atarazanas.sci.uma.esatarazanas.sci.uma.es/docs/tesisuma/1794756x.pdf · agradecimientos...

Universidad de Málaga

Escuela Técnica Superior de Ingeniería de Telecomunicación

TESIS DOCTORAL

Enlaces ópticos no guiados con técnicas de diversidad encanal atmosférico afectado por turbulencias

Autor:

Antonio Jurado Navas

Director:

Antonio Puerta Notario

UNIVERSIDAD DE MÁLAGAESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DE

TELECOMUNICACIÓN

Reunido el tribunal examinador en el día de la fecha, constituido por:Presidente: Dr. D.Secretario: Dr. D.

Vocales: Dr. D.Dr. D.Dr. D.

para juzgar la Tesis Doctoral titulada Enlaces ópticos no guiados con técnicas de diversidaden canal atmosférico afectado por turbulencias realizada por D. Antonio Jurado Navas ydirigida por el Prof. Dr. D. Antonio Puerta Notario, acordó por

otorgar la calificaciónde

y para que con-ste,

se extiende firmada por los componentes del tribunal la presente diligencia.

Málaga a de del

El Presidente: El Secretario:

Fdo.: Fdo.:

El Vocal: El Vocal: El Vocal:

Fdo.: Fdo.: Fdo.:

A mis padres.

A mi hermana Silvia.

A mi abuelito Fernando.

“La motivación más importante del trabajo, en laescuela y en la vida, es el placer que proporciona el

trabajo mismo, el placer que proporcionan susresultados y la certeza del valor que tienen estos

resultados para la comunidad.”

Albert Einstein.

“Tolle lege” (Toma y lee).

S. Agustín.

“Es difícil saber qué es imposible. Lo que ayer era unsueño es hoy una esperanza y será una realidad

mañana.”.

Robert H. Goddard.

“Claro que lo entiendo. Incluso un niño de cinco añospodría entenderlo. ¡Que me traigan un niño de cinco

años!”

Groucho Marx.

Agradecimientos

Muchas personas han influido notablemente a que no desfallezca en el intento de sacaresta empresa hacia delante. Los ánimos, el aliento, una mano tendida... son armas muchomás poderosas que la propia inteligencia, nutren a la constancia, combaten la desesperanzay recompensan el esfuerzo, aun cuando en muchas ocasiones haya sido baldío en resultados.Sólo de esta forma es posible culminar un trabajo que no es sino el comienzo de nuevosobjetivos a alcanzar.

Es en esta línea en la que he recibido los mejores y más intensos apoyos durante todoel tiempo transcurrido en el desarrollo de este trabajo. Confianza, como la que depositóhacia mi persona el director de esta tesis, Antonio Puerta, aun sin haber tenido ocasiónde conocerme previamente, a lo que se añade su paciencia y excelentes consejos. Tam-bién quiero hacer extensivo este agradecimiento a Antonio García Zambrana por habermeayudado a aterrizar y por haber guiado minuciosamente mis primeros pasos.

Quiero dedicar algunas palabras especiales a Pilar Felices, quien siempre vio el ladopragmático de todo lo que abordaba e intentó transmitírmelo de la mejor manera posible.

Agradezco también a los compañeros de laboratorio que han compartido conmigo, enmayor o menor medida, su tiempo y espacio de trabajo: en especial a Alejandro Gallego,con quién más tiempo tuve la fortuna de coincidir. Pero también quiero mencionar a Maite,quien casi consigue que dé el do de pecho, a Carlos Rodrigo y su enorme optimismo, aMeryem, Benito, Cristina & Cristina, Ana Belén y Salva. A María Navarro quien con susola presencia ya te contagia de la alegría que atesora dentro. Mención aparte merecenSimone Sammartino y su esposa Laura. Sabéis que os estoy muy agradecido.

A Paco López y a Pilar, por haberme ayudado con todos los problemas técnicos, porsu cercanía y su trato agradable.

También quiero agradecer al Dr. López Durán y las tertulias semanales que hemosorganizado durante este tiempo. Muchas soluciones fueron vertidas para un mundo casisin solución.

A Roberto Medina, siempre animándome, siempre luchando por inyectarme una dosisde autoconfianza.

Finalmente, mi agradecimiento más sentido y más fuerte para el motor que ha impul-

sado a llevar a buen puerto este barco: mis padres, tanto mi madre como mi padre, y mihermana Silvia. Ellos más que nadie me han animado y me han apoyado en cada instante,ayudándome a superar los obstáculos y a endulzar los sinsabores. Han sido para mí laenergía imprescindible para realizar este trabajo. Muchas gracias de corazón.

Antonio Jurado Navas.

Málaga, a 1 de junio de 2009.

Resumen

Los sistemas de comunicaciones ópticas no guiadas están recibiendo actualmente unagran consideración por su capacidad para conseguir elevadas tasas binarias como conse-cuencia directa del enorme ancho de banda disponible. Además, estos sistemas son prác-ticamente invulnerables a las interferencias, aspecto que no se produce en los sistemashomólogos de radiofrecuencia. Finalmente, su carácter inalámbrico les confiere un interésrelevante como importante alternativa a los sistemas de radio en el acceso de alta capacidaden el segmento de la última milla. Su aplicación puede tener un gran interés tanto en zonasurbanas densamente pobladas como en zonas rurales donde la diseminación no justifiqueel despliegue de enlaces cableados.

Sin embargo, en los enlaces ópticos la turbulencia atmosférica, que se considera el prin-cipal agente perturbador en este canal, ocasiona fluctuaciones tanto en la intensidad comoen la fase de la señal recibida, que deterioran las prestaciones alcanzables en condicionesideales. En este trabajo, se realizará un estudio de la atmósfera como canal. Fruto de esteesfuerzo se presenta un modelo novedoso de canal atmosférico que recogerá el efecto provo-cado tanto por la intensidad de la turbulencia como por la propia coherencia atmosférica,mediante la generación de una secuencia de centelleo atmosférico que representa las fluc-tuaciones de la irradiancia que puede sufrir toda señal óptica que se propague por el fluidoatmosférico turbulento. Además, se ha conseguido relacionar el esparcimiento temporalque sufre un pulso óptico de naturaleza gaussiana en la atmósfera con el comportamientodesprendido de una etapa de filtrado gaussiano, lo que permite su rápida incorporaciónen el modelo numérico de simulación implementado. Todos estos aspectos convierten alcanal implementado en una importante herramienta para el estudio de las prestaciones delos enlaces atmosféricos así como de las técnicas de codificación y recepción que se deseenimplementar en los mismos.

En la actualidad, las técnicas que hacen uso de diversidad en recepción en sus distintasmodalidades se han mostrado como una alternativa muy válida para mejorar las presta-ciones de los enlaces afectados por desvanecimientos. Para extraer el máximo beneficio deestas técnicas de diversidad, se debería asegurar una independencia estadística entre lassecuencias de desvanecimientos que afecten a las distintas señales que se reciban por cadauna de las ramas del receptor. Sin embargo, sólo es posible asumir esta independenciaestadística entre canales en el supuesto de que tales canales se encuentren suficientemente

separados, bien en el espacio (sistemas MIMO), en el tiempo o en la frecuencia (sistemasOFDM). En muchos casos no será posible suponer tal independencia, por lo que la con-sideración de que las secuencias de desvanecimiento (o bien las secuencias de centelleoatmosférico para los entornos ópticos) son incorreladas en las distintas ramas de un recep-tor conllevaría a un falseamiento en las expectativas sobre estos sistemas, exagerando laganancia en diversidad que realmente les corresponden. Por ello, el modelo de canal atmos-férico se completa recogiendo el efecto que causaría la posible correlación entre secuenciasde centelleo atmosférico captadas por cada uno de los fotodetectores de un sistema condiversidad en recepción. En virtud de la conocida como hipótesis de la turbulencia conge-lada se puede realizar una transformación directa entre estadísticos espaciales y estadísticostemporales. Este hecho se traduce en que la secuencia de centelleo que captaría un receptoren un instante de tiempo dado será idéntica a la secuencia que capte otro receptor separadodel anterior una distancia concreta transcurrido un tiempo proporcional a esa distancia einversamente proporcional a la velocidad del viento. Estrictamente, si se asume un tiempode vida indefinido para cada célula turbulenta, el grado de satisfacción de la hipótesis an-terior es de un 100%. En la realidad, pese a que en la mayoría de escenarios típicos estahipótesis de Taylor se verifica en un alto índice de cumplimiento, estrictamente hablandola propia turbulencia atmosférica se caracteriza por una dinámica interna inherente. Estaagitación viene debida por la propia descomposición de células turbulentas en otras detamaño más pequeño; o bien por la aparición del proceso turbulento en puntos localizadosdel emplazamiento del enlace, como consecuencia de efectos como el calentamiento pro-gresivo del suelo y la aparición de nuevas corrientes convectivas de aire más cálido quefavorece la mezcla de masas de aire a distintas temperaturas. De esta forma, lo que recibaun receptor en un momento dado ya no será copia fiel a lo que ha recibido otro separadola distancia d/u⊥ anteriormente comentada. En lugar de eso, aparecen y/o desaparecenpicos en las secuencias de centelleo que no existían en el centelleo captado por el receptorprecedente y que se ha conseguido modelar con éxito en este trabajo. El núcleo centralpara conseguir este efecto es el desarrollo de un algoritmo de factorización alternativo quese ha modificado convenientemente para permitir el análisis de cualquier configuración dereceptores en un sistema con diversidad espacial en recepción.

En lo que se refiere a las técnicas de señalización, mediante la utilización del modelode canal propuesto, se han trasladado a un ámbito atmosférico técnicas de señalización detasa adaptativa que demostraron un adecuado comportamiento en entornos de interiores.El objetivo principal de esta parte del trabajo ha consistido en obtener una figura de méritofiable en los sistemas IM/DD operando en entornos atmosféricos, que permita anticiparqué técnica de señalización ofrece mejores prestaciones y en qué forma se puede actuarpara mejorar aún más su rendimiento. Se ha corroborado que la figura de mérito que sepropuso en los sistemas de comunicaciones ópticas no guiadas de interior se ajusta conplena validez a estos nuevos escenarios regidos por una atmósfera turbulenta.

Abstract

Atmospheric optical communication is receiving considerable attention recently foruse in high data rate wireless links. Considering their narrow beamwidths and lack oflicensing requirements as compared to microwave systems, atmospheric optical systemsare appropriate candidates for secure, high data rate, cost-effective, wide bandwidth com-munications. Furthermore, free space optical (FSO) communications are less susceptibleto the radio interference than radio-wireless communications. Thus, FSO communicationsystems represent a promising alternative to solve the “last mile” problem, above all indensely populated urban areas.

However, signal fading due to atmospheric turbulence can degrade seriously the per-formance of free-space optical links. In this respect, inhomogeneities in the temperatureand pressure of the atmosphere lead to variations of the refractive index along the trans-mission path. As a consequence of this phenomenon, the quality of the received signalis deteriorated, undergoing fluctuations in both the intensity and the phase of an opticalwave propagating through this medium. Such fluctuations can lead to an increase in thelink error probability limiting the performance of communication systems. In this specificscenario, the turbulence-induced fading is called scintillation. Certainly, weather-inducedattenuation caused by rain, snow and fog can also degrade the performance of atmosphericoptical communication systems but are not considered in this work.

Nevertheless turbulence-induced intensity fluctuations may be quicker or slower ac-cording to a parameter called the correlation time of intensity fluctuations. This parameterinfluences on the atmospheric coherence and thus in the burst error rate, being an impor-tant specification in the quality of a system with a burst-mode transmission. To study thiseffect, a computationally efficient model for the atmosphere as an optical communicationchannel is presented, considering not only the turbulence effects due to the refractive indexvariation but also the impact of the channel coherence on the performance of FSO commu-nication systems. Moreover, the long-term temporal broadening of a space-time Gaussianpulse propagating along a horizontal path through weak optical turbulence has been re-lated to the behaviour of a Gaussian filter; thus, it could be instantaneously incorporatedin an easy way to the numerical model implemented in this work.

The proposed channel model is completed by including the effect of correlated scin-tillation sequences in simulations of free space optical links using multiple receivers. Our

method extends the applicability of the existing techniques as of today by using an alter-native matrix decomposition algorithm. Obtained results show a diversity gain penaltydue to the impact of the spatial coherence which should not be ignored in many practicalscenarios. The method is focused on a multichannel generalization of the autoregressive(AR) variate generation method in order to satisfy Taylor’s hypothesis of frozen turbulence.Due to this fact, ‘m’ lognormal scintillation sequences are generated with specified second-order statistics: concretely, the cross-correlation function and the autocorrelation functionbetween different sequences that let spatial and temporal correlations be interrelated.

Notwithstanding, there will exist especial situations in which is unrealistic to considerthe frozen flow assumption; for instance, when there are both strong velocity fluctuations ofthe wind or long-range spatial correlations, or even in urban atmospheres, especially nearor amongst the roughness elements, where strong wind shear is expected to create highturbulent kinetic energy. Moreover, Taylor’s hypothesis may fail if different wavenumbercomponents are convected at different velocities. This latter fact is not unlikely becausein urban canopies and cloud streets up to 2− 5 times the average building height of suchparticular streets, the strong wind shear creates turbulence intensities that are tipicallyaround a threshold above which the frozen-in hypothesis becomes inapplicable. Finally,even in situations when the mean wind speed is parallel (or near parallel) to the line ofsight, Taylor’s hypothesis may fail. For all these scenarios we can employ a simplifiedapproach to generate different sequences of scintillation. In fact, this approach is basedon coloring independent Gaussian sequences first between them and then in time in orderto generate ‘m’ log-normal random processes of scintillation. Evidently, such method isrestricted to have cross-correlation functions that have the same time-dependencies as theautocorrelation functions, i.e., the obtained sequences have statistics that are space-timeseparable. Due to this fact, Taylor’s hypothesis is not fully satisfied, but this is the caseof such related scenarios. In addition, we must note that the simplified method is also anefficient approach when high wind speeds are considered and, under these suppositions,it accomplishes more realistic performances. Anyhow, our alternative and efficient matrixdecomposition algorithm can be used with both models of generating scintillation patterns.

Obtained results let justify the promotion of a simple rate-adaptive transmissionscheme based on the use of a variable silence periods and on-off keying (OOK) formats withGaussian pulses and reduced duty cycle (OOK-GS) in most high-performance links. Thistechnique is adapted to atmospheric optical links, corroborating a very good performancein terms of burst error rate. A memory-version of such rate-adaptive transmission schemeis also provided and shown to be an efficient alternative for atmospheric optical wirelesscommunications, corroborating a great robustness to adverse channel conditions.

Contenido

1 Introducción a los Sistemas de Comunicaciones Ópticas Atmosféricas 11.1 El canal óptico no guiado en ámbito atmosférico . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Los efectos de la turbulencia atmosférica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Objetivos y organización de la tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Bibliografía 9

2 La Atmósfera Turbulenta 112.1 Efectos a considerar en un enlace atmosférico . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1.1 Absorción atmosférica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.1.2 Dispersión atmosférica selectiva en frecuencia . . . . . . . . . . . . . 132.1.3 Dispersión no selectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.1.4 Efecto de la luz solar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.1.5 Turbulencia atmosférica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2 Caracterización de la atmósfera turbulenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2.1 Teoría de cascadas de turbulencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3 Parámetros que caracterizan el centelleo atmosférico . . . . . . . . . . . . . 182.3.1 Macroescala, L0, y microescala, l0, de la turbulencia . . . . . . . . . 182.3.2 El parámetro de estructura del índice de refracción, C2

n . . . . . . . . 192.3.3 Longitud de correlación de las fluctuaciones de intensidad e hipótesis

de la turbulencia congelada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Comportamiento temporal e hipótesis de Taylor . . . . . . . . . . . . 21

2.4 Discusión de la teoría de Kolmogorov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.5 Propagación a través de un medio turbulento . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.5.1 El método de Rytov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.5.2 Método de la expansión espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Cálculo de la función covarianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.5.3 Extensión de la teoría de Rytov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.6 Caracterización de la fluctuación de irradiancia . . . . . . . . . . . . . . . . 422.6.1 Distribución estadística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.6.2 Índice de centelleo atmosférico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.6.3 Función de covarianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

i

2.7 Sumario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Bibliografía 48

3 Simulación del Canal Atmosférico Turbulento 513.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.2 Aportación de los trabajos con desvanecimientos en radiofrecuencia . . . . . 543.3 Escenario de simulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.4 Generación del coeficiente de centelleo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.5 Espectro temporal de las fluctuaciones de irradiancia . . . . . . . . . . . . . 653.6 Modelo escalar de canal óptico propuesto [14] . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.6.1 Aproximación gaussiana para la función de autocorrelación . . . . . 693.6.2 Interpolación de las muestras de salida . . . . . . . . . . . . . . . . 743.6.3 Cambio de la descripción estadística . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.7 Validación analítica del modelo propuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.7.1 Desplazamiento Doppler promedio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.7.2 Quasi-frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.8 Resultados numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.8.1 Probabilidad de error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.8.2 Incidencia del viento sobre las prestaciones del enlace . . . . . . . . . 91

3.9 Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

Bibliografía 95

4 Modelo de Simulación Numérica 994.1 Modelo de sistema óptico no guiado para comunicaciones atmosféricas . . . 100

4.1.1 El método de Monte-Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101Modificación cuasi-estática del método de Monte-Carlo . . . . . . . . 102

4.1.2 Descripción del modelo de sistema óptico no guiado . . . . . . . . . 103Generador de tramas pseudoaleatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . 105Codificador y modulador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106Modelo de canal óptico atmosférico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107Filtro eliminador de interferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107Filtro adaptado y muestreador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108Bloque decisor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108Modelo discreto equivalente de ruido . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

4.1.3 Definición de ráfaga de error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1104.2 Relación potencia óptica pico a promedio (PAOPR) . . . . . . . . . . . . . . 1114.3 Técnicas de modulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

4.3.1 Inserción de intervalos de silencio sin memoria . . . . . . . . . . . . . 1184.3.2 Técnicas basadas en modulación OOK-GS con memoria . . . . . . . 122

Técnica de modulación OOK-GSc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

ii

Técnica de modulación OOK-GScc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124Resultados numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

4.4 Esparcimiento Temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1324.4.1 Aproximación mediante filtrado de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . 1354.4.2 Resultados obtenidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

4.5 Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

Bibliografía 149

5 Impacto de las Secuencias de Centelleo Correlado 1535.1 Recepción con diversidad espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

5.1.1 Factorización de Cholesky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1625.1.2 Descomposición matricial alternativa propuesta . . . . . . . . . . . . 163

Escenario genérico: optimizando respecto a la norma Frobenius . . . 165Escenario específico: optimizando respecto a la norma-2 . . . . . . . 168

5.1.3 Generación de las secuencias de centelleo correlado . . . . . . . . . . 1705.2 Entornos que no satisfacen la hipótesis de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . 175

5.2.1 Secuencias espacio-temporalmente separables . . . . . . . . . . . . . 1765.2.2 Inclusión de la evolución dinámica de la turbulencia en el modelo . . 178

5.3 Resultados obtenidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1815.4 Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

Bibliografía 190

6 Conclusiones y Líneas Futuras de Investigación 1936.1 Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1936.2 Líneas futuras de investigación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

Bibliografía 200

Apéndices 203I Cálculo de la covarianza de la irradiancia en régimen de turbulencia débil . . 203II Cálculo de la covarianza normalizada de la irradiancia en régimen de turbu-

lencia débil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205III Aplicación del teorema de Wiener- Khintchine al modelo de autocorrelación

gaussiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206IV Simplificación del cálculo de la norma Frobenius aplicada a la diferencia de

dos matrices construidas a partir de matrices unitarias . . . . . . . . . . . . 207V Cálculo del radio espectral correspondiente a la diferencia de dos matrices

construidas a partir de matrices unitarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

Índice 211

iii

Índice de figuras

1.1 Modelo básico de canal óptico no guiado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Organización de la tesis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1 Cascadas de turbulencias propuesta por Kolmogorov, donde L0 y l0 indicanlos tamaños de escala límite entre los que están comprendidos las célulasturbulentas que intervienen en la transferencia de energía turbulenta. Elproceso representado en esta figura asume un eje vertical de tiempos paraun punto concreto del espacio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2 Variabilidad del parámetro C2n con la altura [2]. . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3 (a) Comparativa de los modelos espectrales de Kolmogorov, Tatarskii y vonKarman. (b) Modelado del efecto del repentino aumento del índice de re-fracción en números de onda próximos a 1/l0 por parte de los tres espectrosanteriores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.4 Región de integración para x’ y x” y la correspondiente región transformadapara µ y η. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.1 Modelo de canal óptico atmosférico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.2 El canal será no selectivo en frecuencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.3 (a) Situación típica para un canal no selectivo en frecuencia. (b) Situación en la

que un nulo de la respuesta en frecuencia del canal coincide con el centro del anchode banda de la señal transmitida, aún manteniéndose las condiciones de canal noselectivo en frecuencia (Bc > W ) [7]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.4 Diagrama de bloques que permite la generación del coeficiente de centelleo atmos-férico, tal y como se presenta en [35, 14]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.5 Comparación de los espectros de amplitud correspondiente al obtenido de formaexacta, con la expresión dada en (3.19) para onda plana, y el obtenido al realizarla aproximación gaussiana para la autocorrelación del centelleo atmosférico [14]. . 70

3.6 Comparación de realizaciones temporales del coeficiente de centelleo atmos-férico obtenido mediante filtrado con el espectro teórico de Kolmogorov(trazo claro) y con el espectro gaussiano propuesto en este trabajo (trazooscuro). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

v

3.7 Histograma aplicado a la secuencia de centelleo generada mediante el modelogaussiano con a) σ2

χ = 0.01 y b) σ2χ = 0.1 . Se aprecia un comportamiento

logarítmico-normal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.8 Probabilidad de detección, junto a las probabilidades de error debido a falsa alarmay a pérdida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.9 Tasas de error para diferentes valores de intensidad de turbulencia y conociendo elestado instantáneo del canal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.10 Tasas de error (y suelo de ruido obtenido) para diferentes valores de intensidad deturbulencia en la que no se conoce el estado instantáneo del canal. Se ha empleadouna codificación NRZ salvo la traza continua punteada, que ha sido obtenida apartir de una codificación OOK y formato de pulso gaussiano con un ciclo detrabajo (c.t.) del 25%. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

3.11 a) Secuencia temporal de centelleo atmosférico αsc(t) generados para una compo-nente de la velocidad del viento perpendicular a la dirección de propagación a) u⊥= 8 m/s. b) u⊥ = 2.5 m/s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

3.12 Incidencia de la coherencia del canal en las prestaciones del sistema evaluadas enforma de tasa de ráfagas de error. Se han probado dos valores de intensidad deturbulencia. Se ha utilizado una modulación OOK-RZ con ciclo de trabajo del25% y en recepción, un detector simple por umbrales con conocimiento del estadoinstantáneo del centelleo atmosférico. σχ = 0.14. [14] . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.1 Definición del método de Monte-Carlo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.2 Modelo genérico de un sistema de comunicaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4.3 Diagrama de bloques del sistema óptico no guiado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.4 Diagrama de bloques del sistema modificado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4.5 Generador de secuencias pseudoaleatorias mediante el empleo de un registrode desplazamiento. En este caso, el polinomio binario asociado se corres-ponde con la expresión xm + xn + 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.6 Definición de ráfaga de error y otros conceptos relacionados. . . . . . . . . . . . . 111

4.7 Prestaciones ofrecidas por distintos formatos de pulso y adaptabilidad clásicacon factores de reducción de tasa RR=2, 4 y 8. Se ha utilizado un detectorpor umbrales con conocimiento del CSI, siendo σ2

χ = 0.1 (figuras de la partesuperior) y σ2

χ = 0.01 (figuras de la parte inferior). La longitud de ráfagase ha establecido a (a) y (c) 192 bits; (b) y (d) 64 bits. Se muestran lasprestaciones obtenidas tanto del espectro teórico de Kolmogorov tratado enel capítulo anterior, como del espectro gaussiano aproximado propuesto enesta tesis. La tasa binaria se ha fijado a 50 Mbps y u⊥ = 8m/s. [13] . . . . 114

vi

4.8 Prestaciones ofrecidas por el formato OOK-GS con ciclo de trabajo del 25%y detector por umbrales con conocimiento del CSI, en comparación a lasofrecidas por el formato 4PPM con detector ML. En ambos casos, se haimplementado la técnica clásica de adaptabilidad, siendo σ2

χ = 0.1 (figurasde la parte superior) y σ2

χ = 0.01 (figuras de la parte inferior). La longitudde ráfaga se ha establecido a (a) y (c) 192 bits; (b) y (d) 64 bits. La tasabinaria se ha fijado a 50 Mbps y u⊥ = 8m/s. [13] . . . . . . . . . . . . . . . 117

4.9 Esquema de inserción de silencios sin memoria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1194.10 Ejemplo de codificación con intervalos de silencio variables, tomado de [27]. . . . . . . 1204.11 Prestaciones ofrecidas por el formato OOK-GS con ciclo de trabajo del 25%.

Se establece una comparativa entre las prestaciones ofrecidas por la técnicaclásica de adaptabilidad frente a la técnica alternativa basada en la inserciónde RRs−1 períodos de silencios sin memoria justo tras el bit de información.Se ha utilizado un detector por umbrales con conocimiento del CSI siendoσ2

χ = 0.1 (figuras de la parte superior) y σ2χ = 0.01 (figuras de la parte

inferior). La longitud de ráfaga se ha establecido a (a) y (c) 192 bits; (b) y(d) 64 bits. La tasa binaria se ha fijado a 50 Mbps y u⊥ = 8m/s. [13] . . . . 121

4.12 Diagrama y tabla de transición de estados del esquema de codificación OOK-GSc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

4.13 Generalización del esquema OOK-GSc con inserción de silencios adicionales. . . . . . . 1234.14 Diagrama y tabla de transición de estados correspondientes a la técnica

OOK-GScc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1254.15 Generalización del esquema OOK-GScc con inserción de silencios adicionales. . . . . . . 1254.16 Comparativa entre las prestaciones ofrecidas por los formatos OOK-GSc y

OOK-GScc con ciclo de trabajo del 25%. Se incluye también las prestacionesofrecidas por el formato OOK-GS sin memoria añadiendo RRs−1 intervalosde silencio. Se ha utilizado un detector basado en el algoritmo de Viterbicon conocimiento del CSI para los esquemas con memoria, con σ2

χ = 0.1(figuras de la parte superior) y σ2

χ = 0.01 (figuras de la parte inferior). Lalongitud de ráfaga se ha establecido a (a) y (c) 192 bits; (b) y (d) 64 bits,permitiéndose hasta Lb − 1 = 4 bits consecutivos correctos en el interior decada ráfaga. La tasa binaria se ha fijado a 50 Mbps y u⊥ = 8m/s. [13] . . . 127

4.17 Histogramas donde se muestra el número de secuencias de k bits consecutivoscorrectos para intensidades de potencia de ruido aditivo de valores −22, −19y −17 dB pertenecientes la Figura 4.16.(c). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

4.18 Comparativa entre las prestaciones ofrecidas por los formatos OOK-GSc yOOK-GScc con ciclo de trabajo del 25%. Se ha utilizado un detector basadoen el algoritmo de Viterbi con conocimiento del CSI para los esquemas conmemoria, con σ2

χ = 0.1 (trazo sólido) y σ2χ = 0.01 (trazo discontinuo). La

longitud de ráfaga se ha establecido en (a) 192 bits; y (b) 64 bits, permi-tiéndose hasta Lb − 1 = 9 bits consecutivos correctos en el interior de cadaráfaga. La tasa binaria se ha fijado a 50 Mbps y u⊥ = 8m/s. [13] . . . . . . 129

vii

4.19 Probabilidad de error frente a potencia óptica promedio normalizada paralos esquemas de codificación OOK-GSc y OOK-GScc con σ2

χ = 0.1 y σ2χ =

0.01. La tasa binaria se ha fijado a 50 Mbps y se ha utilizado un detectorbasado en el algoritmo de Viterbi con conocimiento del CSI. [13] . . . . . . 130

4.20 Comparativa entre las prestaciones ofrecidas por los formatos 4GPPM conun procedimiento de detección por umbrales (TD) y con un detector ML,acompañados de una técnica clásica de adaptabilidad basada en la repeticiónde la información; frente a un esquema OOK-GSc con ciclo de trabajo del25% utilizando un detector ML con conocimiento del CSI, acompañado dela inserción de períodos de silencio adicionales, con σ2

χ = 0.1 (figuras de laparte superior) y σ2

χ = 0.01 (figuras de la parte inferior). La longitud deráfaga se ha establecido a (a) y (c) 192 bits; (b) y (d) 64 bits. La tasabinaria se ha fijado a 50 Mbps y u⊥ = 8m/s. [13] . . . . . . . . . . . . . . . 131

4.21 Forma de un pulso gaussiano genérico en el dominio del tiempo. . . . . . . . 135

4.22 Error cometido en la predicción de la dispersión temporal sufrida por un pulsoóptico al utilizar un filtrado de Bessel con frecuencia de corte de (a) 15.9 GHz; (b)100 GHz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

4.23 Modelo de canal óptico atmosférico incluyendo la etapa de dispersión temporal. . . 145

5.1 Diagrama de bloques que representa la generación de m secuencias de cen-telleo de naturaleza logarítmico normal y de igual potencia usando un mo-delo autorregresivo (AR). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

5.2 (a) Escenario típico con un transmisor y dos receptores en un ambiente óp-tico atmosférico. Se asume, admitiendo la hipótesis de Taylor de turbulenciacongelada, que la componente del viento perpendicular al sentido de propa-gación del haz de luz tiene un sentido desde el receptor 1 al receptor 2. (b)Secuencias de centelleo vistas por los receptores 1 y 2 de acuerdo con lascondiciones expresadas en (a). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

5.3 Secuencias de centelleo generadas a partir del método AR, con σ2χ = 0.01,

u⊥ = 1 m/s, ρd12 = 0.47 yρd13 = 0.05. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

5.4 Vista en detalle de las secuencias de centelleo generadas a partir del métodoAR, con σ2

χ = 0.01, u⊥ = 1 m/s, ρd12 = 0.47 yρd13 = 0.05. . . . . . . . . . . 173

5.5 Función de covarianza normalizada dibujada en función del tiempo, τ , escal-ado por el tiempo de correlación de la turbulencia, τ0, para una onda plana;donde u⊥ = 1 m/s y L = 2.5 km. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

5.6 Diagrama de bloques que representa la generación de m secuencias de cen-telleo de naturaleza logarítmico normal y de igual potencia utilizando unmodelo de estadísticos separables que permita modelar la propia evolucióndinámica de la turbulencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

viii

5.7 Diagrama de bloques que representa la generación de m secuencias de cen-telleo de naturaleza logarítmico normal y de igual potencia usando un mo-delo autorregresivo (AR) e incluyendo un modelo de estadísticos separablesque permita modelar la propia evolución dinámica de la turbulencia [30]. . . 179

5.8 Secuencias temporales de la perturbación de amplitud logarítmica, χ(t),captada por dos receptores y de igual potencia teniendo en cuenta tanto lahipótesis de Taylor como la propia evolución dinámica de la turbulencia. Elfactor ρl se ha fijado al 12%. La separación entre los dos receptores es de 2cm, con d0 ≈

√λL = 4.6 cm, σ2

χ = 0.1 y u⊥ = 1m/s [30]. . . . . . . . . . . . 1805.9 Curvas de ráfaga de error de bit para un esquema con diversidad espacial en

recepción. A la izquierda se representan las curvas para longitudes de ráfagade 192 bits. Las curvas de la derecha se han obtenido para ráfagas de 64bits. La intensidad de turbulencia adquiere los siguientes valores: σ2

χ = 0.25para las curvas (a) y (b); σ2

χ = 0.14 en (c) y (d); y σ2χ = 0.1 para los casos

(e) y (f). El perfil de pulso simulado es un OOK-GS NRZ [32]. . . . . . . . 1835.10 Curvas de ráfaga de error de bit para un esquema con diversidad espacial en

recepción, asumiendo ρ12 = 0.56 y ρ13 = 0.1 Se ha establecido una longitudde ráfaga de 192 bits. En (a) se representan la diferencia en comportamientoutilizando distintas intensidades de turbulencia para un esquema OOK-GSNRZ. En (b) se ilustran los comportamientos ofrecidos por diferentes técni-cas de señalización para σ2

χ = 0.15 [32]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1845.11 Secuencias temporales de centelleo atmosférico resultantes tras la combi-

nación mediante EGC de las secuencias que captan cada uno de los recep-tores por separado: (a) utilizando el método AR; (b) mediante un modelode estadísticos espacio-temporales separables. La velocidad del viento se hafijado a u⊥ = 20 m/s. En (c) y (d) se presentan los histogramas correspon-dientes a las secuencias combinadas mediante el modelo autorregresivo y apartir del modelo de estadísticos separables respectivamente. . . . . . . . . . 186

5.12 Tasa de error de ráfaga frente a potencia óptica normalizada promedio paraun sistema con dos receptores utilizando un formato OOK y detección ML,para distintos valores de ρij y σ2

χ. La longitud de ráfaga se ha establecido a(a) 192 bits y (b) 64 bits. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

5.13 Tasa de error de ráfaga frente a potencia óptica normalizada promedio paraun sistema con tres receptores utilizando un formato OOK y detección ML,para distintos valores de ρij y σ2

χ. La longitud de ráfaga se ha establecido a(a) 192 bits y (b) 64 bits. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

ix

Índice de tablas

4.1 Escenarios de simulación probados: σ2χ = 0.1, c.t.=100%, orden 5 . . . . . . 139

4.2 Escenarios de simulación probados: σ2χ = 0.1, c.t.=25%, orden 5 . . . . . . . 139

4.3 Escenarios de simulación probados: σ2χ = 0.01, c.t.=100%, orden 5 . . . . . 140








4.11 Escenarios de simulación probados: σ2χ = 0.1, L=500 m, c.t.=100%, orden 5 145

xi

Acrónimos

AR Autorregresivo.BER Bit Error Rate o Tasa de error de bit.bps Bits/segundo.CSI Estado instantáneo del canal.c.t. Ciclo de trabajo.DFT Transformada de Fourier discreta.EB Ráfaga de error (error burst).EC Cluster de errores.EGC Método de combinación por igual ganancia (Equal Gain Combin-

ing).FEB Ráfaga libre de errores.GPPM Modulación PPM empleando formas de pulso gaussiana.IDFT Transformada inversa de Fourier discreta.IM/DD Modulación en intensidad y detección directa.ISI Interferencia intersimbólica.NRZ No retorno a cero.OOK Esquema de modulación on-off keying.OOK-GS Esquema de modulación OOK acompañado de pulso gaussiano de

reducido ciclo de trabajo.OOK-GSc Esquema de modulación OOK-GS con memoria con la finalidad

de evitar la presencia de más de un pulso en un conjunto de dosintervalos de bit consecutivos.

OOK-GScc Esquema de modulación OOK-GS con memoria con la finalidadde evitar la presencia de más de un pulso en un conjunto de tresintervalos de bit consecutivos.

PAOPR Relación de potencia óptica pico a potencia promedio.PPM Modulación de pulsos por posición.RF Radiofrecuencia.RR Factor de tasa adaptativa. En función del tipo de tasa elegido

indica, bien la inserción de RR-1 intervalos de bit con silencio trasla transmisión de un bit de información; o bien la repetición enRR-1 veces del bit de información a transmitir.

xiii

SB Select Best.SNR Relación señal a ruido.TD Esquema de detección por umbrales.

xiv

Glosario de símbolos

(a)k Símbolo de Pochhammer.A[k] Matrices de tamaño n× n que contiene los coeficientes del

modelo AR multicanal.Bc Ancho de banda de coherencia del canal atmosférico =

1/Tm.bI(τ) Función de la covarianza normalizada de la irradiancia.BI(τ) Función de la covarianza de la irradiancia.B

(1)µµ Desplazamiento Doppler promedio.

Bχ(τ) Función de la covarianza de la log-amplitud del centelleoatmosférico.

bχ(τ) Función de la covarianza normalizada de la log-amplituddel centelleo atmosférico.

C2n Parámetro de estructura de las fluctuaciones del índice de

refracción (m−2/3).Cno Parámetro que describe la fortaleza de la turbulencia.CT Parámetro de estructura de temperatura.CV Constante de estructura de velocidad.Cw Matriz de covarianzas del error de predicción del sistema

autorregresivo.Cχ Matriz de covarianzas de la perturbación logarítmica de

amplitud.Cw Matriz de covarianzas del error de predicción semidefinida

positiva más cercana a la matriz de partida que se de-sea factorizar, Cw, conocido también como el aproximantepositivo de Cw.

D Tamaño de apertura del receptor.Dn(r) Función de estructura del índice de refracción.d0 Longitud de correlación de las fluctuaciones de intensidad.dij Distancia de separación entre los puntos i y j en el plano

del receptor.DT (r) Función de estructura de la temperatura.E Vector de campo eléctrico.

xv

erfc(x) Función de error complementario.fc Ancho de banda de la densidad espectral de potencia de las

fluctuaciones de amplitud de la irradiancia en regímenes deturbulencia débil. Es análogo a fd pero empleado para elcentelleo atmosférico.

fd Esparcimiento Doppler de radiofrecuencia, que indica elincremento del ancho de banda que ocupará la señal trans-mitida ocasionado por el efecto del canal.

fχ(χ) Función densidad de probabilidad de la perturbación log-arítmica del centelleo atmosférico.

fI(I) Función densidad de probabilidad de la intensidad ópticarecibida.

F Operador transformada de Fourier.F−1 Operador transformada de Fourier inversa.1F1(a; c;x) Función hipergeométrica confluente de Kummer de

primera clase.h Altura del enlace.H Humedad.|Hsc(f)|2 Espectro temporal de las fluctuaciones de la irradiancia.H(f) Respuesta en frecuencia asociada al comportamiento dis-

persivo temporal que el medio atmosférico puede provocarsobre la señal que se propaga.

h0 Altura efectiva de la atmósfera turbulenta.I(r, L) Irradiancia de la señal óptica.I0(r, L) Irradiancia de la señal óptica en ausencia de turbulencia.Im Matriz identidad de m elementos.iN Corriente de ruido shot generada en el detector.iS Corriente de señal generada en el detector.J0(·) Función de bessel de primera clase y orden 0.k Número de onda.K Matriz de coloreado.Kn Función modificada de Bessel de segunda clase y orden n.L Longitud del vano.L Matriz triangular inferior obtenida tras la descomposición

de Cholesky.l0 Microescala de la turbulencia. Tamaño mínimo permitido

de las celdas difractivas con incidencia en el centelleo at-mosférico.

Lb − 1 Parámetro que establece el máximo número de bits con-secutivos correctos que se permite en la definición de unaráfaga de error.

xvi

L0 Macroescala de la turbulencia. Tamaño máximo permi-tido de las celdas refractivas con incidencia en la centelleoatmosférico.

lx Tamaño de las celdas turbulentas refractivas con incidenciaen la generación de centelleo atmosférico.

ly Tamaño de las celdas turbulentas difractivas con incidenciaen la generación de centelleo atmosférico.

n Índice de refracción atmosférico.n0 Valor medio de las fluctuaciones del índice de refracción

atmosférico.n1 Fluctuaciones que sufrirá el índice de refracción atmos-

férico alrededor de su valor medio.P Diferencia de presión entre dos puntos de la atmósfera

(mb).p0 Probabilidad de transmisión de un estado lógico “0”.p1 Probabilidad de transmisión de un estado lógico “1”.p(on/off) Probabilidad de falsa alarma.p(off/on) Probabilidad de pérdida.pt Forma de pulso utilizada para codificar cada bit de infor-

mación a transmitir.Ppico Potencia óptica de pico transmitida en un intervalo de bit.Ppulso Potencia óptica media de cada uno de los pulsos a trans-

mitir.Pt Potencia óptica media de la señal transmitida.Q Matriz unitaria.r Posición del espacio transversal al punto de observación.r Distancia de separación del frente de onda al punto de

observación o entre dos puntos de observación.r0 Parámetro de Fried.R Tasa binaria.Rχ(r1, r2) Función de correlación de la perturbación logarítmica de

amplitud.s(t) Señal de información transmitida directamente por el

transmisor óptico.S Perturbación de la fase del campo eléctrico de la onda que

se propaga debido únicamente a la presencia de la atmós-fera turbulenta.

ST Perturbación de la fase total del campo eléctrico de la ondaque se propaga, incluyendo la fase del campo electromag-nético incidente.

SI(ω) = |Hsc(f)|2 Espectro temporal de las fluctuaciones de la irradiancia.

xvii

T Diferencia de temperatura entre dos puntos de la atmósfera(oK).

Tm Maximum excess delay, diferencia entre el mayor y el máspequeño de los retardos que sufre cada una de las compo-nentes multicamino

Tp Intervalo de tiempo entre dos observaciones.T ′p Intervalo de tiempo para el que se ha producido una

variación más o menos apreciable en la amplitud del cen-telleo atmosférico.

Ts o T Ancho temporal de cada uno de los pulsos ópticos trans-mitidos.

T2 Semianchura temporal del pulso captado en recepción me-dido en el punto en el que la amplitud ha caído un factor1/e, y una vez que el pulso ha atravesado el medio turbu-lento.

T2m Semianchura temporal del pulso captado en recepción me-dido en el punto en el que la amplitud ha caído a la mitadde su valor, y una vez que el pulso ha atravesado el medioturbulento.

T2teom Semianchura temporal del pulso captado en recepción me-

dido en el punto en el que la amplitud ha caído a la mitadde su valor, y una vez que el pulso ha atravesado el medioturbulento. El valor se ha obtenido a partir de una expre-sión analítica teórica.

T2numm Semianchura temporal del pulso captado en recepción me-

dido en el punto en el que la amplitud ha caído a la mitadde su valor, y una vez que el pulso ha atravesado el medioturbulento. El valor se ha obtenido midiendo directamenteel pulso obtenido tras la simulación numérica.

u Velocidad eficaz del viento (en m/s).U0(r, z) Componente escalar del campo eléctrico a lo largo del eje

z transversal a la dirección de propagación en ausencia deun medio atmosférico turbulento.

U(r, z) Componente escalar del campo eléctrico a lo largo del eje z

transversal a la dirección de propagación correspondiente ala propagación del haz óptico por la atmósfera turbulenta.

u⊥ Velocidad del viento en sentido perpendicular a la direcciónde propagación.

vl Fluctuación aleatoria de la velocidad del viento.w[n] Conjunto de vectores de error de predicción en un sistema

AR.W Ancho de banda de la señal transmitida.

xviii

x(t) s(t) · αsc(t).Y = QT CwQ Matriz semejante a Cw.αsc(t) Secuencia de centelleo atmosférico.χ(t) Fluctuación logarítmica de la amplitud de la irradiancia

óptica debida únicamente a la presencia de la atmósferaturbulenta.

χT (t) Fluctuación logarítmica de la amplitud de la irradianciaóptica total del campo eléctrico de la onda que se propaga,incluyendo la amplitud del campo electromagnético inci-dente.

χAR[n] Conjunto de secuencias de centelleo atmosférico generadascon el modelo autorregresivo.

χsep[n] Conjunto de secuencias de centelleo atmosférico generadascon el esquema de estadísticos espacio-temporales separa-bles.

Λ Matriz diagonal conteniendo los autovalores de la matriz afactorizar.

ε Tasa de disipación de la energía turbulenta (m2/s3).η Factor de conversión óptico-eléctrico.ηx, ηy Frecuencias de corte adimensionales para las funciones de

filtrado espacial.Γ2(r1, r2; f1, f2) Función de coherencia mutua a frecuencias f1, f2 y en las

posiciones r1 y r2.γ Ángulo cenital.κ Vector del número de onda espacial.κ Magnitud del vector del número de onda espacial o número

de onda espacial escalar.κx Frecuencia espacial de corte procedente de las celdas tur-

bulentas de mayor tamaño (o celdas refractivas).κy Frecuencia espacial de corte procedente de las celdas tur-

bulentas de menor tamaño (o celdas difractivas).λ Longitud de onda de la portadora láser.ν0 Quasi-frecuencia.Φn(κ) Densidad espectral de potencia de las fluctuaciones del

índice de refracción.ψ(r, L) Perturbaciones de fase compleja causadas únicamente por

las inhomogeneidades de la atmósfera.ψ0(r, L) ln U0(r). Logaritmo del campo electromagnético transmi-

tido originariamente, o fase compleja del campo transmi-tido en ausencia de turbulencias.

xix

ψT (r, L) Perturbaciones de fase compleja causadas por las inhomo-geneidades de la atmósfera unidas a la fase compleja delcampo eléctrico de la onda que se propaga.

ρ Posición del espacio transversal en el plano yz al punto deobservación.

ρ0 Radio de coherencia.ρl Factor de aleatoriedad introducido por la propia evolución

de la turbulencia atmosférica.σ2

1 Varianza de Rytov. Para una onda plana, σ21 = σ2

ln I∼= σ2

I .σ2

I Varianza normalizada de las fluctuaciones de la irradiancia,también conocido como índice de centelleo atmosférico.

σ2I (0, L) Componente axial o longitudinal del índice de centelleo

atmosférico.σ2

I,r(r, L) Componente radial del índice de centelleo atmosférico.σ2

χ Varianza de la perturbación logarítmica de amplitud.τ0 Tiempo de coherencia.τe Tiempo de vida medio de las no-homogeneidades atmos-

féricas.τ ie Semianchura del pulso óptico a transmitir, justo antes de

interaccionar con el filtro de Bessel que modela al medioturbulento.

τ oe Semianchura del pulso óptico en recepción, tras atravesar

la etapa de filtrado de Bessel que simula el comportamientodel medio atmosférico turbulento.

1/τ0 Frecuencia temporal máxima que sufrirán las fluctuacionesde amplitud. Fante demostró que coincide en expresión confc.

∆τij Retardo temporal medido entre las secuencias de centelleoatmosférico i y j.

∆τTaylor Retardo temporal teórico entre las secuencias de centelleoatmosférico i y j aplicando la definición de la hipótesis deTaylor.

∆PAOPR Incremento de la relación de potencia pico-promedio.Υ Matriz de perturbación.

xx

Capítulo 1

Introducción a los Sistemas deComunicaciones ÓpticasAtmosféricas

En la actualidad está cada vez más extendido el uso de redes de fibra óptica por todo elmundo, respondiendo a la necesidad de los ciudadanos de intercambiar información a altosregímenes binarios. Así, y gracias a la implementación de la técnica de multiplexación pordivisión en longitud de onda de alta densidad (Dense Wavelength-Division Multiplexing,DWDM), la capacidad de transportar información en redes de fibra se ha visto notable-mente incrementada. De hecho, se consiguió demostrar a principios de 2002 que una únicafibra óptica era capaz de soportar hasta 10 Tbps (Terabits/segundo) de capacidad [1]. Estedato permitiría que se pudiera asignar una capacidad de 10 Mbps (Megabits/segundo) a unmillón de usuarios simultáneos sobre una misma fibra. Sin embargo, el problema está enproveer estas capacidades a los abonados que en la actualidad no tienen, por regla general,acceso directo mediante fibra óptica a la red de alta velocidad. Actualmente, la fibra ópticasólo llega a las estaciones de conmutación de las compañías telefónicas en las áreas urbanaso suburbanas. Por tanto, la mayoría de los abonados suelen conectarse a la red, internetcomo caso más extendido, a través de un par de cobre y tecnología DSL (Digital SubscriberLine) extendido hacia esas centrales de conmutación. El principal inconveniente, en lamayoría de los casos, se relaciona con las tasas binarias que pueden conseguir estos abona-dos y que apenas alcanzan unos pocos Mbps en la mejor de las situaciones. Los modems decable pueden dar acceso a velocidades de hasta 30 Mbps, aunque es probable que múltiplesabonados compartan un mismo cable. Este hecho provoca que la tasa binaria que tendríandisponible estos usuarios se vea reducida drásticamente en el supuesto caso de que se pro-duzca un acceso simultáneo de varios de estos abonados. Así pues, se hace necesario laintroducción de algún tipo de tecnología “puente” que pueda solucionar este problema ypermita que los usuarios puedan conectarse a la red de fibra óptica. Este problema es elque se ha denominado problema de la “primera” o de la “última” milla.

1

CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE COMUNICACIONES ÓPTICAS ATMOSFÉRICAS

Aunque clásicamente la tecnología de radiofrecuencia (RF) puede ser utilizada pararesolver el problema expuesto, sin embargo pueden existir situaciones específicas en las quese requiera un rápido despliegue del enlace que permita estar operativo en un corto períodode tiempo [2], lo que favorece la investigación hacia la utilización y aprovechamiento delcanal óptico no guiado.

Esta técnica de transmisión ofrece numerosas ventajas que la convierten en una atrac-tiva solución para el problema de la última milla, fundamentalmente en zonas urbanasdensamente pobladas. Así, el espectro óptico ofrece la posibilidad de utilizar un anchode banda virtualmente muy elevado y que además carece de regulación, en contraposicióna la saturación que sufre el espectro radioeléctrico. Además, la gran directividad de losenlaces ópticos no guiados confiere a estos sistemas una práctica invulnerabilidad frente lasinterferencias, no ocurriendo así en los sistemas homólogos de radiofrecuencia. En contra-partida, estos enlaces requieren el establecimiento de una situación de visión directa entreel transmisor y el receptor.

Una dificultad añadida a la utilización de frecuencias de radio es la existencia dedesvanecimientos en la señal debido a la propagación multicamino, aunque se puede mitigarmediante técnicas de diversidad que redundan también en una mayor complejidad de lossistemas de transmisión y recepción. En los sistemas ópticos no guiados existe un problemade efectos análogos al comentado. Estos sistemas pueden verse muy afectados por laturbulencia atmosférica, ocasionando fluctuaciones en la intensidad de la señal que sepropague de una manera muy similar a un desvanecimiento de radiofrecuencia, si bienlas circunstancias que los originan difieran entre sí. Este hecho se aborda en la siguientesección y se retoma con mucho más detalle en el siguiente capítulo.

Por otra parte, la relación de señal a ruido (SNR) en los enlaces ópticos no guiados seve afectada en primer lugar, por la dependencia del cuadrado de la potencia óptica recibida,lo que implica un factor doble de atenuación respecto de los enlaces radio; además, la com-pensación de dichas pérdidas con un posible incremento en la potencia óptica transmitidaestá limitada tanto por la necesidad de un consumo reducido, como por la normativa exis-tente relativa a la seguridad ocular [3, 4], donde se limita la potencia óptica promedioemitida mediante el establecimiento de recomendaciones para los límites en la exposiciónpermitida y en la intensidad radiada. La intensidad máxima que puede penetrar en elojo humano depende de parámetros como la longitud de onda del láser o del ángulo dedivergencia del haz.

En segundo lugar, la relación SNR se ve reducida por el efecto del ruido y de lasinterferencias que introduce la luz ambiental, fundamentalmente la procedente del Sol.Esta señal de iluminación interferente puede ser considerada como una fuente no moduladaque produce en el fotodetector una corriente de ruido shot.

2

1.1. EL CANAL ÓPTICO NO GUIADO EN ÁMBITO ATMOSFÉRICO

1.1 El canal óptico no guiado en ámbito atmosférico

Antes de introducir las características del canal, es necesario mencionar el tipo demodulación utilizado en los sistemas de comunicaciones ópticas atmosféricas. En los sis-temas de radio, las técnicas de modulación más frecuentemente utilizadas se basan en lageneración y detección coherente de las señales; sin embargo, en sistemas ópticos no guia-dos, dicha opción se presenta en múltiples ocasiones como inviable, por lo que se sueleoptar por una modulación en intensidad (IM), basada en modular la potencia instantáneade la portadora transmitida; en este caso, la técnica más eficiente de demodulación es ladetección directa (DD) en la que un fotodetector genera una corriente proporcional a lapotencia instantánea de la señal óptica recibida y, por tanto, proporcional al cuadradodel campo eléctrico recibido. Este hecho provoca que las pérdidas de propagación en losenlaces ópticos resulten ser el doble (medidas en dB) que las pérdidas de los enlaces deradiofrecuencia. Esta gran atenuación es la responsable de que los sistemas ópticos endifusión tengan enormes dificultades para conseguir coberturas elevadas y obliga a mani-pular altos niveles de potencia en transmisión para poder compensar las pérdidas del canal.Sin embargo, cuando se está inmerso en un escenario atmosférico, estas pérdidas puedencompensarse con la enorme directividad del enlace unido a las altas ganancias de las ante-nas utilizadas. Todo sistema que emplee estas técnicas de modulación y demodulación sedenomina sistema IM/DD y son los utilizados a lo largo de toda esta tesis.

En la Figura 1.1 se muestra el modelo de sistema IM/DD [5], en el cual s(t) representala potencia óptica instantánea que se inyecta al canal, mientras que la señal y(t) se corres-ponde con la corriente instantánea generada por el fotodetector. El comportamiento delcanal debe simular las variaciones en la irradiancia de la señal ocasionadas por el fenómenode la turbulencia atmosférica. Esta fluctuación de la potencia, comúnmente conocida comocentelleo atmosférico, puede ser modelada utilizando un coeficiente variable con el tiempo,αsc(t), que representa a la secuencia de centelleo atmosférico, y que se añade de formamultiplicativa a s(t). Sin embargo, para mantener el esquema propuesto en Figura 1.1,se prefiere incluir esa secuencia de centelleo dentro de la potencia óptica transmitida, deforma que x(t) = s(t) · αsc(t), siendo s(t) la señal de potencia inicialmente lanzada porel transmisor, mientras que αsc(t) hace referencia a las fluctuaciones que puede sufrir laintensidad de s(t) como consecuencia de atravesar la atmósfera turbulenta. En lo que serefiere a la distorsión temporal que introduciría el medio atmosférico sobre la señal ópticainyectada, dicho efecto se representa por h(t). No obstante, tal efecto sólo es importantea elevados regímenes binarios, o bien en determinados escenarios con, por ejemplo, unaabundante concentración de polvo. Este efecto será visto en más detalle en el Capítulo 4.Sin embargo, y pensando en una situación más genérica, puede despreciarse la dispersiónmulticamino, por lo que la respuesta al impulso del canal h(t) será visto como una delta enel origen, de la forma h(t) = δ(t) [5]. Por otra parte, R corresponde a la respuesta del foto-diodo, medida en A/W. El canal será variante en el tiempo, esto es, los valores que adquieraen cada momento la secuencia de centelleo atmosférico que se genere va a depender de las

3


Figura 1.1: Modelo básico de canal óptico no guiado.

horas del día, de la posición geográfica y de aspectos meteorológicos tales como cambiosen la presión o en la temperatura. Sin embargo, como se verá en capítulos posteriores, seasumirá una estacionariedad del mismo así como una isotropía de la turbulencia [6]

Al utilizar un esquema IM/DD, los circuitos del transmisor y del receptor son rela-tivamente simples comparados con los requeridos en los esquemas coherentes. Además,una de las características de estos sistemas ópticos es que presentan una inherente diversi-dad espacial, ya que las dimensiones típicas de las superficies activas de los fotodetectoressuperan en varios órdenes de magnitud la longitud de onda de trabajo de la portadora.

Asimismo, la luz ambiental, muy elevada fundamentalmente en las horas diurnasaunque su efecto pueda verse mitigado mediante la utilización de un filtrado óptico previoal fotodetector, produce una corriente de ruido shot a la salida del mismo que va a sergeneralmente el ruido predominante. Además, dicho ruido, al ser de alta intensidad, puedeser modelado como ruido blanco, gaussiano e independiente de la señal de información s(t).Dicha suposición también se mantiene como válida para el supuesto de bajo nivel de luzambiental, puesto que en este caso, el ruido predominante será el ruido generado por elpropio amplificador que sigue siendo gaussiano e independiente de la señal s(t).

Por otra parte, el canal IM/DD tiene una serie de peculiaridades específicas. Así, alir la señal de información modulada sobre la potencia óptica instantánea de la portadora,la señal s(t) nunca es negativa, como tampoco lo es x(t), ya que la secuencia de centelleono adquirirá valores negativos. Por consiguiente, la potencia óptica promedio transmitidaviene dada, según se indica en [7], por la expresión:

Pt = limT→∞

12T

∫ T

−Ts(t)dt. (1.1)

En la expresión anterior se observa claramente la diferente dependencia de la potenciamedia en función del valor instantáneo para canales ópticos IM/DD y canales radio, en losque el promediado temporal se hace sobre |s(t)|2, tal y como se recuerda en la expresióntomada de [8] dada por:

4

1.2. LOS EFECTOS DE LA TURBULENCIA ATMOSFÉRICA

Pt = limT→∞

12T

∫ T

−T|s(t)|2dt. (1.2)

La potencia óptica promedio recibida por el fotodetector es P = αsc(t)·Pt, donde αsc(t)es la secuencia de centelleo atmosférico que modela las fluctuaciones que puede sufrir lairradiancia de la señal óptica transmitida, y que se abordará en capítulos posteriores. Así,si se considera un sistema digital que trabaja a un régimen binario Rb y que el ruidodominante es blanco y gaussiano, con una densidad espectral de potencia bilateral N0, larelación señal a ruido eléctrica a la salida del fotodetector viene marcada por la siguienteexpresión:

SNR =R2P 2

RbNo=

R2αsc(t)2P 2t

RbNo, (1.3)

la cual ha sido convenientemente adaptada de [7], donde queda reflejado uno de los prin-cipales inconvenientes del canal IM/DD: la dependencia de la relación señal a ruido conel cuadrado de la potencia óptica promedia recibida, lo que implica que en los enlacesópticos IM/DD la ganancia de las antenas deba ser relativamente elevada mientras que laspérdidas por propagación permitidas para obtener cierta calidad serán menores que en elcaso de los canales convencionales.

Por otro lado, el efecto de un posible sombreado junto con las variaciones de la irra-diancia que va a sufrir la señal como consecuencia de atravesar una atmósfera turbulenta,va a producir grandes variaciones en la relación señal a ruido, lo que puede provocar in-cluso la caída del enlace. Este hecho obliga al estudio de algún tipo de procedimiento quepermita la recepción correcta de la señal en función de las condiciones del medio. Normal-mente, los estudios realizados hasta la fecha han sugerido el uso de algún tipo de técnica dediversidad para mitigar tales efectos aunque también empiezan a adquirir protagonismo lastécnicas de codificación espacio-tiempo [9, 10]. Igualmente ofrecen resultados muy intere-santes los esquemas de tasa adaptativa y, en particular, aquellos que han demostrado sueficacia en comunicaciones ópticas para interiores y que en esta Tesis Doctoral se trasladanal dominio óptico atmosférico de forma que se permita variar la velocidad de la transmisiónen función de la relación señal a ruido existente hasta conseguir una probabilidad de errorsuficientemente baja para asegurar la comunicación con un buen nivel de calidad.

1.2 Los efectos de la turbulencia atmosférica

Como es obvio, y se tratará con detalle en el capítulo siguiente, la atmósfera no se com-porta como un canal ideal de comunicaciones. La señal que se propague por la atmósferaes susceptible de sufrir fluctuaciones en su irradiancia, fenómeno conocido como centelleoatmosférico [11, 12], que pueden degradar notablemente las prestaciones del sistema. Los

5


niveles más intensos de centelleo atmosférico tienen lugar para pequeños diámetros de laapertura efectiva del fotodetector. Claramente se deduce entonces que, si se eligiera unreceptor suficientemente grande de forma que se pudieran recoger todos los haces láser enlos que se fracciona el original al atravesar y refractarse por la atmósfera, el efecto adversodel centelleo atmosférico se vería notablemente suavizado como consecuencia de la técnicaconocida como promediado de apertura (aperture averaging en la bibliografía anglosajona)[11], aunque en la práctica, no siempre es viable diseñar un receptor con tal tamaño porefecto del espacio físico disponible, por ejemplo.

Como dificultad añadida, se requiere que el receptor sea capaz de enfocar toda laluz que recibe a un fotodetector de área muy reducida. Esto será fundamentalmentecrítico para enlaces de alta velocidad. Los frentes de onda fluctuantes recogidos en laapertura del receptor se enfocan hacia puntos (spots) que “bailan” dentro del plano focal.Consecuentemente, ese movimiento de los spots focales debe estar dentro del área delfotodetector para evitar que el receptor se desenfoque y que el fotodetector se sature porcausa de los desvanecimientos que puede sufrir la señal.

1.3 Objetivos y organización de la tesis

El trabajo que se ha realizado en esta Tesis Doctoral se enmarca dentro del estudio delfenómeno de la turbulencia atmosférica y su caracterización en el modelado de un canal detransmisión a frecuencias ópticas. Uno de los principales objetivos es poder concentrar talesfuerzo en un esquema de simulación numérica donde se quiera realizar un primer estudiode las prestaciones que se desprenden de un enlace óptico atmosférico. Partiendo de eseprimer modelo de canal, se ha completado el análisis incluyendo sistemas con diversidad enrecepción donde pueda verse de manifiesto el fenómeno de la correlación espacio-temporalentre las distintas secuencias de centelleo que afectan a cada uno de los receptores queparticipen en el sistema de comunicación. Particularmente, en los enlaces ópticos atmos-féricos, los estadísticos espaciales y temporales están íntimamente relacionados de acuerdocon la hipótesis de la turbulencia congelada [13], tal y como se detalla en los capítulosposteriores. Además, en el proceso de generación de secuencias de centelleo que se ha de-sarrollado en este trabajo, se ha incluido la posibilidad de incorporar el efecto que producela consideración de un tiempo de vida finito de cada una de las células turbulentas quepueden constituir el medio atmosférico.

El trabajo realizado se ha estructurado en seis capítulos, cuyo contenido e interrelaciónse ha resumido en el diagrama mostrado en la Figura 1.2. Tras el presente capítulo deintroducción, en el que se han presentado algunos conceptos que caracterizan a los enlacesópticos atmosféricos, el Capítulo 2 se dedica a describir los parámetros y estadísticos quecaracterizan a un enlace óptico atmosférico. El núcleo central del capítulo consiste en unadescripción en detalle del proceso aleatorio que caracteriza a la turbulencia atmosférica, apartir de los trabajos desarrollados por Kolmogorov, Taylor y Tatarskii entre otros [13]. Se

6

1.3. OBJETIVOS Y ORGANIZACIÓN DE LA TESIS

Figura 1.2: Organización de la tesis.

describen cada una de las hipótesis y simplificaciones que se han venido adoptando en estosaños y que posteriormente sirven de punto de partida para la generación de un modelo decanal atmosférico que permita describir el comportamiento en prestaciones de un sistemaóptico en ambiente exterior.

Los capítulos 3, 4 y 5 constituyen el núcleo central de la tesis. Así, el tercer capítulo secentra en presentar un primer modelo de canal atmosférico válido para un sistema sin diver-sidad. Se ha partido de todo el procedimiento matemático expuesto en el capítulo anterior,se han simplificado convenientemente algunas expresiones analíticas y se ha incluido tododentro de un esquema de simulación para cuya implementación se ha retomado la filosofíade los modelos de Jakes [14] y Clarke [15] propuestos para entornos de radiofrecuencia.

En el capítulo cuarto se presenta el escenario de simulación en el que se introduce elmodelo de canal atmosférico desarrollado en el capítulo anterior. El objetivo principal dela primera parte de este capítulo consiste en descubrir alguna figura de merito fiable enlos sistemas IM/DD que permita anticipar qué técnica de señalización puede ser mejor, ybajo qué criterio se podría trabajar para mejorar su rendimiento. En concreto, se vio queel incremento de la relación de potencia óptica pico a potencia óptica promedio (PAOPR),que ya se manifestó como un parámetro adecuado para establecer comparativas en presta-ciones entre las distintas técnicas de señalización dentro de un entorno de interiores, seajusta adecuadamente a los escenarios atmosféricos. Además, se trasladan a tales ámbitosalgunas técnicas de modulación probadas en los entornos de interiores que maximizan lamencionada relación PAOPR. En particular, se describe un algoritmo alternativo de tasaadaptativa basada, no en la repetición del bit de información tal y como se describe en losesquemas clásicos, sino en la inserción de períodos de silencio variables, mostrando mejores

7


resultados que los ofrecidos por la propuesta clásica. Finalmente, las buenas prestacionesque se desprenden del empleo de formas de pulso gaussianas y de reducido ciclo de trabajo,las cuales favorecen el incremento de dicha relación de potencia óptica pico a potencia óp-tica promedio, sirven de punto de partida para estudiar la dispersión temporal que puedensufrir estas formas de pulso bajo condiciones de propagación muy específicas. En particu-lar, se consigue insertar de una forma sencilla en el algoritmo de simulación presentado eneste capítulo, la etapa que representa la expansión temporal que puede sufrir todo pulsoóptico propagándose por la atmósfera y sometido a, por ejemplo, grandes concentracionesde polvo y/o arena, presentes en emplazamientos más específicos como pueden ser los de-siertos. Dicha etapa, como se verá en el capítulo cuarto, puede implementarse a partir deun filtrado de Bessel.

En el quinto capítulo se construye un escenario con diversidad espacial que permitaestudiar el impacto de la correlación espacial entre las distintas secuencias de centelleo at-mosférico. En particular, en presencia de atmósfera turbulenta, se verifica habitualmenteuna hipótesis denominada de la turbulencia congelada [13] que impone una fuerte inter-relación entre los estadísticos espaciales y temporales. Esto complica la generación de talessecuencias ya que, a priori, no es posible realizar un coloreado espacial y posteriormenteotro temporal entre las distintas secuencias de centelleo. Se propone, para ello, un modeloautorregresivo que permita dotar de este peculiar comportamiento. La base de tal mo-delo es un esquema de factorización matricial alternativo basado en la descomposición deSchur, que permite el análisis de cualquier factor de correlación existente entre las secuen-cias. Posteriormente, se incluye el efecto de la propia dinámica de la turbulencia de formaque las células turbulentas no tengan un tiempo de vida indefinido. Esta inclusión se haconseguido mediante una conveniente conjunción del modelo autorregresivo y un modeloque considere separables los estadísticos espaciales y temporales.

Finalmente, el Capítulo 6 está dedicado a resumir las principales aportaciones y re-sultados obtenidos en esta Tesis Doctoral. Asimismo, se indican algunas actividades quepueden realizarse como continuación de este trabajo.

8

Bibliografía

[1] C.C. Davis, I.I. Smolyaninov and S.D. Milner, Flexible Optical Wireless Links and Networks,IEEE Communications Magazine, vol. 41, no. 3, pp. 51 – 57, Mar. 2003.

[2] J.C. Juarez, A. Dwivedi, A.R. Hammons, S.D. Jones, V. Weerackody and R. A. Nichols,Free-Space Optical Communications for Next-Generation Military Networks, IEEE Com-munications Magazine, vol. 44, no. 11, pp. 46 – 51, Nov. 2006.

[3] ANSI Z136.1, Laser Safety Standard, available from the Laser Institute of America (LIA),vol. 8, no. 3, May 2000.

[4] ICNIRP GUIDELINES, Revision of Guidelines on Limits of Exposure to Laser Radiationof Wavelengths Between 400 nm and 1.4 mm, International Commission on Non-IonizingRadiation Protection (ICNIRP), vol. 79, no. 4, pp. 431 – 440, Oct. 2000.

[5] J. Zhang, Modulation Analysis for Outdoors Applications of Optical Wireless Communica-tions, International Conference on Communication Technology Proceedings, 2000. WCC -ICCT 2000, vol. 2, pp. 1483 – 1487, 21-25 Aug. 2000.

[6] T.M. Brown, Information Theory and the Spectrum of Isotropic Turbulence, Journal ofPhysics A: Mathematica and General, vol. 15, pp. 2285 – 2306, Jul. 1982.

[7] J.M. Kahn and J.R. Barry, Wireless Infrared Communications, Proc. IEEE, vol. 85, no. 2,pp. 265 – 298, Feb. 1997.

[8] J.G. Proakis and M. Salehi, Communication Systems Engineering, Englewood Cliffs, NewJersey : Prentice-Hall, cop. 1994.

[9] M. Simon and V. Vilnrotter, Alamouti-type Space-Time Coding for Free-Space Optical Com-munication with Direct Detection, IEEE Transactions on Wireless Communications, vol. 4,no. 1, pp. 35 – 39, Abr. 2005.

[10] A. Garcia-Zambrana, Error Rate Performance for STBC in Free-Space Optical Communica-tions through Strong Atmospheric Turbulence, IEEE Communications Letters, vol. 11, no.5, pp. 390 – 392, May 2007.

[11] L. C. Andrews and R. L. Phillips, Laser Beam Propagation Through Random Media,Bellingham, MA:SPIE Optical Engineering Press, Bellingham, Washington, 1998.

[12] L.C. Andrews, R.L. Phillips, C.Y. Hopen, Laser Beam, Scintillation with Applications,Bellingham, MA:SPIE Optical Engineering Press, Bellingham, Washington, 2001.

[13] V. I. Tatarskii, The Effects of the Turbulent Atmosphere on Wave Propagation, New York,McGraw-Hill, 1971.

[14] W. C. Jakes, Microwave Mobile Communications, Willey-Interscience, 1974.[15] T. S. Rappaport, Wireless Communications - Principles and Practice, Upper Saddle River,

New Jersey, Prentice Hall, 1996

9

Capítulo 2

La Atmósfera Turbulenta

La atmósfera forma un sistema termodinámico gigantesco donde se producen interac-ciones y cambios, tanto con los océanos como con el suelo e incluso con la Luna, a través delas mareas atmosféricas, análogas en muchos aspectos a las mareas oceánicas [1]. Los cam-bios suelen ser lentos, manteniéndose un equilibrio dinámico que suele fluctuar alrededorde un valor medio.

La radiación solar calienta la superficie terrestre siendo responsable de la evaporaciónde las aguas y provocando que el aire que se encuentra en contacto con el suelo se calientemás rápidamente. Este aire recalentado se eleva al perder densidad y presión, y subehasta encontrar una masa atmosférica de igual o mayor temperatura, momento en quese estabiliza. Durante su camino ascendente, el aire previamente calentado se enfría, deacuerdo con una caída de 1C/100 m en el enfriamiento adiabático seco, y 0.5C/100 m enel húmedo [1]. El enfriamiento del aire provoca la saturación, condensación y precipitacióndel vapor de agua atmosférico. El vapor de agua puede condensar al alcanzar la saturación,dando lugar a la aparición de nieblas o nubes, en las que se produce una mezcla de unconglomerado constituido por pequeñas gotitas de agua líquida o hielo en una masa deaire. La condensación constituye la primera fase del mecanismo de la precipitación y, en lasegunda fase, las gotitas incrementan su tamaño hasta que precipitan y caen por su propiopeso. Para que la condensación tenga lugar, son necesarias pequeñas partículas a modo denúcleos de condensación y de variada procedencia. La presencia de iones acelera el procesode condensación, que puede comenzar incluso antes de que el aire esté saturado. Los tiposde precipitación (lluvia, nieve, etc.) dependen de las características de la columna de aireascendente y de la temperatura debajo de las nubes. La lluvia es la forma más común deprecipitación.

En adición a lo anterior, se producen en la atmósfera pequeñas fluctuaciones del índicede refracción, principalmente como consecuencia directa de pequeñas fluctuaciones de tem-peratura. Estas microvariaciones de temperatura se explican tanto por la aparición decorrientes convectivas de aire, como resultado del calentamiento progresivo del suelo porla acción del Sol; como, también, por la existencia de un gradiente de velocidad entre dis-

11

CAPÍTULO 2. LA ATMÓSFERA TURBULENTA

tintas capas atmosféricas, de una intensidad tal que la viscosidad del medio no es capaz dehacer frente a la rotación inducida. En ambos casos se favorece la mezcla de masas de airea distintas temperaturas que desencadenan un proceso turbulento en el interior del medioatmosférico. La aparición de este fenómeno turbulento será responsable de efectos tancaracterísticos como el titileo de las estrellas limitando, por ejemplo, la resolución angularque se pueda obtener de un telescopio [2].

Con todo lo anteriormente mencionado, los pulsos transmitidos en los enlaces ópticosatmosféricos se ven afectados por fenómenos adversos como consecuencia de su propagaciónpor la atmósfera terrestre. Debido a la interacción del haz de luz con las partículas quecomponen la atmósfera (no sólo las moléculas que la caracterizan, sino también pequeñaspartículas suspendidas llamadas aerosoles, además de con fenómenos meteorológicos talescomo lluvia o nieve), se producen una serie de fenómenos que perturban la comunicación:atenuación, absorción selectiva en frecuencia, dispersión y centelleo atmosférico. La des-cripción de este último fenómeno constituye el núcleo central de este capítulo.

2.1 Efectos a considerar en un enlace atmosférico

Las señales ópticas no sólo se atenúan al propagarse a través de la atmósfera, sino quetambién el haz óptico a menudo se ensancha, se desenfoca o puede cambiar de dirección.Estos efectos dependen principalmente de la longitud de onda, de la potencia de salida yde las condiciones de la atmósfera. Cuando la potencia es baja, el enlace se comporta deforma lineal y los efectos predominantes son absorción, dispersión y los ocasionados por elcentelleo atmosférico. En cambio, cuando la potencia es elevada, aparecen nuevos efectosno lineales. Además, la luz solar puede repercutir negativamete en las prestaciones de estosenlaces, fundamentalmente cuando se encuentra alineada con los mismos. Las característi-cas físicas del propio receptor, unido al ángulo de divergencia del haz láser, también puedenprovocar pérdidas efectivas de potencia, efecto conocido como atenuación geométrica; sinembargo, se puede minimizar la influencia de este último caso siempre que el campo devisión (FOV) del receptor permita captar la radiación transmitida que se ha estado es-parciendo a un área cada vez mayor a medida que se ha ido alejando del transmisor. Acontinuación se enumeran los distintos fenómenos que puede sufrir la señal al propagarse.

2.1.1 Absorción atmosférica

Al interactuar los fotones procedentes de la radiación óptica con los átomos y moléculasque constituyen el medio atmosférico, se produce la vibración de las cargas eléctricas desus partículas a la frecuencia del campo incidente, aunque con un cierto desfase. Comoconsecuencia de su vibración, modelado como un movimiento armónico simple, la partículase calienta y absorbe energía, tanta más cuanto más cerca esté la frecuencia de la radiaciónrespecto a la frecuencia natural de oscilación. En este caso, la transferencia de energíade la onda al electrón ligado al núcleo de la partícula atmosférica es muy efectiva. El

12

2.1. EFECTOS A CONSIDERAR EN UN ENLACE ATMOSFÉRICO

coeficiente de absorción depende del tipo de partículas implicadas en este proceso así comode su concentración: entre las que juegan un papel destacado las moléculas de H2O yCO2. El resultado final es la aparición de una serie de picos de absorción en el espectro,entrelazados con ventanas de transmisión donde la atenuación es baja, por ejemplo en labanda de 850 nm [3, 4].

2.1.2 Dispersión atmosférica selectiva en frecuencia

Según la teoría electromagnética clásica, una carga que oscila conforme a un movi-miento armónico simple de frecuencia f0, radia energía a la misma frecuencia. Por tanto,los campos electromagnéticos correspondientes a la secuencia de pulsos ópticos transmiti-dos obligan a oscilar a los electrones de los átomos de las partículas atmosféricas y estos,a su vez, reemiten nuevas ondas electromagnéticas a la misma frecuencia de la onda inci-dente. El resultado final viene dado en función del tamaño de las partículas implicadas eneste proceso. Así, para tamaños muy pequeños de partículas en relación con la longitud deonda óptica de la radiación incidente, tales como las moléculas del aire, se asume que loscentros dispersores están muy separados unos de otros en comparación a dicha longitudde onda, por lo que las ondas irradiadas nuevamente por cada centro se superponen sincorrelación de sus fases. En este caso, se produce lo que se conoce como esparcimientoRayleigh, donde no tiene lugar ningún fenómeno interferencial que cancele la radiación enalguna dirección, por lo que se puede demostrar que la intensidad de la onda esparcidaes inversamente proporcional a la cuarta potencia de la longitud de onda óptica. Paravalores de longitud de onda por debajo de 1 µm, el esparcimiento Rayleigh es bastantepronunciado [12].

Cuando la luz interactúa con partículas de tamaño mayor que la longitud de ondaóptica, se origina lo que se conoce como difusión de Mie [5]: así, la partícula absorbe partede la luz transmitida y la otra parte la refleja, produciéndose una mayor dispersión haciadelante. Las partículas implicadas en este fenómeno son los llamados aerosoles (humo,polvo en suspensión, etc). En este caso, la atenuación producida en el haz de luz transmi-tido obedece a expresiones heurísticas dependientes de la longitud de onda óptica, aunquecon un peso cada vez menor cuanto peores sean las condiciones de visibilidad del enlace,según se señala en [5].

2.1.3 Dispersión no selectiva

Este tipo de dispersión se origina cuando todas las longitudes de onda son dispersadasmás o menos con la misma intensidad, esto es, el factor de atenuación que sufre el haz deluz transmitido es el mismo independientemente de la frecuencia óptica que lo caracterice.Nuevamente, la magnitud de tal atenuación viene directamente relacionada con la visibi-lidad, para los casos de niebla por advección y niebla por convección; y por la intensidad

13


de lluvia o nieve en el caso en el que se produzcan tales fenómenos meteorológicos. Lasexpresiones exactas pueden consultarse en [6] y [7].

2.1.4 Efecto de la luz solar

Uno de los aspectos que se debe cuidar en el diseño de enlaces ópticos atmosféricoses minimizar el impacto de la luz solar sobre el receptor. El problema es realmente seriocuando la posición del Sol está en paralelo al enlace óptico. En esta situación, la altaintensidad de luz solar que penetra dentro del campo de visión del receptor puede llegara cegarlo. Afortunadamente, el problema suele mitigarse eligiendo adecuadamente unemplazamiento que asegure que el Sol queda siempre fuera del eje óptico que forman elconjunto transmisor-receptor.

2.1.5 Turbulencia atmosférica

Este fenómeno surge por la diferencia de temperatura entre la superficie terrestre yel aire, provocando un intercambio de calor. Dado que el índice de refracción del airecambia con la temperatura, entre otros factores, el intercambio de calor puede inducir aque las partículas atmosféricas adquieran una energía de rotación apreciable, provocandocambios de trayectoria en ellas. Como consecuencia de esos cambios, las partículas chocany cambian de rumbo erráticamente. Este efecto se propagará por la atmósfera favoreciendola formación de masas locales de aire inestables denominadas vórtices, inhomogeneidades,remolinos o torbellinos de turbulencia. Cada torbellino se asume que tiene un índice derefracción diferente al de sus vecinos. Por lo tanto, estas variaciones locales del índicede refracción que se observan al pasar de unos remolinos a otros ocasionan fenómenos dedesenfoque-reenfoque o provocan una curvatura en el haz óptico que se esté propagandopor la atmósfera. El resultado final es la aparición de una serie de desvanecimientos, máso menos profundos, que se producen en la señal óptica captada en función de la intensidadque caracterice al fenómeno turbulento, y que se conoce como centelleo atmosférico. Elefecto es más acusado cuando se consideran receptores puntuales, esto es, con un tamañode apertura, D, menor que la longitud de correlación de las fluctuaciones de intensidad,denotada como d0, tal y como se verá más adelante. Es precisamente a este fenómeno delcentelleo atmosférico al que se le dedica gran parte del trabajo desarrollado en esta TesisDoctoral, siendo la finalidad principal poder extraer un algoritmo adecuado que modele sucomportamiento. Una vez conseguido este algoritmo, se puede incorporar posteriormentea un eventual modelo de simulación numérica que permita el diseño eficiente de técnicas decomunicación a través de la atmósfera turbulenta, evaluando las prestaciones que de ellasse extraigan. Ya que no siempre es posible satisfacer la condición D > d0, se considera,a lo largo de toda esta Tesis Doctoral, un escenario en el que el tamaño de apertura delreceptor es menor a la longitud de correlación, d0, y, por tanto, donde el impacto delcentelleo atmosférico sobre las prestaciones del sistema se hace más notable.

14

2.2. CARACTERIZACIÓN DE LA ATMÓSFERA TURBULENTA

2.2 Caracterización de la atmósfera turbulenta

Tal y como se ha señalado en el punto anterior, cuando un haz óptico se propaga através del fluido atmosférico, su campo de luz es absorbido y dispersado por las partículasde tamaño variable que forman la atmósfera. Esto se traduce en una pérdida de energíadel haz que se está propagando.

Pese a todo, y en consonancia con lo ya adelantado en la sección 2.1.5, los efectosópticos más graves en la propagación del haz de luz son los que producen las pequeñasvariaciones de presión y temperatura que se registran en la atmósfera, y que se traducenen fluctuaciones del índice de refracción atmosférico, n. Así, cuando un flujo de fluidoviscoso1 -léase la atmósfera- excede un valor crítico del parámetro denominado número deReynolds2 [8, 9], el flujo cambia de un régimen inicial laminar a un estado más caóticodenominado turbulencia. Existen varias teorías sobre el origen de la turbulencia aunque lateoría de la estabilidad de los flujos laminares parece ser la más aceptada. El movimientode un fluido puede satisfacer todas las ecuaciones del movimiento y, sin embargo, serinestable, esto es, las características del flujo experimentarían cambios irreversibles cuandose introdujese una perturbación.

Si se parte de un estado inicial laminar y, por efecto de una perturbación (por ejemploel mecanismo convectivo que se activa cuando el Sol calienta el suelo), o bien simplementepor la propia estructuración en capas que conforma el fluido atmosférico, cada una trans-portando las partículas a una velocidad diferente debido a las condiciones reinantes depresión y temperatura; sea como fuere, si entre dos partículas en movimiento existe gra-diente de velocidad, es decir, que una se mueve más rápido que la otra, se desarrollaránfuerzas de fricción que actúan tangencialmente a las mismas. Las fuerzas de fricción tratande introducir rotación entre las partículas en movimiento, pero simultáneamente la vis-cosidad trata de impedir la rotación. Dependiendo del valor relativo de estas fuerzas sepueden producir diferentes estados de flujo. Cuando el gradiente de velocidad es bajo, lafuerza de inercia es mayor que la de fricción; por tanto las partículas se desplazan pero norotan, o bien lo hacen con muy poca energía. El resultado final es un movimiento en elcuál las partículas siguen trayectorias definidas. Este tipo de flujo se denomina laminar,queriendo significar con ello que las partículas se desplazan en forma de capas o láminas.Al aumentar el gradiente de velocidad, por ejemplo, por un contraste térmico o de presión,se incrementa la fricción entre partículas vecinas al fluido y éstas adquieren una energía derotación apreciable. La viscosidad pierde su efecto y, debido a la rotación, las partículascambian de trayectoria. Al cambiar de trayectoria, las partículas chocan entre sí y cambiande rumbo de forma errática, facilitándose la propagación del efecto a todo el fluido. En esos

1La viscosidad de un fluido es una propiedad molecular que mide la resistencia interna del fluido a ladeformación.

2Fija el tránsito de régimen laminar al turbulento en el paso de un fluido por un tubo (considerando elcanal atmosférico como un tubo), siendo proporcional a la densidad, a la velocidad del flujo que se desplazapor el tubo y al diámetro del tubo e inversamente proporcional al coeficiente de viscosidad dinámica

15


choques, las partículas pueden perder energía cinética y generar calor. Este tipo de flujo sedenomina turbulento. La turbulencia finalmente es eliminada por la fuerza de viscosidaden un proceso denominado disipación. La disipación es irreversible y transforma la energíacinética del movimiento en calor.

2.2.1 Teoría de cascadas de turbulencia

Las variaciones de temperatura, presión y humedad, íntimamente ligadas a su vezcon las fluctuaciones de la velocidad del viento, permiten la creación de masas de aireinestables que, eventualmente, pueden descomponerse en vórtices o células turbulentasde diferentes tamaños, dando comienzo al proceso turbulento tal y como se ha explicadoanteriormente. La masa de aire turbulento está compuesta por un conjunto de vórticesde diferentes tamaños donde se asume que cada vórtice es homogéneo, aunque con uníndice de refracción diferente al de sus vecinos. Los tamaños de estos vórtices, tambiéndenominados torbellinos, están comprendidos entre un tamaño máximo, L0, denominadomacroescala de la turbulencia, que hace referencia a la escala característica de los vórticesde mayor tamaño; y un tamaño mínimo, denotado como l0 o microescala de la turbulencia,correspondiente a los vórtices que tengan el menor tamaño.

La macroescala de una turbulencia, L0, representa el tamaño de la inhomogeneidadatmosférica inmediatamente más pequeño que aquél en el que se inicia la inyección deenergía turbulenta en el sistema [10]. El valor de esta magnitud crece linealmente conformese aumenta la altura del punto de observación sobre tierra, manteniéndose esa linealidadhasta los 100 metros. Por su parte, la microescala de la turbulencia, l0, representa eltamaño de la célula turbulenta más pequeña que se puede formar justo antes de que laenergía contenida en tal microcélula sea totalmente disipada en calor por acción de lasfuerzas de viscosidad. La microescala de la turbulencia es del orden de milímetros encapas cercanas a la superficie terrestre, y crece hasta tener dimensiones de centímetros enlas capas más altas de la atmósfera. Bajo la influencia de fuerzas inerciales, los vórticesmás grandes se descomponen en otros más pequeños, conformando una cascada de tamañosdecrecientes entre L0 y l0, conocido como el subrango inercial (Figura 2.1).

Ésta es la teoría clásica o teoría de cascadas de turbulencias, tal y como fue ideada porRichardson y descrita por Kolmogorov [11], con el propósito de evitar la enorme dificultadque concierne al uso de las ecuaciones de Navier-Stokes que gobiernan el comportamiento deun fluido turbulento. En la teoría de Kolmogorov, la energía que se introduce al comienzodel proceso turbulento va siendo transportada a torbellinos cada vez más pequeños hastaque, cuando el número de Reynolds alcanza un valor cercano a la unidad, la energía que sedisipa en forma de calor se iguala a la energía cinética que suministra el flujo turbulentode procedencia. Esta energía que se inyecta al sistema es consecuencia del movimiento delas masas de aire por variaciones de presión y temperatura. Cuando esto sucede, comose ha comentado, el tamaño de la célula turbulenta de procedencia es tomado como la

16

2.2. CARACTERIZACIÓN DE LA ATMÓSFERA TURBULENTA

INYEC

CIÓ

N

DE

ENER

GÍA

TRANSFERENCIADE ENERGÍA

DISIPAC

IÓN

L0

l0

Figura 2.1: Cascadas de turbulencias propuesta por Kolmogorov, donde L0 y l0 indican lostamaños de escala límite entre los que están comprendidos las células turbulentas que intervienenen la transferencia de energía turbulenta. El proceso representado en esta figura asume un ejevertical de tiempos para un punto concreto del espacio.

microescala de la turbulencia, l0. Se verifica, además, que una vez que el sistema alcanzaun estado estacionario, la tasa ε de disipación de energía cinética (en unidades de m2/s3)coincide con la tasa de producción de energía turbulenta. Este parámetro ε se volverá atratar en esta Tesis Doctoral en el Capítulo 5.

Sin embargo, esta teoría clásica sólo tiene en cuenta la velocidad del viento comoorigen de las fluctuaciones. Hoy se sabe que también influyen en el proceso otros factorestales como la temperatura, el vapor de agua o el índice de refracción [12]. De todasellas, son las fluctuaciones del índice de refracción las que más afectan en la propagaciónóptica; así, una señal óptica que viaje a través del conjunto de células turbulentas que hanpodido desarrollarse en la atmósfera, observa microvariaciones en el índice de refracción,ya que cada célula turbulenta posee un índice de refracción, en general, diferente al de susvecinas. Este hecho provoca fluctuaciones en la irradiancia de la señal óptica trasmitidaa través del canal atmosférico. Es a estas fluctuaciones de la irradiancia a lo que sedenomina centelleo atmosférico o scintillation en la literatura anglosajona. En las regionesdel espectro visible y del infrarrojo cercano, estas variaciones del índice de refracción soncausadas casi exclusivamente por microvariaciones de temperatura. En las regiones delinfrarrojo más alejadas del visible también contribuirán las microvariaciones de humedadque se registren en la atmósfera.

17


2.3 Parámetros que caracterizan el centelleo atmosférico

El efecto de la turbulencia atmosférica sobre las frecuencias ópticas puede ser carac-terizado por tres parámetros: los ya mencionados de microescala, l0, y macroescala, L0,de la turbulencia, el parámetro de estructura de las fluctuaciones del índice de refracciónatmosférico, C2

n, que da una medida de la fortaleza de la turbulencia desde el punto devista óptico; y el parámetro de Fried, r0, que representa una medida de la longitud de lacoherencia inherente a la propia atmósfera.

2.3.1 Macroescala, L0, y microescala, l0, de la turbulencia

Los parámetros que hacen referencia a los tamaños de escala mayor y menor (L0 y l0)que caracterizan la turbulencia dentro de lo que se denomina el subrango inercial, tienentambién una dependencia con la altitud [13]. Los valores típicos suelen oscilar entre los10 m para L0 y los 3 mm para l0, a una altura, h, de 30 metros, estando ampliamenteaceptado aproximar la macroescala por la expresión L0 ∼ h

2 [12]. Sin embargo, en [14] serecogen las expresiones dadas por Fried para ambas magnitudes:

l0 = (10−9h)1/3, l0 & 2mm, (2.1)

L0 = (4h)1/2; (2.2)

donde l0, L0 y h deben expresarse en metros. Dependiendo del tamaño de escala dominante,así como del diámetro del haz que se esté propagando, se pueden identificar dos casosextremos que conllevan efectos diferentes: por un lado, el conocido como la deriva estáticadel haz o beam wander ; y de otro, fenómenos de difracción y refracción.

En concreto, las células turbulentas de mayor tamaño actúan como lentes refractivascon distancias focales del orden de varios centenares de metros dando origen, por ejemplo,a la oscilación que sufriría todo el centroide del haz transmitido respecto a la direccióninicial transmitida (la mencionada deriva estática del haz). Por el contrario, las célulasturbulentas de menor tamaño son las responsables de los efectos difractivos que afectan alfrente de onda que interactúa con ellas. Ambos efectos, refractivo y difractivo, se combinanen un mecanismo compuesto por medio del cual, el esparcimiento total que sufre el haz deluz transmitido puede verse como un proceso en el que las fluctuaciones de irradiancia agran escala originadas por las células turbulentas de mayor tamaño se ven moduladas porlas fluctuaciones a pequeña escala inducidas por las células de menor tamaño.

18

2.3. PARÁMETROS QUE CARACTERIZAN EL CENTELLEO ATMOSFÉRICO

2.3.2 El parámetro de estructura del índice de refracción, C2n

El comportamiento de la capa más superficial de la atmósfera presenta una acusadavariación diurna; durante las horas de Sol se caracteriza por un gradiente superadiabático3,un decrecimiento de la humedad con la altura y un gran viento de cizalla. Además, laturbulencia es de carácter térmico y mecánico. Por la noche, la capa superficial atmosféricase caracteriza por una fuerte estabilidad que impide los movimientos verticales de laspartículas de aire, mostrando generalmente una turbulencia de carácter mecánico. Estavariabilidad en el comportamiento físico de la atmósfera se ve traducida en cambios delíndice de refracción, como ya se ha mencionado. Precisamente, el parámetro de estructura,C2

n, es el encargado de caracterizar la intensidad que adquieren esas fluctuaciones del índicede refracción atmosférico. Por lo tanto, C2

n informa directamente de la intensidad que tieneel proceso turbulento en cada momento.

Debido a la variabilidad del fluido atmosférico turbulento con multitud de factores,la magnitud final de C2

n viene determinada por las coordenadas geográficas en las que seemplace el enlace óptico atmosférico, por la altura a la que se sitúen los transceptores, porla velocidad del viento que impere en un momento dado, así como por la hora del día ala que se realice la comunicación e incluso también por la época del año en la que se estétransmitiendo.

En [14] se presentaron unas medidas tabuladas para un camino de propagación hori-zontal a una altura de 30 metros sobre tierra en un período de 48 horas, y que son recogidasen la Tabla 2.1. Se puede estimar el valor de C2

n para las restantes doce horas del día sinmás que asumir una simetría especular alrededor de las 12:00 del mediodía. Se observacómo el valor de la intensidad de la turbulencia es máximo para las horas centrales del día;en tal situación, el suelo se calienta rápidamente por la acción solar y favorece la apariciónde corrientes convectivas de aire, lo que propicia la mezcla de masas de aire a diferentetemperatura.

Valores típicos de C2n típicamente oscilan entre 10−17 m−2/3 o incluso menos para

condiciones de turbulencia extremadamente débil; y en el extremo opuesto, C2n puede

superar los valores de 10−13 - 10−12 m−2/3 cuando se está en un régimen de turbulenciafuerte [10]. Bajo intervalos no muy prolongados en el tiempo y en escenarios en los quela propagación es horizontal, es habitual considerar que el parámetro de estructura delíndice de refracción mantiene un valor constante. Sin embargo, y tal y como se muestra enla Figura 2.2, un camino de propagación que conlleve una cierta inclinación en la verticalrequiere una variación con la altura, h, del parámetro anterior C2

n(h), que permita describirde forma más exacta la variación de la fortaleza de la turbulencia sobre las señales ópticas.

3Se dice de la transformación termodinámica caracterizada por un aumento del contraste térmico entrela capa de aire en contacto con el suelo y las que la circundan, lo que refuerza el ascenso de las masas deaire, siendo superior a los valores adiabáticos, esto es, a aquellos valores que experimentaría un sistema sinque haya intercambio de calor con otros.

19


Tabla 2.1: C2n vs. hora del día [14]

Hora del día C2n (m−2/3)

12 : 00 1.4××× 10−14

13 : 00 1.4××× 10−13

14 : 00 4.9××× 10−13

15 : 00 9.0××× 10−14

16 : 00 2.0××× 10−14

17 : 00 4.0××× 10−15

18 : 00 4.0××× 10−16

19 : 00 small20 : 00 2.0××× 10−16

21 : 00 1.0××× 10−15

22 : 00 2.0××× 10−15

23 : 00 3.0××× 10−15

00 : 00 6.0××× 10−15 Figura 2.2: Variabilidad del parámetro C2n con la al-

tura [2].

Más en concreto, se espera que C2n decremente su valor conforme aumente la altura por

depender de manera directa de la presión atmosférica [28].

2.3.3 Longitud de correlación de las fluctuaciones de intensidad e hipóte-sis de la turbulencia congelada

El parámetro de Fried o radio de coherencia espacial, denotado como r0, da una medidade la longitud de coherencia atmosférica4 y es de gran importancia en la descripción dela calidad de la onda que se propaga por la atmósfera turbulenta. Este parámetro deFried [2, 8, 12, 15, 16, 17] se ajusta a la siguiente expresión:

r0 =

[2.916.88

k2(cos γ)−1

∫ ∞

0C2

n(x)dx

]−3/5

, (2.3)

siendo γ el ángulo cenital de la trayectoria del haz, mientras que k = 2π/λ es el númerode onda de la radiación óptica. Se le pueden dar varias interpretaciones físicas a dichoparámetro: así, se puede entender cómo el diámetro que define un área del frente de ondasobre el cual las variaciones de fase eficaz (rms) debido a la turbulencia atmosférica soniguales a un radián. Sin embargo y a efectos prácticos, la interpretación que más puedeinteresar para el desarrollo de este trabajo es la de considerar al parámetro de Fried comouna medida de la longitud de la coherencia atmosférica [8, 18], esto es, el diámetro en elque apenas se van a producir variaciones significativas del índice de refracción atmosférico.

Muy relacionado con el parámetro anterior aparece la magnitud que define la longitudde correlación de las fluctuaciones de intensidad, denotada como d0, y cuya dependencia

4No confundir con la coherencia espacial inherente al frente de onda que se propaga.

20

2.3. PARÁMETROS QUE CARACTERIZAN EL CENTELLEO ATMOSFÉRICO

con el parámetro de Fried viene establecida por la relación d0 = r0/2.1, tal y como se indicaen [12]. A lo largo de toda esta Tesis Doctoral se asume que siempre se está trabajandocon un frente de onda plano, salvo que expresamente se indique lo contrario. Por tanto, apartir de la ecuación (2.3), se puede obtener la expresión de la longitud de correlación, d0,simplificada para una onda plana:

d0 =[1.45k2

∫ L

0C2

n(x)dx

]−3/5

, (2.4)

tal y como se indica en [19], donde γ se ha establecido a cero radianes, correspondientea un enlace horizontal, siendo L la longitud del vano óptico. Asimismo, esta longitudde correlación de las fluctuaciones de intensidad puede ser expresada de una forma máscompacta si la distancia de propagación, L, satisface la condición l0 <

√(λL) < L0

[18, 20, 21, 22]; en tal caso,

d0 '√

(λL). (2.5)

Esta aproximación es perfectamente asumida en la mayoría de los sistemas de comuni-caciones ópticas en espacio libre que operen con láseres de longitudes de onda pertenecientesal visible o al infrarrojo; y con distancias de propagación comprendidas entre unos pocoscientos de metros y unos pocos kilómetros.

Comportamiento temporal e hipótesis de Taylor

Con el fin de convertir los estadísticos espaciales en estadísticos temporales y, en par-ticular, encontrar el factor homólogo de la longitud de correlación espacial, d0, pero en eldominio del tiempo, el denominado como tiempo de coherencia, τ0, se acepta una nuevahipótesis: la del modelo de turbulencia congelada (frozen-in) [20, 23, 24]. Esta hipóte-sis indica, básicamente, que para determinar las variaciones temporales de la irradianciade la señal recibida, sólo debe considerarse la componente de la velocidad de estas nohomogeneidades perpendicular al camino de propagación de la onda óptica transmitida.Se asume que todas estas no homogeneidades, remolinos o células turbulentas, se estánmoviendo en la misma dirección y con la misma constante de velocidad transversal, u⊥,al camino de propagación. Dicho de otra manera, cada conjunto de remolinos turbulentospermanecerá congelado en relación con cualquier otro conjunto, mantieniéndose constanteen su interior las distancias relativas entre los distintos remolinos. Sin embargo, el totalde células turbulentas se mueven al unísono en alguna dirección establecida por el viento.Así, las fluctuaciones temporales que experimente el índice de refracción sólo son conse-cuencia de los desplazamientos espaciales que sufra el conjunto de remolinos que forman

21


la atmósfera turbulenta [25, 26].

La razón que sustenta, de forma cualitativa, el hecho de que sea la componente delviento en sentido perpendicular a la dirección de propagación óptica la que mayoritaria-mente influya en la fluctuación temporal de potencia captada en un receptor se justificaporque, si sólo se considerara un desplazamiento en el sentido de propagación del hazóptico, las fluctuaciones del índice de refracción que sufriría el haz de luz transmitido es-tarían muy suavizadas, pues la velocidad de transmisión es muy superior a la velocidad dedesplazamiento de las células turbulentas.

Además, la hipótesis de turbulencia congelada asume igualmente un tiempo de vida delas células turbulentas atmosféricas muy elevado o, al menos, lo suficientemente duraderocomo para que una célula turbulenta, cuyo diámetro espacial típico es de

√λL, no cambie

apreciablemente de forma física dentro del tiempo requerido para que las inhomogeneidadesse desplacen esa distancia

√λL [27]. Como la dirección de desplazamiento que de una

forma predominante va a influir en las fluctuaciones de irradiancia es la perpendicular alsentido de propagación óptico, entonces el tiempo empleado por las células turbulentas endesplazarse la distancia

√λL es:

τ0 =d0

u⊥. (2.6)

La expresión anterior es precisamente la definición del tiempo de correlación de lasfluctuaciones de intensidad. Tatarskii [20] ya mostró que esta condición se cumple cuando√

(λL) ¿ L0. Curiosamente, la suposición de la hipótesis de la turbulencia congelada,unida a la necesidad inherente de considerar elevados tiempos de vida para cada una delas células turbulentas con relación a la magnitud τ0 (de forma práctica, se considera queel conjunto de células se mantiene indefinidamente en el tiempo, variando únicamente laposición del conjunto a la velocidad impuesta por u⊥), permite que, matemáticamente, sepueda expresar esta hipótesis como [27]:

n(r, t + τ) = n(r− u⊥τ, t), (2.7)

siendo n el índice de refracción atmosférico característico a una posición determinada, r,en el espacio transversal al punto de observación, mientras que t es un instante temporalconcreto. Puesto que las fluctuaciones de irradiancia observadas en el receptor están direc-tamente relacionadas con las microvariaciones del índice de refracción atmosférico, a partirde la expresión (2.7) es inmediato deducir que las fluctuaciones de potencia que recibaun receptor en un instante determinado van a ser idénticas a las que reciba un segundoreceptor separado del primero una distancia d tras un intervalo de tiempo d/u⊥.

22

2.4. DISCUSIÓN DE LA TEORÍA DE KOLMOGOROV

2.4 Discusión de la teoría de Kolmogorov

Como ya se ha presentado, el fenómeno de la turbulencia atmosférica depende princi-palmente de las microvariaciones en el índice de refracción. Estas variaciones del índice derefracción a su vez son el resultado de pequeñas fluctuaciones en las condiciones de presión,temperatura y humedad que imperen en cada momento. Analíticamente, se ha conseguidoobtener la siguiente expresión compacta del índice de refracción [19, 29, 30] para la regiónde frecuencias pertenecientes al infrarrojo:

n(r) ' 1 + 79P (r)T (r)

(1− 7733

H(r)T (r)

)· 10−6. (2.8)

En este caso, P es la presión atmosférica expresada en milibares, T es la temperatura(oK) y H es la humedad específica, medida en gm−3, medidas para cualquier posición delespacio r. Físicamente, ya se ha mencionado que la constante de estructura C2

n es unamedida de la fortaleza de las fluctuaciones acaecidas en el índice de refracción, y su valorse obtiene a partir del valor cuadrático del diferencial del índice de refracción [20, 31].Para el escenario de interés en esta Tesis Doctoral, esto es, una propagación horizontal ocasi horizontal establecida dentro de la troposfera atmosférica, los efectos relacionados concambios de presión y humedad pueden ser despreciados. Así, dos puntos del enlace, a lamisma altura sobre el suelo, tienen sobre sí una misma columna de aire y, por lo tanto, seven sometidos a un mismo valor de presión. El diferencial de presión en este caso tiendea cero. Además, para el rango de frecuencias ópticas, la humedad prácticamente no tieneincidencia en la magnitud que tome el índice de refracción. Así, el diferencial de (2.8)responde a:

δn(r) = −79 · 10−6 P (r)T 2(r)

δT (r). (2.9)

Consecuentemente, el parámetro de estructura puede escribirse como:

C2n(r) =

(79 · 10−6 P (r)

T 2(r)

)C2

T (r), (2.10)

siendo C2T el parámetro de estructura de la temperatura, medido también en m−2/3 y ex-

presado como la diferencia del valor cuadrático de la temperatura registrada en dos puntosdel espacio, T1 y T2, separados por el vector de posición espacial r [32]. Matemáticamente,

C2T (r) = E

[(T1 − T2)2

]r−2/3, (2.11)

23


donde las temperaturas T1 y T2 deben estar en grados Kelvin. Es, además, habitualadmitir la consideración de que la atmósfera puede comportarse como un medio localmentehomogéneo e isotrópico por lo que, de acuerdo con [32], el índice de refracción exhibe uncomportamiento del tipo:

n(r) = n0 + n1(r); n0 = E[n(r)] ∼= 1. (2.12)

tal y como queda reflejado en [33]. En este caso, n0∼= 1 hace referencia al valor medio del

índice de refracción, mientras que n1(r) ¿ 1 es la fluctuación alrededor del valor medio,donde E[n1(r)] = 0. Se realizan ahora las siguientes dos aproximaciones: admitir la consi-deración de que la atmósfera puede comportarse como un medio localmente homogéneo ylocalmente isotrópico. La primera consideración implica que los estadísticos sólo dependendel vector de distancia entre dos puntos cualesquiera del espacio, r = r2 − r1; mientrasque la hipótesis de isotropía local permite que las funciones estadísticas que caracterizan elproceso aleatorio turbulento sólo dependan de la magnitud del vector de distancia, r = |r|y no de su dirección [14].

La simplificación de homogeneidad estadística es sinónimo de estacionariedad espacial.Realmente, la atmósfera es un medio notablemente no-estacionario, esto es, las fluctua-ciones del índice de refracción varían no sólo con el tiempo, sino también en función de laposición que se considere. Sin embargo, y en una primera aproximación que ofrece resulta-dos suficientemente aceptables, se le asume a la atmósfera un comportamiento estacionarioo, cuanto menos, que ese comportamiento estacionario se pueda aplicar a la diferencia delas fluctuaciones del índice de refracción en dos puntos del espacio diferentes, n(r1)− n(r2),aunque se conozca que el proceso aleatorio que representa al índice de refracción no lo seaen sentido estricto. Sabiendo que resulta más útil definir una función de estructura paradescribir a cualquier proceso aleatorio que esté sujeto a la consideración de estacionarie-dad [34], la función de estructura que define el proceso aleatorio de las fluctuaciones delíndice de refracción, Dn, teniendo en cuenta las simplificaciones expuestas queda finalmentedefinida como [27]:

Dn(r) = E

[(n(r1)− n(r1 + r)

)2]= 2

[Bn(0)−Bn(r)

], (2.13)

donde, tal y como se expresa en la relación anterior, la función de estructura y la funciónde covarianza, Bn(r), aparecen directamente relacionadas. Como ya se ha indicado conanterioridad, la función de estructura sólo depende de la diferencia en magnitud, r, exis-tente entre dos posiciones del espacio. Kolmogorov encontró que esta dependencia seguíael comportamiento r2/3 dentro del subrango inercial, de donde enunció su ley de potencia

24


de dos tercios que puede expresarse como:

Dn(r) = C2nr2/3, l0 ¿ r ¿ L0. (2.14)

Realmente, Kolmogorov encontró esta ley de dos tercios aplicada a las fluctuaciones develocidad en el flujo turbulento. Sin embargo, su idea puede aplicarse a cualquier variableque sea aditiva, pasiva y conservativa [20] y, en este caso, se demuestra en [27] que el índicede refracción cumple con esa particularidad.

Con el objetivo de poder cuantificar la influencia que ejercen los distintos tamañosde las células turbulentas sobre el índice de refracción atmosférico, es posible calcularla densidad espectral de potencia de las fluctuaciones del índice de refracción, Φn(κ).Se puede aplicar un procedimiento análogo a cuando se realiza la caracterización en eldominio de la frecuencia de una señal eléctrica variante en el tiempo ya que, de acuerdo con(2.13), la función de estructura y la función de covarianza están íntimamente relacionadas.Imponiendo las condiciones de homogeneidad e isotropía al medio turbulento, se obtiene ladensidad espectral deseada efectuando la transformada de Fourier espacial tridimensionala la función de covarianza [20], de la forma:

Φn(κ) =1

(2π)3

∫∫∫ ∞

−∞Bn(r) exp

(−jκr)d3r, (2.15)

siendo κ el vector del número de onda espacial y r la posición en el espacio. Sin embargo,resulta analíticamente más sencillo manipular un poco más la función de covarianza antesde realizar el cambio de dominio. Así, la transformada inversa de Fourier de (2.15) seobtiene como:

Bn(r) =∫∫∫ ∞

−∞Φn(κ) exp

(jκr

)d3κ. (2.16)

Imponiendo ahora la condición de isotropía que ya se ha discutido anteriormente, lo quematemáticamente permite trabajar con el desplazamiento r = |r| = (r2

x + r2y + r2

z)1/2 y con

el número de onda escalar κ = |κ| = (κ2x + κ2

y + κ2z)

1/2; utilizando coordenadas esféricas,κ = (κ, θ, φ) y d3κ = κ2 sin θdθdφdκ, e integrando sobre las coordenadas angulares, sepuede obtener:

Bn(r) =4π

r

∫ ∞

0Φn(κ) sin

(κr

)κdκ, (2.17)

tal y como se recoge en [10]. A partir de este punto y, conociendo la relación entre lafunción de estructura y la función de covarianza, Dn(r) = 2

[Bn(0)−Bn(r)

], se persigue

25


obtener una expresión de Dn(r) en función de Φn(κ). Para ello, según se indica en [20],se efectúa el límite de la expresión (2.17) cuando r → 0 de forma que tanto Bn(r) comoBn(0) dependan de la densidad espectral, Φn(κ), que se desea obtener. Procediendo así,se consigue finalmente relacionar Dn(r) y Φn(κ):

Dn(r) = 8π

∫ ∞

0Φn(κ)

[1− sin

(κr

)

κr

]κ2dκ. (2.18)

Por último, la inversión de la expresión anterior no se consigue de una forma taninmediata como puede ser aplicando directamente la definición de la transformada deFourier; no obstante, es posible calcular la expresión de la densidad espectral de potenciaen términos de la derivada de la función de estructura, tal y como se detalla en [34],resultando:

Φn(κ) =1

4π2κ2

∫ ∞

0

sin(κr

)

κr

d

dr

[r2 d

drDn(r)

]dr. (2.19)

Sustituyendo ahora en la expresión anterior la ley de dos tercios de Kolmogorov dadaen la ecuación (2.14) y operando, se consigue expresar (2.19) como:

Φn(κ) =5

18πκ3C2

n

∫ L0

l0

sin(κr

)

r1/3dr. (2.20)

Aunque (2.14) sólo es estrictamente válida en el subrango inercial, esto es, la regiónatmosférica en la que se está produciendo el cascadeo de las células turbulentas, se puedenrealizar aproximaciones que simplifiquen los cálculos; se puede asumir que la macroescalade la turbulencia, L0, es tan grande que su valor tiende a infinito; y análogamente se puedeaproximar la microescala de la turbulencia, l0, por un valor casi despreciable [25]. De estaforma, resolviendo la integral de la expresión anterior (2.20), se obtiene:

Φn(κ) = 0.033C2nκ−11/3, 1/L0 ¿ κ ¿ 1/l0. (2.21)

La expresión obtenida es conocida como el espectro clásico de Kolmogorov y es am-pliamente utilizada para realizar cálculos analíticos por su expresión matemática sencillay compacta. Sin embargo, el espectro de Kolmogorov sólo tiene validez dentro del sub-rango inercial. Como se ha visto, puede justificarse su utilización para cualquier valor delnúmero de onda si se ignoran los efectos de la macroescala y la microescala de la turbu-lencia, esto es, se asume que el tamaño de la macroescala de la turbulencia es infinito yel de la microescala de la turbulencia es cero. Afortunadamente, se han propuesto otrosmodelos cuando no es posible ignorar tales efectos. Por ejemplo, Tatarskii [20] extiende

26


la validez del modelo al subrango de disipación κ > 1/l0, añadiendo a (2.21) una funciónque, esencialmente, trunca el espectro para valores elevados del número de onda. De estaforma, surge el espectro de Tatarskii sin más que añadir un factor de variación gaussianoal espectro de Kolmogorov:

Φn(κ) = 0.033C2nκ−11/3 exp

(−

[κl05.92

]2), κ À 1

L0. (2.22)

Como se aprecia, el modelo de Tatarskii añade una frecuencia de corte para númerosde onda espaciales altos. Aún así, comparte con el modelo de Kolmogorov una limitación:para el caso límite de 1/L0 = 0, ambos modelos sufren una singularidad en κ = 0. Estehecho significa que, si bien la función de estructura, Dn(r), existe, sin embargo no ocurrelo mismo con la función de covarianza. Aún así, para los valores de κ < 1/L0 no semantiene la condición de homogeneidad e isotropía local en la atmósfera turbulenta y, portanto, no se sostiene la relación dada en (2.22). Se hace necesario modificar el espectrode Tatarskii de forma que siga siendo isotrópico, incluso para valores de κ < 1/L0. Surgeasí la modificación propuesta por von Karman [27, 35], quién incluyó los efectos de unamicroescala y una macroescala de la turbulencia finitas. De esta forma, el espectro quedóexpresado como:

Φn(κ) =0.033C2

n(κ2 + L−2

0

)11/6exp

(−

[κl05.92

]2), 0 ≤ κ < ∞. (2.23)

Estrictamente hablando, los modelos anteriores únicamente exhiben el comporta-miento correcto en el interior del subrango inercial. Esto es, la expresión analítica quepermite su utilización fuera del subrango inercial únicamente está basado en una conve-niencia matemática, pero no se ajusta a ningún modelo físico. Ninguno de los modelosexpuestos exhibe correctamente el repentino aumento que se produce para altos númerosde onda cercanos a 1/l0. Este repentino aumento se constató en las mediciones realizadaspara la temperatura [36], debido a que la energía turbulenta no se vuelve a redistribuirhacia otros torbellinos más pequeños, sino que l0 marca el tamaño límite a partir del cual,la energía contenida en una célula turbulenta se termina disipando en calor por efecto de laviscosidad del fluido. Además, ese incremento de temperatura se traduce en un incrementodel índice de refracción en las mismas longitudes de onda, ya que ambas magnitudes estándirectamente relacionadas.

Fueron los trabajos desarrollados por Hill [37, 38] los que permitieron mostrar unmodelo espectral numérico basado en un análisis hidrodinámico que encajaba fielmente conlos datos experimentales obtenidos en [36]. Puesto que el modelo de Hill está desarrolladomediante una ecuación diferencial de segundo orden que debe resolverse numéricamente,

27


lo que en muchas ocasiones no resulta práctico, se han realizado esfuerzos por encontraralguna expresión analítica que recoja el comportamiento implícito en el modelo de Hill.Una de estas aproximaciones analíticas es el denominado modelo del espectro atmosféricomodificado, indicado en [10] mediante la ecuación:

Φn(κ) = 0.033C2n

exp(−[

κl0/3.3]2)

(κ2 + L−2

0

)11/6

[1 + 1.802

(κl03.3

)− 0.254

(κl03.3

)7/6], 0 ≤ κ < ∞.

(2.24)

Como se aprecia, el espectro atmosférico modificado tiene una expresión analítica si-milar a (2.23), salvo la función polinómica que aparece entre corchetes y que caracteriza elparticular comportamiento de los números de onda cercanos a 1/l0. En la Figura 2.3.(a)se puede apreciar la diferencia en comportamiento de cada uno de los espectros tratados,para L0 = 10 m y l0 = 1 cm. Lógicamente, se aprecia cómo las células turbulentas demayor tamaño (valores de κ más pequeños) concentran una mayor energía turbulenta.

10−2

10−1

100

101

102

103

10−15

10−10

10−5

100

105

Φn(κ

)/C

n2

κ (m−1)

Espectro de KolmogorovEspectro de von KarmanEspectro atmosferico modificado

L0=10 m l

0=1 cm

(a)

100

101

102

103

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

κ (m−1)

κ11/3

Φn(κ

)/C

n2

Espectro de KolmogorovEspectro de von KarmanEspectro atmosferico modificado

L0→ ∞

(b)

Figura 2.3: (a) Comparativa de los modelos espectrales de Kolmogorov, Tatarskii y von Kar-man. (b) Modelado del efecto del repentino aumento del índice de refracción en números de ondapróximos a 1/l0 por parte de los tres espectros anteriores.

La inclusión del aumento de valor de la densidad espectral de potencia de las fluc-tuaciones del índice de refracción que se produce para altos números de onda cercanos a1/l0 por parte de los espectros de Tatarskii y Hill, este último mediante la aproximaciónanalítica del espectro atmosférico modificado, se recoge en la Figura 2.3.(b) donde, con elfin de enfatizar más este efecto, se ha utilizado un valor de L0 →∞.

28

2.5. PROPAGACIÓN A TRAVÉS DE UN MEDIO TURBULENTO

2.5 Propagación a través de un medio turbulento

Conocido el comportamiento de la atmósfera a través de su densidad espectral depotencia, hay que preguntarse ahora cómo afecta esa dinámica atmosférica a la intensi-dad de potencia que llega a un hipotético receptor separado una distancia L del trans-misor. Históricamente, la primera aproximación que se propuso para resolver el problemase basaba en la óptica geométrica. Sin embargo, esta solución impone una fuerte restric-ción ya que se ignoran los efectos difractivos que pueda sufrir el frente de onda ópticatransmitido, por lo que su validez se reduce a vanos cuya longitud sea L ¿ l20/λ [34];particularizando en valores reales, para una longitud de onda de 830 nm y adoptando laexpresión (2.1) para estimar la microescala de la turbulencia, con una altura del enlace, h,de 30 metros que conlleva a una l0 típica de 6.69 mm, supone que L ¿ 54 m.

La consideración de los efectos difractivos da origen a la aproximación de Born [10, 39],la cual permite obtener una primera mejora respecto al modelo basado en la óptica geo-métrica. La aproximación de Born trata la perturbación atmosférica como un conjunto detérminos que se añaden de manera aditiva al campo electromagnético transmitido origi-nariamente. En concreto, asume que el campo captado en el receptor puede ser calculadocomo la suma del campo transmitido inicialmente más el campo dispersado una vez ypor sólo una única célula turbulenta. En otras palabras, no se incluye el fenómeno de ladispersión múltiple, ya que el campo sólo puede ser dispersado por una célula turbulenta,posteriormente redispersado por una segunda célula, extendiéndose el proceso hasta queel campo electromagnético alcance al receptor. Este hecho limita su rango de validez aregímenes de turbulencia extremadamente débil.

La justificación para tratar una técnica de perturbación como la indicada obedece alhecho de que las fluctuaciones del índice de refracción atmosférico sobre su valor medioson muy pequeñas, del orden de varias partes o decenas de partes por millón. De maneraque se espera que el campo eléctrico que se propaga se asemeje mucho al transmitido encondiciones de ausencia de turbulencia, salvo por pequeñas fluctuaciones que pueda sufrir.La aproximación de Born es una técnica de perturbación, como también lo es el métodode Rytov que surge posteriormente, compartiendo una filosofía de trabajo similar a supredecesor, pero extendiendo su rango de aplicabilidad. La principal diferencia del métodode Rytov respecto a su predecesor es la consideración de que las perturbaciones que seañaden al campo eléctrico inicialmente transmitido tienen naturaleza multiplicativa y noaditiva como proponía Born. El método de Rytov incluye los comportamientos predichospor la óptica geométrica y por la aproximación de Born como casos particulares pero, pesea que extiende su rango de aplicabilidad a regímenes de turbulencia débil, esto es, aquellosen los que el parámetro de estructura, C2

n, oscila entre 10−13 y 10−17 m−2/3, dependiendo

29


siempre de la longitud del vano óptico; sin embargo no es posible aplicarlo más allá de esafrontera. No obstante, es muy interesante deducir la naturaleza estadística del centelleoatmosférico a partir del método de Rytov en un régimen de turbulencia débil. Puestoque este régimen es muy habitual en escenarios de comunicaciones ópticas atmosféricasde propagación horizontal en los que se salven unos vanos de varios centenares de metros;y puesto que existe una gran variedad de implementaciones comerciales diseñadas parafuncionar en este régimen de turbulencia débil, tal y como se desprende de los catálogosofrecidos por distintas firmas comerciales [40, 41, 42], será en estas condiciones en las quese desarrolle todo el contenido de esta Tesis Doctoral.

2.5.1 El método de Rytov

Como se ha comentado en apartados anteriores, las fluctuaciones de la temperaturaen la atmósfera llevan consigo las correspondientes variaciones en el índice de refracción.Se aborda ahora su efecto en la propagación de un haz de luz [25].

El método de Rytov parte de la ecuación de onda vectorial para una región con ausenciade cargas libres en la que se asume una permeabilidad magnética constante. El campoeléctrico, E, de un haz que se propaga por un medio no homogéneo está gobernado por laecuación de onda

∇2E + k2n2(r)E + 2∇(E · ∇ log n(r)

)= 0, (2.25)

tal y como se indica en [43], donde r = (x, y, z) denota un punto del espacio, n(r) es elíndice de refracción tal y como se presentó en (2.12), siendo k = 2π/λ el número de onday λ la longitud de onda del campo transmitido. El último término de la ecuación (2.25),que contiene la interacción entre las componentes ortogonales del campo, es el responsablede los efectos de cambio de polarización. En [44] se calculó que la potencia media delas componentes con la polarización alterada era aproximadamente 160 dB más débil quela potencia de la onda incidente, para unas condiciones de λ = 600 nm, una distancia devano de L = 10 km y E[n2

1(r)] = 10−10, siendo n1(r) la fluctuación alrededor del valormedio del índice de refracción, tal y como se indica en (2.12). En este sentido, la ausenciade un efecto despolarizador en el campo eléctrico permite simplificar la ecuación de ondavectorial dada en (2.25) a:

∇2E + k2n2(r)E = 0. (2.26)

Una información más detallada sobre todo este proceso se recoge en [34]. La ecuaciónanterior puede descomponerse de forma inmediata en tres ecuaciones de naturaleza escalar,

30


una por cada componente del campo E. Si se denota como U(r) a la componente escalar alo largo del eje z que es transversal a la dirección de propagación, asumiendo que el campoincidente, E, es una onda plana monocromática linealmente polarizada en la dirección z

que se propaga a lo largo del eje x [34]; entonces la ecuación de onda representada en (2.26)puede reemplazarse, según se especifica en [10], por:

∇2U + k2n2(r)U = 0. (2.27)

El método de Rytov propone una solución para el campo escalar de forma análoga auna onda plana:

U(r, L) = A(r, L) exp[jST (r, L)

], (2.28)

siendo A la amplitud del campo eléctrico, L la longitud del vano y ST la fase del mismo. Sedefine ahora la variable ψT (r, L) = χT (r, L) + jST (r, L), donde χT (r, L) = log A(r, L) re-presenta la amplitud logarítmica del campo recibido. Incluyendo esta nueva nomenclatura,se puede expresar el campo como:

U(r, L) = exp[ψT (r, L)

]= exp

[χT (r, L) + jST (r, L)

]. (2.29)

Ahora resulta inmediato comprobar por qué la aproximación de Rytov se engloba den-tro de las llamadas técnicas de perturbación, ya que el campo electromagnético recibidoestá compuesto por el campo recibido suponiendo un medio homogéneo en ausencia deturbulencias, U0(r) = exp

[ψ0(r, L)

], al que se le añaden de manera multiplicativa un con-

junto de términos que modelan la perturbación introducida por la presencia de un medioatmosférico turbulento. En particular, se puede escribir:

ψT (r, L) = ψ0(r, L) + ψ1(r, L) + ψ2(r, L) + . . . . (2.30)

siendo ψ0(r, L) la fase compleja del campo transmitido en ausencia de turbulencia, mientrasque ψ1(r, L), ψ2(r, L), etc. son las perturbaciones de fase compleja de primer y segundoorden respectivamente. Por tanto, imponiendo la descomposición indicada en la expresión(2.30), la expresión del campo (2.29) adquiere la forma:

U(r, L) = U0(r, L) exp[ψ1(r, L) + ψ2(r, L) + ...

]= U0(r, L) exp

[ψ(r, L)

], (2.31)

siendo U0(r, L) = exp[ψ0(r, L)

]. En todo el desarrollo de este trabajo, se denota como

31


ψ(r, L) = χ(r, L) + jS(r, L) a la perturbación de fase compleja debida al efecto adversoque la turbulencia atmosférica origina en la señal óptica transmitida, distinguiéndose deψT (r, L), la cual hace referencia a la fase compleja total incluyendo la fase compleja delcampo electromagnético que se propaga unido a las perturbaciones causadas por la pre-sencia de las no homogeneidades encontradas en el camino de propagación. Por tanto,χ(r, L) es la perturbación de la amplitud logarítmica del campo como consecuencia de lasfluctuaciones del índice de refracción en la atmósfera, conocido también como el centelleode amplitud, que sufre la señal óptica transmitida; mientras que S(r, L) recibe el nombrede perturbación de fase o centelleo de fase.

La intensidad de las perturbaciones de fase compleja ψ1(r, L), ψ2(r, L), etc., vienedeterminada por el valor de la fluctuación del índice de refracción, n1(r), dada en (2.12),para la perturbación de primer orden; por n2

1(r) para la perturbación de segundo orden,ψ2(r, L), etc. Conocidos todos estos argumentos, se sustituye (2.29) en (2.27), obteniéndosela ecuación diferencial de Ricatti:

∇2ψT + (∇ψT )2 + k2n2(r) = 0. (2.32)

Como inciso, hay que indicar que, en el transcurso de esta Tesis Doctoral únicamentese ha considerado la perturbación de primer orden, despreciándose el efecto de las per-turbaciones de orden superior. Por ello, de ahora en adelante, ψ(r, L) = ψ1(r, L) y, enconsecuencia, χ(r, L) = χ1(r, L). Así pues, admitiendo únicamente tal perturbación deprimer orden, se procede a sustituir

ψT (r, L) = ψ0(r, L) + ψ1(r, L); (2.33a)

n(r) = n0 + n1(r); n0∼= 1; (2.33b)

en la expresión (2.32). Operando, admitiendo que |∇ψ1| ¿ |∇ψ0|, pues n1(r) ¿ 1, des-preciando n2

1(r) frente a 2n1(r), e igualando los términos que posean órdenes iguales deperturbación, se obtiene:

∇2ψ0 + (∇ψ0)2 + k2n20(r) = 0; (2.34a)

∇2ψ1 + 2∇ψ0∇ψ1 + 2k2n1(r) = 0. (2.34b)

La primera de las ecuaciones anteriores se corresponde con la ecuación de onda en unespacio libre de turbulencias, mientras que las perturbaciones inducidas por la atmósfera

32


turbulenta aparecen recogidas en la ecuación (2.34b). Puesto que no existe un procedi-miento de resolución general para el tipo de ecuación diferencial representada en (2.34b),se suele emplear una técnica de perturbación para conseguir una solución de la misma [44].En concreto, dicha solución, que aparece recogida en [25], es la siguiente:

ψ1(r, L) =k2

2πU0(r, L)

∫∫∫n1(r′)U0(r′, L)

exp(jk|r− r′|)|r− r′| d3r′. (2.35)

Si se particulariza al caso de una onda plana monocromática propagándose a lo largodel eje x, U0(r, L) = exp (jkx), tal y como se ha considerado al comienzo de este punto,entonces la solución obtenida para la ecuación (2.34b) se representa como:

ψ1(r, L) =k2

2π

∫∫∫n1(r′)

exp(jk

[|r− r′| − |x− x′|])

|r− r′| d3r′. (2.36)

Desafortunadamente, la integración de la expresión (2.36) es extremadamente tediosay requiere, o bien una resolución numérica, o asumir una serie de suposiciones para obteneruna expresión analítica aproximada que permita directamente su utilización.

Sin embargo, es muy sencillo intuir la naturaleza estadística que tiene ψ1r, L) porsimple inspección de la ecuación (2.35). Así, se deduce que el campo observado en r es eldebido a un frente de onda emitido en r′ cuya amplitud es proporcional a la fluctuación delíndice de refracción local, n1(r′), y a la magnitud de la radiación incidente, U0(r′), y cuyafase viene determinada por el número total de longitudes de onda que haya contenidasa lo largo del camino de propagación; finalmente, lo que se realiza es una integración detodas las contribuciones que se acaban de detallar en todos los puntos r′ existentes en elvolumen de integración representado en (2.36). Particularizar el efecto de este continuode contribuciones en el término n1(r′) implica incluir el efecto de las células turbulentasrealizando un barrido en todos sus posibles tamaños. Al reflexionar sobre este hecho, seobserva que se están verificando las condiciones necesarias para poder aplicar el teorema dellímite central, lo que se traduce en que la naturaleza estadística de ψ1(r, L) es gaussiana,esto es, que tanto la perturbación logarítmica de amplitud, χ, como la perturbación defase, S comparten esa misma distribución estadística. Este aspecto es aprovechado paragenerar de forma sencilla las secuencias de centelleo atmosférico, tal y como se detalla enel capítulo siguiente.

Finalmente, se considera oportuno resaltar que el término ψ1(r, L) depende de lasfluctuaciones del índice de refracción, n1(r′), cuya caracterización se ha detallado en lassecciones precedentes a través de la densidad espectral de potencia, Φn(κ).

33


2.5.2 Método de la expansión espectral

El método de las expansiones espectrales fue introducido por Tatarskii [20] con laintención de resolver la ecuación (2.36). Partiendo de ella, se puede realizar la siguienteaproximación:

exp(jk|r− r′|)

|r− r′| 'exp

(jk

[(x− x′) + (y−y′)2+(z−z′)2

2(x−x′)

])

(x− x′). (2.37)

Si se desprecia la posible dispersión hacia atrás (backscattering), la integración indicadaen (2.36) puede ser limitada a la región comprendida entre x = 0 y x = L, puesto quepara su obtención se asumió el caso de una onda plana monocromática propagándose a lolargo del eje x. Teniendo en cuenta la aproximación dada en (2.37), se deduce de formainmediata que la mayor contribución a (2.36) proviene de las regiones y′ ∼ y y z′ ∼ z,esto es, el plano yz, lo que es especialmente correcto para λ < l0, ya que la dispersiónque provoca una inhomogeneidad atmosférica de tamaño l0 sobre el haz de luz propagadoestá confinado dentro de un ángulo de valor λ/l0 [20]. Si se sustituye (2.37) en (2.36), y setienen en cuenta todas estas consideraciones, se obtiene:

ψ1(L, y, z) =∫ L

0dx′

∫ ∞

−∞dy′

∫ ∞

−∞dz′n1(x′, y′, z′)h(L− x′, y − y′, z − z′), (2.38)

donde

h(L− x′, y − y′, z − z′) =k2

2π

1L− x′

exp[jk

(y − y′)2 + (z − z′)2

2(L− x′)

]. (2.39)

Nuevamente, la expresión obtenida en (2.38) sigue siendo muy complicada para calcu-lar la función de correlación, Rχ(r1, r2) = E[χ(r1)χ(r2)], que caracteriza al centelleo atmos-férico de amplitud y muy dependiente de la función de correlación del índice de refracciónatmosférico, Rn. Es por este motivo por lo que en [20] se propone un método alternativoque solvente el problema mediante la representación espectral de (2.38). Así, puesto que seconsideró sólo una dispersión en el plano yz y se despreció el scattering hacia atrás en el ejex, estrictamente hablando sólo se exige que el índice de refracción tenga un comportamientohomogéneo e isotrópico en el plano yz. Este hecho puede relacionarse con la hipótesis dela turbulencia congelada que ya se comentó, por el hecho de que las fluctuaciones de irra-diancia captadas por causa de la turbulencia atmosférica se debían fundamentalmente almovimiento de las células turbulentas en la dirección o direcciones perpendiculares al sen-tido de propagación de los pulsos de luz transmitidos. Por esta razón, sólo es necesario

34


representar en el plano yz del dominio transformado las expresiones n1(x, y, z) y ψ1(L, y, z).

Para calcular la representación espectral del índice de refracción no es posible aplicardirectamente la transformada de Fourier, puesto que n1 tiene el comportamiento de unafunción aleatoria y estacionaria y, por tal razón, no satisface la condición de Dirichlet [27].Para evitar esta dificultad, se emplea la integral de Riemann-Stieltjes [45]

n1(x,ρ) =∫

exp(jκρ)dv(x,κ), (2.40)

donde dv(x,κ) es la amplitud aleatoria del espectro de las fluctuaciones del índice derefracción, n1(x,ρ) [10], mientras que κ = κyy + κzz y ρ = yy + zz. De esta forma, se hapodido obtener las microvariaciones del índice de refracción en el plano perpendicular a ladirección de propagación del haz de luz óptico.

Por su parte, la función h(L− x′, ρ) sí verifica la condición de Dirichlet, pudiéndoseobtener la transformada de Fourier, de la forma:

H(L− x′,κ) =∫

dρ exp (−jκρ)h(L− x′,ρ) = jk exp[−j

(L− x′)2k

κ2

], (2.41)

siendo dρ = dydz y κ2 = |κ|2 = κ2y +κ2

z. Sustituyendo (2.40) y (2.41) en (2.38), se obtiene:

ψ1(L,ρ) =∫ L

0dx′

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞exp(jκρ)H(L− x′, κ)dv(x′,κ). (2.42)

La ecuación (2.42) indica que el espectro del índice de refracción dv en la posición x′ esmodificado por la función H para producir la amplitud aleatoria Hdv en la fluctuación ψ1.La fluctuación total, ψ1(L,ρ), es finalmente la suma de todas las contribuciones originadasdesde x′ = 0 hasta x′ = L. La función H representa, entonces, el efecto de la propagacióndel frente de onda desde x′ hasta L. Nuevamente, ahora en el dominio transformado, esposible constatar que se dan las condiciones adecuadas para la aplicación del teorema dellímite central que permite deducir que la naturaleza estadística de ψ1(L, y, z) es gaussiana,como ya se ha comentado en la subsección anterior.

Obtenida la expresión (2.42), se puede conseguir la fluctuación logarítmica de ampli-tud, χ, y la perturbación de fase, S. Como en general dv es complejo y sus partes reale imaginaria no son explícitamente conocidas [20], no se puede aplicar directamente eloperador parte real o el operador parte imaginaria para obtener χ y S respectivamente.Por esta razón, la estrategia seguida es utilizar la definición de la parte real y de la parte

35


imaginaria de una función a partir de las propiedades de simetría de la misma [46]. Así:

χ(L,ρ) =12

[ψ1(L,ρ) + ψ∗1(L,ρ)

],

S(L,ρ) =12j

[ψ1(L,ρ)− ψ∗1(L,ρ)

];

(2.43)

donde ∗ indica operador complejo conjugado; mientras que ψ∗1 viene dado por:

ψ∗1(L,ρ) =∫ L

0dx′

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞exp(−jκρ)H∗(L− x′, κ)dv∗(x′, κ). (2.44)

Aprovechando que la fluctuación del índice de refracción, n1(r), es real, su expresión enel dominio transformado, dv, tiene simetría hermítica. Como la transformada de Fourier,obtenida a partir de la integral de Riemann-Stieltjes, se realizó en el plano yz, la simetríahermítica únicamente está presente en este plano y puede representarse como:

dv(x′, κ) = dv∗(x′,−κ). (2.45)

Además, la función H tiene simetría par respecto a κ en el plano yz de interés:

H(L− x′,−κ) = H(L− x′, κ). (2.46)

Si se realiza el cambio de variables κ → −κ, y se utilizan las expresiones (2.45) y(2.46) tal y como se detalla en [20], la función ψ∗1(L,ρ) adopta finalmente la forma:

ψ∗1(L,ρ) =∫ L

0dx′

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞exp(jκρ)H∗(L− x′,−κ)dv(x′, κ). (2.47)

Utilizando ahora las expresiones obtenidas en (2.42) y (2.47), es inmediato obtenerχ(L,ρ) y S(L,ρ) mediante (2.43), cuyas expresiones finales son:

χ(L,ρ) =∫ L

0dx′

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞exp(jκρ)Hr(L− x′, κ)dv(x′, κ),

S(L,ρ) =∫ L

0dx′

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞exp(jκρ)Hi(L− x′, κ)dv(x′, κ);

(2.48)

donde se ha solventado el hecho de que la parte real y la parte imaginaria de la funcióndv no fuesen, a priori, explícitamente conocidas. En (2.48), Hr(L− x′,κ) y Hi(L− x′, κ)denotan, respectivamente, la parte real y la parte imaginaria de la función H(L− x′, κ).

36


Cálculo de la función covarianza

Normalmente, la mayoría de procesos aleatorios involucrados en aplicaciones de inge-niería son plenamente caracterizados mediante la determinación de una función de corre-lación o bien, mediante su función densidad espectral de potencia, que es simplemente latransformada de Fourier de la función de autocorrelación. Por esta razón, adquiere unanotoria importancia calcular la función de correlación de los procesos que caracterizan ala perturbación logarítmica de amplitud, χ y a la perturbación de fase S. De hecho, elconocimiento de la función de correlación de la fluctuación de amplitud sirve de punto departida para la implementación de un modelo de canal atmosférico turbulento válido en elrango de frecuencias ópticas, tal y como se detalla en el capítulo siguiente.

Como el desarrollo realizado hasta este punto está basado en el método de Rytov, elcuál sólo es válido en condiciones de turbulencia débil, se puede asumir que (E[χ])2 ' 0aunque estrictamente E[χ] no lo sea por la ley de conservación de la energía [47, 48]. Así,las expresiones de la función de correlación, Rχ(L,ρ1, ρ2), y de la función de covarianza,Bχ(L,ρ1, ρ2), de la fluctuación logarítmica de amplitud en el plano x = L coinciden en suexpresión analítica, dada por:

Bχ(L,ρ1,ρ2) = E[χ(L,ρ1)χ(L,ρ2)] = E[χ(L,ρ1)χ∗(L,ρ2)]. (2.49)

Por conveniencia, aunque el proceso χ(L,ρ) sea real, se hace uso de la definición dela covarianza incluyendo el operador complejo conjugado que acompaña al segundo factorque aparece en el interior del operador esperanza matemática. De esta forma, y paraque la función de covarianza sea una función dependiente de la diferencia de posicionesρ = ρ1 − ρ2, lo que es característico de un proceso estacionario, se requiere que la amplitudaleatoria dv(x,κ) satisfaga:

E[dv(x′,κ)dv∗(x′′,κ′)] = δ(κ− κ′)Fn(|x′ − x′′|,κ)dκdκ′, (2.50)

tal y como se indica en [27], siendo Fn(|x′ − x′′|, κ) ≥ 0 la representación espectral bidi-mensional en el plano yz de la función de covarianza del índice de refracción atmosférico,Bn(x,ρ) = E[n1(x,ρ1)n2(x,ρ2)]; mientras que δ(κ− κ′) = δ(κy − κ′y)δ(κz − κ′z) es la fun-ción delta de Dirac. Por último, dκ = dκydκz y dκ′ = dκ′ydκ′z. Si se utiliza la propiedad dedesplazamiento de la función delta de Dirac, que particularizando a la función de interés,se expresa como:

∫ ∞

−∞δ(κ− κ′)Fn(|x′ − x′′|,κ)dκ = Fn(|x′ − x′′|, κ′), (2.51)

37


se intercambia κ′ por κ, e insertando (2.50) y (2.48) en la expresión de la función co-varianza, se obtiene:

Bχ(L,ρ) =∫ L

0dx′

∫ L

0dx′′

∞∫∫

−∞exp(jκρ)Hr(L− x′, κ)H∗

r (L− x′′, κ)Fn(|x′ − x′′|,κ)dκ,

(2.52)

donde la función Fn(|x′ − x′′|, κ) está relacionada con la densidad espectral de potenciatridimensional de las fluctuaciones del índice de refracción, Φn(κx, κy, κz), mediante unatransformada de Fourier [10]:

Φn(κx, κy, κz) =12π

∫ ∞

0Fn(|µ|, κx, κy, κz) cos (µκx)dµ. (2.53)

Como Fn(|µ|, κ) es la densidad espectral bidimensional de las fluctuaciones del índicede refracción, siendo κx = 0, se debe particularizar (2.53) para tal función bidimensionaldefinida en el plano yz:

Φn(κ) =12π

∫ ∞

0Fn(|µ|, κ)dµ, (2.54)

donde, de nuevo, κ = κyy + κzz. Ya que en la ecuación (2.52) aparecía la densidad espec-tral de potencia bidimensional Fn(|x′ − x′′|, κ), dependiente de la diferencia x′−x′′, resultaútil efectuar un cambio de variables del tipo µ = x′ − x′′ y η = 1

2(x′ + x′′), de forma quela integración en x′ y x′′ que se muestra en (2.52) se vea modificada según:

∫ L

0dx′

∫ L

0dx′′ =

∫ L

0dη

∫ ξ2(η)

ξ1(η)dµ. (2.55)

En la expresión anterior, ξ1(η) y ξ2(η) son funciones dependientes de la primera de lasnuevas variables de integración, η, y establecen los límites de integración dentro del planotransformado (η, µ) [10], según se esboza en la Figura 2.4.

Puesto que la función Fn(|µ|, κ) expresa la correlación del índice de refracción at-mosférico en los planos adyacentes al eje x de propagación, claramente, sólo aquellas in-homogeneidades de tamaño 2πκ−1 mayor a la separación de los dos planos µ = x′ − x′′

contribuirán significativamente a esta correlación. Las células turbulentas más pequeñasno intersectan dichos planos por lo que su contribución a la correlación es despreciable.Teniendo en cuenta este argumento, e incluyendo en este punto la consideración de turbu-lencia isotrópica, Fn(|µ|, κ) = Fn(|µ|, κ), que de forma análoga también puede expresarse

38


0 L

L

x’

x’’

−L 0 L µ

η

ξ1

ξ2

LDistancia decorrelación

Figura 2.4: Región de integración para x’ y x” y la correspondiente región transformadapara µ y η.

como Φn(κ) = Φn(κ), se deduce que habrá un decaimiento rápido de la función para valoresκ|µ| > 1 según se especifica en [21]. Por esta razón, Fn(|µ|, κ) únicamente tiene valoressignificativos dentro del área marcada por la distancia de correlación, mostrada como laregión sombreada en la Figura 2.4; así, es posible extender los límites de integración de lavariable µ desde −∞ a∞ sin miedo a cometer errores significativos [10]. Por consiguiente,

∫ L

0dx′

∫ L

0dx′′ ≈

∫ L

0dη

∫ ∞

−∞dµ. (2.56)

Con todas las consideraciones realizadas hasta ahora e insertando (2.54) y (2.56) en(2.52), se puede reescribir la expresión de la función de covarianza como:

Bχ(L,ρ) = 2π

∫ L

0dηH2

r (L− η, κ)Φn(κ)

∞∫∫

−∞dκ exp(jκρ), (2.57)

donde la consideración de atmósfera isotrópica se ha extendido también a la funciónHr(L− η, κ), tal y como se plasmó en (2.41). Precisamente, en esta función, se ha podidorealizar la aproximación [20]

Hr(L− x′, κ) ≈ Hr(L− η, κ),

Hr(L− x′′, κ) ≈ Hr(L− η, κ);(2.58)

aprovechando el hecho de que la función Hr(L − x′, κ) tiene una variación lenta con x′.Finalmente, en la expresión (2.57) sólo resta eliminar la dependencia con κ del integrandodκ exp(jκρ). Para ello, haciendo un doble cambio a coordenadas cilíndricas, según

39


κy = κ cosφ y = ρ cosφ′

κz = κ sinφ z = ρ sinφ′(2.59)

con dκ → κdκdφ; entonces, efectuando el producto escalar

κρ = (yκy + zκz) → κρ cosφ cosφ′ + κρ sinφ sinφ′ = κρ cos(φ− φ′), (2.60)

y aplicando todas estas consideraciones, se pueden efectuar las últimas dos integrales dela expresión (2.57),

∞∫∫

−∞dκ exp(jκρ) =

∫ ∞

0κdκ

∫ 2π

0dφ exp

[jκρ cos(φ− φ′)

]= 2π

∫ ∞

0κdκJ0(κρ), (2.61)

donde J0(κρ) es la función de Bessel de orden cero definida en [49] como:

J0(κρ) =12π

∫ 2π

0exp

[±jκρ cosφ]dφ. (2.62)

Insertando la expresión (2.61) en (2.57),

Bχ(L, ρ) = 4π2

∫ L

0dη

∫ ∞

0κdκJ0(κρ)H2

r (L− η, κ)Φn(κ); (2.63)

si se recupera ahora la expresión analítica de la función H(L − η, κ) dada en (2.41), y serealiza la integración en η de la parte real del cuadrado de tal función, se obtiene:

∫ L

0dηH2

r (L− η, κ) =k2L

2

(1− k

κ2Lsin

κ2L

k

). (2.64)

Si se incluye este último resultado en (2.63), se obtiene finalmente la expresión, dada en[20], que caracteriza a la función de covarianza de la perturbación logarítmica de amplitud:

Bχ(L, ρ) = 2π2k2L

∫ ∞

0

(1− k

κ2Lsin

κ2L

k

)J0(κρ)Φn(κ)κdκ. (2.65)

Particularizando la anterior expresión para ρ = 0, se obtiene la varianza de la pertur-bación logarítmica de amplitud, σ2

χ, definida como:

40


σ2χ = 2π2k2L

∫ ∞

0

(1− k

κ2Lsin

κ2L

k

)Φn(κ)κdκ. (2.66)

Para obtener la función de covarianza de la perturbación de fase, BS(L, ρ), se procedede manera idéntica a como se ha expuesto, con la salvedad de que en la expresión (2.64)se debe realizar la integración de la parte imaginaria de H(L− η, κ).

2.5.3 Extensión de la teoría de Rytov

Pese a que, como se ha indicado, el trabajo desarrollado en esta tesis se ha centradoen un régimen de turbulencia débil para el cuál, el método de Rytov es válido, se debehacer constar que otros autores más contemporáneos como Andrews [50, 12] proponen unamodificación al modelo convencional de Rytov extendiendo su ámbito de aplicabilidad.Para ello, se considera que la irradiancia recibida de un haz óptico puede verse como unproceso de modulación en el que las fluctuaciones ocasionadas por las células turbulentasde menor tamaño son moduladas multiplicativamente por las fluctuaciones procedentes delefecto refractivo debidas a las celdas turbulentas de mayor tamaño. Así, para fluctuacionesmoderadas a fuertes, la ecuación de campo dada por (2.31) queda expresada como

U(r, L) = U0(r, L) exp[ψx(r, L) + ψy(r, L)

], (2.67)

tal y como se indica en [50], siendo ψx(r, L) y ψy(r, L) las perturbaciones de fase comple-jas, estadísticamente independientes debidas a la contribución de las células turbulentasde mayor escala y de menor escala respectivamente sobre la onda que se propaga. Precisa-mente el operador suma incluido en el argumento de la exponencial equivale al proceso demodulación que se acaba de indicar.

Tal proceso de modulación mostrado en (2.67) permite tratar al medio atmosféricocomo un filtro de frecuencia espacial que tiene en cuenta de forma apropiada la pérdida decoherencia espacial del haz óptico que se propaga en regímenes de fluctuación fuerte [50].Esta función de filtrado se introduce mediante la alteración del modelo espectral del índicede refracción, Φn(κ), de la expresión (2.24). En efecto, este filtro modifica las contribu-ciones efectivas del continuo de tamaños de celdas turbulentas eliminando los tamaños in-termedios que no contribuyen a los efectos refractivos y difractivos que sufre el haz ópticoen su camino de propagación conforme se intensifique la fortaleza de la turbulencia [12].

Por tanto, en la consideración de esta pérdida de coherencia espacial sólo es necesariomultiplicar el modelo espectral atmosférico por un filtro apropiado que elimine los efectos delas no-homogeneidades turbulentas de tamaños intermedios, cuyos valores están comprendi-

41


dos entre lx y ly. Si se parte del espectro atmosférico modificado, tal y como se vio en (2.24),y se le incorpora la función de filtrado espacial, se obtiene el resultado presentado en [50]:

Φ(κ) = 0.033C2nκ−11/3G(κ, l0), (2.68)

donde

G(κ, l0) = Gx(κ, l0) + Gy(κ) = f(κ0) exp(−κ2

κ2x

)+

κ11/3

(κ2 + κ2y)11/6

, (2.69)

siendo

f(κ0) = exp[−

(κl03.3

)2][1 + 1.802

(κl03.3

)− 0.254

(κl03.3

)7/6]. (2.70)

En la ecuación (2.69), el parámetro κx = 2π/lx es la frecuencia espacial de corte proce-dente de las celdas turbulentas de mayor tamaño (o refractivas); mientras que κy = 2π/ly

es la frecuencia de corte espacial difractiva. Por tanto, G(κ, l0) actúa como un filtro es-pacial en amplitud (o también en la irradiancia) que se comporta bien como una etapade filtrado paso bajo, permitiendo el paso de frecuencias espaciales κ < κx; bien como unfiltro paso alto, al permitir el paso de las frecuencias espaciales κ > κy para una distanciade propagación dada.

De la inclusión de este filtrado espacial se deducen las expresiones modificadas de lafunción de covarianza Bχ(r, L), para los casos de onda plana [12, 50, 51], y esférica [12, 50,51, 52].

2.6 Caracterización de la fluctuación de irradiancia

2.6.1 Distribución estadística

Tal y como se analizó en la sección anterior, la aplicación del método de Rytov permiteescribir la expresión del campo que se propaga como el producto del campo eléctrico proce-dente del frente de onda transmitido en condiciones de ausencia de turbulencia, U0(r, L);multiplicado por un factor que representa la perturbación que introduce la presencia de laatmósfera turbulenta, exp[ψ(r, L)], tal y como se vio en (2.31). Como se dijo entonces, trasla resolución de la ecuación diferencial de Ricatti, a partir de la que se extrae el términoψ(r, L), se dan las condiciones apropiadas para poder aplicar el teorema del límite central;este aspecto permite establecer el carácter gaussiano de la distribución marginal de ψ(r, L)

42

2.6. CARACTERIZACIÓN DE LA FLUCTUACIÓN DE IRRADIANCIA

y, por consiguiente, tanto de la perturbación logarítmica de amplitud, χ(r, L), como de laperturbación de fase, S(r, L), dentro de un régimen de turbulencia débil. Así, la funcióndensidad de probabilidad de la fluctuación logarítmica de amplitud, χ(r, L), responde a laexpresión mostrada en [18] y dada por:

fχ(χ) =(

12πσ2

χ

)1/2

exp[− (χ− E[χ])2

2σ2χ

], (2.71)

donde el parámetro σ2χ representa a la varianza de la perturbación logarítmica de amplitud.

Como la irradiancia de una onda se calcula como el cuadrado del módulo del campo,entonces

I(r, L) = U(r, L)U∗(r, L) = |U0(r, L)|2 exp[ψ(r, L) + ψ∗(r, L)

]=

= I0(r, L) exp[(2χ(r, L)

],

(2.72)

siendo I0(r, L) la intensidad de la señal que se recibiría en ausencia de turbulencia; sia partir de (2.72) se aplica a la expresión (2.71) la transformación estadística jacobianapropuesta por Papoulis [53]

fI(I) =fχ(χ)| dIdχ |

, (2.73)

se deduce que la función densidad de probabilidad de la intensidad de luz (2.72) sigue unadistribución logarítmico-normal, de la forma:

fI(I) =(

12I

)(1

2πσ2χ

)1/2

exp[− (ln I − ln I0)2

8σ2χ

]. (2.74)

Conforme la intensidad de la turbulencia vaya incrementándose y deban ser tenidos encuenta un mayor número de efectos difractivos, empiezan a producirse grandes desviacionesrespecto a una tendencia logarítmico-normal (de la irradiancia). Por esta razón se prefiere eluso de otros modelos de distribución que tengan en cuenta estos efectos y permitan obtenerresultados más precisos. Así, se ha propuesto la distribución de Beckman en [54] para com-pensar la subestimación en tasa de error que introduce la distribución logarítmico-normalen el análisis de un sistema cuando la intensidad de la turbulencia aumenta más allá de unrégimen de turbulencia débil. Otras propuestas que se recogen en la literatura [12] abarcantanto la distribución K como incluso un modelo gamma-gamma a modo de generalizaciónde la distribución K, siendo particularmente atractiva esta última opción para calcular unaestimación de la probabilidad de desvanecimiento para un canal atmosférico dado.

43


2.6.2 Índice de centelleo atmosférico

El índice de centelleo atmosférico es el parámetro de referencia con el que habitualmentese mide la intensidad de la turbulencia atmosférica. Fue establecido en [55] y se define comola varianza normalizada de las fluctuaciones de la irradiancia:

σ2I =

E[I2](E[I]

)2 − 1, (2.75)

donde la magnitud I hace referencia a la irradiancia de la señal óptica. Se encarga decaracterizar las fluctuaciones de irradiancia que se reciben respecto al nivel de irradianciaque se captaría en ausencia de turbulencia. Partiendo de la propiedad

E[exp (a · g)

]= exp

[aE[g] +

12a2E

[(g −E[g])2

]], (2.76)

que cumple [56] toda variable aleatoria gaussiana, g, siendo a una constante, se puedeutilizar (2.76) para obtener los momentos de primer y segundo orden (media y varianzarespectivamente) de la fluctuación de irradiancia:

E[I(r, L)

]= E

[I0(r, L) exp

[(2χ(r, L)

]= I0(r, L) exp

[2E[χ(r, L) + 2σ2

χ]], (2.77)

donde σ2χ representa la varianza de la perturbación logarítmica de amplitud. Admitiendo la

ley de conservación de la energía [47, 48] según la cuál se verifica que E[I(r, L)

]= I0(r, L);

e insertando este resultado en la igualdad dada en (2.77), se obtiene que:

E[χ(r, L)

]= −σ2

χ. (2.78)

Si se repite el mismo proceso, aunque aplicado al valor cuadrático medio de la irra-diancia, en este caso el resultado obtenido es:

E[I2(r, L)

]= E

[(I0(r, L) exp

[(2χ(r, L)

)2] = I20 (r, L) exp

[4σ2

χ

]. (2.79)

Introduciendo los resultados obtenidos en (2.77) - (2.79) dentro de (2.75), se obtienefinalmente la magnitud del índice de centelleo:

σ2I =

E[I2](E[I]

)2 − 1 = exp[4σ2

χ

]− 1, (2.80)

44

2.6. CARACTERIZACIÓN DE LA FLUCTUACIÓN DE IRRADIANCIA

cuyo valor puede aproximarse a σ2I ≈ 4σ2

χ para regímenes de turbulencia débil. Habitual-mente, se suele realizar la consideración de régimen de turbulencia débil cuando σ2

I < 1,según se establece en [10]; mientras que condiciones de turbulencia moderada a fuerteocurren cuando σ2

I ∼ 1. Además, para el caso de una onda plana infinita que es en el quese centra el trabajo realizado en esta tesis, el índice de centelleo coincide con la denominadacomo varianza de Rytov, expresada como:

σ21 = 1.23C2

nk7/6L11/6, (2.81)

donde k es el número de onda óptico, C2n el parámetro de estructura del índice de refracción

y L es la distancia de propagación entre el transmisor y el receptor.

2.6.3 Función de covarianza

Si se acomete ahora el cálculo de la función de covarianza de la irradiancia normalizada,BI(r1, r2), con el fin de caracterizar la fluctuación de potencia que se capta en el receptorsobre el nivel medio enviado:

BI(r1, r2) =E

[I(r1)I(r2)

]− E[I(r1)

]E

[I(r2)

]

E[I(r1)

]E

[I(r2)

] , (2.82)

y se procede tal y como se indica en el Apéndice I, es posible obtener la expresión de lafunción de covarianza de la irradiancia no normalizada, BIn(r1, r2), según se muestra enla ecuación (A.9) de dicho apéndice:

BIn(r1, r2) = I0(r1)I0(r2) exp

2E[(

χ(r1)− E[χ])2

]+ 2E

[(χ(r2)−E[χ]

)2]

+ 4E[χ]

(exp

4Bχ(r1, r2)

− 1

).

(2.83)

donde Bχ(r1, r2) es la función de covarianza de la perturbación logarítmica de amplitud,siendo r1, r2 dos posiciones cualesquiera del espacio. Teniendo en cuenta la definición dela varianza dada por σ2

χ = E[(

χ(r1)− E[χ])2

], se realiza la consideración de isotropía y

estacionariedad de forma que σ2χ = E

[(χ(r1)− E[χ]

)2]

= E[(

χ(r2)− E[χ])2

]. Si ahora

se aplica la ley de conservación de la energía, de manera que E[χ(r, L)

]= −σ2

χ, tal y comose indicó en (2.78), entonces la ecuación (A.8) queda reducida a

45


E[I(r1)]E[I(r2)] = I0(r1)I0(r2) (2.84)

Procediendo así, la función de covarianza de la irradiancia normalizada se puede es-cribir como:

BI(r1, r2) = exp

4Bχ(r1, r2)− 1. (2.85)

Nuevamente, para un régimen de turbulencia débil, la expresión anterior se aproximasegún

BI(r1, r2) ≈ 4Bχ(r1, r2). (2.86)

Particularizando para r1 = r2 = r se vuelve a obtener el índice de centelleo, tal y comose expresó en (2.80).

2.7 Sumario

En este capítulo se ha realizado un estudio de todas las aportaciones que históricamentese han ido desarrollando en los últimos setenta años, de forma que queden descritos de unaforma autocontenida los distintos parámetros y estadísticos que caracterizan a un enlaceóptico atmosférico. Este estudio sirve de punto de partida en los capítulos siguientes para eldesarrollo de un modelo de canal atmosférico válido en un rango de frecuencias ópticas. Elnúcleo principal del capítulo se centró en plasmar una imagen suficientemente detallada delproceso estadístico de la turbulencia, por ser éste el fenómeno que más degrada las presta-ciones de un sistema óptico atmosférico. En particular, esta turbulencia aparece relacio-nada con las microvariaciones de presión, temperatura y humedad que se registran en todoel vano, y que originan microvariaciones locales en el índice de refracción atmosférico.

Una primera consideración aceptada ampliamente en la bibliografía consiste en con-centrar esos cambios del índice de refracción en zonas bien delimitadas de la atmósfera,denominadas torbellinos o células turbulentas. Se asume que cada célula turbulenta tieneen su interior un índice de refracción constante pero en general distinto al que puedantener el resto de torbellinos turbulentos. Se facilita aún más el modelo impidiendo losmovimientos relativos de las distintas células entre sí, lo que permite ver el proceso comocongelado. Esto justifica el calificativo de turbulencia congelada que recibe la hipótesisde Taylor, donde únicamente se permite que las células turbulentas se muevan todas enconjunto. Llegados a este punto, todo haz de luz que se propague por un medio como el

46

2.7. SUMARIO

que se acaba de esbozar, observa fluctuaciones en el índice de refracción como consecuenciade la interacción de la señal transmitida con cada una de las células turbulentas que vaatravesando. En recepción, este efecto se traduce en variaciones de la potencia captadapor el receptor. Afinando aún más, sólo el movimiento de las masas de aire en la direcciónperpendicular al sentido de propagación tendrán incidencia efectiva en las fluctuaciones depotencia que se reciban. Esto se debe a que el movimiento que se produzca en el sentidode propagación es fácilmente suavizado por el receptor de un sistema óptico, puesto que ella velocidad de propagación de la luz es mucho mayor que la velocidad de desplazamientode las masas de aire.

Cada una de las células turbulentas que participan degradando las prestaciones delsistema se origina de acuerdo con la teoría de cascadas de turbulencia propuesta porKolmogorov. A partir de un gradiente de velocidad límite, las partículas atmosféricasadquieren suficiente energía cinética como para comenzar a rotar e ir formando las primerasmacroceldas de turbulencia. Conforme el proceso continua en el tiempo, las partículas quehan empezado a rotar colisionan con otras partículas cambiando erráticamente su rumbo,y descomponiendo las primeras macroceldas en células turbulentas cada vez más pequeñashasta llegar a un tamaño límite marcado por la microescala de la turbulencia; a partirde tal límite, la energía de ese último microtorbellino se termina disipando en calor. Estecalor a su vez, genera una corriente convectiva de aire que puede servir de simiente parainiciar un nuevo proceso turbulento.

La intensidad que pueda alcanzar la turbulencia en un momento dado se recoge en elparámetro de estructura del índice de refracción, denotado como C2

n. Directamente rela-cionado con este parámetro aparece la densidad espectral de potencia de las fluctuacionesdel índice de refracción, Φn(κ), que permite caracterizar la distribución de energía en cadatorbellino dentro de la cascada de tamaños existentes que se originan en la atmósfera.

Modeladas las fluctuaciones del índice de refracción, se ha ilustrado el comportamientode una onda óptica cuando se propaga por un medio turbulento. Se ha partido del métodode Rytov, válido para regímenes de turbulencia débil y, a partir de la ecuación de campo, yconsiderando el comportamiento de la atmósfera como localmente homogéneo y localmenteisotrópico, se ha mostrado la caracterización de la fluctuación de potencia que recibe unfotodetector tras un proceso de recopilación de distintos trabajos que relacionan esta fluc-tuación con las microvariaciones del índice de refracción. En particular, se ha estudiadoque las fluctuaciones de irradiancia siguen una distribución logarítmico-normal, obtenién-dose además, funciones y/o parámetros que, en posteriores capítulos, encontrarán unaimportante aplicación, como la función de covarianza de la irradiancia o la varianza de lamisma, teniendo plenamente caracterizado este proceso y totalmente relacionado con losparámetros físicos del medio atmosférico.

47

Bibliografía

[1] T. Kyle, Atmospheric Transmission, Emission and Scattering, Pergamon Press, Oxford,1993.

[2] J. W. Hardy, Adaptive Optics for Astronomical Telescopes, Oxford Univ. Press, New York,1998.

[3] C.C. Davis, I.I. Smolyaninov and S.D. Milner, Flexible Optical Wireless Links and Networks,IEEE Communications Magazine, vol. 41, no. 3, pp. 51 – 57, Mar. 2003.

[4] D. Kedar and S. Arnon, Urban Optical Wireless Communication Networks: the Main Chal-lenges and Possible Solutions, IEEE Optical Communications, vol. 41, no. , pp. 52 – 57,May. 2004.

[5] I.I. Kim, B. McArthur and E. Korevaar, Comparison of Laser Beam Propagation at 785 nmand 1550 nm in Fog and Haze for Optical Wireless Communications Proc. SPIE vol. 4214,Optical Wireless Communications III, Eric J. Korevaar; Ed. p. 26-37, 2001

[6] M.A. Naboulsi and F. de Fornel, Fog Attenuation Prediction for Optical and Infrared Waves,Optical Eng., vol. 43, no. 2, pp. 319 – 329, Feb. 2004.

[7] T.H. Carbonneau and D.R. Wisely, Opportunities and Challenges for Optical Wireless; theCompetitive Advantage of Free Space Telecommunications Links in Today’s Crowded MarketPlace, SPIE Conf. on Opt. Wireless Comm. vol. 3232, pp. 119 – 128, Boston, Massachusetts,1998.

[8] C. Paterson, Constraints of Ground-Based Observations: the Atmosphere, NATO Ad-vanced Study Institute on Optics in Astrophysics, 2002, http://www-obs.univ-lyon1.fr/nato-corse/AtmosphereFoils.pdf.

[9] P. Buenestado Caballero, Análisis y Caracterización de la Capa Superficial At-mosférica., Tesis doctoral para el grado de Doctor en Ciencias Físicas,Departament d Astronomia i Meteorologia, Universidad de Barcelona, 2003,http://www.tdx.cesca.es/TESIS_UB/AVAILABLE/TDX-1220104-140301.


[11] U. Frisch, Turbulence. The Legacy of A. N. Kolmogorov, Cambridge University Press, 1996.[12] L.C. Andrews, R.L. Phillips, C.Y. Hopen, Laser Beam, Scintillation with Applications,

Bellingham, MA:SPIE Optical Engineering Press, Bellingham, Washington, 2001.[13] G. R. Ochs and R. J. Hill Optical Scintillation Method of Measuring Turbulence Inner Scale,

Appl. Opt. vol. 24, no. 15, pp. 2430–2432, Aug. 1985.[14] E. Brookner, Atmosphere Propagation and Communication Channel Model for Laser Wave-

lengths, IEEE Trans. on Communication Technology, vol. 18, no. 4., pp. 396–416 , Aug.1970

[15] J.R. Graham, Optical Effects of Atmospheric Turbulence,http://astron.berkeley.edu/ jrg/SEEING/node1.html, 2003.

48

BIBLIOGRAFÍA

[16] R. M. Nuber, K.S. Shanmugan, Modeling the Atmosphere as an Unguided Optical Communi-cations Channel, IEEE International Conference on Communications, ICC 89, BOSTON-ICC/89, Conference record. World Prosperity Through Communications, 1989.

[17] A.R. Weiß, S. Hippler, M.E. Kasper, N.J. Wooder and J.C. Quartel, Isoplanatic Angle UsingScidar and Adaptive Optics - First Results, IAU Site 2000 Conference, Marrakech, Nov.2000, to be published in ASP conference series 2001.

[18] X. Zhu and J. M. Kahn, Free Space Optical Communication Through Atmospheric TurbulenceChannels, IEEE Trans. on Communications, vol. 50, no. 8, pp. 1293–1300, Aug. 2002.

[19] S. Arnon, Optical Wireless Communication, chapter in the Encyclopedia of Optical Engi-neering (EOE), R. G. Driggers ed., Marcel Dekker 2003, pp. 1866–1886, Invited.


[21] A. Ishimaru, The Beam Wave Case and Remote Sensing, en Topics in Applied Physics:LaserBeam Propagation in the Atmosphere, Springer, New York, 1978, Chap. 3.

[22] A.G. Kjelaas, P.E. Nordal and A. Bjerkestrand, Scintillation and Multiwavelength CoherenceEffects in a Long-Path Laser Absortion Spectrometer, Appl. Opt. vol. 17, no. 2, pp.277–284, Jan. 1978.

[23] G.I. Taylor, The Spectrum of Turbulence, Proc. R. Soc. London A, vol. 164, pp. 476–490,Feb. 1938.

[24] D.D. Holm, Taylor’s Hypothesis, Hamilton’s Principle, and the LANS-α Model for ComputingTurbulence, Los Alamos Science, no. 29, pp. 172–180, Jan. 2005.

[25] R. L. Fante, Electromagnetic Beam Propagation in Turbulent Media, Proc.of the IEEE, vol.63, no. 12, pp. 1669–1692, Dec. 1975.

[26] M. S. Alouini, Impact of the Atmosphere on Ka-band Satellite Communication Systems, The-sis presented for the Degree of Master of Science in Electrical Engineering, Georgia Instituteof Technology, Aug. 1995

[27] A. Ishimaru, Wave Propagation, and Scattering in Random Media, Academic Press, Inc.vol. 1-2, 1978.

[28] M. Beran and A. Whitman, Scintillation Index Calculations Using an Altitude-DependentStructure Constant, Appl. Opt., vol. 27, no. 11, pp. 2178–2182, Jun. 1988.

[29] D. Sadot and N.S. Kopeika, Forecasting Optical Turbulence Strength on the Basis ofMacroscale Meteorology and Aerosols: Models and Validation, Optical Engineering, vol.31, no. 2, pp. 200–212, Feb. 1992.

[30] E.E. Gossard, Power Spectra of Temperature, Humidity and Refractive Index from Aircraftand Tethered Balloon Measurements, IEEE Trans. on Antennas and Propagation, vol. 8,no. 2, pp. 186–201, Mar. 1960.

[31] D. de Wolf, Waves in Turbulent Air: a Phenomenological Model, Proc. of the IEEE, vol.62, no. 11, pp. 1523–1529, Nov. 1974.

[32] H. Weichel, Laser Beam Propagation in the Atmosphere, SPIE, Bellingham, WA 1990.[33] S. Clifford and J. W. Strohbehn, The Theory of Microwave Line-of-Sight Propagation Through

a Turbulent Atmosphere, IEEE Trans. on Antennas and Propagation, vol. 18, no. 2, pp.264–274, Mar. 1970.

[34] J.W. Strohbehn, Line-of-Sight Wave Propagation through the Turbulent Atmosphere, Pro-ceedings of the IEEE, vol. 56, no. 8, pp. 1301–1318, Aug. 1968.

[35] A. Belmonte, Feasibility Study for the Simulation of Beam Propagation: Consideration ofCoherent Lidar Performance, Appl. Opt., vol. 39, no. 30, pp. 5426–5445, Oct. 2000.

[36] F.H. Champagne, C.A. Friehe, J.C. LaRue, and J.C. Wynagaard, Flux Measurements, FluxEstimation Techniques, and Fine-Scale Turbulence Measurements in the Unstable Surface

49

BIBLIOGRAFÍA

Layer Over Land , Journal of the Atmospheric Sciences, vol. 34, no. 3, pp. 515–530, Mar.1977.

[37] R.J. Hill,Models of the Scalar Spectrum for Turbulent Advection, Journal of Fluid Mechanics,vol. 88, no. 3, pp. 541–562, Mar. 1978.

[38] R.J. Hill and S.F. Clifford, Modified spectrum of atmospheric temperature fluctuations and itsapplication to optical propagation, J. Opt. Soc. Am., vol. 68, no. 7, pp. 892–899, Jul.1978.

[39] J.W. Strohbehn, Modern Theories in the Propagation of Optical Waves in a TurbulentMedium, en Topics in Applied Physics: Laser Beam Propagation in the Atmosphere,Springer, New York, 1978, Chap. 3.

[40] PAV. Free Space Optical Solutions, Enterprise FSO Products, disponible online enhttp://www.pavdata.com/en/products/entprod.html.

[41] LightPointe: Outdoor Wireless Solutions, Complete Product Line, disponible online enhttp://www.lightpointe.com/products/default.cfm.

[42] Canobeam. Free Space Optics, Canon Products, disponible online enhttp://www.usa.canon.com/html/industrial_canobeam/canobeam/index.html.

[43] A. Ishimaru, Electromagnetic, Wave Propagation, Radiation, and Scattering, EnglewoodCliffs, N.J. ; London : Prentice Hall, cop.1991.

[44] J. W. Strohbehn and S. F. Clifford, Polarization and Angle-of-Arrival Fluctuations for aPlane Wave Propagated through a Turbulent Medium, IEEE Trans. Antennas Propagation,vol. AP-15, pp. 416–421, May 1967.

[45] E. W. Weisstein, Fourier-Stieltjes Transform, From MathWorld–A Wolfram Web Resource.http://mathworld.wolfram.com/Fourier-StieltjesTransform.html

[46] J. G. Proakis, Digital Communication, New York, McGraw-Hill, 4th ed. 2001[47] D. L. Fried, Aperture Averaging of Scintillation, J. Opt. Soc. Am., vol. 57, no. 2, pp.

169–175, Feb. 1967.[48] D. L. Fried, Optical Resolution Through a Randomly Inhomogeneous Medium for Very Long

and Very Short Exposures, J. Opt. Soc. Am., Vol.56, No. 10, pp. 1372– 1379, Oct. 1966.[49] L. C. Andrews, Special Functions of Mathematics for Engineers, Bellingham, MA:SPIE

Optical Engineering Press, Bellingham, Washington, 1998.[50] L.C. Andrews, R.L. Phillips, C.Y. Hopen and M.A. Al-Habash, Theory of Optical Scintilla-

tion, J. Opt. Soc. Am. A, vol. 16, no. 6, pp. 1417–1429, Jun. 1999.[51] L.C. Andrews, R.L. Phillips and C.Y. Hopen, Aperture Averaging of Optical Scintillations:

Power Fluctuations and the Temporal Spectrum, Waves in Random Media, vol. 10, no. 1,pp. 53–70, Jan. 2000.

[52] L.C. Andrews and R.L. Phillips, Monostatic Lidar in Weak-to-Strong Turbulence, Waves inRandom Media, vol. 11, no. 3 pp. 233-245, Jul. 2001.

[53] A. Papoulis Probability, Random Variables, and Stochastic Processes, McGraw-Hill, 3rdedition, 1991.

[54] R. Hill, R. Frehlich, and W. Otto, The Probability Distribution of Irradiance Scintillation,NOAA technical Memorandum ERL ETL-274, January 1997.

[55] F.P. Mercier, Diffraction by a Screen Causing Large Random Phase Fluctuations, Proc.Camb. Phil. Soc. A, vol. 58, pp. 382–400, 1962.

[56] D.L. Fried, Propagation of an Infinite Plane Wave in a Randomly Inhomogenous Medium,J. Opt. Soc. Am., vol. 56, no. 12, pp. 1667–1676, Dec. 1966.

50

Capítulo 3

Simulación del Canal AtmosféricoTurbulento

En el capítulo anterior se ha estudiado en profundidad el fenómeno del centelleoatmosférico, de naturaleza multiplicativa y que afecta a todo pulso óptico que se propaguepor la atmósfera. En base a lo que ya se trató, se puede intuir fácilmente que el modelode propagación en espacio libre, expresado como un factor de pérdidas dependiente de ladistancia de propagación, será insuficiente en la práctica para describir el comportamientode un sistema óptico cuando se propaguen señales por la atmósfera, fundamentalmentecerca del suelo. La señal será susceptible de propagarse por múltiples caminos debido a lasreflexiones y a las difracciones que podrá sufrir en toda su trayectoria. Esta propagaciónmulticamino puede ocasionar, como ya se ha analizado, fluctuaciones en la amplitud, enla fase y en el ángulo de llegada de la señal, dando lugar al fenómeno del centelleo ópticoy que tiene, como se mostrará más adelante, efectos análogos al fading o desvanecimientode radiofrecuencia.

De hecho, el término centelleo (en inglés scintillation) surge originariamente paradescribir las fluctuaciones aleatorias en el dominio del tiempo que sufre la irradiancia de laseñal óptica debido a los cambios físicos del medio de propagación. La diferencia principalcon respecto a los desvanecimientos producidos en RF estriba en el significativo menortamaño medio de los objetos con los que interacciona la señal transmitida en comparacióna la longitud de onda de la señal.

En el presente capítulo se propone un modelo matemático que permita simular el efectodel canal sobre la señal transmitida, partiendo de algunas de las ideas propuestas para lageneración de secuencias de desvanecimiento [1]-[8]. Se presentará inicialmente la versiónmás sofisticada del modelo que incluye las expresiones analíticas del llamado espectro deKolmogorov; sin embargo, este modelo requiere una gran complejidad matemática y una

51

CAPÍTULO 3. SIMULACIÓN DEL CANAL ATMOSFÉRICO TURBULENTO

elevada carga computacional. Para mitigar esta situación, se va a proponer un modelogaussiano para la función de autocorrelación del centelleo, lo que permite que el sistemase caracterice por una gran simplicidad matemática. Se comparará la forma obtenida parael espectro temporal de la irradiancia del modelo exacto con el que se obtiene aplicando elmétodo aproximado que se propone, buscando establecer su validez por el gran parecidoque presenta. Basándose en esta aproximación y adaptando el método de Jakes [4], segenerarán los coeficientes de ruido de la secuencia de centelleo con una distribución es-tadística logarítmico-normal, la cuál es característica de los regímenes de turbulencia débiltal y como se vio en el capítulo anterior.

Al modelo que se propone se le va a dotar de parámetros que modelen la intensidadde la turbulencia, así como otros que integren el efecto de la presencia del viento enla transmisión. El capítulo se cerrará con una presentación de secuencias de centelleogeneradas por el modelo obtenido, así como unas curvas de ráfagas de error obtenidasde forma numérica utilizando un esquema de modulación OOK-NRZ (On-Off Keying noretorno a cero). Aunque el esquema con el que se consiguen estas curvas se presentará conmás detalle en el capítulo siguiente, sí que se anticipan en este capítulo algunos resultadosobtenidos que van a permitir realizar una comparativa entre el modelo de canal teórico yel propuesto a partir de unos cálculos matemáticos sencillos. La semejanza obtenida entrelos resultados numéricos derivados de ambos modelos servirá para reforzar la validez de losplanteamientos descritos en este capítulo para el desarrollo de un primer modelo de canalatmosférico que permita generar una secuencia de centelleo atmosférico.

3.1 Introducción

Las variaciones aleatorias en el índice de refracción, resultado de la mezcla turbulentade masas de aire atmosférico a diferente temperatura y con un cierto gradiente de veloci-dad, pueden originar fluctuaciones en la intensidad y en la fase de la señal que se estépropagando. En concreto, a la fluctuación de intensidad se le suele denominar centelleolog-normal de amplitud o perturbación logarítmica de amplitud debido a su descripciónestadística, siendo equivalente a un desvanecimiento de la señal. Este desvanecimiento seráapreciable en tiempo y espacio pero no en frecuencia [9, 10]. Si se considera que la aperturadel receptor es pequeña en comparación a la longitud de correlación de las fluctuaciones deirradiancia, entonces el receptor se comportaría esencialmente como un receptor puntual.De esta forma, la intensidad de luz recibida se relaciona con la amplitud logarítmica de laonda óptica, χ(t), mediante la expresión:

I(t) = I0 exp(2χ(t)

)(3.1)

52

3.1. INTRODUCCIÓN

tal y como se dedujo en la expresión (2.72) del capítulo anterior; donde I0 es la irradianciarecibida en ausencia de una atmósfera turbulenta, cumpliéndose que E[I] = I0, lo que,por conservación de energía, requiere la elección de E[χ] = −σ2

χ, tal y como ya se hadescrito [11, 12, 13]. Teniendo en cuenta todas estas consideraciones, se presentó en [14] unesquema de canal eficiente para comunicaciones ópticas atmosféricas que utilice modulaciónen intensidad y detección directa (IM/DD). Dicho esquema de canal se muestra en laFigura 3.1:

Figura 3.1: Modelo de canal óptico atmosférico.

En el esquema anterior, s(t) representa la señal óptica de entrada referida al bloque deconversión opto-electronico considerada como la potencia óptica instantánea recibida parael caso ideal en el que el medio no sea turbulento y se ignore el factor de pérdidas, A; n(t)es el ruido aleatorio, blanco y gaussiano de media cero y de naturaleza aditiva en la que sucomponente fundamental se refiere al ruido shot debido principalmente a la luz ambientalunido al ruido térmico del sistema receptor; A es el factor de atenuación de potenciaque sufre la secuencia de pulsos ópticos transmitidos como consecuencia de la atenuacióngeométrica, unido los fenómenos de absorción atmosférica y dispersión atmosférica vistosen el capítulo anterior. Dada unas condiciones meteorológicas concretas, una longitud deonda óptica determinada, y fijados el tipo de láser a emplear, y en particular su ángulode divergencia, así como el tamaño de la superficie fotosensible del receptor, se obtieneun valor concreto para A que puede considerarse constante con el tiempo en este modelo.Finalmente, y(t) es la señal obtenida en el receptor una vez ha pasado por el canal, mientrasque αsc(t) = exp

[2χ(t)

]representa al coeficiente de centelleo atmosférico variable con el

tiempo de la misma manera que fue presentado en (2.72), y que es el responsable delas fluctuaciones de irradiancia que sufre toda señal que se propaga por una atmósferaturbulenta. La justificación de emplear un modelo de canal óptico multiplicativo se discutióen el capítulo anterior; allí, se presentó la irradiancia de la señal óptica que se propaga porla atmósfera como el producto de la irradiancia que tendría dicha señal en espacio libremultiplicada por un factor variable en el tiempo. Este último factor es el encargado dedescribir las fluctuaciones de potencia que va a sufrir dicha señal en presencia de un medioturbulento.

Se asume en primera instancia, un escenario en aire claro (clear weather) en el que la

53


absorción atmosférica será minimizada por la elección de una longitud de onda óptica quese enclave en una de las ventanas de transmisión atmosférica. De igual modo, el esparci-miento temporal que pueda sufrir un pulso óptico propagándose por la atmósfera debido almulticamino inducido por la turbulencia atmosférica es perfectamente despreciable a tasasbinarias de hasta varios cientos de Mbps [15]. En el Capítulo 4 se retomará este efecto,estudiándose escenarios reales con atmósferas muy cargadas en polvo o en aplicaciones,generalmente de uso militar que requieran un funcionamiento extremo a varios Gbps (Gi-gabits/segundo); en tales escenarios, se deberá tener en cuenta el esparcimiento temporalprovocado tanto por el multicamino, debido a las inhomogeneidades de la atmósfera, comopor la dispersión debida a las variaciones del índice de refracción atmosférico. Además, seasume que la apertura efectiva del receptor compensa en gran medida el ángulo de diver-gencia que caracteriza al haz de luz láser empleado en la transmisión. Este último aspectoimplica que tanto el esparcimiento de haz como el esparcimiento angular pueden ser des-preciados. Bajo estas condiciones, sólo el efecto del centelleo atmosférico será consideradofundamentalmente en lo que resta de la presente Tesis Doctoral, salvo en ciertas ocasionesdonde se especifique lo contrario.

El tiempo de correlación del canal suele tener un valor elevado, generalmente de variosmilisegundos, en comparación con el período de bit, por lo que en la mayoría de las ocasionesel intervalo de decisión estará contenido en uno de estos intervalos de coherencia. Esto severá más adelante en la implementación del canal.

Por otra parte, y como es obvio, la señal que se propaga va a sufrir un proceso dedispersión (scattering) al chocar con las partículas de la atmósfera. Normalmente, todaslas componentes multicamino que se generen van a llegar al receptor dentro del mismointervalo de símbolo Ts, por lo que no se generará interferencia intersimbólica (ISI), aunquesin embargo, podrán añadirse en muchas ocasiones de manera destructiva degradando larelación señal a ruido. En este caso, que suele ser habitual, el modelo propuesto siguesiendo completamente válido.

3.2 Aportación de los trabajos con desvanecimientos en ra-diofrecuencia

Como ya se ha mencionado, el comportamiento desprendido de un canal afectado porturbulencias se caracteriza por un comportamiento muy parecido al que tiene un canalmulticamino afectado por desvanecimientos (fading) en radiofrecuencia. Así pues, podránser identificables algunos de los parámetros que caracterizaban los desvanecimientos enradiofrecuencia resultando trasladables al nuevo escenario de transmisión.

54

3.2. APORTACIÓN DE LOS TRABAJOS CON DESVANECIMIENTOS EN RADIOFRECUENCIA

En los canales para radiofrecuencia afectados por desvanecimientos, la naturaleza cam-biante del canal y, por tanto, la frecuencia Doppler generada, se explica por el movimientorelativo del móvil transmisor respecto al receptor, que ocasiona una diferencia de fase enla señal recibida debido a la diferencia en las longitudes de camino recorridas. A partirde esta diferencia de fase se puede obtener el desplazamiento Doppler fd [4, 16], que nosignifica más que una dispersión en frecuencia, esto es, un incremento del ancho de bandaocupado por la señal, cuyo valor máximo se expresa como

fd =v

λ, (3.2)

siendo v la velocidad del móvil asumida como una constante.

Ese mismo comportamiento es trasladable a los canales ópticos afectados por turbu-lencias, lo que permite determinar las variaciones temporales de la amplitud logarítmicade la secuencia de centelleo, así como de la irradiancia de la señal recibida. Para ello, sehará uso de la hipótesis de la turbulencia congelada [17] enunciada por G.I. Taylor en 1938y ya introducida en el capítulo anterior. En dicha hipótesis se adopta que las variacionesen el tiempo que sufre la señal recibida serán consecuencia directa del movimiento de lasno-homogeneidades atmosféricas a lo largo de todo el camino de propagación. Se asume,tal y como se dijo en el capítulo anterior, que el conjunto de las no-homogeneidades at-mosféricas se mueven como un todo, manteniendo constante las distancias relativas quelas separan. De tal forma que la analogía con la radiofrecuencia es muy grande salvo que,para los desvanecimientos de radiofrecuencia se asume que el transmisor y/o el receptorestán en movimiento; mientras que en los canales ópticos de espacio libre considerados enesta Tesis Doctoral, tanto el trasmisor como el receptor mantienen estática su posición yserán las capas de la atmósfera, y más en concreto los torbellinos de turbulencia, los quese irán desplazando por la atmósfera.

En el modelo de turbulencia congelada se suele asumir que todas las no-homogeneidadesse desplazan en la misma dirección y con la misma constante de velocidad, v, a travésdel vano. Esencialmente sólo debe considerarse la componente de la velocidad, u⊥, per-pendicular al camino de propagación [15]. Este modelo sólo resulta válido siempre ycuando el tiempo de vida de cada uno de los remolinos que conforman la atmósfera tur-bulenta sea mayor que el tiempo que necesita cualquiera de estos remolinos en atravesarel camino de propagación. Tatarskii [17] mostró que esta condición se cumple cuandol0 ¿ (λL)1/2 ¿ L0. Algunas medidas experimentales que se han realizado han corro-borado la validez de este modelo en un alto grado de satisfacción, ya que han puesto demanifiesto que, en muchos casos, un remolino sólo se desplaza 0.4 veces su tamaño antesde perder su identidad [15].

55


A partir de este modelo, y teniendo en cuenta la condición de Tatarskii ya mencionada,se puede obtener la longitud de la correlación de las fluctuaciones de intensidad, tambiéndenominada longitud de coherencia atmosférica, d0, que ya fue detallada en el capítuloanterior y donde se justificó la expresión aproximada propuesta en [17, 18, 19] dada por:

d0 ≈√

λL, (3.3)

para valores de σ21 ¿ 1 [20], y cuyo valor aparece directamente relacionado con el tamaño

de la primera zona de Fresnel. En caso de que σ21 > 1, será necesario utilizar la expresión

completa del parámetro de Fried dada en (2.3). A partir de d0 se puede obtener el esparci-miento que introducirá el canal atmosférico en el espectro de frecuencias de la señal ópticaemitida. En concreto, este esparcimiento frecuencial, que para el centelleo atmosféricosuele denominarse fc en lugar de la notación fd empleada en radiofrecuencia, responde ala expresión [21]

fc =1τ0

=u⊥d0

, (3.4)

que recuerda mucho a la expresión indicada en (3.2) para radiofrecuencia. En (3.4), se estámidiendo la frecuencia temporal máxima de las variaciones de intensidad que se observanen un punto fijo del vano y que depende de la componente transversal del viento, que es laencargada de desplazar la turbulencia a través del vano. Como se ve en dicha expresión, lafrecuencia predominante se obtiene al dividir la componente perpendicular del viento conla dirección de propagación del haz entre el tamaño de la zona de Fresnel. Normalmente,en la mayoría de los enlaces, es normal que el valor de esta frecuencia temporal se encuentreen el rango de 1 a 100 Hz para receptores con apertura de 10 cm. [22]. Obviamente, cuantomayor sea el tamaño de la apertura del receptor, menor será la intensidad del centelleo.

Relacionado con la anchura espectral surge el parámetro tiempo de coherencia Tc,que se define como la duración de tiempo sobre la que se espera que la respuesta delcanal a una sinusoide sea prácticamente invariante. Su cálculo se realiza a través delinverso del esparcimiento Doppler, tal y como puede encontrarse en [7]. Esta definición,tan ampliamente utilizada en radiofrecuencia, tendrá su homóloga en las comunicacionesópticas en espacio libre manteniendo incluso el mismo nombre, tiempo de coherencia,aunque expresado como τ0. En efecto, en ambos casos se hace referencia al mismo concepto:la duración en el tiempo en la que se espera que la respuesta del canal sea prácticamenteinvariante. En el capítulo anterior, se presentó ya la expresión de este tiempo de coherenciacomo

56

3.2. APORTACIÓN DE LOS TRABAJOS CON DESVANECIMIENTOS EN RADIOFRECUENCIA

τ0 =d0

u⊥. (3.5)

Otra de las manifestaciones debidas a la naturaleza variante del canal es el esparci-miento temporal que sufre toda señal que se recoja en el receptor. En concreto, cada una delas componentes multicamino en que se dividió la señal transmitida originalmente sufrirádistintos retardos. Cuando cada una de las componentes alcancen el receptor, se obtendráuna versión distorsionada de la señal transmitida. Este retardo puede ser caracterizadopor una constante Tm denominada esparcimiento temporal (delay spread), definida como ladiferencia entre el mayor y el más pequeño de estos retardos [23]. Este parámetro es el en-cargado de generar los efectos de dispersión en el tiempo y de desvanecimiento selectivo enfrecuencia en los canales de radiofrecuencia afectados por desvanecimientos. Sin embargo,ya se dijo en la sección anterior que el esparcimiento temporal que se genere en el caso delos canales ópticos atmosféricos es lo suficientemente pequeño como para no considerar elefecto de la ISI, salvo en escenarios especiales a regímenes binarios muy elevados, dondesu efecto sí debe tenerse en cuenta, tal y como se detalla en el próximo capítulo. Así, sepuede seguir asumiendo que el ancho de cada pulso sigue siendo Ts. Para las velocidadesde transmisión que se van a considerar en este capítulo, de varias decenas de Mbps, ypara los valores de tiempo de coherencia que se manejan, del orden de varios milisegundos,se cumple que τ0 > Ts y, por tanto, se puede considerar como lento el desvanecimientoocasionado por el centelleo atmosférico. Se aplaza al Capítulo 4 el estudio del efecto de ladispersión temporal sobre un pulso óptico propagándose por la atmósfera.

Relacionado con la dispersión temporal aparece el denominado ancho de banda decoherencia Bc definido, según aparece en [4, 7, 24], como el inverso del esparcimientotemporal. El ancho de banda de coherencia hace referencia al rango de frecuencias queel canal permite pasar con aproximadamente la misma ganancia y fase lineal [7]. Sinembargo, es posible que este factor sea el que menos afecte a las comunicaciones ópticasya que, tal y como se expone en [9, 25], el ancho de banda de un enlace óptico no estáactualmente limitado por la propagación atmosférica sino por la tecnología empleada tantoen el transmisor como en el receptor. Por tanto, a lo largo de este capítulo no se considerarála limitación que podría imponer el ancho de banda del canal, aplazándose nuevamente esteaspecto para el Capítulo 4.

En otro orden de cosas, se considera que el ancho de banda de la señal transmitida,W, es estrecho en comparación con el ancho de banda de coherencia, Bc, inherente al canala frecuencias dentro del rango óptico. De esta manera, se asumirá un canal no selectivoen frecuencia. Las características espectrales de la señal transmitida se mantendrán en elreceptor aunque, sin embargo, la intensidad de la señal recibida cambiará con el tiempo.Este comportamiento puede verse en la Figura 3.2.

57


Figura 3.2: El canal será no selectivo en frecuencia.

Como puede apreciarse, considerar un canal no selectivo en frecuencia se traduceen asumir que Bc > W o bien que Tm < Ts. La situación típica puede verse en laFigura 3.3 (a). Sin embargo, conforme las masas de aire atmosférico se vayan desplazando,entonces la señal recibida puede experimentar algún tipo de distorsión selectiva en fre-cuencia, aún cuando la condición Bc > W se siga manteniendo. Esto puede verse en laFigura 3.3 (b), en la que la señal óptica que se propaga atraviesa un mínimo de la respuestaen frecuencia del canal. En estos casos, la señal que se recibe queda muy degradada. Portanto, aun asumiendo un canal no selectivo en frecuencia, habrá ocasiones en las que, porel fenómeno del centelleo, el canal se termine comportando como selectivo en frecuencia.Este comportamiento pernicioso en las prestaciones del sistema tendrá menor efecto cuantomayor sea el valor del ancho de banda de coherencia. Es inmediato encontrar nuevamenteuna clara analogía con los sistemas de radio frecuencia, donde también se produce esteefecto, si bien viene determinado por el cambio de posición del móvil.

Un último paralelismo que se establece entre los canales con desvanecimientos deradiofrecuencia y los canales ópticos en espacio libre ocurre con respecto a la estacionarie-dad del mismo. En concreto, Bello [26] propuso, en radiofrecuencia, un modelo de canalestacionario en sentido amplio que consideraba incorreladas las variaciones de la señalrecibidas. De forma análoga, en [27] se considera el viento atmosférico como un procesoaleatorio estacionario y en los trabajos referidos en [9, 28] se asume que el proceso, engeneral no estacionario, del centelleo atmosférico se comporta como estacionario para cor-tos intervalos de tiempo en los que las condiciones meteorológicas se puedan aproximarcomo razonablemente constantes. Este hecho es coherente con la expresión obtenida en[21], donde se consideraba sólo la estructura espacial de la turbulencia, esto es, se asumíauna estacionariedad espacial. A partir de dicha expresión se presentaban tanto el espec-

58

3.3. ESCENARIO DE SIMULACIÓN

(a)

(b)

Figura 3.3: (a) Situación típica para un canal no selectivo en frecuencia. (b) Situación en la queun nulo de la respuesta en frecuencia del canal coincide con el centro del ancho de banda de la señaltransmitida, aún manteniéndose las condiciones de canal no selectivo en frecuencia (Bc > W ) [7].

tro de Kolmogorov como las diferentes modificaciones al mismo, donde se le suponía unahomogeneidad estadística a la atmósfera, o lo que es lo mismo, se volvía a asumir que la at-mósfera se comportaba como estacionaria en el espacio. De hecho, se sabe que la atmósferaes notablemente no estacionaria, es decir, los estadísticos de sus fluctuaciones varían conel tiempo y con el espacio. Sin embargo, una aproximación muy aceptada que simplificamucho el análisis del problema se basa en asumir que la atmósfera se comportará comohomogénea y localmente isotrópica. Sólo de esta manera, presuponiendo estacionariedad eisotropía, se pueden obtener las fórmulas presentadas en el capítulo anterior. Tal y comose comenta en [22], esta aproximación se hace realidad en el momento en el que el númerode onda espacial κ se hace mayor que κ0 = 2π/L0, lo que no es nada desdeñable teniendoen cuenta que el modelo clásico de Kolmogorov se obtenía asumiendo L0 = ∞.

3.3 Escenario de simulación

En primer lugar, se parte de una atmósfera localmente isotrópica, homogénea y esta-cionaria en el espacio. Esta atmósfera generará dos tipos de variaciones en la señal que seestá transmitiendo: variaciones a pequeña y a gran escala. Las primeras son ocasionadas

59


por los procesos difractivos que sufre el haz de luz que se propaga al interactuar con célulasturbulentas de pequeño tamaño, normalmente menores que el radio de la primera zona deFresnel [29]. Estas variaciones a pequeña escala se superponen a aquellas a gran escala,de manera que el esparcimiento total sufrido por el haz luminoso transmitido puede versecomo un proceso de modulación en el que la señal moduladora estaría constituida por lasfluctuaciones de irradiancia a gran escala. Precisamente, estas variaciones a gran escalaengloban a los distintos fenómenos refractivos provocados por las células turbulentas demayor tamaño. Tales células afectan a la posición media del haz de luz en un período detiempo de varios segundos provocando, entre otros efectos, el denominado como la derivaerrática del haz (beam wander). Este intervalo temporal puede estimarse mediante el co-ciente entre el tamaño del haz de luz transmitido dividido entre la velocidad del viento [30].Normalmente estas variaciones a gran escala aparecen relacionadas con la diferente densi-dad atmosférica que pueden gobernar a dos puntos diferentes del enlace de transmisión, ymás frecuente en enlaces que contengan una componente vertical ya que, en estos casos, alaumentar la altura de propagación, es cada vez menor la densidad atmosférica existente.Por ello, este efecto se hace más acusado con la altura, siendo más significativo en enlacesverticales. Así pues, en este trabajo se podrá prescindir del efecto de las variaciones a granescala, ya que se ha seleccionado un enlace de propagación horizontal con una separaciónentre los puntos a comunicar lo suficientemente pequeña como para considerar irrelevanteslos efectos refractivos. En caso necesario, este efecto puede ser compensado mediantetransmisores dotados de mecanismos de seguimiento rápido (fast-tracking) [31], donde eltransmisor adapta su ángulo de salida del haz para ajustarse instantáneamente al ángulode incidencia al plano del receptor con el cual llegan los frentes de onda procedentes deuna baliza (o de un reflector) localizados en el receptor.

Además, tal y como se ha comentado en la sección anterior, se asume que el procesode centelleo es lento y no selectivo en frecuencia, por lo que verifica las condiciones deτ0 > Ts y Bc > 1/Ts respectivamente. De esta forma, se adoptará el modelo propuesto enla Figura 3.1 como adecuado y suficiente para describir la propagación de la señal ópticapor la atmósfera turbulenta

Otro de los aspectos que no ha sido tenido en cuenta en la simulación son las fluctua-ciones de la fase del proceso de centelleo atmosférico S, también llamadas centelleo de fase,y que se puede ver como la parte imaginaria de todo el proceso de centelleo ψ = χ + jS,donde χ se conoce como la perturbación logarítmica de amplitud, tal y como ya se hacomentado en el capítulo precedente. La razón subyacente es que se pretende caracterizarel comportamiento de sistemas ópticos de modulación en intensidad y detección directa(IM/DD) con tamaños de apertura, D, pequeños (del orden de D ¿ d0) para los cuales, elparámetro fundamental que se utiliza para medir su rendimiento es la cantidad de potencia

60

3.4. GENERACIÓN DEL COEFICIENTE DE CENTELLEO

recibida. Puesto que la potencia depende de la irradiancia y esta a su vez, se calcula, según(2.72), como el cuadrado del módulo del campo electromagnético, sólo es necesario teneren cuenta el parámetro χ(t).

En otro orden de cosas, se adopta un régimen de turbulencia débil como marco detrabajo adoptado en las simulaciones realizadas. La intensidad de la turbulencia seráasumida como débil, es decir, los valores del parámetro de estructura C2

n acompañados delvalor fijado para la distancia de propagación verificarán que σ2

1 < 1.

Por último, se realiza la siguiente consideración en cuanto al tipo de propagaciónseguido: se asume la transmisión de pulsos gaussianos OOK en banda base (sin ningúntipo de modulación frecuencial). Puesto que en muchas aplicaciones resulta suficienteuna caracterización del frente de onda propagado mediante la aproximación a una ondaplana [10], se supondrá que esta será la forma de onda que llega al receptor tras haberseestado propagando en la dirección horizontal, x. Ello permite la utilización de expresionesmás sencillas fundamentalmente en lo concerniente a la covarianza de la amplitud loga-rítmica del centelleo. Además, la velocidad del viento, que se modela como una funcióndependiente de la posición [32, 33, 34], se asumirá constante a lo largo de todo el vano, loque permite seguir en consonancia con las expresiones presentadas en él capítulo anterior,pero dará una mayor simplificación matemática al modelo de canal elegido. En concreto,partiendo del modelo de turbulencia congelada ya presentado, se sabe que va a ser la com-ponente del viento perpendicular a la dirección de propagación del haz de luz, u⊥, la queafecte a las fluctuaciones de intensidad.

Con las anteriores suposiciones de velocidad del viento constante y propagación hori-zontal (altura del enlace h también constante), y conforme al modelo de Hufnagle-Valleypresentado en [30], se adopta un valor del parámetro de estructura C2

n constante en todoel enlace, lo que se muestra en consonancia con las distintas mediciones realizadas.

3.4 Generación del coeficiente de centelleo

Como se ha explicado, las fluctuaciones del índice de refracción atmosférico son elprincipal factor responsable del fenómeno del centelleo atmosférico. Este centelleo puedeverse como un coeficiente variable con el tiempo, αsc(t) = exp (2χ(t)), que caracteriza lavariación de irradiancia que sufre la señal óptica transmitida. Tomando como punto departida el modelo presentado en la Figura 3.1, en este apartado se describirá el procedi-miento de generación de tal coeficiente de centelleo. El proceso seguido tiene similitudescon un modelo ya desarrollado por Clarke e implementado por Smith, tal y como se exponeen [4], pero al que se dota de un dispositivo no lineal sin memoria que permite realizar un

61


cambio de estadísticos a la señal entrante. El modelo completo para la generación de lasecuencia de centelleo se muestra en la Figura 3.4 y fue publicado en [14, 35].

Figura 3.4: Diagrama de bloques que permite la generación del coeficiente de centelleo atmosférico,tal y como se presenta en [35, 14].

Se ha estudiado que la fluctuación de la amplitud logarítmica del centelleo sigue unadistribución normal, explicado por la aplicación del teorema del límite central a la ecuación(2.36). Es decir, la fluctuación de la perturbación logarítmica de amplitud tiene unaexpresión de la forma χ = 1

2 ln(I/I0). Esto conlleva una distribución logarítmico-normalpara la irradiancia I, tal y como propone el método de Rytov. Por ello, es razonablecomenzar la simulación a partir de la generación de una trama de ruido gaussiano, z(t)que, tras ser filtrada convenientemente para dotarla del contenido espectral adecuado,simule el comportamiento de χ(t). Posteriormente, se debe dotar de algún mecanismo alsimulador de canal turbulento que permita realizar un cambio de estadísticos; en particular,debe transformar la distribución gaussiana inicial a una distribución logarítmico-normalque caracteriza a la intensidad de la luz recibida para regímenes de turbulencia débil.

A partir del método de Box-Muller modificado [36], se puede generar una trama devariables aleatorias gaussianas distribuidas entre [−1, 1], de media cero y varianza unidad.Operando así, es posible obtener la realización del proceso z(t). Sin embargo, esta tramaresultaría completamente insuficiente para replicar el comportamiento que se espera deχ(t). Hasta ahora, el único parecido que guardarían ambas tramas sería la naturalezagaussiana en sus estadísticos. Pero como ya se ha explicado con anterioridad, se necesitadotar al sistema de algún mecanismo que permita simular tanto el comportamiento varianteen el tiempo del canal debido al movimiento de las turbulencias en la atmósfera por la acciónde la velocidad del viento; como el esparcimiento en el tiempo que van a sufrir cada unode los pulsos transmitidos. El primero de estos mecanismos será tratado a lo largo delpresente capítulo. El esparcimiento temporal será estudiado e incorporado en el modelode canal en el Capítulo 4.

Volviendo al primero de los mecanismos ya mencionados, se asume que la señalrecibida, si se prescinde del ruido aditivo, ha ido viajando por múltiples caminos dis-

62

3.4. GENERACIÓN DEL COEFICIENTE DE CENTELLEO

persivos, cada uno de los cuales está asociado a un retardo de propagación distinto, τn(t).La expresión de dicha señal recibida responde al sumatorio de las contribuciones corres-pondientes a cada una de las distintas trayectorias multicamino de propagación:

y(t) =∑

n

αscn(t)s(t− τn(t)), (3.6)

donde αscn(t) el coeficiente variable con el tiempo que representa a la secuencia de centelleoatmosférico asociada a la n-ésima componente multicamino, siendo s(t) =

∑k akp(t− kTb)

la señal de potencia, OOK en este caso, transmitida en banda base, donde p(t) es la formade pulso transmitida, ak = [0, 1] y Tb es la tasa de bit. La expresión anterior muestrala respuesta que tendría el canal turbulento a la señal s(t). Puesto que las magnitudesde potencia y corriente están directamente relacionadas a través de la respuesta del fo-todetector, es inmediato ver que la respuesta del canal, paso bajo, vendrá descrita porsu correspondiente respuesta al impulso, sin más que sustituir s(t) por δ(t) en (3.6) de laforma:

h(τn; t) =∑

n

αscn(t)δ(t− τn(t)). (3.7)

Algunos modelos de canal asumen un continuo de retardos multitrayecto, por lo queel sumatorio de la ecuación anterior se convierte en una integral de la forma

h(τ ; t) =∫

αsc(ξ; t)δ(τ − ξ)dξ, (3.8)

tal y como aparece en [16, 24], y que, tras resolver la integral, puede expresarse como

h(τ ; t) = αsc(τ ; t), (3.9)

de acuerdo con la propia definición de la función delta de Dirac. En esta última ecuación,αsc(τ ; t) indica la perturbación introducida por el canal en la señal en el instante de tiempo t

y con un retardo τ . Del mismo modo, h(τ ; t) representa la respuesta del canal en el instantede tiempo t debido a un impulso aplicado en el instante de tiempo t− τ .

Si se impone muy pequeño el esparcimiento en el tiempo Tm que sufrirá la señal, estoes, el retardo transcurrido entre la primera de las componentes multicamino que lleganal receptor y la última de ellas, de forma que Tm ¿ W−1, siendo W el ancho de bandaque ocupa la señal, entonces el retardo asociado a la componente multitrayecto i-ésimaτi ≤ Tm 0 i de manera que s(t − τi) ≈ s(t) 0 i, y por tanto, la ecuación (3.6) se puedeescribir como:

63


y(t) = s(t)∑

n

αscn(t). (3.10)

La expresión anterior difiere de la señal transmitida originariamente s(t) en los factoresde naturaleza aleatoria αscn(t), que son independientes de s(t), siempre que la suposiciónimpuesta Tm ¿ W−1 se cumpla. Puesto que el valor de Tm muy pequeño, los retardosτm correspondientes a cada componente multicamino también lo serán. Al ser el retardomuy pequeño, las secuencias de centelleo correspondientes tendrán prácticamente la mismamagnitud; si a este hecho se le une que tales retardos caen dentro de un intervalo de decisióndel receptor, se puede escribir la ecuación (3.10) como:

y(t) = s(t)αsc(t). (3.11)

La secuencia αsc(t) hace referencia al coeficiente temporal de centelleo atmosféricoque sigue una distribución logarítimico-normal y que afecta de manera multiplicativa a laseñal transmitida. Recordando su definición, este centelleo no es más que la variación dela potencia óptica recibida en el fotodetector y por ello, modela a las fluctuaciones de lairradiancia de la señal óptica transmitida. Como la expresión de la intensidad de la luzrecibida es I = I0 exp (2χ), tal y como fue presentada en (2.72), es claro ver que se con-sigue modelar de una forma sencilla el comportamiento de la secuencia de centelleo αsc(t)partiendo de la amplitud logarítmica del centelleo, χ(t). De hecho, la función densidad deprobabilidad log-normal de la intensidad de la luz, I, aparece frecuentemente expresada entérminos de σ2

χ tal y como se vio en la ecuación (2.74); o incluso en términos de la matrizde covarianzas [18], para el caso de que haya más de un receptor.

De esta manera, y volviendo nuevamente a la Figura 3.4, se partirá del estudio deχ(t) y se aprovechará su naturaleza gaussiana para poder aplicar el método de simulaciónde Clarke [4], tan frecuentemente utilizado en la simulación de canales de radiofrecuenciaafectados por desvanecimientos. Si se considera un régimen de turbulencia débil, σ2

χ ¿ 1,entonces se cumple que la covarianza normalizada de la irradiancia de la onda óptica, bI(r),coincide con la covarianza normalizada de la fluctuación logarítmica de amplitud, bχ(r),tal y como puede verse en el Apéndice II de esta tesis. O lo que es lo mismo, la funciónde covarianza espacial de las fluctuaciones de la irradiancia, BI(r), será aproximadamentecuatro veces el valor de la función de covarianza espacial de las fluctuaciones de la log-amplitud, Bχ(r), de la forma BI(r) ≈ 4Bχ(r), tal y como se vio en (2.86).

Partiendo de esta último hecho, es inmediato ver que coincidirán las formas de losespectros de potencia de las fluctuaciones de intensidad y de las fluctuaciones de la log-amplitud, salvo en un factor cuatro de amplitud. Por tanto, el tipo de filtro que debe ser

64

3.5. ESPECTRO TEMPORAL DE LAS FLUCTUACIONES DE IRRADIANCIA

incluido en el primer bloque de la Figura 3.4 para simular el coeficiente de centelleo puedeser el correspondiente a las fluctuaciones de la amplitud logarítmica.

Esta etapa de filtrado dotará del contenido espectral de potencia adecuado que debetener la secuencia de centelleo, y permitirá simular la naturaleza variante en el tiempo delcanal, que hasta ahora sólo había sido comentada y que viene causada por el movimiento delas células atmosféricas turbulentas que son empujadas por el viento. Bajo la hipótesis de laturbulencia congelada de Taylor [17], e incluyendo el espectro propuesto por Kolmogorov(2.21), se puede modelar con gran precisión el tipo de filtrado necesario en esta etapa.Sin embargo, debido a su complejidad numérica, se realizará una aproximación al mismomediante un modelo gaussiano de autocorrelación que, posteriormente, tras la aplicacióndel teorema de Wiener - Khintchine, permita la obtención del tipo de filtrado a introducir.En el punto siguiente se aborda la implementación de esta etapa de filtrado mediante elespectro de Kolmogorov. En un punto posterior, se sustituirá el modelo de Kolmogorovpor el modelo gaussiano y se realizará una comparativa de resultados.

3.5 Espectro temporal de las fluctuaciones de irradiancia

Tal y como se ha visto en el capítulo anterior, basándose en la hipótesis de Taylor dela turbulencia congelada, los estadísticos espaciales pueden ser convertidos a estadísticosen el dominio temporal siempre que se tenga conocimiento de la velocidad del viento ensentido transversal a la dirección de propagación, u⊥. Si se supone la condición de régimende turbulencia débil añadido a una naturaleza plana e infinita para la onda incidente y,bajo la aproximación de Rytov, la función de covarianza temporal de la irradiancia puedeexpresarse, tal y como se indica en [29], como:

BI(r, L) = 8π2k2L

∫ 1

0

∫ ∞

0κΦn(κ)J0(κr)

(1− cos

Lκ2ξ

k

)dκdξ. (3.12)

Si se establece que r = u⊥τ , entonces la expresión (3.12) se puede denotar como:

BI(τ, L) = 8π2k2L

∫ 1

0

∫ ∞

0κΦn(κ)J0(κu⊥τ)

(1− cos

Lκ2ξ

k

)dκdξ, (3.13)

donde, efectuando la integral según la variable ξ, se obtiene

BI(τ, L) = 8π2k2L

∫ ∞

0

(1− k

κ2Lsin

κ2L

k

)Φn(κ)J0(κu⊥τ)κdκ (3.14)

siendo κ = 2π/l el número de onda espacial, donde l es el tamaño de escala de una célula

65


turbulenta [22]; además, k = 2π/λ denota el número de onda del haz emitido y ξ = 1− z/L

es la variable distancia normalizada. El término Φn(κ) indica el espectro de potenciaespacial tridimensional de Kolmogorov o cualquiera de sus variantes, ya presentadas en elcapítulo anterior en las expresiones (2.19)-(2.24). Mediante J0(·) se denota a la función deBessel de primera clase y orden cero.

Puesto que el índice de centelleo atmosférico, σ2I , es una particularización de la función

de la covarianza de la irradiancia, BI(r), para r1 = r2 = r, siendo ri las posicionestransversales de los puntos de observación mientras que r = |r1 − r2|; es posible aplicar laexpresión obtenida en [30], pero generalizándola para la función de covarianza. Así,

BI(τ) = exp[Bln x(τ) + Bln y(τ)

]− 1, (3.15)

donde, de forma análoga a lo visto en (2.67), Bln x(τ) y Bln y(τ) son las covarianzas logarít-micas de gran y pequeña escala, respectivamente. Completando la expresión presentada en[30] para el índice de centelleo de una onda plana, válida para un espectro de potencia delas fluctuaciones del índice de refracción, Φn(κ), que siga la ecuación presentada en (2.68),las expresiones para Bln x(τ) y Bln y(τ) tendrán la forma:

Bln x(τ) ∼= 0.49σ21

(1 + 1.11σ12/51 )7/6

1F1

(76; 1;−ω2

t τ2ηx

4

),

Bln y(τ) ∼= 0.506σ21

(1 + 0.69σ12/51 )5/6

(ω2

t τ2ηy

)5/12

K5/6

(ωtτ

√ηy

);

(3.16)

asumiendo que es despreciable el efecto de la microescala de la turbulencia, esto es, l0 = 0.En la expresión anterior, wt = u⊥/

√λL mientras que σ2

1 = 1.23C2nk7/6L11/6 es la varianza

de Rytov para onda plana cuya expresión fue tratada en el Capítulo 2, en (2.81). Por otraparte, 1F1(a; c; x) es la función hipergeométrica confluente de primera clase [37], y K5/6 esla función modificada de Bessel de segunda clase y de orden 5/6. Andrews y Phillips [29]proponen una expresión más compacta para modelar las expresiones (3.15)-(3.16), basadaen el espectro de Kolmogorov dado en (2.21) y que a continuación se reproduce de formaliteral:

BI(τ, L) = 3.87σ21Re

[j5/6

1F1

(−5

6;1;

jk(u⊥τ)2

2L

)− 0.60

(k(u⊥τ)2

L

)5/6], (3.17)

siendo σ21 nuevamente la varianza de Rytov para una onda plana donde bajo condiciones

de un régimen de turbulencia débil, puede ser escrita como σ21 = σ2

ln I(L) ∼= σ2I (L) [29, 30],

lo que la relaciona con el índice de centelleo atmosférico. Finalmente, j representa a la

66

3.6. MODELO ESCALAR DE CANAL ÓPTICO PROPUESTO

unidad imaginaria. A partir de las expresiones anteriores, se puede calcular el espectrotemporal resultante de las fluctuaciones de irradiancia de la forma:

SI(ω) = 4∫ ∞

0BI(τ) cos ωτdτ. (3.18)

Si se realiza el cambio de variables s = ωtτ , propuesto en [29], se obtiene una expresiónmás útil de cara a realizar los cálculos numéricos. Procediendo así, la expresión final quedade la forma:

SI(ω) =4ωt

∫ ∞

0BI(s/ωt) cos

(ωs

ωt

)ds, (3.19)

donde en BI(s/ωt) hay que sustituir las expresiones indicadas en (3.15)-(3.16), o bien laobtenida en (3.17).

3.6 Modelo escalar de canal óptico propuesto [14]

A partir del modelo propuesto en la Figura 3.4, se pretende modelar la naturalezavariante en el tiempo del canal. El primer paso es elegir el tipo de filtrado necesario aincluir en la primera etapa de dicha figura, de manera que se dote del contenido espectral depotencia adecuado a las fluctuaciones de irradiancia que se pretende modelar. Sin embargo,como ya se ha mencionado, la dificultad matemática que implica trabajar directamentecon el espectro de Kolmogorov e incluirlo dentro de esa etapa de filtrado ha motivado queen esta Tesis Doctoral se deseche esta opción por ser numéricamente muy costosa. Ensu lugar, se ha propuesto un modelo de autocorrelación gaussiano [14, 35] que emule elcomportamiento real que se obtendría al utilizar el espectro teórico de Kolmogorov.

Se supone que las distancias de separación que rigen en (3.17) son pequeñas y de laforma l0 ¿ r ¿

√L/k, y además se considera la siguiente aproximación para la función

hipergeométrica confluente o función de Kummer:

1F1(a; b;−v) ≈ 1− av

b|v| ¿ 1. (3.20)

Sustituyendo estas hipótesis en (3.17), es decir,

1F1

(−5/6; 1; jkr2/(2L)) ≈ 1− 0.84(jkr2/(2L)),

y calculando j5/6 = 0.2588 + 0.9659j; entonces, la función de covarianza de la irradianciadada en (3.17) se reduce a:

67


BI(r, L) ≈ 3.87σ21

[0.2588 + 0.8114z − 0.60

(2z

)5/6

], (3.21)

habiendo agrupado nuevamente r = u⊥τ , siendo z = kr2

2L . De esta manera, si se desarrollaz se obtiene que z = 2πr2

2λL = πz′ donde z′ = r2

λL . Con estas últimas expresiones, se puedeescribir la función de covarianza (3.21) como:

BI(r, L) ≈ 3.87σ21

[0.2588 + 2.5491z′ − 2.7752(z′)5/6

]. (3.22)

Si se asume que (z′)5/6 ≈ 1.014z′ para z′ ∈ (0, 1), es posible operar la expresiónanterior de manera que se pueda representar como:

BI(r, L) ≈ σ21

[1− 1.0334z′

]. (3.23)

Hasta aquí, toda la teoría que se ha venido desarrollando se ha encargado de describirla turbulencia atmosférica en términos de estadísticos espaciales. Sin embargo, son losestadísticos temporales los que se obtienen directamente de las mediciones para la mayoríade las aplicaciones. Afortunadamente, la hipótesis de la turbulencia congelada [17] permiterealizar una conversión espacio-temporal de los estadísticos a partir del conocimiento de lavelocidad media del viento en su componente perpendicular a la dirección de propagacióndel haz de luz óptico transmitido, u⊥. Esta hipótesis de Taylor puede expresarse comoχ(r, t + τ) = χ(r− u⊥τ, t). Procediendo así, la función de covarianza puede denotarseentonces como Bχ(r) = Bχ(u⊥τ). Si se tiene en cuenta la condición l0 ¿ r ¿

√L/k, que

mantiene su validez para la condición l0 ¿ r ¿√

λL, es posible ajustar (3.23) a:

BI(τ, L) ≈ σ21 exp

(−1.0334

τ2

τ20

)≈ σ2

1 exp(−τ2

τ20

), l0 ¿ r ¿

√λL (3.24)

donde d0 =√

λL es la longitud de correlación de las fluctuaciones de intensidad, L satisfacela condición l0 <

√λL < L0 mientras que τ0 = d0/u⊥ es el tiempo de correlación de la

turbulencia. Además, para el caso de una onda plana bajo un régimen de turbulenciadébil, σ2

1 = σ2ln I(L) ∼= σ2

I ≈ 4σ2χ [29, 30]; por consiguiente, Bχ(τ, L) ≈ σ2

χ exp(−τ2/τ2

0

).

68


3.6.1 Aproximación gaussiana para la función de autocorrelación

Partiendo de la aproximación anterior para la función de covarianzas, Bχ(τ, L), seadopta en este trabajo un modelo estadístico de segundo orden gaussiano de la forma

Rχ(τ) = E[χ(t)χ∗(t− τ)] = σ2χ exp

[−

(τ

τ0

)2]= Bχ(u⊥τ), (3.25)

donde τ0 es el tiempo de coherencia del centelleo atmosférico, tal y como se vio en laecuación (3.5). La variable χ(t) hace referencia a la amplitud logarítmica del centelleo,siendo su desviación típica σχ. Se ha aproximado (E[χ])2 ' 0 del mismo modo que se hizoen la sección 2.5.2, de forma que la función de autocorrelación y la de covarianza coincidan(estrictamente, se tendría que haber añadido a Rχ(τ) un término σ4

χ ¿ 1 para regímenesde turbulencia débil).

Aplicando el teorema de Wiener- Khintchine, se puede calcular la densidad espectralde potencia de la ecuación (3.25), cuya expresión final es (ver Apéndice III):

|Hsc(f)|2 =∫ ∞

−∞Rχ(τ)e−j2πfτdτ = σ2

χτ0

√πe−(πτ0f)2 . (3.26)

Para corroborar el grado de similitud que guarda el modelo gaussiano respecto aloriginal de Kolmogorov, se presenta, en la Figura 3.5, una comparativa de ambos espectrosque fue aceptado en [14]. Como dato a destacar, hay que comentar que el espectro deKolmogorov ha sido simulado a partir de la expresión (3.19), donde se ha usado comoΦn(κ) la expresión dada en la ecuación (2.68), donde lx →∞ y ly → 0.

Sin embargo, hasta ahora sólo se ha obtenido el módulo al cuadrado de la respuestaen frecuencia del filtro que se desea. Para obtener la forma final de Hsc(f) es necesariorealizar nuevas suposiciones. Por ejemplo, es evidente que el canal ha de ser causal, esdecir, no debe ser anticipativo, sino que los valores de su salida deben depender del valoractual de la entrada y de valores anteriores. Como se indica en [38], si el sistema es causal,no es posible conseguir fase cero y, por consiguiente, se debe permitir una cierta distorsiónde fase. Para diseñar la naturaleza de la fase que acompaña al filtro basta con mencionardos conceptos: por un lado, una fase no lineal tiene un efecto importante en la forma dela señal; por otro, el efecto de la fase lineal se traduce simplemente en un desplazamientotemporal. Por ello, para preservar el resultado obtenido respecto al módulo del filtro,parece lógico asignar una fase lineal a la respuesta en frecuencia, es decir:

Hsc(f) = |Hsc(f)|e−j2πfα, (3.27)

69


−800 −600 −400 −200 0 200 400 600 8000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Frecuencias (Hz)

Am

plitu

d no

rmal

izad

a

AproximaciónGaussiana

Espectro deKolmogorov

Figura 3.5: Comparación de los espectros de amplitud correspondiente al obtenido de formaexacta, con la expresión dada en (3.19) para onda plana, y el obtenido al realizar la aproximacióngaussiana para la autocorrelación del centelleo atmosférico [14].

donde α será establecido a la mitad de la duración, M , de la respuesta al impulso del filtro.Por lo tanto, la expresión propuesta para la respuesta en frecuencia del filtro es:

Hsc(f) =(σ2

χτ0

√π)1/2

e−12(πτ0f)2e−j2πfα. (3.28)

El procedimiento a seguir a partir de ahora es el siguiente1. Primero se calcula larespuesta al impulso del filtro en tiempo discreto, hsc[n], 0 ≤ k ≤ M − 1. Para ello, seselecciona una frecuencia de muestreo, Fs, de unas cinco veces el máximo ancho de bandadel filtro Hsc(f), que será proporcional al inverso de τ0, de manera que

Fsτ0 ≈ 5. (3.29)

Este hecho permite acelerar el cómputo de las transformadas de Fourier discretas(DFT’s) requeridas en el proceso, al haber un menor número de muestras implicadas. El

1El procedimiento de discretización que se va a explicar se podrá aplicar igualmente a la expresión(3.19), que utilizaba el espectro de las fluctuaciones del índice de refracción propuesto por Kolmogorov.Previamente, será necesario tener en cuenta (3.27)

70


valor se justifica porque, conforme al criterio de Nyquist, se necesita una frecuencia demuestreo que sea, al menos, dos veces el ancho de banda de la señal [38]. Y por otro lado,no interesa un valor de Fs muy elevado, ya que se tendría una señal muy sobremuestreaday con pocas muestras útiles. Por tanto, puede establecerse un compromiso que cumplaambas premisas en el que la frecuencia de muestreo sea del orden de cinco veces el anchode banda ocupado por el filtro. Aún así, se permite cierta flexibilidad en este valor, ya quela salida del filtro será posteriormente interpolada a una tasa de muestra mucho mayor,lo que permitirá modular la variabilidad con el tiempo que debe tener el coeficiente decentelleo. Se adoptará la nomenclatura χ[n] para denotar a la salida del filtro a Fs = 5/τ0;mientras que χ[n] hará referencia al centelleo de amplitud logarítmica con el ancho debanda adecuado en su densidad espectral de potencia, consecuencia de una interpolacióna una tasa de muestra más elevada.

Por tanto, previo a obtener la expresión para hsc[n], es necesario calcular la expresióndiscreta, Hsc[k], de la respuesta en frecuencia del filtro, Hsc(f), mostrada en la ecuación(3.28). La discretización se lleva a cabo a partir de una DFT de N muestras aplicada a laexpresión de Hsc(f). Se sabe que

Hsc[k] = Hsc(ejω), 0 ≤ k ≤ N − 1,

ω =2πk

N;

(3.30)

donde ω = 2πkN = ΩT representa a la frecuencia discreta expresada en radianes, mientras

que Ω = 2πf hace referencia a la frecuencia del sistema en tiempo continuo y expresadaen rad/s. Igualando estas últimas expresiones, se obtiene el valor de la frecuencia, f ,expresada en términos discretos. Así,

f =ω

2πT=

Fsk

N. (3.31)

De la ecuación anterior se calcula el valor de f que hay que sustituir en (3.28) paraobtener la versión discreta del filtro. El resultado de esta discretización puede verse en laecuación:

Hsc[k] =(σ2

χτ0

√π)1/2

e−12(πτ0kFs/N)2e−j2π(M/2)kFs/N , 0 ≤ k ≤ N/2. (3.32)

Ya que la respuesta al impulso deseada es real, se puede aplicar la propiedad de simetría

71


hermítica de la DFT, según la forma:

Hsc[N − k] = H∗sc[k], 1 ≤ k ≤ N/2− 1. (3.33)

A partir de la aplicación de la transformada de Fourier inversa (IDFT) a Hsc[k], seobtiene la respuesta h[n] = F−1Hsc[k]. Puesto que la respuesta al impulso del sistemaes finita (filtro FIR), tal y como ya se comentaba en la Figura 3.2, uno de los métodos mássimples para diseñar tales filtros consiste en el denominado método de ventanas, explicadoen [38]. El método consiste en definir un nuevo sistema con respuesta al impulso hsc[n]que resulta ser el filtro FIR causal que se desea obtener, y que viene dado por:

hsc[n] =

h[n]w[n], 0 ≤ n ≤ M,

0, resto;(3.34)

según se analiza en [38], y que, escrito de forma más genérica, se puede representar comohsc[n] = h[n]w[n], donde la ventana, w[n], aplicada será una ventana Hanning de M mues-tras y simétrica respecto a M/2, de la forma [39]

w[n] =

0.54− 0.46 cos(2πn/M), 0 ≤ n ≤ M,

0, resto;(3.35)

Por consiguiente, la expresión definitiva de hsc[n] es:

hsc[n] =1N

w[n]N−1∑

k=0

Hsc[k] exp

j2πkn

N

, 0 ≤ n ≤ M − 1. (3.36)

Consecuentemente, la salida total de la etapa de filtrado de la Figura 3.4 es:

χ[n] = βM−1∑

k=0

hsc[k]z[n− k], (3.37)

siendo z[n] una secuencia de naturaleza blanca gaussiana, de media cero y varianza unidad,mientras que β es un factor de escalado elegido de manera que permita que la varianza deχ[n] sea la deseada. Llegados aquí, hay que notar un problema que debe ser solucionado:la expresión (3.37) hace referencia a una convolución lineal de dos secuencias de longitudfinita, siendo la secuencia hsc[n] de longitud M , y z[n] de longitud N . Si se desea obtener elmismo resultado que se obtiene con la convolución lineal a partir de la convolución circularde Hsc[k] con Z[k] = Fz[n], es necesario evitar el solapamiento que se produciría en el

72


dominio del tiempo en las primeras M−1 muestras de la señal χ[n] debido al enrollamientoinherente de la convolución circular.

La solución que puede plantearse de forma intuitiva es realizar una convolución demás muestras. De hecho, se necesitarán N + M − 1 muestras de convolución circularpara evitar ese solapamiento en el tiempo. En efecto, el problema puede mitigarse si seextienden de forma artificial las señales, añadiéndoles ceros al final de su secuencia. Estatécnica se conoce como relleno con ceros o zero-padding (zp). Es decir, tanto la longitudde z[n] como la de hsc[n] se deben aumentar con valores de amplitud cero. No obstante,asumiendo N y M como potencias de dos, y teniendo en cuenta que N > M para que lalongitud de la secuencia total convolucionada sea potencia de dos, se ha decidido que laslongitudes de las señales a convolucionar sean de valor 2N en vez de N +M−1, de maneraque pueda aplicarse la transformada rápida de Fourier (FFT) como algoritmo óptimo parael cálculo de la DFT, lo que permite una reducción drástica en el número de operaciones arealizar. Aplicando en consecuencia estos criterios, las expresiones discretas que modelantanto a la señal z[n] como a hsc[n] serán:

zzp[n] =

z[n], 0 ≤ n ≤ N − 1,

0, N ≤ n ≤ 2N − 1;(3.38)

y

hsc;zp[n] =

hsc[n], 0 ≤ n ≤ M − 1,

0, M ≤ n ≤ 2N − 1.(3.39)

Por lo que, aplicando una DFT de 2N puntos a las secuencias anteriores, se obtienenexpresiones tales como:

Zzp[k] =2N−1∑

n=0

zzp[n]e−j2πkn/(2N), (3.40)

y

Hsc;zp[k] =2N−1∑

n=0

hsc;zp[n]e−j2πkn/(2N). (3.41)

Realizando, por fin, la IDFT de 2N puntos del producto de las expresiones (3.40) y(3.41), el resultado obtenido,

73


χ[n] =1

2N

2N−1∑

k=0

Zzp[k]Hsc;zp[k]ej2πkn/(2N), 0 ≤ n ≤ N − 1, (3.42)

una vez sea multiplicado por el factor de escalado β, es coincidente con las primeras N

muestras que se obtuvieron en la expresión (3.37) tras la aplicación de la convolución lineal.

3.6.2 Interpolación de las muestras de salida

Con el resultado calculado anteriormente, se puede modelar de manera analítica elcomportamiento temporal que debe seguir la amplitud logarítmica del centelleo atmos-férico, χ(t). Sin embargo, es necesario dotar a dicha secuencia de centelleo de la duracióntemporal que debe tener cada uno de los desvanecimientos que la componen. Para ello,Fante [21] ya observó que el ancho de banda de la densidad espectral de potencia de lasfluctuaciones de amplitud en regímenes de turbulencia débil debería ser:

fc =1τ0

=u⊥√λL

, (3.43)

que, según se ha comentado ya en las ecuaciones (3.3) y (3.4), se debe a un efecto análogoal esparcimiento Doppler de radiofrecuencia, en este caso ocasionado por el movimiento delas masas de aire turbulentas.

Por tanto, se hace necesario incluir este ancho de banda en el filtro representado porHsc(f), de forma que las fluctuaciones de amplitud que caracterizan el centelleo atmosféricopuedan ser modeladas con gran fidelidad. Se ha adoptado la estrategia de realizar unainterpolación de las muestras de salida dadas en (3.42), a una tasa de muestreo más altapara hacer coincidir la tasa de variación temporal de las fluctuaciones con el valor indicadoen (3.43), lo que además ha permitido acelerar el proceso de cálculo de (3.42). El valor P

de esta interpolación se obtiene procediendo de la siguiente manera:

τ0 =

√λL

u⊥, (3.44)

Fs =5τ0

, (3.45)

P =R

Fs; (3.46)

donde R es la tasa binaria a la que se desea transmitir la información, en bits/s y Fs esla frecuencia de muestreo, tal y como se indicó en (3.29). Obtenido el valor de P , sólo

74


restaría realizar una interpolación lineal de las muestras a la salida del filtro Hsc(f). Así,

χ[n] = χ[i] +

χ[i + 1]− χ[i](

n− i · PP

), si i·P ≤ n ≤ (i+1)·P–1,

0 ≤ i ≤ N–1;(3.47)

donde χ[n] es la versión interpolada de χ[n] y P es el factor de interpolación.

3.6.3 Cambio de la descripción estadística

Con lo expuesto hasta ahora, se ha conseguido modelar la amplitud logarítmica delcentelleo, χ(t), de función densidad de probabilidad, fχ(χ), gaussiana, tal y como se mostróen la ecuación (2.71) del anterior capítulo. El paso siguiente consiste en realizar un cambioen la distribución estadística de la secuencia obtenida, χ(t), de forma que su distribucióngaussiana se adapte a la naturaleza log-normal que caracteriza a las fluctuaciones de inten-sidad en un régimen de turbulencia débil. Este cambio de estadísticos se realiza medianteel bloque no lineal sin memoria que ya fue especificado en la Figura 3.4. Para ello, se haadoptado la técnica propuesta por Gujar en [40] de forma que el dispositivo no lineal seconvierta, simplemente, en una transformación uno a uno entre χ(t) y αsc(t) de la forma:

fχ

(χ− δχ

2

)|δχ| = fαsc

(αsc − δαsc

2

)|δαsc|, (3.48)

siendo fαsc(αsc) la función densidad de probabilidad log-normal del desvanecimiento que seproduce en la intensidad de luz, I, inducido por la turbulencia atmosférica, cuya expresiónfue dada en la ecuación (2.74) del anterior capítulo.

Consecuentemente, para cualquier punto (χ, αsc) de la transformación, la probabilidadde que χ[n] esté dentro del intervalo (χ − δχ) es idéntica a la probabilidad de que αsc[n]esté dentro del intervalo (αsc− δαsc), siendo δχ y δαsc pequeños incrementos alrededor delos puntos de estudio (χ0, αsc0) en cada momento.

Los puntos iniciales para comenzar a realizar esta transformación se calculan a partirde la condición

Pr(χ ≤ χ0) = Pr(αsc ≤ αsc0). (3.49)

Por ejemplo, siempre de acuerdo con el principio de conservación de la energía [12, 13],los puntos iniciales son elegidos como los valores medios de las distribuciones para lassecuencias χ(t) y I(t), cuyas magnitudes, dadas en [41, 18] y [42, 43] respectivamente, son:

75


χ0 = E[χ] = −σ2χ,

E[I] = I0

(3.50)

siendo σ2I = exp (4σ2

χ)− 1, tal y como se vio en la ecuación (2.80) incluida en el ante-rior capítulo de esta Tesis Doctoral. Estos puntos iniciales son particularmente indicadoscuando las funciones densidad de probabilidad fχ(χ) y fαsc(αsc) son simétricas, según secomenta en [40].

A partir de estos puntos iniciales, se puede proceder a calcular paso a paso los valoresde αsc[n] que satisfagan la ecuación (3.48). Para el cálculo de los valores de δχ y δαsc , seopera de la siguiente forma: se fija uno de ellos a un valor, por ejemplo δχ = 0.002, y secalcula el correspondiente incremento en αsc a partir de la condición (3.49) y el valor de δχ.

Así, dado un pequeño incremento δχ alrededor de χ0, y calculando su probabilidaden este rango, se puede obtener el correspondiente incremento, δαsc , en la secuencia αsc[n]igualando las probabilidades, tal y como se indica en la ecuación (3.48).

La ventaja de esta técnica radica en su adaptabilidad a cualquier tipo de descripciónestadística que se desee elegir, y que puede ser muy conveniente para modelar, por ejemplo,turbulencias fuertes que se rijan por otra distribución estadística; todo ello sin olvidar lasencillez en su implementación física, según se detalla en [40].

3.7 Validación analítica del modelo propuesto

El modelo heurístico que ha sido desarrollado en el punto anterior va a ser corroboradoahora de manera teórica mediante el cálculo de dos parámetros característicos en los sis-temas de comunicaciones ópticas atmosféricas: el desplazamiento Doppler promedio, B

(1)µµ ,

y el esparcimiento Doppler, que en comunicaciones ópticas atmosféricas suele aparecer bajoel término de quasi-frecuencia, ν0 [30, 33]. El desarrollo analítico que sustenta todo estose detalla a continuación.

3.7.1 Desplazamiento Doppler promedio

El parámetro desplazamiento Doppler promedio describe el desplazamiento frecuen-cial en promedio que una señal portadora sufre durante la transmisión. Se define como elprimer momento de la densidad espectral de potencia, S(f), de dicha señal. En el casode un esquema IM/DD, la magnitud a estudiar sería la irradiancia, I, o bien la pertur-bación logarítmica de amplitud, χ, ya que ambas están relacionadas mediante la expresión

76

3.7. VALIDACIÓN ANALÍTICA DEL MODELO PROPUESTO

SI(f) ≈ 4Sχ(f). Por tanto, de acuerdo con [44], el desplazamiento Doppler promedio puedecalcularse como:

B(1)µµ =

∫ ∞

−∞fSI(f)df

∫ ∞

−∞SI(f)df

. (3.51)

Debido a la complejidad que, en muchas ocasiones, puede entrañar la resolución de(3.18), es posible calcular B

(1)µµ a partir del cálculo de la función covarianza. Procediendo

así, se obtiene una expresión equivalente a la anterior que, según se ve en [44], viene dadapor:

B(1)µµ =

1j2π

· d

dτ

(BI(0)

) · 1BI(0)

. (3.52)

Para el modelo de canal regido por una función de covarianza gaussiana propuesta en(3.24), se cumple la siguiente relación:

d

dτ

(BI(u⊥τ)

)= −2σ2

I

τ

τ20

exp(−τ2

τ20

). (3.53)

donde, para τ = 0, BI(0) = σ2I∼= σ2

1 y ddτ

(BI(0)

)= 0, de forma que B

(1)µiµi = 0.

En cambio, si ahora se considera la expresión teórica incluida en (3.14), y se resuelvela integral para el caso de un espectro de potencia, Φn(κ), regido por la propuesta deKolmogorov, el resultado que se obtendría es:

BI(r, L) = 8π2 · 0.033 · C2nk2L

∫ ∞

0κ−11/3J0(κr)κdκ−

−∫ ∞

0

k

κ2Lsin

(κ2L

k

)κ−11/3J0(κr)κdκ

.

(3.54)

Utilizando los siguientes resultados,

∫ ∞

0xαJ0

(βx

12

)dx =

(4β2

)α+1 Γ(α + 1)Γ(−α)

; (3.55)

77


∫ ∞

0xα−1 sinxJ0

(βx

12)dx = Γ(α)

sin

(πα

2

)Re

[1F1

(α; 1; j

β2

4

)]−

− cos(

πα

2

)Im

[1F1

(α; 1; j

β2

4

)],

(3.56)

obtenidos por Fried en [10], y sabiendo que r = u⊥τ , es posible transformar la ecuación(3.54) en:

BI(τ, L) = 4π2 · 0.033 · C2nk

76 L

116

[Γ(−5

6

)

Γ(

116

)(ku2

⊥τ2

4L

) 56 +

+ Γ(−11

6

)Im

exp

(j11π12

)1F1

(−11

6, 1, j

ku2⊥τ2

4L

)].

(3.57)

donde, por supuesto, la convergencia de la ecuación (3.54) estaba garantizada por el prin-cipio de la continuidad analítica. Es inmediato observar que, para τ = 0, la función de co-varianza temporal escrita en (3.57) se simplifica a BI(0) = 1.23C2

nL11/6k7/6 = σ21, es decir,

a la expresión del índice de centelleo. De forma que, para obtener la derivada ddτ

(BI(0)

),

se hace uso de la siguiente propiedad asociada a la función hipergeométrica confluente deprimera clase:

dk

dzk

(1F1

(a; c; z

))=

(a)k

(c)k1F1

(a + k; c + k; z

), k = 1, 2, 3... (3.58)

siendo (a)k el símbolo de Pochhammer definido como

(a)0 = 1

(a)k = (a)(a + 1) . . . (a + k − 1), k = 1, 2, 3 . . .(3.59)

En este caso particular, para finalmente hallar ddτ

(BI(0)

), se necesita que k adopte el

valor unidad, tanto en (3.58) como en (3.59). Si z = jkτ2u2

⊥4L , y aplicando la regla de la

cadena en la derivación, que en la notación de Leibniz se expresaría como

d

dτ

(BI(τ)

)∣∣∣∣∣τ=0

=dBI(τ)

dz

dz

dτ

∣∣∣∣∣τ=0

, (3.60)

se puede expresar la primera derivada de la función de covarianza respecto a la variable z

78

3.7. VALIDACIÓN ANALÍTICA DEL MODELO PROPUESTO

como:

dBI(τ)dz

= 4π20.033C2nk

76 L

116

[53· Γ

(−56

)

Γ(

116

)(ku2

⊥4L

) 56τ

23−

− 116

Γ(−11

6

)Im

exp

(j11π12

)jku2

⊥τ

2L1F1

(−5

6, 2, j

ku2⊥τ2

4L

)].

(3.61)

De esta forma, evaluando la expresión anterior en τ = 0, se obtiene que ddτ

(BI(0)

)= 0

y, por tanto, nuevamente se llega al resultado B(1)µiµi = 0 que ya se obtuvo con el modelo

gaussiano para la función de covarianza. Todo este desarrollo fue incluido en [45, 46].

Del análisis presentado en este punto, se observa cómo una portadora que atravesaseun canal modelado por el espectro teórico de Kolmogorov derivado de la expresión (3.17),sufre el mismo desplazamiento frecuencial que si atravesase un canal regido por el mo-delo aproximado gaussiano que se propone en esta Tesis Doctoral. Por consiguiente, elcomportamiento de ambos canales frente a este parámetro es idéntico.

3.7.2 Quasi-frecuencia

La quasi-frecuencia [33], parámetro denotado como ν0, y conocido como esparcimientoDoppler en las aplicaciones RF, describe el esparcimiento frecuencial promedio que unaseñal portadora experimenta durante su propagación. También se la define como la an-chura del espectro normalizado de potencia de la irradiancia [30], y aparece directamenterelacionada con el número esperado de desvanecimientos por unidad de tiempo. Según[33, 44], se define como:

ν0 =

√√√√√√√

∫ ∞

−∞

(f −B(1)

µµ

)2SI(f)df

∫ ∞

−∞SI(f)df

. (3.62)

A menudo, se suele utilizar una expresión equivalente a (3.62) que, al igual que en elcaso anterior del desplazamiento Doppler, surge a partir de la función covarianza [44], esdecir:

ν0 =12π

√√√√√√

d

dτ

(BI(0)

)

BI(0)

2

−d2

dτ2

(BI(0)

)

BI(0). (3.63)

79


Si ahora se analiza el modelo de canal regido por una función de covarianza gaussianacomo la propuesta en (3.24), se obtienen los siguientes cálculos:

BI(τ)∣∣∣τ=0

= σ2I ; (3.64a)

dBI(τ)dτ

∣∣∣∣∣τ=0

= 0; (3.64b)

d2BI(τ)dτ2

∣∣∣∣∣τ=0

= −2σ2I

τ20

. (3.64c)

Insertando (3.64a), (3.64b) y (3.64c) en (3.63), se deduce finalmente que

ν0 =1

πτ0

√(2)

. (3.65)

En cambio, si ahora se considera la expresión teórica incluida en (3.13), y se aplica elprocedimiento matemático desarrollado en la sección 7.5.1 de [30] y sección 19-2 de [47], esposible obtener el espectro temporal de las fluctuaciones en el nivel de irradiancia, SI(ω),de la forma [30]:

SI(ω) =7.51σ2

1

ωt

(ω

ωt

)−8/3

Im

Γ(4/3)Γ(11/6)

−(

ωt

ω

)2

exp[−j

(ω

ωt

)2]U

[12;43;−j

(ω

ωt

)2],

(3.66)

sin más que realizar la integración presente en (3.19), y utilizando para ello la relaciónofrecida en [47] dada por:

∫ ∞

0J0(κu⊥τ) cos(ωτ)dτ =

[(κu⊥

)2 − ω2]−1/2

, κu⊥ > ω,

0, κu⊥ < ω,(3.67)

En la ecuación (3.66), ωt = u⊥(L/k)−1/2, mientras que Γ(·) es la función Gamma,siendo U(a; c; x) la función hipergeométrica confluente de segunda clase. Si se sustituye laexpresión obtenida en (3.66) en (3.62), y asegurando la continuidad de la convergencia delcociente mostrado en (3.62), se obtiene:

ν0 → 1πτ0

√(2)

. (3.68)

lo que es coincidente con el resultado obtenido para el caso del modelo de covarianzasgaussiano estudiado anteriormente. Por esta razón, la señal cuya propagación se simule

80

3.8. RESULTADOS NUMÉRICOS

a través de ambos modelos va a sufrir un mismo ensanchamiento frecuencial, por lo quenuevamente se observa el mismo comportamiento en el modelo de canal que se propone enrelación al modelo estrictamente teórico.

Así pues, la aproximación propuesta en la ecuación (3.24) parece ajustarse adecuada-mente a los dos parámetros analizados en este apartado. En la siguiente sección se mostrarála precisión del modelo de canal realizando, para tal fin, una validación numérica.

3.8 Resultados numéricos

En el presente apartado se ofrecen simulaciones de todo el procedimiento expuesto, deforma que puedan compararse las prestaciones obtenidas siguiendo el modelo matemáticoanalítico derivado de la teoría de Kolmogorov, con el modelo gaussiano más sencillo quese ha venido presentando. Primero de todo, se van a generar las secuencias temporales deruido de centelleo, αsc(t) = exp

[2χ(t)

], con ambos modelos. Para llevar a cabo este proce-

dimiento, se ha asumido una longitud de onda óptica de 830 nm, mientras que la distanciadel vano a cubrir se ha fijado en 250 m. Y se ha supuesto una velocidad transversal delviento, u⊥, de 3 m/s para la generación de dicha secuencia. Con estos valores, la longitudde coherencia, d0, que se consigue obtener bajo la superposición de un régimen de turbu-lencia débil, que permita la aplicación de (3.3), adquiere un valor de 14.4 cm. El tiempode coherencia, τ0, que se deduce tras la aplicación de (3.5) presenta un valor de 4.8 ms.

En la Figura 3.6 se ilustra dicha comparativa. En trazo más oscuro, se muestra unsegmento temporal del coeficiente de centelleo obtenido tras el proceso de filtrar el ruidoAWGN a través del espectro de naturaleza gaussiana propuesto en esta Tesis Doctoral.En trazo claro se representa la secuencia temporal derivada del espectro de Kolmogorovteórico [35]. El valor escogido para la varianza del centelleo se ha fijado en σ2

χ = 0.01.

Como se aprecia, la salida del filtrado gaussiano permite obtener una secuencia de cen-telleo más suavizada, en contraposición a la obtenida aplicando la función de covarianzateórica dada en (3.14). Se hace necesario analizar las prestaciones de ambas secuencias enun sistema de comunicaciones atmosféricas para evaluar si es procedente realizar la aproxi-mación gaussiana. Este aspecto, que será tratado más adelante dentro del apartado 3.8.2,permitirá corroborar la validez del modelo gaussiano de canal. Finalmente, en el Capítulo5 de esta tesis, se reutilizará este modelo de canal gaussiano para mostrar nuevas secuen-cias temporales de centelleo que serán generadas para sistemas que incorporen diversidadespacial.

Otro de los aspectos a contrastar en la secuencia de centelleo generada es la con-cerniente a su naturaleza estadística: se ha señalado ya que, para un régimen de turbulen-

81


0.0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

Tiempo (s)

Am

plitu

dKolmogorovGaussiano

Figura 3.6: Comparación de realizaciones temporales del coeficiente de centelleo atmosféricoobtenido mediante filtrado con el espectro teórico de Kolmogorov (trazo claro) y con el espec-tro gaussiano propuesto en este trabajo (trazo oscuro).

cia débil, es ampliamente aceptado y verificado experimentalmente que el comportamientoque mejor parece adecuarse para modelar este fenómeno es del tipo logarítmico normal[48, 30]. Aceptando esta pauta, el procedimiento expuesto a lo largo de este capítuloha pretendido dotar a las fluctuaciones de irradiancia de tal naturaleza estadística. Estopuede ser corroborado sin más que realizar el histograma a la secuencia de centelleo gene-rada. El resultado obtenido, para valores de σ2

χ = 0.01 y σ2χ = 0.1, puede observarse en

la Figura 3.7.

Se verifica cómo el histograma es logarítmico normal y, además, la media de la se-cuencia de centelleo generada es E[αsc(t)] = 1, que coincide con la esperada si se asumeque se cumple la ley de conservación de energía [12, 13]. Lo mismo ocurre con la varianza,presentando un valor de σ2

I ≈ 4σ2χ, que coincide con lo expuesto hasta ahora.

Además, si se desea caracterizar el conjunto de desvanecimientos ocasionados por laatmósfera turbulenta en virtud a su variabilidad temporal, se puede proceder de formaanáloga a como se hace en radiofrecuencia para caracterizar la naturaleza lenta o rápidadel fading. Así, sabiendo que el régimen binario ha sido fijado en 50 Mbps, el período debit se calcula como:

Ts =1R

=1

50 · 106= 2 · 10−8s. (3.69)

82


0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

1

2

3

4

5

6

7x 10

4

Amplitud

Num

ero

de m

uest

ras

(a)

0 1 2 3 4 50

0.5

1

1.5

2

2.5

3x 10

5

Amplitud

Num

ero

de m

uest

ras

(b)

Figura 3.7: Histograma aplicado a la secuencia de centelleo generada mediante el modelo gaussianocon a) σ2

χ = 0.01 y b) σ2χ = 0.1 . Se aprecia un comportamiento logarítmico-normal.

Si se calcula el tiempo de coherencia según el inverso de fc, tal y como se indicó en laecuación (3.43) [21], el resultado obtenido es:

τ0 =1fc

=

√λ · Lu⊥

=

√830 · 10−9 · 250

3= 4.8 · 10−3s. (3.70)

A partir de este último valor obtenido, se verifica la condición τ0 > Ts dada en [4], porlo que se demuestra que los desvanecimientos generados pueden considerarse como lentos.

Es necesario hacer notar una última diferencia. Por un lado, con la frecuencia fc

se obtiene el ancho de banda de la densidad espectral de potencia de las fluctuacionesde amplitud. Por otro lado, la frecuencia máxima de variación temporal que sufren lasfluctuaciones de amplitud se ha presentado en la expresión (3.4) bajo la relación 1/τ0. Elhecho es que, tal y como se mostró en [21], dos conceptos, a priori diferentes, coincidenen una misma expresión. Por este motivo, en las ecuaciones (3.43) y (3.70) se ha indicadoque fc = 1/τ0, para hacer constar esta coincidencia.

3.8.1 Probabilidad de error

En RF, el esparcimiento Doppler ocasiona un error irreducible, tal y como fue señaladopor primera vez por los autores Bello y Nelin en [49]. En [16], también en radiofrecuencia,y concretamente con modulación DPSK, se realiza algo parecido, mostrándose una depen-dencia de ese error irreducible con el parámetro K característico de los desvanecimientosque se rijan por una distribución Rice. Este parámetro se puede definir como el cociente

83


entre la potencia que se recibe por línea directa y la que se recibiría por las distintas com-ponentes multicamino, asumiendo conservación de potencia, esto es, que toda potenciatransmitida se recibe, bien por línea directa, bien por algún tipo de multitrayecto.

En propagación óptica en espacio libre, se puede llegar a unas conclusiones muy si-milares a las correspondientes a RF. En este caso, el parámetro que relaciona la parte depotencia que no se recibe por línea directa es σ2

I . De forma analítica, se muestra a conti-nuación una estimación del suelo de ruido irreducible. En la demostración se ha supuestoel siguiente escenario: modulación OOK y detección directa. La presencia o ausencia deluz indica la transmisión de un estado “1” lógico o un estado “0” lógico, respectivamente.Se ha asumido, además, el caso más sencillo de un detector simple por umbral.

Como es obvio, sólo existen dos posibles tipos de error en la detección: detectarun estado “0” habiendo recibido luz (probabilidad de pérdida); y detectar un estado “1”cuando realmente no se transmitió pulso, lo que también se conoce como probabilidad defalsa alarma. Ambos errores se denotan como p(r/on) y p(r/off ), respectivamente. Laprobabilidad de error total, PT , puede expresarse como

PT = p0 · p(r/off ) + p1 · p(r/on), (3.71)

siendo p0 y p1 la probabilidad de transmitir un bit “0” o un bit “1”. Se supondrá que ambosestados son equiprobables, por lo que p0 = p1 = p = 1/2. Para el caso de transmisiónOOK en enlaces IM/DD, la relación señal a ruido (SNR) suele estar limitada por el ruidoshot procedente de la luz ambiental y que generalmente tiene mayor intensidad que la señalrecibida [50, 51]. Por ello, el ruido en estos sistemas suele modelarse como un ruido blancogaussiano aditivo estadísticamente independiente de la señal deseada. Así, la transmisiónde un estado “0” indica que en el receptor sólo se detecta ruido de naturaleza gaussiana.Igualmente, si se recibe luz acompañada del ruido shot gaussiano de fondo, la distribuciónde la señal eléctrica resultante puede considerarse también gaussiana, según lo que seacaba de comentar. Por consiguiente, y en ausencia de turbulencias, las probabilidadescondicionales de error pueden expresarse, de acuerdo con [18], como

p(r/off ) =1√

2πσN

∫ ∞

iu

e−i2/2σ2N di =

12erfc

(iu√2σN

), (3.72)

p(r/on) =1√

2πσN

∫ iu

−∞e−(i−iS)2/2σ2

N di =12erfc

(iS − iu√

2σN

); (3.73)

donde erfc(x) es la función de error complementario, de valor 2/√

π∫∞x e−z2

dz, mientrasque la corriente eléctrica recibida, i, sigue la expresión

84


i = iS + iN , cuando se recibe un estado ‘on’, (3.74)

i = iN , cuando se recibe un estado ‘off’; (3.75)

siendo iS = R · P la corriente de señal, R la respuesta del detector, mientras que iN es lacorriente de ruido shot generada en el detector. Por su parte, σ2

N es la potencia de ruidototal que acompaña a la corriente en el fotodetector, suponiendo la misma tanto para latransmisión de un estado “off” como para la transmisión de un estado “on”; mientras queiu es el umbral de decisión. En la Figura 3.8 puede verse con más detalle cada una de lasprobabilidades de error expresadas en las ecuaciones (3.72) - (3.73).

Ruido Señal + RuidoUmbral

Falsa AlarmaPérdida

Figura 3.8: Probabilidad de detección, junto a las probabilidades de error debido a falsa alarmay a pérdida.

Suponiendo que los bits son equiprobables, esto es

p0 = p1; (3.76)

e igualando las probabilidades de error de pérdida y de falsa alarma,

p(r/off ) = p(r/on), (3.77)

se puede obtener el valor del umbral de decisión, iu, que será:

iu =12· is. (3.78)

85


Sustituyendo (3.72) y (3.73) en (3.71) y recordando la condición (3.78), se puedecalcular la expresión de la probabilidad de error total para una transmisión OOK condetección directa y ausencia de turbulencias, tal y como refleja la siguiente expresión:

PrT =12erfc

(iS

2 · √2σN

)=

12erfc

(√SNR

2√

2

), (3.79)

donde se ha denominando como relación señal a ruido al factor SNR = i2S/σ2N . Si se

considera en este punto la presencia de la atmósfera turbulenta, la probabilidad de erroranterior (3.79), debe ser vista como una probabilidad condicional que ha de ser promediadacon la función densidad de probabilidad de las fluctuaciones de la irradiancia, fI(I), yavista en la ecuación (2.74). Por otra parte, la corriente recibida, iS , es igual al producto dela respuesta del fotodiodo, R, por la potencia recibida, P. Luego, el término SNR dependedirectamente del cuadrado de dicho producto. En presencia de turbulencias, esa potenciarecibida está afectada multiplicativamente por las fluctuaciones recogidas en I, que sonocasionadas por la atmósfera. Por tanto, la nueva SNR en presencia de turbulencias esSNRt = SNR · I2. Así pues, la probabilidad de error queda expresada finalmente como:

PrT =12

∫ ∞

0fI(I) erfc

(√SNRt

2√

2

)dI =

12

∫ ∞

0fI(I) erfc

(I√

SNR

2√

2

)dI. (3.80)

La integral involucrada en esta expresión puede resolverse de forma eficiente medianteuna cuadratura de Gauss-Hermite [52]; así, la ecuación (3.79) podría expresarse como:

PrT ≈1

2√

π

k∑

i=1

ωi erfc

(I0 exp

(−2σ2χ + ai

√8σ2

χ

)√SNR

2√

2

), (3.81)

siendo I0 la irradiancia en ausencia de turbulencia, mientras que ai y wi son, respectiva-mente, los ceros y los pesos del polinomio de Hermite de orden k. Efectuando la expresión(3.81), y para diferentes niveles de turbulencia, se obtiene el resultado que se muestra enla Figura 3.9, en la que se ha asumido el conocimiento del estado instantáneo del canal(CSI). Como se puede comprobar, no se obtiene un suelo de ruido, pero sí que se ob-serva que, para niveles de turbulencia más elevados, los niveles de tasa de error que seobtienen son inaceptables para valores de relación señal a ruido que, sin embargo, puedenconsiderarse como razonables.

Para contrastar estos resultados obtenidos de forma teórica, se ha realizado un cálculonumérico dentro de un escenario de simulación como el que se presentará en el próximo

86


−1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 910

−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100

Relación señal a ruido (SNR, dB)

Pro

babi

lidad

de

erro

r (B

it er

ror

rate

)

Probabilidad de Error Teórica

BER Numérica

σχ2=0.02

σχ2=0.0025

σχ2=0.01

σχ2=0.04

σχ2=0.1

Figura 3.9: Tasas de error para diferentes valores de intensidad de turbulencia y conociendo elestado instantáneo del canal.

capítulo. Sin embargo, lo interesante ahora mismo son las condiciones de simulación imple-mentadas, que son análogas a las realizadas en el desarrollo teórico, esto es, se transmitiránpulsos OOK sin retorno a cero, (OOK-NRZ), y se elegirá en recepción un detector simplepor umbral con conocimiento del estado instantáneo del centelleo atmosférico. Los resulta-dos que se consiguen mediante este procedimiento para diferentes valores de intensidad deturbulencia se muestran igualmente en la Figura 3.9. Hay que reseñar que la tasa de error esun estadístico de orden uno y, por tanto, es irrelevante incluir el proceso de filtrado presen-tado en (3.28), cuya influencia sería notoria en el estudio de estadísticos de segundo orden,como puede ser el estudio de la tasa de ráfagas de error que se presentará más adelante.

Se puede comprobar que los resultados obtenidos de forma numérica están en conso-nancia con los que ya se esperaban de forma teórica, lo que permite una primera validacióndel esquema de simulación que se presentará en detalle en el próximo capítulo. Para condi-ciones de turbulencia más significativas, los errores cometidos son, en su mayor parte,producidos por la fluctuación de potencia sufrida por el haz de luz transmitido, fundamen-talmente para valores más elevados de relación señal a ruido. En estos casos se precisa dela utilización de algún tipo de mecanismo de corrección de errores para garantizar mejores

87


prestaciones del sistema [53].

Sin embargo, en todo lo expuesto hasta ahora, se ha asumido que se dispone de unpreciso conocimiento tanto del nivel de turbulencia (ver (3.78)) como del ruido aditivo, deforma que el umbral de detección elegido sea, en cada momento, el óptimo para minimizarla probabilidad de error. En la práctica, no será posible implementar tal estrategia. Encaso de elegir la opción más sencilla de implementar un sistema que incluya un umbral dedecisión estático, iu > 0, se comprueba fácilmente cómo existe un límite en las prestacionesalcanzables por estos sistemas que está asociado al nivel de turbulencia existente. El cál-culo de la probabilidad de error se realiza de forma análoga a lo ya expuesto, promediandorespecto a fI(I). En concreto, en presencia de turbulencia, la ecuación (3.72) queda inal-terada, ya que no se transmite ningún pulso, mientras que (3.73) puede expresarse como:

p(r/on) =1

2πσχσN

∫ ∞

0

(∫ iu

−∞e−(i−iS)2/2σ2

N di

)12I

e

[− (ln (I/I0)−E[χ])2

8σ2χ

]dI, (3.82)

siendo is = R · P = ηI, donde η es el factor de conversión óptico-eléctrico [18], mientrasque E[χ] = −σ2

χ. Si se realiza el cambio de variables I ′ = ηI, se obtendría:

p(r/on) =1

2πσχσN

∫ ∞

0

(∫ iu

−∞e−(i−I′)2/2σ2

N di

)1

2I ′e

[− (ln (I′/(ηI0))+2σ2

χ)2

8σ2χ

]dI ′

=∫ iu

−∞

∫ ∞

0fI(I ′)fN (i− I ′)dI ′di =

∫ iu

−∞fI(i) ∗ fN (i)di.

(3.83)

Por tanto,

p(r/off) =∫ ∞

iu

fN (i)di, (3.84)

p(r/on) =∫ iu

−∞fI(i) ∗ fN (i)di; (3.85)

siendo fN (i) la función densidad de probabilidad gaussiana característica del ruido shotde fondo que afecta a los sistemas ópticos atmosféricos, mientras que fI(i) responde a lanaturaleza logarítmico-normal característica de la atmósfera turbulenta. Aplicando (3.71)se obtiene la probabilidad de error total, PT , de este sistema. Si se incrementa la relaciónseñal a ruido haciéndola tender a infinito o, lo que es lo mismo, se hace tender a cero elruido gaussiano, y sabiendo que la función delta puede ser definida, según [54], como:

δ(x) = limε→0+

12√

πεe−

x2

4ε , (3.86)

88


es posible obtener el límite en prestaciones de un sistema óptico atmosférico utilizandomodulación OOK y un umbral de decisión fijo. En este caso particular, se toma ε = σ2

N2 ,

de manera que, para encontrar el suelo de ruido, se estudia el siguiente límite:

limσN→0

PT = limσN→0

p0 · p(r/off ) + limσN→0

p1 · p(r/on), (3.87)

de donde, operando, e identificando la definición dada en (3.86), se obtiene:

limσN→0

p(r/off) =∫ ∞

iu

δ(i)di = 0, (3.88)

limσN→0

p(r/on) =∫ iu

−∞fI(i) ∗ δ(i)di =

∫ iu

0fI(i)di =

∫ iu

0

12i

1√2πσ2

χ

e

−ln(i/(ηI0))+2σ2χ2

8σ2χ di;

(3.89)

sabiendo que δ(i) = 0 si i 6= 0 y que∫∞−∞ δ(i)di = 1. Como erfc(i) =

∫∞i 2/

√πe−i2di, la

ecuación (3.89) puede denotarse como:

limσN→0

p(r/on) =∫ ln iu/(I0η)+2σ2

χ√8σχ

−∞

1√π

e−t2dt, (3.90)

habiendo realizado un cambio de variables del tipo: t = ln i/(I0η)+2σ2χ√

8σχ, dt = di/(

√8σχi).

Aplicando ahora la propiedad∫ ba f(x)dx = − ∫ a

b f(x)dx y aprovechando el hecho de que elintegrando presenta una simetría par, la ecuación (3.90) puede expresarse como:

limσN→0

p(r/on) =∫ ∞

− ln (iu/(I0η))+2σ2χ√

8σχ

1√π

e−t2dt =12erfc

[ln (I0η)− ln iu − 2σ2

χ√8σχ

]. (3.91)

Así pues, sustituyendo (3.88) y (3.91) en (3.87), se obtiene el suelo de ruido irreducible,que tendrá un valor de:

limσN→0

PT =14erfc

[ln (I0η)− ln iu − 2σ2

χ√8σχ

], (3.92)

considerando equiprobables las probabilidades de transmisión de un estado lógico “0” (p0)y de un estado lógico “1” (p1). Se puede apreciar que el suelo de ruido no depende del tipode codificación empleada, sino simplemente de la intensidad de turbulencia, σ2

χ, que rijapara un emplazamiento concreto en un instante determinado. Si se asume que η = 1 y queel umbral se sitúa en iu = I0/2, la mínima probabilidad de error que se obtendría para los

89


distintos niveles de turbulencia que a continuación se indican sería:

limσN→0

PT =

1.749 · 10−1, σ2χ = 0.16

1.089 · 10−1, σ2χ = 0.10

5.233 · 10−3, σ2χ = 0.02

1.908 · 10−4, σ2χ = 0.01

4.089 · 10−5, σ2χ = 0.00806

(3.93)

En la Figura 3.10 se muestra una simulación numérica obtenida con el sistema imple-mentado, para una codificación NRZ con distintos niveles de turbulencia y un detector porumbrales cuyo valor, iu, se ha fijado al valor medio entre los niveles de corriente máximoy mínimo recibido. También se ha incluido una curva correspondiente a una codificaciónOOK y formato de pulso gaussiano con el ciclo de trabajo (c.t.) fijado al 25%, paracorroborar que efectivamente el suelo de ruido únicamente depende de la intensidad de laturbulencia atmosférica.

−5 0 5 10 15 20

10−4

10−3

10−2

10−1

X: 22Y: 0.1791

X: 22Y: 0.005305

X: 22Y: 0.1126

X: 22Y: 0.000186

X: 22Y: 4.17e−005P

rob

abili

dad

de

erro

r (B

it e

rro

r ra

te)

SNR (dB)

σχ2=0.00806

σχ2=0.01

σχ2=0.02

σχ2=0.1

σχ2=0.166

σχ2=0.02

Pulso OOKct 25%

Figura 3.10: Tasas de error (y suelo de ruido obtenido) para diferentes valores de intensidad deturbulencia en la que no se conoce el estado instantáneo del canal. Se ha empleado una codificaciónNRZ salvo la traza continua punteada, que ha sido obtenida a partir de una codificación OOK yformato de pulso gaussiano con un ciclo de trabajo (c.t.) del 25%.

90


3.8.2 Incidencia del viento sobre las prestaciones del enlace

Uno de los agentes que ejerce mayor influencia en las prestaciones de un sistema decomunicaciones ópticas en espacio libre es el viento y su impacto directo sobre la magnitudde la distancia de coherencia atmosférica. Sin embargo, el efecto de esta velocidad del vientose manifiesta a través de los estadísticos de segundo orden y superiores, y, por consiguiente,no se registra en el estudio de la probabilidad de error promedio. Ésta última, en concreto,es un estadístico de primer orden que sólo se ve afectada por la varianza de las fluctuacionesde irradiancia, pero sin que la coherencia del canal intervenga de ninguna manera. Así,para estudiar el efecto que la distancia de coherencia (y en concreto, la velocidad del viento)introduce en las prestaciones de un sistema óptico atmosférico, es necesario emplear lo quese conoce como tasa de ráfagas de error (burst error rate). Estas tasas de ráfagas de errorse ven afectadas por la duración de los desvanecimientos, a partir de la expresión (3.26). Enellas se recoge la incidencia de la velocidad de variación que tenga el centelleo atmosféricoen parámetros tales como la disponibilidad del enlace o la probabilidad de bloqueo. Portanto, resulta fundamental la consideración de esta coherencia atmosférica para tener unconocimiento más preciso de las prestaciones que puede ofrecer un sistema concreto decomunicaciones ópticas atmosféricas. En la Figura 3.11 se muestra una simulación dedos secuencias temporales de centelleo atmosférico afectadas por velocidades del vientodiferentes, en concreto de magnitudes u⊥ = 8 y u⊥ = 2.5 m/s.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

Tiempo (s.)

Am

plitu

d de

las

fluct

uaci

ones

(a)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

Tiempo (s.)

Am

plitu

d de

las

fluct

uaci

ones

(b)

Figura 3.11: a) Secuencia temporal de centelleo atmosférico αsc(t) generados para una compo-nente de la velocidad del viento perpendicular a la dirección de propagación a) u⊥ = 8 m/s.b) u⊥ = 2.5 m/s.

Efectivamente, una disminución en la velocidad del viento que afecte al enlace ópticorepercute negativamente en las prestaciones del sistema de comunicaciones, ya que generauna mayor duración en los desvanecimientos, incidiendo directamente sobre el tiempo en

91


el que el enlace no puede estar operativo. Este efecto se recoge en la Figura 3.12 [14].

−20 −18 −16 −14 −12 −10 −8 −6 −410

−7

10−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100

Potencia óptica normalizada promedio (dB)

Tasa

de

ráfa

gas

de e

rror

(pro

med

io)

Ráfagas de Error de 128 Bits



u⊥ =8 m/s, σ2χ=0.01 (Gaus)

u⊥ =8 m/s, σ2χ=0.1 (Gaus)

u⊥ =8 m/s, σ2χ=0.01 (Kolg)

u⊥ =8 m/s, σ2χ=0.1 (Kolg)

Sin coherencia, σ2χ=0.01

Sin coherencia, σ2χ=0.1

x x

Figura 3.12: Incidencia de la coherencia del canal en las prestaciones del sistema evaluadas enforma de tasa de ráfagas de error. Se han probado dos valores de intensidad de turbulencia. Se hautilizado una modulación OOK-RZ con ciclo de trabajo del 25% y en recepción, un detector simplepor umbrales con conocimiento del estado instantáneo del centelleo atmosférico. σχ = 0.14. [14]

En dicha figura, se aprecia cómo la presencia de la coherencia atmosférica (una veloci-dad del viento finita) ocasiona una degradación de las prestaciones del sistema, tanto máscuanto más lentos sean los desvanecimientos. En concreto, la simulación realizada se hagenerado asumiendo un enlace horizontal de 250 m y una longitud de onda óptica de 830 nmque permite la transmisión de pulsos OOK gaussianos con retorno a cero (OOK-RZ) y unciclo de trabajo del 25% a 50 Mbps. El valor del parámetro de estructura que caracterizaa la intensidad de turbulencia se fijó en C2

n = 1.23× 10−14 y 1.23× 10−13 m−2/3, lo queimplica que σ2

χ = 0.01 y 0.1 respectivamente, suponiendo que se reciben frentes de ondaplanos. Finalmente, se ha elegido la definición de ráfaga de error dada por Deutsch y Milleren [55]: de esta forma, una ráfaga de error es cualquier secuencia de bits con menos de Lb

bits consecutivos correctos en su interior, donde, para el caso presentado en la Figura 3.12,Lb = 5. Sin entrar en más detalle, ya que será en el capítulo siguiente donde se describaen profundidad el escenario de simulación implementado, lo verdaderamente interesanteahora es examinar los resultados obtenidos. En ellos, se pone de manifiesto la necesidad deconsiderar la coherencia del canal atmosférico como un gran complemento a la informaciónque se obtendría de las curvas de error de bit; así como la coincidencia, en prestaciones,

92

3.9. CONCLUSIONES

derivadas del uso del modelo teórico de canal basado en el espectro de Kolmogorov frenteal modelo estadístico de segundo orden gaussiano propuesto en esta tesis. Ello permitenuevamente confirmar la validez de la aproximación utilizada, con la ventaja añadida deuna obtener una reducción significativa de la carga computacional.

3.9 Conclusiones

En el presente capítulo se ha presentado un modelo de canal atmosférico en el quese ha pretendido recoger la influencia que ejercen las turbulencias de la atmósfera en loshaces de luz transmitidos. Se ha podido establecer un paralelismo con los desvanecimientoscaracterísticos de RF, consiguiendo adaptar a frecuencias ópticas el esquema de simulaciónque ya fue propuesto en su momento por Clarke en [4] para RF. Previo al desarrollode dicho modelo, se han tenido que establecer algunas condiciones necesarias para suimplementación. En concreto, se ha partido del modelo de turbulencia congelada, en elque se han asumido condiciones locales de isotropía y homogeneidad. Como consecuenciade todo esto, la componente perpendicular de la velocidad del viento, u⊥, que aparecedirectamente relacionada con la coherencia del canal atmosférico, ejerce una influencianotable en los estadísticos de segundo orden del modelo. Se ha supuesto un régimende turbulencia débil donde pueden ser válidas las relaciones que fueron explicadas en elcapítulo anterior. Y se han realizado algunas simplificaciones de forma que han permitidola utilización de expresiones muy sencillas para la longitud y el tiempo de coherencia.

Además, se ha asumido una estacionariedad del canal que permite el estudio de lasvariaciones del canal a pequeña escala. Otra de las simplificaciones notables del modelo hasido la realizada al suponer un ancho de banda de coherencia del canal muy grande, algoque es totalmente aceptable para regímenes binarios de varios cientos e incluso miles deMbps; por este motivo, los desvanecimientos que se deriven del modelo de canal turbulentono son selectivos en frecuencia.

Se ha decidido establecer un régimen de turbulencia débil y, bajo tal premisa, se haimplementado la secuencia del ruido de centelleo con las características propias para dichorégimen, tanto en el dominio del tiempo como en el de la frecuencia.

Puesto que la incorporación del modelo de Kolmogorov resulta muy costosa computa-cionalmente, se ha decidido partir de una aproximación gaussiana en la autocorrelación,de la que se han obtenido resultados muy aceptables y cercanos a los esperados de formateórica. Finalmente, se ha aplicado una técnica ya desarrollada en [40] para generar señalescon una específica densidad espectral de potencia y marcada por una naturaleza estadís-tica determinada, y cuyos resultados en este trabajo han resultado ser muy positivos.

93


Por consiguiente, se pudo transformar la función densidad de probabilidad gaussiana delcentelleo de amplitud, χ(t), de la cual se partía, en la función densidad de probabilidadlogarítmico-normal deseada que caracteriza, en regímenes de turbulencia débil, al coefi-ciente de centelleo atmosférico variable en el tiempo.

Algunos de los resultados obtenidos con el modelo desarrollado han sido expuestos, yse ha discutido su validez contrastándolos con los esperados desde un punto de vista teórico,deduciéndose que el modelo de canal atmosférico presentado refleja fielmente el comporta-miento de la atmósfera turbulenta sobre las señales ópticas que por ella se propaguen, enrégimen de turbulencia débil.

94

Bibliografía

[1] W. C. Jakes, Microwave Mobile Communications, Willey-Interscience, 1974.[2] N. Kostov, Mobile Radio Channels Modeling in MATLAB, Radioengineering, Proc. of Czech

and Slovak Technical Universities and URSI Committees, vol. 12, no.4, pp. 12–16, Dec.2003.

[3] R. Landqvist and A. Mohammed, Simulation of Wireless Digital Communication Systems,Radioengineering, Proc. of Czech and Slovak Technical Universities and URSI Committees,vol. 13, no.4, pp. 1–7, Dec. 2004.

[4] T. S. Rappaport, Wireless Communications - Principles and Practice, Upper Saddle River,New Jersey, Prentice Hall, 1996

[5] E. Satorius and Z. Ye, Channel Modeling and Simulation for Mobile User Objective System(MUOS) - Part I: Flat Scintillation and Fading, ICC 2003 - IEEE International Conferenceon Communications, vol. 5, pp. 3503–3510, 11-15 May 2003.

[6] E. Satorius and Z. Ye, Channel Modeling and Simulation for Mobile User Objective System(MUOS) - Part II: Selective Scintillation and Terrestrial Multipath Fading, ICC 2003 - IEEEInternational Conference on Communications, vol. 5, pp. 3511–3518, 11-15 May 2003.

[7] B. Sklar, Rayleigh Fading Channels in Mobile Digital Communication Systems. Part I: Char-acterization, IEEE Communications Magazine, vol. 35, no. 7, pp. 90–100, July 1997.

[8] B. Sklar, Rayleigh Fading Channels in Mobile Digital Communication Systems. Part II: Mit-igation, IEEE Communications Magazine, vol. 35, no. 7, pp. 102–109, July 1997.

[9] R. Kennedy, On the Atmosphere as an Optical Communication Channel, IEEE Trans. onInformation Theory, vol. 14, no. 5, pp. 716–724, Sept. 1968.

[10] D.L. Fried, Propagation of an Infinite Plane Wave in a Randomly Inhomogenous Medium,J. Opt. Soc. Am., vol. 56, no. 12, pp. 1667–1676, Dec. 1966.

[11] J. W. Strohbehn, Modern Theories in the Propagation of Optical Waves in a TurbulentMedium, in Topics in Applied Physics:Laser Beam Propagation in the Atmosphere, Springer,New York, 1978, Chap. 3.

[12] D. L. Fried, Aperture Averaging of Scintillation, J. Opt. Soc. Am., vol. 57, no. 2, pp.169–175, Feb. 1967.

[13] D. L. Fried, Optical Resolution Through a Randomly Inhomogeneous Medium for Very Longand Very Short Exposures, J. Opt. Soc. Am., Vol.56, No. 10, pp. 1372– 1379, Oct. 1966.

[14] A. Jurado Navas, A. García Zambrana and A. Puerta Notario, Efficient Lognormal ChannelModel for Turbulent FSO Communications, IEE Electronics Letters, vol. 43, no. 3, pp. 178– 179, Feb. 2007.

[15] E. Brookner, Atmosphere Propagation and Communication Channel Model for Laser Wave-lengths, IEEE Trans. on Communication Technology, vol. 18, no. 4, pp. 396–416, Aug.1970.

[16] A. Goldsmith, Wireless Communications, Cambridge University Press, 2005.

95

BIBLIOGRAFÍA


[18] X. Zhu and J. M. Kahn, Free Space Optical Communication Through Atmospheric TurbulenceChannels, IEEE Trans. on Communications, vol. 50, no. 8, pp. 1293-1300, Aug. 2002.

[19] A. Ishimaru, The Beam Wave Case and Remote Sensing, in Topics in Applied Physics:LaserBeam Propagation in the Atmosphere, Springer, New York, 1978, Chap. 3

[20] R. M. Nuber, K.S. Shanmugan, Modeling the Atmosphere as an Unguided Optical Communi-cations Channel, IEEE International Conference on Communications, ICC 89, BOSTON-ICC/89, Conference record. World Prosperity Through Communications, 1989.

[21] R. L. Fante, Electromagnetic Beam Propagation in Turbulent Media., Proc.of the IEEE,vol. 63, no. 12, pp. 1669–1692, Dec. 1975.

[22] R. Lawrence and J. W. Strohbehn, A Survey of Clear-Air Propagation Effects Relevant toOptical Communications, Proc. of the IEEE, vol. 58, no. 10, pp. 1523–1545, Oct. 1970.

[23] E. Biglieri, G. Caire and G. Taricco, Coding for the Fading Channel: a Survey, SignalProcessing, vol. 80, no.7, pp. 1135–1148, July 2000.

[24] J. G. Proakis, Digital Communication, New York, McGraw-Hill, 4th ed. 2001[25] S. Haas and J. H. Shapiro, Capacity of Wireless Optical Communications, IEEE Journal

on Selected Areas in Communications, vol. 21, no. 8, pp. 1346–1357, Oct. 2003.[26] P. A. Bello, Characterization of Randomly Time-Variant Linear Channels, IEEE Trans. on

Communications, vol. 11, no. 4, pp. 360–393, Dec. 1963.[27] J. Marighetti, M. E. de Bortoli, A. R. Wittwer y M. B. Natalini, Simulación del viento

atmosférico como un proceso aleatorio estacionario, Avances en Energías Renovables yMedio Ambiente, vol. 5, no. 8, pp. 103–107, 2001.

[28] V. I. Tatarskii and V.U. Zavorotnyi, Wave Propagation in Random Media with FluctuatingTurbulent Parameters, J. Opt. Soc. Am. A, vol. 2, no. 12, pp. 2069–2076, Dec. 1985.

[29] L. C. Andrews, R. L. Phillips, C. Y. Hopen, Laser Beam Scintillation with Applications,MA:SPIE Optical Engineering Press, Bellingham, Washington, 2001.


[31] J. R. Dunphy, J. R. Kerr, Atmospheric Beam-Wander Cancellation by a Fast Tracking Trans-mitter, J. Opt. Soc. Am. vol. 64, no. 7, pp. 1015–1016, Jul. 1974.

[32] A. Ishimaru, Fluctuations of a Focused Beam Wave for Atmospheric Turbulence Probing,Proc. of the IEEE, vol. 57, no. 4, pp. 407–414, Apr. 1969.

[33] H. T. Yura and W. G. McKinley, Optical Scintillation Statistics for IR Ground-to-Space LaserCommunication Systems, Applied Optics, vol. 22, no. 21, pp. 3353–3358 Nov. 1983

[34] H. Yamamoto and T. Ohtsuki, Atmospheric Optical Subcarrier Modulation Systems usingSpace-Time Block Code, IEEE Global Telecommunications Conference, 2003. GLOBECOM’03, vol. 6, pp. 3326–3330, 1-5 Dec. 2003.

[35] A. Jurado Navas, A. García Zambrana and A. Puerta Notario, Efficient Channel Model forFree Space Optical Communications, 13th IEEE Mediterranean Electrotechnical Conference(MELECON), Torremolinos (Málaga), pp. 631–634, 16-19 May 2006.

[36] M. Schollmeyer and W. H. Tranter, Noise Generators for the Simulation of Digital Commu-nication Systems, Proc. of the 24th Annual Simulation Symposium, pp. 264–275, 1-5 Apr.1991.

[37] E. W. Weisstein, Confluent Hypergeometric Function of the FirstKind, MathWorld–A Wolfram Web Resource, 1999,http://mathworld.wolfram.com/ConfluentHypergeometricFunctionoftheFirstKind.html.

[38] A. V. Oppenheim, Discrete-Time Signal Processing, New Jersey, Prentice-Hall, 2a ed. cop.

96

BIBLIOGRAFÍA

1999[39] M. C. Jeruchim, P. Balaban and K. S. Shanmugan, Simulation of Communication Systems,

New York, London: Plenum Press, 2nd ed., cop. 2000.[40] U. G. Gujar and R. J. Kavanagh, Generation of Random Signals with Specified Probability

Density Functions and Power Density Spectra., IEEE Trans. on Automatic Control, vol.13, no. 6, pp. 716–719, Dec. 1968.

[41] D. L. Fried, The Effect of Atmospheric Scintillation on an Optical Data Channel - LaserRadar and Binary Communications Appl. Opt., vol. 6, no. 10, pp. 1729–1737, Oct. 1967.

[42] F. G. Gebhardt and S. A. Collins Log-Amplitude Mean for Laser-Beam Propagation in theAtmosphere, J. Opt. Soc. Am., Vol.59, No. 9, pp. 1139 – 1148, Sept. 1969.

[43] W. Huang, J. Takayanagi, T. Sakanaka, and M. Nakagawa, Atmospheric Optical Communi-cation System using Subcarrier PSK Modulation, Trans. of IEICE, vol. E76-B, no. 9, pp.1169 – 1176, Sep. 1993.

[44] Q. Yao and M. Patzold, Spatial-temporal Characteristics of a Half-spheroid Model and itsCorresponding Simulation Model, IEEE 59th Vehicular Technology Conference, VTC 2004-Spring, vol. 1, pp. 147 – 151, 17 - 19 May 2004.

[45] A. Jurado Navas, A. García Zambrana and A. Puerta Notario, Impacto de la CoherenciaAtmosférica en Comunicaciones Ópticas en Espacio Libre, XVI Jornadas de TELECOMI+D, Madrid, 29 Nov. – 1 Dec. 2006.

[46] A. Jurado Navas, A. García Zambrana and A. Puerta Notario, An Efficient Rate-AdaptiveTransmission Technique using Shortened Pulses for Atmospheric Optical Communicationsunder Weak Turbulence. Enviado a Optics Express.

[47] A. Ishimaru, Wave Propagation and Scattering in Random Media, Academic Press, NewYork, 1978.

[48] D. de Wolf, Are Strong Irradiance Fluctuations Log Normal or Rayleigh Distributed?. J.Opt. Soc. Am., Vol.59, No. 11, pp. 1455 – 1460, Nov. 1969.

[49] P. A. Bello and B.D. Nelly, The Influence of Fading Spectrum on the Binary Error Probabil-ities of Incoherent and Differentially Coherent Matched Filter Receivers, IEEE Trans. onCommunications, vol. 10, no. 2, pp. 160–168, Jun. 1962.

[50] X. Zhu and J. M. Kahn, Maximum-Likelihood Spatial Diversity Reception on Correlated Tur-bulent Free Space Optical Channels, IEEE Conf. on Global Communications, San Francisco,USA, pp. 1237-1241, 27 Nov. - 1 Dec 2000.

[51] X. Zhu and J. M. Kahn, Mitigation of Turbulence-Induced Scintillation Noise in Free-SpaceOptical Links Using Temporal-Domain Detection Techniques, IEEE Photonics TechnologyLetters, vol. 15, no. 4, pp. 623-625, Apr. 2003.

[52] M. Abramowitz, I. A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, Dover Publications, 1965.[53] T. Ohtsuki, Performance Analysis of Atmospheric Optical CDMA Systems, IEEE Interna-

tional Conference on Communications, 2002 (ICC 2002), vol. 5, pp. 2933 – 2937, 28 Apr. - 2May 2002.

[54] E.W. Weisstein, Delta Function From MathWorld–A Wolfram Web Resource.http://mathworld.wolfram.com/DeltaFunction.html

[55] L. J. Deutsch and R. L. Miller, Burst statistics of Viterbi decoding, The Telec. and DataAcquisition Progress Report, TDA PR 42-64, 187-193 (1981).

97

Capítulo 4

Modelo de Simulación Numérica

A lo largo de los capítulos anteriores se ha realizado un estudio de la atmósfera comomedio físico de transmisión. Se ha dedicado especial atención al modelado del efectoadverso de la turbulencia atmosférica sobre la señal óptica que se esté propagando en cadamomento. El efecto principal, como se ha visto, son unas fluctuaciones sufridas por lairradiancia de la señal óptica transmitida como consecuencia de las microvariaciones delíndice de refracción atmosférico que va a ir encontrándose conforme vaya atravesando elvano. Estas fluctuaciones ocasionarán una degradación en las prestaciones del sistema.

En el transcurso de este capítulo se va a realizar un estudio comparativo basado ensimulación mediante el método de Monte-Carlo [1] entre diferentes técnicas de modula-ción y señalización dentro del ámbito de comunicaciones ópticas atmosféricas. El objetivoprincipal de tales simulaciones es encontrar una figura de mérito que permita establecercomparativas fiables entre las prestaciones que se extraerían de cualquier técnica de señali-zación que se piense adoptar en cada momento. Para satisfacer este objetivo, se implementaun entorno de simulación estructurado en un esquema genérico tipo transmisor - canal at-mosférico - receptor, que ha permitido la realización de todas las simulaciones numéricaspresentadas en el transcurso de esta tesis. Como ya se detalló, algunos resultados derivadosde este entorno de simulación fueron ya adelantados en el capítulo anterior con el fin derealizar una serie de comprobaciones preliminares al modelo de canal óptico atmosféricopropuesto. Es ahora el momento adecuado para detallar la estructura de sistema utilizadadescribiendo brevemente cada bloque que lo compone.

A continuación, se explicarán cada uno de los esquemas de señalización que se hanadoptado para realizar las simulaciones, ofreciéndose también los resultados numéricos.Aunque el análisis de las técnicas de transmisión estudiadas se base en simulación, es nece-sario definir algún parámetro analítico que respalde los resultados obtenidos, permitiendoasí prever el comportamiento de las técnicas de transmisión estudiadas. Así, se demostró

99

CAPÍTULO 4. MODELO DE SIMULACIÓN NUMÉRICA

en [2, 3] que, para un ámbito de comunicaciones ópticas inalámbricas en entornos de in-terior, la maximización de la relación de potencia óptica de pico respecto a la potenciaóptica promedio transmitida (PAOPR) asegura una mejora de las prestaciones del enlacedesde el punto de vista de la probabilidad de error de bit. En este capítulo, se muestracómo este factor PAOPR (Peak to Average Optical Power Ratio) sigue siendo una figurade mérito fiable en entornos atmosféricos para comparar las prestaciones esperables de dis-tintos formatos de señalización, permitiendo extraer análogas conclusiones a las obtenidasen entornos de interiores incluso mediante la utilización de curvas de ráfagas de error debit; este tipo de curvas son necesarias para evaluar la incidencia de estadísticos de segundoorden del canal atmosférico en el enlace, como por ejemplo el tiempo de coherencia, el cualincide de forma directa en la duración de cada uno de los desvanecimientos.

La segunda mitad del capítulo se completa el modelo de canal atmosférico presentadoen el tercer capítulo introduciendo el efecto del ensanchamiento temporal que todo pulsoóptico puede sufrir si se propaga en condiciones de elevados regímenes binarios, funda-mentalmente en entornos especiales con, por ejemplo, abundante concentración de polvo.Como se verá, su inclusión en el esquema de simulación numérica planteado en este capítuloes inmediata, ya que se ha conseguido modelar la posible distorsión temporal que sufriríaun pulso óptico a partir de una etapa de filtrado, habiéndose encontrado una relación entresu frecuencia de corte y los parámetros físicos y meteorológicos que caractericen al vanoatmosférico en cada momento.

4.1 Modelo de sistema óptico no guiado para comunicacionesatmosféricas

En este apartado se desarrolla el esquema numérico de transmisión-recepción imple-mentado que permita encontrar un parámetro fidedigno con el que establecer comparativaentre las prestaciones de distintos formatos de señalización. Para ello, se ha optado por lasimulación numérica de distintas técnicas de modulación estimando su comportamiento anivel de curvas de ráfagas de error (Burst Error Rate), de manera que se recoja el efectoque la coherencia atmosférica introduce sobre las prestaciones del sistema. Todo esto, comose ha indicado, se hará a partir del método de Monte-Carlo cuasi-analítico [1].

La implementación del simulador se ha realizado en lenguaje ANSI C, ya que dicholenguaje proporciona simplicidad y velocidad de ejecución. Dicha velocidad ha sido eva-luada utilizando diversos compiladores, mostrándose el compilador de libre distribuciónOpen Watcom C/C++/FORTRAN versión 1.5 como el código más eficiente en velocidad.La gran importancia de utilizar un código eficiente viene motivada por el elevado número deiteraciones necesarias, sobre todo, para estimar curvas de error con tasas inferiores a 10−4.

100

4.1. MODELO DE SISTEMA ÓPTICO NO GUIADO PARA COMUNICACIONES ATMOSFÉRICAS

A continuación, se define el método de Monte-Carlo junto con su variante cuasi-analítica y se presenta el modelo de sistema aplicado al estudio de las distintas técnicas detransmisión óptica no guiada, detallando cada uno de los componentes del mismo.

4.1.1 El método de Monte-Carlo

En el contexto de la estimación de la probabilidad de error en un sistema de comu-nicaciones definido según el modelo de la Figura 4.1, donde sus señales de entrada U(t),V (t) y W (t) se consideran procesos estocásticos, el objetivo es encontrar las propiedadesestadísticas de la señal resultante a la salida, Y (t), o de alguna función g(Y (t)). Si seresuelve el problema emulando el comportamiento del sistema, incluyendo la evolucióntemporal de todas las formas de onda del sistema, entonces se dice que se ha aplicado unmétodo de Monte-Carlo puro. Esto implica la generación de valores muestreados de todoslos procesos de entrada, permitiendo a los modelos de los bloques funcionales del sistemade comunicación operar sobre ellos. De forma ideal, la simulación de Monte-Carlo consisteen una correspondencia directa con el sistema real a analizar, dentro de los límites quepermitan los modelos utilizados.

Figura 4.1: Definición del método de Monte-Carlo.

El valor esperado E g (Y (t)) se estima a partir de las simulaciones de Monte-Carlode acuerdo con

E

g(Y (t)

)=

1N

N∑

i=1

g (Y (i)) (4.1)

donde Y (t) indica el valor estimado de Y (t) y N es el número de muestras simuladas.

En la Figura 4.2 se presenta un ejemplo de sistema de comunicaciones genérico dondese pretende estimar la probabilidad de error de bit. Para ello, es necesario ejecutar lossiguientes pasos:

1. Generar los valores muestreados de la secuencia de bits de entrada A(k) para k = 1...N

bits, junto con las muestras de ruido N(j), siendo j = 1, 2, ...,mN , considerando quela tasa de muestreo es de m muestras por período de bit.

101


MODULADORBINARIO

CANALATMOSFÉRICO

FILTRADOMUESTREO Y

DECISIÓN

CUENTA DE ERRORES

Figura 4.2: Modelo genérico de un sistema de comunicaciones.

2. Procesar todas las muestras a través de los modelos de los bloques funcionales ygenerar la secuencia de salida Y (k).

3. Estimar E(g(Y(k)) como Pe = 1N

N∑k=1

g(Y (k))

La precisión de las estimaciones obtenidas mediante simulación de Monte-Carlo de-pende de numerosos factores entre los que se encuentran el procedimiento de estimaciónutilizado, el número de muestras N , la capacidad de reproducir fielmente el comporta-miento de los procesos de entrada al sistema, y las suposiciones y aproximaciones rela-cionadas con el modelo de sistema utilizado. En general, se puede decir que la precisión dela estimación será proporcional a 1√

N, lo que implica la necesidad de un elevado número

de muestras para conseguir resultados fiables mediante simulación de Monte-Carlo.

Lógicamente, si se desea estimar una probabilidad de ráfagas de error de bit, comoasí ocurre en la mayoría de curvas presentadas en este trabajo, se hace necesario modificarel bloque Cuenta de Errores de la Figura 4.2 de forma que se cuenten las tramas de unalongitud dada que se han recibido de forma errónea. Tal y como se adelantó en el capítuloanterior, se ha definido una trama errónea de parámetro Lb como aquella secuencia deN bits que como máximo contiene Lb − 1 bits consecutivos correctos, de acuerdo con loindicado en [4]. Por lo demás, la forma de operar es análoga a lo ya expuesto.

Modificación cuasi-estática del método de Monte-Carlo

A la hora de realizar simulaciones de sistemas de comunicaciones, no siempre se utilizael método de Monte-Carlo, ya que implica que un único proceso estocástico sea emulado;ni tampoco el método de Monte-Carlo puro, según el cual se han de incorporar en lasimulación todos los procesos estocásticos de entrada al sistema. En numerosas situacionesno es necesario simular todas las variables aleatorias implicadas en el sistema.

102


En el ejemplo mostrado en la Figura 4.2 las prestaciones en cuanto a tasa de errordependerán del ruido existente y de la distorsión acumulada introducida por los filtros.Como el ruido es gaussiano y aditivo sobre la señal de entrada, el comportamiento a la salidadel filtro y, por tanto, a la entrada del bloque de decisión, será el mismo. En ausencia dedistorsión, el efecto del ruido aditivo y gaussiano puede ser estudiado de forma analítica sinnecesidad de realizar las simulaciones pertinentes. Cuando el sistema introduce distorsión,como es el caso del ejemplo propuesto, los efectos del ruido pueden aún ser caracterizadosanalíticamente en función de la magnitud de la distorsión. Sin embargo, la distribuciónde los valores de distorsión introducida por los filtros puede ser difícil de caracterizar deforma analítica, por lo que se recurre a los métodos de simulación. En este caso, solamentees necesario simular el efecto acumulado de todos los bloques funcionales sobre la señalbinaria de entrada sin necesidad de hacer lo mismo con la señal de ruido.

Las simulaciones de Monte-Carlo en las que sólo una parte de los procesos de entradaal sistema son generados de forma explícita, mientras que los efectos de otros procesosson incluidos en el estudio mediante técnicas analíticas, se denominan simulaciones deMonte-Carlo parciales o simulaciones cuasi-analíticas. La principal ventaja de este tipode simulaciones es la reducción en el número de muestras necesarias en relación con lasimulación de Monte-Carlo pura, para conseguir estimaciones con la misma precisión. Comose verá a continuación, las simulaciones realizadas en este trabajo para la obtención de tasasde error se han basado en simulación de Monte-Carlo cuasi-estática.

4.1.2 Descripción del modelo de sistema óptico no guiado

El diagrama de bloques general del sistema utilizado se muestra en la Figura 4.3.

FILTRO

ADAPTADO

FILTRO

PASO ALTO

(OPCIONAL)

MODULADOR

T/48 T/48

T/48

GENERADOR DE

TRAMA

PSEUDOALEATORIACODIFICADOR

GENERADOR DE

RUIDO (AWGN)

DECISORCANAL

ATMOSFÉRICO

T T TT/48

TRANSMISOR RECEPTOR

Figura 4.3: Diagrama de bloques del sistema óptico no guiado.

Como se puede observar, el sistema puede ser dividido en tres etapas. La primerade ellas, el transmisor, la forman los bloques de generación de trama pseudoaleatoria, elcodificador y el modulador; la segunda la integra el bloque que modela al canal ópticoatmosférico junto con el generador de ruido aditivo, blanco y gaussiano; por último, se

103


representan los bloques que constituyen el modelo del receptor óptico, formado por el filtropaso alto utilizado para mitigar las posibles interferencias procedentes de luz ambiental, elfiltro adaptado de naturaleza paso bajo, el muestreador y el bloque decisor, a la salida delcual se obtiene la secuencia binaria recibida. En el modelo presentado se refleja tambiénla frecuencia de muestreo de las señales de tiempo continuo que se desean simular en laherramienta, habiéndose seleccionado un período de muestreo de Tb/48, donde Tb es elintervalo de bit, como valor de compromiso entre una limitada complejidad computacionaly una precisión adecuada en la representación de las señales simuladas.

Una mejora que se puede introducir en el anterior modelo es la optimización del procesode generación del ruido introducido por el sistema. En la Figura 4.3 el ruido es tratado comouna señal continua en el tiempo; sin embargo, el algoritmo de simulación se ve mejoradosi se trabaja directamente con ruido discreto, permitiendo la aplicación de simulaciones deMonte-Carlo cuasi-estáticas. En este sentido, se ha demostrado la viabilidad de utilizarun modelo discreto equivalente de ruido que permite simplificar el proceso de simulación.Dicho modelo se basa en la modificación del nivel de potencia de ruido generado segúnlas respuestas al impulso de los filtros eliminador de interferencias y adaptado. El estudiodetallado de dicho modelo aparece en [5] y el correspondiente diagrama de bloques delsistema se muestra en la Figura 4.4.

FILTRO

PASO ALTO

(OPCIONAL)

FILTRO

PASO ALTO

(OPCIONAL)

MODULADOR

T/48

T

GENERADOR DE

TRAMA

PSEUDOALEATORIACODIFICADOR

GENERADOR DE

RUIDO (AWGN)

FILTRO

ADAPTADODECISOR

CANAL

ATMOSFÉRICO

T T TT/48

TRANSMISOR RECEPTOR

FILTRO

ADAPTADO

MODELO DISCRETO EQUIVALENTE

T

Figura 4.4: Diagrama de bloques del sistema modificado.

Como puede apreciarse, el generador de ruido proporciona a su salida una muestrade ruido blanco gaussiano cada intervalo de bit, Tb, la cual será modificada en ampli-tud por el modelo discreto equivalente de los filtros paso alto y adaptado, tal y comose justifica en el estudio realizado en [5]. De este modo, la muestra de ruido es aña-dida directamente a la muestra de la señal correspondiente en cada intervalo de tiempo,justo antes de aplicar el método de decisión. A efectos del análisis de la probabilidad deerror y de la comparación que se realizará posteriormente con expresiones analíticas teóri-cas, es necesario tener en cuenta el modo en que esta discretización del ruido afecta a la

104


potencia de ruido total simulada.

A continuación, se describe en detalle cada uno de los bloques integrantes del sistema.

Generador de tramas pseudoaleatorias

Para una correcta simulación en condiciones reales, va a ser necesario emplear algúntipo de secuencia que presente características pseudoaleatorias. Existen diferentes modosde generarla, pero una manera simple de hacerlo se basa en el empleo de un registro dedesplazamiento realimentado [6]. Estos registros de desplazamiento son elementos lógicosdeterministas y, como tales, de comportamiento predecible y repetible. A pesar de ello,cualquier porción de tales secuencias, desde un punto de vista práctico, va a parecer unasecuencia aleatoria de 0’s y 1’s, dada la gran duración de éstas. El esquema se muestra enla Figura 4.5:

Figura 4.5: Generador de secuencias pseudoaleatorias mediante el empleo de un registro dedesplazamiento. En este caso, el polinomio binario asociado se corresponde con la expresiónxm + xn + 1.

Las características de la secuencia de salida del registro de desplazamiento dependendirectamente de la longitud del registro de desplazamiento y de qué posiciones son las quese realimentan a través de una suma en módulo-2. Si se utiliza, como en la Figura 4.5, unregistro de m celdas, el número máximo de estados posibles es K = 2m, si se incluyen todaslas posibles combinaciones binarias de m bits. Sin embargo, el estado en el que todas lasceldas son cero no es posible pues, en tal caso, se quedaría fijo el registro desplazamientosin evolución alguna, obteniéndose a la salida una trama de bits todos a cero. Por estemotivo, la secuencia de máxima longitud de las secuencias generadas por un registro dedesplazamiento es K = 2m − 1.

Ahora bien, es necesario escoger adecuadamente las posiciones de realimentación paraobtener secuencias pseudoaleatorias de máxima longitud. El funcionamiento de este re-gistro puede representarse matemáticamente por un polinomio de coeficientes binarios y

105


que pertenecería a un cuerpo algebraico con entidad propia que se constituiría en base ala operación de adición en modulo-2 (operación OR-Exclusiva). Dicho cuerpo se ha deno-minado cuerpo de Galois [7] y su estudio se ha mostrado muy importante en el diseño desistemas prácticos de aplicaciones en ingeniería.

En el sistema bajo estudio implementado en este trabajo, se emplea un registro dedesplazamiento constituido mediante veinte celdas de memoria en el que se realimentanlas posiciones decimoséptima y vigésima, obteniendo secuencias de máxima longitud deperíodo 220 − 1 bits. Se ha elegido este valor ya que es suficientemente amplio parapermitir que el histograma obtenido de la secuencia de centelleo atmosférico que se generesea logarítmico-normal y, por tanto, se acerque lo más posible al comportamiento real delmedio atmosférico turbulento. El empleo de longitudes más pequeñas originaban un suelode ruido no esperado como consecuencia de no haber permitido a la secuencia de centelleoalcanzar plenamente sus estadísticos de tipo logarítmico-normal.

Codificador y modulador

El bloque codificador aparece como elemento opcional dentro del esquema mostradoen la Figura 4.4, debido a que su inclusión depende de la existencia de codificación sobrela señal binaria de información, previa a la conversión de la trama digital a señal analógicaen banda base. La implementación del codificador, en cualquier caso, vendrá establecidapor el algoritmo de codificación utilizado en la transmisión.

En cuanto al elemento modulador, su función será simular el paso de la informacióndigital en forma de secuencia de bits pseudoaleatoria a la forma de pulso analógica elegida.Así, cada bit de información que llega a su entrada es convertido en pulsos con diferentesperfiles, rectangulares, triangulares, gaussianos, etc. con la amplitud y ciclo de trabajodeseados. En este proceso, se expande el vector que representa a la trama pseudoaleatoriagracias a la utilización de un nivel de muestreo elevado, con el fin de que se simule elpaso de información desde un formato digital a la entrada del modulador, a un formatoanalógico en forma de pulsos que se tiene a la salida de dicho modulador.

La elección de la forma de pulso a utilizar ha venido determinada por el estudiorealizado en [5, 8, 9]. En tales trabajos, orientados a aplicaciones en ambiente interior, seconcluye que la forma de pulso gaussiano ofrece mejores prestaciones que la rectangularo triangular, puesto que permite al pulso original adaptarse mejor a las característicasdel medio óptico no guiado. En [10, 11, 12, 13], se trasladan a comunicaciones ópticasatmosféricas las conclusiones obtenidas en ambiente interior. Además, el hecho de reducirel ciclo de trabajo dentro del intervalo de bit mejora notablemente las prestaciones. Poresta razón, se elige la forma de pulso gaussiano con un ciclo de trabajo del 25% como

106


patrón de pulso óptico utilizado para simular los pulsos a transmitir en formato analógico.

Modelo de canal óptico atmosférico

El modelo de canal óptico atmosférico incluido en este bloque es el que ha sido detalladoen el capítulo anterior. Se trata simplemente del coeficiente de centelleo atmosférico varia-ble en el tiempo que se añade de manera multiplicativa sobre la señal óptica que se propaga.En la parte final del presente capítulo, se ampliará el modelo de canal añadiendo el efecto dela distorsión temporal que, en determinadas condiciones especiales de propagación, puedesufrir un pulso óptico. Se aplaza al capítulo siguiente la posibilidad de ampliar el modelode canal incorporándole diversidad espacial añadiendo además, el posible efecto sobre elhaz de luz emitido que puede ocasionar la inclusión de un tiempo de vida finito por partede las células turbulentas presentes en la atmósfera

Filtro eliminador de interferencias

Esta etapa surge de la necesidad de introducir algún tipo de bloque que se encarguede mitigar las posibles señales recibidas de fuentes de iluminación interferentes, fundamen-talmente la luz solar. Es particularmente importante el efecto adverso que ocasiona en elreceptor la intensidad del ruido shot procedente del sol en forma de componente continua,que incluso puede llegar a cegarlo. Por ello, se presenta la posibilidad de realizar un fil-trado eléctrico, intercalando un filtro paso alto justo entre el fotodiodo y el amplificador deentrada. En [5] y para un entorno de comunicaciones interiores, se optó por la utilizaciónde un filtrado paso alto de Bessel de tercer orden con frecuencia de corte de 500 kHz [14],que será adoptado en el nuevo entorno de comunicaciones ópticas atmosféricas. Esta fre-cuencia de corte se presenta como un compromiso aceptable entre una correcta supresiónde las interferencias procedentes de la luz ambiental y, al mismo tiempo, una repercusiónmoderada en la ISI introducida por el filtro.

Sin embargo, si el efecto beneficioso obtenido tras suprimir las posibles interferenciasrecibidas no compensa la distorsión introducida en la señal de información por parte dela etapa de filtrado paso alto, se recomendaría prescindir de la misma de forma que lasprestaciones del sistema sean las mejores posibles. Es por esta razón por la que se haetiquetado como opcional en las Figuras 4.3 y 4.4. Fundamentalmente, a altos regímenesbinarios de funcionamiento, su presencia es desaconsejable.

Por último, y con el fin de mitigar el efecto de la luz solar directa sobre los receptores,se recomienda no orientar los dispositivos en sentido Este-Oeste.

107


Filtro adaptado y muestreador

En el modelado del sistema se pretende elegir siempre el método óptimo de recepciónoptando, por tanto, por el receptor de máxima semejanza. Esto obliga al diseño de un filtrocuya respuesta al impulso sea conforme al pulso emitido por el transmisor. Sin embargo,para el modelado de dicho filtro se ha considerado la necesidad de una implementaciónque permita trabajar en tiempo continuo a velocidades de transmisión elevadas. En estesentido y, dado que en [15, 16] se constata que los pulsos ópticos que llegan al receptortienen gran similitud con pulsos gaussianos, se propone en la bibliografía la utilización defiltros con respuesta paso bajo de Bessel de quinto orden. Dichos filtros poseen respuestas alimpulso que se adecúan bastante a la forma de los pulsos transmitidos. Así, el parámetroa modificar será la frecuencia de corte del filtro paso bajo de Bessel, dependiente de lavelocidad de transmisión y de la forma del pulso transmitido.

La estimación de las frecuencias de corte óptimas para los filtros de Bessel debe serrealizada en cada caso mediante simulación, puesto que no se dispone de ningún procedi-miento analítico. El estudio de dichas frecuencias de corte aparece realizado en [5] paradistintas velocidades de transmisión.

En cuanto al bloque muestreador, éste es considerado ideal y, por tanto, da a su salidauna muestra cada intervalo de bit Tb, obtenida en el instante de muestreo óptimo. Eneste sentido, el muestreador seleccionará tal instante óptimo de muestreo a partir de laestimación de la distorisión introducida en la forma de pulso por parte del canal ópticoatmosférico, para el supuesto caso en el que se considere que la atmósfera introduce unadispersión temporal del pulso, como ocurre a muy elevados regímenes binarios o bien encaso de escenarios específicos de aplicaciones con una atmósfera muy cargada de polvo ensuspensión, por ejemplo. Además, el instante óptimo de muestreo es seleccionado a partirde la estimación de la distorsión introducida por el filtro paso alto de cabecera del receptory por el filtro adaptado situado a continuación. El algoritmo de estimación del muestreoproporcionará un instante de muestreo óptimo fijo que será utilizado para la obtención detodas las muestras procedentes de la señal analógica de entrada a este bloque.

Bloque decisor

Por último, el bloque decisor es el encargado de extraer la información binaria de laseñal muestreada. Esta extracción es dependiente de la técnica de modulación utilizada.De esta manera, será posible la implementación desde un decisor básico sin memoria me-diante la comparación con un nivel umbral determinado, hasta la detección de máximasemejanza (algoritmo ML), o incluso la posibilidad de emplear las técnicas de decodifi-cación de secuencias de máxima semejanza basadas en la implementación del algoritmo de

108


Viterbi para el caso de esquemas de señalización que utilicen codificación con memoria.

Modelo discreto equivalente de ruido

En la simulación del sistema se ha considerado que las señales continuas detectadasen recepción pueden ser consideradas realizaciones particulares de un proceso estocásticode tiempo continuo X(t), que puede suponerse estacionario en sentido amplio. Segúnesto y, con el objeto de poder estudiar el sistema de forma adecuada, se ha realizado untratamiento discreto mediante el muestreo de dicho proceso, obteniéndose Yk = X(kTs),donde Ts indica el período de muestreo seleccionado que, en este estudio, ha sido elegidode forma que cada período de bit Tb, esté compuesto de 48 muestras, lo cual es suficienteteniendo en cuenta los esquemas de señalización en banda base que se consideran en estaTesis Doctoral.

En este sentido, se debe procurar que los descriptores estadísticos de este procesoaleatorio discreto modelen lo más fielmente posible los correspondientes al proceso aleatoriocontinuo, los cuales están relacionados a través de la siguiente expresión:

RY Y (k, i) = E[X(kTs)X∗(iTs)] = RX(mTs) (4.2)

donde m = k − i. Por tanto, la función correlación del proceso discreto será el resultadode muestrear la correspondiente al proceso aleatorio continuo [6].

Se debe prestar especial atención a la incorporación del ruido en la simulación, puestoque de ello va a depender no sólo la obtención de resultados correctos sino también el diseñode una herramienta de simulación versátil que conlleve unos requisitos moderados de tiempode computación y de memoria. Para ello, se debe analizar la forma en que se presenta elruido en el sistema de comunicación concreto que se está estudiando, determinado, para elcaso particular de un sistema óptico en entorno atmosférico, por la luz ambiental en el queestá inmerso el sistema. Así, el ruido shot blanco de alta intensidad procedente de la fuerteiluminación ambiental predominará sobre el ruido shot producido por la señal recibida, conidéntica distribución estadística pero de intensidad mucho más débil, lo que permite quese pueda despreciar en el análisis. Por este motivo, se puede asumir que el ruido shot quepredomina puede ser aproximado por una distribución de probabilidad gaussiana con uncomportamiento aditivo, puesto que se presenta independiente de la señal [6].

A partir de aquí, se deben considerar los subsistemas de tiempo continuo por los quepasa el ruido introducido, analizando el efecto que los diferentes procesos de filtrado puedantener sobre la distribución estadística del ruido considerado. Estos subsistemas, según laFigura 4.3, son los correspondientes al filtro paso alto, opcional tal y como se ha comentado

109


anteriormente, y al filtro adaptado del bloque receptor, y que se incluyen en el esquemade simulación tal y como se indica en la Figura 4.4.

Así, si el conjunto de ambos subsistemas se puede representar por un una respuestaal impulso h(t), donde la función correlación Rs(τ) a la salida de éste se relaciona con lafunción de correlación Re(τ) a la entrada a través de la siguiente expresión:

Rs(τ) = h(τ) ∗ h∗(τ) ∗Re(τ). (4.3)

En [5] se presenta un estudio en el que se analiza la distribución estadística de salidapara distintas configuraciones de filtro paso alto y filtro adaptado, modificando la frecuenciade corte de éste último. Así, se muestra que la distribución estadística de la función decorrelación muestreada mantiene la misma distribución gaussiana, dado que el filtradoes un proceso lineal y cualquier combinación lineal de variables aleatorias conjuntamentegaussianas es una variable gaussiana [6]. Esto permite simplificar la generación del ruidoen el modelo de sistema mediante el uso de un modelo discreto equivalente consistente enun generador de ruido blanco aditivo gaussiano que produzca una única muestra de ruidopor cada muestra de señal obtenida tras el subsistema muestreador.

En este sentido, como se ha mencionado anteriormente, es necesario tener en cuentaque el muestreo del ruido influye en la potencia del mismo. Por consiguiente, si σ2

m es lapotencia de ruido muestreado y σ2 es la potencia de ruido de tiempo contínuo, la relaciónentre ambas viene dada por

σ2m =

σ2

Ts=

σ2

Tb, (4.4)

ya que se está seleccionando una única muestra por cada intervalo de bit.

La simplificación que implica el muestreo de la señal de ruido conlleva una consi-derable ventaja computacional al permitir estudiar el sistema óptico no guiado mediantesimulaciones de Monte-Carlo cuasi-estáticas, según se ha descrito anteriormente [1].

4.1.3 Definición de ráfaga de error

Como ya se mencionó en el capítulo anterior, la comparativa en prestaciones entredistintos sistemas de comunicaciones ópticas en entorno atmosférico dentro de esta TesisDoctoral se presenta, salvo que se indique lo contrario, en forma de curvas de probabilidadde ráfagas de error. Por ello, se hace necesario precisar con exactitud la definición de ráfagade error que se ha empleado a lo largo de todo este trabajo.

110

4.2. RELACIÓN POTENCIA ÓPTICA PICO A PROMEDIO (PAOPR)

Así pues, se ha optado por asumir la definición de ráfaga de error enunciada porDeutsch y Miller [4]: de acuerdo con ella, para que una secuencia de bits de longitud N

sea considerada como ráfaga de error deberá estar constituida por un conjunto de bitsdelimitados, tanto en su comienzo como en su final, por un bit cuya decisión fue incorrectaen comparación a la trama de bits original transmitida; y que en su interior se sucedantanto conjuntos de bits cuyo valor decidido es incorrecto junto a otros cuyo valor decididoes correcto, con la restricción de que nunca se sucederán de forma correlativa Lb − 1 bitscorrectos, siendo Lb = 5 en todo el trabajo desarrollado en esta Tesis Doctoral, salvo quese indique lo contrario. En la Figura 4.6 se muestra una delimitación de lo que sería unaráfaga de error (EB o Error Burst) de seis bits de longitud, donde se ha denotado como“1” a cualquier bit recibido erróneamente; mientras que se ha representado como “0” todobit correctamente recibido, tal y como se indica en [17].

Figura 4.6: Definición de ráfaga de error y otros conceptos relacionados.

Junto a la definición de ráfaga de error, aparecen reflejadas en la Figura 4.6 otrasdefiniciones relacionadas a la anterior. Así, un gap (G), definido como toda cadena de bitsconsecutivos recibidos correctamente e insertados entre dos bits recibidos de forma errónea;un cluster de errores (EC), que es la región donde se han detectado una serie de erroresconsecutivos. Finalmente, se define como ráfaga libre de errores (FEB) a toda secuenciade bits correctos (“0”) con una longitud de al menos η bits, siendo η un número enteropositivo. En la Figura 4.6 el parámetro η toma un valor de cuatro.

4.2 Relación potencia óptica pico a promedio (PAOPR)

Con la finalidad de medir las prestaciones ofrecidas por diferentes esquemas de se-ñalización en los sistemas ópticos no guiados en entorno atmosférico, uno de los princi-pales parámetros que se tiene en cuenta es la probabilidad de error de bit (BER). Dichoparámetro se puede estimar de numerosas formas, aunque la más rigurosa es la medida realdel número de errores que se cometen al recibir una trama de bits conocida de antemano.Este método es el conocido como método de Monte-Carlo, descrito brevemente en aparta-dos anteriores. Sin embargo, como se ha explicado en el capítulo anterior, la probabilidadde error es un estadístico de orden uno y, por tanto, no recoge adecuadamente el impacto

111


de la coherencia atmosférica del canal sobre las prestaciones de un sistema de comunica-ciones ópticas no guiadas inmerso en un medio atmosférico turbulento. Para ello, se haráuso de la probabilidad de ráfaga de error de bit, adaptando el método de Monte-Carlocuasi-analítico de forma que pueda estimarse dicha probabilidad de ráfaga de una formaparecida a como se hacía para la estimación de la probabilidad de error de bit.

Como se aprecia en la Figura 4.2, la aplicación del método de Monte-Carlo se basasimplemente en la comparación de la trama de salida del bloque decisor con la tramapseudoaleatoria generada al inicio. Para dotar a la medida resultante de resolución su-ficiente, es necesario que el proceso de comparación se realice sobre una cadena de bitssuficientemente larga con relación a la probabilidad de ráfaga de error que se desea esti-mar. En [1] se demuestra que, si se quiere realizar una medida de probabilidad de errordel orden de p = 10−ν , basta con simular el sistema con 10/p muestras para obteneruna precisión en la medida del 95%. Como el generador de tramas pseudoaleatorias pro-porciona secuencias de 220 − 1 bits a su salida y, teniendo en cuenta que, tanto en estecapítulo como en el siguiente, se simularán tramas de hasta 192 bits de longitud, el métodode Monte-Carlo podría utilizarse para estimar probabilidades de error de ráfaga de hasta10/((220 − 1)/192) = 1.8 · 10−3. Para compensar esta limitación se dota al método desimulación de capacidad de iteratividad en cuanto al proceso de decisión y comparación detramas, con lo que uniendo los errores medidos en las diversas iteraciones se conseguirá laresolución deseada [1].

Sin embargo, no será éste el único parámetro que se utilice para medir tales presta-ciones, sino que se dispone de un parámetro adicional que tiene por objeto analizar deforma sencilla el comportamiento de los sistemas de transmisión. Este parámetro es loque se conoce como la relación de potencia óptica pico a promedio (PAOPR), que aparecerelacionado analíticamente con la probabilidad de error de bit, tal y como se detalla en[18] y, por ende, también relacionado con la probabilidad de ráfaga de error de bit, comomostrarán las simulaciones ofrecidas en este capítulo. Se ha constatado en [2, 3] que dichoparámetro PAOPR incide directamente en las prestaciones que se pueden obtener de unenlace óptico no guiado en ambiente interior. A lo largo de este capítulo se muestra cómoesta conclusión es trasladable a un entorno óptico atmosférico [12, 19].

La relación PAOPR se define como el cociente entre la potencia óptica de pico, Ppico,transmitida en un intervalo de bit, Tb con presencia de pulso, y la potencia óptica promediotransmitida, Pt:

PAOPR =Ppico

Pt. (4.5)

Así, se puede considerar la potencia óptica instantánea transmitida, s(t), como:

112


s(t) =∑

k

ak · Ppico · p(t− kT ), (4.6)

donde la variable ak puede tomar valores de 0 para la transmisión de un bit “0”, o 1 para latransmisión de un bit “1”; mientras que p(t) es la forma de pulso utilizada y normalizadarespecto al valor máximo de amplitud. De este modo, la potencia óptica transmitida sepuede expresar como:

Pt = prob(ak = 1) · Ppico · Ppulso, (4.7)

tal y como se indica en [3], siendo Ppulso = 1Tb

∫Tb

p(t)dt la potencia óptica promedio dela forma de pulso normalizada en amplitud máxima en el intervalo de bit. Por tanto, larelación PAOPR se puede representar como:

PAOPR =(

Ppico

prob(ak = 1) · Ppico · Ppulso

)=

(1

prob(ak = 1) · Ppulso

). (4.8)

La interpretación inmediata de la ecuación anterior indica que la relación pico a pro-medio depende directamente, por un lado, de la forma de pulso normalizado utilizada y,por otro, de la distribución estadística de la señal binaria que se transmite. En consecuen-cia, si se desea incrementar dicha relación manteniendo constante la potencia promediotransmitida, se dispone de dos opciones: utilizar formas de pulso con bajo nivel medio y/oreducir la presencia de símbolos “1” en la trama binaria a transmitir. La primera opciónes estudiada en [5, 8, 9], concluyendo que la forma óptima de pulso es la gaussiana conciclo de trabajo reducido (25%). De esta manera, se permite reducir la potencia mediadel pulso normalizado a la vez que se aumentan las prestaciones obtenidas. Esto ha sidotambién verificado experimentalmente en [10, 12, 13] para los enlaces ópticos atmosféricos,tal y como se muestra en la Figura 4.7. En ella, se comparan distintas formas de pulso(rectangular, gaussiana con un ciclo de trabajo del 100 % y gaussiana con un ciclo detrabajo del 25%), manifestándose unas mejores prestaciones cuanto menor es el ciclo detrabajo y, por tanto, mayor es la relación PAOPR. Junto a tales curvas, se ha incluidotambién el comportamiento del sistema si se adopta un sistema clásico de adaptabilidadbasado en la repetición del bit de información, siendo los valores tomados para el factorde reducción de tasa de RR = 2, 4 y 8. Se ha empleado un procedimiento de detección porumbrales con conocimiento del estado instantáneo del canal (CSI).

En este sentido, aunque se podría pensar en utilizar ciclos de trabajo muy pequeños ala vista de los resultados obtenidos, en la práctica la inclusión de pulsos extremadamenteestrechos resulta inviable, por lo que es necesario llegar a una solución de compromiso entre

113


−20 −15 −10 −5 010

−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

Potencia óptica promedio normalizada (dB)

Tas

a de

ráf

agas

de

erro

r (B

urst

Err

or R

ate)

NRZ OOK−GS (d.c.100%) OOK−GS (d.c. 25%), RR=1 OOK−GS (d.c. 25%), RR=2 OOK−GS (d.c. 25%), RR=4 OOK−GS (d.c. 25%), RR=8 Kolmogorov

(a)

−20 −15 −10 −5 010

−3

10−2

10−1

100


Tas

a de

ráf

agas

de

erro

r (B

urst

Err

or R

ate)


(b)

−20 −15 −10 −5 010

−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1


Tas

a de

ráf

agas

de

erro

r (B

urst

Err

or R

ate)


(c)

−20 −15 −10 −5 010

−3

10−2

10−1

100


Tas

a de

ráf

agas

de

erro

r (B

urst

Err

or R

ate)


(d)

Figura 4.7: Prestaciones ofrecidas por distintos formatos de pulso y adaptabilidad clásica con fac-tores de reducción de tasa RR=2, 4 y 8. Se ha utilizado un detector por umbrales con conocimientodel CSI, siendo σ2

χ = 0.1 (figuras de la parte superior) y σ2χ = 0.01 (figuras de la parte inferior).

La longitud de ráfaga se ha establecido a (a) y (c) 192 bits; (b) y (d) 64 bits. Se muestran lasprestaciones obtenidas tanto del espectro teórico de Kolmogorov tratado en el capítulo anterior,como del espectro gaussiano aproximado propuesto en esta tesis. La tasa binaria se ha fijado a 50Mbps y u⊥ = 8m/s. [13]

el ciclo de trabajo a utilizar y la complejidad de implementación de un generador de dichospulsos. Por ello, la forma de pulso elegida por defecto para las diversas simulaciones ycálculos de este trabajo es la gaussiana con ciclo de trabajo del 25%, tomando la elecciónde los resultados presentados en [20].

Finalmente, la adaptabilidad clásica añadida mejora el rendimiento del enlace óptico alintroducir redundancia pero, como se verá después, esa mejora podría ser mayor si vinieraacompañada de un aumento del parámetro PAOPR. Aquí entraría en juego la segundaalternativa señalada anteriormente y que consistía en reducir la presencia de pulsos en lasecuencia binaria a transmitir, tal y como se verá más adelante.

114


Como se comentó en el capítulo anterior, se prefiere mostrar el comportamiento delsistema óptico en base a la probabilidad de ráfaga de manera que se tenga en cuenta elefecto de la coherencia espacio-temporal que introduce el canal atmosférico turbulento.En concreto, las simulaciones incluidas en la Figura 4.7 se han obtenido asumiendo unenlace IM/DD operando a 50 Mbps sobre un vano horizontal de 250 m, con magnitudesestablecidas para el parámetro de estructura de la turbulencia de C2

n = 1.23× 10−14 yC2

n = 1.23× 10−13 m−2/3, lo que equivale a una varianza de la perturbación logarítmicade amplitud de σ2

χ = 0.01 y 0.1 respectivamente. La velocidad del viento en su compo-nente perpendicular a la dirección de propagación de la señal óptica se ha establecidoa u⊥ = 8 m/s. Las longitudes de ráfagas de error consideradas han sido de 192 y 64bits y, de acuerdo con la definición dada en [4], una ráfaga de error no contiene másde cuatro bits consecutivos correctos en su interior. En recepción, se ha utilizado unprocedimiento de detección por umbrales con conocimiento del CSI. Finalmente, se hanincluido también, marcadas con un aspa, las curvas que se obtendrían de utilizar un mo-delo de canal atmosférico basado en el espectro teórico de Kolmogorov. Nuevamente, losresultados verifican la validez del modelo de canal propuesto en esta Tesis Doctoral porlo que, en adelante, se omitirán tales resultados para evitar tener una gran densidad deinformación dentro de una misma figura.

En las simulaciones que se presentan en este trabajo se ha fijado el valor de la potenciamedia para cada uno de los pulsos a transmitir, Ppulso, a una misma magnitud para cada es-quema de transmisión de forma que la potencia óptica promedio resultante, correspondientea toda la transmisión a enviar, sea constante. Por tanto, el único parámetro modificablepara obtener mejoras en la relación pico-promedio es la probabilidad de existencia de pulsosen la señal transmitida. En este sentido, y con el fin de cuantificar de manera compacta ysencilla las posibles mejoras en la PAOPR, se define el parámetro incremento de relaciónpico-promedio, ∆PAOPR, sobre una referencia concreta. Esta referencia va a ser la señalbinaria con esquema de modulación NRZ y sin sufrir modificación de los estadísticos, y portanto, con símbolos equiprobables, esto es, prob(ak = 0) = prob(ak = 1) = 1

2 . Así pues, larelación pico-promedio referencia será:

PAOPRref =1

1/2 · Ppulso. (4.9)

Partiendo, por tanto, de que el objetivo es aumentar la PAOPR, y suponiendo quelos parámetros relacionados con la forma de pulso utilizada son invariantes, dicho aumentono puede venir más que de la modificación de los estadísticos de la información binariatransmitida, es decir, de minimizar la probabilidad de aparición del símbolo “1” en la se-cuencia binaria. Así, el incremento o mejora proporcionada por una técnica de transmisióndeterminada, en relación con el caso de no codificación puede definirse como

115


∆PAOPR =PAOPR

PAOPRref=

1prob(ak=1)·Pn

2Pn

=1

2 · prob(ak = 1), (4.10)

o, en su versión logarítmica,

∆PAOPR(dB) = 10 · log10

(1

prob(ak = 1)

)− 3, (4.11)

siendo ésta una expresión cerrada e independiente de la forma de pulso, p(t), utilizada. Portanto, la utilización de una técnica de codificación que posibilite reducir la probabilidadde aparición del símbolo “1” a la salida, permitirá incrementar la potencia de pico de lospulsos enviados en un factor ∆PAOPR, manteniendo constante la potencia óptica promediotransmitida al canal y mejorando así las prestaciones ofrecidas. Este será, pues, el principalobjetivo de las técnicas de transmisión que se utilicen con el fin de dotar de la mayorrobustez posible al procedimiento de detección empleado.

4.3 Técnicas de modulación

La bibliografía existente hasta la fecha concerniente a los esquemas de transmisiónutilizados para un entorno de comunicaciones ópticas atmosféricas se divide en torno a dosgrandes propuestas: los esquemas de modulación de pulsos por posición (PPM) [21] y losesquemas OOK [22]. A favor de la modulación M -PPM aparece el hecho de no necesitarninguna estimación dinámica del umbral de detección que sí necesita el esquema OOK enpresencia de centelleo atmosférico. Sólo es necesario detectar en cuál de los M intervalostemporales se recoge más energía para decidir dónde hay pulso. Lógicamente, la fortalezadel esquema OOK reside en su sencilla implementación. Es cierto que, por regla general,si se desea extraer unas prestaciones razonablemente buenas de un sistema basado en unesquema OOK, se hace necesario conocer la información del estado del canal (CSI), bienmediante un perfecto conocimiento de la amplitud instantánea en cada momento de losdesvanecimientos que se estén produciendo [23, 24], bien mediante el conocimiento de ladescripción estadística que caracteriza al centelleo atmosférico en cada instante [22], o bienmonitorizando el estado del canal mediante una señal piloto que se intercala periódicamenteen la transmisión con el propósito de facilitar una estimación del centelleo atmosféricoinstantáneo [25]. Afortunadamente, empiezan a surgir ensayos en la bibliografía existenteen la que se minimiza ese inconveniente mediante técnicas de detección ciega [26] quemantienen la sencillez en la implementación sin necesidad de conocer ni el CSI instantáneoni tan siquiera la descripción estadística del canal en el receptor, lo que hace muy interesante

116

4.3. TÉCNICAS DE MODULACIÓN

la elección del formato OOK.

Dentro de un ámbito interior de comunicaciones ópticas, en [2, 27], se demostró quelas prestaciones ofrecidas por la modulación PPM como esquema de señalización, junto conla codificación con repetición como técnica de tasa adaptativa para proporcionar robusteza los enlaces establecidos ante eventuales descensos del nivel de relación señal a ruido, sonsuperiores a las obtenidas al utilizar técnicas convencionales OOK. Esta superioridad no estan notoria si el receptor PPM se basa en un detector simple sin memoria y se trabaja confactores de reducción de tasa (RR) bajos. La traslación a ambiente atmosférico de talesconclusiones ha sido realizada en esta tesis [13] mediante simulación numérica, tal y comopuede verse en la Figura 4.8.

−20 −15 −10 −5 010

−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1


Tas

a de

ráf

agas

de

erro

r (B

urst

Err

or R

ate)

4PPM, RR=1 4PPM, RR=2 4PPM, RR=4 4PPM, RR=8 NRZ OOK−GS (d.c.100%) OOK−GS (d.c. 25%), RR=1 OOK−GS (d.c. 25%), RR=2 OOK−GS (d.c. 25%), RR=4 OOK−GS (d.c. 25%), RR=8

(a)

−20 −15 −10 −5 010

−3

10−2

10−1

100


Tas

a de

ráf

agas

de

erro

r (B

urst

Err

or R

ate)


(b)

−20 −15 −10 −5 010

−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1


Tas

a de

ráf

agas

de

erro

r (B

urst

Err

or R

ate)


(c)

−20 −15 −10 −5 010

−3

10−2

10−1

100


Tas

a de

ráf

agas

de

erro

r (B

urst

Err

or R

ate)


(d)

Figura 4.8: Prestaciones ofrecidas por el formato OOK-GS con ciclo de trabajo del 25% y detectorpor umbrales con conocimiento del CSI, en comparación a las ofrecidas por el formato 4PPM condetector ML. En ambos casos, se ha implementado la técnica clásica de adaptabilidad, siendo σ2

χ

= 0.1 (figuras de la parte superior) y σ2χ = 0.01 (figuras de la parte inferior). La longitud de ráfaga

se ha establecido a (a) y (c) 192 bits; (b) y (d) 64 bits. La tasa binaria se ha fijado a 50 Mbps yu⊥ = 8m/s. [13]

117


Las condiciones de simulación elegidas han sido idénticas a las de la Figura 4.7. El es-quema PPM acompañado de un detector ML ofrece prestaciones algo mejores en cuanto aprobabilidad de ráfagas de error que un esquema OOK con pulso gaussiano de reducido ci-clo de trabajo (25%) acompañado por un detector por umbrales con conocimiento del CSI.Ambas técnicas han sido probadas utilizando distintos factores de adaptabilidad medianteel esquema clásico de tasa adaptativa basada en la repetición de los bits de información.El hecho de que las prestaciones ofrecidas por los pulsos OOK gaussianos de reducido ciclode trabajo sean similares a las ofrecidas por el esquema 4PPM induce a apostar por dichoformato OOK como una opción muy prometedora en ambiente turbulento, siempre que seaposible tener algún conocimiento del estado del canal, bien a través de su naturaleza es-tadística, o monitorizando mediante algún piloto el estado instantáneo o cuasi-instantáneodel centelleo en cada momento. Además, en este trabajo se ha implementado una técnicaalternativa de modulación de tasa adaptativa, ya propuesta en [2, 27] para ambientes in-teriores, y sustentada, no en la introducción de redundancias mediante la repetición de losdatos de información, sino en el aumento del parámetro PAOPR conseguido mediante lainserción de períodos de silencio en la trama binaria transmitida incluidos justo a continua-ción del bit de información. Esto permite, a su vez, el empleo de pulsos de mayor amplitudmanteniendo inalterada, sin embargo, la potencia media. De este modo, cuanto más sev-era es la reducción de tasa, mayor es el período de silencio intercalado en la transmisióny mayor la potencia de pico por pulso, incrementándose la relación de potencia óptica depico a potencia óptica promedio.

Una de las variantes a tal técnica adaptativa se basa en introducir memoria en elproceso de codificación con el objeto de disminuir aún más la probabilidad de apariciónde pulsos en la trama binaria transmitida, lo que redunda en un aumento de ∆PAOPR.Estas técnicas pueden considerarse como técnicas híbridas entre la modulación PPM conpulsos gaussianos (GPPM) y la modulación OOK con el mismo tipo de pulso (OOK-GS).En [2] se proponen dos nuevas técnicas de codificación que ofrecen amplias mejoras encuanto a tasas de error respecto a las obtenidas para los sistemas sin memoria dentro delámbito de comunicaciones interiores. Por todo ello, estas técnicas se convierten en opcionesmuy prometedoras si se trasladaran al ámbito atmosférico. Su traslación a dicho entornoatmosférico afectado por turbulencias se mostrará más adelante, así como las prestacionesque se desprenden de su utilización en tal medio de transmisión.

4.3.1 Inserción de intervalos de silencio sin memoria

La idea básica de este método consiste en incrementar el valor de pico de la potenciaóptica de los pulsos transmitidos al tiempo que se mantiene constante la potencia ópticapromedio. El objetivo de este modo de operación es poder facilitar al máximo el meca-

118


nismo de detección y hacer que éste se muestre lo más robusto posible frente a reduccionesde magnitud en la relación señal a ruido. El hecho de mantener el nivel medio de po-tencia constante se debe a la necesidad de establecer un criterio que permita compararlos sistemas de estudio, como ya se ha mencionado en apartados anteriores. A partir dela ecuación (4.11), resulta evidente que, si se desea mantener invariante la potencia óp-tica promedio transmitida al canal óptico atmosférico, la reducción de la probabilidad deaparición de pulsos a la salida permitirá un mayor incremento en la potencia de pico delos pulsos utilizados, dando lugar a una mejora en las prestaciones del sistema en formade disminución de la probabilidad de error, tal y como se indicó en [18].

El esquema de señalización es extremadamente sencillo, pues se apoya en la reducciónde la probabilidad de aparición de pulsos a la salida mediante la inserción de intervalosde silencio justo a continuación de los bits de información a transmitir, equivalente a lainserción de símbolos 0 en la secuencia binaria de información. En este sentido, paraobtener una reducción de la velocidad de transmisión efectiva en un factor RR, el esquemade codificación debe insertar RR − 1 intervalos de bit con silencio tras la transmisión decada bit de información original, tal y como se aprecia en la Figura 4.9. Al mismo tiempo,la introducción de silencios hace que disminuya la potencia óptica promedio al reducirse laprobabilidad de ocurrencia de pulsos en transmisión. Si se aplica el criterio de mantener lapotencia promedio constante, se hace necesario aumentar el pico de potencia de los pulsosen un factor ∆PAOPR.

Figura 4.9: Esquema de inserción de silencios sin memoria.

Como se puede apreciar en la Figura 4.9, la probabilidad de aparición del símbolo “1”en la secuencia de salida se ve reducida en un factor RR, es decir,

prob(ak = 1) =12· 1RR

, (4.12)

puesto que se supone que los símbolos de entrada al codificador son equiprobables. Portanto, el factor de incremento del parámetro PAOPR en escala lineal es de

∆PAOPR =1

2 · prob(ak = 1)= RR, (4.13)

119


lográndose una relación tanto más elevada cuanto más severa sea la reducción de tasabinaria. Por otra parte, el período de símbolo resultante de la reducción de tasa, RR,correspondiente al esquema propuesto es Tsimbolo = RR ··· Tb, siendo rb = 1

Tbla tasa de bit

inicialmente empleada. Sustituyendo (4.12) en la ecuación (4.7), se obtiene

Pt

∣∣∣∣Tsimbolo=RR···Tb

= prob(ak = 1)1

RRPpicoPpulso =

1RR

Pt

∣∣∣∣Tsimbolo=Tb

. (4.14)

Con lo anteriormente expuesto, la amplitud de la potencia óptica transmitida ha deser multiplicada por un factor RR con el fin de mantener constante la potencia ópticapromedio. Esto se traduce en un incremento del valor de la potencia de pico en un factorRR, tal y como se deduce de (4.13).

En la Figura 4.10 se refleja el efecto de la inserción de intervalos de silencio en lapotencia de pico de los pulsos transmitidos, manteniendo el criterio de potencia ópticapromedio constante. Se observa tanto la señal original sin codificar (RR = 1) como lasseñales transmitidas con factores de reducción de tasa RR = 2 y 4.

Figura 4.10: Ejemplo de codificación con intervalos de silencio variables, tomado de [27].

Como cabe esperar, la reducción de la tasa de transmisión permite aumentar la po-tencia de pico de los pulsos lo que conlleva una reducción de la probabilidad de error y, porañadido, de la probabilidad de ráfaga de error, tal y como se puede constatar en la Figura4.11 [13]. En particular, en dicha figura se establece una comparativa entre la tasa adap-tativa aquí comentada basada en la inserción de períodos de silencio y la propuesta clásicade adaptabilidad basada en la codificación con repetición, también sin memoria, en la que

120


se transmite el bit de información tantas veces como indique el factor de reducción de tasaRR. Se han utilizado los mismos parámetros de simulación que en la Figura 4.7 y, como seaprecia, la mejora obtenida de la codificación basada en el esquema de inserción de silenciossin memoria es más relevante que la que se deriva del esquema clásico de adaptabilidad.Esta última, al no introducir modificación de los estadísticos de ocurrencia de los pulsostransmitidos, no proporciona ningún incremento en el parámetro ∆PAOPR que se muestracomo fundamental para mejorar el rendimiento de un enlace óptico atmosférico. Esta su-perioridad se hace incluso más patente cuando el factor de reducción de tasa se incrementa,mostrando una mayor robustez a condiciones más severas de turbulencia atmosférica.

−20 −15 −10 −5 010

−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1


Tas

a de

ráf

agas

de

erro

r (B

urst

Err

or R

ate)

OOK−GS (d.c. 25%), RR=1 OOK−GS (d.c. 25%), RR=2 (AIr Std) OOK−GS (d.c. 25%), RR=4 (AIr Std) OOK−GS (d.c. 25%), RR=8 (AIr Std) OOK−GS (d.c. 25%), RRs=2 OOK−GS (d.c. 25%), RRs=4 OOK−GS (d.c. 25%), RRs=8

(a)

−20 −15 −10 −5 010

−3

10−2

10−1

100


Tas

a de

ráf

agas

de

erro

r (B

urst

Err

or R

ate)


(b)

−20 −15 −10 −5 010

−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1


Tas

a de

ráf

agas

de

erro

r (B

urst

Err

or R

ate)


(c)

−20 −15 −10 −5 010

−3

10−2

10−1

100

Tas

a de

ráf

agas

de

erro

r (B

urst

Err

or R

ate)



(d)

Figura 4.11: Prestaciones ofrecidas por el formato OOK-GS con ciclo de trabajo del 25%. Seestablece una comparativa entre las prestaciones ofrecidas por la técnica clásica de adaptabilidadfrente a la técnica alternativa basada en la inserción de RRs− 1 períodos de silencios sin memoriajusto tras el bit de información. Se ha utilizado un detector por umbrales con conocimiento delCSI siendo σ2

χ = 0.1 (figuras de la parte superior) y σ2χ = 0.01 (figuras de la parte inferior). La

longitud de ráfaga se ha establecido a (a) y (c) 192 bits; (b) y (d) 64 bits. La tasa binaria se hafijado a 50 Mbps y u⊥ = 8m/s. [13]

121


4.3.2 Técnicas basadas en modulación OOK-GS con memoria

Tal y como se comentó en la sección 4.2, una de las estrategias que pueden llevarse acabo para incrementar la relación de potencia óptica pico-promedio consiste en minimizarla probabilidad de aparición de pulsos en la señal óptica a transmitir. Esto se puedeconseguir partiendo del esquema de inserción de silencios mostrado en el apartado anteriore introduciendo memoria en el proceso de codificación. Esta codificación con memoriapodrá modelarse como una máquina de estados en la que el contenido de la memoriadefinirá el estado del codificador. Con ello, los símbolos codificados generados a la salida sehabrán construido en base a los símbolos de información de entrada junto con el contenidode la memoria del codificador. Puesto que la longitud de la memoria es finita, el conjuntode estados del codificador también lo será. Para cada instante de tiempo, los símbolosde entrada cambiarán y modificarán total o parcialmente el contenido de la memoria delcodificador, por lo que se producirá un cambio o transición de estado.

En esta línea de actuación, se proponen en [2] dos técnicas denominadas OOK-GSc yOOK-GScc que, mediante tales máquinas de estados finitos, evitan que a la salida de latrama codificada aparezcan ocurrencias de dos y tres pulsos consecutivos respectivamente,reduciendo así la probabilidad de aparición de símbolos “1”. La descripción de ambastécnicas se ofrece a continuación.

Técnica de modulación OOK-GSc

El primer esquema de inserción de silencios con memoria se basa en un máquina detres estados cuyo diagrama de transición de estados se muestra en la Figura 4.12:

Estado actual 0 1

S10 S10/00 S11/00

S11 S10/10 S01/01

S01 S10/00 S11/00

Figura 4.12: Diagrama y tabla de transición de estados del esquema de codificación OOK-GSc.

Como puede deducirse del diagrama anterior, el codificador OOK-GSc acepta entradas

122


de un bit y proporciona dos bits codificados a la salida, lo que se traduce en una reducciónde la tasa efectiva de transmisión en un factor RR = 2. Al mismo tiempo, puede obser-varse que para cualquier trama binaria de información, la secuencia codificada obtenida nopresentará en ningún caso secuencias de dos símbolos “1” consecutivos. Este hecho produceuna reducción en la probabilidad de aparición de pulsos ópticos en la señal transmitida quese traduce en un mayor incremento en el parámetro PAOPR y, por tanto, en una esperadareducción de la probabilidad de error de bit. En este sentido, este esquema de transmisiónofrece, al igual que la inserción de silencios sin memoria, una mejora en las prestaciones acosta de reducir la velocidad de transmisión en el enlace.

El diagrama de Markov de la Figura 4.12 se compone de tres estados, SRB, donde cadauno de ellos indica el valor de dos variables. Por un lado, se tiene la variable B = 0, 1.Ésta almacena el valor correspondiente al último bit de información, que es el bit que seva a codificar realmente. Por otro, la variable R = 0, 1 indica el estado activo o no paracodificar el bit almacenado “1” con el propósito de evitar pulsos en dos períodos de símboloconsecutivos. La codificación de la información se representa en las transiciones X/Y entreestados, donde X indica el bit de información e Y la ausencia (00) o presencia de pulso,con (01) o sin (10) modificar la posición.

En [2] también se realiza un estudio de la probabilidad de aparición de un bit “1” lógicoen la trama codificada o, lo que es equivalente, la probabilidad de aparición de un pulso.En dicho trabajo se tiene en cuenta, no sólo el efecto de la codificación, sino también laposible utilización de intervalos de silencios adicionales añadidos mediante la técnica deinserción sin memoria ya comentada, para dotar de una mayor adaptatividad al esquemade modulación. Todo esto se recoge en la Figura 4.13, donde el factor de reducción de tasainherente al esquema de codificación OOK-GSc es RRc = 2, tal y como se acaba de ver; ydonde se puede incluir una segunda etapa de inserción de RRs−1 silencios sin memoria, loque a su vez contribuiría, según la ecuación (4.13), a una reducción de tasa RRs adicional,obteniéndose un factor de reducción total RR = RRc · RRs de la velocidad efectiva detransmisión.

Figura 4.13: Generalización del esquema OOK-GSc con inserción de silencios adicionales.

123


Prescindiendo de la etapa de inserción de silencios adicionales de la Figura 4.13, estoes, siendo el factor de reducción de tasa total RR = RRc = 2, es fácil deducir, a la vistade la Figura 4.12, que la probabilidad de aparición de un pulso a la salida es de 1/6. Si alcodificador OOK-GSc original se le añade la etapa de inserción de silencios adicionales queprovoque una reducción de tasa genérica en un factor RR, la probabilidad de aparición depulso a la salida viene entonces dada por prob(ak = 1) = 1/3RR. En este caso, el incrementodel parámetro PAOPR con respecto a la señal sin codificar con símbolos equiprobables vienedado, a partir de (4.10), por:

∆PAOPR(dB) = 10 · log10

(32·RR

), RR ≥ 2. (4.15)

A la vista de la expresión (4.15), la potencia óptica ha de ser multiplicada por 3RR/2

con el fin de mantener constante la potencia óptica promedio.

Finalmente, el método que se implementa en recepción para decodificar la señalrecibida y extraer de ella la información es el algoritmo de Viterbi [28], el cuál es óptimodesde el punto de vista de la detección de la señal.

Técnica de modulación OOK-GScc

En otro intento de disminuir la presencia de pulsos en la trama codificada para asíaumentar todo lo posible la relación de potencia pico a promedio, se plantea la posibilidadde generalizar el algoritmo OOK-GSc del apartado anterior. En este caso, se pretendeevitar la presencia de más de un pulso, no sólo en conjuntos de dos intervalos de bitsconsecutivos, sino en conjuntos de tres, cuatro, etc. En este sentido, se presenta otra técnicade codificación, denominada OOK-GScc, donde únicamente se permitiría la presencia deun pulso en conjuntos de tres períodos de símbolo consecutivos. El modelo, basado tambiénen una máquina de estados finitos según se muestra en la Figura 4.14, acepta entradas deun bit y proporciona cuatro bits codificados a la salida, lo que se traduce en una reducciónde la tasa efectiva de transmisión, RR, en un factor mayor o igual a cuatro.

Como se aprecia, el modelo se compone de nueve estados, SRB, donde cada uno deellos indica nuevamente el valor de dos variables, de manera idéntica a lo ya explicado parael esquema OOK-GSc. De un lado se tiene la variable B = 00, 01, 10, 11, que se encargade almacenar el valor correspondiente a los dos últimos bits de información, el último de loscuales representa al bit que será codificado realmente. Por otro, la variable R = 0, 1, 2indica el estado activo o no para codificar el bit almacenado “1” con el propósito de evitarpulsos en tres períodos de símbolo consecutivos.

En [18] se realizó el estudio probabilístico de ocurrencia de pulsos en la trama final

124


Estado actual 0 1

S200 S200/0000 S201/0000

S201 S210/0000 S211/0000

S210 S200/1000 S001/0010

S211 S010/0100 S011/0001

S001 S1X0/0000 S1X1/0000

S011 S1X0/0000 S1X1/0000

S010 S1X0/0000 S1X1/0000

S1X0 S200/0000 S201/0000

S1X1 S210/0000 S211/0000

Figura 4.14: Diagrama y tabla de transición de estados correspondientes a la técnica OOK-GScc.

codificada. Tras calcular las probabilidades de activación de los estados posibles en el es-quema OOK-GScc, y después de obtener las probabilidades de ocurrencia para los posiblespatrones de salida en dicho esquema, se llegó a la conclusión de que la probabilidad deocurrencia de un pulso a la salida del codificador es prob(ak = 1) = 1/16. Sin embargo,al igual que para el esquema OOK-GSc, es también posible la utilización de intervalos desilencios adicionales para dotar de una mayor adaptatividad al esquema de modulaciónOOK-GScc. El procedimiento sería análogo al visto en el epígrafe anterior, donde el factorde reducción de tasa inherente al esquema de codificación OOK-GSc es RRc = 4, mientrasque la inclusión de la etapa de inserción de RRs − 1 silencios sin memoria contribuye aque la reducción efectiva total del régimen binario sea de RR = RRc · RRs. Todo ello serecoge en la Figura 4.15.

Figura 4.15: Generalización del esquema OOK-GScc con inserción de silencios adicionales.

La inclusión en el codificador OOK-GScc original de la etapa de inserción de silenciosadicionales modifica la probabilidad de aparición de pulso a la salida, viniendo entonces

125


mardada por prob(ak = 1) = 1/4RR. En este caso, el incremento del parámetro PAOPRcon respecto a la señal sin codificar con símbolos equiprobables viene dado por:

∆PAOPR(dB) = 10 · log10(2 ·RR), RR ≥ 4. (4.16)

A la vista de la expresión (4.16), la potencia óptica ha de ser multiplicada por 2RR

con el fin de mantener constante la potencia óptica promedio.

Finalmente, igual que en el esquema OOK-GSc, el método que se implementa enrecepción para decodificar la señal recibida y extraer de ella la información es el algoritmode Viterbi [28], el cuál es óptimo desde el punto de vista de la detección de la señal.

Resultados numéricos

En la Figura 4.16 se muestra un análisis comparativo de las prestaciones ofrecidas porlos esquemas OOK-GSc y OOK-GScc en cuanto a probabilidad de ráfaga de error paravalores de varianza de centelleo de σ2

χ = 0.1 y σ2χ = 0.01, habiéndose fijado a 8 m/s la

magnitud de la velocidad del viento en sentido perpendicular a la dirección de propagacióndel haz óptico, u⊥. Resalta el hecho de que las técnicas de codificación con memoria ofre-cen una mejora reseñable frente a las prestaciones que se obtenían al utilizar el formatoOOK-GS acompañado de la inserción de períodos de silencio como esquema de adaptabi-lidad. Sin embargo, ambas codificaciones con memoria ofrecen prestaciones prácticamenteidénticas en cuanto a probabilidad de ráfagas de error para un mismo factor de adaptabili-dad, pese a que el esquema OOK-GScc se caracteriza por un valor mayor de ∆PAOPR. Larespuesta a esta aparente incongruencia surge de la particular construcción de una ráfagade error, cuya definición se ha ofrecido al comienzo de este capítulo, así como de la formaen que se distribuyen los errores por parte de cada una de las codificaciones con memoriaimplementadas en conjunción con el algoritmo de Viterbi empleado en recepción.

En la Figura 4.17 se muestra el número de ocurrencias acaecidas para distintas agru-paciones de bits consecutivos que se han recibido correctamente a distintas potencias deruido AWGN. Se puede apreciar cómo existe un número similar de ocurrencias para agru-paciones de hasta cinco bits consecutivos correctos en las codificaciones de OOK-GSc yOOK-GScc, o incluso ligeramente favorable para OOK-GSc. Aunque el número total deerrores en el esquema OOK-GScc sea menor que cuando se utiliza OOK-GSc, sin embargo,el primero de los esquemas realiza un mayor agrupamiento de bits correctos para secuenciasde bits más largas. Puesto que la Figura 4.16 fue obtenida permitiendo hasta cuatro bitsconsecutivos correctos en el interior de una ráfaga errónea, es lógico que las prestacionescorrespondientes a ambos esquemas de señalización sean muy similares. No obstante, tal y

126


−20 −15 −10 −5 010

−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1


Tas

a de

ráf

agas

de

erro

r (B

urst

Err

or R

ate)

OOK−GS (d.c. 25%), RRs=1 OOK−GS (d.c. 25%), RRs=2 OOK−GS (d.c. 25%), RRs=4 OOK−GS (d.c. 25%), RRs=8 OOK−GSc (d.c. 25%), RR=2 OOK−GSc (d.c. 25%), RR=4 OOK−GSc (d.c. 25%), RR=8 OOK−GScc (d.c. 25%), RR=4 OOK−GScc (d.c. 25%), RR=8

(a)

−20 −15 −10 −5 010

−3

10−2

10−1

100


Tas

a de

ráf

agas

de

erro

r (B

urst

Err

or R

ate)


(b)

−20 −15 −10 −5 010

−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1


Tas

a de

ráf

agas

de

erro

r (B

urst

Err

or R

ate)


(c)

−20 −15 −10 −5 010

−3

10−2

10−1

100


Tas

a de

ráf

agas

de

erro

r (B

urst

Err

or R

ate)


(d)

Figura 4.16: Comparativa entre las prestaciones ofrecidas por los formatos OOK-GSc y OOK-GScc con ciclo de trabajo del 25%. Se incluye también las prestaciones ofrecidas por el formatoOOK-GS sin memoria añadiendo RRs−1 intervalos de silencio. Se ha utilizado un detector basadoen el algoritmo de Viterbi con conocimiento del CSI para los esquemas con memoria, con σ2

χ = 0.1(figuras de la parte superior) y σ2

χ = 0.01 (figuras de la parte inferior). La longitud de ráfaga se haestablecido a (a) y (c) 192 bits; (b) y (d) 64 bits, permitiéndose hasta Lb− 1 = 4 bits consecutivoscorrectos en el interior de cada ráfaga. La tasa binaria se ha fijado a 50 Mbps y u⊥ = 8m/s. [13]

como se muestra en los histogramas dados en la Figura 4.17, cuando la potencia de ruidoaditivo gaussiano se hace menos notoria, esto es, cuando los errores en la decodificaciónse deben en su mayor parte a la perturbación multiplicativa originada por la presencia deuna atmósfera turbulenta, se aprecia cómo el número de secuencias con un número de bitsconsecutivos correctos mayor a nueve o diez aparece con mayor probabilidad en la codifica-ción OOK-GScc respecto a la OOK-GSc. Según este hecho, si se modifica la definición deráfaga de error permitiéndose la existencia de, por ejemplo, hasta nueve bits consecutivoscorrectos en su interior, se esperarían mejores prestaciones en cuanto a las curvas de proba-bilidad de ráfaga de error para el caso de OOK-GScc. Efectivamente, este comportamiento

127


1 2 3 4 5 0

0.5

1

1.5

2

2.5

3x 10

4

Bits consecutivos correctos

Núm

ero

de o

curr

enci

as

OOK−GScc

OOK−GSc

(a)

10 11 12 13 14 15 16 170

50

100

150

200

250

300


Núm

ero

de o

curr

enci

as

OOK−GScc

OOK−GSc

(b)

1 2 3 4 5 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2x 10

4

Núm

ero

de o

curr

enci

as


OOK−GScc

OOK−GSc

(c)

10 11 12 13 14 15 16 170

100

200

300

400

500

600

700


Núm

ero

de o

curr

enci

as

OOK−GScc

OOK−GSc

(d)

1 2 3 4 5

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4


Núm

ero

de o

curr

enci

as

OOK−GScc

OOK−GSc

x 104

0

(e)

10 11 12 13 14 15 16 170

100

200

300

400

500

600

700

800

900


Núm

ero

de o

curr

enci

as

OOK−GScc

OOK−GSc

(f)

Figura 4.17: Histogramas donde se muestra el número de secuencias de k bits consecutivos correc-tos para intensidades de potencia de ruido aditivo de valores −22, −19 y −17 dB pertenecientesla Figura 4.16.(c).

128


se refleja en los resultados de las simulaciones mostrados en la Figura 4.18.

−20 −15 −10 −5 010

−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100


Tas

a de

ráf

agas

de

erro

r (B

urst

Err

or R

ate)

OOK−GSc (d.c. 25%), RRs=4 OOK−GSc (d.c. 25%), RRs=8 OOK−GScc (d.c. 25%), RRs=4 OOK−GScc (d.c. 25%), RRs=8

σχ2=0.1

σχ2=0.01

(a)

−20 −15 −10 −5 010

−3

10−2

10−1

100


Tas

a de

ráf

agas

de

erro

r (B

urst

Err

or R

ate)

OOK−GSc (d.c. 25%), RRs=4 OOK−GSc (d.c. 25%), RRs=8 OOK−GScc (d.c. 25%), RRs=4 OOK−GScc (d.c. 25%), RRs=8

σχ2=0.1

σχ2=0.01

(b)

Figura 4.18: Comparativa entre las prestaciones ofrecidas por los formatos OOK-GSc y OOK-GScccon ciclo de trabajo del 25%. Se ha utilizado un detector basado en el algoritmo de Viterbi conconocimiento del CSI para los esquemas con memoria, con σ2

χ = 0.1 (trazo sólido) y σ2χ = 0.01 (trazo

discontinuo). La longitud de ráfaga se ha establecido en (a) 192 bits; y (b) 64 bits, permitiéndosehasta Lb − 1 = 9 bits consecutivos correctos en el interior de cada ráfaga. La tasa binaria se hafijado a 50 Mbps y u⊥ = 8m/s. [13]

Por supuesto, el número de errores de bit en OOK-GScc siempre es menor que enOOK-GSc. Esto se explica por el propio comportamiento de la atmósfera sobre la tramade pulsos que se propaga. En efecto, el centelleo atmosférico y, más en concreto, la duraciónde los desvanecimientos directamente relacionados con la coherencia atmosférica, provocaque una secuencia de bits a “1” lógico sea muy vulnerable a la atenuación ocasionada porlos desvanecimientos; no ocurriendo así en una ráfaga de bits a “0” lógico afectada porruido shot e influenciada por los máximos de tales desvanecimientos. Por lo tanto, esmucho más factible una probabilidad de pérdidas que una probabilidad de falsa alarma. Sise tiene en cuenta que el formato OOK-GSc evita la presencia de más de un pulso en dosintervalos consecutivos de símbolo, mientras que OOK-GScc elimina la presencia de pulsoen tres intervalos de símbolo consecutivos, se justifica por qué OOK-GScc es más robustoque OOK-GSc frente a la turbulencia atmosférica, además del hecho de contar con unamejor relación PAOPR. Para poder apreciar esta superioridad del esquema OOK-GSccen cuanto a número de errores totales cometidos, se ofrecen los resultados en cuanto acurvas de error de bit mostrados en la Figura 4.19. En este caso, como ya se detalló en elcapítulo anterior, el efecto de la coherencia atmosférica no tiene ninguna influencia, ya quela probabilidad de error de bit es un estadístico de primer orden y, por tanto, permaneceinalterable respecto a cambios en la velocidad del viento, dependiendo su comportamientoúnicamente de la varianza y de la naturaleza estadística (logarítmico normal en este caso)de las secuencias de centelleo atmosférico. La Figura 4.19 muestra los resultados obtenidos

129


−20 −15 −10 −5 010

−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100


Pro

babi

lidad

de

erro

r (B

it E

rror

Rat

e)

OOKGSc, RR=4

OOKGSc, RR=8

OOKGScc, RR=4

OOKGScc, RR=8

OOKGSc, RR=4

OOKGSc, RR=8

OOKGScc, RR=4

OOKGScc, RR=8

σχ2=0.01 σχ

2=0.1

Figura 4.19: Probabilidad de error frente a potencia óptica promedio normalizada para los es-quemas de codificación OOK-GSc y OOK-GScc con σ2

χ = 0.1 y σ2χ = 0.01. La tasa binaria se ha

fijado a 50 Mbps y se ha utilizado un detector basado en el algoritmo de Viterbi con conocimientodel CSI. [13]

mediante simulación para los esquemas OOK-GSc y OOK-GScc en las mismas condicionesde intensidad de turbulencia que en la Figura 4.16 y empleando un sistema de decodificaciónbasado en el algoritmo de Viterbi. Se aprecia claramente el menor número de erroresincurridos por el esquema OOK-GScc donde, por ejemplo, para un valor de probabilidadde error de 10−6 unido a factores de reducción de tasa de valores RR = 4 y RR = 8, latécnica OOK-GScc obtiene una mejora en los requisitos de la potencia óptica promedio de1.2 y 1.4 dB respectivamente con relación al esquema OOK-GSc.

Finalmente, para completar este análisis comparativo de prestaciones, se ha utilizadouna forma de pulso gaussiana para configurar el esquema PPM de forma que se obtengael esquema 4GPPM [27], que ya se mencionó al principio de este capítulo y que mejorasignificativamente las prestaciones del formato clásico PPM [13, 27] debido al incrementode la relación de potencia pico a promedio. Utilizando este formato GPPM como mejorade PPM, en la Figura 4.20 se toma como referencia para comparar sus prestaciones con lasderivadas de los esquemas OOK-GSc vistos en este capítulo. Por supuesto, las prestacionesse muestran en cuanto a curvas de ráfagas de error, manteniéndose la definición genérica de

130


−20 −15 −10 −5 010

−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1


Tas

a de

ráf

agas

de

erro

r (B

urst

err

or r

ate)

4GPPM, RR=1, (TD) 4GPPM, RR=2, (TD) 4GPPM, RR=4, (TD) 4GPPM, RR=8, (TD) 4GPPM, RR=1, (ML) 4GPPM, RR=2, (ML) 4GPPM, RR=4, (ML) 4GPPM, RR=8, (ML) OOK−GSc (d.c. 25%), RR=2 OOK−GSc (d.c. 25%), RR=4 OOK−GSc (d.c. 25%), RR=8

(a)

−20 −15 −10 −5 010

−3

10−2

10−1

100


Tas

a de

ráf

agas

de

erro

r (B

urst

err

or r

ate)


(b)

−20 −15 −10 −5 010

−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1


Tas

a de

ráf

agas

de

erro

r (B

urst

err

or r

ate)


(c)

−20 −15 −10 −5 010

−3

10−2

10−1

100


Tas

a de

ráf

agas

de

erro

r (B

urst

err

or r

ate)


(d)

Figura 4.20: Comparativa entre las prestaciones ofrecidas por los formatos 4GPPM con un pro-cedimiento de detección por umbrales (TD) y con un detector ML, acompañados de una técnicaclásica de adaptabilidad basada en la repetición de la información; frente a un esquema OOK-GSccon ciclo de trabajo del 25% utilizando un detector ML con conocimiento del CSI, acompañadode la inserción de períodos de silencio adicionales, con σ2

χ = 0.1 (figuras de la parte superior) yσ2

χ = 0.01 (figuras de la parte inferior). La longitud de ráfaga se ha establecido a (a) y (c) 192bits; (b) y (d) 64 bits. La tasa binaria se ha fijado a 50 Mbps y u⊥ = 8m/s. [13]

ráfaga de error que se ha adoptado en este trabajo, permitiendo únicamente hasta cuatrobits consecutivos correctos dentro de una ráfaga de bits considerada como errónea.

El formato GPPM va acompañado de la técnica clásica de adaptabilidad basada enla repetición del símbolo de información, mientras que el esquema OOK-GSc ha sido im-plementado utilizando la técnica alternativa de adaptabilidad basada en la inserción desilencios; en concreto, en dicha Figura 4.20, se han esbozado los resultados obtenidosdirectamente de OOK-GSc sin añadir ningún intervalo de silencio (RR = 2), y añadiendodos y cuatro intervalos de silencio adicionales, lo que implica un factor total de reducciónde tasa de valores RR = 4 y RR = 8 respectivamente.

131


Los resultados obtenidos muestran una importante mejora en prestaciones así comouna mayor robustez de la técnica OOK-GSc respecto a la GPPM. Esto es fundamen-talmente debido a que la memoria incluida en el esquema OOK-GSc permite evitar laaparición de dos pulsos consecutivos, lo que favorece la aparición de un menor número deráfagas de error; unido al hecho de que se ha incrementado el parámetro ∆PAOPR que,como se ha ido viendo en este trabajo, se ha mostrado como una figura de mérito fun-damental para obtener mejores prestaciones de un sistema IM/DD. La superioridad delesquema OOK-GSc es patente cuando se compara con el formato 4GPPM acompañado deun detector ML y se hace más evidente cuando el esquema 4GPPM se ve acompañado deun detector por umbrales (TD), debido a que su algoritmo de detección es aún más rudi-mentario. En este sentido, la elección de un formato OOK-GS con memoria se convierteen una alternativa muy prometedora que parece ser muy robusta frente al comportamientoturbulento de la atmósfera, combatiendo a los desvanecimientos más prolongados en eltiempo de una forma más eficiente que la mostrada por los esquemas clásicos PPM y4GPPM, lo que redundaría en un mayor tiempo de operatividad del enlace óptico.

4.4 Esparcimiento Temporal

Hasta ahora, en el estudio realizado de la atmósfera como medio físico de transmisión,se ha ignorado el efecto del ensanchamiento temporal que puede sufrir todo pulso ópticopropagándose por la atmósfera turbulenta y, por lo tanto, la interferencia intersimbólica queeste hecho implicaría. Esta consideración es completamente válida cuando los regímenesbinarios utilizados no son muy elevados [22]. Sin embargo, un incremento en la tasabinaria empleada, unido a la elección de pulsos de reducido ciclo de trabajo como lospresentados en este capítulo, pueden causar una distorsión en la forma del pulso ópticopropagado. Este efecto es particularmente significativo para señales de un elevado anchode banda tales como pulsos estrechos en el régimen de picosegundos a femptosegundos.Además, el esparcimiento sufrido por los pulsos no es únicamente debido al efecto de lasno-homogeneidades atmosféricas o de los hidrometeoros troposféricos [29]; también puedeinfluir las fluctuaciones en la concentración electrónica de la propia composición de la capaionosférica [30]; o una concentración elevada de polvo y/o arena en entornos más específicostales como desiertos o emplazamientos con alta concentración de arena [31].

El estudio de la propagación de pulsos cortos y el ensanchamiento temporal quesufren puede calcularse a partir del conocimiento de la función de coherencia mutua,Γ2(r1, r2; f1, f2), expresada como:

Γ2(r1, r2; f1, f2) = E[U(r1; f1 + f0)U(r2; f2 + f0)

], (4.17)

132

4.4. ESPARCIMIENTO TEMPORAL

ya que requiere una solución de los distintos momentos estadísticos del campo electro-magnético de los pulsos, donde f1 y f2 representan la frecuencia óptica del pulso en lasposiciones espaciales r1 y r2 respectivamente [32], siendo f0 la frecuencia óptica. El campoelectromagnético empleado en la expresión (4.17) parte de la ecuación de onda presentadaen (2.26), de la que se extrae la componente escalar de campo a lo largo del eje z, U(r),que es transversal a la dirección de propagación y que verifica la ecuación (2.27); se asumenuevamente que el campo incidente, E, es una onda plana monocromática linealmentepolarizada en la dirección z y propagándose a lo largo del eje x [33].

Esta función de coherencia mutua ha sido ampliamente estudiada en la bibliografía[34]-[36], y a través de ella se puede extraer una medida del ancho de banda de coherencia[37]. Puesto que, como se ha visto en este capítulo, los pulsos con forma gaussiana presentanmejores prestaciones que los pulsos rectangulares, siendo además la forma gaussiana la quemejor se ajustaría al comportamiento real de un transmisor óptico, fundamentalmente aelevados regímenes binarios, se toma como punto de partida el análisis realizado en [34]para el cálculo de la expresión analítica de la función de coherencia mutua, en el quetambién se asumían pulsos con forma gaussiana dentro de un régimen de turbulencia débil.Estos pulsos gaussianos a transmitir tienen la forma:

vi(t) = exp(− t2

T 20

), (4.18)

siendo T0 la mitad del ancho temporal del pulso medido para el valor 1/e. Una vez elpulso atraviese el segmento atmosférico y sea captado por el receptor, la forma de pulsoresultante en el plano del receptor, v0(t), responde a:

v0(t) = vi(t) ∗ h(t), (4.19)

siendo h(t) la respuesta al impulso con la que se modelaría el comportamiento de la at-mósfera sobre la señal que se propaga. Para el caso de una onda óptica monocromáticapropagándose una distancia L a lo largo del eje x, la función de transferencia del medioaleatorio turbulento puede identificarse, según la sección 6.6 de [15], como

H(f) = U(r, L; f), (4.20)

donde U(r, L; f) es la componente escalar de campo [33], mientras que H(f) es la trans-formada de Fourier de h(t). A partir del cálculo de la función de correlación bidimensionalespacial de la forma del pulso recibido en el receptor,

133


Bv(r1, r2; t1, t2) = E

[v0(r1; t1)v∗0(r2; t2)

], (4.21)

es posible deducir el esparcimiento temporal que sufre un pulso gaussiano propagándose porla atmósfera con la obtención de la media estadística de la fluctuación de la irradiancia [38].Ésta puede calcularse sin más que evaluar (4.21) en r1 = r2 y en t1 = t2 = t y, lógicamente,su expresión final depende directamente de la función de coherencia mutua, Γ2(r, r; f1, f2).En concreto, imponiendo la consideración de banda estrecha en el dominio óptico de formaque la semianchura espectral del pulso, ∆f , sesa mucho menor que la frecuencia óptica,f0 = c/λ, [15], esto es, ∆f ¿ f0, entonces, la estimación de la semianchura temporal delpulso captado en el receptor y medido para la fracción 1/e respecto a la amplitud máximaes:

T2 =√

(T 20 + 8α), (4.22)

tal y como se indica en detalle en [39]. El parámetro α que aparece en la expresión anteriorviene definido por:

α =0.3908C2

nLL5/30

c2, (4.23)

cuyo cálculo se deriva de la obtención de la función de coherencia mutua, asumiendoel modelo de von Karman dado en (2.23) para la densidad espectral de potencia de lasfluctuaciones del índice de refracción, Φn(κ). En (4.23), C2

n es el parámetro de estructurade las fluctuaciones del índice de refracción, L es la longitud del camino de propagación, L0

es el tamaño de la macroescala de la turbulencia, mientras que c es la velocidad de la luz.

En este punto se enmarca el objetivo principal de esta sección, consistente en estableceruna relación entre la expresión vista en (4.22), correspondiente al esparcimiento tempo-ral que sufre un pulso, con la frecuencia de corte de una etapa de filtrado de respuestagaussiana. Este hecho permite su incorporación inmediata en el esquema de simulaciónpresentado en la Figura 4.4. De esta forma, conociéndose los parámetros relevantes que vana caracterizar al fenómeno turbulento, se consigue obtener con total inmediatez la frecuen-cia de corte de un filtrado de Bessel de orden n. Este tipo de filtrado solventa el problemade la irrealizabilidad que presenta un filtro auténticamente gaussiano, utilizándose comouna aproximación muy realista por su gran parecido a un pulso gaussiano.

134


4.4.1 Aproximación mediante filtrado de Bessel

En este punto se pretende simular el esparcimiento temporal que sufre un pulso ópticode perfil gaussiano en su viaje por la atmósfera. Para tal fin, se va a partir de la con-sideración de que el pulso óptico detectado en el receptor sigue manteniendo una formagaussiana conforme a los resultados experimentales ofrecidos [29, 31]. Este aspecto facilitala incorporación al esquema de simulación dado en la Figura 4.4 de una etapa que provoqueen los pulsos de entrada un esparcimiento temporal controlado, basándose en el hecho deque la salida que ofrece un pulso gaussiano a una señal gaussiana que se introduzca a suentrada sigue manteniendo la naturaleza gaussiana. Así, sea un pulso genérico gaussiano,vi(t), de expresión:

vi(t) = A exp[−(t− τ0)2

T 20

], (4.24)

cuya representación gráfica se muestra en la Figura 4.21. Su expresión en el dominiotransformado, Vi(f), responde a:

Vi(f) = AT0

√π exp

[−(π2f2T 2

0 )− j2πfτ0

]. (4.25)

Am

plit

ud

τ0+T

0τ

0

A/e

A

0

Eje de tiempos (s.)

Figura 4.21: Forma de un pulso gaussiano genérico en el dominio del tiempo.

En ambas expresiones, A hace referencia a la amplitud del pulso, mientras que τ0 indicala ubicación temporal del pulso. Asúmase ahora la expresión en el dominio del tiempo deun filtro gaussiano ideal que representa el comportamiento dispersivo de la atmósfera, en

135


el que arbitrariamente se elige un valor de amplitud, A, tal que |H(f)| = 1 para f = 0.Por otra parte, sea f3dB la frecuencia a 3 dB tal que |H(f3dB)| = 1/

√2, mientras que

τ0 = nπ/(4πf3dB) es la pendiente de fase, siendo n el orden del filtro gaussiano. De estaforma, a partir de (4.25) se obtiene que:

H(f) = exp

[−1

2

(f

f3dB

)2

ln 2− j

(nπf

2f3dB

)], (4.26)

tal y como puede verse en [40]; mientras que la expresión en el dominio del tiempo seescribe como:

h(t) =2πf3dB√2π ln 2

exp

[−

(2πf3dBt− nπ/2

)2

2 ln 2

]. (4.27)

Por tanto, el pulso de salida en el dominio de la frecuencia, Y (f), puede obtenersea partir del producto de (4.25) con (4.26). Efectuando el producto y reordenando lostérminos se obtiene:

Y (f) = AT0

√π exp

[−

(π2T 2

0 +ln 2

2f23dB

)f2

]exp

[−j2πfτ0

]exp

[−j

(nπf

2f3dB

)]. (4.28)

Se comprueba cómo al retardo inicial que tenía el pulso de entrada, τ0, se le añade unretardo adicional dado por nπ/2ω3dB, siendo ω3dB = 2πf3dB, y que es introducido por elfiltro gaussiano. Sin pérdida de generalidad, se puede asumir que τ0 = 0. Si se admite queel pulso a la salida, y(t), se caracteriza por una naturaleza gaussiana de la forma:

y(t) = A′ exp[−βt2

], (4.29)

donde se ha prescindido del retardo adicional introducido por el filtro h(t), siendo A′ laamplitud del pulso y(t). Su expresión en el dominio transformado es:

Y (f) = A′√

π

βexp

[−π2f2

β

], (4.30)

que resulta análoga a (4.25) y, por tanto, es posible igualarla con la primera exponencialde (4.28):

136


exp

[−

(π2T 2

0 +ln 2

2f23dB

)f2

]= exp

[−π2f2

β

]. (4.31)

Operando convenientemente, es posible obtener el valor de β en función de los pará-metros del pulso de entrada y del filtro gaussiano:

β =4π2f2

3dB

4π2f23dBT 2

0 + 2 ln 2. (4.32)

De esta manera, se tiene plenamente identificado el parámetro β del pulso gaussianoa la salida del filtro, h(t), como una versión expandida en el tiempo del pulso original deentrada, vi(t), y relacionado con los parámetros de éste y del filtro.

Del pulso de entrada, vi(t), se puede obtener el instante de tiempo para el cual laamplitud del pulso cae un factor 1/e. Así:

exp

[−

(t

T0

)2]

=1e. (4.33)

Operando de esta manera, si se despeja t de la expresión anterior, realmente se estáobteniendo el valor para la semianchura temporal del pulso de entrada, τ i

e, que, a partirde (4.34), puede escribirse como:

τ ie = t = T0. (4.34)

Si se procede de idéntica forma con el pulso de salida, y(t), se verifica:

τ oe =

√1β

, (4.35)

siendo τ oe el ancho temporal del pulso a la salida del filtro dado en (4.27) cuando la amplitud

ha decaído un factor 1/e. Sustituyendo en la ecuación anterior el parámetro β por suexpresión obtenida en (4.32) y, operando adecuadamente, se obtiene que:

τ oe =

√τ ie2 +

2 ln 2ω2

3dB

, (4.36)

con ω3dB = 2πf3dB. Si ahora se compara esta última expresión con la obtenida en (4.22)para el esparcimiento de un pulso óptico viajando por la atmósfera, entonces, por identifi-cación de términos, se consigue la siguiente relación

137


ω3dB =

√2 ln 2√8α

. (4.37)

Si se decide aproximar el comportamiento gaussiano del filtro por una etapa de filtradode Bessel, para la que se conoce una aproximación al valor de la frecuencia normalizada a3 dB, ωnor

3dB,

ωnor3dB '

√(2n− 1) ln 2, n > 3 (4.38)

tal y como se indica en [1, 41, 42], es posible calcular la constante de normalización em-pleada, Kf , de la forma:

Kf =ω3dB

ωnor3dB

=

√2 ln 2√

8α√

(2n− 1) ln 2, (4.39)

donde esta última expresión se corresponde con el inverso del retardo del filtro, 1/τ ytambién, tal y como se indica en las referencias bibliográficas, con la frecuencia angular decorte, ωc = 2πfc (en rad/s) del filtro de Bessel de orden n que aproxima a un filtro idealgaussiano. Conocido este hecho y, a partir de la ecuación (4.39), es posible obtener lafrecuencia, fc, que caracteriza al filtro de Bessel de orden n mediante la expresión:

fc =

√2 ln 2

2π√

8α√

(2n− 1) ln 2, (4.40)

Sustituyendo en la igualdad anterior el valor de α indicado en (4.23), finalmente seconsigue expresar la frecuencia de corte del filtro de Bessel como:

fc =c

4π

1√(2n− 1

)0.3908C2

nLL5/30

. (4.41)

Por consiguiente, conocidos los parámetros físicos del enlace atmosférico tales como ladistancia del vano o la intensidad de la turbulencia, y teniendo una estimación del tamañode la macroescala de la turbulencia, se consigue modelar, a partir de la implementaciónde una etapa de filtrado de Bessel de orden n, el efecto dispersivo que originaría el canalsobre todo pulso óptico que se propague; donde la frecuencia, f3dB, de dicho filtro de Besseldepende directamente de los parámetros que se acaban de enunciar. Por supuesto, estecomportamiento dispersivo únicamente hace acto de presencia en entornos muy particularescaracterizados por una alta concentración de polvo [31] y/o vapor de agua [29], acrecentadopor la utilización de pulsos ultracortos a muy elevados regímenes binarios [38].

138


4.4.2 Resultados obtenidos

En las tablas 4.1-4.10 se muestran los resultados obtenidos para distintas longitudes depulso sometidas a diferentes condiciones atmosféricas [43] y su comparativa con los valorespredichos por la expresión (4.22). En concreto, todas las simulaciones se han realizadotransmitiendo un único pulso con formato gaussiano a 300 Gbps (Gigabits/segundo), conun tamaño para la macroescala de la turbulencia, L0, fijado a 30.34 m. La intensidadde la turbulencia se ha fijado a σ2

χ = 0.1 a excepción de los resultados mostrados en lastablas 4.3 y 4.4, donde la varianza de la amplitud logarítmica del centelleo toma el valor

Tabla 4.1: Escenarios de simulación probados: σ2χ = 0.1, c.t.=100%, orden 5

fc = 15.9GHz fc = 31.64GHz fc = 50GHz fc = 100GHz fc = 166GHz fc = 195GHz

T0 0.78825 ps 0.78825 ps 0.78825 ps 0.78825 ps 0.78825 ps 0.78825 psT0m 0.65510 ps 0.65510 ps 0.65510 ps 0.65510 ps 0.65510 ps 0.65510 psT2

(num)m 4.57654 ps 2.35337 ps 1.55798 ps 0.95073 ps 0.76954 ps 0.73842 ps

T2(teo)m 3.98306 ps 2.08061 ps 1.41144 ps 0.90646 ps 0.75702 ps 0.73082 ps

Error 14.9000 % 13.1098 % 10.3820 % 4.88425 % 1.65275 % 1.04012 %

Esparcim. 598.649 % 259.263 % 137.839 % 45.1372 % 17.4763 % 12.7269 %

Distancia 17 623.3 m 4 450.51 m 1 782.14 m 445.536 m 161.684 m 117.169 m

fc = 300 GHz fc = 360 GHz fc = 423 GHz fc = 758 GHz fc = 890 GHz

T0 0.78825 ps 0.78825 ps 0.78825 ps 0.78825 ps 0.78825 psT0m 0.65510 ps 0.65510 ps 0.65510 ps 0.65510 ps 0.65510 psT2

(num)m 0.68986 ps 0.67933 ps 0.67354 ps 0.66389 ps 0.65925 ps

T2(teo)m 0.68909 ps 0.67941 ps 0.67327 ps 0.66203 ps 0.66062 ps

Error 0.11195 % 0.01231 % 0.03920 % 0.28086 % 0.20730 %

Esparcimiento 5.31337 % 3.70516 % 2.82154 % 1.34849 % 0.64032 %

Distancia 49.5040 m 34.3778 m 24.9001 m 7.75433 m 5.62474 m






Error 15.5709 % 15.4568 % 15.2606 % 14.2396 % 13.2135 % 12.2495 %

Esparcim. 2 568.8 % 1 243.7 % 753.756 % 335.054 % 175.716 % 140.400 %




(num)m 0.30237 ps 0.27657 ps 0.24972 ps 0.20901 ps 0.20566 ps


Error 11.3373 % 12.4338 % 9.28859 % 8.3748 % 9.41768 %

Esparcimiento 77.5589 % 62.4093 % 46.6398 % 22.7347 % 20.7691 %

Distancia 49.5040 m 34.3778 m 24.9001 m 7.75433 m 5.62474 m

139







Error 14.9000 % 13.1098 % 10.3820 % 4.88425 % 1.65275 % 1.04012 %

Esparcim. 598.649 % 259.263 % 137.839 % 45.1372 % 17.4763 % 12.7269 %

Distancia 176 233 m 44 505.1 m 17 821.4 m 4 455.36 m 1 616.84 m 1 171.69 m



(num)m 0.68986 ps 0.67933 ps 0.67354 ps 0.66389 ps 0.65925 ps


Error 0.11195 % 0.01231 % 0.03920 % 0.28086 % 0.20730 %

Esparcimiento 5.31337 % 3.70516 % 2.82154 % 1.34849 % 0.64032 %

Distancia 495.040 m 343.778 m 249.001 m 77.5433 m 56.2474 m






Error 15.5709 % 15.4568 % 15.2606 % 14.2396 % 13.2135 % 12.2495 %

Esparcim. 2 568.8 % 1 243.7 % 753.756 % 335.054 % 175.716 % 140.400 %

Distancia 176 233 m 44 505.1 m 17 821.4 m 4 455.36 m 1 616.84 m 1 171.69 m



(num)m 0.30237 ps 0.27657 ps 0.24972 ps 0.20901 ps 0.20566 ps


Error 11.3373 % 12.4338 % 9.28859 % 8.3748 % 9.41768 %

Esparcimiento 77.5589 % 62.4093 % 46.6398 % 22.7347 % 20.7691 %

Distancia 495.040 m 343.778 m 249.001 m 77.5433 m 56.2474 m

σ2χ = 0.01. El ciclo de trabajo del pulso de entrada se ha fijado a un valor del 100% en la

mitad de las situaciones simuladas; y al 25% en el resto de situaciones. Se han utilizadofiltros de Bessel de quinto, sexto, séptimo y octavo orden.

En todos los casos, se ha mostrado el valor de la semianchura temporal del pulso atransmitir, T0, cuando su amplitud ha caído un factor 1/e; y la misma semianchura tem-poral del pulso a transmitir, T0m ' T0

√ln 2, pero cuando la amplitud se ha visto reducida

a la mitad. Junto a estos valores, se presentan los valores de anchura temporal a mitad deamplitud, T2m, cuya magnitud responde a la expresión:

140







Error 13.3941 % 11.4429 % 8.77292 % 3.61098 % 1.03094 % 0.56675 %

Esparcim. 525.551 % 223.703 % 117.039 % 37.0463 % 14.1050 % 10.2218 %




(num)m 0.68324 ps 0.67483 ps 0.67036 ps 0.66291 ps 0.65859 ps


Error 0.01512 % 0.07942 % 0.00562 % 0.27534 % 0.20472 %

Esparcimiento 4.30307 % 3.01925 % 2.33653 % 1.20007 % 0.53961 %

Distancia 40.5033 m 28.1273 m 20.3728 m 6.34445 m 4.60206 m






Error 14.1447 % 14.0255 % 13.8442 % 13.1752 % 11.9024 % 11.4669 %

Esparcim. 2 283.8 % 1 100.9 % 664.067 % 292.813 % 151.198 % 121.266 %




(num)m 0.28409 ps 0.26653 ps 0.23977 ps 0.20507 ps 0.20326 ps


Error 10.6889 % 13.6151 % 9.16627 % 8.14690 % 9.54038 %

Esparcimiento 66.7577 % 56.4528 % 40.7468 % 20.3775 % 19.3135 %

Distancia 40.5033 m 28.1273 m 20.3728 m 6.34445 m 4.60206 m

T2m '√

ln 2 · T2 =√

ln 2√

(T 20 + 8α), (4.42)

valor que registraría todo pulso que se haya propagado por una atmósfera turbulentacaracterizada por los parámetros de intensidad de turbulencia y macroescala de turbulenciaantes reseñados, de acuerdo a la expresión mostrada en (4.22). En particular, se ofreceuna comparativa entre el valor esperado teóricamente para la anchura temporal, T2

(teo)m ,

de acuerdo con la expresión (4.42); y el obtenido numéricamente, T2(num)m , mediante la

etapa de filtrado Bessel paso bajo que debe atravesar el pulso original de entrada. Se ha

141







Error 11.8056 % 9.80495 % 7.12673 % 2.76785 % 0.65961 % 0.29038 %

Esparcim. 469.064 % 196.549 % 101.090 % 31.4095 % 11.8194 % 8.53299 %




(num)m 0.67879 ps 0.67179 ps 0.66821 ps 0.66222 ps 0.65813 ps


Error 0.08099 % 0.11399 % 0.00966 % 0.26945 % 0.20205 %

Esparcimiento 3.62353 % 2.55491 % 2.00789 % 1.09511 % 0.47070 %

Distancia 34.2720 m 23.8000 m 17.2386 m 5.36838 m 3.89405 m






Error 12.6103 % 12.5727 % 12.5042 % 12.0605 % 10.9390 % 11.1955 %

Esparcim. 2 063.7 % 991.529 % 596.034 % 260.594 % 133.369 % 107.884 %




(num)m 0.27122 ps 0.25953 ps 0.23331 ps 0.20242 ps 0.20159 ps


Error 10.3445 % 14.6489 % 9.28870 % 8.03979 % 9.63376 %

Esparcimiento 59.2043 % 52.3439 % 36.8376 % 18.8203 % 18.3352 %

Distancia 34.2720 m 23.8000 m 17.2386 m 5.36838 m 3.89405 m

utilizado un quinto orden como valor inicial para la etapa de filtrado, ya que es el valormínimo que asegura una semejanza muy notable de la respuesta en frecuencia desprendidadel filtro de Bessel a una forma gaussiana [44, 45]. El error cometido entre la anchuratemporal obtenida tras la etapa de filtrado, y la esperada de acuerdo con la expresióndada en (4.42) se ve reducido progresivamente conforme aumenta el orden del filtro, taly como además se muestra en la Figura 4.22, siendo más relevante este error cuando elesparcimiento temporal sufrido por el pulso es mayor. Precisamente, este esparcimientodel pulso de salida con relación al de entrada queda reflejado en las tablas tras realizar elsiguiente cálculo:

142







Error 10.3263 % 8.29540 % 5.71471 % 2.13236 % 0.42853 % 0.14241 %

Esparcim. 424.319 % 175.149 % 88.7488 % 27.2008 % 10.1773 % 7.34671 %




(num)m 0.67557 ps 0.66959 ps 0.66632 ps 0.66172 ps 0.65782 ps


Error 0.12031 % 0.13407 % 0.01999 % 0.26477 % 0.19726 %

Esparcimiento 3.13269 % 2.21885 % 1.76724 % 1.01773 % 0.42299 %

Distancia 29.7024 m 20.6267 m 14.9401 m 4.65260 m 3.37485 m






Error 11.1637 % 11.1164 % 11.0325 % 11.3691 % 10.6513 % 11.1709 %

Esparcim. 1 888.9 % 903.872 % 540.841 % 236.210 % 120.602 % 97.8966 %




(num)m 0.26252 ps 0.25445 ps 0.22840 ps 0.20005 ps 0.20038 ps


Error 10.5276 % 15.5809 % 9.52825 % 7.99649 % 9.71683 %

Esparcimiento 54.0967 % 49.3600 % 34.0698 % 17.7075 % 17.6260 %

Distancia 29.7024 m 20.6267 m 14.9401 m 4.65260 m 3.37485 m

Esparcimiento =|T2

(num)m − T0m|

T0m· 100 (%). (4.43)

Finalmente, para todos los valores simulados, se presenta la distancia que deberíarecorrer el pulso en las condiciones atmosféricas dadas, de forma que se obtenga la dis-persión temporal estimada. Lógicamente, si se asume un escenario con las condicionesclimatológicas y meteorológicas congeladas, esto es, idénticos valores de L0 y C2

n para unamisma forma de pulso transmitida, la variación de la frecuencia de corte del filtro repercuteen la distancia que debe recorrer ese pulso en un ambiente turbulento para, finalmente,

143


5 6 7 8 9 10 116

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

Orden del filtro de Bessel

Err

or

(%)

T0 = 0.20924 ps

T0 = 0.78825 ps

(a)

5 6 7 8 9 10 110

2

4

6

8

10

12

14

Orden del filtro de Bessel

Err

or

(%)

T0 = 0.20924 ps

T0 = 0.78825 ps

(b)

Figura 4.22: Error cometido en la predicción de la dispersión temporal sufrida por un pulso ópticoal utilizar un filtrado de Bessel con frecuencia de corte de (a) 15.9 GHz; (b) 100 GHz.

obtener el ensanchamiento temporal deseado. Así, a partir de las ecuaciones (4.22), (4.23)y (4.42), puede obtenerse esa distancia recorrida mediante el siguiente cálculo:

Distancia =[(

T2(teo)m√ln 2

)2

− T02

]· c2

8 · 0.3908 · C2nL

5/30

(4.44)

Se observa cómo, a la vista de los resultados obtenidos, el factor de esparcimiento delpulso se ve incrementado conforme se reduce la anchura temporal del pulso transmitidoinicialmente. Por último, se muestra en la Tabla 4.11 como, si se fija el valor del vanoatmosférico, el esparcimiento temporal que sufre el pulso se ve también incrementadocuando se aumenta la intensidad de la turbulencia.

Por tanto, es inmediato simular el esparcimiento temporal que sufre un pulso óptico apartir de la frecuencia de corte de un filtro de Bessel, cuyo valor aparece íntimamente ligadoa los parámetros netamente físicos que caracterizan el enlace atmosférico, según se apreciaen la ecuación mostrada en (4.41). Así, el modelo completo de canal óptico atmosféricoentre un transmisor y un receptor no sólo recogería el efecto multiplicativo provocado porlas secuencias de centelleo, tal y como se mostró en la Figura 3.1, sino también el efectodel esparcimiento temporal introducido, bien por el scattering, bien por el efecto de laderiva estática del haz o beam wander [38], efecto este último dominante en condiciones deturbulencia débil. El modelo completo puede verse en la Figura 4.23.

Nuevamente, s(t) representa la señal óptica de entrada considerada como potenciaóptica recibida instantánea para el caso ideal en el que el medio no sea turbulento; n(t)es el ruido blanco, gaussiano y aleatorio de media cero y de naturaleza aditiva, cuya

144


Tabla 4.11: Escenarios de simulación probados: σ2χ = 0.1, L=500 m, c.t.=100%, orden 5





Error 14.9000 % 13.1098 % 10.3820 % 4.88425 % 1.65275 % 1.04012 %

Esparcim. 598.649 % 259.263 % 137.839 % 45.1372 % 17.4763 % 12.7269 %

C2n(m−2/3) 4.34 · 10−12 1.09 · 10−12 4.38 · 10−13 1.10 · 10−13 3.98 · 10−14 2.88 · 10−14



(num)m 0.68986 ps 0.67933 ps 0.67354 ps 0.66389 ps 0.65925 ps


Error 0.11195 % 0.01231 % 0.03920 % 0.28086 % 0.20730 %

Esparcimiento 5.31337 % 3.70516 % 2.82154 % 1.34849 % 0.64032 %

C2n (m−2/3) 1.22 · 10−14 8.46 · 10−15 6.13 · 10−15 1.91 · 10−15 1.38 · 10−15

(DISPERSIÓN TEMPORAL)

Figura 4.23: Modelo de canal óptico atmosférico incluyendo la etapa de dispersión temporal.

componente fundamental se refiere al ruido shot de fondo procedente de la luz ambientalunido al ruido térmico del sistema receptor; y(t) es la señal recibida en el receptor una vez haatravesado el medio atmosférico, mientras que αsc(t) representa al coeficiente de centelleoatmosférico variable con el tiempo, y responsable de las fluctuaciones en la irradiancia quesufre toda señal que se propaga por una atmósfera turbulenta. Finalmente, la etapa defiltrado incluida en la Figura 4.23 indica al filtro de Bessel de orden n cuya frecuencia decorte responde a la ecuación (4.41).

El conocimiento del esparcimiento temporal que pueda sufrir todo pulso ultracortocomo los aquí presentados, y sometido a altos regímenes binarios [38] en un entorno congrandes concentraciones de polvo, lluvia o niebla [46], provoca la aparición de la inter-ferencia intersimbólica (ISI) entre pulsos adyacentes. Esta interferencia puede calcularsemediante la expresión:

ISI = exp

[−

(√2t

T2

)2]

t=T0

× 100 (%), (4.45)

145


tal y como se indica en [39], donde T2 hace referencia a la semianchura temporal del pulsouna vez ha atravesado la atmósfera en el punto 1/e de amplitud, y cuya expresión fuemodelada en la ecuación (4.22); mientras que T0 indica la semianchura temporal del pulsooriginal, nuevamente cuando la amplitud ha caído en un factor 1/e. El modelado del es-parcimiento temporal obtenido a partir del filtro de Bessel presentado en este capítulo [43],permite su inclusión inmediata en el modelo de simulación desarrollado en la Figura 4.4,lo que lo dota de una mayor versatilidad, permitiendo analizar las prestaciones que sedesprenden de un sistema óptico atmosférico inmerso en casi cualquier combinación decondiciones físicas imperantes.

4.5 Conclusiones

A lo largo de este capítulo se ha presentado el escenario de simulación en el que seha introducido el modelo de canal óptico atmosférico turbulento que fue presentado en loscapítulos precedentes, realizándose una somera descripción de cada uno de los bloques quelo componen. Este esquema de simulación ha servido para someter a prueba diferentestécnicas de codificación ya empleadas en sistemas de comunicaciones ópticas operando enambientes interiores. El objetivo principal ha consistido en proponer una figura de méritofiable en los sistemas atmosféricos IM/DD operando en el rango de frecuencias ópticas, quepermita comparar las prestaciones que puedan extraerse de cualquier técnica de señaliza-ción sin realizar ningún tipo de cálculo preliminar. En particular, se ha corroborado, comoya se hizo en escenarios de interior, que la maximización de la relación PAOPR encaja muybien en la definición de la figura de mérito buscada, ya que un incremento de su valor estadirectamente relacionado con una mejora en las prestaciones ofrecidas por estos sistemas.

A continuación se ha detallado el conjunto de técnicas de modulación que se han in-troducido en el análisis numérico. En concreto, se ha propuesto la utilización de pulsosgaussianos de reducido ciclo de trabajo, y acompañados de un esquema de tasa adapta-tiva basada en la inserción de períodos de silencio variables como alternativa al esquemade tasa clásica adaptativa basada en la repetición de bits. Estas técnicas de señalizaciónya tuvieron una probada aceptación en entornos de interiores y, en este trabajo, se hantrasladado y verificado esos buenos resultados a entornos de comunicaciones ópticas at-mosféricas, correspondiendo lógicamente estas buenas prestaciones con un incremento delvalor de la relación PAOPR respecto a, por ejemplo, la utilización de pulsos NRZ. En estemismo camino de conseguir una mayor eficiencia en el parámetro PAOPR, se ha estudiadoen primer lugar el mecanismo de inserción de silencios sin memoria, el cual se presenta comouna clara alternativa de extrema simplicidad y de relativamente buenas prestaciones. Sinembargo, esta técnica es superada claramente por los esquemas de inserción con memo-ria, denominados OOK-GSc y OOK-GScc, basados en máquinas de estados finitos que

146

4.5. CONCLUSIONES

minimizan la presencia de pulsos transmitidos en la atmósfera, lo que automáticamentepermite incrementar más aún la figura de mérito PAOPR. Las prestaciones obtenidas hansido muy satisfactorias, fundamentalmente si se conoce el estado instantáneo del canal, obien la naturaleza estadística del mismo.

Los resultados que se han ofrecido a lo largo del capítulo han sido realizados en basea la probabilidad de ráfaga de error, de forma que pueda tenerse en cuenta el efectode la coherencia atmosférica sobre las prestaciones del sistema. Esto permite tener unavisión más nítida de la operatividad del enlace, ya que se está considerando el efecto de laduración de los desvanecimientos y no sólo la intensidad de los mismos. En cualquier caso,al examinar los resultados obtenidos, se puede apreciar como la tasa adaptativa propuestabasada en la inserción de períodos de silencio obtiene mejores prestaciones que la técnicaclásica de adaptabilidad basada en la repetición de los bits de información, precisamenteporque la primera consigue un valor más alto en la relación PAOPR.

Se corrobora así la importancia del parámetro PAOPR como criterio de evaluaciónde las prestaciones ofrecidas por un sistema óptico no guiado en condiciones de atmósferaturbulenta, siendo el objetivo principal incrementar dicho parámetro en todo lo posible.

Todas las simulaciones numéricas realizadas hasta ese punto, y las que se muestranen los capítulos siguientes salvo que se indique lo contrario, no han tenido en cuenta lapresencia de interferencia intersimbólica. En efecto, este va a ser el caso más habitualde operatividad en estos enlaces. Sin embargo, bajo condiciones especiales de elevadosregímenes binarios en los que se transmitan pulsos ultracortos en presencia de alta concen-tración de polvo o vapor de agua, esa interferencia intersimbólica hace acto de presencia,provocando un ensanchamiento temporal de los pulsos originariamente transmitidos. En elapartado 4.4 se ha estudiado su posible incorporación, de una forma eficiente, al esquemade simulación presentado al inicio de este capítulo. Aprovechando el hecho de que es in-mediato relacionar la salida que un pulso gaussiano ofrece al atravesar una etapa de filtradogaussiano, resulta extremadamente sencillo modelar el esparcimiento temporal que sufriríaun pulso óptico en las condiciones especiales antes relatadas. Se ha asumido implícitamenteque el pulso óptico que se recibiría en un fotodetector una vez ha sufrido esa distorsión tem-poral sigue manteniendo una forma gaussiana, consideración que es perfectamente lícita ala vista de los resultados experimentales registrados [29, 31].

Por consiguiente, se ha conseguido, como aportación original, relacionar ese esparci-miento temporal con el efecto que una etapa de filtrado de Bessel provocaría en los pulsosópticos a transmitir. Así, se ha identificado la expresión obtenida en [38], y presentada en(4.22), con la obtenida en (4.36) cuando se asume que un pulso óptico de perfil gaussianoatraviesa una etapa de filtrado gaussiano. Puesto que esta etapa de filtrado gaussianoes físicamente irrealizable, se ha propuesto aproximar su comportamiento por un filtrado

147


de Bessel de orden n que permite cumplir con las especificaciones, induciendo el espar-cimiento temporal deseado en función de las características físicas del canal atmosférico.Los resultados obtenidos muestran un notable parecido en cuanto a dispersión temporal,confinando el error cometido respecto a la expresión analítica teórica de referencia dadaen (4.22) dentro de valores muy aceptables, lo que confiere un alto grado de precisión enla simulación numérica implementada.

La inclusión de esta última etapa permite una mayor versatilidad y minuciosidad en elanálisis de casi cualquier situación que se desee plantear, permitiendo incluso la posibilidadde introducir un factor de distorsión temporal, por pequeño que sea, que permita reproducirfielmente las condiciones externas que pueden caracterizar en un momento dado a cualquieremplazamiento sobre el que se desee implementar un enlace óptico.

148

Bibliografía

[1] M. C. Jeruchim, P. Balaban and K. S. Shanmugan, Simulation of Communication Systems,New York, London: Plenum Press, 2nd ed., cop. 2000.

[2] A. García-Zambrana and A. Puerta-Notario, Novel Approach for Increasing the Peak-to-Average Optical Power Ratio in Rate-Adaptive Optical Wireless Communication Systems,IEE Proc. Optoelectron.: Special Issue on Optical Wireless Communications, vol. 150, no.5, pp. 439 – 444, 2003.

[3] J.M. Garrido-Balsells, A. García-Zambrana and A. Puerta-Notario, Rate-adaptive transmis-sion schemes in the context of runlength-limited codes for optical wireless communications,IEEE Communications Letters, vol. 9, no. 9, pp. 787 – 789, Sept. 2005.


[5] A. García-Zambrana, Tesis Doctoral: Técnicas de Modulación en Enlaces Ópticos no Guiadosde Alta Velocidad para Redes de Área Local, Escuela Técnica Superior de Ingenieros deTelecomunicación, Universidad de Málaga, 1998.

[6] E.A. Lee and D.G. Messerschmitt, Digital Communication, Boston: Kluwer AcademicPublishers, 2nd ed., 1994.

[7] S. Lin and D. Costello, Error Control Coding: Fundamentals and Applications, Prentice-Hallseries in computer application in electrical engineering, 1983.

[8] A. García-Zambrana and A. Puerta-Notario, RZ-Gaussian Pulse Reduce the Receiver Com-plexity in Wireless Infrared Links at High Bit Rates, IEE Elect. Letters, vol. 35, no. 13,pp. 1059 – 1061, 1999.

[9] A. García-Zambrana and A. Puerta-Notario, Comparison of Improved OOK Formats withPulse-Position Modulation in Indoor Unguided Optical Links at High Bit Rates, Proc. IEEEWireless Communications and Networking Conference (WCNC’99), vol. 2, pp. 703 – 707,Sept. 1999.

[10] A. Jurado Navas, A. García Zambrana and A. Puerta Notario, Evaluación de Prestaciones deEsquemas OOK-GS en Sistemas de Comunicaciones Ópticas Atmosféricas, XX SimposiumNacional de la URSI, Gandía, Sept. 2005.

[11] A. Jurado Navas, A. García Zambrana and A. Puerta Notario, Esquemas de Tasa Adaptativaen Sistemas de Comunicaciones Ópticas Atmosféricas, XV Jornadas Telecom I+D, Málaga,Spain, Nov. 2005.

[12] A. Jurado Navas, A. García Zambrana and A. Puerta Notario, Wind Influence on Rate-Adaptive Transmission Techniques in Free Space Optical Communications, Proc. IEEE Int.Conference on Communication, 2006 (ICC 2006), vol. 1, pp. 373 – 378, Jun. 2006.

[13] A. Jurado Navas, A. García Zambrana and A. Puerta Notario, An Efficient Rate-AdaptiveTransmission Technique using Shortened Pulses for Atmospheric Optical Communicationsunder Weak Turbulence. Enviado a Optics Express.

[14] B. Leibowitz, B.E. Boser and K.S.J. Pister, A 256-Element CMOS Imaging Receiver for Free-

149

BIBLIOGRAFÍA

Space Optical Communication, IEEE Journal of Solid-State-Circuits, vol. 40, no. 9, pp. 1948– 1956, Sept. 2005.


[16] L. C. Andrews, R. L. Phillips, C. Y. Hopen, Laser Beam Scintillation with Applications,Bellingham, MA:SPIE Optical Engineering Press, Bellingham, Washington, 2001.

[17] C. X. Wang and W. Xu, A New Class of Generative Models for Burst Error Characterizationin Digital Wireless Channels, IEEE Transactions on Communications, vol. 55, no. 3, pp.453 – 462, Mar. 2007.

[18] J.M.. Garrido-Balsells, Tesis Doctoral: Técnicas de Modulación de Tasa Adaptativa en En-laces Ópticos no Guiados de Alta Velocidad, Escuela Técnica Superior de Ingenieros deTelecomunicación, Universidad de Málaga, 2008.

[19] A. Jurado Navas, A. García Zambrana and A. Puerta Notario, Impacto de la Relación PAOPRen Sistemas de Comunicaciones Ópticas Atmosféricas, XXI Simposium Nacional de la URSI,Oviedo, Sept. 2006.

[20] A. García-Zambrana and A. Puerta-Notario, Performance analysis of improved pulse-positionmodulation in infrared links, Proc. 50th IEEE Vehicular Technology Conf. (VTC’99-Fall),Amsterdam, The Netherlands, vol. 4, pp. 2413–2417, Sept. 1999.

[21] T. Ohtsuki, Performance Analysis of Atmospheric Optical PPM CDMA Systems, Journalof Lightwave Technology, vol. 21, no. 2, pp. 406 – 411, Feb. 2003.

[22] X. Zhu and J. M. Kahn, Free Space Optical Communication Through Atmospheric TurbulenceChannels, IEEE Trans. on Communications, vol. 50, no. 8, pp. 1293 – 1300, Aug. 2002.

[23] M.K. Simon and V.A. Vilnrotter, Alamouti-type Space-time Coding for Free-Space OpticalCommunication with Direct Detection, IEEE Trans. Wireless Commun., vol. 4, no. 1, pp.35 – 39, Jan. 2005.

[24] M.Uysal, J. Li and M. Yu, Error Rate Performance Analysis of Coded Free-Space Optical Linksoer Gamma-Gamma Atmospheric Turbulence Channels, IEEE Trans. Wireless Commun.,vol. 5, no. 6, pp. 1229 – 1233, Jun. 2006.

[25] X. Zhu and J. M. Kahn, Pilot Symbol-Assisted Modulation for Correlated Turbulent Free-Space Optical Channels, Proc. of SPIE Intl. Symp. on Optical Science and Technol., SanDiego, CA, Jul. 2001.

[26] M.L.B. Riediger, R. Schober and L. Lampe, Blind Detection of On-Off Keying for Free-SpaceOptical Communications, IEEE Canadian Conference on Elect. and Comp. Eng. (CCECE),Niagara Falls, pp. 1361 – 1364, May. 2008.

[27] A. García-Zambrana and A. Puerta-Notario, Large Change Rate-adaptive Indoor WirelessInfrared Links Using Variable Silence Periods, IEE Elect. Letters, vol. 37, no. 23, pp. 1409– 1411, 2001.

[28] G.D. Forney, The Viterbi Algorithm, Proc. IEEE, vol. 61, no. 3, pp. 268 – 278, Mar. 1973.[29] J. Huang, W. He and S. Gong, The Distortion Characteristics of a Pulse Wave Propagat-

ing through Fog Medium at Milimeter Wave Band, International Journal of Infrared andMillimeter Waves, vol. 28, no. 10, pp. 889-899, Oct. 2007.

[30] G. Samelsohn and V. Freilikher, Two-Frequency Mutual Coherence Function and Pulse Prop-agation in Random Media, Phys. Review E, vol 65, no. 4, id. 046617, pp. 1 – 10, Apr.2002.

[31] Y. Ruike, H. Xiange, H. Yue and S. Zhongyu, Propagation Characteristics of Infrared PulseWaves through Windblown Sand and Dust Atmosphere, International Journal of Infraredand Millimeter Waves, vol. 28, no. 2, pp. 18-189, Feb. 2007.

[32] L. C. Lee, Wave Propagation in a Random Medium: A Complete Set of the Moment Equationswith Different Wavenumbers, J. Math. Phys., vol 15, no. 9, pp. 1431 – 1435, Sept. 1974.

150

BIBLIOGRAFÍA

[33] J.W. Strohbehn, Line-of-Sight Wave Propagation through the Turbulent Atmosphere, Pro-ceedings of the IEEE, vol. 56, no. 8, pp. 1301–1318, Aug. 1968.

[34] C.Y. Young, A. Ishimaru and L.C. Andrews, Two-Frequency Mutual Coherence Function ofa Gaussian Beam Pulse in Weak Optical Turbulence: an Analytic Solution, Appl. Optics,vol 35, no. 33, pp. 6522 – 6526, Oct. 1996.

[35] I. Sreenivasiah, A. Ishimaru and S. T. Hong, Two-Frequency Mutual Coherence Function andPulse Propagation in a Random Medium: an Analytic Solution to the Plane Wave Case,Radio Sci., vol 11, pp. 775 – 778, Oct. 1976.

[36] I. Sreenivasiah and A. Ishimaru, Beam Wave Two-Frequency Mutual Coherence Function andPulse Propagation in Random Media: an Analytic Solution to the Plane Wave Case, Appl.Optics, vol 18, no. 10, pp. 1613 – 1618, May 1979.


[38] C.Y. Young, L.C. Andrews and A. Ishimaru, Time-of-Arrival Fluctuations of a Space-TimeGaussian Pulse in Weak Optical Turbulence: an Analytic Solution, J. Appl. Optics, vol 37,no. 33, pp. 7655 – 7660, Nov. 1998.

[39] M.K. Howlader, J. Jinho, Intersymbol Interference Due to the Atmospheric Turbulence forFree-Space Optical Communication System, IEEE International Conference on Communi-cations, 2007, pp. 5046 – 5051, 24-28 June 2007.

[40] D. S. Humpherys, The Analysis, Design and Synthesis of Electrical Filters, Prentice-Hall,1970.

[41] L. Storch, Synthesis of Constant-time-delay Ladder Networks using Bessel Polynomials,Proc. IRE, vol. 42, pp. 1666 – 1675, Nov. 1954.

[42] M.E. Van Valkenburg, Analog Filter Design, Fort Worth [etc] : Harcourt Brace JovanovichCollege Publishers, 1982.

[43] A. Jurado Navas, A. Puerta Notario, A Numerical Model for the Temporal Broadening ofOptical Pulses Propagating through Weak Optical Turbulence. Enviado a IEE Elect. Letters.

[44] A. Zverev, Handbook of Filter Synthesis, John Wiley and Sons, 1967.[45] J.R. Andrews, Lowpass Risetime Filters for Time Domain Applications. Application Note

AN-72a, Picosecond Pulse Labs, 1999.[46] C. H. Liu, K. C. Yeh, Propagation of Pulsed Beam Waves through Turbulence, Cloud, Rain,

or Fog. Journal Optical Society of America, vol. 67, no. 9, pp. 1261 – 1266, Sep. 1977.

151

Capítulo 5

Impacto de las Secuencias deCentelleo Correlado

De las conclusiones obtenidas en el capítulo anterior, puede deducirse que las técnicasde señalización que implican la maximización de la relación PAOPR, acompañadas de lautilización de esquemas con memoria en el proceso de codificación, permiten mejorar lasprestaciones de un enlace óptico atmosférico. Sin embargo, la presencia de la turbulenciaatmosférica puede llegar a degradar severamente las prestaciones ofrecidas por el sistemaóptico, haciendo insuficiente la mejora proporcionada por las técnicas anteriores. Estaturbulencia, como ya se ha visto, se origina por variaciones aleatorias en el índice derefracción atmosférico; este efecto es consecuencia directa de la existencia de un gradientede temperatura que se origina por la acción conjunta del calor solar unida a la presenciadel viento [1]. Un haz de luz que se propague en este medio experimenta fenómenos derefracción al atravesar las celdas turbulentas más grandes; efectos difractivos, al atravesarlas células más pequeñas; unido a fenómenos de divergencia (ensanchamiento del haz) asícomo variaciones erráticas de la posición del haz (beam wander). Todos estos fenómenostienen una naturaleza aleatoria que provoca una fluctuación de la potencia óptica recibidavariable con el tiempo.

Las fluctuaciones de potencia referidas, denominadas centelleo, reducen la capacidaddel canal óptico atmosférico incrementando la probabilidad de error de bit y, por tanto,aumentando la probabilidad de ráfaga de error y el tiempo en el que el enlace deje de estaroperativo. En un esfuerzo por mejorar las prestaciones del sistema óptico, el efecto perni-cioso ocasionado por el centelleo atmosférico puede ser mitigado mediante la estrategia depromediado de apertura (aperture averaging) [2]. Esta técnica consiste en incrementar eltamaño de apertura del receptor, de forma que dicho tamaño sea mayor que la distanciade coherencia atmosférica, d0 =

√λL [3]. De esta manera, la fluctuación en el nivel de

153

CAPÍTULO 5. IMPACTO DE LAS SECUENCIAS DE CENTELLEO CORRELADO

irradiancia recibido se suaviza al tener disponible un mayor área fotodetectora que per-mita promediar tal distorsión del frente de onda óptico [4]. Sin embargo, no siempre esfísicamente posible ni deseable satisfacer la condición exigida al tamaño del receptor parapromediar tales fluctuaciones; y ello sin tener en cuenta el aumento del nivel de ruidoAWGN que captaría el receptor como consecuencia de tener un mayor área fotodetectoraefectiva. Todas esas razones desaconsejan, en muchas ocasiones, la elección del prome-diado de apertura como procedimiento para mejorar el rendimiento de un sistema ópticoatmosférico.

Otra estrategia para mitigar el efecto del centelleo atmosférico consiste en reducirla coherencia espacial de los haces de luz empleados. Esto se consigue introduciendo undifusor de fase a la salida del transmisor [5]. Eligiendo adecuadamente la intensidad deldifusor de forma que el grado de coherencia de la onda óptica se vea reducido, tanto máscuanto mayor sea dicha intensidad, la mejora obtenida en la reducción del efecto adversodel centelleo compensa la necesidad de captar una mayor cantidad de potencia con respectoa haces de luz perfectamente coherentes con el fin de mantener un mismo nivel de relaciónseñal a ruido. Mientras que en regímenes de turbulencia débil, la mejora en términosde probabilidad de error de bit es plenamente controlable sin más que variar el tamañodel radio de correlación lateral del difusor [5], para regímenes de turbulencia más severosesto deja de ser verdad, obteniéndose mejores resultados con difusores muy intensos cuyoresultado es una fuente prácticamente incoherente, lo que no siempre es alcanzable.

Por ello, en la actualidad, las técnicas que hacen uso de diversidad en recepción ensus distintas modalidades se han mostrado como una solución muy válida para mejorarlas prestaciones de los enlaces ópticos afectados por desvanecimientos. Para extraer elmáximo beneficio de estas técnicas de diversidad, se debería asegurar una independenciaestadística entre las secuencias de desvanecimientos que afecten a las distintas señales quese reciban por cada una de las ramas del receptor. Esto es asumido como punto de partidaen [6]-[8], aunque para que esta aproximación sea cierta, es necesario que el espaciado entrelos distintos receptores sea mayor que la longitud de correlación del centelleo. Sin embargo,en muchas ocasiones no se puede satisfacer tal requisito debido a la falta de espacio físicodisponible; o bien, por el hecho de que el espaciado requerido entre receptores que permitala recepción de secuencias de centelleo incorreladas entre sí, supere el diámetro del hazde luz recibido (asumiendo un único transmisor iluminando a los distintos receptores) enenlaces limitados en potencia con haces de luz perfectamente colimados. Además, existenescenarios particulares como los indicados en [9]-[11], donde los autores advierten el hechode que diferentes haces pueden superponerse en su viaje hacia el receptor, estando sujetosa las mismas perturbaciones del índice de refracción. Así, en muchos casos, puede no serposible suponer tal independencia, por lo que la consideración de que las secuencias de

154

centelleo atmosférico son incorreladas en las distintas ramas de un receptor conllevaríaa un falseamiento en las expectativas sobre estos sistemas, exagerando la ganancia pordiversidad que realmente les corresponden.

Con el propósito de obtener resultados más cercanos a la realidad en los trabajos desimulación, han aparecido en la literatura diferentes aportaciones que permiten generarsecuencias de desvanecimiento correlado [12]-[16]. Todas ellas comparten la misma idea: lageneración de secuencias de desvanecimiento independientes que, posteriormente, obtienenla correlación deseada entre ellas a partir de una matriz de coloreado. Por regla general,dicha matriz ha sido siempre calculada a partir de una descomposición de Cholesky, pro-puesta por primera vez en [12] que, sin embargo, no siempre es posible aplicar. A lo largode este capítulo se propone un método distinto para generar secuencias de centelleo corre-lado que extienda la aplicabilidad de las técnicas utilizadas en [12, 13, 15] mediante elempleo de un sistema de descomposición matricial alternativo. La inclusión de la corre-lación en las secuencias de desvanecimiento generadas mostrarán una penalización en laganancia recibida por diversidad, evidenciándose la necesidad de incluir la correlación entresecuencias con el objeto de alcanzar un análisis del enlace más fidedigno.

El núcleo central de la propuesta realizada para obtener m secuencias de centelleocorrelado se basa en una generalización multicanal del método autorregresivo (AR) degeneración de variables, de manera que pueda satisfacerse la hipótesis de Taylor de turbu-lencia congelada [2]. De este modo, las m secuencias de centelleo, de naturaleza logarítmico-normal tal y como se ha detallado en esta tesis, se generan conforme a los estadísticos desegundo orden: 1) función de autocorrelación y 2) correlación cruzada entre dos secuenciasdiferentes, imponiendo una relación espacio-temporal a dichas secuencias tal y como sederiva de la hipótesis de Taylor.

Finalmente, se estudiará en este capítulo una serie de escenarios especiales [17]-[19]para los cuales la hipótesis de Taylor no es consistente [20]-[21]. En tales escenarios, esposible realizar una modificación del modelo genérico aquí propuesto, incluyendo el efectode la propia evolución dinámica de la turbulencia [1]. En estos casos, se añadirán secuenciascon estadísticos espacio-temporales separables a las ya generadas con el método AR, quepermitan romper parcialmente, y de forma controlada, las premisas de la hipótesis deTaylor. Además, esta modificación sería una aproximación muy fidedigna en el caso en elque se consideren escenarios afectados por una velocidad del viento elevada. En cualquiercaso, el método de descomposición matricial que se propone en este capítulo podrá aplicarsea ambos modelos para generar los distintos patrones de centelleo.

155


5.1 Recepción con diversidad espacial

Como se ha descrito, es posible minimizar el impacto del centelleo atmosférico me-diante la adopción de una estrategia de diversidad espacial en recepción. La consideraciónde utilizar múltiples receptores, en número m, por ejemplo, implica generar m secuen-cias de centelleo, una por cada receptor, que afectarán multiplicativamente a la trama depulsos ópticos de información que se reciba en cada uno de ellos. La aproximación mássencilla consistiría en replicar m veces todo el procedimiento expuesto en el Capítulo 3.Sin embargo, operando de tal forma, las secuencias que se obtienen no van a tener ningunarelación estadística entre sí, lo que no es, en muchos escenarios prácticos, un reflejo fiel dela realidad.

Una de las hipótesis de partida que se asumen en el modelado de entornos ópticosatmosféricos es la hipótesis de Taylor de la turbulencia congelada [1], cuyo tratamientose realizó en el Capítulo 2. El establecimiento de dicha hipótesis permitió establecer ladependencia entre la duración de los desvanecimientos, y la velocidad media del viento ensu componente perpendicular a la dirección de propagación del haz óptico transmitido, u⊥.En el Capítulo 3, asumiendo una naturaleza plana e infinita para el frente de onda captadoen recepción y, bajo la aproximación de Rytov en condiciones de intensidad de turbulenciadébil a moderada, se obtuvo una aproximación gaussiana para la función de covarianza,dada por la expresión:

Bχ(τ, L) = σ2χ exp

(−τ2

τ20

), l0 ¿ u⊥τ ¿

√λL, (5.1)

donde τ0 = d0/u⊥ es el tiempo de correlación de la turbulencia y d0 es la distancia decorrelación. Además, tal hipótesis permite realizar una conversión espacio-temporal de losestadísticos de la secuencia de centelleo, de forma que los estadísticos espaciales puedenser trasladados a estadísticos en el dominio temporal, siempre que se tenga conocimientode la magnitud u⊥. Por ello, esta hipótesis de Taylor puede expresarse como:

χ(r, t + τ) = χ(r− u⊥τ, t). (5.2)

Procediendo así, la función de covarianza puede denotarse en función de sus estadís-ticos espaciales como:

Bχ(u⊥τ, L) = Bχ(ρ, L) = Bχ(dij , L) = σ2χ exp

(−d2

ij

d20

), (5.3)

156

5.1. RECEPCIÓN CON DIVERSIDAD ESPACIAL

donde dij puede verse como la distancia de separación entre los puntos i y j en el planodel receptor. A partir de la expresión anterior, y sabiendo que la función de covarianzanormalizada de la amplitud logarítmica se define como:

bχ(dij) =Bχ(dij)

σ2χ

, (5.4)

es posible construir la matriz de covarianzas de la perturbación logarítmica de amplitud,Cχ=cχ(i,j)m

i,j=1, para m receptores en un plano transversal a la dirección de propagacióndel haz de luz:

Cχ =

σ2χ σ2

χbχ(d12) ... σ2χbχ(d1m)

σ2χbχ(d21) σ2

χ ... σ2χbχ(d2m)

... ... ... ...

σ2χbχ(dm1) σ2

χbχ(dm2) ... σ2χ

m×m

. (5.5)

La matriz anterior describe la correlación entre las secuencias de desvanecimientosdesde un punto de vista espacial. Como se ha mencionado, la hipótesis de la turbulenciacongelada permite que dicha matriz refleje una descripción temporal sin más que realizarun cambio del tipo:

dij = |i− j|u⊥Tp (5.6)

tal y como aparece reflejado en [3], donde Tp es, en este caso, el intervalo de tiempo entredos observaciones. Por tanto, se puede definir la matriz dada en (5.5) desde dos puntosde vista diferentes: desde un punto de vista temporal, como la matriz de covarianzas deuna única cadena de m bits que recoge un único receptor; o bien, desde un punto devista espacial, como la matriz de covarianzas de las amplitudes logarítmicas captadas encada uno de los m receptores en un instante de tiempo determinado. Sin embargo, lahipótesis de turbulencia congelada requiere que ambas restricciones (espacial y temporal)se satisfagan al mismo tiempo, de forma que la fluctuación en potencia que se reciba enun receptor A sea la misma que la que se recibiría en un receptor B separado de A unadistancia dAB, pero retardado en dAB/u⊥. Para cumplir con ambas exigencias, se adopta laimplementación de un modelo autorregresivo (AR) [22] de orden p cuyo comportamiento,en su versión discretizada, aparece representado por la ecuación

χ[n] = −p∑

k=1

A[k]χ[n− k] + w[n]. (5.7)

157


En la anterior expresión, se define el vector de las correspondientes m secuencias tem-porales de la amplitud logarítmica del centelleo que captaría cada uno de los m receptorescomo:

χ[n] =[χ(1)[n] χ(2)[n] . . . χ(m)[n]

]T

, χi[n] ∈ < ∀i ∈ [1...m] (5.8)

donde el superíndice T indica traspuesto; mientras que AT [k], k = 1, 2, ...p, son matricesde tamaño m ×m que contienen los coeficientes del modelo AR multicanal. Finalmente,

w[n] =[w(1)[n] w(2)[n] . . . w(m)[n]

]T

hace referencia al conjunto de vectores de error

de predicción correspondiente a cada una de las secuencias generadas. En concreto, w[n]se caracteriza por tener una media cero y una matriz de covarianzas Cw = Ew[n]w[n]T .Esto quiere decir que w[n] está incorrelado en el tiempo, pero no necesariamente lo estáentre las distintas secuencias. Si se define la matriz de observación, X[n], como

X[n] =[χ[n− 1]T χ[n− 2]T . . . χ[n− p]T

]T

, (5.9)

se puede construir la matriz de covarianzas Cχ = EX[n]X[n]T necesarias para imple-mentar el modelo AR. La relación entre la matriz deseada, Cχ, y el conjunto de matrices,AT[k], de parámetros del modelo AR se realiza a través del sistema de ecuaciones matricialde Yule-Walker [23] de la forma:

Cχ[0]m×m Cχ[−1]m×m ... Cχ[−p + 1]m×m

Cχ[1]m×m Cχ[0]m×m ... Cχ[−p + 2]m×m

... ... ... ...

Cχ[p− 1]m×m Cχ[p− 2]m×m ... Cχ[0]m×m

︸︷︷︸

AT[1]m×m

AT[2]m×m

...

AT[p]m×m

= −

Cχ[1]m×m

Cχ[2]m×m

...

Cχ[p]m×m

Cχ

(5.10)

En la expresión anterior, Cχ[l] es la matriz de covarianzas dada en (5.5) y evaluadacon l muestras temporales de desplazamiento. Teniendo constancia de que la evolucióntemporal del centelleo atmosférico es lenta en comparación a la tasa binaria de bits, esposible tomar T ′p como el intervalo de tiempo para el que se ha producido una variaciónmás o menos apreciable en la amplitud del centelleo donde, en general, T ′p 6= Tp. Ambosperíodos señalan un intervalo temporal entre observaciones, aunque Tp está fijado por la

158


distancia que separa a dos receptores contiguos. Con esta magnitud, Tp, se denota eltiempo que transcurre para que un segundo receptor capte la fluctuación de potencia quese está recibiendo en un instante concreto en el primer receptor. En una etapa posterior,se aplicará un proceso de interpolación necesario para construir las secuencias en instantesde tiempo sucesivos, de manera que pueda acelerarse todo el proceso de cómputo para laconstrucción de tales secuencias. De esta manera, el sistema de ecuaciones de Yule-Walkertoma la forma:

Cχ[0] Cχ[−T ′p] ... Cχ[(−p + 1)T ′p]Cχ[T ′p] Cχ[0] ... Cχ[(−p + 2)T ′p]

... ... ... ...

Cχ[(p− 1)T ′p] Cχ[(p− 2)T ′p] ... Cχ[0]

·

AT[T ′p]AT[2T ′p]

...

AT[pT ′p]

= −

Cχ[T ′p]Cχ[2T ′p]

...

Cχ[pT ′p]

,

mp×mp m×mp m×mp

(5.11)

por lo que la secuencia de centelleo logarítmico que se construye tras la aplicación delmodelo AR ya no es exactamente la indicada en la ecuación (5.7), sino una versión diez-

mada de la misma, χd[n] =[χ

(1)d [n] χ

(2)d [n] . . . χ

(m)d [n]

]T

. Posteriormente, se debe

aplicar un proceso de interpolación, necesario para poder construir las secuencias deseadasen instantes de tiempo sucesivos; procediendo así, se acelera todo el proceso de cómputopara la generación de tales secuencias sin temor a falsear los resultados. Finalmente, aligual que en el Capítulo 3, cada una de las fluctuaciones de la amplitud logarítmica delcentelleo atmosférico, X[n], obtenidas tras el modelo AR, deben ser procesadas por undispositivo no lineal sin memoria que se encargue de realizar la transformación estadísticade la señal entrante, de naturaleza gaussiana, a una distribución logarítmico-normal paralas secuencias de salida, tal y como predice el método de Rytov, y que caracteriza ple-namente la fluctuación de potencia que percibe cada uno de los receptores. El diagramacompleto que recoge todas las etapas implicadas en este proceso aparece representado enla Figura 5.1, donde z(t) hace referencia a un conjunto de m secuencias incorreladas, tantotemporalmente como entre sí, que sirve de semilla para la generación de w[n] a partir dela propia matriz Cw, la cuál se ha obtenido tras la aplicación del modelo AR.

En particular, el vector de las distintas secuencias de centelleo logarítmico diez-

madas temporalmente, χd[n] =[χ

(1)d [n] χ

(2)d [n] . . . χ

(m)d [n]

]T

, dispondría sus mues-

tras equiespaciadamente cada T ′p. Puesto que Cχ[lT ′p] = Eχ[n + lT ′p]χ[n]T , a partir dela expresión (5.5), la matriz de covarianzas, Cχ[lT ′p], adopta la forma:

159


(1)(1)

(2)(2)

(m)(m)

(HIPÓTESIS DE TAYLOR)

(1)

(2)

(m)

Figura 5.1: Diagrama de bloques que representa la generación de m secuencias de centelleo denaturaleza logarítmico normal y de igual potencia usando un modelo autorregresivo (AR).

Cχ[lT ′p] =

σ2χ exp

−

(lT ′pτ0

)2

σ2χbχ(d12 + lu⊥T ′p) ... σ2

χbχ(d1m + lu⊥T ′p)

σ2χbχ(d21 − lu⊥T ′p) σ2

χ exp−

(lT ′pτ0

)2

... σ2χbχ(d2m + lu⊥T ′p)

... ... ... ...

σ2χbχ(dm1 − lu⊥T ′p) σ2

χbχ(dm2 − lu⊥T ′p) ... σ2χ exp

−

(lT ′pτ0

)2

m×m

(5.12)

Se aprecia cómo las celdas que quedan justo en la parte inferior a la diagonal principaltienen el término lu⊥T ′p con el signo cambiado respecto a las celdas de la parte superior.Ello se justifica directamente de la aplicación de la hipótesis de Taylor; así, tomándose comoreferencia el escenario esbozado en la Figura 5.2 (a), donde la componente perpendiculardel viento sopla desde el receptor 1 hacia el receptor 2, siendo las secuencias de centelleocaptadas por cada detector las mostradas en la Figura 5.2 (b), es inmediato comprobarcómo, al calcular χ(1)[n + l]χ(2)[n], media una mayor separación entre muestras si éstas seconsideraran sobre una única secuencia de centelleo respecto a calcular χ(1)[n]χ(2)[n]. Sepuede proceder así puesto que, en esencia, ambas secuencias son idénticas, pero retardadaspara poder satisfacer la hipótesis de la turbulencia congelada. Sin embargo, si se realiza laoperación χ(2)[n + l]χ(1)[n], se comprueba cómo se ha reducido la distancia respecto al pico

160


(a)

0 l

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Tiempo (s.)

Am

plitu

d

Centelleo captado por Rx 1Centelleo captado por Rx 2

x1[n]

x2[n]

x1[n+l]

x2[n+l]

X

X

X

X

(b)

Figura 5.2: (a) Escenario típico con un transmisor y dos receptores en un ambiente óptico atmos-férico. Se asume, admitiendo la hipótesis de Taylor de turbulencia congelada, que la componentedel viento perpendicular al sentido de propagación del haz de luz tiene un sentido desde el receptor1 al receptor 2. (b) Secuencias de centelleo vistas por los receptores 1 y 2 de acuerdo con lascondiciones expresadas en (a).

de máxima amplitud que representa el valor de la secuencia de centelleo que, en el instantenT ′p, está captando el receptor 1. Por lo tanto, el valor de correlación cruzada entre las dossecuencias para este último supuesto será mayor que en el caso en el que sea la secuenciacaptada por el receptor 1 la que aparezca desplazada temporalmente lT ′p segundos.

El sistema de ecuaciones dado en (5.10) puede resolverse eficientemente mediante laaplicación del algoritmo de Levinson-Wiggins-Robinson [23], de manera que se determine

161


el valor de las matrices de parámetros, AT [k] , del modelo AR. Una vez obtenidas talesmatrices, es posible calcular una matriz de covarianzas, Cw, para el ruido de predicción,w[n], que caracterice el comportamiento de las secuencias de centelleo, χ[n], que se pre-tenden generar. Por la forma en que es construida tal matriz, Cw = Ew[n]w[n]T , sededuce inmediatamente que es simétrica y puede ser generada, según [23], mediante laexpresión

Cw = Cχ[0] +p∑

k=1

Cχ[−k]AT [k], (5.13)

que no es más que la generalización del resultado obtenido para hallar el valor de la varianzadel ruido de predicción en un modelo AR, pero aplicado a un sistema de ecuaciones cuyascomponentes son, a su vez, matrices.

5.1.1 Factorización de Cholesky

Una vez obtenida la matriz Cw, se procede a calcular el ruido de predicción, w[n], queacompaña a la generación de las secuencias χ[n] en (5.7), mediante la factorización de esamatriz Cw. En la bibliografía está ampliamente extendido aplicar el método de la descom-posición de Cholesky [12]-[13] para la generación de procesos gaussianos correlados. Entresus aplicaciones prácticas más extendidas está la de servir de simiente al modelo propuestopor Jakes [24], permitiendo la generación de secuencias de desvanecimiento correlado decualquier naturaleza estadística (Rayleigh, Rice, Nakagami, logarítmico-normal, etc).

El procedimiento que aquí se emplea para incluir el método de descomposición deCholesky en la generación de secuencias de centelleo atmosférico consiste en, primero,construir m secuencias de naturaleza gaussiana e independientes entre sí, denotadas comoz[n]=[z(1)[n] z(2)[n] . . . z(m)[n]]T en la Figura 5.1, donde su matriz de correlaciónresponde a:

Rzz = Ez[n]zT [n] = Im, (5.14)

siendo Im la matriz identidad de m elementos. Como se ha analizado, a partir de losprocesos gaussianos recogidos en z[n], se formarán las secuencias w[n] cuya correlaciónespacio-temporal viene marcada por la matriz de covarianzas Cw. Para ello, se efectúa sufactorización utilizando el método de Cholesky, tal y como se indica en [25], encontrándoseuna matriz triangular inferior, L, tal que Cw = LLT ; donde L es la matriz de coloreadoque se utiliza para generar las secuencias correladas y gaussianas, w[n], a través de la

162


transformación w[n] = Lz[n]. De tal forma que, haciendo uso de la relación (5.14), seobtiene:

Ew[n]wT [n] = ELz[n]zT [n]LT = LLT = Cw. (5.15)

Puesto que la construcción de las secuencias w[n] viene dada por una suma pon-derada de las componentes de z[n], y ya que todas las secuencias incluidas en z[n] sonde naturaleza gaussiana, w[n] mantendrá la naturaleza gaussiana en todas las secuenciasw(1)[n] . . . w(m)[n].

Por último, conseguidas las secuencias w[n], se puede obtener directamente χd(t),como versión diezmada de la secuencia a obtener dada por la ecuación (5.7), para finalmenteobtener mediante interpolación, los coeficientes χ(t).

5.1.2 Descomposición matricial alternativa propuesta

El procedimiento expuesto en la sección anterior tiene una gran limitación, que yafue mencionada en [15], aunque sin llegar a solventarla. En particular, la factorización deCholesky impone como restricción que la matriz a factorizar, en este caso Cw, deba serdefinida positiva, esto es, que todos sus autovalores, λi, ∀i = 1...m, sean positivos. Encaso contrario, la descomposición de Cholesky no puede acometerse. De hecho, no siemprees posible satisfacer que la matriz Cw sea definida positiva; así, si existen inconsistenciasentre las propiedades estadísticas de las variables aleatorias, manifestadas por ejemplo, porla existencia de entornos especiales [19], que más adelante serán discutidos, la construcciónde la matriz Cw a partir de una estimación experimental podría dar como resultado unamatriz no definida positiva. Estos entornos deben caracterizarse por una muy significativacorrelación espacial entre las fluctuaciones que capten dos fotodetectores separados unadistancia d que, sin embargo no se mantiene con respecto a un tercer detector separadouna misma distancia d del segundo. Esta situación provoca que la estimación de Cw apartir de datos experimentales haga que tal matriz deje de ser definida positiva, segúnse recoge en [26]. La presencia de valores atípicos en las mediciones (outliers) [27], comoconsecuencia de algún mal funcionamiento de un equipo, errores en la transmisión y/otranscripción, e incluso falta o pérdida de información, puede acrecentar la opción deencontrar una matriz de covarianzas no definida positiva.

Otra posibilidad que impide asegurar que la matriz a factorizar sea definida positivaes la existencia de errores al trabajar con una aritmética en punto flotante. Aunque todamatriz de covarianzas teórica es, por definición, definida positiva o, al menos, semidefinidapositiva, sin embargo, cuando los cálculos se efectúan en un ordenador, se producen pe-

163


queñas desviaciones respecto al valor teórico por las propias restricciones impuestas al tra-bajar en una aritmética en punto flotante. Este hecho restringe seriamente la utilización delalgoritmo de Cholesky, sobre todo si el número de receptores, m, aumenta. En particular,el algoritmo de Cholesky es inestable para cualquier matriz singular que sea semidefinidapositiva, así como para aquellas matrices que tengan alguno de sus autovalores próximoa cero [28]. En el escenario particular presentado en este capítulo, una vez se resuelva elmodelo AR y se obtenga la matriz de errores de predicción, Cw, es inmediato observarcomo tal matriz está, en general, constituida por magnitudes muy pequeñas, de forma quesus autovalores van a estar muy próximos a cero. Concretamente, tal y como se mostrarámás adelante dentro de este mismo apartado, tales magnitudes pueden oscilar en tornoa 10−15 - 10−16, e incluso menores. Tales valores contribuyen a que el error de redondeopueda magnificarse, de forma que el algoritmo de Cholesky se haga inestable y no puedaser utilizado, aun cuando la matriz de covarianzas del error de predicción, Cw, fuese, deutilizarse precisión infinita, definida positiva. Tal situación es bastante probable y fue yaregistrada en [29], donde en 988 de entre las 1000 situaciones probadas en ese trabajo, seoriginó una matriz de covarianzas no definida positiva, aunque la correspondiente matrizde partida fuese definida positiva. Como ya se ha resaltado, para matrices de covarian-zas de dimensiones mayores, aumenta la probabilidad de cometer un error de redondeo acausa de utilizar aritmética en punto flotante con precisión finita y, por tanto, aumentala probabilidad de convertir la matriz de covarianzas en una matriz no definida positiva;este hecho se debe fundamentalmente a que el número de condiciones que deben verificarsepara evitar cualquier tipo de inconsistencia numérica se ve incrementado linealmente conel orden de la matriz de covarianzas.

Es especialmente interesante este último aspecto ya que imposibilitaría implementarla técnica de Cholesky de factorización de matrices en situaciones reales tan comunes comolas que implican una estimación de las prestaciones ofrecidas por un enlace. Para solventareste inconveniente, se propone en [30, 31, 32] una estrategia basada en la descomposiciónmatricial de Schur [33] que relaja las restricciones impuestas por el método de Cholesky.Así, sea la matriz simétrica Cw ∈ <m×m; al ser simétrica, Cw garantiza que todos sus auto-valores son reales [33]; entonces existe una matriz unitaria Q ∈ <m×m (matriz ortogonal)de forma que

QTCwQ = Λ = diag(λ1, ...λm), (5.16)

tal y como se mostró en [33], en la que el superíndice T indica nuevamente operadortraspuesto, siendo Λ una matriz diagonal constituida por los autovalores de la matriz Cw,denotados como λi, ∀i = 1...m.

164


Con esta descomposición de Schur, se permite a la matriz de partida, Cw, tener auto-valores nulos, aspecto que no era posible con la descomposición de Cholesky, según seindica en [15]. Sin embargo, van a existir casos particulares, como los ya mencionados conanterioridad, en los que la matriz Cw presente algún autovalor negativo. Este hecho, enprincipio y a diferencia de la factorización de Cholesky, no es un impedimento para realizarla descomposición de Schur aunque, como se explicará más adelante, no permitiría su usopara generar secuencias de desvanecimiento correlado. Cuando acaezca esta circunstancia,se propone ajustar la descomposición de Schur de manera que se aproxime la matriz departida, Cw, por una matriz semidefinida positiva, Cw, lo más cercana a la matriz origi-nal. En función de cómo se optimice esa distancia, se pueden establecer varios escenariosposibles, de entre los que se desarrollarán dos en particular [30]-[31].

Escenario genérico: optimizando respecto a la norma Frobenius

Para obtener la matriz semidefinida positiva, Cw = cw(i,j)mi,j=1, más cercana a la

matriz de partida que se desea factorizar, Cw = cw(i,j)mi,j=1, se buscará aquélla que

minimice la distancia que las separa, donde tal distancia se calculará mediante una normamatricial [34], denotada por ‖ · ‖, y cuyo significado es análogo a las normas vectoriales,aunque aplicado a matrices:

δ(Cw) = mineCw=eCT

w≥0‖Cw − Cw‖, (5.17)

donde, siguiendo la notación dada en [35], Cw ≥ 0 indica que la matriz Cw no posee ningúnautovalor negativo. De esta forma, la matriz semidefinida positiva, Cw, es conocida comoel aproximante positivo de Cw. Tal y como se indica en [34], se dice que Cw es unaproximante positivo de Cw si Cw es semidefinida positiva y además satisface el requisitode mínima distancia de separación entre Cw y Cw.

Entre las múltiples normas matriciales que se definen en la literatura [33], se tomacomo referencia en este escenario específico la norma de Frobenius, detallada en [33] yrepresentada por:

‖Cw − Cw‖F =√

tr(

Cw − Cw

)H(Cw − Cw

), (5.18)

donde el operador tr· representa la traza de la matriz que, para el producto de dosmatrices genéricas, A = a(i,j)m

i,j=1 y B = b(i,j)mi,j=1, se expresa como:

165


trAB =m∑

i=1

m∑

j=1

a(i,j)b(j,i). (5.19)

Sustituyendo (5.19) en (5.18), se obtiene finalmente:

‖Cw − Cw‖F =

√√√√m∑

i=1

m∑

j=1

|cw(i,j)− cw(i,j)|2. (5.20)

El hecho de optimizar respecto a la norma Frobenius implica que sólo exista una únicamatriz Cw que cumpla como aproximante positivo de Cw [35]. Como se comentó en elapartado anterior, al ser Cw simétrica, admite una descomposición de Schur, según seindicó en (5.16), de forma que

Cw = QΛQT . (5.21)

Si se construye ahora la matriz Y = QT CwQ, entonces, por definición Y y Cw

son matrices semejantes, por lo que compartirán el mismo polinomio característico y, porconsiguiente, los mismos autovalores [36]. Entonces, es posible operar (5.18) del modoindicado en el Apéndice IV, para finalmente obtener:

‖Cw − Cw‖2F = ‖Λ−Y‖2

F . (5.22)

Aplicando las relaciones (5.19) y (5.20) a (5.22), es inmediato deducir que:

‖Cw − Cw‖2F = ‖Λ−Y‖2

F =∑

i6=j

y2(i,j) +m∑

i=1

(λi − y(i,i))2 , (5.23)

donde Y = y(i,j)mi,j=1, mientras que Λ es la matriz diagonal que contiene los autovalores

λi de la matriz Cw. Puesto que, según se indica en [37], toda matriz semidefinida positivano contiene ningún elemento de magnitud negativa dentro de su diagonal principal que,para el caso particular que se está tratando, se traduce en y(i,i) ≥ 0 ∀i = 1 . . . m, esinmediato, entonces, establecer una cota inferior para la norma de Frobenius indicada en(5.23) del modo que se muestra a continuación:

‖Cw − Cw‖2F =

∑

i6=j

y2(i,j) +m∑

i=1

(λi − y(i,i))2 ≥∑

λi<0

(λi − y(i,i))2 ≥∑

λi<0

(λi)2 (5.24)

166


Si se desea que el valor obtenido de la norma de Frobenius sea el mínimo indicadopor (5.24), esto es, que estrictamente ‖Cw − Cw‖2

F =∑

λi<0 (λi)2 de manera que, según

la norma Frobenius, la matriz semidefinida positiva que se forme sea aquella más cercanaen distancia a la matriz de covarianzas original de partida, Cw, se debe entonces cumplir:

y(i,j) = 0, ∀i 6= j

y(i,i) = λi, ∀λi ≥ 0y(i,i) = 0, si λi < 0

(5.25)

Todas esas condiciones fuerzan a que la forma de la matriz Y sea estrictamente dia-gonal respondiendo a la estructura:

Y = diag (di) , ∀i = 1 . . . m (5.26)

en la que sus entradas, di, tienen las siguientes magnitudes:

di =

λi, si λi ≥ 00, si λi < 0

∀i = 1, 2...m. (5.27)

Puesto que Y = QT CwQ, es posible despejar el aproximante positivo de Cw, cuyaexpresión viene dada por:

Cw = Q YQT = Q diag (di)QT . (5.28)

Procediendo así, Cw = Q diag (di)QT representa a la matriz semidefinida positivamás cercana a la matriz de partida, Cw, de acuerdo con el criterio de optimización de lanorma Frobenius. Finalmente, por analogía a (5.21), la expresión (5.28) puede verse como:

Cw = Q (Λ + Υ)QT , (5.29)

donde se le ha añadido la matriz de perturbación, Υ, a la matriz diagonal, Λ, que se utili-zaba para formar Cw. En particular, la matriz Υ es una matriz diagonal cuyos elementos,υi, toman los siguientes valores:

υi =

−λi, si λi < 0;0, si λi ≥ 0;

∀i = 1, 2...m. (5.30)

167


Escenario específico: optimizando respecto a la norma-2

Con todo lo desarrollado en el apartado anterior, se ha conseguido obtener la matrizsemidefinida positiva, Cw = cw(i,j)m

i,j=1, más cercana en distancia a la matriz de partida,Cw = cw(i,j)m

i,j=1, siguiendo el criterio de minimizar la norma Frobenius [33]. Para dichocaso particular, se ha visto como sólo existe una única matriz que satisfaga ese requisito, taly como se mostró en (5.28). Sin embargo, existen más definiciones de normas matriciales,las cuáles pueden ser consultadas en [33], siendo otra de las más importantes la conocidacomo norma-2. De esta forma, es posible encontrar la matriz Cw = cw(i,j)m

i,j=1 que másse acerque a Cw = cw(i,j)m

i,j=1 mediante la optimización de la norma-2, definida como:

‖Cw − Cw‖2 =√

ρ(

Cw − Cw

)H(Cw − Cw

), (5.31)

según se enuncia en [33]; donde ρ(

Cw − Cw

)H(Cw − Cw

)es el radio espectral de

(Cw − Cw

)H(Cw − Cw

), esto es, el mayor autovalor, en valor absoluto, de dicho pro-

ducto de matrices. Como particularidad respecto al escenario anterior, la optimizaciónde la norma-2 conlleva, en general, la obtención de múltiples soluciones que ejercerían deaproximante positivo a Cw; a diferencia del caso anterior, donde sólo existía un únicoaproximante positivo a Cw.

Si se calcula el radio espectral dado en (5.31) de la forma indicada en el Apéndice V,se obtiene:

ρ(

Cw − Cw

)H(Cw − Cw

)= ρ

ΥTΥ

(5.32)

donde Υ es la matriz de perturbación que se añade a la matriz diagonal, Λ, de idénticamanera a como se muestra en (5.29), donde Λ es la matriz diagonal obtenida tras ladescomposición factorial de Schur de la matriz de covarianzas Cw.

Una primera inspección de (5.32) permite discernir que existen múltiples posibilidadespara configurar la matriz Υ, siempre que su suma a Λ genere una matriz semidefinidapositiva. Una de las posibilidades más sencillas consiste en hacer que Υ sea una matrizdiagonal de forma que, aprovechando la ortogonalidad de las columnas de la matriz Q,la matriz Cw generada posea un enorme parecido a la matriz original de partida, Cw.Para conseguir este propósito, los elementos de la matriz de perturbación diagonal, Υ,se definen como υi = −λ ∀ i = 1...m [30, 31], siendo λ el autovalor negativo de mayorvalor absoluto que presenta la matriz Cw.

Al igual que ocurre en el escenario anterior, se obtiene una mayor precisión cuanto

168


menos se altere a Λ. El límite es, de nuevo, la magnitud necesaria que permita cancelarel autovalor negativo que presenta Cw para, de esta forma, aproximarla por la matrizsemidefinida positiva más cercana a la original.

Se puede deducir fácilmente que este segundo escenario optimiza respecto a la norma-2,ya que Υ presentará m veces el mismo autovalor λ; pero además se consigue optimizar lasnormas 1 e ∞, cuyas expresiones, dadas en [33], son:

‖Cw − Cw‖1 = max1≤j≤m

m∑

i=1

|cw(i,j)− cw(i,j)|; (5.33a)

‖Cw − Cw‖∞ = max1≤i≤m

m∑

j=1

|cw(i,j)− cw(i,j)|. (5.33b)

En efecto, si Υ es diagonal, la norma-1 y la norma-∞ coinciden. Si además, como esel caso, todos los elementos de la diagonal tienen el mismo valor, ambas normas coincidirántambién con el valor de la norma-2.

Como comentario final a este segundo escenario, se ilustra el gran parecido obtenidoentre Cw y Cw. Así, supóngase una matriz de covarianzas del error de predicción, w[n],no definida positiva expresada como

Cw =

2.173 · 10−12 3.031 · 10−13 1.790 · 10−13 3.804 · 10−13 4.921 · 10−12

3.031 · 10−13 5.076 · 10−14 3.673 · 10−14 9.848 · 10−14 9.395 · 10−13

1.790 · 10−13 3.673 · 10−14 2.830 · 10−14 8.608 · 10−14 8.205 · 10−13

3.804 · 10−13 9.848 · 10−14 8.608 · 10−14 2.466 · 10−13 3.002 · 10−12

4.921 · 10−12 9.395 · 10−13 8.205 · 10−13 3.002 · 10−12 9.964 · 10−11

,

(5.34)

siendo las magnitudes de sus autovalores: λ1 = 10−10, λ2 = 2 · 10−12, λ3 = 1.5 · 10−13,λ4 = −6 · 10−15 y λ5 = −10−15. Si se aplica el procedimiento indicado en la descripcióndel actual escenario, basado en la optimización respecto a la norma-2, se obtiene queΥ = 6 · 10−15 × I5, siendo I5 la matriz identidad de quinto orden. Por tanto, de acuerdocon (5.29), y utilizando la definición dada en este escenario específico para la matriz deperturbación, Υ, el aproximante positivo de Cw respecto a la norma-2 tendrá la forma:

169


Cw =

2.179 · 10−12 3.031 · 10−13 1.790 · 10−13 3.804 · 10−13 4.921 · 10−12

3.031 · 10−13 5.676 · 10−14 3.673 · 10−14 9.848 · 10−14 9.395 · 10−13

1.790 · 10−13 3.673 · 10−14 3.430 · 10−14 8.608 · 10−14 8.205 · 10−13

3.804 · 10−13 9.848 · 10−14 8.608 · 10−14 2.523 · 10−13 3.002 · 10−12

4.921 · 10−12 9.395 · 10−13 8.205 · 10−13 3.002 · 10−12 9.965 · 10−11

,

(5.35)

que solamente ofrece diferencias en su diagonal principal respecto a la matriz de covarianzasde partida Cw.

Por último, hay que reseñar que para el caso en el que la matriz inicial de covarianzas,Cw, no fuese simétrica, la descomposición de Schur se escribiría como [30]:

Cw = QUQT , (5.36)

siendo U ∈ <m×m una matriz triangular superior [33] en la que su diagonal principal sigueestando formada por los autovalores de Cw. En estas circunstancias, se reduce la matrizU a su diagonal principal, con el objetivo de que la matriz de coloreado necesaria paraformar las secuencias w[n] se pueda construir, tal y como se verá en el siguiente apartado;junto a esto, se genera la matriz Υ del modo indicado en esta sección, en función de sise optimiza respecto a la norma-2 o respecto a la norma Frobenius. Posteriormente, seobtendría el aproximante positivo mediante la igualdad:

Cw = Q[diag(U) + Υ

]QT . (5.37)

5.1.3 Generación de las secuencias de centelleo correlado

Como resultado de todo el proceso realizado hasta ahora, se ha conseguido obtener lamatriz de covarianzas del ruido de predicción, w[n], (o bien su aproximante positivo máscercano) presente en el comportamiento del modelo AR, que permite la implementaciónde las secuencias de la amplitud logarítmica del centelleo, tal y como se puede ver en laigualdad (5.7). Sin embargo, volviendo a la Figura 5.1, el objetivo final es generar m

secuencias correladas, según lo establecido por las condiciones de canal imperantes, quemodelen las fluctuaciones de potencia que captará cada uno de los m receptores, y quedeben seguir una naturaleza logarítmico-normal [2]. Es en esta sección donde se mostraráel proceso necesario para conseguir este propósito. Se pone de manifiesto la necesidad derealizar una factorización adecuada de la matriz Cw, tal y como se ha detallado a lo largo

170


de las secciones 5.1.1 y 5.1.2, de forma que ésta sea, al menos, semidefinida positiva. Así,se posibilita la implementación de todo el procedimiento que a continuación se detalla.

El primer paso será construir las secuencias correladas, w[n], presentes en (5.7), quesirvan de simiente para la generación de las secuencias χd[n]. Para ello, se forma la matrizde coloreado K ∈ <mxm, como:

K = Q (Λ + Υ)1/2, (5.38)

asumiendo que (Λ + Υ) es una matriz diagonal, siendo Υ la matriz de perturbación nece-saria para construir el aproximante positivo de Cw, caso de que ésta no sea al menossemidefinida positiva. La matriz K permitirá colorear las secuencias gaussianas indepen-dientes, z[n], con las que inicialmente se alimenta el modelo AR (Figura 5.1), y formar lassecuencias gaussianas ya correladas entre sí, w[n], cuya correlación viene marcada por lamatriz Cw. Se verifica, según [30], que

KKT =(Q (Λ + Υ)1/2)(

Q (Λ + Υ)1/2)T = Q (Λ + Υ)1/2 ((Λ + Υ)1/2)T

QT =

= Q(Λ + Υ)QT = Cω,(5.39)

tal y como fue mostrado en (5.29). Por supuesto, Cw coincide con Cw si esta última yaera semidefinida positiva. A la vista de la expresión (5.39), se observa la necesidad de quela matriz Cw se aproxime por otra que no contenga ningún autovalor negativo, de maneraque pueda realizarse la raíz cuadrada de (Λ + Υ).

Aplicando ahora lo expuesto en la sección 5.1.1, se generan las m secuencias gaussianasindependientes entre sí, z[n]=[z(1)[n] z(2)[n] . . . z(m)[n]]T , donde lógicamente

Rzz = Ez[n]zT [n] = Im. (5.40)

Calculándose w[n] = Kz[n], se satisface que:

Ew[n] ·wT [n] = EK · z[n]·z[n]T ·KT = KKT = Cω. (5.41)

Las secuencias correladas, w[n], heredan la naturaleza gaussiana de las secuenciasde partida, z[n], al estar constituidas como suma ponderadas de estas últimas. En estepunto, es ya posible obtener χd[n], como versión diezmada de la perturbación logarítmicade amplitud que se buscaba, y dada por la ecuación (5.7). Tras la aplicación de un filtro

171


interpolador, se obtienen las secuencias χ[n] que serán procesadas por un dispositivo nolineal sin memoria, tal y como se explicó en el Capítulo 3. Este dispositivo se va a encargarde realizar la transformación estadística de la señal gaussiana que recibe a su entrada,convirtiéndola en una señal logarítmico-normal propia de las fluctuaciones de potenciacaptadas por cualquier detector dentro de un régimen de turbulencia débil. El procesocompleto puede verse en la Figura 5.1.

En la Figura 5.3 se muestran algunas secuencias temporales generadas con el métodoautorregresivo. En este caso, se asume un escenario con tres receptores operativos, enel que ρd12 = 0.47 y ρd13 = 0.05, correspondientes a unas distancias de separación ded12 = 4 cm y d13 = 16 cm, según se detalla en [30, 31, 32]. Se asume que la longituddel vano es de 2.5 km, que λ = 830 nm, así como que la intensidad de la turbulencia tomael valor σ2

χ = 0.01 << 1, de modo que se justifique el empleo de estadísticos de naturalezalogarítmico-normal para el centelleo atmosférico [38]. Por último, la componente de lavelocidad del viento perpendicular al sentido de la propagación, u⊥, se ha fijado a 1 m/s.

0 0.5 1 1.5 2 2,5 30.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

Am

plit

ud

Tiempo (s.)

Envolvente 1Envolvente 2Envolvente 3

Figura 5.3: Secuencias de centelleo generadas a partir del método AR, con σ2χ = 0.01, u⊥ = 1 m/s,

ρd12 = 0.47 yρd13 = 0.05.

Es inmediato apreciar cómo las secuencias generadas cumplen a la perfección conla hipótesis de Taylor; así, el patrón de centelleo observado en un instante de tiempodeterminado en uno de los detectores es visto de forma idéntica en el siguiente detectortras el transcurso de un intervalo de tiempo. Este intervalo viene caracterizado por la

172


distancia que separa a ambos receptores dividido entre la velocidad del viento, u⊥, deacuerdo con la expresión:

I(r, t + τ) = I(r − u⊥τ, t). (5.42)

ofrecida en [1]. En concreto, si se realiza un zoom de la Figura 5.3, se obtiene la gráficarepresentada en la Figura 5.4,

0 0.5 1 1.50.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

X: 25.01Y: 1.678

X: 24.85Y: 1.68

Am

plit

ud

Tiempo (s.)

Envolvente 1Envolvente 2Envolvente 3

X: 24.97 Y: 1.678

Figura 5.4: Vista en detalle de las secuencias de centelleo generadas a partir del método AR, conσ2

χ = 0.01, u⊥ = 1 m/s, ρd12 = 0.47 yρd13 = 0.05.

donde es posible medir el retardo temporal, ∆τij , entre las distintas secuencias. Así:

∆τ12 = |25.01− 24.97| = 0.04 s;

∆τ13 = |25.01− 24.85| = 0.16 s;

∆τ23 = |24.97− 24.85| = 0.12 s.

A partir de la hipótesis de Taylor, se calcula el retardo esperado, ∆τTaylor = dij/u⊥,siendo dij la distancia entre los puntos i y j en el plano del receptor, mientras queu⊥ = 1 m/s es la componente del viento en la dirección perpendicular al sentido de propa-gación. Puesto que d12 = 4 cm, d13 = 16 cm y, por consiguiente, d23 = d13 − d12 = 12 cm,

173


se tendrá:∆τTaylor = d12/u⊥ = 0.04 s;

∆τTaylor = d13/u⊥ = 0.16 s;

∆τTaylor = d23/u⊥ = 0.12 s.

Efectivamente, se ve una total coincidencia entre los resultados obtenidos en la simula-ción y los esperados teóricamente, por lo que el método autorregresivo permite la generaciónde secuencias de centelleo correladas espacio-temporalmente, de acuerdo con la hipótesisde Taylor de la turbulencia congelada. Finalmente, en la Figura 5.5, se ha mostrado unacomparativa entre la función de covarianza estimada a partir de las secuencias numéricasobtenidas mediante simulación; y la función de covarianza normalizada teórica, obtenidaa partir de la relación gaussiana mostrada en (5.12) y heredada del trabajo realizado enel Capítulo 3 para obtener una aproximación fidedigna al espectro atmosférico de Kol-mogorov.

0 0.5 1 1.5 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Tiempo (τ/τ0)

bχ(

τ,L

)=B

χ(τ,

L)/

Bχ(

0,L

)

Curva teóricaSimulación numérica

bχ1χ

1(τ,L)= bχ

2χ

2(τ,L)= bχ

3χ

3(τ,L)

bχ1χ

2(τ,L)

104⋅ bχ1χ

3(τ,L)

5⋅102⋅ bχ2χ

3(τ,L)

Figura 5.5: Función de covarianza normalizada dibujada en función del tiempo, τ , escalado por eltiempo de correlación de la turbulencia, τ0, para una onda plana; donde u⊥ = 1 m/s y L = 2.5 km.

174

5.2. ENTORNOS QUE NO SATISFACEN LA HIPÓTESIS DE TAYLOR

5.2 Entornos que no satisfacen la hipótesis de Taylor

El esquema de simulación mostrado en la Figura 5.1 asume que se satisface plenamentela hipótesis de Taylor de la turbulencia congelada, algo que está ampliamente aceptadoen la literatura para simplificar todo el aparato matemático que caracteriza a la dinámicaturbulenta de fluidos. Sin embargo, esto es sólo una aproximación cuyo límite de validez sediscute en el contexto de fuertes fluctuaciones de velocidad comparadas con la velocidadmedia del flujo. De hecho, los resultados mostrados en la Figura 5.4, aunque esencial-mente correctos, parecen antinaturales. Es cierto que las fluctuaciones de irradiancia quedescribe el haz de luz que se propaga son principalmente debidas al movimiento de lascélulas turbulentas atmosféricas a velocidad u⊥. Sin embargo, además de este movimiento,las inhomogeneidades del medio atmosférico también se caracterizan por un movimientointrínseco aleatorio que ocasiona fluctuaciones aleatorias en la velocidad del viento, y quese origina por la evolución dinámica de la propia turbulencia. Estas fluctuaciones de ve-locidad son del orden de vl = (ε

√λL)1/3 [1], siendo ε la tasa de disipación de la energía

turbulenta. En concreto, esta ε representa el factor de energía que se entrega a la formaciónde celdas turbulentas cada vez más pequeñas a partir de otras de mayor tamaño, hastaque el efecto de la viscosidad del fluido atmosférico termina convirtiendo en calor dichaenergía, fundamentalmente cinética, de cada célula turbulenta [39]. El tiempo durante elcual la componente de velocidad aleatoria, vl, permanece constante es τe = (

√λL)2/3

ε1/3 , loque se conoce como el tiempo de vida medio de las células turbulentas. Por supuesto, eltiempo que necesita una inhomogeneidad atmosférica en recorrer una distancia

√λL es de√

λLu⊥

, por lo que, según [1], la componente aleatoria de la velocidad podría ser ignorada si

u⊥ >>(ε√

λL)1/3

, (5.43)

asumiendo que√

λL es el tamaño medio de una célula atmosférica turbulenta. Aunqueesas fluctuaciones de velocidad sean, en general, muy pequeñas en relación con u⊥, supresencia origina una pérdida de correlación entre las distintas secuencias de centelleo,tanto mayor cuanto más intensas sean las fluctuaciones. En este sentido, lo que capte unreceptor ya no va a ser una réplica exacta de lo que haya captado el receptor anterior, si seasume un sistema de comunicaciones con múltiples receptores, sino que la propia evolucióndinámica de la turbulencia provocará una ruptura parcial de la uniformidad impuesta porla hipótesis de la turbulencia congelada..

Afortunadamente, en [39]-[40] se recoge una expresión que relaciona el parámetro ε

con la intensidad de la turbulencia, oscilando su valor entre 10−5 a 10−1 m2/s3. Por tanto,se puede establecer el factor de aleatoriedad introducido por la propia evolución de laturbulencia como el ratio:

175


ρl =τ0

τe=

(ε√

λL)1/3

u⊥< 1. (5.44)

Conocido este factor, se puede modelar el efecto de la evolución de la turbulenciagenerando un nuevo conjunto de m secuencias ponderadas por ese factor ρl. Tales secuen-cias se agregarían a los patrones de centelleo generados en la sección anterior mediante eluso del modelo AR, aunque estas últimas ponderadas por 1− ρl.

5.2.1 Secuencias espacio-temporalmente separables

Puesto que el efecto de considerar los tiempos de vida de los remolinos turbulentossólo contribuye a disminuir el porcentaje de cumplimiento de la hipótesis de la turbulenciacongelada, se puede partir de los trabajos realizados en [13, 14, 15, 41] para radiofrecuencia,buscando generar secuencias que verifiquen la matriz de covarianzas impuesta, Cχ, perocuyos estadísticos espacio-temporales sean separables. Así, las secuencias que se generenpara cada receptor no serán réplicas desplazadas en el tiempo, sino que en principio puedentener cualquier forma, siempre que cumplan los requisitos de correlación marcados porCχ. De esta manera, al añadirse a los patrones de centelleo previamente generados conel modelo autorregresivo, romperán en mayor o menor medida (en función del peso quetenga el parámetro ρl) el grado de satisfacción de la hipótesis de la turbulencia congelada.

Para ello, primero se realiza un coloreado de la secuencias gaussianas de partida enel espacio y luego, mediante el tipo de filtrado introducido en el Capítulo 3, se realiza elcoloreado en el tiempo. En este caso, al romper la relación espacio-temporal, la matriz decoloreado se construye de manera inmediata una vez se ha factorizado la matriz Cχ. Paratal fin, es posible aplicar la descomposición matricial de Schur tal y como se propone eneste capítulo, aplicando cualquiera de las optimizaciones (respecto a la norma-2 o respectoa la norma Frobenius) para encontrar su aproximante positivo, en el caso de que la matrizde partida fuese definida negativa. En general, se obtiene que:

Cχ = Q (Λ + Υ)QT , (5.45)

siendo Cχ el aproximante positivo de Cχ, Q la matriz ortogonal obtenida tras la descom-posición de Schur, Λ la matriz diagonal con los autovalores de Cχ, mientras que Υ es lamatriz de perturbación necesaria para eliminar los posibles autovalores negativos de Cχ.

Tras el proceso de factorización, se forma la matriz de coloreado, K ∈ <m×m, delmismo modo que en la sección 5.1.3, según se indicó en la expresión (5.38). Repitiendo

176


todo el proceso expuesto en las ecuaciones (5.39)-(5.41), se obtiene un conjunto de secuen-cias gaussianas correladas entre sí, zcorr[n]= Kz[n], que han sido generadas a partir delconjunto de secuencias gaussianas de partida, z[n], incorreladas entre sí, de la forma:

E[zcorr[n]·zTcorr[n]] = E[K·z[n]·z[n]T ·KT] = KKT = Cχ, (5.46)

que, efectivamente, provoca que las secuencias gaussianas de partida presenten, al términode este proceso, la correlación marcada por la matriz de covarianzas de las fluctuacionesde la amplitud logarítmica, Cχ, la cual coincidirá con la matriz Cχ original en el caso deque ésta ya fuese semidefinida positiva.

Finalmente, cada una de las secuencias z(i)corr[n], ∀i = 1...m que conforman zcorr[n],

mantendrá los estadísticos gaussianos. Por este motivo, pueden ser filtradas conforme alesquema propuesto en [42] con el fin de colorear en el tiempo las secuencias, zcorr[n], quereciben a su entrada. Así, en cada rama se obtendrá la perturbación de amplitud logarít-mica, χ

(i)sep[n], ∀i = 1...m, con estadísticos espacio-temporales separables. A continuación,

su función densidad de probabilidad es transformada de modo que adquiera un compor-tamiento logarítmico-normal, de idéntica forma a como se actuaba en el Capítulo 3. Elproceso completo puede verse en la Figura 5.6.

sc

(1)

sc

(2)(2)

sc

(m)(m)

(1)

(2)

(m)

(1)

Figura 5.6: Diagrama de bloques que representa la generación de m secuencias de centelleo denaturaleza logarítmico normal y de igual potencia utilizando un modelo de estadísticos separablesque permita modelar la propia evolución dinámica de la turbulencia.

177


5.2.2 Inclusión de la evolución dinámica de la turbulencia en el modelo

En este apartado se pretende incluir la propia evolución dinámica que sufre la turbu-lencia como consecuencia, tanto de la aparición de nuevas celdas turbulentas, como de ladesaparición de torbellinos ya existentes. Para ello, se propone añadir de forma ponde-rada el patrón de centelleo generado mediante el modelo de estadísticos separables, que deahora en adelante se denotará como χsep[n], a las secuencias obtenidas a partir del modeloautorregresivo, denotadas como χAR[n]; de forma que se rompa parcialmente, y de formacontrolada, el grado de cumplimiento de la hipótesis de Taylor. Sea pues,

χ[n] =(1− ρl)√

(1− ρl)2 + ρ2

l

χAR[n] +ρl√

(1− ρl)2 + ρ2

l

χsep[n], (5.47)

con χAR[n]=[χ(1)AR[n] χ

(2)AR[n] . . . χ

(m)AR [n]]T y χsep[n]=[χ(1)

sep[n] χ(2)sep[n] . . . χ

(m)sep [n]]T .

Se asume que:

E[χAR[n] · χT

AR[n]]

= E[χsep[n] · χT

sep[n]]

= Cχ. (5.48)

Nuevamente, tanto si la matriz de covarianzas del modelo AR, Cw, como la matriz decovarianzas de la fluctuación logarítmica de amplitud en el modelo de estadísticos separa-bles, Cχ, no fuesen semidefinida positiva, se utilizaría la técnica del aproximante positivoque se ha explicado a lo largo de este capítulo. Puesto que las secuencias gaussianas, zAR[n]y zsep[n], a partir de las cuales se generan χAR[n] y χsep[n] respectivamente, están incorre-ladas entre sí, una vez generadas éstas, tendrán una correlación espacial marcada por laecuación (5.48); pero, al no haber realizado ningún tipo de procedimiento que relacioneespacialmente a χAR[n] con χsep,[n], y puesto que el conjunto de secuencias gaussianas departida que generaban a una y otra están incorreladas entre sí, en general se verifica que:

E[χAR[n] · χT

sep[n]]

= E[χsep · χT

AR[n]]

= 0m, (5.49)

siendo 0m la matriz nula. Utilizando las relaciones (5.47)-(5.49), y operando conveniente-mente, se consigue obtener:

E[χ[n] · χT [n]

]= Cχ. (5.50)

Es en este punto donde se aprecia la necesidad de incluir el factor de normalización1/

√(1− ρl)

2 + ρ2l que acompaña a la expresión (5.47), de forma que la matriz de co-

varianzas de las secuencias así generadas sea la deseada, Cχ. Por supuesto, la hipótesis de

178


Taylor se sigue satisfaciendo en un alto grado, ya que el valor de ρl que modela la evolucióndinámica del medio turbulento es, en general, pequeño. Lógicamente, cuanto mayor sea esefactor, menor relación guardarán los estadísticos espacio-temporales. El proceso completoque permite la generación de secuencias de centelleo, donde se tiene en cuenta tanto lahipótesis de la turbulencia congelada como la evolución dinámica de las propias célulasturbulentas, se contempla en la Figura 5.7, habiendo sido incluido, a su vez, en [30].

Correladas y Gaussianas



FILTRADO DE

INTERPOLACIÓNMODELO AR

(HIPÓTESIS DE TAYLOR)

d (t)z (t)

Incorreladas y Gaussianas

FILTRADO

Hsc( )MATRIZ DE

COLOREADO

zcorr (t)z (t)sep

(t)

(t)

DISPOSITIVO NO

LINEAL SIN MEMORIA

sc(t)

AR

(t)

SECUENCIAS GENERADAS SEGÚN HIPÓTESIS DE TAYLOR

EVOLUCIÓN DINÁMICA DE LA TURBULENCIA ATMOSFÉRICA

Correladas y Lognormales

AR

sep sep

AR

22

l

l

-1

1

l

22

l

l

-1l

Figura 5.7: Diagrama de bloques que representa la generación de m secuencias de centelleo denaturaleza logarítmico normal y de igual potencia usando un modelo autorregresivo (AR) e in-cluyendo un modelo de estadísticos separables que permita modelar la propia evolución dinámicade la turbulencia [30].

En la Figura 5.8 se muestran, superpuestas, las secuencias de centelleo logarítmicode amplitud que captan dos receptores separados por una distancia d12 = 2 cm, siendoel valor de la distancia de coherencia atmosférica, d0, de 4.6 cm. La velocidad del vientoempleada en la simulación es u⊥ = 1 m/s, mientras que la intensidad de la turbulenciautilizada es de σ2

χ = 0.1. Se ha asumido un valor para el factor de aleatoriedad, ρl de0.12, lo que conlleva a que la tasa de disipación de la energía turbulenta adquiera unvalor de ε ≈ 3.8 · 10−2 m2/s3, valor que estaría en la frontera de un régimen de turbulenciadébil a moderada según aparece tabulado en el apéndice C-6 de [40]. Las flechas dibujadassobre las secuencias de centelleo marcan las fluctuaciones de irradiancia que han aparecido,o bien han desaparecido, durante el tiempo necesario para que las células turbulentasque afectaban al primer receptor se encuentren ahora en el campo de visión del segundo.Lógicamente, de la expresión (5.44), cuanto mayor es el tiempo de vida, τe, la secuenciacaptada por un receptor será una réplica más fiel a la que captó el receptor anterior y, por

179


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3. 3.5−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6A

mp

litu

d

Tiempo (s)

Envolvente 1

Envolvente 2

Figura 5.8: Secuencias temporales de la perturbación de amplitud logarítmica, χ(t), captada pordos receptores y de igual potencia teniendo en cuenta tanto la hipótesis de Taylor como la propiaevolución dinámica de la turbulencia. El factor ρl se ha fijado al 12%. La separación entre los dosreceptores es de 2 cm, con d0 ≈

√λL = 4.6 cm, σ2

χ = 0.1 y u⊥ = 1m/s [30].

tanto, cumplirá la hipótesis de Taylor con mayor fidelidad.

La inclusión de la evolución dinámica de la turbulencia según el esquema indicado enla Figura 5.7 es especialmente útil en escenarios sometidos a fuertes fluctuaciones de lavelocidad del viento, o bien a correlaciones espaciales de gran alcance [17]-[18]. Muy rela-cionado con esas fuertes fluctuaciones de la velocidad del viento, a menudo alimentadas porla aparición de vientos de cizalla que inducen a la creación de una elevada energía cinéticaasí como una alta tasa de disipación ε, se encuentran las atmósferas urbanas [19, 21]. Lapresencia de obstáculos, fundamentalmente edificios, provoca que a la altura de sus tejadosse generen fenómenos de turbulencia de gran energía cinética [43], significativamente másintensas para aquellas situaciones en que predomine una componente del viento que sopleen sentido perpendicular a la dirección de la calle o avenida en la que se sitúe el edificio encuestión [19, 21]. Además, este proceso se acentúa tanto por la presencia de la poluciónque envuelve a los entornos urbanos; como por el efecto de flotación (buoyancy), aunquesu intensidad únicamente es notoria durante los días de verano en los que el flujo de calorpuede alcanzar los 300-400 w/m2 [21].

180

5.3. RESULTADOS OBTENIDOS

5.3 Resultados obtenidos

En esta sección se presentan los resultados obtenidos para distintos factores de correla-ción espacial, en configuraciones de dos y tres receptores, y para los dos comportamientosextremos del medio turbulento: 1) pleno cumplimiento de la hipótesis de Taylor (ρl → 0,τe → ∞); y 2) estadísticos espacio-temporales separables en la generación de patrones decentelleo atmosférico (ρl → 1, τe → τ0). En todos los escenarios que se van a presentar, seasume un enlace IM/DD operando con una longitud de onda óptica de 830 nm a 50 Mbpsy a través de un vano de 250 m de longitud. La velocidad del viento empleada es deu⊥ = 20m/s, y totalmente transversal al sentido de la propagación óptica. Claramente,la elección de este valor de velocidad no es una magnitud común, al menos en España, aexcepción de emplazamientos muy particulares en épocas del año muy concretas [44]; sinembargo, su empleo se justifica por simple conveniencia computacional, ya que las longi-tudes de secuencia a simular pueden hacerse algo más cortas, manteniendo, no obstante, elnúmero de muestras necesarias para que el estadístico sea suficientemente representativo.Se emplean pulsos OOK con perfil gaussiano y con ciclo de trabajo del 100 % a no ser quese especifique lo contrario. En particular, los resultados que se presentan no se centran enmostrar la fortaleza de una técnica de señalización respecto a otra, ya que ese tema fueconvenientemente tratado en el capítulo anterior. Simplemente, se desea ver el efecto queproduce, en cuanto a prestaciones, la presencia de una mayor o menor correlación espacial,así como la existencia de una tasa de disipación acusada. Como en toda esta Tesis Doc-toral se viene haciendo, se fija el nivel de potencia óptica transmitida en promedio comoreferencia establecida en cada escenario simulado. Todas estas características se incluyendentro de un esquema de simulación como el presentado en la Figura 4.4, al que ahora sedota de un esquema de combinación de igual ganancia (EGC) en el que tengan cabida losdistintos receptores que intervengan en cada simulación. Por conveniencia matemática, sehan asumido los receptores ubicados en línea. Para hacer patente el efecto de la variabi-lidad temporal de cada secuencia de centelleo, se han vuelto a obtener curvas de ráfagasde error siguiendo, al igual que en el capítulo anterior, la definición dada por Deutsch yMiller [45], empleando nuevamente longitudes de ráfaga de 192 y 64 bits y no permitiendomás de cuatro bits consecutivos correctos (Lb = 5) en el interior de una ráfaga consideradacomo errónea. Se ha implementado, además, un procedimiento de detección de máximaprobabilidad (ML), y se ha asumido que los receptores que intervienen en la simulaciónpueden considerarse como receptores puntuales, para los cuales, la degradación en cuantoa prestaciones originada por el centelleo atmosférico es máxima. No se ha tenido en cuentala atenuación atmosférica a la que se somete todo haz de luz transmitido, dedicando funda-mentalmente la atención en los efectos directamente relacionados de la propia turbulenciaatmosférica. Finalmente, tampoco se ha tenido en cuenta el esparcimiento que sufre el haz

181


de luz propagado, ya que se considera que el tipo de enlace a simular es terrestre (horizontalo cuasi-horizontal), donde la divergencia del haz es típicamente del orden de 10 µRad, porlo que su efecto puede considerarse despreciable.

En la Figura 5.9 se muestra la primera batería de pruebas realizadas en un sistema contres receptores, donde la intensidad de la turbulencia empleada toma los siguientes valores:σ2

χ = 0.25, σ2χ = 0.14 y σ2

χ = 0.1. Además, se han impuesto las siguientes magnitudes paralos coeficientes de correlación entre secuencias:

• ρ12=ρ21=ρ23=ρ32=0.30 y ρ13=ρ31=0.008

• ρ12=ρ21=ρ23=ρ32=0.56 y ρ13=ρ31=0.1

• ρ12=ρ21=ρ23=ρ32=0.79 y ρ13=ρ31=0.1

donde, para el último caso, se hace necesario utilizar alguna de las técnicas expuestas en estecapítulo para conseguir que finalmente no haya ningún autovalor negativo. Este hecho seproduce tanto al desarrollar el modelo autorregresivo, como utilizando el modelo separablede estadísticos espacio-temporales. En particular, en este último caso, los autovaloresobtenidos son −6.835× 10−3, 9.000× 10−2 y 2.168× 10−1 [32]. La aplicación del algoritmode Schur unido al hecho de optimizar respecto, por ejemplo, a la norma Frobenius, permiteaproximar finalmente la matriz de covarianzas original mediante:

Cχ = σ2χ ·

1.0163 0.7658 0.11630.7658 1.0357 0.76580.1163 0.7658 1.0163

3×3

. (5.51)

En dicha Figura 5.9, se realiza una comparación en cuanto a las curvas de ráfagas deerror de bit que se obtienen al utilizar el modelo autorregresivo que verifica la hipótesis dela turbulencia congelada; respecto a utilizar el modelo más simplificado donde el coloreadoespacial no está relacionado con el coloreado temporal. Como dato llamativo es necesariomencionar que sólo se observa una ligera diferencia en prestaciones, la cual apenas so-brepasa el decibelio para una probabilidad de ráfaga de 10−6 en las curvas en las que se hasimulado una longitud de ráfaga de 192 bits. Eso sí, a medida que se incrementa la corre-lación espacial entre los receptores 1 y 2, manteniéndose un estado de cuasi-incorrelaciónentre los receptores 1 y 3, la distancia entre las curvas que representan la utilización del mo-delo AR respecto a las que hacen referencia a utilizar el modelo de estadísticos separablestambién se ve ligeramente aumentada. Las mismas conclusiones pueden extraerse de lascurvas obtenidas con una longitud de ráfaga de 64 bits, con la salvedad de que se producenmás ráfagas erróneas para un mismo valor de potencia óptica utilizada respecto a haberutilizado longitudes de ráfaga de 192 bits. También, las diferencias entre los modelos AR

182


−12 −10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 610

−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1


Tas

a de

ráf

agas

de

erro

r (B

urst

Err

or R

ate)

ρ12

=0.79 y ρ13

=0.1

ρ12

=0.56 y ρ13

=0.1

ρ12

=0.3 y ρ13

=0.008

Estadísticosseparables

Modelo AR

(a)

−12 −10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 610

−3

10−2

10−1

100


Tas

a de

ráf

agas

de

erro

r (B

urst

Err

or R

ate)

ρ12

=0.79 y ρ13

=0.1

ρ12

=0.56 y ρ13

=0.1

ρ12

=0.3 y ρ13

=0.008


Modelo AR

(b)

−10 −8 −6 −4 −2 0 210

−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1


Tas

a de

ráf

agas

de

erro

r (B

urst

Err

or R

ate)

ρ12

=0.79 y ρ13

=0.1

ρ12

=0.56 y ρ13

=0.1

ρ12

=0.3 y ρ13

=0.008


Modelo AR

(c)

−10 −8 −6 −4 −2 0 210

−3

10−2

10−1

100


Tas

a de

ráf

agas

de

erro

r (B

urst

Err

or R

ate)

ρ12

=0.79 y ρ13

=0.1

ρ12

=0.56 y ρ13

=0.1

ρ12

=0.3 y ρ13

=0.008


Modelo AR

(d)

−10 −8 −6 −4 −2 010

−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1


Tas

a de

ráf

agas

de

erro

r (B

urst

Err

or R

ate)

ρ12

=0.79 y ρ13

=0.1

ρ12

=0.56 y ρ13

=0.1

ρ12

=0.3 y ρ13

=0.008


Modelo AR

(e)

−10 −8 −6 −4 −2 010

−3

10−2

10−1

100


Tas

a de

ráf

agas

de

erro

r (B

urst

Err

or R

ate)

ρ12

=0.79 y ρ13

=0.1

ρ12

=0.56 y ρ13

=0.1

ρ12

=0.3 y ρ13

=0.008


Modelo AR

(f)

Figura 5.9: Curvas de ráfaga de error de bit para un esquema con diversidad espacial en recepción.A la izquierda se representan las curvas para longitudes de ráfaga de 192 bits. Las curvas de laderecha se han obtenido para ráfagas de 64 bits. La intensidad de turbulencia adquiere los siguientesvalores: σ2

χ = 0.25 para las curvas (a) y (b); σ2χ = 0.14 en (c) y (d); y σ2

χ = 0.1 para los casos (e)y (f). El perfil de pulso simulado es un OOK-GS NRZ [32].

183


y de estadísticos separables son ligeramente superiores para una longitud de ráfaga menora un mismo valor de probabilidad de ráfaga, pero manteniéndose aún bastante cercanos enprestaciones. A la vista de estos resultados, parece razonable utilizar el modelo dado enla Figura 5.6 como una buena aproximación al esquema más fidedigno representado porla Figura 5.7, en el que el modelo AR tiene el peso más importante en la generación finalde las secuencias de centelleo atmosférico. En este caso, la inclusión de un tiempo de vidafinito de las células turbulentas acercarían aún más las curvas de ráfagas de error, ya quelas simulaciones mostradas en la Figura 5.9 se han realizado para los casos extremos deestadísticos totalmente separables, frente a secuencias de centelleo que cumplen fielmentela hipótesis de Taylor.

En la Figura 5.10 se muestran ahora los resultados obtenidos fijando el factor decorrelación entre las distintas secuencias, y realizando un barrido en valores de intensidadde turbulencia, según se ilustra en la Figura 5.10.(a); y en distintos formatos de codificación,tal y como se recoge en la Figura 5.10.(b). En ambas gráficas, se ha establecido que laslongitudes de ráfaga consideradas son de 192 bits.

−15 −10 −5 0 5 1010

−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1


Tas

a de

ráf

agas

de

erro

r (B

urst

Err

or R

ate)

σχ2=0.5

σχ2=0.25

σχ2=0.15

σχ2=0.1

σχ2=0.01


Modelo AR

(a)

−15 −10 −5 0 510

−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1


Tas

a de

ráf

agas

de

erro

r (B

urst

Err

or R

ate)

OOK−GScc(NRZ)

OOK−GSc (NRZ)

OOK−GS (c.t. 25%)

OOK−GS(NRZ)

OOK−GS2 Rx

(NRZ)

OOK−GS y SELECT BEST

(NRZ)

OOK−GS(NRZ)L

b = 10


Modelo AR

(b)

Figura 5.10: Curvas de ráfaga de error de bit para un esquema con diversidad espacial en recepción,asumiendo ρ12 = 0.56 y ρ13 = 0.1 Se ha establecido una longitud de ráfaga de 192 bits. En (a)se representan la diferencia en comportamiento utilizando distintas intensidades de turbulenciapara un esquema OOK-GS NRZ. En (b) se ilustran los comportamientos ofrecidos por diferentestécnicas de señalización para σ2

χ = 0.15 [32].

Nuevamente, el grado de parecido entre los distintos modelos es bastante alto. Parael caso mostrado en la Figura 5.10.(a), se aprecia cómo la diferencia en cuanto a compor-tamiento se hace más evidente a medida que aumenta la intensidad de la turbulencia. Lamayor diferencia se registra para un valor de σ2

χ = 0.5, que estrictamente, ya no perteneceal régimen de turbulencia débil, por lo que sus estadísticos ya no tendrían un compor-tamiento logarítmico-normal. Aunque sus prestaciones queden subestimadas respecto a

184


utilizar una función densidad de probabilidad de Beckman [46], lo cierto es que esa subes-timación afectaría a los dos casos bajo estudio (AR y estadísticos separables) por igual. Sepuede, pues, justificar para este caso en particular, el hecho de mantener unos estadísticosdel tipo logarítmico-normal para σ2

χ = 0.5 en cuanto a establecer la diferencia comparativaen comportamiento de tales modelos. En particular, la distancia entre las curvas oscilaentre los 0.17 dB para σ2

χ = 0.01; y los 0.9 dB para σ2χ = 0.5, medidos, en todos los casos,

para una probabilidad de ráfaga de 10−5.

Si se analizan los resultados obtenidos en la Figura 5.10.(b), se puede concluir que unincremento en la relación PAOPR origina una mayor separación entre los comportamientosdesprendidos a partir de los dos casos extremos bajo estudio: 1) utilizando secuencias decentelleo que verifican la hipótesis de la turbulencia congelada; y 2) empleando secuen-cias con estadísticos espacio-temporales separables. En concreto, las diferencias medidasoscilan entre los 0.71 dB para el formato OOK-GScc que, tal y como se vio en el capí-tulo anterior, presenta un incremento en el factor PAOPR de valor ∆PAOPR = 8 respectoal formato de pulso gaussiano con un 100% de ciclo de trabajo sin tasa adaptativa, quefue establecido como referencia; 0.38 dB para el formato OOK-GSc, caracterizado por un∆PAOPR = 3. Por su parte, el formato OOK acompañado de pulsos gaussianos, en estecaso con un ciclo de trabajo reducido fijado al 25%, que se caracteriza por un ∆PAOPR = 4respecto nuevamente al perfil de pulso tomado como referencia, presenta una diferencia enprestaciones de 0.41 dB. Finalmente, el pulso gaussiano NRZ sin tasa adaptativa que seha tomado como referencia para el cálculo del parámetro ∆PAOPR, presenta una distanciade 0.36 dB entre las curvas obtenidas implementando el modelo AR respecto a utilizar elmétodo de estadísticos separables.

En todos los casos, los resultados que arroja el método de estadísticos separablespueden verse como una cota inferior en cuanto a las prestaciones alcanzables por el sistema,esto es, la curva de error que se desprende de un sistema de codificación dado en unascondiciones meteorológicas concretas es, al menos, la que se obtiene a partir del modelode estadísticos espacio-temporales separables. A partir de ahí, la inclusión de la hipótesisde la turbulencia congelada mejora las prestaciones obtenidas, tanto más cuanto mayorsea el grado de satisfacción con el que se satisfaga tal hipótesis. La justificación de estehecho se debe a la distinta variabilidad temporal que se aprecia en la secuencia de centelleoresultante una vez aplicada la combinación EGC. En concreto, en la Figura 5.11 se apreciaesa diferente variabilidad temporal, donde la combinación de las secuencias procedentesdel modelo autorregresivo genera una secuencia combinada de variación sensiblemente máslenta que la obtenida tras combinar las secuencias procedentes del modelo de estadísticosseparables. Los histogramas correspondientes a cada una de las secuencias de centelleocombinadas se adjuntan en la misma figura.

185


0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.060

1

2

3

4

5

6

Tiempo (s.)

Am

plit

ud

de

las

flu

ctu

acio

nes

Secuencia combinada AREnvolvente Rx 1Envolvente Rx 2Envolvente Rx 3

(a)

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.060

1

2

3

4

5

6

Tiempo (s.)

Am

plit

ud

de

las

flu

ctu

acio

nes

Secuencia combinadaestadisticos separablesEnvolvente Rx 1Envolvente Rx 2Envolvente Rx 3

(b)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

500

1000

1500

Amplitud de las muestras de centelleo

Nu

mer

o d

e m

ues

tras

(c)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

Amplitud de las muestras de centelleo

Nu

mer

o d

e m

ues

tras

(d)

Figura 5.11: Secuencias temporales de centelleo atmosférico resultantes tras la combinación me-diante EGC de las secuencias que captan cada uno de los receptores por separado: (a) utilizando elmétodo AR; (b) mediante un modelo de estadísticos espacio-temporales separables. La velocidaddel viento se ha fijado a u⊥ = 20 m/s. En (c) y (d) se presentan los histogramas correspondientes alas secuencias combinadas mediante el modelo autorregresivo y a partir del modelo de estadísticosseparables respectivamente.

Además, en la Figura 5.10.(b) se ha incluido una curva con los resultados correspon-dientes a la simulación de únicamente dos receptores, con un factor de correlación espacialentre ellos de ρ12 = 0.56. En este caso, al haber menos secuencias a combinar, el ensan-chamiento procedente de la combinación de las dos secuencias de centelleo atmosférico queorigina la hipótesis de Taylor es bastante menos acusado, lo que origina un gran parecidoen las prestaciones desprendidas del uso del modelo AR respecto a las conseguidas trasutilizar el modelo de estadísticos separables.

Si se cambia el número de bits consecutivos correctos (Lb− 1) que se permiten dentrode una ráfaga de bits considerada como errónea, y se incrementa el parámetro Lb hasta

186


un valor de 10, manteniendo el esquema OOK-GS NRZ y la técnica de combinación EGC,se observa también una mayor diferencia en prestaciones entre las resultantes de aplicarel modelo AR y las obtenidas tras implementar el modelo de estadísticos separables. Enparticular, la diferencia medida a una probabilidad de error de ráfaga de 10−5 es de 0.56 dB,mientras que, como se indicó anteriormente, el mismo formato con Lb = 5 ofrecía unadiferencia en prestaciones de 0.36 dB. Este efecto se justifica del mismo modo que aldisminuir la longitud de las ráfagas de error de 192 bits a 64 bits, según se mostró en laFigura 5.9; aparecen, en ambos casos, un mayor número de tramas erróneas [47] y, porconsiguiente, el efecto de la diferencia en cuanto a la variabilidad temporal de las secuenciasde centelleo combinadas mediante EGC se hace más notable.

Finalmente, en la propia Figura 5.10.(b) se incluyen también los resultados ofrecidossi se cambia el método de combinación: si en lugar de utilizar una estrategia EGC como laimplementada para generar todas las curvas ofrecidas en esta sección, se emplea el métodode Select Best (SB), en tal caso, la diferencia se ve reducida a sólo 0.21 dB.

Así pues, parece razonable aproximar por un modelo de estadísticos separables comoel esbozado en la Figura 5.6, y para un régimen de turbulencia débil, la generación de se-cuencias de centelleo atmosférico que, de acuerdo con las consideraciones teóricas, deberíaser obtenida a partir de un modelo como el presentado en la Figura 5.7 [32]. En particu-lar, ese modelo que refleja fielmente la evolución de las distintas secuencias de centelleoatmosférico, y tiene además en cuenta la propia actividad dinámica de la turbulencia, sepuede utilizar para refinar los resultados obtenidos con el modelo de estadísticos separablesen el estudio de otros sistemas en diversidad con un mayor número de receptores involu-crados, o con técnicas de combinación y/o señalización donde, fundamentalmente, el costeeconómico sea decisivo en el diseño final del enlace óptico atmosférico.

Por último, en lo que respecta a las prestaciones inherentes al uso de la diversidadespacial, se muestran en las Figuras 5.12 y 5.13 los resultados obtenidos para configura-ciones con dos y tres receptores, y diferentes valores de factor de correlación e intensidadde la turbulencia, mediante la utilización del modelo autorregresivo. Nuevamente, se ponede manifiesto el efecto de la correlación temporal de las secuencias, ya que se detecta lapresencia de un mayor número de tramas erróneas para una longitud de ráfaga de 64 bitsrespecto a utilizar una longitud de ráfaga de 192 bits, medidas lógicamente a un mismonivel de potencia óptica promedio normalizada.

A la vista de las figuras anteriores, se aprecia una mejora en las prestaciones del sistemacuando se implementa una técnica de diversidad espacial. La mayor correlación entre lassecuencias de centelleo que capte cada receptor impide un máximo aprovechamiento de lasventajas inherentes a la diversidad, ya que la mejora en prestaciones se ve atenuada cuanto

187


−16 −14 −12 −10 −8 −6 −4 −2 0 2 410

−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1


Tas

a de

ráf

agas

de

erro

r (B

urst

Err

or R

ate)

2Rx´s, ρd=0.14; σχ2= 0.01

.

2Rx´s, ρd=0.89; σχ2= 0.01

.

2Rx´s, ρd=0.14; σχ2= 0.10

.

2Rx´s, ρd=0.89; σχ2= 0.10

.

2Rx´s, ρd=0.14; σχ2= 0.143

.

2Rx´s, ρd=0.89; σχ2= 0.143

.

Single Receiver; σχ2= 0.01

.


.


(a)

−16 −14 −12 −10 −8 −6 −4 −2 0 2 410

−3

10−2

10−1

100


Tas

a de

ráf

agas

de

erro

r (B

urst

Err

or R

ate)

2Rx´s, ρd=0.14; σχ2= 0.01

.

2Rx´s, ρd=0.89; σχ2= 0.01

.

2Rx´s, ρd=0.14; σχ2= 0.10

.

2Rx´s, ρd=0.89; σχ2= 0.10

.

2Rx´s, ρd=0.14; σχ2= 0.143

.

2Rx´s, ρd=0.89; σχ2= 0.143

.


.


.


(b)

Figura 5.12: Tasa de error de ráfaga frente a potencia óptica normalizada promedio para unsistema con dos receptores utilizando un formato OOK y detección ML, para distintos valores deρij y σ2

χ. La longitud de ráfaga se ha establecido a (a) 192 bits y (b) 64 bits.

−16 −14 −12 −10 −8 −6 −4 −2 0 2 410

−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1


Tas

a de

ráf

agas

de

erro

r (B

urst

err

or r

ate)

3Rx´s, ρd12

= 0.3, ρd13

= 0.008; σχ2=0.14

3Rx´s, ρd

12

= 0.3, ρd

13

= 0.008; σχ2= 0.1

3Rx´s, ρd

12

= 0.3, ρd

13

= 0.008; σχ2=0.01

3Rx´s, ρd

12

= 0.56, ρd

13

= 0.1; σχ2= 0.14

3Rx´s, ρd

12

= 0.56, ρd

13

= 0.1; σχ2= 0.1

3Rx´s, ρd

12

= 0.56, ρd

13

= 0.1; σχ2= 0.01

3Rx´s, ρd

12

= 0.79, ρd

13

=0.1;σχ2= 0.14

3Rx´s, ρd

12

= 0.79, ρd

13

= 0.1; σχ2= 0.1

3Rx´s, ρd

12

= 0.79, ρd

13

= 0.1; σχ2= 0.01

(a)

−16 −14 −12 −10 −8 −6 −4 −2 0 2 410

−3

10−2

10−1

100


Tas

a de

ráf

agas

de

erro

r (B

urst

err

or r

ate)

3Rx´s, ρd12

= 0.3, ρd13

= 0.008; σχ2=0.14

3Rx´s, ρd

12

= 0.3, ρd

13

= 0.008; σχ2= 0.1

3Rx´s, ρd

12

= 0.3, ρd

13

= 0.008; σχ2=0.01

3Rx´s, ρd

12

= 0.56, ρd

13

= 0.1; σχ2= 0.14

3Rx´s, ρd

12

= 0.56, ρd

13

= 0.1; σχ2= 0.1

3Rx´s, ρd

12

= 0.56, ρd

13

= 0.1; σχ2= 0.01

3Rx´s, ρd

12

= 0.79, ρd

13

=0.1;σχ2= 0.14

3Rx´s, ρd

12

= 0.79, ρd

13

= 0.1; σχ2= 0.1

3Rx´s, ρd

12

= 0.79, ρd

13

= 0.1; σχ2= 0.01

(b)

Figura 5.13: Tasa de error de ráfaga frente a potencia óptica normalizada promedio para unsistema con tres receptores utilizando un formato OOK y detección ML, para distintos valores deρij y σ2

χ. La longitud de ráfaga se ha establecido a (a) 192 bits y (b) 64 bits.

más correladas se encuentren dichas secuencias.

5.4 Conclusiones

En el presente capítulo se ha completado el modelo de canal atmosférico presentadoen el Capítulo 3, recogiéndose el efecto que causaría la posible correlación entre secuenciasde centelleo atmosférico captadas por cada uno de los fotodetectores de un sistema condiversidad en recepción. En virtud de la hipótesis de la turbulencia congelada, es posible

188

5.4. CONCLUSIONES

realizar una transformación directa entre estadísticos espaciales y estadísticos temporales.Este hecho se traduce en que la secuencia de centelleo que captaría un receptor en uninstante de tiempo dado será idéntica a la secuencia que capte otro receptor separado delanterior una distancia d, pasado un tiempo d/u⊥. Estrictamente, si se asume un tiempode vida indefinido para cada célula turbulenta, el grado de satisfacción de esta hipótesis deTaylor será de un 100%. En la realidad, pese a que en la mayoría de escenarios típicos estahipótesis de Taylor se verifica con un alto índice de cumplimiento, estrictamente hablando,la propia turbulencia atmosférica se va a caracterizar por una dinámica interna inherentea la descomposición de células turbulentas en otras de tamaño más pequeño; o bien por laaparición del proceso turbulento en puntos localizados del emplazamiento del enlace. Esteúltimo proceso es consecuencia de efectos como el calentamiento progresivo del suelo y laaparición de nuevas corrientes convectivas de aire más cálido, que propicia la mezcla demasas de aire a distintas temperaturas. De esta forma, lo que reciba un receptor en unmomento dado ya no va a ser una copia fiel de lo que ha recibido otro receptor que estéseparado del primero la distancia d/u⊥ anteriormente comentada. En su lugar, apareceny/o desaparecen picos en las secuencias de desvanecimiento que no existían en el patrón decentelleo captado por el receptor precedente, tal y como se ha observado en experimentosrealizados con fluidos turbulentos [48], y que se ha conseguido modelar en este capítulo,según se ilustra en la Figura 5.8.

El modelo propuesto a lo largo de este capítulo, y presentado en la Figura 5.7, permiteretratar fielmente todo el proceso involucrado en los microcambios del índice de refracciónque se producen en el fluido atmosférico y que, como consecuencia de los mismos, originanlas fluctuaciones en los niveles de irradiancia que registran cada uno de los receptores queintervengan en el sistema de comunicaciones ópticas. Aún así, tal y como se ha mostradoa lo largo de este capítulo, los resultados obtenidos mediante la generación de curvas deráfagas de error muestran, únicamente, diferencias no muy significativas respecto a habersimplificado el modelo de generación de secuencias de centelleo, empleando uno en el que serompiera la relación entre los estadísticos espaciales y temporales que impone la hipótesisde Taylor. La sencillez de este último modelo favorece su uso para conseguir una cotasuperior de error en las prestaciones que se obtienen en un sistema óptico. En el caso enel que se desee precisar con mayor exactitud el comportamiento del sistema, o se quieraevaluar otros parámetros tales como la tasa de cruces por cero de las fluctuaciones deirradiancia, etc, adquiere pleno sentido utilizar el modelo completo. De cualquier modo,la implementación de ambos procedimientos se sustenta a partir de un proceso de factor-ización matricial, basado en la descomposición de Schur, que permite analizar cualquierposibilidad de emplazamiento de los receptores que formen parte del sistema.

189

Bibliografía



[3] X. Zhu and J. M. Kahn, Free Space Optical Communication Through Atmospheric TurbulenceChannels, IEEE Trans. on Communications, vol. 50, no. 8, pp. 1293-1300, Aug. 2002.

[4] J.H. Churnside, Aperture Averaging of Optical Scintillations in the Turbulent Atmosphere,Appl. Optics, vol. 30, no. 15, pp. 1982–1994, May 1991.

[5] O. Korotkova, L. C. Andrews and R. L. Phillips, Model for a Partially Coherent GaussianBeam in Atmospheric Turbulence with Application in Lasercom, Opt. Eng., vol. 43, no. 2,pp. 330-341, Feb. 2004.

[6] M. M. Ibrahim and A. M. Ibrahim, Performance Analysis of Optical Receivers with SpaceDiversity Reception, IEE Proc. Communications, vol. 143, no. 6, pp. 369–372, Dec. 1996.

[7] E. J. Lee and V. W. S. Chan, Part I: Optical Communication Over the Clear TurbulentAtmospheric Channel Using Diversity, IEEE Journal on Sel. Areas in Communic., vol. 22,no. 9, pp. 1896–1906, Nov. 2004.

[8] M. Razavi and J. H. Shapiro, Wireless Optical Communications via Diversity Reception andOptical Preamplification IEEE Trans. on Wireless Communications, vol. 4, no. 3, pp.975–983, May 2005.

[9] A. Biswas and M. W. Wright, Mountain-Top-to-Mountain-Top Optical Link Demonstration:Part I, The Interplanetary Network Progress Report 42-149, Jet Propulsion Laboratory,California, pp. 1–27, May 15, 2002

[10] A. Biswas and M. W. Wright, Mountain-Top-to-Mountain-Top Optical Link Demonstration:Part II, The Interplanetary Network Progress Report 42-151, Jet Propulsion Laboratory,California, pp. 1–15, Nov. 15, 2002

[11] A. Biswas, M. W. Wright, B. Sanii and N. A. Page, 45 Km Horizontal Path Optical LinkDemonstrations, Proc. SPIE 4272, pp. 60-71, 2001.

[12] R. B. Ertel and J. H. Reed, Generation of Two Equal Power Correlated Rayleigh FadingEnvelopes, IEEE Com. Lett, vol. 2, pp. 276-278, Oct. 1998.

[13] N. C. Beaulieu, Generation of Correlated Rayleigh Fading Envelopes, IEEE Comm. Letters,vol. 3, no. 6, pp. 172-174, Jun. 1999.

[14] B. Natarajan, C. R. Nassar and V. Chandrasekhar, Generation of Correlated Rayleigh FadingEnvelopes for Spread Spectrum Applications, IEEE Comm. Letters, vo. 4, no. 1, pp. 276-278,January 2000.

[15] N. C. Beaulieu and M. L. Merani, Efficient Simulation of Correlated Diversity Channels,IEEE Wireless Comm. and Networking Conference (WCNC 2000), vol. 1, pp. 207-210, Sept.2000.

190

BIBLIOGRAFÍA

[16] Q. T. Zhang, A Decomposition Technique for Efficient Generation of Correlated NakagamiFading Channels, IEEE Journal on Selected Areas in Communications, vol. 18, no. 11, pp.2385-2392, Nov. 2000.

[17] T. Burghelea, E. Segre and V. Steinberg, Validity of the Taylor Hypothesis in a RandomSpatially Smooth Flow, Physics of Fluids, vol. 17, no. 10, art. no. 103101, Oct. 2005.

[18] C. I. Moore, H. R. Barris, M. F. Stell, L. Wasiczko, M. R. Suite, R. Mahon, W. S. Rabinovich,G. C. Gilbreath, and W. J. Scharpf, Atmospheric Turbulence Studies of a 16 Km MaritimePath, Proc. of SPIE vol. 5793, pp. 78–88, 2005.

[19] A. Christen, E. van Gorsel and R. Vogt, Coherent Structures in Urban Roughness SublayerTurbulence, Int. Journal of Climatology, vol. 27, no. 14, pp. 1955 – 1968, Oct. 2007.

[20] G.E. Willis and J. W. Deardorff, On the Use of Taylor’s Hypothesis for Diffusion in the MixedLayer, Quart. J. Royal Meteor. Soc., vol. 102, no. 434, pp. 817 – 822, Oct. 1976.

[21] A. Christen, M. W. Rotach and R. Vogt, Experimental Determination of the Turbulent KineticEnergy Budget Within and Above an Urban Canopy, Fifth AMS Symposium on the UrbanEnvironment, Vancouver (Canada), 23–27 Aug. 2004.

[22] K.E. Baddour and N.C. Beaulieu, Accurate Simulation of Multiple Cross-correlated FadingChannels, IEEE Int. Conf. on Communications (ICC 2002), vol. 1, pp. 267–271, 28 Apr. –2 May 2002.

[23] S. M. Kay, Modern Spectral Estimation: Theory and Application, Englewood Cliffs, NJ:Prentice-Hall, 1988.

[24] W. C. Jakes, Microwave Mobile Communications, Willey-Interscience, 1974.[25] G. Alefeld and G. Mayer, The Cholesky Method for Interval Data, Linear Algebra and its

Applications, 194, 161-182 (1993).[26] J.F. Monserrat, R. Fraile and L. Rubio, Application of Alternating Projection Method to

Ensure Feasibility of Shadowing Cross-correlation Models, IEE Electronics Letters, vol. 43,no. 13, pp. 724 – 725, Jun. 2007.

[27] A. Milani, G.F. Gronchi, Z. Knezevic, M.E. Sansaturio and O. Arratia, Orbit Determinationwith Very Short Arcs: II. Identifications, Icarus, vol. 179, no. 2, pp. 350 – 374, Dec. 2005.

[28] G.A. Holton, Value at Risk: Theory and Practice., San Diego (USA): Academic Press, 2004.[29] Y. I. Abramovich, N.K. Spencer and A. Y. Gorokhov, Detection-Estimation of More Uncor-

related Gaussian Sources than Sensors in Nonuniform Linear Antenna Arrays - Part I: FullyAugmentable Arrays, IEEE Trans. on Signal Processing, vol. 49, no. 5, pp. 959–971, May2001.

[30] A. Jurado Navas and A. Puerta Notario, Generation of Correlated Scintillations on At-mospheric Optical Communications. Journal of Optical Communications and Networking,vol. 1, no. 5, (11 págs), Oct. 2009.

[31] A. Jurado Navas, and A. Puerta Notario, Generación Eficiente de Secuencias de Desvaneci-miento Correlado, XVII Jornadas de TELECOM I+D, Valencia, Oct. 2007.

[32] A. Jurado Navas and A. Puerta Notario, Impact of Correlated Scintillations on Free SpaceOptical Communications with Spatial Diversity. Enviado a Elsevier Optics Communications.

[33] G. H. Golub and C. F. van Loan, Matrix Computations, The John Hopkins U. Press,Baltimore and London, 1996.

[34] P. R. Halmos, Positive Approximants of Operators, Indiana Univ. Math. J. vol. 21, no. 10,pp. 951–960, Oct. 1972.

[35] N. J. Highman, Computing a Nearest Symmetric Positive Semidefinite Matrix, LinearAlgebra Appl. vol. 103, pp. 103–118, May 1988.

[36] A. de la Villa, Problemas de Álgebra con Esquemas Teóricos, Clagsa, 3a Edición, 1994.[37] G. Strang, Linear Algebra and its Applications, Belmont, CA : Thomson, 4a Edición, 2006.

191

BIBLIOGRAFÍA

[38] H. T. Yura and W. G. McKinley, Optical Scintillation Statistics for IR Ground-to-Space LaserCommunication Systems, Applied Optics, vol. 22, no. 21, pp. 3353–3358 Nov. 1983

[39] M.C.R. Kalapureddy, K.K. Kumar, V. Sivakumar, A.K. Ghosh, A.R. Jain and K.K. Reddy,Diurnal and Seasonal Variability of TKE Dissipation Rate in the ABL over a Tropical Stationusing UHF Wind Profiler, J. Atmos. Solar Terr. Phys., vol. 69, no. 4-5, pp. 419–430, Abr.2007


[41] N. C. Beaulieu, M.L. Merani Generation of Multiple Rayleigh Fading Sequences with SpecifiedCross-Correlations, European Trans. Telecom., vol. 15, no. 5, pp. 471–476, May 2004.


[43] M.W. Rotach, On the Influence of the Urban Roughness Sublayer on Turbulence and Disper-sion, Atmospheric Environment, vol. 33, pp. 4001 – 4008, Oct. 1999.

[44] J. Campins, M. Aran, A. Genovés and A. Jansà, High Impact Weather and Cyclones Simul-taneity in Catalonia, in Mediterranean Storms and Extreme Events in an Era of ClimateChange, Adv. Geosci., Vol. 12, pp. 115–120, 2007.


[46] R. Hill, R. Frehlich, and W. Otto, The Probability Distribution of Irradiance Scintillation,NOAA technical Memorandum ERL ETL-274, Enero 1997.

[47] J. M. Morris, Burst Error Statistics of Simulated Viterbi Decoded BPSK on Fading and Scin-tillating Channels, IEEE Transactions on Communications, vol. 40, no. 1, pp. 34 – 41,Enero 1992.

[48] A. Belmonte, B. Martin y W. I. Goldburg, Experimental Study of Taylor’s Hypothesis in aTurbulent Soap Film, Physics of Fluids, vol. 12, no. 4, pp. 835 – 845, Abr. 2000.

192

Capítulo 6

Conclusiones y Líneas Futuras deInvestigación

6.1 Conclusiones

La creciente demanda en los últimos años de aplicaciones que requieren altas capaci-dades de transmisión, fundamentalmente en aquéllas que tienen carácter multimedia, hahecho que se empiece a mirar a las comunicaciones ópticas atmosféricas como una pro-metedora alternativa para satisfacer la creciente demanda de intercambio de información.Además de las elevadas tasas binarias que se pueden conseguir, en este tipo de comu-nicaciones no se requiere ningún tipo de licencia, no están afectadas por interferenciasradioeléctricas, permitiendo la existencia de varios enlaces en el mismo entorno, y puedenverse beneficiadas de la saturación que sufre actualmente el espectro radioeléctrico.

Su aplicación puede tener un gran interés en zonas urbanas densamente pobladas,fundamentalmente como alternativa para resolver el denominado problema de la últimamilla. Pero también puede despertar ese interés en zonas rurales donde la diseminación ola orografía del terreno no justifique el despliegue de enlaces cableados.

Por todas estas razones, el objetivo de este trabajo ha sido doble: de un lado, realizarun estudio en profundidad de la atmósfera como medio físico de transmisión así como lapropuesta de algún modelo matemático que simule su efecto; y de otro, establecer unafigura de mérito fiable que permita realizar comparativas entre distintas técnicas de seña-lización, anticipando la opción que ofrecerá mejores prestaciones antes de realizar ningunaprueba preliminar. En particular, se comprobó que la relación de potencia óptica de pico apotencia promedio transmitida al medio (PAOPR) cumple bien la función encomendada,constituyendo una figura de mérito fiable y directamente relacionada con la probabilidadde error de bit medida en recepción

193

CAPÍTULO 6. CONCLUSIONES Y LÍNEAS FUTURAS DE INVESTIGACIÓN

Entre los agentes principales que provocan una degradación en las prestaciones ofre-cidas por un enlace óptico atmosférico, adquiere presencia destacada la aparición de lassecuencias de centelleo atmosférico. El centelleo no se comporta como una mera atenua-ción dependiente de la distancia, o dependiente de alguna otra constante como lo era, porejemplo, el factor de visibilidad en la dispersión no selectiva en frecuencia, tal y como semencionó en el Capítulo 2. Todo lo contrario, se trata de un proceso de gran complejidaden el que aparece involucrado el movimiento de las masas de aire turbulentas y que, debidoal carácter caótico y aleatorio inherente a este proceso de dinámica de fluidos, su estudiose debe realizar a partir de funciones estadísticas que describan su comportamiento y muydependientes de multitud de parámetros como son las coordenadas geográficas, la proxi-midad o no a zonas de mar, la altitud, la hora del día, la época del año, los cambios depresión y temperatura de la atmósfera, las corrientes de aire, etc.

Para mayor sencillez en el desarrollo, se asumió la hipótesis de Taylor [1] como puntode partida, algo muy común en la bibliografía, para describir el comportamiento de losremolinos turbulentos. Posteriormente, se aceptó la teoría de cascadas de turbulenciaspropuestas por Kolmogorov [1, 2, 3] para describir el movimiento de las masas de aire, y sesupusieron condiciones de isotropía y homogeneidad en el medio atmosférico que encierraa las celdas de turbulencia que pertenezcan al subrango inercial. Por tanto, se escogió elespectro clásico de Kolmogorov como la función que serviría para describir la densidadespectral de potencia de las fluctuaciones del índice de refracción. De esta manera, se con-sigue caracterizar plenamente cómo se distribuye la potencia asociada a las fluctuacionesdel índice de refracción en función de su frecuencia espacial, parámetro directamente rela-cionado con el tamaño físico que caracteriza a cada célula turbulenta. Sin embargo, se hacenecesario cuantificar la intensidad que va a tener esa turbulencia, y para ello se esgrimie-ron las expresiones correspondientes para calcular la varianza y la función de covarianzade tales fluctuaciones del índice de refracción.

Por simplicidad matemática, se consideró un régimen de turbulencia débil como marcode trabajo que, tal y como se propuso en [2, 3], se satisface si se verifica la condición σ2

1 < 1.Tal régimen de funcionamiento es el que mejor se ajusta a la descripción de un enlacehorizontal de propagación, a pocos metros de altura sobre el suelo, y en un emplazamientoque puede situarse por ejemplo, en España, donde el parámetro de estructura C2

n sueletomar valores alrededor de 5·10−14 m−2/3 [4] durante las horas centrales del día, tal y comose mostró, tanto en la Tabla 2.3.2 como en la Figura 2.2. En este régimen de turbulenciadébil, y aplicando el método de Rytov, se obtuvieron las expresiones que gobernarían tantola naturaleza estadística como la varianza y función de covarianza de las fluctuacionesdel nivel de irradiancia que se registren en recepción. En particular, para un régimen deturbulencia débil, y en virtud del teorema central, se concluyó que la naturaleza estadística

194

6.1. CONCLUSIONES

del proceso que caracteriza al centelleo atmosférico es la logarítmico-normal.

De esta manera, quedaron definidos los parámetros más importantes que entran enjuego a la hora de describir el proceso estocástico turbulento que se produce en el fluidoatmosférico. En el Capítulo 3 se ha propuesto, a partir de todo este estudio, un primermodelo novedoso de canal pensado para una configuración de un único transmisor y unúnico receptor. Para ello, se parte de la teoría desarrollada por Kolmogorov, analizadaexhaustivamente en el Capítulo 2 y, realizando algunas simplificaciones matemáticas, seconcluye que la transformada de Fourier de la función de covarianza de la perturbaciónlogarítmica, χ(t), se asemeja a una campana gaussiana [5], subestimando las colas que,en alta frecuencia, caracterizan al espectro de Kolmogorov. Recuperando la filosofía delos modelos de Jakes [6] y Clarke [7], los cuales son ampliamente utilizados en radiofre-cuencia, se consiguió reflejar de una manera muy fidedigna el comportamiento de cualquiersecuencia de centelleo atmosférico caracterizada por los parámetros físicos y meteorológicosinherentes, tanto a su emplazamiento, como al instante concreto del día y época del añopara la que se desee realizar la comunicación. Y todo este proceso, con la ventaja añadidade una menor carga computacional y una mayor sencillez en las expresiones analíticas quecaracterizan a todo el proceso estocástico bajo estudio.

Como se acaba de mencionar, el empleo del modelo gaussiano, que se propuso parala generación de las secuencias de centelleo atmosférico, conlleva la no consideración de laenergía residual que subyace a altas frecuencias en el espectro teórico de Kolmogorov. Estehecho origina que la secuencia de centelleo temporal obtenida mediante la aproximacióngaussiana, sea coincidente con la que se obtendría a partir del espectro teórico, con lasalvedad de que la secuencia resultante del modelo gaussiano ha eliminado un pequeñorizado alrededor de la envolvente principal de la secuencia de centelleo. Este pequeñorizado de alta frecuencia sí está presente cuando se utilizan las expresiones teóricas, segúnse mostró en la Figura 3.6, y apenas supone un 5 – 7 % de la amplitud de la envolventeprincipal. Por este motivo, se puede pensar en despreciar inicialmente su contribución sinmiedo a falsear el análisis numérico, en cuanto a prestaciones, desprendido de un sistemade comunicaciones ópticas en entorno atmosférico. Aún así, para confirmar este hecho, serealizaron una serie de validaciones, tanto de forma analítica como de manera numérica,mediante la obtención de curvas de ráfagas de error, donde se haga patente el efectode la correlación atmosférica en las prestaciones que se derivan de un sistema IM/DDfuncionando en un entorno óptico atmosférico. Estas validaciones arrojaron resultadosmuy positivos, por lo que se verifica la validez de la aproximación gaussiana como modelode espectro, con el consiguiente ahorro de carga computacional.

A lo largo del cuarto capítulo se ha presentado el escenario de simulación en el quese ha introducido el modelo de canal óptico atmosférico turbulento que fue presentado en

195


el tercer capítulo. Tras realizar una descripción de cada uno de los bloques que lo confor-man, se realizó un análisis numérico de diferentes técnicas de señalización y modulación.El objetivo principal subyacente a tales pruebas fue proponer una figura de mérito eficazpara los sistemas IM/DD operando en entornos atmosféricos, que permita realizar unaprimera comparativa entre distintas técnicas de señalización, adelantando qué opción ofre-cerá mejores resultados. En este sentido, de los trabajos realizados para sistemas IM/DDde comunicaciones ópticas en ambiente interior [8], se verificó que el cociente entre la poten-cia óptica de pico respecto a la potencia óptica promedio (PAOPR), funcionaba muy biencomo figura de mérito, de modo que si se maximizaba dicho cociente, se obtenían mejoresprestaciones del sistema. Con esta base, en el Capítulo 4 se consiguió extender a ambien-tes atmosféricos el rango de validez de tal parámetro PAOPR, demostrando comportarsecomo la figura de mérito fiable que ya era en ambientes de interior. Por consiguiente, esposible discernir una primera forma de actuar para mejorar las prestaciones de los sistemasópticos atmosféricos buscando estrategias que permitan un incremento en la magnitud delparámetro PAOPR. Como consecuencia directa de este hecho, se corroboró como la uti-lización de pulsos gaussianos de reducido ciclo de trabajo, y acompañados de un esquemade tasa adaptativa consistente en la inserción de períodos de silencio variables como alter-nativa al esquema de tasa clásica adaptativa, propuesta por la IrDA [9], y basada en larepetición de bits, trasladándose a escenarios atmosféricos [10] las conclusiones que ya seobtuvieron en un entorno de interiores.

Además, dentro de este Capítulo 4, se amplió el modelo de canal atmosférico intro-ducido en el Capítulo 3, incluyendo la posibilidad de añadir la eventual dispersión temporalque puede sufrir todo pulso óptico que se propague por la atmósfera bajo determinadascondiciones especiales de propagación, fundamentalmente debido a una elevada concen-tración de polvo y/o vapor de agua a lo largo de todo el vano atmosférico. Dadas unascondiciones físicas y meteorológicas que describan el enlace en un momento determinado,se ha conseguido concentrar tales condiciones en la definición de la frecuencia de cortecorrespondiente a una etapa de filtrado de Bessel de orden n. De esta forma, se consiguereproducir de una forma, si cabe aún más precisa, la interacción del pulso con el medioatmosférico. Los resultados obtenidos, incluidos en [11], muestran una notable semejanzaentre el esparcimiento temporal obtenido mediante simulación numérica en comparaciónal esparcimiento temporal esperado por un pulso óptico de acuerdo con las expresionesanalíticas dadas en [12].

Finalmente, a lo largo del quinto capítulo, se continuó extendiendo el modelo de canalatmosférico presentado en el Capítulo 3, incorporando ahora el efecto que causaría la posi-ble correlación entre secuencias de centelleo atmosférico captadas por cada uno de losfotodetectores de un sistema con diversidad en recepción. Admitiendo el cumplimiento de

196

6.1. CONCLUSIONES

la hipótesis de la turbulencia congelada, se ha propuesto un modelo autorregresivo en elque se pueden generar secuencias de centelleo que permitan describir adecuadamente cómolas fluctuaciones que recoge un receptor van a ser las que capte otro receptor separado delanterior una distancia d, transcurrido un tiempo d/u⊥. Lógicamente, el modelo autorre-gresivo permite imponer la correlación espacial y temporal adecuada a cada secuencia. Sinembargo, la resolución del sistema de ecuaciones de Yule-Walker que caracteriza el com-portamiento del modelo AR ofrece, como resultado, la denominada matriz de covarianzasdel error de predicción del modelo AR, Cw, cuyos autovalores, en general, están muypróximos a cero. Este hecho plantea un serio inconveniente, derivado de la utilización deuna aritmética en punto flotante: no va a ser posible, en general, utilizar el algoritmo deCholesky para factorizar la matriz de covarianzas, Cw, ya que tal sistema de descomposi-ción matricial se vuelve inestable, aun cuando se haya partido de una matriz de covarianzasteórica, y por consiguiente, definida positiva, siendo además, esta característica, otra delas restricciones que impone el algoritmo de Cholesky. Para evitar esta contrariedad, seha propuesto un método eficiente de factorización de matrices, basado en el algoritmo deSchur, donde la idea principal es encontrar la matriz de covarianzas semidefinida positivamás cercana (aproximante positivo) a la matriz original a factorizar, utilizando para ello lanorma–2 y la norma Frobenius, por ser ambas dos de las normas matriciales más amplia-mente utilizadas. Como resultado final, se consigue analizar cualquier situación planteadaen el sistema óptico en entorno atmosférico bajo estudio, incluyéndose todo este procesoen [14].

Todo este proceso para generar secuencias de centelleo correladas en el espacio y enel tiempo fue completado añadiendo el efecto de la tasa de disipación de la energía turbu-lenta, ε. Este parámetro representa el factor de energía que se entrega a la formación deceldas turbulentas cada vez más pequeñas, a partir de otras de mayor tamaño, hasta quela energía se termina convirtiendo en calor por acción de la viscosidad del fluido[13]. Deesta modo, se consigue dar un aspecto más realista a las distintas secuencias de centelleogeneradas mediante el modelo AR, de forma que lo que reciba un receptor en un momentodado ya no sea una réplica fiel a lo que ha captado otro receptor separado del primerola distancia, d/u⊥, anteriormente mencionada. En lugar de eso, van a aparecer y/o de-saparecer picos en la secuencia de centelleo que no existían en la secuencia captada porel receptor precedente. Para conseguir este efecto, se propuso romper la uniformidad quecaracteriza a las secuencias de centelleo construidas a partir del modelo AR, mediante unmétodo de estadísticos separables espacio-temporalmente constituido a partir del coloreadode distintas secuencias temporales que recibe a su entrada. Esta matriz de coloreado es laencargada de generar el factor de correlación entre las distintas secuencias de centelleo queintervienen en el sistema con diversidad.

197


Nuevamente, el procedimiento de descomposición alternativa propuesto en este tra-bajo puede ser aplicado para construir la matriz de coloreado. Las secuencias generadasmediante este modelo de estadísticos separables serán las encargadas de romper parcial-mente el cumplimiento de la hipótesis de la turbulencia congelada, introduciendo un factorde aleatoriedad directamente dependiente del parámetro ε. Al igual que en el caso anterior,todo este estudio fue incluido en el trabajo desarrollado en [14].

Finalmente, el Capítulo 5 se cierra con un conjunto de curvas de ráfagas de error quepermiten establecer una comparativa entre los dos modelos extremos de generación delcoeficiente temporal de centelleo: el basado en el método autorregresivo, y el obtenido apartir de estadísticos separables espacio-temporalmente. Aunque existe una diferencia encomportamiento, tanto más acusada cuanto mayor es la magnitud del parámetro PAOPR;o bien cuando se permite un mayor número de bits consecutivos correctos en la definiciónde una ráfaga de error, sin embargo, los resultados en cuanto a tasa de ráfagas de errormuestran que se puede realizar una buena aproximación al comportamiento real del sistemasi se simplifica el modelo completo de generación de secuencias de centelleo, y se consideraun esquema en el que los estadísticos espaciales y temporales se construyen de formaseparable [15].

6.2 Líneas futuras de investigación

Las líneas futuras de trabajo que son susceptibles de ser objeto de estudio se podríanorientar hacia varias vertientes claramente diferenciadas. Por ejemplo, en el lado del trans-misor, se podrían buscar técnicas más eficientes de codificación que pudieran tener mejoresprestaciones en presencia de una atmósfera turbulenta, tal y como se muestra en [16]. Enparticular, en [16] se deja abierta la puerta a la posible incorporación de un esquema detransmisión de tasa variable basado en la inserción de periodos de silencio y tratado comocodificación de longitud constreñida (RLL), lo que permite aliviar los requisitos computa-cionales derivados de la inclusión de un algoritmo de decodificación de Viterbi. Además,ya que la relación PAOPR se ha constatado como una figura de mérito adecuada en es-tos sistemas, se podría incrementar su valor, incluso por encima del que ofrece un pulsogaussiano de reducido ciclo de trabajo, utilizando pulsos solitónicos con perfil de secantehiperbólico [17], esperando obtener una mejora en prestaciones apreciable.

Otras mejoras pueden verse acompañadas por algún tipo de técnica de diversidadcuyo estudio se inició ya en [14, 15], e incluso trasladando a estos entornos los esquemas decodificación espacio-tiempo como los mostrados en [18], con el propósito de incrementaraún más la relación PAOPR y, por consiguiente, conseguir una mejora en las prestacionesde los sistemas ópticos en entornos atmosféricos.

198

6.2. LÍNEAS FUTURAS DE INVESTIGACIÓN

Por otra parte, se podría estudiar la viabilidad de utilizar algún tipo de codificaciónconvolucional y, más concretamente, algún tipo de técnica de perforación (punctured cod-ing) a los esquemas OOK-GS con memoria, de manera que se les pueda dotar de unamayor flexibilidad en la adaptación a las condiciones del canal. Este tipo de técnicasparece especialmente adecuada para situaciones donde la relación señal a ruido sea baja,y se adapta a diversos parámetros de la transmisión mediante la introducción de más omenos redundancia en función de las características particulares del enlace

Desde el lado del receptor, se podría implementar alguna técnica de corrección deerrores; por ejemplo el procedimiento denominado FEC (forward error correcting), quepuede ser apropiado si la intensidad de la turbulencia aumenta, estudio que ya fue iniciadoen [19].

Finalmente, se podría, y de hecho está pensado como un objetivo inmediato, realizaralgún tipo de prototipo físico a partir de un receptáculo en el que se insertarán pequeñosventiladores y calefactores de forma que, conocida la velocidad a la que se mueven lascolumnas de aire desplazadas por los ventiladores (gradiente de velocidad); y conocidala temperatura que desprenden los calefactores, y por tanto, la diferencia existente en-tre las distintas zonas del receptáculo (gradiente de temperatura), es factible relacionarambos efectos con las expresiones analíticas que se han presentado en este trabajo parareproducir las condiciones de una atmósfera turbulenta dentro de un laboratorio. En fun-ción de los valores que se asignen a los gradientes de velocidad y temperatura, es posiblereplicar las condiciones del medio atmosférico para distintas condiciones de intensidad deturbulencia. Obtenida esta reproducción experimental del medio atmosférico, se puede im-plementar algún prototipo, tanto para el transmisor como para el receptor, aprovechandoel conocimiento ya acumulado en entornos de interiores [20], y hacer la batería de prue-bas convenientes que permita la optimización de los diseños físicos. Y todo ello, con laenorme ventaja de poder acometerlo en el mismo laboratorio, evitando la necesidad derealizar montajes en el exterior a distancias concretas y, en muchas ocasiones, eliminandolos trámites burocráticos necesarios para solicitar los permisos que permitan la instalaciónfísica de tales prototipos en los emplazamientos que uno desee.

199

Bibliografía

[1] V. I. Tatarskii, The Effects of the Turbulent Atmosphere on Wave Propagation, Jerusalem:Israel Program for Scientific Translations, 1971.


[3] L. C. Andrews, R. L. Phillips, C. Y. Hopen, Laser Beam Scintillation with Applications,Bellingham, MA:SPIE Optical Engineering Press, Bellingham, Washington, 2001.

[4] E. Brookner, Atmosphere Propagation and Communication Channel Model for Laser Wave-lengths, IEEE Trans. on Communication Technology, vol. 18, no. 4, pp. 396–416, Aug.1970.


[6] W. C. Jakes, Microwave Mobile Communications, Willey-Interscience, 1974.[7] T. S. Rappaport, Wireless Communications - Principles and Practice, Upper Saddle River,

New Jersey, Prentice Hall, 1996[8] A. García-Zambrana and A. Puerta-Notario, Large Change Rate-adaptive Indoor Wireless

Infrared Links Using Variable Silence Periods, IEE Elect. Letters, vol. 37, no. 23, pp. 1409– 1411, 2001.

[9] IrDA Standards, obtenidos de http://www.irda.org.[10] A. Jurado Navas, A. García Zambrana and A. Puerta Notario, An Efficient Rate-Adaptive

Transmission Technique using Shortened Pulses for Atmospheric Optical Communicationsunder Weak Turbulence. Enviado a Optics Express.

[11] A. Jurado Navas, A. Puerta Notario, A Numerical Model for the Temporal Broadening ofOptical Pulses Propagating through Weak Optical Turbulence. Enviado a IEE Elect. Letters.

[12] C.Y. Young, L.C. Andrews and A. Ishimaru, Time-of-Arrival Fluctuations of a Space-TimeGaussian Pulse in Weak Optical Turbulence: an Analytic Solution, J. Appl. Optics, vol 37,no. 33, pp. 7655 – 7660, Nov. 1998.

[13] M.C.R. Kalapureddy, K.K. Kumar, V. Sivakumar, A.K. Ghosh, A.R. Jain and K.K. Reddy,Diurnal and Seasonal Variability of TKE Dissipation Rate in the ABL over a Tropical Stationusing UHF Wind Profiler, J. Atmos. Solar Terr. Phys., vol. 69, no. 4-5, pp. 419–430, Abr.2007

[14] A. Jurado Navas and A. Puerta Notario, Generation of Correlated Scintillations on At-mospheric Optical Communications. Journal of Optical Communications and Networking,vol. 1, no. 5, (11 págs), Oct. 2009.

[15] A. Jurado Navas and A. Puerta Notario, Impact of Correlated Scintillations on Free SpaceOptical Communications with Spatial Diversity. Enviado a Elsevier Optics Communications.

[16] A. Jurado Navas, J.M. Garrido-Balsells, M. Castillo-Vázquez and A. Puerta Notario, Técnicas

200

BIBLIOGRAFÍA

de Codificación RLL de Tasa Adaptativa en Sistemas de Comunicaciones Ópticas Atmosféri-cas. Presentado en la VI Reunión Española de Optoelectrónica (OPTOEL), Málaga, 15 –17 Julio 2009.

[17] J.M. Garrido-Balsells, A. B. Moreno Garrido and A. Puerta Notario, Transmisión de pulsossolitónicos en sistemas de comunicaciones ópticas no guiadas.. Aceptado para su pre-sentación en la XXIV Simposium Nacional de la URSI, Santander, Sept. 2009.

[18] M. Simon and V. Vilnrotter, Alamouti-type Space-time Coding for Free Space Optical Com-munication with Direct Detection, IEEE Trans. Wireless Communications, vol. 4, no. 1, pp.35–39, Apr. 2005.

[19] A. Jurado Navas, A. García Zambrana and A. Puerta Notario, Impacto de la Relación PAOPRen Sistemas de Comunicaciones Ópticas Atmosféricas, XXI Simposium Nacional de la URSI,Oviedo, Sept. 2006.

[20] A. Gallego-Roji and A. Puerta Notario, Transmitter Architecture Improvements for WirelessOptical Communications, IEE Electronics Letters, vol. 43, no. 6, pp. 65 – 66, Mar. 2007.

201

APÉNDICE I: CÁLCULO DE LA COVARIANZA DE LA IRRADIANCIA EN RÉGIMEN...

APÉNDICE ICÁLCULO DE LA COVARIANZA DE LA IRRADIANCIA EN

RÉGIMEN DE TURBULENCIA DÉBIL

Sea la irradiancia de la señal óptica una expresión dada por I = I0 exp2(χ(t)), segúnse ha visto anteriormente. Por tanto, es fácil deducir que χ(t) = 1

2 ln (I/I0). Se define lafunción covarianza de la irradiancia como:

BI(r1, r2) = E[I(r1)I(r2)]− E[I(r1)]E[I(r2)]. (A.1)

donde r1 = |r1|, r2 = |r2| son las distancias de separación de los frentes de onda al puntode observación. Para obtener la función covarianza se calculará:

E[I(r1)I(r2)

]=E

[I0(r1) exp 2χ(r1)

I0(r2) exp 2χ(r2)

]= I0(r1)I0(r2) exp 2χT (r)

],

(A.2)

siendo χT (r) = χ1(r1) + χ2(r2). Puesto que toda variable aleatoria gaussiana, g, cumplela propiedad [56]

E[exp (a · g)

]= exp

[aE[g] +

12a2E

[(g − E[g])2

]], (A.3)

siendo a una constante, es posible aplicar tal propiedad a la ecuación (A.2) con lo que seobtendría E

[I(r1)I(r2)

]:

E[I(r1)I(r2)

]= I0(r1)I0(r2) exp

2E

[χ2(r1) + χ2(r2) + 2χ(r1)χ(r2) + 4(E[χ])2

−4E[χ](χ(r1) + χ(r2)

)]+ 4E[χ]

,

(A.4)

que por conveniencia puede expresarse como:

203

APÉNDICES

E[I(r1)I(r2)

]= I0(r1)I0(r2) exp

2E

[(χ(r1)− E[χ]

)2]

+ 2E[(

χ(r2)− E[χ])2

]+ 4E[χ]+

+4E[χ(r1)χ(r2) + (E[χ])2 −E[χ]

(χ(r1) + χ(r2)

)]

= I0(r1)I0(r2) exp

2E[(

χ(r1)− E[χ])2

]+ 2E

[(χ(r2)− E[χ]

)2]

+ 4E[χ]+

+4(E

[χ(r1)χ(r2)

]− (E[χ])2

).

(A.5)

donde se ha asumido que E[χ(r1)] = E[χ(r2)] = E[χ]. Ya que

Bχ(r1, r2) = E[(χ(r1)−E[χ])(χ(r2)− E[χ])] = E[χ(r1)χ(r2)]−(E[χ]

)2, (A.6)

es inmediato expresar (A.5) como:

E[I(r1)I(r2)

]= I0(r1)I0(r2) exp

2E

[(χ(r1)− E[χ]

)2]

+ 2E[(

χ(r2)− E[χ])2

]+ 4E[χ]+

+4Bχ(r1, r2)

.

(A.7)

Procediendo de igual forma, a partir de la propiedad dada en (A.3) se puede obtener elvalor de E[I(r1)]E[I(r2)] necesario para calcular (A.1). En este caso,

E[I(r1)]E[I(r2)] = I0(r1)I0(r2) exp

2E[(

χ(r1)− E[χ])2

]+

+2E[(

χ(r2)− E[χ])2

]+ 4E[χ]

.

(A.8)

Sustituyendo (A.7) y (A.8) en (A.1), se obtiene finalmente que:

BI(r1, r2) = I0(r1)I0(r2) exp

2E[(

χ(r1)− E[χ])2

]+ 2E

[(χ(r2)− E[χ]

)2]

+ 4E[χ]

(exp

4Bχ(r1, r2)

− 1

).

(A.9)

204

APÉNDICE II: CÁLCULO DE LA COVARIANZA NORMALIZADA DE LA IRRADIANCIA...

APÉNDICE IICÁLCULO DE LA COVARIANZA NORMALIZADA DE LAIRRADIANCIA EN RÉGIMEN DE TURBULENCIA DÉBIL

Sea la irradiancia de la señal óptica una expresión dada por I = I0 exp2(χ(t)).Efectuando todo el proceso desarrollado en el Apéndice I, se consigue obtener la expresiónque caracteriza a la función de covarianza de la irradiancia, dada en la ecuación (A.9).Defínase ahora la función de covarianza normalizada, según se presenta en [29], como:

bI(r1, r2) =BI(r1, r2)

BI(0)=

BI(r1, r2)σ2

I

, (A.10)

donde r1, r2 son las distancias de separación de los frentes de onda al punto de observación.Se asume que la onda transmitida es plana, o bien se asume que los estadísticos en lasposiciones r1 y r2 son los mismos, por lo que se verifica:

I0(r1) = I0(r2) = I0,

E[χ(r1)−E[χ]

]2 = E[χ(r2)−E[χ]

]2 = σ2χ;

(A.11)

lo que facilitará el cálculo de las expresiones (A.9) y (A.10). Si se calcula ahora BI(0) apartir de (A.9) teniendo en cuenta las simplificaciones anteriores, se obtiene:

BI(0) =I20 exp

4σ2

χ + 4E[χ](

exp4Bχ(0)

− 1)

=

I20 exp

4σ2

χ + 4E[χ](

exp4σ2

χ

− 1).

(A.12)

Por consiguiente, a partir de (A.9) y (A.12), la función de la covarianza normalizadapuede expresarse como

bI(r1, r2) =exp(4Bχ(r1, r2))− 1

exp(4σ2χ)− 1

. (A.13)

Si se asume un régimen de turbulencia débil, σ2χ ¿ 1, entonces Bχ(r1, r2) ¿ 1 ∀r1, r2,

y la ecuación (A.13) termina reduciéndose a

bI(r1, r2) =Bχ(r1, r2)

σ2χ

= bχ(r1, r2). (A.14)

205

APÉNDICES

APÉNDICE IIIAPLICACIÓN DEL TEOREMA DE WIENER- KHINTCHINE AL

MODELO DE AUTOCORRELACIÓN GAUSSIANO

Sea la función de autocorrelación de la log-amplitud del centelleo como la presentadaen (3.25). Con la aplicación del teorema de Wiener- Khintchine se obtiene que

|Hsc(f)|2 =∫ ∞

−∞Rsc(τ)e−j2πfτdτ =

∫ ∞

−∞σ2

χe−(τ/τ0)2e−j2πfτdτ. (A.15)

Realizando el cambio de variables τ ′ = τ/τ0 y sustituyendo en la expresión anterior,

|Hsc(f)|2 = σ2χτ0

∫ ∞

−∞e−(τ ′)2e−j2πfτ0τ ′dτ ′. (A.16)

Si se identifica en (A.16) los siguientes términos

x = jτ ′,

2xy = −j2πfτ0τ′ ⇒y = −πfτ0;

y se aplica una completación de cuadrados de manera que el integrando de (A.16) puedaverse como un producto de dos exponenciales del tipo e(x+y)2e−y2 , entonces


∫ ∞

−∞e(jτ ′−πfτ0)2e−(πfτ0)2dτ ′. (A.17)

Proponiendo un nuevo cambio de variables, en este caso

u = −j√

2(jτ ′ − πfτ0) ⇒ u2 = −2(jτ ′ − πfτ0)2,

du =√

2dτ ′ ⇒ dτ ′ =1√2du;

y efectuándolo en (A.17), la expresión se ve modificada a

|Hsc(f)|2 =1√2σ2

χτ0e−(πfτ0)2

∫ ∞

−∞e−u2/2du. (A.18)

Si se identifica a Q(x) = 1√2π

∫∞x e−u2/2du, donde Q(−∞) = 1, se obtiene finalmente el

valor de la densidad espectral de potencia tal y como se muestra en la ecuación (A.19)


√πe−(πfτ0)2 . (A.19)

206

APÉNDICE IV: SIMPLIFICACIÓN DEL CÁLCULO DE LA NORMA FROBENIUS ...

APÉNDICE IVSIMPLIFICACIÓN DEL CÁLCULO DE LA NORMA FROBENIUS

APLICADA A LA DIFERENCIA DE DOS MATRICESCONSTRUIDAS A PARTIR DE MATRICES UNITARIAS

Como ya se comentó en la sección 5.1.2, la matriz Cw constituye el aproximantepositivo de la matriz Cw. De acuerdo con la ecuación (5.18),

‖Cw − Cw‖F =√

tr(

Cw − Cw

)H(Cw − Cw

), (A.20)

donde el operador hermítico puede sustituirse por el operador traspuesto, ya que todaslas matrices que se contemplan son reales. Asimismo, la matriz de covarianzas originaladmite una descomposición de Schur del tipo Cw = QΛQT , en la que se verifica queQQT = QTQ = Im, siendo Im la matriz identidad de orden m. Al mismo tiempo, seconstruyó una matriz Y = QT CwQ, de forma que Cw = QYQT . Sustituyendo ambasexpresiones en la ecuación (A.20), y sabiendo que todas las matrices que se están manejandoson reales, se obtiene:

‖Cw − Cw‖F =√

tr(

QΛQT −QYQT)T (

QΛQT −QYQT)

. (A.21)

Extrayendo factor común a (A.21):

‖Cw − Cw‖F =√

tr(

Q(Λ−Y)QT)T (

Q(Λ−Y)QT)

. (A.22)

Conociendo que, para dos matrices genéricas A y B, (AB)T = BTAT , entonces:

‖Cw − Cw‖F =

√√√√√tr

Q(Λ−Y)T QTQ︸︷︷︸

Im

(Λ−Y)QT

. (A.23)

Utilizando la propiedad tr(AB) = tr(BA), y definiéndose las matricesA = Q(Λ−Y)T

y B = (Λ−Y)QT , la ecuación (A.23) se reduce a:

207

APÉNDICES

‖Cw − Cw‖F =

√√√√√tr

(Λ−Y)QTQ︸︷︷︸

Im

(Λ−Y)T

=

√tr (Λ−Y)(Λ−Y)T

= ‖Λ−Y‖F ,

(A.24)

mediante comparación directa con la expresión (A.20).

APÉNDICE VCÁLCULO DEL RADIO ESPECTRAL CORRESPONDIENTE A LADIFERENCIA DE DOS MATRICES CONSTRUIDAS A PARTIR DE

MATRICES UNITARIAS

A lo largo de la sección 5.1.2 se buscó la expresión del aproximante positivo de la matrizCw restringidos al criterio de optimización de la norma-2 matricial. Para ello, de acuerdocon la expresión dada en (5.31), es necesario obtener la expresión del radio espectral de(Cw − Cw

)H(Cw − Cw

). A partir de las definiciones dadas en (5.21) y(5.29), es posible

expresar dicho radio espectral como:

ρ(

Cw − Cw

)H(Cw − Cw

)=

= ρ

(Q ΛQT −Q (Λ + Υ)QT

)H(Q ΛQT −Q (Λ + Υ)QT

).

(A.25)

donde el operador hermítico puede sustituirse por el operador traspuesto, ya que todas lasmatrices que intervienen son reales. Extrayendo factor común a (A.25) y operando:

ρ(

Cw − Cw

)T (Cw − Cw

)= ρ

(Q ΥQT

)T (Q ΥQT

). (A.26)

Conociendo que para dos matrices genéricas A y B, (AB)T = BTAT , entonces:

ρ(

Cw − Cw

)T (Cw − Cw

)= ρ

Q ΥT QTQ︸︷︷︸

Im

ΥQT

= ρ

Q ΥTΥQT

, (A.27)

208

APÉNDICE V: CÁLCULO DEL RADIO ESPECTRAL CORRESPONDIENTE A LA DIFERENCIA...

habiendo aplicado la propiedad de matrices ortogonales QQT = QTQ = Im, siendo Im lamatriz identidad de orden m. Puesto que se cumple que ρ AB = ρ A ρ B, para dosmatrices A y B genéricas, se puede modificar (A.27) tal como:

ρ(

Cw − Cw

)T (Cw − Cw

)= ρ

Q QT

︸︷︷︸

=1

ρΥTΥ

= ρ

ΥTΥ

. (A.28)

Por tanto, el radio espectral de(Cw − Cw

)T (Cw − Cw

)se traduce en encontrar el

autovalor de mayor magnitud del producto ΥTΥ.

209

Índice

A

Absorción atmosférica, 12–13, 53, 54Amplitud,

logarítmica del centelleo (véase Per-turbación logarítmica de amplitud)

Ancho de banda de coherencia, 57–58, 93, 133Aproximación gaussiana, 69–74, 81, 93, 156,

195Aproximante positivo (véase Matriz de co-

varianzas, aproximante positivo)Atenuación geométrica, 12, 53Atmósfera,

turbulenta, 3, 5, 8, 11, 14, 15–22, 53,55, 60, 82, 86, 88, 127, 132, 141, 145

Autovalor, 163–171, 176, 182, 197, 209

B

Bit error rate (véase Tasa de error de bit)Buoyancy, 180Burst error rate (véase Ráfaga de error, tasa)

C

Campo eléctrico,componente escalar, 31, 133

Canal óptico,modelo escalar, 67–76aproximación gaussiana (véase Apro-

ximación gaussiana)interpolación de las muestras de sa-

lida, 71, 74–75, 159, 163descripción estadística, 75–76, 116

Cascadas de turbulencia, 16–17, 47, 194Centelleo atmosférico,

amplitud (véase Perturbación loga-rítmica de amplitud)

fase, 32, 60secuencia temporal, 3, 5–6, 8, 12, 14,

17–18, 30, 33, 51–54, 56–58, 61–64, 82,91–92, 106–107, 116, 129, 145, 153–156,158, 162, 170, 172, 181, 184, 186–188,194–196

Codificador, 103–104, 106, 119, 122, 124–125Coeficiente temporal,

índice (véase Índice de centelleo at-mosférico)

Combinación,por igual ganancia (EGC), 181, 185–

187select best, 187

Condición de Dirichlet, 35Condición de Tatarskii, 55–56Covarianza (véase Función de covarianza)

D

Decisor, 103–104, 108, 112Delta de Dirac,

función, 37, 63Densidad espectral de potencia de las fluctua-

ciones del índice de refracción, 25–26, 29,33, 38, 47, 66, 77, 134, 194

Hill, 27–28Kolmogorov, 79, 81–82, 114–115,

174, 194–195modificado, 28, 42Tatarskii, 26–27

211

ÍNDICE

von Karman, 27–28, 134Densidad espectral de potencia de las fluctua-

ciones de irradiancia, 69, 71, 74, 76, 79–81, 83, 93, 206

Descomposición (véase Factorización)Cholesky (véase Factorización,

Cholesky)Schur (véase Factorización, Schur)

Desplazamiento Doppler, 55Desplazamiento Doppler promedio, 76–79Detección,

ciega, 116máxima verosimilitud, 108, 117–118,

131–132, 181, 188por umbral, 84–90, 113, 115, 131–132

Dinámica de la turbulencia, 8, 187Dispersión, 3, 8, 12, 29, 34, 53–54, 57, 108,

143–145, 148, 196selectiva en frecuencia, 13, 55no selectiva en frecuencia, 13–14, 194

Diversidad espacial, 4, 8, 81, 107, 156–174,183–184, 187–188

E

Ecuación de onda, 30–32, 133Efecto de la luz solar, 14, 107Error complementario, 84Esparcimiento Doppler, 56, 74, 76, 79, 83Esparcimiento temporal, 54, 57, 62, 132–148,

196Espectro de potencia de las fluctuaciones del

índice de refracción (véase Densidad es-pectral de potencia de las fluctuacionesdel índice de refracción)

Estado instantáneo del canal (CSI), 86–87, 90,92, 113–118, 121, 127, 129–131, 147

Error,probabilidad (véase Tasa de error de

bit)de predicción del sistema autorregre-

sivo, 158, 162, 164, 170, 197Evolución dinámica de la turbulencia, 177–180,

187Expansión espectral (véase Método de la ex-

pansión espectral)

F

Factorización,Cholesky, 162–165, 197Schur, 8, 163–166, 168, 170, 176, 182,

189, 197Filtro,

adaptado, 103–104, 108,110Bessel, 8, 107–108, 134–138, 141–142,

144–148, 196eliminador de interferencias, 104, 107

Fluctuaciones de irradiancia, 18, 22, 34, 42–44,47, 52–53, 60, 67, 82, 175, 179, 189

espectro temporal, 65–67naturaleza estadística, (véase Fun-

ción densidad de probabilidad)longitud de correlación, 14, 20–22,

52, 56, 68, 81, 154varianza (véase Índice de centelleo)

Función de autocorrelación, 37, 52, 189aproximación gaussiana, 65, 67–73,

93Función de Bessel, 40, 66Función de covarianzas,

del índice de refracción, 24–25, 27, 37,194

de la irradiancia, 45–47, 64, 65–68,77–80, 194, 205

de la perturbación logarítmica deamplitud, 37, 39–40, 42, 64, 69, 156–157,174, 195

de la perturbación de fase, 41Función densidad de probabilidad,

Beckman, 43, 185gaussiana, 43, 75–76, 94, 177logarítmico-normal, 43, 47, 52, 62,

64, 75–76, 83, 86, 88, 94, 106, 159, 162,170, 172, 177, 184–185, 195

ruido shot, 88Función de estructura,

índice de refracción, 24–27Función hipergeométrica, 66–67, 78, 80

G

Generador de tramas pseudoaleatorias, 105, 112

212

ÍNDICE

H

Hipótesis de la turbulencia congelada (véaseTurbulencia congelada)

Hipótesis de Taylor (véase Turbulencia conge-lada)

Histograma, 82–83, 106, 127–128, 185–186

I

Índice de centelleo atmosférico, 44–46, 66, 78,91

Índice de refracción,densidad espectral de potencia (véase

Densidad espectral de potencia de las fluc-tuaciones del índice de refracción).

fluctuaciones, 11, 15, 17–19, 21, 23–25, 28–29, 32–33, 35, 38, 47, 61, 70, 194,197

función de covarianza, 24–25, 27, 37función de estructura, 24–27valor medio, 24, 29–30

Interferencia intersimbólica, 54, 57, 107, 132,145, 147

Interpolación estadística, 71, 74–75, 159, 163,179

Irradiancia, 3, 5, 41–44, 52, 55, 62, 76, 203–205en ausencia de turbulencia, 43–44,

53, 86

K

Kolmogorov (véase Teoría de Kolmogorov)

L

Levinson-Wiggins-Robinson,algoritmo, 161

Ley dos tercios, 25–26Longitud de coherencia de las fluctuaciones de

intensidad, (véase Fluctuaciones de irra-diancia, longitud de correlación)

M

Macroescala de la turbulencia, 16, 18, 26–27,134, 138–139, 141

Matriz de coloreado, 155, 162, 170–171, 176,179, 197–198

Matriz de covarianzas,aproximante positivo, 165–171, 176,

178, 197, 207–208error de predicción, 158–159, 162–

171, 178, 197, 207–209perturbación logarítmica de ampli-

tud, 157–160, 176–178, 182Matriz unitaria, 164, 166–168, 170–171, 176,

207–209Método de Box-Muller, 62Método de la expansión espectral, 34–41Método de Monte-Carlo, 99–104, 111–112

modificación quasi-estática, 102–104,110

Método de Rytov, 29, 30-33, 37, 41–42, 47, 62,159, 194

Método de ventanas, 72Hanning, 72

Microescala de la turbulencia, 16–18, 26–27,29, 47, 66

Modelo autorregresivo, 8, 155, 157–160, 162,164, 170–174, 176, 178–179, 182–187,197–198

Modelo de estadísticos separables, 155, 176–177, 181, 183–187, 197–198

Modelo de sistema, 3–4, 100–111Modulación,

de intensidad y detección directa(IM/DD), 3–5, 7, 53, 60, 76, 84, 115, 132,146, 181, 195–196

técnicas (véase Técnicas de modula-ción)

Modulador, 102–104, 106–107Montecarlo (véase Método de Montecarlo)Muestreador, 104, 108, 110

N

Norma matricial, 165norma-1, 169

213

ÍNDICE

norma-2, 168–170, 176, 197, 208norma-∞, 169norma Frobenius, 165–167, 170, 176,

182, 197, 207–208Número de onda,

escalar, 20, 25, 30, 45espacial, 25–27, 59, 65–66

P

PAOPR (véase Potencia óptica, relación pico apromedio)

Parámetro de estructura,índice de refracción, 18, 19–20, 23,

29, 61, 92, 115, 134, 194temperatura, 23

Parámetro de Fried, 18, 20–21, 56Perturbación logarítmica de amplitud, 31–34,

37, 43, 52, 55, 60–62, 64–65, 69, 71, 74–76, 94, 159, 171, 177, 180

Potencia óptica,relación pico a promedio, 7, 100, 111–

116, 118–119, 121, 123–124, 126, 129, 132,146–147, 153, 185, 193, 196, 198

Probabilidad de error, 5, 83–90, 91, 100–101, 104, 111–112, 119–120, 123, 129–130,153–154, 187, 193

Probabilidad de falsa alarma, 84–85, 129Probabilidad de pérdida, 84, 129

Q

Quasi-frecuencia, 76, 79–81

R

Radio espectral, 168, 208–209Ráfaga de error, 92, 110–111, 115, 126, 127,

131, 198curvas, (véase Ráfaga de error, pro-

babilidad)probabilidad, 52, 92, 100, 102, 110,

112, 115, 118, 120, 126, 127, 129, 130, 147,153, 181–185, 189, 195

tasa, 87, 91–92, 114, 117, 121, 127,129, 131, 183–184, 188

Registro de desplazamiento, 105–106Retardo temporal, 57, 63–64, 136, 138

numérico, 173teórico, 174

Riemann-Stieltjes,integral, 35–36

Ruido,modelo discreto equivalente, 104,

109–110de predicción del sistema autorregre-

sivo (véase Error de predicción del sistemaautorregresivo)

shot, 2, 4, 53, 84–85, 88, 107, 109,129, 145

Rytov,extensión, 41–42método (véase Método de Rytov)varianza (véase Varianza de Rytov)

S

Semianchura temporal, 134, 137, 140, 146Símbolo de Pochhammer, 78Subrango inercial, 16, 18, 24, 26–27, 194

T

Tasa adaptativa, 5, 7, 117–118, 120, 146–147,185, 196

Tasa de disipación de la energía turbulenta,175, 179–181, 187

Tasa de error de bit, 83–91, 100–101, 104, 111–112, 119–120, 123, 129–130, 153–154, 193

Técnicas de modulación,inserción de intervalos de silencio sin

memoria, 118–121, 146inserción de intervalos de silencio con

memoria, 122–132, 146on-off keying (OOK), 52, 61, 63, 84,

86–87, 89–90, 92, 114, 116–118, 121, 132,181, 183–184, 187–188, 199

OOK-GSc, 122–124, 126–132, 146,184–185

214

ÍNDICE

OOK-GScc, 122, 124–130, 146, 184–185

de pulsos por posición (PPM), 116–118, 130–132

Teoría de Kolmogorov, 16, 23–28, 81Tiempo de coherencia, 21–22, 56–57, 68–69, 81,

83, 93, 100, 156, 174Tiempo de correlación de la turbulencia (véase

Tiempo de coherencia)Tiempo de vida medio de las celdas turbulen-

tas, 6, 8, 22, 55, 107, 175, 179, 184, 189Turbulencia,

congelada, hipótesis, 6, 8, 20–22, 34,46, 55, 61, 65, 68, 93, 155–157, 160–161,172–182, 184–186, 188–189, 194, 197–198

débil, 29–30, 37, 41, 43, 45–47, 52,61–62, 64–66, 68–69, 74–75, 81, 93–94,133, 144, 154, 156, 172, 179, 184, 187, 194,203, 205

tasa de disipación (véase Tasa de disi-pación de la energía turbulenta)

V

Varianza,

fluctuaciones de la irradiancia, 44, 47,82, 91, 129, 194

perturbación logarítmica de ampli-tud, 40–41, 43–45, 53, 72, 81, 115, 126,139

ruido de predicción, 162Rytov, 45, 66

Velocidad del viento, 16–17, 19, 21, 52, 58, 61–62, 65, 91, 129, 153, 155

fluctuación aleatoria, 175, 180perpendicular a la dirección de

propagación óptica, 22, 56, 60–61, 65, 68,81, 91–93, 115, 126, 129, 156, 160–161,172–173, 179–181, 186

Viento de cizalla, 19, 180

W

Wiener-Khintchine, 69, 206

Y

Yule-Walker,ecuaciones, 158–159, 197

215

atarazanas.sci.uma.esatarazanas.sci.uma.es/docs/tesisuma/1794756x.pdf · agradecimientos...

Documents