localización astronómica y geodésica

ASTRONOMÍA DE POSICIÓN – Localización Astronómica y Geodésica ______________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________ Dep. de Geofísica y Astronomía. Facultad de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales. UNSJ

Dr. Ricardo César Podestá

Tema 2

Localización Astronómica y Geodésica

2.1- Definición de Geodesia. Diferencias con la Astronomía Geodesia es un vocablo de origen griego que literalmente significa “dividir la

Tierra”. La geodesia es una de las ciencias más antiguas cultivada por el hombre y su

objetivo es el estudio y determinación de la forma y dimensiones de la Tierra, de su

campo de gravedad y sus variaciones temporales. Dentro de esta definición, se incluye

también la orientación y posición del planeta en el espacio.

Esta disciplina se compone básicamente en dos partes:

a) Geodesia superior: mediante física y matemáticas trata de determinar y representar la

figura de la Tierra en términos globales.

b) Geodesia práctica o topografía: estudia y representa partes menores de la Tierra

donde la superficie puede ser considerada plana.

En la actualidad se la prefiere dividir de la siguiente manera:

a) Geodesia geométrica: determinación de la forma y dimensiones de la Tierra en su

aspecto geométrico, lo cual incluye fundamentalmente la determinación de

coordenadas de puntos en su superficie.

b) Geodesia física: estudio del campo gravitatorio de la Tierra y sus variaciones, mareas

(oceánicas y terrestres) y su relación con el concepto de altitud.

c) Astronomía geodésica: determinación de coordenadas en la superficie terrestre a

partir de mediciones a los astros.

d) Geodesia espacial: determinación de coordenadas a partir de mediciones efectuadas

por las técnicas espaciales modernas (GNSS, VLBI, SLR, DORIS) y definición de

sistemas de referencia.




e) Microgeodesia: medida de deformaciones en estructuras de obra civil o pequeñas

extensiones de terreno mediante técnicas geodésicas de alta precisión.

Una parte fundamental de la geodesia es la determinación de la posición de puntos

sobre la superficie terrestre, denominados Topocentros (T), mediante algún sistema de

referencia que emplee coordenadas rectangulares (o esféricas Latitud, Longitud y

Altura), con una terna de ejes (X, Y, Z) y cuyo eje polar Z se hace coincidir con el eje

de rotación medio del planeta. La materialización de estos puntos sobre el terreno

constituyen las denominadas redes geodésicas, conformadas por las coordenadas de

estaciones que configuran la base de la cartografía de un país.

La superficie de referencia elegida para describir el globo terrestre debe reunir dos

condiciones fundamentales: (a) que mejor represente a la forma y figura de la Tierra y,

(b) que a ella resulten perpendiculares las verticales de los topocentros.

La superficie física más apta para representar a la Tierra en su forma y

dimensiones es la superficie libre de los océanos supuestos en reposo y asumida

prolongada por debajo de los continentes.

Figura 2.1a: Superficie de referencia (nmm) y vertical de un topocentro.




Esta superficie recibe el nombre de Nivel Medio del Mar (nmm) o simplemente

Geoide. Sobre el geoide debe usarse la línea Vertical () de cada topocentro como

elemento fundamental para la determinación de la posición [Figura 2.1a].

Nota 1:

Aquí debemos hacer una importante aclaración. La astronomía y la geodesia se

apoyan en sistemas de referencia (terna de ejes) y superficies totalmente diferentes, que

describen la figura de la Tierra de distinto modo.

Los sistemas astronómicos trabajan usando la superficie definida anteriormente

como “geoide” o “nivel medio del mar”; es decir, con la verdadera forma terrestre.

Sobre esta superficie, las coordenadas astronómicas latitud y longitud se apoyan en las

líneas “verticales” al geoide.

Por el contrario, los sistemas geodésicos trabajan con una superficie teórica

matemática definida por un elipsoide de revolución. Esta forma no es materializable

físicamente. Las coordenadas geodésicas latitud y longitud se apoyan en las rectas

“normales” al elipsoide.

En un determinado lugar, la vertical () y la normal (N) pueden o no coincidir,

pero por lo general no concuerdan, estando sin embargo muy cercanas entre sí. La

diferencia angular es de algunos segundos de arco, dependiendo de la separación entre

las superficies “geoide” y “elipsoide” en la zona del topocentro [Figura 2.1b].

Figura 2.1b: Superficies de referencia Geoide y Elipsoide. T es el topocentro (lugar de observación), To es su proyección sobre el geoide y t es sobre el elipsoide.




2.2- Vertical y Horizonte Astronómico Sobre todo topocentro T considerado como un punto material, se ejercen dos

fuerzas:

(1) Atracción gravitatoria de las masas que constituyen la Tierra, a la que designamos

con el vector N dirigido hacia el geocentro y a la cual llamaremos atracción

newtoniana terrestre.

(2) La fuerza centrífuga terrestre, que denominamos con C, motivada por la rotación

del planeta alrededor del eje Z y dirigida perpendicularmente a él.

Estas dos fuerzas en el topocentro se componen y dan como resultante la fuerza de

gravedad: g = N + C . La recta soporte o línea de acción de la gravedad es la línea

vertical () del topocentro T, dirigida hacia el cenit [Figura 2.2a].

Figura 2.2a: dirección de la fuerza de gravedad (g) y de la vertical ().

Si la Tierra fuera una esfera de densidad constante sin rotación, esa fuerza g se

orientaría hacia el centro; pero como no es así, se dirige fuera del centro. El plano

perpendicular a la vertical, trazado por el topocentro T es el horizonte astronómico de

ese topocentro.




Como ya sabemos, el calificativo “astronómico” se aplica a las cosas o conceptos

ligados a la vertical y a la superficie del geoide; mientras que el calificativo “geodésico”

se refiere a elementos vinculados a la normal del elipsoide terrestre que veremos más

adelante.

2.3- Movimiento del Eje de Rotación. Movimiento del Polo

La posición del eje de rotación no es fija con respecto al cuerpo físico de la Tierra.

Pueden definirse dos tipos diferentes de oscilaciones que no deben ser confundidas:

( i) el movimiento del eje “dentro” del cuerpo físico de la Tierra y,

(ii) el movimiento del eje “fuera” de la Tierra.

El primero (i) es de pequeña escala, tiene un origen principalmente geofísico y en

menor medida por fuerzas lunisolares. Se lo denomina Movimiento del Polo y afecta las

coordenadas astronómicas de latitud y longitud.

El segundo (ii) es el que experimenta el planeta contra el fondo de estrellas,

llamado Precesión, provocando el desplazamiento de los polos celestes y del ecuador y

afectando las coordenadas celestes.

Veamos ahora el movimiento del polo. Supongamos que en un momento dado

podemos marcar sobre la superficie terrestre la posición que corresponde al polo norte

(o sur) terrestre (P) con el punto 1; si algunas

semanas después volvemos a marcar el polo,

observamos que su posición cae en el punto 2, y

así sucesivamente [Figura 2.3.a]. A medida que

transcurren las semanas, si vamos uniendo las

sucesivas posiciones, notamos que el polo no es un

punto fijo de la superficie terrestre, sino que se

mueve cíclicamente.

Figura 2.3a: movimiento del polo.




Concluimos que el polo se mueve describiendo una curva espiral directa llamada

poloide, que cumple un ciclo o periodo en aproximadamente 14 meses, denominado

periodo de Chandler.

Sobre la base de estos 14 meses en que el polo da una vuelta completa sobre la

poloide, resulta que el desplazamiento angular diario del polo es del orden de:

360° / (14 x 30 días ) = 0°.857 por día

Podemos entonces hablar ahora de un polo instantáneo, que es el calculado a

través de las observaciones astronómicas y, un polo medio de la época, que es el punto

de la superficie terrestre cuya posición se establece como promedio de las posiciones

instantáneas observadas durante un período largo de tiempo (décadas).

Distintos polo medios se han ido adoptando a medida que han transcurrido las

épocas. En la actualidad el polo medio está fijado para la época 2000 [Figura 2.3b].

El organismo internacional denominado International Earth Rotation and

Reference Systems Service (IERS) es el encargado de proveer la posición del polo

instantáneo (coordenadas del polo) respecto al polo medio de la época.

Figura 2.3b: Ciclo de la poloide hasta el año 2000 (línea punteada) y deriva del polo medio a lo largo de las épocas (línea llena azul). La posición de los ejes X,Y (en rojo) está definida por el IERS.




La poloide se mantiene dentro de un círculo

centrado en P de no más de 15 metros de radio [Figura

2.3c]. En consecuencia, como el desplazamiento

angular diario del polo instantáneo es de 0°.857, su

movimiento lineal diario sobre la poloide es de:

0°.857 = 0.014957 radianes

0.014957 rad x 15 metros = 0.224 metros = 22 cm

Figura 2.3c: desplazamiento angular diario de la poloide

La rotación de la Tierra se entiende como el movimiento entre dos sistemas de

referencia geocéntricos distintos, uno solidario a la Tierra (acompaña la rotación)

denominado International Terrestrial Reference System (ITRS) y el otro fijado en el

espacio (sin rotación) denominado Geocentrical Celestial Reference System (GCRS).

Para el estudio de la rotación de la Tierra y de la precesión de los equinoccios se

utiliza un arreglo de ejes intermedios definido en forma convencional, cuyo eje vertical

intermedio es el eje de rotación instantáneo y contiene al polo CIP, [Figura 2.3d].

El movimiento de este eje intermedio respecto al sistema de referencia GCRS se

denomina “Precesión-Nutación”. Por otro lado, respecto al sistema de referencia ITRS

se denomina “Movimiento del Polo” [Figura 2.3e]. El sistema intermedio vincula

entonces el ITRS con el GCRS.

En el año 2003, la Unión Astronómica Internacional definió el sistema intermedio

cuyo polo se llamó Polo Celeste Intermedio CIP (en inglés Celestial Intermediate Pole)

que corresponde al polo instantáneo. El polo medio terrestre fijado por el IERS es el que

concierne al sistema ITRS.




Figura 2.3d: Eje intermedio (CIP) respecto a los sistemas de ref. GCRS e ITRS

Figura 2.3e: Precesión en el GCRS y movimiento del polo en el ITRS, respectos al eje intermedio CIO

Observemos que como la separación lineal entre los polos instantáneo (que

llamaremos Pi) y medio (P) puede llegar a ser del orden de 15 metros, el ángulo entre

ambos ejes de rotación puede llegar a valer aproximadamente medio segundo de arco

[Figura 2.3e].




R

Pi P eie "

0".485 m 10 x 6371

206265 m 15 eie 3

"

Figura 2.3e: diferencia angular entre los ejes instantáneo y medio

2.4- Sistemas de Coordenadas Geocéntricos

Los ejes de rotación medio (e) e instantáneo (ei) y sus correspondientes planos

perpendiculares, los ecuadores medio e instantáneo, son elementos geométricos

utilizados para definir sistemas cartesianos geocéntricos (el origen de ellos coincide con

el centro de masa de la Tierra o geocentro) y absolutos (no dependen de elementos

locales de los topocentros). Estos dos sistemas son denominados astronómicos o

también, más popularmente, geográficos:

(a) Sistema Astronómico o Geográfico Ecuatorial Medio o Terrestre Medio

(b) Sistema Astronómico o Geográfico Ecuatorial Instantáneo o Terrestre Instantáneo

(a) Sistema Ecuatorial Medio o Terrestre Medio

En este sistema el origen se encuentra en el geocentro “G” y el eje Z se hace

coincidir con el polo medio o eje de rotación medio “e”. El plano fundamental resulta

ser el ecuador medio “E”.

No siendo la Tierra un esferoide de densidad uniforme, no hay ninguna razón para

suponer que las verticales de los topocentros corten al eje de rotación, es decir que

determinen planos con él. Pero en cada topocentro podemos considerar una paralela al

eje que sí habrá de determinar con la vertical de T, un plano que se denomina Meridiano

Astronómico de ese topocentro [Figura 2.4a].




Sobre el ecuador medio tendremos el primer eje X, ubicado trazando por el

geocentro una paralela a la vertical de Greenwich (G) por su topocentro [Figura 2.4b].

Figura 2.4a: Meridiano astronómico y vertical de T

La proyección ortogonal de esa vertical sobre el ecuador medio es el eje X. El

sistema Terrestre Medio es directo, de modo que a 90° contados a partir del primer eje

X, yace el segundo eje Y, estando dirigido al este de Greenwich.

Fig. 2.4b: Ubicación del primer eje X del sistema Terestre Medio




En este sistema Ecuatorial Medio o Terrestre Medio se localiza un topocentro,

mediante el uso de “Coordenadas Astronómicas (o Geográficas) Medias”. Estas son el

rumbo y la elevación de la vertical del topocentro.

Consideremos un topocentro T y su vertical , que corta al ecuador medio en T .

Sea T´ la proyección ortogonal de T sobre el ecuador medio [Figura 2.4c].

El ángulo o rumbo contado positivo desde el primer eje X hacia el segundo eje Y

es la Longitud Astronómica Media () y se cuenta como 0° < < 360° , o bien en el

rango –180° < < +180°.

Figura 2.4c: Latitud () y Longitud () astronómicas

La elevación de la vertical es la Latitud Astronómica Media (), cuyos valores se

cuenta de –90° < < +90°.

La Colatitud es la descención de la vertical y tiene el intervalo 0° < 90°- < 180° .

Obsérvese que es el ángulo diedro que forma el plano coordenado ZX con el

meridiano astronómico de T, determinado por la paralela a Z (//Z) y , [Figura 2.4d].




Figura 2.4d: Planos que forman la longitud

En base a las coordenadas esféricas pueden encontrarse las correspondientes

coordenadas rectangulares del siguiente modo:

X = cos cos

Y = cos sen tg = Y / X

Z = sen tg = Z / ( X2 + Y2 )1/2

(b) Sistema Ecuatorial Instantáneo o Terrestre Instantáneo

El origen del sistema se hace coincidir con el geocentro G lo mismo que en el

sistema terrestre medio. El eje polar Zi coincide con el eje de rotación instantáneo ei

estando entonces dirigido hacia el polo norte definido anteriormente como CIP. El plano

fundamental resulta ser el Ecuador Instantáneo Ei [Figura 2.4e].

Sea X el primer eje del sistema terrestre medio, la proyección ortogonal de X

sobre el ecuador instantáneo específica la dirección de este plano que se adopta como

primer eje Xi del sistema terrestre instantáneo.




Figura 2.4e: Proyección del primer eje X del Sistema Terrestre Medio sobre el ecuador instantáneo Ei.

Llama la atención el hecho que, contrariamente a la definición del primer eje X

del sistema ecuatorial medio, ahora el primer eje Xi del ecuatorial instantáneo no se

define como la proyección sobre el ecuador instantáneo de la paralela al meridiano de

Greenwich de la vertical de Greenwich; sino como la proyección del primer eje X del

sistema medio. Por lo tanto no puede decirse que el plano Zi Xi de Ei sea paralelo al

meridiano astronómico instantáneo de Greenwich.

Si E y Ei se definieran en forma independiente, harían falta 3 parámetros para

especificar la posición relativa de ambos sistemas. Imponiendo la condición inicial de

que el primer eje X de E pertenezca al plano Zi Xi de Ei , se resta un grado de libertad al

problema y entonces podemos ventajosamente conocer las coordenadas del polo

instantáneo con respecto al polo medio, usando dos parámetros (x, y) llamados

Coordenadas del Polo Medio.

El sistema terrestre instantáneo es retrógrado, de modo que a 90° contados a partir

de Xi en sentido de las agujas del reloj yace el segundo eje Yi dirigido al oeste de

Greenwich [Figura 2.4f]. Esto de orientar Yi hacia el oeste se explica porque este

sistema ha sido obtenido originariamente por la astronomía, la que cuenta los rumbos

positivamente hacia el oeste, creciendo en el mismo sentido que los ángulos horarios.




Debido al movimiento tectónico, el sistema terrestre instantáneo no es fijo

respecto al cuerpo físico de la Tierra

como lo es el sistema terrestre medio.

Entonces, para localizar un

topocentro T vemos, según la figura,

que T es el punto donde la vertical

() corta al ecuador Ei, T´ es la

proyección ortogonal de T sobre Ei .

La semirrecta ´i es la proyección de

la vertical sobre Ei.

Figura 2.4f: Sistema Terrestre Instantáneo

El ángulo o rumbo de la vertical contado desde el primer eje Xi hacia el segundo

eje Yi lo designamos con “i” y lo llamamos “Longitud Astronómica Instantánea de T”

y es 0° < < 360° o -180° < i < +180°.

Al ángulo de elevación de la vertical de T la designamos con “” y la llamamos

“Latitud Astronómica Instantánea de T” y comprende -90° < < +90°. La Colatitud

Astronómica Instantánea es la descención de la vertical y es de 0° < 90°- < 180°.

Las correspondientes coordenadas rectangulares son:

X = cos i cos i

Y = cos i sen i tg i = Y / X

Z = sen i tg i = Z / ( X2 + Y2 )1/2

Nota 2

Tanto i como i fijan la dirección de la vertical en el sistema terrestre

instantáneo que, como vimos, se mueve diariamente. Naturalmente, lo que el astrónomo

necesita conocer es la dirección de la vertical en el sistema terrestre medio, de modo que

lo que en realidad se necesita conocer son los parámetros medios y .




Sin embargo, y no pueden ser directamente determinados porque el sistema

terrestre medio es solo un sistema teórico no materializable. En cambio i y i sí

pueden ser determinados mediante la observación de astros de coordenadas (, ).

Para llegar a y a partir de i y i se deben agregar unas correcciones llamadas

Correcciones por Movimiento del Polo ( + i) y ( - i) que veremos mas adelante.

2.5- Coordenadas del Polo Instantáneo respecto al Polo Medio Las coordenadas del polo instantáneo CIO respecto al polo medio ITRS se

designan sencillamente como Coordenadas del Polo (x, y). Para definir estos dos

parámetros veamos el sistema terrestre medio E = (G,X,Y,Z) y el sistema terrestre

instantáneo Ei = (G,Xi,Yi,Zi), vinculados según el primer eje X, [Figura 2.5a].

Consideremos el eje de rotación medio (e) que pasa por el polo medio del sistema

ITRS (que llamaremos sencillamente P) y el eje instantáneo (ei) que contiene al polo

celeste intermedio CIO (que llamaremos Pi).

Figura 2.5 a: Coordenadas del polo (x, y) que vincula los sistemas medio e instantáneo




El plano determinado por el primer eje X de E y el eje de rotación instantáneo,

que por contener a X es perpendicular al plano ZY, corta a este plano según la dirección

D, la cual determina sobre la esfera el punto Q.

Los arcos orientados: x = QPi , y = PQ , son las coordenadas del polo. La

primera coordenada -x- se considera positiva si Pi está, con respecto al plano YZ, del

lado hacia el que apunta el eje X (hacia Greenwich). La segunda coordenada -y- se

considera positiva si Pi está, con respecto al plano ZX, en el lado contrario al que apunta

el eje Y (hacia el oeste de Greenwich).

Las coordenadas del polo (x, y) vienen tabuladas en función del tiempo en

boletines del IERS y circulares astronómicas y geodésicas. Es decir que son datos de los

que siempre dispondremos. Es más fácil extraerlos desde Internet en la página del IERS

(International Earth Rotation and Reference Systems Service).

Para realizar la transformación de coordenadas EiE deberemos aplicar matrices

de rotación que contemplen giros de [-x] y [-y] .

ZiYiXi

y cos x cosysen -y cossen x -ysen x cos-y cos-ysen sen x

sen x0 xcos

ZYX

(1)

Como hablamos de cantidades (x, y) muy pequeñas, podemos en la práctica

reemplazar en (1) los senos por las medidas de los arcos con el radián y los cosenos por

la unidad, luego despreciando los términos de segundo grado obtenemos:

ZiYiXi

1y-x-y -1-0

x01

ZYX

(2)

xi yi zi

Para la transformación inversa :

ZYX

1y-xy -1-0x-01

ZiYiXi

(3)

x y z




De la expresión matricial (2) podemos calcular :

X = Xi + x Zi

Y = Yi y Zi (4)

Z = x Xi y Yi + Zi

Como sabemos que:

X = cos cos

Y = cos sen (5)

Z = sen

Xi = cos i cos i

Yi = cos i sen I (6)

Zi = sen i

Reemplazando (5) y (6) en la (4) :

cos cos = cos i cos i + x sen i , 1

cos sen = cos i sen i y sen i , 2

sen = x cos i cos i y cos i sen i + sen i , 3

(7)

Ahora, el cálculo de y a partir de 1, 2 y 3 que a su vez son funciones de

i y i , se obtienen como :

tg = 2 / 1

tg = 3 / (12 + 22)1/2 (8)

Para el control de los cálculos realizados debe cumplirse la condición que la suma

de 12 + 22 + 32 = 1 = 2




Para pasar de (i , i) a ( , ), estos cálculos tienen el inconveniente de necesitar

trabajar con muchas cifras significativas, ya que las cantidades “x” e “y” son del

orden de las décimas, centésimas o milésimas de segundo de arco. Por ello se prefiere

aplicar el método de las correcciones; es decir, no calcular directamente y sino

buscar las correcciones ( + i) y ( i) que aplicadas a i y i nos

proporcionen y :

= i + ( i)

= ( + i) I (9)

Estas correcciones valen :

( i) = (x cos i + y sen i)

( + i) = tg i (x sen i + y cos i) (10)

Siendo : x e y 0”.5 , los senos y cosenos son menores que 1, por lo que :

i 0”.5

+ i 0”.5 tg i

De las ecuaciones (10) vemos que la corrección ( i) no es problema porque

siempre es del orden de 0”.5 . En cambio ( + i) depende del valor de tg i, entonces a

medida que la latitud crece en valor absoluto, crece ( + i) y, para valores de i

próximos a 90° (en los polos), la corrección puede tomar valores muy grandes. Para

estos casos habrá que emplear el cálculo riguroso por las fórmulas (7) vistas

anteriormente.

Si las coordenadas astronómicas instantáneas no se corrigen por movimiento del

polo, es decir que directamente se tomen = i y = i, tendremos errores del

orden del medio segundo. Puede tomarse así en trabajos donde no es necesaria tanta

precisión.




2.6- Geopotencial . Geoide La necesidad de desarrollar la ecuación del Geoide nos obliga a definir el

“Geopotencial” o “Potencial de la Gravedad” como: W = Potencial G , donde “G” es

un vector que tiene la propiedad que el valor numérico de su derivada en una dirección

cualquiera “d”, es igual al valor de la componente de la gravedad en esa dirección,

[Figura 2.6a].

cosG Gd

dW

En consecuencia, la derivada parcial de W respecto a (x, y, z) nos dará las

componentes de la gravedad en la dirección de los ejes X, Y, Z:

Gz z

W ,Gy yW ,Gx W

x (11)

Como las componentes Gx , Gy , Gz determinan el

comportamiento de la gravedad en el sistema de referencia (X,

Y, Z) utilizado; las ecuaciones (11) nos muestran que el

conocimiento del geopotencial W implica el conocimiento de

G . Además, la derivada de W en la dirección de la vertical

() nos debe dar la componente de la gravedad en esa

dirección. Como para la vertical es = 180° . Figura 2.6a: Derivada del potencial W en un punto Q respecto de una dirección cualquiera d.

G- G W

(expresión que es válida para el sistema terrestre medio)

Sea la [Figura 2.6b]. Al potencial W lo podemos expresar como la suma de los

potenciales:

(i) Potencial de la Atracción Terrestre ( V ) (ii) Potencial de la Fuerza Centrífuga ( V´ )




y x m 21 ́

, S

dm m K V

2 22

Tierra

2

V

(12)

Figura 2.6b: Potencial de un punto externo Q

donde :

K = constante de gravitación universal (6.67 x 10-8cm3 seg-2 g-1)

m = masa de un punto externo Q sobre el cual determinamos el potencial

M = masa de la Tierra

= 2 / 86164.0996 seg-1 = velocidad angular de rotación terrestre

S = distancia entre el punto Q y una partícula P terrestre de masa dM

Sumando ambos potenciales encontramos entonces la ecuación del Geoide :

222

T

2 y x m 21

SdM m K ́ V W V ,

o bien:

Geoide0n

W Vn

V´W (13)

La expresión (13) es la ecuación del geoide. Para el cálculo efectivo de V es

necesario recurrir a sus desarrollos en serie de Legendre o por Armónicas Esféricas, por

lo que la ecuación resulta de infinitos términos.




La forma del Geoide es bastante compleja. Está llena de abolladuras y

prominencias, [Figura 2.6c]. Es una superficie dinámica que cambia con el tiempo y

sobre la misma es muy difícil realizar cálculos y operaciones geométricas tales como

mediciones de arcos, ángulos y distancias.

Figura 2.6c: Forma del geoide. Imágenes producidas mediante determinaciones satelitales de gravedad. Las zonas rojas corresponden a mayores alturas y las azules a depresiones.

2.7- Superficies Geopotenciales

Si hacemos: W = Wo = constante , obtenemos la ecuación de una superficie tal

que en todos sus puntos el geopotencial toma el mismo valor Wo. Se trata entonces de

una superficie equipotencial con respecto a la gravedad, o más sencillamente una

superficie geopotencial.

Hay que tener muy presente que sobre una superficie geopotencial lo que es

constante es el potencial de la gravedad, pero no la gravedad misma. En consecuencia

las superficies geopotenciales no son de gravedad constante, de modo que todos sus

puntos tienen el mismo geopotencial pero distinta gravedad.

Haciendo ahora W = Wi con i variable, se define la ecuación de una familia de

superficies geopotenciales. Estas tienen algunas propiedades:

(1) En todo punto de una superficie geopotencial la gravedad es normal a la

superficie.

(2) Como el vector gravedad es determinativo de la vertical, ésta es perpendicular a

la superficie geopotencial que pasa por ella, [Figura 2.7a izquierda].




Esto que acabamos de establecer es muy importante, puesto que el geoide debe

cumplir la primera condición enunciada anteriormente de que en todos los topocentros

las verticales sean perpendiculares a él. Pero como las superficies geopotenciales no son

paralelas entre sí, las verticales de los puntos que no pertenecen a esa superficie no son

perpendiculares a ella.

Figura 2.7a: A la izquierda se muestra la perpendicularidad de las verticales a las distintas superficies equipotenciales. A la derecha se ven las diferencias de gravedades según la separación de las superficies equipotenciales

De modo que si se adoptara como ecuación del geoide una superficie geopotencial

de referencia, ésta no cumpliría la segunda condición de ser una superficie a la cual

resulten perpendiculares las verticales de todos los topocentros.

Las superficies geopotenciales tienden a juntarse en los puntos donde la gravedad

es mayor y, por el contrario, tienden a separarse donde es menor, pero nunca se cortan,

[Figura 2.7a derecha].

Puede entenderse como superficie geopotencial a aquella en que las partículas que

la constituyen están en equilibrio hidrostático, como la superficie libre de un líquido en

reposo.

Como dijimos al comienzo, el nivel medio del mar (nmm), es el espacio físico

más apto y que mejor se aproxima a la representación de la Tierra en su forma y

dimensiones, resultando ser la superficie analítica o matemática más adecuada.

Quedaría pendiente, por supuesto, el problema de que aunque a ella serían

perpendiculares las verticales de sus propios puntos (es decir, los que yacen sobre el

nmm), a ella no serían perpendiculares las verticales de todos los otros puntos del

cuerpo físico de la Tierra.




2.8- Líneas de Fuerza del Campo Gravitatorio Consideremos una serie de superficies geopotenciales (W0, W1, W2, ....). Sobre

W0 tomemos un punto Po y tracemos por él la normal a W0, es decir tracemos la vertical

0 de P0 ; así 0 corta a W1 en P1 , [Figura 2.8a izquierda].

Luego tracemos por P1 su vertical 1 que, por supuesto, no coincidirá con la

anterior porque las superficies geopotenciales no son paralelas. Si continuamos de esta

manera, queda definida una línea quebrada P0 , P1 , P2 , P3 , ...etc.

Figura 2.8a: A la izquierda se representa la línea vertical quebrada de acuerdo a las superficies equipotenciales que corta. A la derecha la línea de la vertical curva de acuerdo a la aproximación infinita de las superficies equipotenciales. Suponiendo que la separación de las sucesivas superficies se hacen infinitamente

pequeñas, aquella línea quebrada se vuelve una curva (c) llamada “Línea de Fuerza” del

campo gravitatorio terrestre, [Figura 2.8b derecha]. En cada uno de sus puntos la línea

de fuerza es normal a la superficie geopotencial que pasa por él y por lo tanto la

tangente a la línea de fuerza en ese punto coincide con la Vertical del mismo.

2.9- El Elipsoide Terrestre Vimos anteriormente que la ecuación del geoide (13) es una serie de infinitos

términos que exige un desarrollo en serie por armónicas o polinomios de Legendre. Tal

serie es convergente, de modo que tomando unos pocos términos (hasta el cuarto orden)

en el desarrollo de Vn , se tiene una buena aproximación para el potencial W y la

ecuación resultante del geoide resulta en un esferoide que aproxima al nmm.




Pero la necesidad de hacer geometría sobre la superficie de referencia, es decir,

calcular distancias, ángulos, áreas, etc..., exige que esta superficie sea lo más sencilla

que se pueda, de modo que su ecuación sea simple.

Es por ello que se reemplaza al geoide por un elipsoide de revolución alrededor de

su eje menor, convenientemente orientado dentro del cuerpo físico de la Tierra y de ejes

adecuadamente dimensionados, de modo tal que coincida lo mejor posible con el

geoide. Tal elipsoide recibe los nombres de “Elipsoide Terrestre, Elipsoide Absoluto o

Elipsoide Geocéntrico”.

La conveniente orientación del

Elipsoide Terrestre con respecto al

cuerpo físico de la Tierra, se logra

haciendo que su centro geométrico

coincida con el geocentro (y entonces

con el origen del Sistema Terrestre

Medio) y su eje menor con el Eje de

Rotación Z, [Figura 2.9a]. Figura 2.9 a: Orientación del Elipsoide Terrestre

Si a es el semieje mayor y b el menor, la ecuación del elipsoide terrestre en el

sistema Terrestre Medio es :

1 bz

ay 2

2

2

2

2

2

ax

Aproximadamente valen:

a = 6378 Kilómetros

b = 6357 Kilómetros

La diferencia entre los semiejes es de 21 kilómetros, cuya pequeñez frente a las

dimensiones de a y b nos indica que el elipsoide terrestre se parece bastante a una

esfera. Para algunos problemas geodésicos o topográficos en los que la precisión lo

permite, el elipsoide puede ser reemplazado por una esfera geocéntrica llamada Esfera

Terrestre cuyo radio se puede adoptar como el radio medio del elipsoide terrestre :

R = 1 / 3 (a + a + b) = 6371 kilómetros




2.10- Parámetros del Elipsoide El adecuado dimensionamiento se consigue determinando los ejes del elipsoide,

de modo que su volumen resulte ser igual al del geoide y que la suma de los cuadrados

de las discordancias altimétricas o, más

comúnmente denominado ondulación del

geoide ( n ) , [Figura 2.10a]:

n2 mínimo

Figura 2.10a: Ondulación (n) del geoide

Los parámetros fundamentales son los semiejes mayor y menor, y como

parámetros derivados tenemos :

i) El aplastamiento o achatamiento (f) (flattening) : a

baf - (14)

Como: a > b > 0 ,

Si b a , f 0 corresponde a un elipsoide muy redondeado, tendiendo a esfera

Si b 0 , f 1 corresponde a un elipsoide muy achatado, como una lenteja

Entonces 0 < f < 1

ii) La excentricidad primera (e): 2

222 -

abae (15)

Si b a , e 0 elipsoide muy redondeado

Si b 0 , e 1 elipsoide muy achatado

Entonces 0 < e < 1 . La excentricidad es el grado de deformación del elipsoide.

iii) La excentricidad segunda (e´): 2

222 - a ´

bbe (16)

Si b a , e´ 0 elipsoide muy redondeado

Si b 0 , e´ elipsoide muy achatado

Entonces , 0 < e´ < 1




Relacionando las dos excentricidades:

De e2 : b2 = a2 (1 – e2) (17)

De e´2 : a2 = b2 (1 + e´2) (18)

Reemplazando la expresión (18) en la (17): b2 = b2 (1 – e´2) (1 – e2)

(1 + e´2) (1 – e2) = 1

2

22

2

22

11 e e´ e ,

- ee e´

(19)

Si f = (a – b) / a , b = a (1 – f ) , reemplazando en la ecuación (15):

22

2222 111 - f ) - (

a) - f ( - aa e

1 – e2 = (1 – f )2

1 – e2 = 1 – 2f + f2

e2 = f (2 – f) (20)

Numerosos han sido los científicos que se han dedicado a determinar los

parámetros del elipsoide terrestre utilizando distintos métodos. Algunos resultados se

muestran a continuación.

Bessel (1841) : a = 6 377 397.15 metros , f = 1 / 299.1528

Clarke (1866) : a = 6 378 206.4 metros , f = 1 / 294.98

Clarke (1880) : a = 6 378 200.2 metros , f = 1 / 298.466

Helmert (1907) : a = 6 378 200.0 metros , f = 1 / 298.4

Hayford (1907) : a = 6 378 388 18 metros , f = 1 / 297.0 0.5

Krasowsky (1940) : a = 6 378 245 metros , f = 1 / 298.3

En el año 1930 la Asociación Internacional de Geodesia recomendó la adopción

del elipsoide de Hayford; desde entonces se lo conoce como “Elipsoide Internacional”.

Este fue el modelo adoptado por nuestro Instituto Geográfico Nacional (IGN), hasta el

advenimiento de los sistemas de posicionamiento globales satelitales.




Debido a las nuevas técnicas geodésicas satelitales, especialmente el sistema GPS

(Global Positioning Satellite), actualmente se trabaja con un elipsoide denominado

WGS84 cuyas dimensiones son: a = 6 378 137 m , f = 1 / 298.257223563 , su eje Z

pasa por el polo medio y el meridiano origen por Greenwich para la época 1984.0 .

2.11- Normal al Elipsoide. Desviación de la Vertical

La recta Normal (W) es un elemento geométrico del elipsoide terrestre de gran

importancia pero, dado que el elipsoide es una superficie matemática, la recta normal no

es físicamente materializable tal como puede lograrse con la vertical.

Fig. 2.11a: Desviación de la vertical ()

Como sabemos, las verticales son perpendiculares al geoide y, como el elipsoide

es una aproximación razonable del geoide, las normales han de coincidir muy

cercanamente con las verticales.

Naturalmente, como el geoide y el elipsoide no coinciden exactamente, en general

la normal (W) al elipsoide por un topocentro T no coincide con su vertical ( ), [Figura

2.11a].




El ángulo entre ellas se denomina Desviación o Deflexión de la Vertical ().

Puede alcanzar valores, en algunos lugares, de hasta 120 segundos de arco.

La normal al elipsoide corta al eje polar Z (de rotación medio) en un punto que

llamaremos “J” de coordenadas (0, 0, Zj), [Figura 2.11b].

Figura 2.11b: Elementos del elipsoide

El plano determinado por la normal (W) y el eje de rotación (Z) es el Meridiano

Geodésico de t o T.

El meridiano geodésico intercepta al elipsoide según una elipse de semiejes a y b

llamada Elipse Meridiana de t o T . El elipsoide mismo puede considerarse engendrado

por la rotación de la elipse meridiana alrededor del eje Z.

Observemos que para puntos del hemisferio norte Z > 0 y Zj < 0, por lo que J

se encontrará en el hemisferio sur. Al contrario, para Z < 0 y Zj > 0, por lo que J se

ubicará en el hemisferio norte. Para Z = 0 y Zj = 0, estamos en el ecuador y J coincidirá

con G.

2.12- Coordenadas Geodésicas Absolutas o Geocéntricas

Sabemos que W es la normal al elipsoide terrestre por el topocentro T. Sea T´ la

proyección ortogonal de T sobre el plano fundamental (coincidente con el ecuador

medio) y W´ es la proyección ortogonal de la normal. Definimos a las coordenadas

geodésicas de acuerdo a la [Figura 2.12a] como:




L = Longitud Geodésica.

0° < L < 360° o -180° < L < +180°

B = Latitud Geodésica

–90° < B < +90°

H = distancia tT = Cota Geodésica

90° - B = Colatitud Geodésica

N = distancia JT = Gran Normal

Figura 2.11a: Coordenadas geodésicas

Las coordenadas para el punto t (sobre el elipsoide) son :

Xt = N cos B cos L

Yt = N cos B sen

Zt / (1 – e2)1/2 = N (1 – e2)1/2 sen B

N = a / (1 – e2 sen2 B)1/2 L (21)

Las coordenadas para el topocentro T son :

XT = Xt + H cos B cos L

YT = Yt + H cos B sen

ZT = Zt + H sen B L (22)

Reemplazando las ecuaciones (6) en (7) obtenemos para T :

XT = (N + H) cos B cos L

YT = (N+ H) cos B sen L

ZT = (N (1 – e2) + H) sen B L (23)

Puesto que las coordenadas geodésicas están desarrolladas sobre una superficie

matemática, no son observables directamente por ningún método.

L y B pueden calcularse realizando correcciones a partir de las coordenadas

astronómicas (, ) observadas o mediante el empleo de receptores satelitales GPS.




Las coordenadas geodésicas aquí detalladas son absolutas (centradas en G), pero

también existen coordenadas geodésicas no absolutas, es decir “locales” (con el origen

de una terna de ejes en el topocentro). Éstas son las denominadas Horizontales

Geodésicas Medias e Instantáneas. Este tipo de coordenadas no se tratarán en este

curso.

2.12- Vinculación del Elipsoide al Sistema Terrestre Medio Recordando el sistema terrestre medio, vemos que la vertical de un topocentro T

es la tangente a la línea de fuerza por T, cuya intersección con el geoide (nmm)

llamamos To.

A la altura o distancia ToT (desde el geoide hasta el topocentro) se la llama

Cota Astronómica H ,cuya medición requiere combinar tareas de nivelación y

gravimetría. En correspondencia, a la altura o distancia tT (desde el elipsoide hasta el

topocentro) se la denomina Cota Geodésica (H), [Figura 2.12a].

Figura 2.12a: Cotas astronómica (H ) y geodésica (H)




Para poder vincular las coordenadas geodésicas ( B, L, H) con las astronómicas

(, , H ), se debe establecer una relación simple entre las coordenadas astronómicas y

geodésicas mediante correcciones cuyos valores son pequeños (del orden de los

segundos de arco):

B = +

L = +

H = H + H (24)

Las correcciones en latitud () y longitud () están en función de la desviación

de la vertical () y de los valores de sus componentes sobre el meridiano () y el primer

vertical (), [Figura 2.12b].

Donde: = acimut astronómico de la dirección en que se supone desviada la vertical.

' cos ) - '( )' - ( )' - (sen

(25)

localización astronómica y geodésica

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