ACTIVIDAD NRO 4

MATEMATICA I – IUA

Alumno: Cabrera Sebastian Ariel

Parte A. Grupal

La actividad consiste en seleccionar un enunciado y dar una respuesta fundamentada.

Parte B. Grupal

La actividad consiste en seleccionar un enunciado. Luego:

Modelice matemáticamente la situación. En particular y previamente explicite datos conocidos y datos desconocidos, explicite las vinculaciones entre datos conocidos y desconocidos que dan origen a  cada EL. Construya el SEL.

Resuelva el SEL por Regla de Cramer usando alguno de los paquetes informáticos OnlineMSchool http://es.onlinemschool.com/math/assistance/, WolframAlpha http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve{x%2B2y%2Bz%3D0%2C+x-y%2Bz%3D1, Wiris http://www.wiris.net/demo/wiris/es/. Si usa los tres podrá comparar resultados y/o practicar su manejo. Capture imágenes.

paquetes informáticos:OnlineMSchool http://es.onlinemschool.com/math/assistance/, Wolfram Alpha http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve{x%2B2y%2Bz%3D0%2C+x-y%2Bz%3D1, Wiris http://www.wiris.net/demo/wiris/es/. Si usa los tres podrá comparar resultados y/o practicar su manejo. Capture imágenes.

¿Los resultados coinciden? 

Parte C. Individual.

La actividad consiste en seleccionar un enunciado de cada apartado de la autoevaluación y fundamentar su respuesta correcta.

PARTE A

Enunciado 12: Si A4=0 ¿Por qué A no es invertible?

Para empezar A debe ser cuadrada ya que, por definición de producto, el número de columnas de la primera A debe coincidir con el número de filas de la segunda A. Una matriz cuadrada Anxn se dice que es invertible si existe otra matriz de orden nxn llamada matriz inversa de A y se representa como A−1. Una matriz no es invetible si y solo si su determinanate es nulo.

Como A4=0 y para sacar su inverso multiplicativo es AA−1=I , por lo que 0. A−1≠ I cualquier número multiplicado por 0 (cero) va a ser cero y no la matriz Identidad.

Ejemplo

Para sacar la determinante de A4 sera

det (A¿¿4)=det ( A . A . A . A )=det ( A ) . det (A ) .det (A ) . det ( A )=(det (A ) )4 ¿

Para sacar su determinante

det (A¿¿4)=det [1 2 34 5 67 8 9] . det [1 2 3

4 5 67 8 9] . det [1 2 3

4 5 67 8 9] . det [1 2 3

4 5 67 8 9]=0¿

Entonces det (A¿¿4)=0¿ y (det (0 ) )4= 0

PARTE B

Enunciado seleccionado nro. 20. (Ajuste de curvas) De la Nivelación matemática sabemos que la ecuación general de una parábola de eje vertical viene dada por la expresión

. También sabemos que conociendo explícitamente los valores reales, A, B, C, D conocemos y podemos dibujar la parábola. Una parábola pasa por los puntos

. Determine la ecuación de la parábola, esto es determine los coeficientes A, B, C, D de la ecuación general. Ayuda: siga el razonamiento dado en el ejemplo 7 del apartado APLICACIONES.

En este caso se dan tres puntos en el plano conocidos (-1,10), (0,5), (3,2) y se trata de determinar la expresión algebraica de la parábola que los contiene: x e y son valores conocidos mientras que A, B, C y D son valores desconocidos.

La intersección (-1,10) representa x1=−1e y1=10

La intersección (0,5) representa x2=0e y2=5

La intersección (3,2) representa x3=3e y3=2

Las EL (ecuaciones lineales) que se plantean para constituir un SEL (sistema de ecuaciones lineales) con las variables A, B, C y D son:

{ A x2+Bx+Cy+D=0A (−1)2+B (−1 )+C10+D1=0

A02+B0+C5+D 1=0A32+B3+C2+D 1=0

Y Matricialmente se expresa:

[ x2 x y 1

1 −1 10 10 0 5 19 3 2 1

][ ABCD

]=[0000]

Al tratarse de un SEL homogéneo siempre tiene solución, a saber: la solución nula, esto es, A=0, B=0, C=0 y D=0, o bien infinitas soluciones.

Para sacar la ecuación general de una parábola dada por la expresión A x2+Bx+Cy+D=0 la primera solución no nos sirve. Si nos sirve la segunda: infinitas soluciones; y se tiene infinitas soluciones, cuando el determinante de la matriz de coeficientes es nulo:

0=det A=|x2 x y 1

1 −1 10 10 0 5 19 3 2 1

|=|−1 10 10 5 13 2 1|x2−|1 10 1

0 5 19 2 1|x+|

1 −1 10 0 19 3 1| y−|1 −1 10

0 0 59 3 2 |1=¿

¿12 x2−48 x+ (−12 y )−(−60)

¿12 x2−48 x−12 y+60

Desarrollamos las determinantes 3x3:

((-1)x5x1+10x1x3+1x0x2-3x5x1-2x1x(-1)+1x0x10)x2

-(1x5x1+10x1x9+1x0x2-9x5x1-2x1x1-1x0x10)x

+(1x0x1+(-1)x1x9+1x0x3-9x0x1-3x1x1-(-1)x0x3)y

-(1x0x2+(-1)x5x9+10x0x3-9x0x10-3x5x1-2x0x(-1))=0

PARTE C

Apartados 1, elemento seleccionado

3.1.81.Un producto elemental tomado de una matriz A nxn consiste en multiplicar n elementos o entradas de A, no provenientes del mismo renglón o columna.

Ejemplo:

A=[1 2 34 5 67 8 9 ]

Son producto elemental tomados de A : (1,5,9) (4,2,9) (7,5,3)

No son producto elemental tomados de A : (1,2,3) porque pertenecen a la misma fila, (2,5,8) porque pertenecen a la misma columna, (1,2,9) porque dos de los elementos provienen de la misma fila.

Apartado 2, elemento seleccionado

3.2.04.

Al calcular un determinante usando una de las fórmulas  denominadas Desarrollo por cofactores del determinante de A es conveniente, para hacer menos cálculos y dar menos lugar al error, seleccionar aquella fila o columna con mayor cantidad de elementos o entradas de valor nulo.

Ejemplo

A=[1 0 21 3 03 4 0]

Tomamos la tercer columna por ser esta la que tiene mayor cantidad de elementos nulos.

det (A )=a13C13+a23C23+a33C33

Al ser a23 y a33 nulos y al multiplicar por C23 y C33 el producto resultante va a ser 0 (cero), así solo desarrollamos a13 y C13.

¿2C13+0C23+0C33

¿2|1 33 4|=2. (4−9 )=−10

Apartado 3, elemeto seleccionado

3.3.25.

Si  B es la matriz que se obtiene de A  intercambiando dos renglones cualesquiera, entonces: det (B) = - det (A)

det|a11 a12

a21 a22|=a11a22−a21a12

det|a21 a22

a11 a12|=a21a12−a11a22=−(a11 a22−a21a12)

Ejemplo

det A|1 23 4|=1.4−3.2=−2

det B|3 41 2|=3.2−1.4=−(1.4−3.2 )=− (−2 )=2

Entonces det(B)=-det(A) = 2=-(-2)