ajuste de observaciones

1errores y ajustes geodesicos

BRYAN JIMENEZ MONTOYA

portafolio de curso

UNIVERSIDAD DE COSTA RICA I SEMESTRE, 2013.

2INDICE

INTRODUCCIN

TEORA DE ERRORES

EJERCICIO 1

EJERCICIO 2

PROPAGACIN DE ERRORES

EJERCICIO 1

AJUSTE DE OBSERVACIONES DIRECTAS

EJERCICIO 1

EJERCICIO 2

AJUSTE DE AMARRADO CON OBSERVACIONES MEDIATAS EJERCICIO 1

EJERCICIO 2

EJERCICIO 3 EJERCICIO 4

EJERCICIO 6

CONCLUSIN

3

4

8

15

25

48

5

7

9

16

22

26

32

36

40

44

3INDICE INTRODUCCION

Geodesia es la ciencia para determinar el tamao y la for-ma de la Tierra (incluyendo variaciones temporales), usando mediciones principalmente de distancias y angulos. Estas han convertido a la geodesia en una de las principales ciencias de la Tierra, donde la alta precisin de las observaciones ha permitido su aplicacin en muchas ramas del estudio fsico del planeta y tambin de cuerpos celestes.El siguiente documento trata de una modesta bitcora donde se encontraran diversas prcticas que fueron necesarias para la enseanza del tratamiento de los errores y ajustes en las mediciones geodsicas, a lo largo del curso impartido por la profesora e ingeniera Gabriela Cordero Gamboa en la Univer-sidad de Costa Rica para la escuela de Ingeniera Topogrfica de la Facultad de Ingeniera.El curso se enfoca en los siguientes temas: Teora de errores, Propagacin de Errores, Ajuste y Observacin directas y Ajuste amarrado.

4En la geodesia y la topografa se consideran variables aleato-rias continuas, es decir, las que permiten obtener varios resulta-dos de una medicin determinada, incurriendo a varios tipos de errores en la misma, el ajuste se basa precisamente en la existencia de estos errores.

La teora de errores trae como el resultante el valor ms pro-bable y verdadero, entre ms datos de una medicin de dis-tancia fija se tengan, mayor exactitud va poseer el clculo.

TEORIA DE ERRORES

5Para esta prctica se dividi el grupo en cuadrillas para reali-zar la medicin de las paredes del laboratorio de fotogrametra varias veces, para de esta forma tener varias medidas de cada una de las cuatro paredes y as poder realizar el ajuste correspondiente.

EJERCICIO 1

De estos datos se eliminan los errores groseros, una vez hecho esto obtenemos el promedio de dichas mediciones, con este promedio hacemos la matriz de residuos restndole a cada ob-servacin el promedio, se comprueba el clculo con la suma de la matriz de residuos vi igual a cero. Con la matriz anterior (vi) se obtendr la matriz vi tomando cada entrada y elevndola al cuadrado. Como resultado de esta prctica obtendremos la desviacin estndar de cada observacin (so) y la desviacin estndar del promedio (sx), utilizando las siguientes formulas:

6A continuacin la tabla con los resultados resultados.

L (m) Residuo (m) V (mm) V (mm)7,865 0,072 72,000 51847,800 0,007 7,000 497,750 -0,043 -43,000 18497,785 -0,008 -8,000 647,765 -0,028 -28,000 784

PROMEDIO L=7,79m 0,000 0,000 7930,000 44,53mm 19,91mm

L (m) Residuo (m) V (mm) V (mm)6,558 0,01m 14,00mm 1966,552 0,01m 8,00mm 646,525 -0,02m -19,00mm 3616,525 -0,02m -19,00mm 3616,560 0,02m 16,00mm 256

PROMEDIO L=6,54m 0,000 0,000 1238,000 17,59mm 7,87mm

L (m) Residuo (m) V (mm) V (mm)7,770 0,01m 6,50mm 42,25

7,757 -0,01m -6,50mm 42,257,752 -0,01m -11,50mm 132,257,775 0,01m 11,50mm 132,25

PROMEDIO L=7,76m 0,000 0,000 349,000 10,79mm 5,39mm

L (m) Residuo (m) V (mm) V (mm)6,486 0,00m -1,75mm 3,06256,480 -0,01m -7,75mm 60,06256,490 0,00m 2,25mm 5,0625

6,495 0,01m 7,25mm 52,5625PROMEDIO L=6,49m 0,000 0,000 120,750 6,34mm 3,17mm

B

A

C

D

DESVIACION ESTANDAR

DESVIACION ESTANDAR

DESV. ESTANDAR PROMEDIO


DESVIACION ESTANDAR


DESVIACION ESTANDAR


73,60,6 m

F(A)= 2,16 m

0,0001 00 0,000225 m

F= 0,6 3,6 m 0,63,6 m

F*LL= 0,00006 0,00081

F*LL*FT= 0,002952

0,0543323 m

Nota resultados 2,5procesos 2unidades 0,5

LL=

L=

FT=

DESVIACION ESTANDAR OBSERVADA 5,43cm

La segunda parte de la practica fue medir una de las mesas del laboratorio de Fotogrametra, con estos valores y unas des-viaciones estndar de los equipos de medicin dadas por la profesora procedimos a sacar la desviacin estndar de las observaciones.

El procedimiento fue el siguiente con las matriz L de distancias observadas se sac la matriz F(A) que era igual al rea de la mesa (L*l), la profesora nos proporcion los datos de las des-viaciones del equipo los cuales fueron 0.01m y 0.015m.

La matriz LL utiliza el cuadrado de esos valores y los acomoda en diagonal y la matriz F proviene de las derivadas parciales de frmula de la matriz F(A) L*l, y esta matriz F se traspone FT.

Se manipulan algebraicamente las matrices anteriores para ir obteniendo los resultados con las formulas dadas a conti-nuacin en el cuadro de clculo.

EJERCICIO 2

8PROPAGACION DE ERRORES

Es topografa y geodesia, es comn efectuar mediciones para determinar ciertas magnitudes, las cuales no se puede medir de forma directa.

De esta forma, los errores que afectan las observaciones, tam-bin afectaran las variables calculadas, por lo que para co-nocer el error del valor calculado, se recurre a la propagacin de errores.De forma matricial, la ley general de propagacin de errores es la siguiente:

ff=F*LL*FT

ff =matriz de varianza-covarianza de las funcionesLL =matriz de varianza-covarianza de las observaciones

F=matriz de derivadas parciales de las funciones

9EJERCICIO

Ya anteriormente lo habamos utilizado en la segunda parte de la practica 1, pero aqu lo profundizamos.

En esta ocasin se divido el grupo en cuadrillas a recolectar datos en el campo con una Estacin Total de la marca Sokkia con una desviacin dado por el fabricador del equipo de 3mm2ppm lineal y angular de 5,

Los datos a recolectar era salir del punto conocido CON (1000,1000) y llegar al otro punto conocido IGN ah en la mis-ma Universidad de Costa Rica, una cuadrilla iba en una direc-cin opuesta a la otra cuadrilla con el fin de obtener ms da-

E N E N

1000,0000 1000,0000 1000,0000 1000,0000

1099,8897 963,2468 885,8370 845,4320

1170,9364 949,7608 897,2190 765,3460

1337,1318 1047,0094 924,3940 668,1660

CUADRILLA

#1

CUADRILLA

#2

10

tos de una misma medida y hacer ms precisa la prctica. El procedimiento del clculo comenz con la transformacin de puntos de coordenadas a datos polares, con esto sacamos la matriz L.

La matriz s0 son las desviaciones lineales y angulares del equi-po, las primeras vienen dadas por el fabricantes 3mm2ppm y tratada por la formula

Donde a corresponde a 3 mm, b a 2ppm y d la distancia en la matriz L en kilmetros.

La matriz SLL viene dada por el cuadrado de la matriz s0 aco-modada en diagonal, la matriz f es consecuencia de la fun-cin que determina las componentes en x y y de la distan-cia L, ms la suma de los valores iniciales de las coordenadas (1000,1000), este proceso es el que cambiara los valores del calculo que reptitivo a lo largo de todo el ajustes ya que se irn concatenando los valores de las coordenadas obtenidas al fi-nal de este, para calcular el siguiente punto.

Con estas funciones dadas es necesario sacar las derivadas parciales de ellas, tomando como variables el valor de L igual a d y en la otra derivada parcial el valor del ngulo en azi-mut t a esta ltima funcin debemos multiplicarla por el valor P (/180) para linealizar el ngulo y trabajar congruentemente a lo que buscamos, que son valores lineales.

Ya con estas matrices iniciales y manipulacin algebraica de ellas con las formulas anexas en los cuadros siguientes se pro-cede al finalizar el ajuste.

11

0,1064366 km L= 106,4366 m E1 1000,000m

110,2013889 110,2014 N1 1000,000m

3,007543017 mm5 "

9,045314999 0,0000 mm

0 25 seg2

d1 t1

1099,8891 0,938485 -0,641492061 0,93848465 -0,345321963,2452 m -0,345321 -1,743393953 -0,6414921 -1,743394

8,489 -16,037 18,25449393 25,0279432-3,124 -43,585 25,02794319 77,0641846

E2 1099,889m SE2 4,273mmN2 963,245m SN2 8,779mm

INCOGNITAS AJUSTADAS Y SU RESPECTIVA DESVIACION ESTANDAR

L=

s0=

SLL=

f=

F*SLL=

F=

F*SLL*FT=

FT=

Como resultados del ajustes obtenemos las incgnitas de las coordenadas del siguiente punto en la matriz f y su respectiva desviacin estndar dada por la raz de los valores diagonales en matriz. F*SLL*FT.

Era de esperarse que los puntos siguientes no estuvieran en coordenadas lejanas puesto que en el campo no se hicieron puntos de cambio con mucha longitud de por medio, como tambin era de esperarse que la desviacin nos diera milim-trica, por obvias razones de precisin.

El siguiente paso se trata de lo mismo bsicamente, solo que tomaremos como coordenadas iniciales las obtenidas como respuesta en el ajuste anterior, adems de agregarle a la ma-triz de desviaciones s0 los nuevos valores correspondientes a las coordenadas antes citadas.

12

72,3628 km 72,3628 m E2 1099,889m

100,7472222 " 100,7472222 N2 963,245m1,099889116963,2452123

3,003488888 mm

5 "4,273 mm8,779 mm

9,021 0,000 0,000 0,000 mm

0,000 25,000 0,000 0,000 seg2

0,000 0,000 18,254 0,000 mm0,000 0,000 0,000 77,064 mm

d1 t1 E2 N2

f= 1170,9826 0,98245944 -0,235514 1 0 0,98245944 -0,186476

949,7513 m -0,186476405 -1,240816 0 1 -0,235513941 -1,2408161,000 0,0000,000 1,000

8,863 -5,888 18,254 0 28,3484204 5,653049

-1,682 -31,020 0,000 77,06418456 5,65304936 115,8685

E3 1170,983m SE3 5,324mm

N3 949,751m SN3 10,76mm

FT=

SLL=

s0=

L=L=


F=

F*SLL= F*SLL*FT=

Se repite la misma metodologa a lo largo de todo el circuito concatenado las coordenadas y sus desviaciones para obten-er las siguientes hasta llegar al inicio del circuito.

192,5328 km 192,5328 m E3 1170,983m

59,66611111 " 59,66611111 N3 949,751m1,170982631949,7512575

3,024611631 mm

5 "5,324 mm10,764 mm

9,148 0,000 0,000 0,000 mm

0,000 25,000 0,000 0,000 seg2

0,000 0,000 28,348 0,000 mm0,000 0,000 0,000 115,868 mm

d1 t1 E3 N3

1337,1571 0,8631 1,6971 1,0000 0,0000 0,863096985 0,50503821046,9877 m 0,5050 -2,9003 0,0000 1,0000 1,697095695 -2,900292

1,000 0,0000,000 1,000

7,896 42,427 28,348 0 107,166649 -119,0641

4,620 -72,507 0,000 115,8684782 -119,06411 328,49418

E4 1337,157m SE4 10,35mmN4 1046,988m SN4 18,12mm

FT=

L=


L=

s0=

SLL=

f=

F*SLL=

F=

F*SLL*FT=

13

192,137 km 192,137 m E4 1337,157m

233,5508333 " 233,5508333 N4 1046,988m1,3371571111046,987678

3,024510953 mm

5 "10,352 mm18,124 mm

9,148 0,000 0,000 0,000 mm

0,000 25,000 0,000 0,000 seg2

0,000 0,000 107,167 0,000 mm0,000 0,000 0,000 328,494 mm

d1 t1 E4 E4

1182,6051 -0,8044 -1,9923 1,0000 0,0000 FT= -0,804384276 -0,594109

932,8373 m -0,5941 2,6974 0,0000 1,0000 -1,992300162 2,69744091,000 0,0000,000 1,000

-7,358 -49,808 107,167 0 F*SLL*FT= 212,316999 -129,9812

-5,435 67,436 0,000 328,4941828 -129,9812 513,62769

E5 1182,605m SE5 14,57mmN5 932,837m SN5 22,66mm


L=

s0=

SLL=

f=

F*SLL=

L=

F=

80,89 km 80,89 m E5 1182,605m

278,0886111 " 278,0886111 N5 932,837m1,182605129932,8372875

3,004358961 mm

5 "14,571 mm22,663 mm

9,026 0,000 0,000 0,000 mm

0,000 25,000 0,000 0,000 seg2

0,000 0,000 212,317 0,000 mm0,000 0,000 0,000 513,628 mm

d1 t1 E5 E5

1102,5199 -0,9901 0,1986 1,0000 0,0000 FT= -0,990051646 0,1407044944,2189 m 0,1407 1,3978 0,0000 1,0000 0,198646081 1,3977518

1,000 0,0000,000 1,000

-8,936 4,966 212,317 0 222,150981 5,6840599

1,270 34,944 0,000 513,6276889 5,68405987 562,64914

E6 1102,520m SE6 14,9mmN6 944,219m SN6 23,72mm


L=L=

s0=

SLL=

f=

F*SLL=

F=

F*SLL*FT=

14

100,911 km 100,911 m E6 1102,520m

285,635 " 285,635 N6 944,219m1,102519851944,2188695

3,006781023 mm

5 "14,905 mm23,720 mm

9,041 0,000 0,000 0,000 mm

0,000 25,000 0,000 0,000 seg2

0,000 0,000 222,151 0,000 mm0,000 0,000 0,000 562,649 mm

d1 t1 E6 E6

1005,3427 -0,9630 0,4747 1,0000 0,0000 FT= -0,962998113 0,2695081971,4152 m 0,2695 1,6961 0,0000 1,0000 0,474665594 1,6960604

1,000 0,0000,000 1,000

-8,706 11,867 222,151 0 F*SLL*FT= 236,167728 17,780144

2,437 42,402 0,000 562,6491374 17,780144 635,22133

E1 1005,343m SE1 15,37mmN1 971,415m SN1 25,2mm


L=

s0=

SLL=

f=

F*SLL=

L=

F=

Al llegar al resultado final es decir a la coordenada inicial se nota una clara diferencia lineal, adems de una desviacin es-tndar muy alta, la primera se debe muchos factores como lo pueden ser equipos mal calibrados, mal operadum en la labor de medicin o de estacionarse, la segunda se debe a que el trayecto concatenado de desviaciones crece con respectos a los puntos que vayamos pasando a lo largo del ajuste, entre mayor sea la ruta de coordenadas, ms alta ser la desviacin en el final, es decir la coordenada de partida.

Para esta prctica se realiz tambin este procedimiento pero con las coordenadas reales, pero al ser el mismo procedimien-to de obvo a la hora de bitacorarlo en el portafolio.

15

AJUSTE DE OBSERVACIONES DIRECTAS

Una sola variable aleatoria se determina por una sola observa-cin. La observacin despeja la incgnita que es el valor de la variable.

Si se realizan ms de una observacin se dice que la incgnita se determina por medio de un ajuste de mnimos cuadrados.

-n cantidad de observaciones y u cantidad de incgnitas.

-El valor ajustado de la incgnita se determina con f=n-u.

-En el ajuste de observaciones directas siempre se consideraUNA INCGNITA, entonces u=1 y f=n1.

16

EJERCICIO 1En la medicin de una distancia se usaron distancimetros de exactitudes nominales diferentes. El equipo A tiene una exactitud nominal de 3mm 2 ppm y el equipo B una exacti-tud de 5mm 3ppm. Los valores en metros estn en el cuadro de la derecha, donde los primeros seis valores corresponden con los resultados de la medicin con el equipo A y los ltimos seis a las mediciones con el equipo B. Usando el algoritmo de ajuste de observaciones directas y clculo matricial resuelva lo siguiente:a) Asumiendo que no hay correlacin, calcule el promedio de la distancia y su desviacin estndar.b) Asumiendo que todas las observaciones tienen igual peso P=I y que no hay correlacin, calcule el promedio y su desvi-acin estndar.c) Asumiendo que existe un coeficiente de correlacin teri-co p = 0.75 entre las observaciones medidas con un mismo equipo, pero que entre los conjuntos de observaciones con el equipo A y el equipo B no hay correlacin, calcule el promedio de la distancia y desviacin estndar.

95.1010 95.1020

95.0990 95.1120 95.0990 95.1000 95.1000 95.1010 95.1020 95.0990 95.0900 95.0100

L(gon)=

17

mm ppm95,101 3 2 3,00602 8,083 195,102 3 2 3,00602 9,083 195,099 3 2 3,00602 6,083 195,112 3 2 3,00602 19,083 195,099 3 2 3,00602 6,083 195,100 3 2 3,00602 l= 7,083 e= 195,100 5 3 5,00813 7,083 195,101 5 3 5,00813 8,083 195,102 5 3 5,00813 9,083 195,099 5 3 5,00813 6,083 195,090 5 3 5,00813 -2,917 195,010 5 3 5,00812 mm -82,917 mm 1

3-PROM 95,093 m

9,036 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 9,036 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 9,036 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 9,036 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 9,036 0 0 0 0 0 0 0

SLL= 0 0 0 0 0 9,036 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 25,081 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 25,081 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 25,081 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 25,081 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 25,081 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 25,081 mm

0,111 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,0000,000 0,111 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,0000,000 0,000 0,111 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,0000,000 0,000 0,000 0,111 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,0000,000 0,000 0,000 0,000 0,111 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

PLL= 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,111 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,040 0,000 0,000 0,000 0,000 0,0000,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,040 0,000 0,000 0,000 0,0000,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,040 0,000 0,000 0,0000,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,040 0,000 0,0000,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,040 0,0000,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,040 1/mm

eT= 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

eT*PLL= 0,111 0,111 0,111 0,111 0,111 0,111 0,040 0,040 0,040 0,040 0,040 0,040

eT*PLL*l= 3,929160435

eT*PLL*e= 0,903218967

-0,413-3,733 x= 4,350174851 mm -0,52380096-4,733 -0,19180222-1,733 -1,630462214

-14,733 -0,19180222v= -1,733 -0,302468486

-2,733 P*v= -0,108971545-2,733 -0,148841724-3,733 -0,188711897

-4,733 eT*P*v= 0 -0,069101361-1,733 vT*P*v= 337,140162 0,289730542

7,267 lT*P*v= -337,140162 3,47936681887,267 mm

vT= -3,73315848 -4,733158 -1,733158482 -14,73315848 -1,733158482 -2,733158482 -2,733158482 -3,733158 -4,733158 -1,733158 7,2668415 87,266842

lT= 8,083333333 9,0833333 6,083333333 19,08333333 6,083333333 7,083333333 7,083333333 8,0833333 9,0833333 6,0833333 -2,916667 -82,91667

95,09795,09795,09795,09795,097

L^= 95,097 X^= 95,09726684 m

95,097 s0= 5,53616344 mm

95,097 Sx= 5,825220625 mm

95,09795,09795,09795,097 m

PASO 2-DESV. NOMINAL PASO4-OBS. REDUCIDASPASO 1-INSUMOS

PASO 6- MATRIZ DE COVARIANZA

PASO13- DESV. ESTANDAR DE LA INCOGNITA AJUSTADA

s=

PASO 7- MATRIZ DE PESOS

PASO 8-PROM GENERALPASO 9-REDUCIDAS

PASO 10-PRUEBAS

PASO 11- INCOGNITA AJUSTADA

PASO 12- DESV. ESTANDAR DE UNA OBSERVACION

L(m)=

PASO 5-VECTOR UNIATRIO

18

En la pgina anterior se resolvi parte a del ejercicio 1, para este se comenz sacando la desviacin nominal con la formu-la ya antes expuesta.

Con el promedio de la matriz L se saca la matriz de observacio-nes reducidas l simplemente restando el promedio en cada valor en L.

La matriz SLL resulto del cuadrado de la matriz s, acomodado en diagonal y como en el ejercicio aclara que no hay corre-lacin entonces la matriz se llena de ceros. La matriz de pesos es la inversa de la matriz de covariancia.

Con una matriz unitaria llena de unos e y su inversa, se mani-pula algebraicamente con las formulas mostradas en el cuadro para llegar al paso 8 el promedio general este se obtiene de la divisin

eT*PLL*l/eT*PLL*e

La matriz v sale de la resta de los componentes de la matriz l y el valor x, que cabidad al paso 10, las pruebas que consisten en verificar que:

eT*P*v = 0vT*P*v = -lT*P*v

Despus de esto se procede a obtener los resultados:

X^ = (Promedio de matriz L) - (Promedio General x)

s0 = ( vT*P*v/n-1)1/2

sx = s0/(eT*PLL*e)1/2

19

Se vuelve a calcular la matriz L para verificar el ajuste:

L^ = L - v

Como era de esperarse las desviaciones de la incgnita y de una observacin se dieron valores de orden milimtricos y la incgnita ajustada concuerda con la matriz L^, dando por sa-tisfecho el ajuste.

En la parte B del ejercicio bsicamente es el mismo la diferen-cia yace en la condicin del enunciado que nos dice que las mediciones tienen igual peso o sea que no hay correlacin, en el la pgina siguiente se resuelve el ejercicio donde se nota que la matriz SLL es una matriz identidad por ende la matriz PLL tambin lo es, por no haber correlacin.

La parte C resuelta en la pgina 21, vuelve a ser similar a los dos anteriores con la particularidad, de que la matriz SLL es ms elaborada por la condicin del enunciado que expone que hay una correlacin entre las observaciones medidas, de 0.75, esto se refleja en la matriz SLL de la siguiete forma; los valores celeste claro son la multiplicacin de la primera desviacin al cuadrado por el factor de 0.75, y la celeste oscuro es la multipli-cacin de la segunda desviacin al cuadrado por el factor de 0.75, este acomodo en la matriz SLL debe ser especficamente as para obtener el resultado correcto.

En conclusin podemos observar que la incgnita ajustada va ser muy similar en las tres partes, sus variantes se van a dar en las desviaciones estndar pricipalmente; consecuente a que los cambios de condicin en los diferentes ejercicios en las co-rrelaciones, se daban en la matrices relacionadas a las des-viaciones nominales.

20

mm ppm95,101 3 2 1,00000 8,083 195,102 3 2 1,00000 9,083 195,099 3 2 1,00000 6,083 195,112 3 2 1,00000 19,083 195,099 3 2 1,00000 6,083 195,100 3 2 1,00000 l= 7,083 e= 195,100 5 3 1,00000 7,083 195,101 5 3 1,00000 8,083 195,102 5 3 1,00000 9,083 195,099 5 3 1,00000 6,083 195,090 5 3 1,00000 -2,917 195,010 5 3 1,00000 mm -82,917 mm 1

3-PROM 95,093 m

1,000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 1,000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 1,000 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1,000 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1,000 0 0 0 0 0 0 0

SLL= 0 0 0 0 0 1,000 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1,000 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 1,000 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 1,000 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1,000 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1,000 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1,000 mm

1,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,0000,000 1,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,0000,000 0,000 1,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,0000,000 0,000 0,000 1,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,0000,000 0,000 0,000 0,000 1,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

PLL= 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 1,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 1,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,0000,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 1,000 0,000 0,000 0,000 0,0000,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 1,000 0,000 0,000 0,0000,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 1,000 0,000 0,0000,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 1,000 0,0000,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 1,000 1/mm

eT= 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

eT*PLL= 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000

eT*PLL*l= 0

eT*PLL*e= 12

-8,083 x= 0 mm -8,083-9,083 -9,0833333-6,083 -6,0833333-19,083 -19,083333

v= -6,083 -6,0833333-7,083 -7,0833333-7,083 P*v= -7,0833333-8,083 -8,0833333-9,083 -9,0833333-6,083 eT*P*v= 0 -6,08333332,917 vT*P*v= 7754,9167 2,9166667

82,917 mm lT*P*v= 7754,9167 82,916667

vT= -8,083333333 -9,0833333 -6,0833333 -19,083333 -6,083333333 -7,083333333 -7,0833333 -8,0833333 -9,0833333 -6,0833333 2,9166667 82,916667

lT= 8,083333333 9,0833333 6,0833333 19,083333 6,083333333 7,083333333 7,0833333 8,0833333 9,0833333 6,0833333 -2,9166667 -82,916667

95,09395,09395,09395,09395,093

L^= 95,093 X^= 95,092917 m95,093 s0= 26,551693 mm

95,093 Sx= 7,6648137 mm

95,09395,09395,09395,093 m

PASO13- DESV,ESTANDAR DE LA INCOGNITA AJUSTADA


PASO 8-PROM GENERALPASO 9-REDUCIDAS


PASO 10-PRUEBAS

PASO 12- DESV, ESTANDAR DE UNA OBSERVACION


PASO 1-INSUMOS PASO 2-DESV. NOMINAL PASO4-OBS. REDUCIDAS

L(m)= s=


21


mm ppm95,101 3 2 3,00602 8,083 195,102 3 2 3,00602 9,083 195,099 3 2 3,00602 6,083 195,112 3 2 3,00602 19,083 195,099 3 2 3,00602 6,083 195,100 3 2 3,00602 l= 7,083 e= 195,100 5 3 5,00813 7,083 195,101 5 3 5,00813 8,083 195,102 5 3 5,00813 9,083 195,099 5 3 5,00813 6,083 195,090 5 3 5,00813 -2,917 195,010 5 3 5,00812 mm -82,917 mm 1

3-PROM 95,093 m

9,036 6,7771326 0 0 0 0 0 0 0 0 0 06,777132601 9,036 6,7771326 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 6,7771326 9,036 6,7771326 0 0 0 0 0 0 0 00 0 6,7771326 9,036 6,777132601 0 0 0 0 0 0 00 0 0 6,7771326 9,036 6,7771326 0 0 0 0 0 0

SLL= 0 0 0 0 6,777132601 9,036 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 25,081 18,811047 0 0 0 00 0 0 0 0 0 18,81104707 25,081 18,811047 0 0 00 0 0 0 0 0 0 18,811047 25,081 18,811047 0 00 0 0 0 0 0 0 0 18,811047 25,081 18,811047 00 0 0 0 0 0 0 0 0 18,811047 25,081 18,8110470 0 0 0 0 0 0 0 0 0 18,811047 25,081 mm

0,362 -0,335 0,085 0,222 -0,380 0,285 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000-0,335 0,446 -0,113 -0,296 0,507 -0,380 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,0000,085 -0,113 0,066 0,173 -0,296 0,222 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,0000,222 -0,296 0,173 0,066 -0,113 0,085 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000-0,380 0,507 -0,296 -0,113 0,446 -0,335 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

PLL= 0,285 -0,380 0,222 0,085 -0,335 0,362 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,130 -0,121 0,030 0,080 -0,137 0,1030,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 -0,121 0,161 -0,041 -0,107 0,183 -0,1370,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,030 -0,041 0,024 0,062 -0,107 0,0800,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,080 -0,107 0,062 0,024 -0,041 0,0300,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 -0,137 0,183 -0,107 -0,041 0,161 -0,1210,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,103 -0,137 0,080 0,030 -0,121 0,130 1/mm

eT= 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

eT*PLL= 0,238 -0,170 0,136 0,136 -0,170 0,238 0,086 -0,061 0,049 0,049 -0,061 0,086

eT*PLL*l= -1,624241217

eT*PLL*e= 0,55582806

-5,036-11,006 x= -2,9222008 mm 5,091001123-12,006 -3,523286735-9,006 -1,722098125-22,006 2,572392456

v= -9,006 -3,036569762-10,006 P*v= 7,161523761-10,006 -10,08059506-11,006 5,694213607-12,006 1,850091998-9,006 eT*P*v= 8,882E-16 -8,639739234-0,006 vT*P*v= 798,94658 9,669258255

79,994 mm lT*P*v= 798,94658

vT= -11,00553416 -12,005534 -9,0055342 -22,005534 -9,005534159 -10,005534 -10,00553416 -11,005534 -12,005534 -9,0055342 -0,0055342 79,994466

lT= 8,083333333 9,0833333 6,0833333 19,083333 6,083333333 7,0833333 7,083333333 8,0833333 9,0833333 6,0833333 -2,9166667 -82,916667

95,09095,09095,09095,09095,090

L^= 95,09095,090 X^= 95,090 m

95,090 s0= 8,522 mm

95,090 Sx= 11,431 mm

95,09095,09095,090 m



PASO 8PROM GENERALPASO 9-REDUCIDAS


PASO 10-PRUEBAS




L(m)= s=

22

Las lneas MN y P1P2, representan en teora dos ejes perpen-diculares que se usan como apoyo para el replanteo de dife-rentes elementos en la construccin de una represa. El punto N es punto elevado e inaccesible para la colocacin de un prisma, pero accesible para hacer puntera. Se requiere pro-longar la lnea MN definiendo un punto C sobre el eje P1P2. El topgrafo de la compaa disea el sistema que se muestra en el grfico en el cual replantea los puntos A y B de forma de que sean colineales con P1P2. Desde estos dos puntos mide los ngulos correspondientes y la distancia de la base AB con los equipos de la empresa. Con este sistema, el topgrafo aplica la ley general de propagacin de errores para determinar si el punto C se puede replantear con una exactitud de 5 mm desde los puntos A y B, marcando las distancias p y q respec-tivamente. La medicin de la base AB y del ngulo se hizo con una estacin total de 3mm 2 ppm y 3 mgon por di-reccin medida en dos posiciones en la parte lineal y angular respectivamente. Adicionalmente el ngulo y la base AB se midieron con otra estacin total de la empresa de exactitud nominal 5 mm 3 ppm y 5 mgon por direccin medida en dos posiciones. Con esta informacin determine: Mediante un ajuste de observaciones directas, el promedio de la base AB, el promedio del ngulo y el promedio del ngulo , as como sus desviaciones estndar.

P2

N

M

A B

P1

p qC

CROQUIS SIN ESCALA

Mediciones en A Mediciones en B

n L n L

1 199,998 m 1 199,997 m2 200,002 m 2 200,002 m3 199,999 m 3 200,009 m 1 64,154 gon 1 70,825 gon2 64,155 gon 2 70,824 gon3 64,159 gon 3 70,823 gon4 64,157 gon 4 70,830 gon5 64,150 gon 5 70,829 gon6 64,154 gon 6 70,828 gon

EJERCICIO 2

23

199,998 3 mm 2 ppm 3,026548661 mm -3,166666667 1200,002 3 mm 2 ppm 3,026549719 mm 0,833333333 1199,999 3 mm 2 ppm 3,026548926 mm l = -2,166666667 e = 1

L (m) = 199,997 5 mm 3 ppm 5,035870253 mm -4,166666667 1200,002 5 mm 3 ppm 5,03587204 mm 0,833333333 1200,009 5 mm 3 ppm 5,035874542 mm 7,833333333 mm 1

3-PROM 200,001 m

9,1599968 0 0 0 0 00 9,1600032 0 0 0 0

SLL= 0 0 9,1599984 0 0 00 0 0 25,3599892 0 00 0 0 0 25,3600072 00 0 0 0 0 25,360032 mm

0,1091703 0 0 0 0 00 0,1091703 0 0 0 00 0 0,1091703 0 0 0

PLL= 0 0 0 0,039432193 0 00 0 0 0 0,039432165 00 0 0 0 0 0,0394321 1/mm

eT= 1 1 1 1 1 1

eT*PLL= 0,1091703 0,1091703 0,1091703 0,039432193 0,039432165 0,0394321

eT*PLL*l= -0,3138222

eT*PLL*e= 0,4458074

2,4627254 x= -0,7039413 mm-1,5372746

v= 1,46272543,4627254-1,5372746 0 -8,5372746 mm vT*P*v= 4,593699443

lT*P*v= -4,593699443

lT = -3,1666667 0,8333333 -2,1666667 -4,166666667 0,833333333 7,8333333

vT = 2,4627254 -1,5372746 1,4627254 3,462725383 -1,537274617 -8,5372746

vTPLL = 0,2688566 -0,1678247 0,1596862 0,136542857 -0,060618067 -0,3366429

200,00046

lTPLL = -0,3457061 0,0909752 -0,2365357 -0,164300806 0,032860138 0,308885 200,00046

200,00046X^= 200,0005 m L^= 200,00046

s0= 0,958509201151774mm 200,00046

Sx= 1,43556426581079mm 200,00046




s=




PASO 9-REDUCIDAS PASO 8PROM GENERAL

PASO 10-PRUEBAS


24

Este ejercicio es bsicamente lo mismo que la parte a del ejer-cicio anterior por esa razn no explicare los detalles de la solu-cin.

Los resultados expone que la incgnita ajustada es muy similar al promedio en la matriz de observaciones lo cual era de es-perarse, y las desviaciones totales son menores a las dadas al principio, es importante rescatar esto ya que las desviaciones obtenidas son muy pequeas, eso refleja una mayor precisin en el ajuste.

Se puede probar si el ejercicio esta bueno con la suma en la matriz L^ debe dar igual en todas sus componentes, esta suma esta dadapor la matriz L y la matriz v.

25

AJUSTE DE AMARRADOOBSERVACIONES MEDIATAS

Las observaciones mediatas se deducen o se calculan a partir de observaciones directas. En topografa y geodesia, son las que se miden en el campo. Para calcularlas se necesitan fr-mulas o funciones.

El ajuste establece una relacin entre las observaciones y las coordenadas a determinar, las cuales representan a las incg-nitas, este planteamiento matemtico es una de las bases del ajuste de observaciones mediatas.

26

EJERCICIO 1Calcule:1. Las coordenadas ajustadas del punto nuevo CABUYAL.2. La desviacin estndar de las coordenadas ajustadas.3. Las observaciones ajustadas.4. La desviacin estndar de las observaciones ajustadas.

Los puntos LAGARTO y BASE NORTE son fijos el punto nuevo es CABUYAL.

Las observaciones se asumen sin correlacion, los datos para la desviacin estndar a priori son:S= 10mm+3ppm= 3CC

SI 17932,709 m S2 12380,150 mL=l 48,006090 gon 2 91,777716 gon 3 60,216763 gon

Norte Lagarto 229758,605 Este Lagarto 436078,236X= Norte Base Norte 224075,445 Este Base Norte 449597,896 Norte Cabuyal 236011,2 Este Cabuyal 452885,3

27

Para la resolucin de este ejercicio primero se saca los grados de libertad que necesitaremos ms adelante con la formula:

f=n-u

Se obtienen con las coordenadas previas las observaciones aproximadas, para el caso de las distancias con la frmula:

d=((n2-n1)2+(E1-E2))1/2

Para el caso de los ngulos:

=arctan((E1-E2)/(N1-N2))

Seguidamente la matriz l es consecuencia de la resta de las observaciones y las observaciones aproximadas, he aqu la base de la solucin del problema, la relacin entre lo que se obtienen en el campo con mediciones y lo que se puede ob-tener matemticamente.

Los pasos 3 y 4 son bsicamente lo mismo que en los ejercicios anteriores. Con el paso 5 es donde se debe poner la mayor atencin y es donde se encuentre la mayor dificultad en el pro-blema; la matriz de configuracin A sale de las derivadas par-ciales de las frmulas para sacar los valores aproximados, es de suma importancia saber que se est derivando con respecto a que, para facilitar el clculo se hace una matriz de posicin que se encuentra al lado de la matriz A; esta funciona de la siguiente manera:

Utilizaremos como ejemplo la primera derivada, la distancia S1, esta se midi estacionado en BASE NORTE, segn el cro-quis, eso quiere decir que a la izquierda tengo LAGARTO y a la derecha a CABUYAL, con la convencin donde i es izquierda

28

y j es derecha, y como lo que me piden es CABUYAL enton-ces derivo parcialmente con respecto a j lo que me queda la siguiente funcin:

Esta metodologa se usa para obtener todos los valores de la matriz A, ademas se linealizan los valores angulares por el nu-mero rho (/180).

Para los pasos 6, 7, 8, 9 y 10 basta con seguir las formulas ex-puestas en el mismo ejercicio para manipular algebraicamente las matrices.

El paso 11 y 12 son las pruebas, las cuales deben cumplir las mismas que antes vimos en la pgina 18, en los pasos 15, 16 y 17 es manipulacin algebraica de matrices con las formulas expuestas en la solucin.

En el ltimo paso el 17 es usa la formula expuesta con el cui-dado que los valores que se deben usar para la QLL^ es la di-agonal solamente marcada con el color celeste en el ejercicio resuelto, esto va aplicar para el resto de soluciones en las futu-ras practicas que aparecern.

29

n u f s1 17932,709

5 2 3 s2 12380,15

L= 1 48,006092 91,7777163 60,216763

N Lagarto 229758,605 s1 1793243,8 cm

E Lagarto 436078,236 s2 1238019,7 cm

X= N Base Norte 224075,445 L= 1 48,0070737 gonE Base Norte 449597,896 2 91,77646207 gonN Cabuyal 236011,2 3 60,21646424 gonE Cabuyal 452885,3

27,0668 mm s1 5,47196 mm

-4,6787 mm s2 3,84631 mm

l=L-L0= -9,8370cc s= 1 3,00000 cc

12,5393 cc 2 3,00000 cc

2,9876 cc 3 3,00000 cc

29,942 0,000 0,000 0,000 0,000

0,000 14,794 0,000 0,000 0,000

QLL= 0,000 0,000 9,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000 9,000 0,000

0,000 0,000 0,000 0,000 9,000

0,0334 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

0,0000 0,0676 0,0000 0,0000 0,0000

PLL= 0,0000 0,0000 0,1111 0,0000 0,0000

0,0000 0,0000 0,0000 0,1111 0,0000

0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,1111

N E i j k

s1 0,34868 0,93724 L C . L1

s2 0,96410 0,26554 BN C . L2

A= 1 0,33273 -0,12378 L C BN L32 -0,13655 0,49576 BN L C L43 -0,19619 -0,3720 C BN L L5

0,348675115 0,964100588 0,332731015 -0,136545725 -0,19618529

0,937243652 0,265537298 -0,123783207 0,495763926 -0,371980719

PASO 5. MATRIZ DE CONFIGURACION

AT=

PASO 2. OBSERVACIONES MEDIDAS

COORDENADAS PREVIAS OBSERVACIONES APROXIMADAS

PASO 3. COFACTORES DE COVARIANZA

PASO 4. PESOS DE LAS OBSERVACIONES

1. GRADOS DE LIBERTAD

30

0,011644868 0,065167777 0,036970113 -0,015171747 -0,021798366

0,03130157 0,017948828 -0,01375369 0,055084881 -0,041331191

0,085537827 0,024229242

0,024229242 0,07848926

12,81092408 -3,954668151 -0,6088

-3,954668151 13,9613829 1,4658

-13,595

22,872

-10,371

16,696 -2,355

-7,034 2,482

-7,355 0,656

13,195 -8,828

-5,841

VT= -10,37057099 -2,355324068 2,482187893 0,656150396 -8,828338289

0,000

0,000

vT*P= -0,3463508701 -0,15920666 0,275798655 0,0729056 -0,980926477

lT= 27,066791 -4,678677 -9,836975 12,539345 2,987630

lT*P= 0,9039624443 -0,316252276 -1,092997227 1,393260563 0,331958886

LT*P*v= -13,35921145

vT*P*v= 13,35921145

2,11 17932,605 m

12380,126 m

L^=L+v= 48,006 gon

91,778 gon

60,216 gon

PASO 13. DESV. EST. A POSTERIORI PASO 14. OBSERVACIONES AJUSTADAS

so=V (lT*P*v)/(n-u)=

x^=Qxx*n=

v=A*x^-l=A*x^=

PASO 11. PRUEBA PARCIAL DE CALCULO

ATPv=0=

PASO 7. MATRIZ DE COFACTORES DE LAS

INCOGNITAS AJUSTADAS

PASO 8. SISTEMAS DE ECUACIONES

NORMALES

Qxx= n=AT*P*l=

PASO 9. VECTOR DE LAS INCOGNITAS

AJUSTADASPASO 10. RESIDUOS

PASO 6. MATRIZ DE COEFICIENTES DE LAS ECUACIONES NORMALES

AT*P=

N=AT*P*A=

PASO 12. PRUEBA NUMERICA DE AJUSTE

31

236011,064 7,6 cm N

452885,5287 m 7,9 cm E

0,760362807 11,70632313

11,30090754 -0,105430001

4,752113278 -3,044025496

-3,709858721 7,461543033

-1,042254557 -4,417517537

11,24 3,84 -1,20 5,70 -4,50

3,84 10,87 3,77 -1,60 -2,18

-1,20 3,77 1,96 -2,16 0,20

5,70 -1,60 -2,16 4,21 -2,05

-4,50 -2,18 0,20 -2,05 1,85

s1 7,07 cm

s2 6,96 cm

L= 1 2,95 cc2 4,33 cc3 2,87 cc

PASO 18. COVARIANZA DE OBSERVACIONES AJUSTADAS

SLL=

s0(QLL^)1/2=

PASO 15. INCOGNITAS AJUSTADAS PASO 16. COVARIANZAS AJUSTADAS

X^=X+ x^= Sxx=s0*(QXX)1/2=

PASO 17. COFACTORES DE OBSERVACIONES AJUSTADAS

A*Qxx=

QLL^=

A*Qxx*AT

Como resultados al ejercicio obtenemos en el paso 15 las coor-denadas del punto nuevo ajustadas, estas no andan muy lejos del valor de las aproximadas por lo que se deduce un buen ajuste, la desviacin estndar de estas coordenadas se ven el paso 16, es congruente el orden en centmetros viendo la dife-rencia entre coordenadas aproximadas y las nuevas ajustadas que tambin cambian en el mismo rango haciendo valido el ajuste.

Las observaciones ajustadas se obtienen en el paso 14 nota-mos que son muy parecidas a las medidas en el campo claro esto producto a que la desviacin si cubre ese rango de dife-rencia, estas desviaciones de observaciones ajustadas se ob-tienen en el paso 18.

32

EJERCICIO 2

Calcule las cotas ajustadas de los puntos 1, 2 y 3 y sus des-viaciones estndar, por un ajuste de observaciones mediatas, amarrado a las cotas de los puntos fijos A y B.

Usar como modelo estocstico 4 mm (D km)1/2 y considerar que todas las distancias son de 1km, para usar una varianza a priori de 4 para tener una P = I

En el ejercicio 2, es bsicamente los mismos pasos del ejercicio anterior con la variante de que la funcin matemtica es ms fcil, ya que se saca la observacin aproximada con restas de alturas de punto, segn la distancia que se pida, consecuen-cia de esto la matriz A de derivas parciales solo van a tener 1, -1 y 0, esto porque las variables en cada funcin van a hacer negativas o positivas y en ciertos casos no va a ver variable y la derivada en una constante siempre es cero.

La matriz SLL es identidad porque as lo dice le enunciado, en lo dems el procedimiento es el mismo por lo que no se explicara detalladamente.

33

A-1 3,350 n u f=n-u

A-2 3,944 7 3 4

L= 1-2 0,594

1-3 1,295

2-3 0,702

2-B -4,220

3-B -4,921 m

A-1 3,3560 A 842,1940

A-2 3,9560 B 841,9270

1-2 0,6000 X= 1 845,5500

L0= 1-3 1,3000 2 846,1500

2-3 0,7000 3 846,8500

2-B -4,2230

3-B -4,9230 m

-0,0060 A-1 1 mm

-0,0120 A-2 1 mm

-0,0060 s= 1-2 1 mm

l=L-L0= -0,0050 1-3 1 mm

0,0020 2-3 1 mm

0,0030 2-B 1 mm

0,0020 m 3-B 1 mm

1 0 0 0 0 0 0 mm

0 1 0 0 0 0 0 mm

0 0 1 0 0 0 0 mm

QLL= 0 0 0 1 0 0 0 mm

0 0 0 0 1 0 0 mm

0 0 0 0 0 1 0 mm

0 0 0 0 0 0 1 mm

1 0 0 0 0 0 0 1/mm

0 1 0 0 0 0 0 1/mm

0 0 1 0 0 0 0 1/mm

PLL= 0 0 0 1 0 0 0 1/mm

0 0 0 0 1 0 0 1/mm

0 0 0 0 0 1 0 1/mm

0 0 0 0 0 0 1 1/mm

1 2 3

A-1 1 0 0

A-2 0 1 0

A= 1-2 -1 1 0

1-3 -1 0 1

2-3 0 -1 1

2-B 0 -1 0

3-B 0 0 -1

1 0 -1 -1 0 0 0

0 1 1 0 -1 -1 0

0 0 0 1 1 0 -1

1 0 -1 -1 0 0 0

0 1 1 0 -1 -1 0

0 0 0 1 1 0 -1

PASO 2. OBSERVACIONES MEDIDAS

OBSERVACIONES APROXIMADAS

Matriz de varianza-covarianza


PASO 4. PESOS DE OBSERVACIONES

AT=

COORDENADAS PREVIAS


1. GRADOS DE LIBERTAD

AT*P=

34

3 -1 -1 0,458333333 0,16666667 0,208333333

-1 4 -1 0,166666667 0,33333333 0,166666667

-1 -1 3 0,208333333 0,16666667 0,458333333

x^=Qxxn= -0,002583333 -0,002583333

0,005 -0,007666667 -0,007666667

-0,023 -0,005083333 -0,005083333

-0,005 A*x^= -0,0025

0,002583333

0,007666667

0,005083333

0,0034

0,0043

0,0009

v=A*x^-l= 0,0025

0,0006

0,0047

0,0031 m

VT= 0,003416667 0,0043333 0,0009167 0,0025 0,000583333 0,00466667 0,003083333

0,00 lTPv= -6,91667E-05

ATPv=0= 0,00

0,00 vTPv= 6,91667E-05

0,003416667

0,004333333

0,000916667

0,0025

0,000583333

0,004666667

0,003083333

lT= -0,006 -0,012 -0,006 -0,005 0,002 0,003 0,002

0,004158 m 3,35342

3,94833

0,59492L^=L+v= 1,29750

0,70258

-4,21533

-4,91792 m


PASO 13. DESV. EST. A POSTERIORI

PASO 14. OBSERVACIONES AJUSTADAS

PASO 9. VECTOR DE LAS INCOGNITAS AJUSTADAS

PASO 10. RESIDUOS

PASO 12. PRUEBA NUMERICA DE AJUSTEPASO 11. PRUEBA PARCIAL DE CALCULO

PASO 6. MATRIZ DE COEFICIENTEES DE LAS

ECUACIONES NORMALES

PASO 7. MATRIZ DE COFACTORES DE LAS INCOGNITAS

AJUSTADAS

Pv=

n=AT*P*l=

N=AT*P*A= Qxx=N

-1

PASO 8. SISTEMAS DE ECUACIONES NORMALES

35

845,5474 0,02955566 s1

X^=X+ x^= 846,1423 0,021495025 s2

846,8449 m 0,002815199 s3 (m)

0,458333333 0,1666667 0,20833333

0,166666667 0,3333333 0,16666667

-0,29166667 0,1666667 -0,0416667

-0,25 2,776E-17 0,25

0,041666667 -0,1666667 0,29166667

-0,16666667 -0,3333333 -0,1666667

-0,20833333 -0,1666667 -0,4583333

0,458333333 0,1666667 -0,2916667 -0,25 0,041666667 -0,1666667 -0,208333333

0,166666667 0,3333333 0,16666667 0 -0,166666667 -0,3333333 -0,166666667

-0,29166667 0,1666667 0,45833333 0,25 -0,208333333 -0,1666667 0,041666667

-0,25 2,776E-17 0,25 0,5 0,25 -2,776E-17 -0,25

0,041666667 -0,1666667 -0,2083333 0,25 0,458333333 0,16666667 -0,291666667

-0,16666667 -0,3333333 -0,1666667 0 0,166666667 0,33333333 0,166666667

-0,20833333 -0,1666667 0,04166667 -0,25 -0,291666667 0,16666667 0,458333333

0,002815199 sL1

0,00240081 sL2

0,002815199 sL3

0,00294038 sL4

0,002815199 sL5

0,00240081 sL6

0,002815199 sL7 (m)

A-1 3,35342 0,00000

A-2 3,94833 0,00000

1-2 0,59492 0,00000

L^=F(X^)= 1-3 1,29750 L^-L0=0 0,00000

2-3 0,70258 0,00000

2-B -4,21533 0,00000

3-B -4,91792 m 0,00000

Sxx=s0*(QXX)1/2=

PASO 16. COVARIANZAS AJUSTADAS


PASO 15. INCOGNITAS AJUSTADAS


PASO 19, PRUEBA FINAL DE AJUSTE

Observaciones aproximadas

A*Qxx=

QLL^=AQxxAT=

SLL=s0QLL=

Las cotas ajustadas se obtienen de la matriz del paso 15 y las desviaciones en el paso 18, tienen sentido las respuestas ya que la primera respuesta es similar pero no igual a la coorde-nada aproximada lo que quiere decir que nuestra respuesta est ya ajustada.

La respuesta se pureba con L^ - L0 = 0, esto porque si el ejercicio est bien hecho estas dos matrices deben ser la mismas.

36

EJERCICIO 3Los puntos fijos A, B y C pertenecen a un sistema de referencia local usado para el replanteo de los puntos 1, 2 y 3, los cuales son la base para la colocacin de un tanque circular de 5,00 m de dimetro (ver figura). El trabajo de colocacin del tanque exige una alta exactitud, por lo que el ingeniero topgrafo, provechando las condiciones del sitio de trabajo, decide reali-zar intersecciones desde cada punto fijo a cada punto nuevo con mediciones realizadas con cinta de acero y tensmetro (no considera medir las distancias entre los puntos nuevos). Con esta metodologa para hacer las mediciones apriorstica-mente se puede garantizar una exactitud de 1 mm en las distancias. Los datos de las coordenadas de los puntos y de las observaciones estn en el cuadro. Determine las coordenadas ajustadas de los tres puntos nuevos y su desviacin estndar, as como las observaciones ajustadas y sus desviaciones estn-dar, realizando las pruebas correspondientes.

Obviare el sistema de solucin ya que es igual a los ejercicios anteriores, me enfocare en la matriz L y A que es siempre lo diferente en todos estos ejercicios.Matriz L sale de la funcin pitagrica para sacar una distancia

D = ((n2-n1)2+(E1-E2))1/2

La matriz A su derivada parcial:dA/d1 = NA-N1/DA-1

37

n u f A-1 7,5961

9 6 3 A-2 16,4094

L= A-3 14,5212B-1 13,2058

B-2 12,5625

B-3 4,9814

C-1 9,6594

C-2 6,2796

C-3 13,3267 m

A-1 7,595 EA 2,259

A-2 16,408 NA 18,127

A-3 14,520 EB 6,823

B-1 13,205 NB 2,007

L0= B-2 12,561 EC 18,802

B-3 4,981 X= NC 15,848C-1 9,659 E1 9,180

C-2 6,280 N1 15,000

C-3 13,326 m E2 16,513

N2 10,000

E3 10,000

N3 5,843

1,4723 1 mm ppm

1,3335 1 1 1

1,5672 1

0,7442 s= 1

l=L-L0= 1,2839 10,6144 1

0,1046 1

-0,4179 1

0,9644 mm 1

1,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

0,000 1,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 1,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

QLL= 0,000 0,000 0,000 1,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,0000,000 0,000 0,000 0,000 1,000 0,000 0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 1,000 0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 1,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 1,000 0,000

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 1,000

1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0 0 0

PLL= 0 0 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 0 1

N 1 E 1 N 2 E 2 N 3 E 3

A-1 -0,41174 0,91130 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000

A-2 0,00000 0,00000 -0,49531 0,86872 0,00000 0,00000

A-3 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 -0,84603 0,53314

A= B-1 0,98394 0,17849 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000B-2 0,00000 0,00000 0,63632 0,77142 0,00000 0,00000

B-3 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,77016 0,63785

C-1 -0,08779 -0,99614 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000

C-2 0,00000 0,00000 -0,93121 -0,36449 0,00000 0,00000

C-3 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 -0,75080 -0,66053

-0,412 0,000 0,000 0,984 0,000 0,000 -0,088 0,000 0,000

0,911 0,000 0,000 0,178 0,000 0,000 -0,996 0,000 0,000

0,000 -0,495 0,000 0,000 0,636 0,000 0,000 -0,931 0,000

0,000 0,869 0,000 0,000 0,771 0,000 0,000 -0,364 0,000

0,000 0,000 -0,846 0,000 0,000 0,770 0,000 0,000 -0,751

0,000 0,000 0,533 0,000 0,000 0,638 0,000 0,000 -0,661

-0,41171 0,00000 0,00000 0,98377 0,00000 0,00000 -0,08778 0,00000 0,00000

0,91125 0,00000 0,00000 0,17846 0,00000 0,00000 -0,99605 0,00000 0,00000

0,00000 -0,49517 0,00000 0,00000 0,63622 0,00000 0,00000 -0,93117 0,00000

0,00000 0,86849 0,00000 0,00000 0,77130 0,00000 0,00000 -0,36448 0,00000

0,00000 0,00000 -0,84585 0,00000 0,00000 0,77014 0,00000 0,00000 -0,75067

0,00000 0,00000 0,53303 0,00000 0,00000 0,63784 0,00000 0,00000 -0,66041

1. GRADOS DE LIBERTAD PASO 2. OBSERVACIONES MEDIDAS

OBSERVACIONES APROXIMADAS COORDENADAS PREVIAS




AT=

AT*P=

38

1,145 -0,112 0,000 0,000 0,000 0,000

-0,112 1,854 0,000 0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 1,517 0,400 0,000 0,000

0,000 0,000 0,400 1,482 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000 0,000 1,872 0,536

0,000 0,000 0,000 0,000 0,536 1,127

0,878 0,053 0,000 0,000 0,000 0,000

0,053 0,542 0,000 0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,710 -0,191 0,000 0,000

0,000 0,000 -0,191 0,726 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000 0,000 0,618 -0,294

0,000 0,000 0,000 0,000 -0,294 1,027

0,1168 0,175 0,611

1,3703 0,750 1,387

0,5457 x^=Qxxn= -0,053 A*x^= 1,5422,3008 1,567 0,306

-1,5764 -1,148 1,175

0,5903 1,070 -0,202

-0,762

-0,521

0,155

-0,8615

0,0538

-0,0254

v=A*x^-l= -0,4379-0,1094

-0,8164

-0,8666

-0,1034

-0,8089

VT= -0,8615 0,0538 -0,0254 -0,4379 -0,1094 -0,8164 -0,8666 -0,1034 -0,8089

0,000 lTPv= -3,031628511

0,000

ATPv=0= 0,000 v

TPv= 3,031628511

0,000

0,000

0,000

vT*P -0,861 0,054 -0,025 -0,438 -0,109 -0,816 -0,867 -0,103 -0,809

lT= 1,47229 1,33354 1,56719 0,74423 1,28394 0,61442 0,10458 -0,41791 0,96441

lT*P= 1,4722 1,3332 1,5669 0,7441 1,2837 0,6144 0,1046 -0,4179 0,9642

7,5952

1,0053 16,4095

14,5212

13,2054

L^=L+v= 12,5624

4,9806

9,6585

6,2795

13,3259 m

9,1807 E 1 sN1= 0,942

15,0002 N 1 sE1= 0,740

X^=X+ x^= 16,5146 E 2 sN2= 0,847

9,9999 N 2 sE2= 0,857

10,0011 E 3 sN3= 0,790

5,8419 N 3 sE3= 1,019 mm

PASO 6. MATRIZ DE COEFICIENTEES DE LAS ECUACIONES NORMALES

N=AT*P*A=

PASO 7. MATRIZ DE COFACTORES DE LAS INCOGNITAS AJUSTADAS

Qxx=N-1

PASO 8. SISTEMAS DE ECUACIONES NORMALES PASO 9. VECTOR DE LAS INCOGNITAS AJUSTADAS

n=AT*P*l=

PASO 10. RESIDUOS

PASO 11. PRUEBA PARCIAL DE CALCULO PASO 12. PRUEBA NUMERICA DE AJUSTE




Sxx=s0*(QXX)1/2=

39

-0,313 0,472 0,000 0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 -0,518 0,726 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000 0,000 -0,680 0,796

0,874 0,149 0,000 0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,304 0,438 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000 0,000 0,289 0,429

-0,130 -0,545 0,000 0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 -0,591 -0,086 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000 0,000 -0,270 -0,458

0,56 0,00 0,00 -0,22 0,00 0,00 -0,44 0,00 0,00

0,00 0,89 0,00 0,00 0,23 0,00 0,00 0,22 0,00

0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 -0,02 0,00 0,00 -0,02

-0,22 0,00 0,00 0,89 0,00 0,00 -0,23 0,00 0,00

0,00 0,23 0,00 0,00 0,53 0,00 0,00 -0,44 0,00

0,00 0,00 -0,02 0,00 0,00 0,50 0,00 0,00 -0,50

-0,44 0,00 0,00 -0,23 0,00 0,00 0,55 0,00 0,00

0,00 0,22 0,00 0,00 -0,44 0,00 0,00 0,58 0,00

0,00 0,00 -0,02 0,00 0,00 -0,50 0,00 0,00 0,50

sl1= 0,75

sl2= 0,95

sl3= 1,01

sl4= 0,95

sl5= 0,73

sl6= 0,71

sl7= 0,75

sl8= 0,77

sl9= 0,71 mm

A-1 7,595

EA 2,259 A-2 16,409

NA 18,127 A-3 14,521

EB 6,823 B-1 13,205

NB 2,007 L^=F(X^)= B-2 12,562EC 18,802 B-3 4,981

x^= NC 15,848 C-1 9,659E1 9,181 C-2 6,279

N1 15,000 C-3 13,326 m

E2 16,515

N2 10,000 0,0000

E3 10,001 0,0000

N3 5,842 m 0,0000

L^-L0=0 0,00000,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000


OBSERVACIONES AJUSTADASCOORDENADAS PREVIAS AJUSTADAS


SLL=

s0(QLL^)1/2=


A*Qxx=

QLL^=AQxxAT=

Las coordenadas ajustadas x^ se comprueban por la insignific-able diferencia a las a dadas crudas en el campo, las obser-vaciones ajustadas y sus desviaciones mantienen coherencia con lo dado y lo obtenido adems se puede comprobar la respuesta probando que L^ - L0 = 0.

40

EJERCICIO 4Los puntos MABE y SPIN pertenecen a la red del proyecto Geoide de la ETCG medida con GPS. Con el objetivo de verifi-car la distancia entre ellos, se corri una poligonal medida con una estacin total de 1.5 mgon y 2 mm 2 ppm de exac-titud nominal angular y lineal respectivamente. Las coordena-das de los dos puntos estn en el sistema cartogrfico CRTM, as como las coordenadas aproximadas de los tres puntos poli-gonales. Las observaciones angulares y las distancias reduci-das al plano cartogrfico estn en el cuadro. Con base en la informacin aplique el algoritmo de ajuste amarrado de obser-vaciones mediatas para calcular las coordenadas ajustadas de los puntos poligonales, su desviacin estndar as como las observaciones ajustadas y su desviacin estndar. Coordenas en m.

41

n u f b1 221,327

7 6 1 b2 194,961

b3 186,047

L= MABE-1 158,7531-2 123,185

2-3 81,839

3-SPIN 87,723 m

b1 221,326 E MABE 489495,721

b2 194,966 N MABE 1105504,215

b3 186,043 E 1 489501,900

L0= MABE-1 158,765 N 1 1105345,570

1-2 123,189 X= E 2 489465,9602-3 81,849 N 2 1105227,740

3-SPIN 87,730 E 3 489448,340

N 3 1105147,810

E SPIN 489448,538

N SPIN 1105060,080

1,4537 1,50 mm ppm

-4,6572 1,50 2 2

l=L-L0= 3,5916 s= 1,50-12,2861 2,03 mgon

-4,2548 2,02 1,5

-10,0641 2,01

-7,2234 mm 2,01 mgon, mm

2,250 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

0,000 2,250 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 2,250 0,000 0,000 0,000 0,000

QLL= 0,000 0,000 0,000 4,101 0,000 0,000 0,0000,000 0,000 0,000 0,000 4,061 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 4,027 0,000

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 4,031

0,44 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

0,00 0,44 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

0,00 0,00 0,44 0,00 0,00 0,00 0,00

PLL= 0,00 0,00 0,00 0,24 0,00 0,00 0,000,00 0,00 0,00 0,00 0,25 0,00 0,00

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,25 0,00

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,25

N 1 E 1 N 2 E 2 N 3 E 3

b1 -0,1351633 0,89498 0,15077 -0,49430 0,00000 0,00000

b2 0,15077 -0,49430 -0,31821 1,25386 0,16744 -0,75956

A= b3 0,00000 0,00000 0,16744 -0,75956 -0,16580 1,48522MABE-1 -0,99924 0,03892 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000

1-2 0,95650 0,29175 -0,95650 -0,29175 0,00000 0,00000

2-3 0,00000 0,00000 0,97655 0,21527 -0,97655 -0,21527

3-SPIN 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 1,00000 -0,00226

-0,135 0,151 0,000 -0,999 0,956 0,000 0,000

0,895 -0,494 0,000 0,039 0,292 0,000 0,000

0,151 -0,318 0,167 0,000 -0,956 0,977 0,000

-0,494 1,254 -0,760 0,000 -0,292 0,215 0,000

0,000 0,167 -0,166 0,000 0,000 -0,977 1,000

0,000 -0,760 1,485 0,000 0,000 -0,215 -0,002

-0,06007 0,06701 0,00000 -0,24367 0,23555 0,00000 0,00000

0,39777 -0,21969 0,00000 0,00949 0,07185 0,00000 0,00000

0,06701 -0,14143 0,07442 0,00000 -0,23555 0,24251 0,00000

-0,21969 0,55727 -0,33758 0,00000 -0,07185 0,05346 0,00000

0,00000 0,07442 -0,07369 0,00000 0,00000 -0,24251 0,24809

0,00000 -0,33758 0,66010 0,00000 0,00000 -0,05346 -0,00056

AT=

AT*P=


PASO 1. GRADOS DE LIBERTAD PASO 2. OBSERVACIONES MEDIDAS




42

0,487 -0,028 -0,256 0,045 0,011 -0,051

-0,028 0,486 0,061 -0,493 -0,037 0,167

-0,256 0,061 0,530 -0,146 -0,273 0,166

0,045 -0,493 -0,146 1,096 0,097 -0,936

0,011 -0,037 -0,273 0,097 0,510 -0,114

-0,051 0,167 0,166 -0,936 -0,114 1,248

3,090 0,149 2,021 0,168 1,005 0,056

0,149 8,375 -0,195 7,802 0,081 4,771

2,021 -0,195 4,006 -0,054 2,034 -0,278

0,168 7,802 -0,054 9,811 0,083 6,337

1,005 0,081 2,034 0,083 3,042 0,101

0,056 4,771 -0,278 6,337 0,101 4,964

1,5921 3,812 -0,219

1,1791 x^=Qxxn= -2,418 -4,629

-0,4151 0,392 A*x^= 4,283-4,3595 -4,859 -3,903

0,0374 1,056 3,983

4,4851 0,472 -1,796

1,055

-1,6723

0,0283

v=A*x^-l= 0,69118,3833

8,2377

8,2677

8,2786

VT= -1,6723 0,0283 0,6911 8,3833 8,2377 8,2677 8,2786

0,0000000000 lTPv= 69,28311874

0,0000000000

ATPv=0= 0,0000000000 v

TPv= 69,28311874

0,0000000000

0,0000000000

0,0000000000

vT*P -0,743 0,013 0,307 2,044 2,029 2,053 2,054

lT= -1,45372 4,65721 -3,59158 12,28609 4,25481 10,06414 7,22344

lT*P= -0,6461 2,0699 -1,5963 2,9960 1,0478 2,4993 1,7921

221,325

8,32 194,961

L^=L+v= 186,048

158,761

123,193

81,847

87,731 m



Qxx=N-1


n=AT*P*l=

PASO 10. RESIDUOS


N=AT*P*A=



43

-0,063 3,589 0,183 2,102 0,202 1,088

0,086 2,117 -0,390 3,689 0,001 1,930

0,127 1,114 -0,038 1,936 -0,077 2,496

-3,082 0,177 -2,027 0,135 -1,001 0,130

1,017 0,496 -1,939 -0,373 -0,985 -0,138

1,016 0,383 1,973 0,614 -0,988 -0,074

1,005 0,070 2,035 0,069 3,042 0,090

2,21 0,00 0,02 0,20 0,20 0,20 0,20

0,00 2,25 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

0,02 0,00 2,24 -0,08 -0,08 -0,08 -0,08

0,20 0,00 -0,08 3,09 -1,00 -1,00 -1,00

0,20 0,00 -0,08 -1,00 3,08 -0,98 -0,98

0,20 0,00 -0,08 -1,00 -0,98 3,04 -0,99

0,20 0,00 -0,08 -1,00 -0,98 -0,99 3,04

sl1= 12,37

sl2= 12,49

sl3= 12,47

sl4= 14,62

sl5= 14,61

sl6= 14,51

sl7= 14,52 mm

E MABE 489495,721 b1 221,3253 0,0000

N MABE 1105504,215 b2 194,9610 0,0000

E 1 489501,898 b3 186,0477 L^-L0=0 0,0000

N 1 1105345,574 L^=F(X^)= MABE-1 158,7614 0,0000

x^= E 2 489465,955 1-2 123,1932 0,0000N 2 1105227,740 2-3 81,8473 0,0000

E 3 489448,340 3-SPIN 87,7313 0,0000

N 3 1105147,811

E SPIN 489448,538

N SPIN 1105060,080 m


SLL=

s0(QLL^)1/2=

COORDENADAS PREVIAS AJUSTADAS


OBSERVACIONES AJUSTADAS

A*Qxx=

QLL^=AQxxAT=


Este ejercicio es muy similar el ejercicio anterior con la variable de que hay que linealizar los datos de medidas angulares, el tratamiento en las respuestas finales es igual a lo que hemos venido haciendo a lo largo de la bitcora de curso.

44

EJERCICIO 6Ajuste de los ngulos medidos en todas las combinaciones den una estacin. Los ngulos del vector de observaciones son los promedios de-terminados con una cantidad determinada de series comple-tas, a partir de las cuales se estim la exactitud de la medicin en 0,3 mgon.Calcule los ngulos ajustados y sus desviaciones estndar.

Esta ltima no discrepa de las dems en metodologa de reso-lucin la nica diferencia es estamos tratando medidas angu-lares y su matriz de aproximadas est dada por la funcin por la suma de ngulos, por lo que su matriz A van hacer solo 1 y 0 ya que sus derivadas parciales siempre van a ser positivas porque las variables lo son, y ceros porque no hay variables y la derivada de una constante siempre es cero.

45

n u f 1 34,12868

6 3 3 2 73,95495

L= 3 198,75503

4 39,82667

5 164,62621

6 124,80036 gon

1 34,12868 X1 34,12868

2 73,95535 X= X2 39,82667

3 198,75571 X3 124,80036 gon

4 39,82667

5 164,62703

6 124,80036 gon

0 1

-0,4 1

l=L-L0= -0,68 s= 1

0 1

-0,82 1

0 mgon 1 mgon

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1 mgon2

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

PLL= 0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

X1 X2 X3

1 1 0 0

2 1 1 0

3 1 1 1

4 0 1 0

5 0 1 1

6 0 0 1

1 1 1 0 0 0

0 1 1 1 1 0

0 0 1 0 1 1

1 1 1 0 0 0

0 1 1 1 1 0

0 0 1 0 1 1

AT=

AT*P=

L0=


QLL=



A=

PASO 1. GRADOS DE LIBERTAD PASO 2. OBSERVACIONES MEDIDAS


46

3 2 1

2 4 2

1 2 3

0,5 -0,25 0

-0,25 0,5 -0,25

0 -0,25 0,5

-1,08 -0,065

-1,9 x^=Qxxn= -0,305

-1,5 -0,275 mgon

-0,065 -0,065

0,03 -0,37

v=A*x^-l= 0,035 -0,645

-0,305 -0,305

0,24 -0,58

-0,275 mgon -0,275

vT -0,065 0,03 0,035 -0,305 0,24 -0,275

0,000000 lTPv= -0,2326

0,000000

0,000000 vTPv= 0,2326

vT*P -0,065 0,03 0,035 -0,305 0,24 -0,275

lT= 0,2326

lT*P= 0 0,4 0,68 0 0,82 0

0,2784 mm 34,128615

73,954980L^=L+v= 198,755065

39,826365

164,626450

124,800085 gon

X1 34,128615 SX1 = 0,2

X^=X+ x^= X2 39,826365 Sxx=s0*(QXX)1/2= SX2 = 0,2

X3 124,800085 gon SX3 = 0,2 mgon




AT*P*v =


Qxx=N-1


n=AT*P*l=

PASO 10. RESIDUOS

A*x^=


N=AT*P*A=


47

0,5 -0,25 0

0,25 0,25 -0,25

0,25 0 0,25

-0,25 0,5 -0,25

-0,25 0,25 0,25

0 -0,25 0,5

0,5 0,25 0,25 -0,25 -0,25 0

0,25 0,5 0,25 0,25 0 -0,25

0,25 0,25 0,5 0 0,25 0,25

-0,25 0,25 5,55112E-17 0,5 0,25 -0,25

-0,25 5,55112E-17 0,25 0,25 0,5 0,25

0 -0,25 0,25 -0,25 0,25 0,5

Sl1= 0,2

Sl2= 0,2

Sl3= 0,2

Sl4= 0,2

Sl5= 0,2

Sl6= 0,2 mgon

1 34,128615 0,000000

2 73,95498 0,000000

3 198,755065 L^-L0=0 0,000000

4 39,826365 0,000000

5 164,62645 0,000000

6 124,800085 gon 0,000000

QLL^=AQxxAT=


SLL=

s0(QLL^)1/2=


L^=F(X^)=


A*Qxx=

Los ngulos ajustados estn dados en la matriz L^ son muy sim-ilares a los obtenidos crudos en el campo lo que indica que si estn ajustados los nuevos, la desviacin est dada en la matriz SLL como era de esperarse la desviacin es milimtrica y es igual para todos los ngulos puesto que se estim con una misma exactitud de medicin.

48

CONCLUSION

Al realizar un trabajo de precisin siempre es importante en-contrarse con algunos de los mtodos expuesto en el portafo-lio, saber tratar errores de mediciones y ajustarlos, para llegar a la mxima precisin, es el que hacer del topgrafo, debe co-nocerlo de pies cabeza, porque no se puede ser exacto pero si muy preciso y este curso es una muestra de ello.

Si bien a la hora de hacer mediciones ya existen software es-pecializados para hacer estos trabajos de ajustes, es un deber conocer los diferentes mtodos a pie como se dice popular-mente ya sea por principios profesionales, sino tambin porque no siempre se dispone de las comodidades de un buen soft-ware por cuestiones precio o difcultad en el manejo, son sim-plemente bases que no se pueden ignorar.

Es claro que usar mtodos matemticos para hacer este tipo de trabajo es vital, y hay varios caminos que tomar para llegar al resultado, es importante tener malicia, y ver que funcin me lleva mejor y ms rpido a una respuesta; por ejemplo cual tiene una funcin derivable fcil o bien si tengo otros tipo de datos con otra funcin me ahorro de linealizar.

A manera de cierre hay que tener una visin sistemtica del asunto a ajustar y saber siempre que datos tengo y a cuales quiero llegar con la manipulacin de la algebra lineal en ma-trices

49

CONCLUSION

ajuste de observaciones

Documents