Agrupación Astronómica de Madrid

Curso de Física Básica

Apuntes Física II

Ejemplo de aplicación algebraica en cinemática y diagramas espacio-tiempo

I. EJEMPLO ALGEBRAICO: MOVIMIENTO UNIFORME EN UNA DIMENSIÓN

Para ejercitarnos en el álgebra, pero aplicada a la física, vamos a estudiar un ejemplo muy

sencillo en cinemática (la parte de la física que trata del movimiento, y que estudiaremos

detalladamente más adelante). Se trata del movimiento uniforme de un cuerpo en una dimensión

(a lo largo de una curva, sin salirse de ella). Puede ser un movimiento a lo largo de una línea

recta, o a lo largo de una curva alabeada en el espacio.

Para representar este movimiento, usaremos el concepto de recta real: una línea recta que

representa los números reales, orientada en un cierto sentido, normalmente de izquierda a derecha

(sentido en el que crecen los números reales), y con el cero situado en algún punto. La propiedad

física del cuerpo que nos va a interesar es la posición, y la magnitud física (medible) asociada

va a ser la distancia del origen O al cuerpo, representada por x, medida en m. El valor de x va

a cambiar según trascurre la propiedad física tiempo, que mediremos mediante la magnitud t,

medida en s, y el cuerpo se desplazará a lo largo de la recta real, hacia la derecha (x crece) o

hacia la izquierda (x decrece).

El tipo de movimiento que vamos a suponer sigue el cuerpo es uniforme. Esto quiere de-

cir que su velocidad va a ser constante. Denotaremos por v0 a la magnitud física para la

velocidad, medida en m . s−1, o m/s. Al contrario que x y t, que varían, la velocidad v0 va a ser

la misma siempre, por ejemplo, v0 = 0, 5 m.s−1.

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Supongamos que elegimos un origen de tiempos, t0, y que, en ese instante, la posición del

cuerpo es x0. Tanto t0 como x0 son constantes, porque representan un valor determinado de esas

magnitudes. Como ya demostraremos, el movimiento del cuerpo veri�ca la siguiente ecuación:

x = x0 + v0(t− t0) (1)

Podemos veri�car que esta ecuación es dimensionalmente correcta, ya que

[x] = L, [x0] = L, [v(t− t0)] = [v].[t− t0] = L . T−1.T = L

La ecuación (1) es una relación entre la magnitud variable x y la magnitud variable t (a partir de

ahora hablaremos de `variable', en lugar de `magnitud variable', para simpli�car): sabiendo dónde

estaba el cuerpo, x0, en el instante incial t0, y a qué velocidad se desplaza, v0, podemos saber

dónde estará (½y dónde estuvo!) en cualquier instante posterior (o anterior) t. Como ejemplo, sea

que t0 = 1 s y x0 = 2 m, y que la velocidad es v0 = 2 m/s. Entonces

x = 2 + 2(t− 1) (x en m y t en s)

¾Qué posición ocupaba el cuerpo en t = 0 s? Sustituimos:

x = 2 + 2(0− 1) = 2− 2 = 0 m,

o sea, el cuerpo estaba en el origen. ¾Y qué posición ocupará en t = 5 s?:

x = 2 + 2(5− 1) = 2 + 8 = 10 m.

También podemos operar en sentido inverso: ¾En qué instante de tiempo el cuerpo se encuentra

a una distancia de 10 m del origen, pero a la izquierda? Despejamos t en (1):

x− x0 = v0(t− t0),x− x0

v0= t− t0, t = t0 +

x− x0

v0.

Sustituyendo,

t = 1 +x− 2

2.

Si x = −10 m, obtenemos:

t = 1 +−10− 2

2= 1− 6 = −5 s.

2

A partir de la ecuación (1) podemos de�nir ∆x = x−x0 como la distancia recorrida por el cuerpo

en el intervalo de tiempo ∆t = t− t0; entonces:

x− x0 = v0(t− t0), v =∆x

∆t.

Esta ecuación nos da una interpretación de la velocidad: la velocidad es igual al espacio recorrido

∆x dividido entre el intervalo de tiempo ∆t que el cuerpo tarda en recorrer ese espacio. En

el movimiento que estamos estudiando, el movimiento uniforme, el cociente entre estas dos

cantidades es siempre constante: por ejemplo, si ∆t se dobla, entonces ∆x también se dobla para

que el cociente quede constante. Pero, en general, esto no es así: la velocidad cambia a medida

que el cuerpo se mueve. Estudiaremos el caso general de movimiento no uniforme más adelante;

entonces veremos que la ecuación v0 = ∆x/∆t es un prolegómeno de algo muy importante en

física, a saber, la derivada.

Veamos ahora el caso de dos cuerpos, 1 y 2, que se mueven a lo largo de la misma recta,

pero con velocidades constantes diferentes, v(1)0 y v

(2)0 . Las ecuaciones que describen sus

movimientos son:

x1 = x(1)0 + v

(1)0 (t− t0), x2 = x

(2)0 + v

(2)0 (t− t0)

Suponiendo conocidas las posiciones iniciales x(1)0 , x

(2)0 en el instante inicial t0, podemos pre-

guntarnos, ¾en qué instante de tiempo se encuentran los dos cuerpos? Planteamos la ecuación

x1 = x2:

x(1)0 + v

(1)0 (t− t0) = x

(2)0 + v

(2)0 (t− t0)

Esta ecuación es una ecuación algebraica lineal en la variable t (como las que hemos estudiado en

álgebra, pero aquí la variable es t en lugar del x que usamos en matemáticas). De hecho, se puede

escribir como en álgebra:

(v(2)0 − v

(1)0 )t+ x

(2)0 − x

(1)0 + t0(v

(1)0 − v

(2)0 ) = 0,

donde a = v(2)0 − v

(1)0 y b = x

(2)0 − x

(1)0 + t0(v

(1)0 − v

(2)0 ) en el lenguaje usado allí. Despejando t:

t = t0 −x(2)0 − x

(1)0

v(2)0 − v

(1)0

La ecuación indica que, salvo que las velocidades sean iguales (½tendríamos un 0 en el denom-

inador!), siempre existe una solución: un instante t en el que los dos cuerpos se encuentran.

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Pongamos números. Sea t0 = 0 s, x(1)0 = 0 m, x

(2)0 = −10 m, v

(1)0 = 1 m/s, y v

(2)0 = 2 m/s.

Entonces:

t = 0− −10− 0

2− 1= 10 s.

Como ejemplo adicional, si el cuerpo 2 se moviera hacia la izquierda, v(2)0 = −2 m/s, tendríamos:

t = 0− −10− 0

−2− 1= −10

3= −3, 3333... s,

es decir, el encuentro se produjo en el pasado inmediato.

Fijémonos que el caso v(1)0 = v

(2)0 , para el que ya hemos dicho que no existe solución de

encuentro, es el caso en el que los dos cuerpos van a la misma velocidad; tiene pues sentido que

no se encuentren, ya que su posición relativa siempre es la misma (ni se acercan ni se alejan).

II. DIAGRAMAS ESPACIO-TEMPORALES

El diagrama espacio-temporal es una representación en un plano del movimiento unidimen-

sional de un cuerpo (es decir, del tipo de movimientos discutidos en la sección anterior). Utiliza

un artefacto matemático muy útil en muchos contextos, consistente en dibujar dos rectas reales

mutuamente perpendiculares y que comparten origen: los ejes coordenados en el plano. Es

costumbre colocar los ejes de manera que el horizontal crezca de izquierda a derecha, y el vertical

crezca de abajo a arriba.

En nuestro caso el eje horizontal va a representar la magnitud t, mientras que el vertical será la

magnitud x. Cualquier punto de este plano xt representa un evento, que escribiremos como (t, x),

en el que el cuerpo ocupa la posición x en el instante de tiempo t.

Dado un punto en el plano tx, obtenemos sus valores de x e t a base de proyectar el

punto perpendicularmente hacia cada eje. La distancia desde el origen hacia la proyección, en

cada eje, nos da el valor de x y t, que se llaman las coordenadas de ese punto.

Ahora, si hacemos pasar el tiempo, la coordenada temporal t va a aumentar (de izquierda

a derecha), y, a medida que el cuerpo se mueve, su coordenada x va a aumentar o disminuir

si el cuerpo está en movimiento; el movimiento del cuerpo es una trayectoria en el diagrama

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espacio-temporal. Cada punto sobre esa trayectoria es una posición x del cuerpo en un instante t.

Vamos a ver qué trayectoria representa al movimiento uniforme, dado por la ecuación (1),

x = x0+v0(t− t0). Para �jar ideas, supongamos que x0 = 1 m, t0 = 0 s, y v0 = 1 m/s. Tendremos

x = 1 + t, (2)

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donde x está en m y t en s. Para ver la trayectoria, podemos dar unos cuantos valores a t y ver

qué valor de x se obtiene para cada uno de ellos. Tenemos la siguiente tabla:

t −2 −1 0 1 2

x −1 0 1 2 3

Con esta tabla podemos construir la trayectoria de la �gura, que resulta ser una línea recta.

A. Signi�cado geométrico de la velocidad

Según lo que vimos antes, podemos escribir la velocidad (constante) de este movimiento como el

cociente entre un intervalo en distancias cualquiera, ∆x, y su correspondiente intervalo en tiempo,

∆t (ambos están relacionados, ya que ∆x es el espacio recorrido en un intervalo de tiempo dado

por ∆t de manera que el cociente sea siempre el mismo, a saber, v0):

v0 =∆x

∆t. (3)

En la grá�ca de abajo hemos dibujado intervalos∆x y∆t en dos instantes de tiempo diferentes, 1 y

2; los intervalos temporales∆t1 y∆t2 son de diferente valor, y en consecuencia los correspondientes

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intervalos espaciales ∆x1 y ∆x2 también son diferentes (en cada caso su cociente ha de ser igual

a v0, que es la misma). Podemos dibujar sendos triángulos rectángulos, con catetos (en azul)

dados por los correspondientes ∆t y ∆x y siendo la hipotenusa parte de la línea recta que da la

trayectoria de la partícula (en rojo). Los dos triángulos son semejantes: sus ángulos internos son

los mismos. En particular, el ángulo marcado, θ, es el mismo. Veremos en trigonometría que la

tangente de ese ángulo está dada por el cociente de catetos; pero ese cociente es justo la velocidad

(constante), v0:

tan θ =∆x1

∆t1=

∆x2

∆t2= v0.

Por tanto, la velocidad del movimiento, v0, está directamente relacionada con el ángulo θ, es

decir, con la inclinación de la línea recta en el diagrama espacio-temporal: podemos ver que, para

un mismo ∆t, cuando mayor sea su correspondiente ∆x, mayor será θ, y mayor será la velocidad.

Esto último es intuitivamente razonable: si en un mismo intervalo temporal el espacio recorrido es

mayor, es que la velocidad ha de ser mayor. En de�nitiva, una línea recta en el diagrama espacio-

temporal corresponde a un movimiento uniforme, y la inclinación de la recta está relacionada con

su velocidad a través de la relación tan θ = v0; cuanto mayor sea v0, mayor será la inclinación.

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B. Otras cuestiones

• ¾Qué ocurre si la velocidad es negativa?

De la ecuación (3) vemos que, si v0 < 0, entonces (como ∆t > 0 porque suponemos que

el tiempo avanza) hemos de tener ∆x < 0: el cuerpo se mueve hacia la izquierda, ya que

su x disminuye con el paso del tiempo. A efectos del diagrama espacio-temporal, la línea

recta que representa la trayectoria del cuerpo tiene que apuntar hacia abajo, porque cuando

t aumenta x debe decrecer. Tenemos la situación pintada en la grá�ca de abajo.

• ¾Cómo se discute el movimiento de dos cuerpos a la vez en el diagrama espacio-temporal?

No tenemos más que pintar las líneas rectas correspondientes a los movimientos uniformes

de cada cuerpo. Fijémonos que, si las velocidades v(1)0 y v

(2)0 de los dos cuerpos son distintas,

como ocurrirá en general, las inclinaciones de las rectas serán distintas. Pero dos rectas en

el plano siempre se cruzan en un punto: ese punto de cruce, (xc, tc), corresponde al punto

de encuentro entre los dos cuerpos.

¾Qué ocurre si las velocidades de los dos cuerpos son iguales? Geométricamente sabemos

que sus inclinaciones han de ser iguales. Pero dos rectas paralelas nunca se cruzan: los

cuerpos no se van a encontrar nunca.

• ¾Qué ocurre si un cuerpo se desplaza a la velocidad de la luz, c? Supongamos un cuerpo (que

necesariamente ha de tener masa nula, según la relatividad) que se desplaza en movimiento

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uniforme a la velocidad de la luz, c ≃ 3.108 m/s. Además, supongamos que el instante incial

es t0 = 0 s, y que en ese instante su posición inicial es x0 = 0 m (es decir, el cuerpo ocupa

el origen de coordenadas en el instante inicial). La ecuación que da su movimiento es:

x = ct si el cuerpo se desplaza hacia la derecha,

x = −ct si el cuerpo se desplaza hacia la izquierda.

Estos dos movimientos corresponden a sendas rectas, con inclinaciones tales que tan θ = c.

Como c es muy grande, la inclinación es muy grande. Las dos rectas, una para movimiento

hacia la derecha, con inclinación positiva, y la otra para movimiento hacia la izquierda, con

inclinación negativa, se representan en el panel izquierdo de la �gura de abajo.

En teoría de la relatividad el diagrama espacio-temporal suele representarse con el eje x

horizontal y el eje t vertical. En el panel derecho de la �gura aparece el diagrama dibujado

de esta manera. Además, hemos representado un área sombreada fuera de las líneas rectas.

Observemos que una línea recta con una inclinación tal que la línea se encuentre en estas

regiones sombreadas corresponde a trayectorias de cuerpos con velocidades mayores que la

de la luz (lo cual no es posible). Por tanto, un cuerpo que ocupe el origen en el instante

inicial no puede ocupar ningún punto en la zona sombreada en ningún instante posterior,

ni puede haber ocupado ningún punto en la zona sombreada en ningún instante anterior.

Además, ningún cuerpo situado en el origen puede haber interaccionado de manera causal

con ningún otro cuerpo situado en la zona sombreada (esto es, no puede haber enviado o

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recibido información de ningún cuerpo en la zona sombreada que haya causado el hecho de

que el primero ocupe el origen). Estos diagramas son muy útiles en teoría de la relatividad

para discutir a nivel conceptual diversos efectos relativistas, como veremos en su momento.

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