-1, 3, 3)

12. Sean los vectores v = -i+2 j+ 5k; u=2 i–j+k; w=–i+2 j+k; Encuentre: a) El punto donde se interceptan las líneas que tienen

la dirección de los vectores u y w y pasan por los puntos (2,-1,1) y (-1,2 ,1) respectivamente.

13. Sean las rectas r1, r2, r3 y r4, determine: a) si r1 y r2 son paralelas; b) si r1 y r2 son ortogonales; c) el ángulo formado r1

y r2 , d) la ecuación del plano que pasa por r3 y r4; b) el punto en que r4 intercepta el plano (x,y); y r3 intercepta el plano (y,z).

(r1): x – 2 = 6k y + 1 = 2–2k z – 1 = 2k

(r2): x + 1 = 3k y – 6 = k z + 4 = k (r3): x - 1 = 4k y – 4 = k z – 1 = k

(r4): x + 2 = 3k y + 1 = k z – 2 = 3k

14. Sean los vectores {v i}: v1=(1,2 ,4), v2 =(2,4,8), v3=(0,1,0), v4=(1,0,0). Encuentre: a) La norma de v1 ;

b) La ecuación del plano que pasa por los vectores v3 y v2 , c) Encuentre las ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta que pasa por el punto (1,1,4) y e s paralela al vector v4.


ING. CARMEN MAIDA

14

U.V: ESPACIOS VECTORIALES PRACTICO # V.1

1. Sea V=(x,y)/x,yR , determine si V es un espacio vectorial sobre R, si las operaciones se definen:

adición: (x,y)+(x’,y’) = (x’, y+y’) y producto por un escalar: k(x,y) = (ky ,kx)

2. Sea V=(x,y,z)/x,y,zR, determine si W=(x,y,z)/x-3y+8z=0 es un subespacio vectorial de V para la adición y producto

por un escalar ordinarios

3. Sea V=(x,y,z)/x,y,zR, demuestre que W=(x,2x,-6x)/x,0R es un subespacio vectorial de V para la adición y producto

por un escalar ordinarios

4. Sea V = (a,b,c) / a,b,c R, demuestre que W = (a,0,c) / a,c R es un subespacio vectorial de V si las operaciones en

W se hallan definidas por: (a, 0, c) + (d, 0, f) = (a + d, 0, c + f) y k(a, 0, c ) = (ka, 0, kc)

5. Demuestre que W= { (a,b,c ,)/a=b=c} es subespacio del espacio vectorial V={ (a,b,c ,)/a,b,c R}

6. Compruebe si W= { (a,b,c)/a=b+c} es subespacio del espacio vectorial V={ (a,b,c ,)/a,b,c R}

7. Compruebe a) si

Rb,a/

bba

baaW es un subespacio del espacio de las matrices 2x2; b) dim W

8. Determine: a) UW; b) WU’ c) UU’; si: U=(a,a,a)/xR W=(0,b,0)/b,0R; U’=(0,0,c)/c,0R

9. Sean los vectores v = i–5 j+6k; u=2 i–3j+4k; w=–2 i+2 j–2k; a) Es v combinación lineal de u y w?

10. Sean los vectores v 1 = 2 i–j+6k; v2 =i–3j+k; v3 =–2 i+2 j–2k; a) Generan los v i R3.

11. Sean los vectores v = -i+2 j+ 5k; u=2 i–j+k; w=–i+2 j+k; a) Determine si v, u y w son linealmente dependientes .

12. Sean los vectores {v i}: v1=(0,-1,0,0,1), v2 =(1,-3,-1,-6,2), v3=(1,-5,5,1,0), v4=(0,-3,1,5,1), v5=(1,-2,4,-4,-1). Determine si:

a) el conjunto {v i} es dependiente; b) {v i} genera R5 ; c) el vector (2 ,4,-6,8,-1) es combinación lineal de {v i}.

13. Sea V=(x,y)/x,yR , demuestre que W=(x,x)/R es un subespacio vectorial de V para la adición y producto por un

escalar ordinarios

14. Sea la matriz A. Establezca: a) Si las filas de A, }F{ i

forman un conjunto dependiente

t2000

1t200

00t20

700t2

A

15. Sea la matriz

3024

5300

0121

7002

A ; determine si a) los vectores fila de A generan R4; b) v=(4,-6,8,-1) )F(L i de A

16. Sea V=R2 x2 , a) Demuestre que

Rb,a/

00

baW y

Rd,c,a/

dc

0aU son subespacios de V para la adición y producto

por un escalar ordinarios. b) Determine si WUV V.

17. Sea V el conjunto de las duplas ordenadas de números reales: V = (a,b) / a,b R, demuestre que V no es un espacio

vectorial sobre el cuerpo de los reales si ocurre que: (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) y k (a, b) = (ka, b) .

18. Encuentre el espacio generado por la intersección de los planos 1 :–2x+y–3z=0; 2 :4x–y+2z=0; 3 :–x–3y–z=0


ING. CARMEN MAIDA

15

U.V: ESPACIOS VECTORIALES PRACTICO # V.2

1. Sean los vectores {vi}: v1 = (1, -2, 0, 0, 3), v2 = (1, -5, -3, -2, 6), v3 = (0, -5, 15, 10, 0) , v4 = (2, -6, 18, 8, 6).

a) Encuentre una base para el L(vi). 2. Sean los vectores {ui}: u1 = (1,-2,0,3), u2 = (1,-5,-3,6), u3 = (0,1,5,0), u4 = (2,-1,4,-7), u5 = (5,-8,1,2).

a) Determine si el conjunto {ui} es dependiente. b) Encuentre una base para el espacio L(ui), generado por los vectores {ui}

3. Sea V el espacio vectorial sobre K, formado por las matrices simétricas 2x2; encuentre a) dim(V); la base usual de V 4. Sea {ei} la base usual para V, espacio vectorial tetradimensional sobre K, formado por todas las tetra-uplas.

a) Encuentre el vector coordenado [v]e, para v=(2,3,4,5)

5. Sea

;

00

01;

00

11;

01

10;

11

11Eij una base para V, espacio vectorial sobre K, formado por todas las matrices 2x2. Encuentre el

vector coordenado de la matriz

11

32A , relativo a la base {Eij}

6. Sea

51

14;

31

12;

10

01Eij una base para W, espacio vectorial sobre K, formado por las matrices simétricas 2x2. Encuentre los

vectores coordenados de las matrices

711

114A ,

59

106B relativos a la base {Eij}

7. Establezca si los vectores v 1 = (4,2 ,6) ; v2 = (a,b,c) son combinaciones lineales de u 1=(1,1,1); u2 =(2,2,0); u3=(3,0,0); comente el resultado sobre u i.

8. Compruebe si los vectores u 1 = (2 ,-1,4); u2 = (4,2,3); u3 = (2 ,7,-6) se encuentran en el mismo plano.

9. Para la matriz

3021

5000

0121

7001

A , encuentre: a) los vectores fila; b) los vectores columna; c) una base para L(F i)

d) una base para L(C i); e) rang(A); f) Con los resultados anteriores, puede afirmar la existencia de A -1; g) A ; h)

Son los vectores (fila o columna) de A una base para R 4

10. Sean las bases e i y f i para R3 e 1=(1,1,1); e2 =(0,2 ,3); e3=(0,2 ,-1); f 1=(1,1,0); f2 =(1,-1,0); f3=(0,0,1)

a) Encuentre los vectores coordenados para v 1=(3,5,-2) y v2 =(0,0,0), relativos a las bases e i y f i

b) Cree usted que se puede afirmar que V y R 3 son isomorfos, porque.

11. a) Determine si W=(a,b,-a,0)/a,bR y U={(a,b,a2 ,b)/a,bR} son subespacios de V={(u 1,u2 , u3 , u4)/ u iR} .

b) Encuentre dim W; c) Encuentre dim U

12. Sean los vectores: )5,1,1(v 1 ; )1,1,3(v2 ; )1,1,0(v3 ; )0,2,2(v4 ; determine a) si los v i son linealmente dependientes

b) Encuentre una base para el espacio generado por los v i; c) dim(L(v i)). e) Si los vi forman la matriz de coeficientes

del sistema A·X=B, será siempre consistente? 13. Diga si es verdadera o falsa la afirmación, argumentando su respuesta.

a. Dos vectores en Rn son linealmente dependientes si y solo si uno es múltiplo del otro. b. Cualquier conjunto de n-1 vectores en Rn es linealmente dependiente.

c. El rango de una matriz inversible es igual al número de sus filas no nulas. 14. Sean los vectores {v i}: v1=(1,0,4), v2 =(0,4,8), v3=(0,1,0), v4=(1,0,0). Encuentre:

a) la dimensión del espacio generado por los vectores {v i}; b) Si W es igual a R3

15. Determine si el vector v = (b1,b2,b3) es una combinación lineales de los ui;u1 = (1,0,0); u2 = (2,2,0); u3 = (0,0,3).


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16

MODELO 1 DE SEGUNDO PARCIAL ALGEBRA LINEAL 1. Justifique las siguientes afirmaciones: a) El vector 0,es linealmente independiente. b) ax+by+cz+d=0 es la ecuación del plano que es paralelo al vector n = (a,b,c). c) Se dice que los vectores columna de una matriz de orden n son independientes si son no nulos. d) La relación entre un espacio vectorial V y su subespacio es que WV. 2. Determine: a) Si los vectores {vi} se encuentran en el mismo plano; b) Si los vectores {vi} son linealmente

independientes; c) La ecuación del plano que generan; d) Las ecuaciones simétricas de la recta paralela a v1. v1=(2,-1,4)

v2=(4,2,3)

v3=(2,7,-6)

3. Determine: a) Si W es subespacio del espacio vectorial V, para la suma de vectores y producto por un

escalar ordinarios; b) U+W; c) Es V = U W V={(x1,x2,x3,x4,x5)/xiR} W={(a,b,a,2a,b)/a,bR} U={(0,0,0,d,e)/d,eR}

4. Un triángulo se halla definido entre los vértices A = (0,0,0); B = (0,1,3); C =(2,2,0); encuentre: a) El gráfico de la figura; b) La ecuación de la recta que sigue el vector AC; c) Determine si el conjunto de vectores AB , BC y CA son linealmente dependientes, d) Si el vector v =

(4,5,3) es combinación lineal de los vectores AB , BC y CA , e) La ecuación del plano sobre el que está asentado el triángulo que tiene

como vértices los puntos ABC; f) El ángulo formado los vectores AB y AC ; g) La longitud del lado BC del triángulo.

5. Determine: a) Si los vectores {wi} se encuentran en el mismo plano; b) Si los vectores {wi} son linealmente independientes; c) La ecuación del plano que generan; d) La ecuación de la recta paralela a w1.

w1=(1,0,-1) w2=(0,1,0) w2=(1,-1,-1)

MODELO 2 DE SEGUNDO PARCIAL ALGEBRA LINEAL

1. Sea

Rb,a/

bb

baU determine si U es espacio vectorial, si ijij baBA*) y ijkakA*)

2. Sea el plano

R,z,y,x);0z2yx/(

zyx

, determine: a) si los vectores (3,1,2) y (9,-1;8) están sobre ; b) si el vector (-5,-5,10) es

ortogonal al plano; c) las ecuaciones paramétricas de la recta de intersección con el plano

R,z,y,x);0zy2x3/(

zyx

3. Un triángulo se halla definido entre los vértices A=(-8,4,1); B=(2,-6,3); C=(-3,-3,-3); encuentre: a) La ecuación de la recta que sigue el vector AC; b) La ecuación del plano que contiene el triángulo ABC; c) El ángulo formado los vectores AB y AC d) La longitud del lado BC del triángulo.


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17

U.VI: TRANSFORMACIONES LINEALES PRACTICO # VI.1

1. Determine si las siguientes transformaciones son lineales.

a)

yx

yx

y

x

RR:T 22

b)

y

x

y

x

RR:T

2

22

c)

3y

x2

y

x

RR:T 22

d)

dc

ba

dc

ba

RR:T 2x2

e) y3x5

y

x

RR:T 2

f)

c32a

ac2b3axaxaa

RP:T

221o

2x22

g) 21o21o

221o

22

x)a3a2(x)aa(axaxaa

PP:T

h)

10

21B:DondeB·A)A(TA

MM:T 2x22x2

2. Encuentre el núcleo, la imagen, el rango y la nulidad de las siguiente transformaciones lineales.

a) )yx,yx2()y,x(

RR:T 22

b) ))1x(a)1x(aa()xaxaa(

PP:T

2210

2210

22

c)

30

21Msi

MAAMA

RR:T 2x22x2

d) )t3z3yx,tz2x,tzyx()t,z,y,x(

RR:T 34

e) dt/))t(p(d)t(p

PP:T 33

3. Sean las transformaciones lineales, en Hom(R 3 , R2 ):

a) )zy,x2()z,y,x(

RR:T 23

b) )y,zx()z,y,x(

RR:S 23

c) )yx,yx()z,y,x(

RR:F 23

d) )z,y()z,y,x(

RR:G 23

Encuentre: a) T+S; b) F+G; c) El núcleo y la imagen de cada una de las transformaciones obtenidas

4. Sean las transformaciones lineales:

)zy,x2()z,y,x(

RR:T 23

)x,y()y,x(

RR:S 22

Encuentre: a) ToS; b) SoT; c) El núcleo y la imagen de cada una de las transformaciones obtenidas.


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18

U.VI: TRANSFORMACIONES LINEALES PRACTICO # VI.2

1. Sean los operadores lineales S y T en R2 , definidos por S(x,y)=(x+y,0) y T(x,y)=(–y,x). Encuentre: i) S+T, ii) ST, iii) S 2 , iv) T3 .

2. Encuentre la representación matricial de las transformaciones:

a) 32 RR:T : T(x,y)=(3x–y,2x+4y,5x–6y).

b) 24 RR:T : T(x,y,z,t)=(3x–4y+2z–5t,5x+7y–z–2t).

c) 43 RR:T : T(x,y,z,t)=(2x+3y–8z,x+y+z,4x–5z,6y).

d) 33 PP:T : T(p(t)) = d(p(t))/dt

3. Encuentre una aplicación de:

a) 43 RR:T , cuya imagen es generada por (1,2 ,0,0) y (2 ,0,1,3)

b) 3RR:T 4 , cuyo núcleo es generado por (1,3,-5,0) y (0,0,1,1)

c) 33 RR:T , cuya imagen es generada por (1,2 ,3) y (4,5,6)

4. Dados los operadores lineales en R2 . Encuentre la matriz de la transformación respecto a la base usual: a) T(x,y)=(2x–3y,x+y); b) T(x,y)=(5x+y,3x–2y); c) T(x,y)=(x–y,x).

5. Encuentre las matrices de cada operador del problema anterior, con respecto a las bases: a) {f i} ={(1,2), (2,3)}; b) {g i} ={(1,3), (1,4)}

6. a) Encuentre las matrices de transición P de {f i} a {g i} y Q de {g i} a {f i}; dadas las bases:

{f i} ={(1,2), (2,3)}; {g i} ={(1,3), (1,4)}; b) Determine que Q = P -1

7. Con los resultados obtenidos del ejercicio anterior, determine que dado el vector v = (a,b), se cumple que gf vPv : y

que PTPT f1

g

8. Determine cuáles de las siguiente transformaciones lineales son no singulares.

a) )yx,yx2()y,x(

RR:T 22

b) ))1x(a)1x(aa()xaxaa(

PP:T

2210

2210

22

c)

30

21Msi

MAAMA

RR:T 2x22x2

d) )t3z3yx,tz2x,tzyx()t,z,y,x(

RR:T 34

e) dt/))t(p(d)t(p

PP:T 33


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19

MODELO 1 DE FINAL ALGEBRA LINEAL

1. Si

0a0b

b0a0

0b0a

a0b0

A , determine como varía el determinante de A si se le resta 1 al elemento a14 .

2.- Obtenga el conjunto generador de W={(x,y,z)/ 2x-6y+2z=0}, subespacio de R3

3. Encuentre la dirección de la recta normal al plano 1 y que pasa por el punto de intersección de 2, 3 y 4, si: 1={(x,y,z)/2x-y+z-3=0}; 2={(x,y,z)/x-y+2z-5=0}; 3={(x,y,z)/3x+z+3=0}; 4={(x,y,z)/6y-2z+4=0}

4.- Determine los valores de k para los cuales el sistema dado sea consistente: x + y - z = 2k

2x + 3y = 2k - 1

x + y + (k2 – 10)z = 3k – 3

5. Establezca la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones:

a. En un sistema A

3

2

1

x

x

x

=0 con rang(A) = 2 se puede escoger indistintamente x1, x2 ó x3 como variable libre.

b. El sistema Ax = b tiene dos soluciones.

c. El vector v=(1,3,2) respecto de la base {(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)} tiene como vector coordenado a (1,1,1).

MODELO 2 DE FINAL ALGEBRA LINEAL

1. Grafique los vectores )2,4(1 v ; )1,2(2 v en R2 y )3,2,1(1 u ; )4,1,5(2 u de R3, encuentre el ángulo que se forma entre ellos.

2. Determine cuáles de los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales:

W = {(x, y, z, t)/ 2x+z = 0} R4

U = {(x, y, z) / 2x+y = 3} R3

F = {(a0, a1, a2)/ a0+a1x+a2x2/ a0 = a1 = a2} P(2)

G = {(x, y) / xy = 0} R2

3. Son los vectores (1, 2, 3); (1, 1, 1) combinación lineal de los vectores (1, 0, 2); (0, 2, 2)?

4. Obtenga el valor del parámetro x para que

0011

0112

100

112

x

x

A los vectores fila sean linealmente independiente.


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20

ALGEBRA LINEAL PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LAS LINEAS RECTAS GRUPOS F.1/F.2/G/H

Gran parte de la teoría del álgebra lineal elemental es de hecho una generalización de las propiedades de las líneas rectas. Algunas de las propiedades fundamentales de las líneas rectas son:

a) La pendiente de una recta que pasa por los puntos (x1,y1) y (x2,y2), si x1 x2, está dada por:

m = pendiente de la recta = (y2–y1)/(x2–x1) = y/x

b) Si x2–x1 = 0 y y1 y2, entonces la recta es vertical y se dice que “la pendiente no está definida”. A veces se dice que una recta vertical

“tiene pendiente infinita” o que “no tiene pendiente

c) Cualquier recta, a excepción de las rectas con pendiente indefinida, se puede escribir como la ecuación:

y = mx + b Donde: m = pendiente de la recta b = ordenada al origen (valor de y en el punto donde la recta corta el eje y)

d) Dos rectas son paralelas si y solo si tienen la misma pendiente.

e) Si la ecuación de una recta es ax + by = c, (b0), entonces:

m = – a/b

f) Si L1 es una recta con pendiente m1 y L2 es otra recta, con pendiente m2. Se evidencia que si L1 y L2 son perpendiculares, entonces:

m2 = –1m1

g) Las rectas paralelas al eje x (abscisas), tienen pendiente 0.

h) Las rectas paralelas al aje y (ordenadas), tienen pendiente indefinida.

al ii,practico 2014algera

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