admisiÓn 2014 - 2 -...
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ACADEMIAS
GERENTE GENERAL ADJUNTO: Ricardo Campodonico Gómez
JEFE DE OPERACIONES:
Mario Mendoza Gloria
SUPERVISORA ED. ACADEMIA: Mercedes Nunura Sánchez
DIRECCIÓN GENERAL DE LÍNEA: Elena Trujillo Moreno
COORDINACIÓN DE MATERIALES: Elizabeth Gerónimo Ayala
PROFESORES RESPONSABLES:Roberto Visurraga | Sergio Bautista | Jorge Manrique
Juan Ramos Leyva | Cristehan Miguel | Jesús BustillosAaron Ramos | Ernesto Quispe
Adriano Ynfanzon Quispe | Dehivy Montiel Horna
PRE PRENSA DIGITAL
DIAGRAMACIÓN UNI:Linda Romero | Erika Cuadros | Robert Rayco
COLABORADORES:Betty Picoy | Karina Ubillus | José Siesquén
Ynes Romero | Linda Canaval | Otilia Porras José Luis Pacherres | Sara Yañez
© Derechos Reservados: Ediciones e Impresiones Paz S.A.C.Prohibido la reproducción total o parcial de este volumen | Edición 2014
www.pamer.edu.pe
Presentación
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Corporación Educativa Pamer
ACADEMIAS
Examen de Admisión
UNI 2014 - IIMatemáticasACADEMIAS
4Primera Prueba Matemáticas
MATEMÁTICA PARTE 1
1. Una editorial ha realizado un estudio y concluye que si regala x libros a docentes universitarios, el número de ventas de es-tos libros es de 2000 – 1000e–0,001 x.
Indique la secuencia correcta después de determinar la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones:
I. La venta de libros aumenta si se rega-lan más libros.
II. Si no se regalan libros, se venden 1000 libros.
III. El máximo número de libros a vender es 2000.
A) VVV B) FVV C) FVF
D) VFV E) FFV
2. Indique la secuencia correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F):
I. Si A = AT donde A es triangular supe-rior, entonces A es matriz nula.
II. Si A = –AT donde A es triangular infe-rior, entonces A es matriz diagonal.
III. Si A es una matriz rectangular de or-den m × n, entonces AAT es una ma-triz cuadrada de orden m × n y todos los elementos de su diagonal son nega-tivos.
A) VVV B) VFV C) FVV
D) FFV E) FFF
3. Sea A, B y C matrices:
A = JKL
NOP
1
7
8
3; B =
JKL
NOP
–2
5
4
3; C =
JKL
NOP
1
–2
–6
–4
Si se tiene que: 5x = 3(A – 4(B + C) – X) + A, halle el determinante de X.
A) 11 B) 12 C) 13
D) 14 E) 15
4. Halle los valores de x e y respectivamente tales que:
αx + βy = –1 (β – 1)x + (α + 1) y = 3 además se cumple que: α + 3β + 1 = 3α + β + x = α2 + α – β2 + β ≠ 0
A) 0 y 1 B) 1 y 0C) 1 y –1 D) –1 y 1E) 1 y 1
5. Si cada una de las series que se suman es convergente, halle:
∑K=0
α
∑K=0
α
(–1)KS = +12K
JKL
NOP
12
K
A) S = 0 B) S = 2/3C) S = 1 D) S = 2E) S = 8/3
6. Halle la suma de la serie:
1 + 1
23 + 1
43 + 1
83 + 1
163 + ...
A) 1 B) 1 + 23
C) 23 D) 23
23 – 1
E) 23
23 + 1
7. Considere a > b > 0, determine el cocien-te entre la menor y mayor de las raíces de la ecuación en x:
1x
1a
1b
1x + a + b
+ + +
A) a/b B) b/a C) abD) a + b E) 1
8. Si S es el conjunto solución de la inecua-ción: 2x – 1
1 – 3x < 1, entonces SC = [a; b].
Determine el valor de 3a + 5b, donde SC es el complemento de S.A) –2 B) –1 C) 0D) 2 E) 3
ACADEMIAS
Matemática
Examen de Admisión
UNI 2014 - IIMatemáticasACADEMIAS
5Primera Prueba Matemáticas
9. Sea la función f que satisface la ecuación f(x)2 + 2f(x) = x + 1. Si f toma valores positivos en su dominio, halle tal dominio.A) ⟨–1; +∞⟩ B) [0; +∞⟩C) ⟨–∞; 0⟩ D) E) ⟨–1; 1⟩
10. Sean los conjuntos: A = {(x; y) ∈ 2/x – 1 ≤ y ≤ x + 1} B = {(x; y) ∈ 2/1 ≤ x ≤ 3} Después de graficar A ∩ B se obtiene los
vértices (a; b), (c; d), (e; f), (g; h). Calcule: a + b + c + d + e + f + g + h.A) 8 B) 2 C) 16D) 20 E) 24
11. Sea f: → una función, tal que cum-ple: f(ax + by) = af(x) + bf(y) para cual-quier a, b, x, y ∈ , donde f(1) = 1. Si yf(2) + 6y + f(9) = n2. Halle un valor de y.A) 3 – n B) n – 3C) n = 2 D) 2 – nE) n – 1
12. Señale el gráfico de R1 ∩ R2, donde: R = {(x; y) ∈ 2/y ≥ (x + 1)Log(x+1)(x)} R = {(x; y) ∈ 2/y ≤ 1 + Log(x + 2)}
A)
O
B)
O
C)
O
D) O–2
E)
O
13. Indique la alternativa correcta después de determinar si cada proposición es verdade-ra (V) o falsa (F) según el orden dado:
I. Sean A, B, C eventos, entonces:
P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A ∩ B) + P(B ∩ C) + P(A ∩ C) – P(A ∩ B ∩ C)
II. Sean:
S = {(x; y)/x, y ∈ {1; 2; 3; 4; 5; 6}
B = {(x; y) ∈ S/1 + y < x}
entonces P(B) = 512
III. Si B ⊂ A, entonces P(A\B) = P(A) – P(B).
Donde P(x) representa la probabilidad del evento X.
A) VVV B) VFV
C) FVV D) FFV
E) FFF
14. Sea N = 111111(3). Calcule la suma de dígitos al multiplicar en base 3, N consigo mismo.
A) 100 (3) B) 101(3)
C) 110(3) D) 111(3)
E) 112(3)
15. Indique la alternativa correcta después de determinar si cada proposición es verdade-ra (V) o falasa (F) según el orden dado.
I. Si y ∈
\ {0}, x ∈
, entonces x/y ∈
.
II. Si a, b son irracionales, entonces a + b y a • b son racionales.
III. Si a ∈
y b es irracional entonces a • b es un número irracional.
A) VVV B) VFV
C) VFF D) FVV
E) FFF
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Examen de Admisión
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6Primera Prueba Matemáticas
16. Sea
1 7 a b c d 9 * * * *1 7 a b c d 9– 7 a
* *– 8 b c
* * *– 2 6 d 9
* * 6 *– – – e
donde a, b, c, d y e corresponden a un solo dígito y * puede tomar diferentes valores de un dígito. Determine el valor de:
E = e + d – c + b –a
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
17. Las magnitudes "x" e "y" son tales que (y – 4) y (x2 – 4) son inversamente pro-porcionales, Si el par (–1; –2) satisface esa relación, determina la ecuación de propor-cionalidad.
A) 18x2 – 4
= + 4y
B) 18x2 – 4
= – 4y
C) 18x2 – 4
= + 4y
D) –18x2 + 4
= – 4y
E) 18x2 – 4
= + 4y
18. Si la diferencia entre la media aritmética y la media armónica de dos números natura-
les a y b es 1. Determine el menor valor de
a2 + b2 asumiendo que a > b.
A) 10 B) 13
C) 2 10 D) 2 13
E) 6 5
19. Dos capitales han sido colocados a interés simple durante el mismo tiempo; el prime-ro al 6% y el segundo al 10%. El primero ha producido S/. 825 y el segundo ha pro-ducido S/. 1850, sabiendo que el segundo capital excede al primero en S/. 7125. Cal-cule la suma de dos montos obtenidos (en nuevos soles).A) 48375 B) 51050 C) 52110D) 53030 E) 54100
20. Una encuesta realizada en la ciudad de Lima muestra la table siguiente:
N° de hijos N° de familias0 – 2 1 2003 – 6 4007 – 9 150
10 – 12 3013 – 15 15
Calcule el número de familias que tiene de 4 a 11 hijosA) 380 B) 470 C) 480D) 570 E) 580
MATEMÁTICA PARTE 2
21. En la circunferencia de radio R de la figura determine el ángulo α de modo que l = R.
α
l
A) 15° B) 18° C) 30°D) 36° E) 45°
22. Determine la cónica que representa la
ecuación polar:
84+3Cosq
=r
A) Hipérbola B) ParábolaC) Elipse D) CircunferenciaE) Un punto
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7Primera Prueba Matemáticas
23. Sea "q" un ángulo en el III cuadrante que satisface:
(Cotq)2Tanq = 827
Determine el valor de E = 3cosq + 2Senq.
A) 9
12 B) 8
13 C) –3
13
D) –12
13 E) –13
12
24. Determine cuál de los siguientes intervalos pertenecen la solución de la ecuación tri-gonómetrica.
A) p4
< x < p3
B) p3
< x < p2
C) p2
< x < 5p6
D) 3p4
< x < 5p6
E) 5p6
< x <p
25. La figura adjunta representa sectores cir-culares en el triángulo rectángulo isósceles ABC. Calcule (en cm) la suma de las longi-tudes de los arcos DEy EF si AC = 1 cm.
A
B C
DE
F
A) p/4 B) p/2
C) p D) 3p/2
E) 2p
26. Calcule M = Sen4q + Sen42q +Sen43q; si q = p/7.
A) 21/13 B) 21/14
C) 21/15 D) 21/16
E) 21/17
27. Calcular el número de vueltas que da una rueda de radio r = 0,5 cm; al rodar (sin resbalar) en un arco circular AB de radio R = 6 cm y ángulo central 60° (ver figura).
l
60°
A B
O
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
28. Calcule el valor de x para que el ángulo q sea máximo.
A B
M
C1
1
A) 2 B) 3 C) 5
D) 7 E) 11
29. Se tiene el triángulo equilátero ABC cuyo lado mide 12 m. Por el vértice C se traza CD perpendicular al plano que contiene dicho triángulo. Si el ángulo entre los pla-nos determinados por ABD y ABC es 60°, entonces la distancia de C al plano ABD, en metros, es:
A) 6 B) 7 C) 8
D) 9 E) 10
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8Primera Prueba Matemáticas
30. Se tiene la siguiente figura formada por dos
círculos de radios R y r JKLr=
R2
NOP
. Determine la
longitud de arco de circunferencia AC.
R
A Cr
A) 2r.arcsenJKL
154
NOP
B) 2r.arcsenJKL
158
NOP
C) 4r.arcsenJKL
154
NOP
D) 4r.arcsenJKL
158
NOP
E) 6r.arcsenJKL
154
NOP
31. La figura representa un cubo de arista a cm. Calcule el ángulo que forman las rectas
CS y BD.
A
B
Q
PS
R
CD
A) 30° B) 45° C) 60°D) 75° E) 90°
32. Una pirámide de base cuadrada y un cono tienen el vértice común “O”, la base de la pirámide está inscrita en la base del cono. Halle el volumen comprendido entre las caras de la pirámide y la superficie del cono, si el lado de cuadrado mide 2 m y la generatriz del cono 9 m.
A) 4 53
(p – 2)m3
B) 8 53
(p – 2)m3
C) 13 53
(p – 2)m3
D) 6 55
(p – 2)m3
E) 8 55
(p – 2)m3
33. Por el vértice B de un triángulo ABC se traza BD perpendicular al plano ABC, el punto D se une con los vértices A y C. Ade-más se traza BH perpendicular a AC (H ∈
AC). Si BH = 365
, BD = 365
3 , entonces
SiADC
SiABC es:
A) 12
B) 32
C) 2
D) 52
E) 3
34. En un cilindro circular recto, de radio 2 cm y altura 6 cm, se inscribe un paralelepípedo rectangular. El máximo volumen (en cm3) que puede tener tal paralelepípedo es:
A) 44 B) 45 C) 48
D) 49 E) 51
35. En un triángulo equilátero ABC, sobre la
altura AH (H ∈ BC) se toma el punto E y
en la prolongación de AC se toma el punto
D (C ∈ AD), tal que EC = CD y AC = ED. Halle m∠HED.
A) 40° B) 45° C) 48°
D) 50° E) 52°
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9Primera Prueba Matemáticas
36. En un trapezoide dos ángulos interiores opuestos se diferencia en 24°. Calcule el ángulo formado por las bisectrices interio-res de los otros dos ángulos.A) 196° B) 186° C) 175°D) 168° E) 123°
37. En la figura M es punto medio de AC y las circunferencias están inscritas en los trián-gulos. Si AB = k1r, R = k2r, entonces se cumple la relación:
r R
B
A CM
A) K1 + 1K2
< 2 B) K1 + 1K2
< 1
C) K1 + K2
K2
< 12
D) K1 + K2
K1
< 2
E) K2 + 1K1
< 12
38. En la figura mostrada, si AB = 4 2 m. Halle R (en metros).
A B
RO
O’
A) 2 B) 2,5 C) 3
D) 3,5 E) 4
39. En la figura mostrada, se tiene que AB + CD = 30 m y BC + AD = 50 m, calcule EF.
A
BE
F D
C
A) 8 B) 10 C) 12
D) 14 E) 16
40. En el gráfico mostrado BD es paralelo AE y T es punto de tangencia. Calcule AB (en cm), si CT = 5 cm y BC = 3 cm.
A E
DBC
T
A) 2,6 B) 3,7 C) 4,8
D) 5,9 E) 6,5
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10Primera Prueba Matemáticas
resolución 1
Tema: Función exponencial
Ubicación de incógnita
Determinar el valor de verdad
Análisis de los datos o gráficos
f(x)= 2000 – 1000 1( )x
e1000
Operación del problema
I. Verdadero
si x aumenta, f(x) aumenta
II. Verdadero f(0)= 2000 – 1000 = 1000
III. Verdadero
Si x → ∞, entonces f(x) → 2000
respuesta: a) VVV
resolución 2
Tema: Matrices
Ubicación de incógnita
Determinar el valor de verdad
Análisis de los datos o gráficos
I. Falso
Por un contra ejemplo, sea:
1 a b0 3 c0 0 4
A = ( ( Como A = AT: a = 0 ∧ b = 0 ∧ c = 0
Nótese que A no es una matriz nula.
II. Falso
En una matriz diagonal al menos un ele-mento de la diagonal principal debe ser diferente de cero.
Como A = –AT (matriz antisimétrica) ne-cesariamente todos los elementos ubicados en la diagonal principal son ceros.
III. Verdadero Según propiedad de A y AT, la proposición
es verdadera.
respuesta: D) FFV
resolución 3Tema: Matrices
Ubicación de incógnitaDeterminante de la matriz X
Análisis de los datos o gráficos5X = 3 (A – 4 (B + C) – X) + A2X = A – 3B – 3C
Operación del problema
( (( ( ((1 87 3
6 –12–15 –9
–3 18 6 12
+ +2X =
( (4 14–2 6
2X =
( (2 7–1 3
= 6 + 7XX =
Conclusiones y respuesta∴ = 13X
respuesta: c) 13
resolución 4Tema: Sistema de ecuaciones
Ubicación de incógnitaDeterminar los valores de x ∧ y.
Análisis de los datos o gráficos
α x +β y = – 1(β – 1)x + (α +1) y = 3
α + 3β + 1 = 3α + β + x = α2 + α – β2 + β ≠ 0
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11Primera Prueba Matemáticas
Operación del problema
Según Cramer:
x =– (α + 3β + 1)
3α + β – 1
α2 + α – β2 + β
α2 + α – β2 + β
=
=
= – 1
= 1
xs
ys
y =
Conclusiones y respuesta
∴ x = – 1 ∧ y = 1
respuesta: D) –1 y 1
resolución 5
Tema: Series
Ubicación de incógnita
Determinar S
Análisis de los datos o gráficos
JKL
NOP
12k
12
Σ Σ S =k=0 k=0
∞ ∞(– 1)k +
k
Operación del problema
23
2= +1 12 2
1 1
1 + 1 – S = +
Conclusiones y respuesta
S = 83
respuesta: e) 83
resolución 6
Tema: Series
Ubicación de incógnita
Valor de la suma S
Análisis de los datos o gráficos
S = 1 + 12
3 + 12
3
2
+ 12
3
3
+ ...
Operación del problema
S = = 1
1 – – 13
3
31
2
2
2
Conclusiones y respuesta
∴ S = – 1
3
32
2
respuesta: D) – 1
3
32
2
resolución 7
Tema: Ecuaciones
Ubicación de incógnita
Calculo de x1 ÷ x2, tal que x1< x2
Análisis de los datos o gráficos
1x
1b
1
x + a + b1a
++ =
Operación del problema
Según implicancia: x = – a ∨ x = – b
Por condición: a > b > 0
– a< – b < 0
Aquí reconocemos que: x1= – a ∧ x2 = – b
=x1
x2
ab
respuesta: a) ab
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12Primera Prueba Matemáticas
resolución 8Tema: Valor absoluto (VA)
Ubicación de incógnitaEl valor de 3a + 5b; Sc = [a;b]
Análisis de los datos o gráficos
2x – 11 – 3x
< 1 ⇔ 2x – 13x – 1
< 1
Operación del problema|2x – 1| < |3x – 1|; x ≠ 1/3(5x – 2)(x) > 0
0 2/5
Conclusiones y respuestaNótese que:Sc = [0; 2/5]
a = 0 ∧ b = 25
∴ 3a + 5b = 2
respuesta: D) 2
resolución 9Tema: Funciones
Ubicación de incógnitaDom(f)
Análisis de los datos o gráficosf2(x) + 2f(x)= x + 1 ................(1) f(x) > 0; ∀x∈Dom(f) ................(2)
Operación del problemaDe (1): (f(x) + 1)2 = x + 2 f(x) + 1∈{ x + 2 ; – x + 2 } f(x)∈ { x + 2 – 1; – x + 2 – 1}
Pero de (2): f(x) > 0 ↔ x + 2 – 1 > 0 x > –1 x ∈⟨–1, +∞⟩
Conclusiones y respuesta
Por lo tanto Dom(f) = ⟨–1, +∞⟩
respuesta: a) ⟨–1, +∞⟩
resolución 10
Tema: Relaciones gráficas
Ubicación de incógnita
a + b + c + d + e + f + g + h
Análisis de los datos o gráficos
A = {(x; y) ∈ 2/x – 1 ≤ y ≤ x + 1}
B = {(x; y) ∈ 2/1 ≤ x ≤ 3}
A ∩ B = {(a; b), (c; d), (e; f), (g; h)}
Operación del problema
Graficando A ∩ B
1
–1 0 1 3
y=x+1
y=x–1
x=3x=1
Conclusiones y respuesta
Los puntos de intersección son: (1; 0), (1; 2), (3; 2), (3; 4) por lo tanto a + b + c + d + e + f + g + h = 16
respuesta: c) 16
resolución 11
Tema: Funciones
Ubicación de incógnita
Un valor de y
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13Primera Prueba Matemáticas
Análisis de los datos o gráficos
f: R → R
f(ax+by) = a.f(x)+b.f(y) ∀ a,b,x, y ∈ R .... (1)
f(1) = 1 ..... (2)
yf(2) + 6y + f(9) = n2 .... (3)
Operación del problema
De (1): f(x) = mx con m ∈ R
De (2): f(1) = 1 ↔ m = 1, luego f(x) = x
De (3): y2 + 6x + 9 = m2
(y + 3)2 = n2
y + 3 ∈ {n; –n}
y ∈ {n–3; –n–3}
Conclusiones y respuesta
Por lo tanto un valor de “y“ es n – 3.
respuesta: B) n – 3
resolución 12
Tema: Sistema de inecuaciones
Ubicación de incógnita
R1 ∩ R2
Análisis de los datos o gráficos
R1 = {(x, y) ∈ R2 /y ≥ (x+1)log(x+1)(x)}
= {(x, y) ∈ R2 /y ≥ x, x > 0}
R2 = {(x, y) ∈ R2 /y ≤ 1+ Log(x+2)}
Operación del problema
Graficando:
R1
y = x
0
R2
–2 0
Conclusiones y respuestaR1 ∩ R2:
–2 0 x
y
respuesta: c) 0
resolución 13Tema: Probabilidades
Ubicación de incógnitaDeterminar el valor de verdad de las proposi-ciones:I. Falso: P[(A ∪ B) ∪ C] = P(A ∪ B) + P(C) – [(A ∪
B) ∩ C] = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) + P(C) – P[(A ∩ C) ∪ (B ∩ C)]
= P(A) + P(B) – P(A ∩ B) + P(C) – P(A ∩ C) – P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C)
∴P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A ∩ B) – P(A ∩ C) – P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C)
II. Falso n(S) = 6.6 = 36 B = {(x; y)∈ S/1 + y < x} y = 1 → x = 3, 4, 5, 6 y = 2 → x = 4, 5, 6 y = 3 → x = 5, 6 y = 4 → x = 6 n(B) = 10 ⇒ P(B) =
1036
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14Primera Prueba Matemáticas
III. VerdaderoA
B
B ⊂ A ⇒ n(A\B) = n(A) – n(B) ⇒ P(A\B) = P(A) – P(B)
respuesta: D) FFV
resolución 14Tema: Cuatro operaciones
Ubicación de incógnitaCalcular la suma de cifras de N×N
Análisis de los datos o gráficosSe tiene N = 111111(3)
Operación del problemaN × N = N2 = [111111(3)]
2
111111(3) × 111111(3)
111111(3) + 111111(3)
111111(3)
111111(3)
111111(3)
111111(3)
20201202021(3)
Conclusiones y respuesta∴ La suma de cifras de N2
12 = 110(3)
respuesta: c) 110(3)
resolución 15Tema: Racionales
Ubicación de incógnitaDeterminar el valor de verdad de las proposi-ciones.
Análisis de los datos o gráficosI. Verdadero. x ∈ Q → x = a
b, b ≠ 0
y ∈ Q\{0} → y = cd
; c ≠ 0, d ≠ 0
xy
= adbc
∈ Q
Operación del problemaII. Falso Contra ejemplo: Para a = 2 , b = 3
a+b = 2 + 3 ∈ i
ab = 6 ∈ iIII. Falso Contra ejemplo
a = 0, b = 2 ⇒ ab = 0∈ Q
respuesta: c) VFF
resolución 16Tema: Radicación
Ubicación de incógnitaIdentificación de dígitos desconocidos.
Operación del problemaReconstruyendo por el método de extraer raíz cuadrada:
1 7 a b c d 91
8
- 7 a 6 9
8 b c7 8 9
2 6 d 92 6 6 1
1 3 3 1
2 3 × 3 = 69
2 6 3 × 3 = 789
2 6 6 1 × 1 = 2661
Identificando: a = 7; b = 1; c = 5; d = 6; e = 8∴ El valor de:E = e + d – c + b – aE = 8 + 6 – 5 + 1 – 7 = 3
respuesta: B) 3
ACADEMIAS
Matemática
Examen de Admisión
UNI 2014 - IISolucionarioACADEMIAS
15Primera Prueba Matemáticas
resolución 17Tema: Magnitudes proporcionales
Ubicación de incógnitaDeterminar la ecuación de proporcionalidad
Análisis de los datos o gráficosSean las magnitudes x e y(y – 4) I.P. (x2 – 4)El par (–1; –2) satisface la relación.
Operación del problemaDe las magnitudes:(y – 4)(x2 – 4) = k ....... (1)pero (–1, –2) satisface la relaciónx = –1 y = –2
En (1):(–2 –4)[(–1)2 – 4] = k→ k = 18
Conclusiones y respuestaLa ecuación: (y – 4)(x2 – 4) = 18
y = 18x2– 4
+ 4
respuesta: a) 18x2– 4
+ 4
resolución 18Tema: Promedios
Análisis de los datos o gráficos
MA = a + b2
MH = 2
+1a
1b
2aba + b
=
a > b (naturales) ⇒ a + b > 2
Operación del problema
MA – MH = a + b2
– 2aba + b
= 1
⇒ (a + b)2 – 4ab = 2(a + b)
(a – b)2 = 2(a + b) ⇒ a + b = 8; 18; ...
a + b = 8 (mínimo) ⇒ (a – b)2 = 2(8) ⇒ a – b = 4
⇒ a = 6 ∧ b = 2
a2 + b2 = 62 + 22 + 40 = 2 10
respuesta: c) 2 10
resolución 19
Tema: Regla de Interés
Ubicación de incógnita
Calcular la suma de los montos obtenidos.
Análisis de los datos o gráficos
• SeanC1 y C2 los dos capitales depositados a interés simple.
• Lastasasdeinterés6%y10%.
• ElinterésproducidoesS/.825yS/.1850.
• C2 excede a C1 7125.
Operación del problema
El interés de cada capital
C1 x 6% x T = 825 ..... (1).
C2 x 10% x T = 1850 .... (2).
dividiendo:
C1
C2
55k74k
=
Además:C2 – C1 = 7125
19k = 7125 → k = 375
Luego:
M1 = (55k) + 825 = 21450
M2 = (74k) + 1850 = 29600
∴ La suma de los montos obtenidos:
M1 + M2 = 51050
respuesta: B) 51050
ACADEMIAS
Examen de Admisión
UNI 2014 - IISolucionarioACADEMIAS
16Primera Prueba Matemáticas
resolución 20Tema: Estadística
Ubicación de incógnitaCalcular el número de familias que tienen de 4 hasta 11 hojas.
Análisis de los datos o gráficosSe tiene la variable discreta (N° de hijos), usan-do el diagrama de bastones.
Operación del problema
100 100100 100
50 50 5010 10 10
400
15030
3 5 6 7 8 9 10 11 12N° familias = 470
N° de hijos:
N° familias:
4
Conclusiones y respuestaN° familias que tiene de 4 hasta 11 hijos es 470
respuesta: B) 470
resolución 21Tema: Ángulo Trigonométrico
Operación del problemaRecordando:
q 2qO
R
R
En el problema
2α
α
OR
Al=R B
R
Conclusiones y respuesta
2α
R
RA B
R
O
⇒ 2α = 60°
α = 30°
respuesta: c) 30°
resolución 22
Tema: Coordenadas polares
Ubicación de incógnita
r = 8
4 + 3Cosq
Análisis de los datos o gráficos
4r+3rCosq = 8, r = x2 + y2 ∧ x = rCosq
4 x2 + y2 + 3x = 8
Operación del problema
(4 x2 + y2 )2 = (8 – 3x)2
16x2 +16y2 = 64 + 9x2 – 48x
7x2 + 48x + 16y2 = 64
Completando cuadrados.
7 +16y2= x + JKL
NOP
2247
10247
7
+ = 1
x + y2
JKL
JKL
JKL
JKL
JKL
NOP
2
2 2
247
327
87
Conclusiones y respuesta
La ecuación representa una elipse.
respuesta: c) elipse
ACADEMIAS
Matemática
Examen de Admisión
UNI 2014 - IISolucionarioACADEMIAS
17Primera Prueba Matemáticas
resolución 23Tema: Razones Trigonométricas de un ángulo
de cualquier magnitud
Operación del problema
(Cotq)2Tanq = 827
(Tanq)–2Tanq = JKL
NOP
23
3
(Tanq)2Tanq = JKL
NOP
32
2JKL
NOP
32
Comparando:
Tanq = 32
∧ q ∈ III C
q
y
–2
–3
x
13
Nos piden:
E = 3Cosq + 2Senq
E = 3JKL– 2
13
NOP
+ 2JKL– 3
13
NOP
E = – 12
13
respuesta: D) – 12
13
resolución 24Tema: Circunferencia trigonométrica
Operación del problema
Cos2x – Cosx – 1 = 0
Cosx = 1 ± (–1)2 –4(–1)2
Cosx = 1 ± 52
Cosx = 1 – 52
∨ Cosx = 1 + 52
(No)
Cosx = –0,615
–0,86 Cosx123
–0,615
0
5p6
p2
C.T.
respuesta: c) p2
< x < 5p6
resolución 25
Tema: Ángulo trigonométrico
Operación del problema
Nos piden:
“l1 + l2”
A
D
C
E1
45°
45° a
b
l2
l1
Aplicando:
qrad
R
R
l ⇒ l = q.R
ACADEMIAS
Examen de Admisión
UNI 2014 - IISolucionarioACADEMIAS
18Primera Prueba Matemáticas
⇒ l1 = p4
a (+) l2 =
p4
b
l1 + l2 = p4
(a + b); del gráfico: a + b = 1
l1 + l2 = p4
(1) = p4
cm
respuesta: a) p4
cm
resolución 26Tema: Transformaciones Trigonométricas
Ubicación de incógnitaM = Sen4q + Sen42q + Sen43qReemplazamos: q = p/7
Análisis de los datos o gráficos
M = Sen4 p7
+ Sen4 2p7
+ Sen4 3p7
Aplicamos: 8Sen4x = 3 – 4Cos2x + Cos4x
Operación del problema
8M = 8Sen4 p7
+ 8Sen4 2p7
+ 8Sen4 3p7
8Sen4 p7
= 3 – 4Cos 2p7
+ Cos 4p7
8Sen4 2p7
= 3 – 4Cos 4p7
+ Cos 8p7
;
pero: Cos 8p7
= Cos 6p7
8Sen4 3p7
= 3 – 4 Cos 6p7
+ Cos12p7
;
pero: Cos12p7
= Cos 2p7
Conclusiones y respuestaSumando, resulta:
8M = 9 – 3 (Cos 2p7
+ Cos 4p7
+ Cos 6p7
)
Propiedad = –1/2
Resumen8M = 9 – 3(–1/2) = 9 + 3/2 = 21/2 M = 21/16
respuesta: D) 21/16
resolución 27
Tema: Aplicaciones del ángulo Trigonométrico
Ubicación de incógnita
A B
O
60°
d
R–r R–r
r r
Operación del problema
nv = d2pr
⇒ hv =
p3
(R – r)
2p.r = R – r
6r
pero: R = 6 ∧ r = 12
Reemplazando, resulta:
hv =
12
6 –
12
6 . = 11
6 = 1,83 ≈ 2
respuesta: B) 2
resolución 28Tema: Identidades Trigonométricas del Arco
Compuesto
Ubicación de incógnita
βq
αA
C
B
M1
1x
ACADEMIAS
Matemática
Examen de Admisión
UNI 2014 - IISolucionarioACADEMIAS
19Primera Prueba Matemáticas
Análisis de los datos o gráficos
Nos ayudamos de α y β en la figura.
Operación del problema
Nótese que:
Tanq = Tan(α – β)
Tanq =
Tanα – Tanβ1 + Tanα.Tanβ
Conclusiones y respuesta
Tanq =
2x
– 1x
1 + 2x
. 1x
Tanq =1
x + 2x
→
Resumen
q es máximo cuando Tanq es máximo y esto
ocurre cuando x + 2x( ) es mínimo.
x + 2x( ) es mínimo cuando: x =
2x
(propiedad)
x = 2
respuesta: a) x = 2
resolución 29
Tema: Geometría espacio I
Ubicación de incógnita
X: distancia de C a ∆ABC
Análisis de los datos o gráficos
∆ABC
CT = 6 3
Operación del problema
CHT
(notable 30°, 60°)
C
A
B
T
D
H
x
6
6
12
12
30°60°6 3
x = 3 3 ( 3 )
Conclusiones y respuestax = 9
respuesta: D) 9
resolución 30Tema: Aplicaciones del ángulo trigonométrico
Análisis de los datos o gráficos
P
A C
r
O2r
Operación del problemam AC = (2q) (r) ... (I)
Conclusiones y respuesta
2rq
2r
r
Cosq = =
4r2 + 4r2 – r2
2 (2r)(2r)78
q
8
7
15
ACADEMIAS
Examen de Admisión
UNI 2014 - IISolucionarioACADEMIAS
20Primera Prueba Matemáticas
Senq = 15
8
q = arc sen JKL
NOP
15
8
Reemplazando en (I)
mAC = 2r. arc sen JKL
NOP
15
8
respuesta: B) 2r.arc sen 8
15JKL
NOP
resolución 31
Tema: Poliedros
Ubicación de incógnita
Medida del ángulo formado por BD y SC.
Análisis de los datos o gráficos
Trazamos BP//CS asi tambien PD.
x
A
R
SP
Q
B C
Da
a 2
a 2
a 2
Operación del problema
Resultando que:
BP = PD = BD = a 2 , ademas m∠PBD = x
es la medida del ángulo que forman CS y BD.
Conclusiones y respuesta
Como el 9BPD es equilátero.
x = 60°
respuesta: c) x = 60°
resolución 32
Tema: Cono
Ubicación de incógnita
Vx: Volumen pedido
Vx: Vcono – Vpirámide
Análisis de los datos o gráficos
Si: CD = 2
⇒ R = 1
h=4 5
Operación del problema
Vx: p12.h3 3
( )2h2–
Vx:3
5 (p–2)4
AR
B
D
C12
h 9
O
respuesta: a) 3
5 (π–2)4
resolución 33
Tema: Geometría del Espacio
Ubicación de incógnita
Nos piden:S(3ADC)S(3ABC)
ACADEMIAS
Matemática
Examen de Admisión
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21Primera Prueba Matemáticas
Análisis de los datos o gráficosAplicando el teorema de las 3 perpendiculares:
DH ⊥ AC
Operación del problemaEn el DBH: DH = 72/5.
Como: S(3ADC) = AC . DH
2 y
S(3ABC) = AC . BH
2
Luego: S(3ADC)S(3ABC)
= DHBH
B
D
C
H
A
536 3
365
72 5
Conclusiones y respuesta
De donde S(3ADC)S(3ABC)
=
725
365
= 2
respuesta: c) S(3ADC)S(3ABC)
= 2
resolución 34Tema: Cilíndro
Ubicación de incógnitaVx: Volumen máximo del paralelepipedo.
Análisis de los datos o gráficosPara que el volumen sea maximo:a = b(cuadrado)
Operación del problema
En la base a = b = 2 2
a
ab
6
b2
Conclusiones y respuesta
Vx = ab6
Vx = ( 2 2 )( 2 2 )6
Resumen
Vx = 48
respuesta: c) 48
resolución 35
Tema: Congruencia de triángulos
Ubicación de incógnita
mHED = x
Sea: AB = BC = AC = 2a
Análisis de los datos o gráficos
A30°30°
C
a
aa
a
H
M
E
D
B
2a
2a
2a2α
αα
αx
Puesto que AH es altura
→ BH = HC = a
Según el gráfico:
x = 30 + α ..... (1)
ACADEMIAS
Examen de Admisión
UNI 2014 - IISolucionarioACADEMIAS
22Primera Prueba Matemáticas
Operación del problema
En el 9ECD:
mCED = mCDE = α
→ mECA = 2α
Trazamos CM ⊥ ED
→ EM = MD = a
EHC ≅ CMD
Luego: mECH = mCDM = α
Conclusiones y respuesta
En C: 3α = 60
→ α = 20
Sustituyendo en (1):
x = 30 + 20 = 50
respuesta: D) x = 50
resolución 36
Tema: Cuadrilátero
Ubicación de incógnita
X: Medida del ángulo formado por bisectrices
Análisis de los datos o gráficos
lBCDP y OABP
a – b = 24°.
qqB
Ca
DααA b
Px
Operación del problema
x + a + α + q = 360°
x = a + q + b
Conclusiones y respuesta2x = 360 – (a – b)
x = 180 – JKL
a – b2
NOP
x = 168°
respuesta: D) 168°
resolución 37Tema: Circunferencia
Ubicación de incógnitaDeterminar una relación entre K y K2
Análisis de los datos o gráficos
Puesto que BM es mediana BM = AM = MC = aPor propiedad de las tangentes: TH=r y HS=R
r R
B
A CM
a
T r H RS
K1 r
a
Operación del problemaAplicando el postulado de la distancia entre A y B: AB < 2a... (1)Del gráfico:TS < a→r + R < a ... (2)
Conclusiones y respuestasDividiendo (2) ÷ (1):r+k2r 1k1r 2
<
∴1+k2
k1
< 12
respuesta: e) 1+k2k1
< 12
ACADEMIAS
Matemática
Examen de Admisión
UNI 2014 - IISolucionarioACADEMIAS
23Primera Prueba Matemáticas
resolución 38
Tema: Relaciones métricas 1
Ubicación de incógnita
R
Análisis de los datos o gráficos
A, T y Z colineales
R
O
T
C ZR
A
B
2q
4 2
R 2
Operación del problema
Teorema de la tangente (4 2 )2 = AZ(AT)
∆ACZ (antiparalelas)
(R 2 )2 = AZ(AT)
(R 2 )2 = (4 2 )2
R = 4
respuesta: e) 4
resolución 39
Tema: Circunferencia
Ubicación de incógnita
EF = x
Análisis de los datos o gráficos
Reconocemos en el gráfico dos cuadriláteros circunscritos.
A
B
C
D
E
F
x
Operación del problemaAplicamos el teorema de Pithot
ABEF: AB + X = BE + AF FECD: CD + X = EC + FD
Sumando y agrupando tenemos:AB+CD+2X=(BE+EC)+(AF+FD)→AB+CD + 2X=BC+AD
Conclusiones y respuestaComo: AB+CD = 30 y BC+AD = 50 → 30 + 2X = 50 ∴X = 10
respuesta: B) X = 10
resolución 40Tema: Proporcionalidad
Ubicación de incógnitaAB = x
Análisis de los datos o gráficos
BD//AE
CD//BE
A
Bx
C3
5a
b
T
D
E
Operación del problema
ab
53
=
ab
8x
=
Conclusiones y respuesta
⇒ ab
8x
53
= =
x = 4,8
respuesta: c) 4,8