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ELEMENTOS DE

MATEMATICA

Publicacion didactico-cientıfica editada

por la UNIVERSIDAD CAECE

VOLUMEN XXIV - NUMERO 84

Septiembre de 2018

ELEMENTOS DE MATEMATICA

Propietario: Fundacion CAECEPublicacion didactico-cientıfica

editada por la Universidad CAECEen forma semestral.

Redaccion y administracion

Av. de Mayo 866 - CP: 1084CABA, Argentina

Tel: (011) 5252-2800e-mail: [email protected]

Comite Editorial:

Dr. Daniel PrelatDr. Cesar Massri

Dr. Federico Quallbrunn

Comite Cientıfico:

Dr. Efim ZelmanovDr. Arturo PianzolaDr. Philippe Gille

Dr. Fernando Cukierman

Diagramacion:

Dr. Cesar Massri

Secretaria:

Lic. Mayra Valije

ELEMENTOS DE

MATEMATICAPUBLICACION DIDACTICO-CIENTIFICA

DE LA UNIVERSIDAD CAECE

VOLUMEN XXIV - NUMERO 84

Septiembre de 2018

SUMARIO

Editorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Noticias matematicas . . . . . . . . . . . 5

Anillos de Enteros y Anillos de Dedekind

Lic. Agustın D’Alessandro . . . . . . . . . . 7

Problemas para pensar

Certamen Intercolegial, XXXV OMA . . . . . 13

Numeros trascendentes

Emanuel Fernandez Paz . . . . . . . . . . . 14

La Distribucion de Probabilidad Logıstica

Lic. Susana Pasciullo . . . . . . . . . . . . 19

Caracteres de Dirichlet y sus funciones L

Lic. Hernan Galletti . . . . . . . . . . . . . 27

ISSN: 2591-3131

[email protected]

Editorial

Hace mas de 20.000 anos, en Ishango, cerca de las fuentes del Nilo,un hombre o una mujer tallo varias muescas en un hueso, el perone deun babuino. Esas muescas sugieren decididamente que ese homo sapiens (ofemina sapiens: algunos expertos suponen que fue una mujer quien hizo lasmarcas) manejaba determinadas operaciones de multiplicacion y division pordos. Pero lo mas sorprendente es que en una de las secuencias de marcasaparecen los numeros primos entre 10 y 20. La mayorıa de los estudiososadjudican esta secuencia a una simple casualidad, pues el concepto de numeroprimo requiere conocimientos aritmeticos inconcebibles en los homınidos dehace veinte milenios. De todos modos, el calculo de la probabilidad de quecuatro numeros elegidos al azar entre 11 y 19 (inclusive) sean primos (loscuatro), es menor que 8/1000.

Hace cuatro mil anos, algunos sumerios escribıan en tablillas debarro la formula cuadratica para resolver ecuaciones de segundo grado.Tambien conocıan aproximaciones de la raız cuadrada de 2 con cuatro cifrassexagesimales, equivalentes a seis cifras decimales.

En el siglo XVI, hace unos quinientos anos, tres matematicos italianos(Gerolamo Cardano, Scipione del Ferro y Niccolo Fontana, alias Tartaglia)encuentran la formula resolvente para la ecuacion cubica.

El 29 de mayo de 1832 en Parıs, durante toda la noche, un joven de veinteanos escribe cartas de despedida a sus amigos y redactando, febrilmente, sutestamento matematico. Se trata de Evariste Galois, quien a la madrugadase enfrenta en un duelo de pistola, falleciendo al dıa siguiente. Mas de diezanos despues, Joseph Liouville publica los trabajos de Galois en su Journaldes mathematiques pures et appliquees, aclarando que el joven muerto a losveinte anos habıa resuelto el problema de la resolucion de ecuaciones algebraicaspor radicales desarrollando una teorıa que implicaba una revolucion historicaen el algebra (el 31 de mayo, fecha de su muerte, se establecio como Dıa delMatematico). Leopold Infeld, fısico que trabajo con Einstein en Princeton,escribio una conmovedora novela biografica sobre Galois, llamada “El elegidode los dioses”, cuya lectura recomendamos fervorosamente.

La Matematica es una de las artes o ciencias mas antiguas de la Historia(y prehistoria) de la humanidad. A diferencia de otras ciencias y artes,su saber es acumulativo. Un teorema, una vez demostrado, tiene validezeterna y universal, no puede ser contradicho. No es de extranarse, entonces,que el saber matematico en la actualidad sea inabarcable en su totalidad porla mente humana. (Un programa de ensenanza intensiva que abarque latotalidad del conocimiento matematico actual requerirıa al menos un par desiglos). Este universo maravilloso tiene sus heroes, muchos de ellos anonimos,como el sapiens que tallo las marcas en el hueso de Ishango o los sumeriosque escribieron en aquellas tablillas. Otros, como Evariste Galois, no sontan conocidos como Arquımedes, Newton, Euler, Gauss, por ejemplo. Soninjusticias de la historia, tan imperfecta como los seres humanos que laescriben.

Una misteriosa lınea imaginaria se extiende sobre mas de veinte mileniosde historia, desde las fuentes del Nilo hasta el Parıs de la restauracionborbonica, enhebrando las orillas del Eufrates y la Venecia renacentista.

Dr. Daniel PrelatDirector del Departamento de Matematica

ELEMENTOS DE MATEMATICA - Vol. XXIV Nro. 84, Septiembre de 2018 5

Noticias matematicas

• En el Centro de Convenciones Riocentro en la Barra da Tijuca de Rıo de Janeiro, Brasil,se llevo a cabo el Congreso Internacional de Matematicos (ICM) 2018, del 1 al 9 de agosto.Durante nueve dıas se investigadores del mundo expertos en matematica y areas relacionadasse reunieron con el objetivo de compartir conocimientos y participar en diversas actividades,desde premios y charlas tecnicas hasta eventos de divulgacion.

Entre otras cosas durante el congreso se entregaron las medallas Fields, uno de los premiosmas prestigiosos en matematica. Los ganadores de esta edicion fueron

– Peter Scholze

– Alessio Figalli

– Akshay Venkatesh

– Caucher Birkar

• El Ministerio de Educacion esta organizando varias reuniones relacionadas con la problematicade la ensenanza de la Matematica con el fin de elaborar un proyecto. La UMA y algunosmatematicos fueron invitados a algunas de esas reuniones. En particular, el Dr. LeandroCagliero y la Dra. Alicia Dickenstein participaron de la presentacion que hicieron especialistasde Singapur y, junto con la Dra. Andrea Solotar, de la presentacion del Dr. Torossian(Francia) sobre el reporte “21 Medidas para la Ensenanza de las Matematicas” de C. Villaniy C. Torossian.

Destacamos aquı la visita del Dr. Torossian por ser parte de una empresa de caracterısticasexcepcionales. Son muy comunes desde hace varias decadas ya los informes dedicados a“salvar la educacion matematica” en distintos niveles, particularmente primario y secundario.La mision de Torossian y Villani se encuadra dentro de este tipo de intencion ante eldiagnostico de una crisis muy grave en la ensenanza matematica, crisis que a esta alturaparece ser cronica y omnipresente. No es ni por mucho el primer intento de proponer unconjunto de medidas para reformar o volver a categorificar la matematica en las escuelasde algun paıs determinado, en este caso Francia. Lo que hace excepcional este esfuerzo esque por primera vez es llevado a cabo por un investigador en matematica, y mas aun unmatematico de primerısimo nivel como es Cedric Villani.

Villani es, ademas de ganador de la medalla Fields de 2010 y uno de los mejores matematicoscon vida, miembro del parlamento nacional frances. El interes de Villani por el aprendizaje dela matematica en los ninos no es nuevo. Usualmente da conferencia sobre temas matematicosde interes actual apuntadas a alumnos de primaria, como lo hizo en su visita a nuestro paıs.Por eso la vision sobre este tema de un destacadısimo matematico que ademas es un grandivulgador resulta cuando menos interesante para consultar.

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6 Noticias matematicas

El comentario, muy valioso por cierto, sobre el informe Villani-Torossian realizado porLeandro Cagliero, Alicia Dickenstein y Andrea Solotar puede encontrarse aquı:

http://www.union-matematica.org.ar/archivo/wp-content/uploads/2018/07/Presentaci%

C3%B3n-Torossian.pdf

El informe original (en frances) se encuentra en:

http://cache.media.education.gouv.fr/file/Fevrier/19/0/Rapport_Villani_Torossian_

21_mesures_pour_enseignement_des_mathematiques_896190.pdf

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http://www.union-matematica.org.ar/archivo/wp-content/uploads/2018/07/Presentaci%C3%B3n-Torossian.pdf

http://www.union-matematica.org.ar/archivo/wp-content/uploads/2018/07/Presentaci%C3%B3n-Torossian.pdf

http://cache.media.education.gouv.fr/file/Fevrier/19/0/Rapport_Villani_Torossian_21_mesures_pour_enseignement_des_mathematiques_896190.pdf

http://cache.media.education.gouv.fr/file/Fevrier/19/0/Rapport_Villani_Torossian_21_mesures_pour_enseignement_des_mathematiques_896190.pdf


Anillos de Enteros y Anillos de Dedekind

Lic. Agustın D’Alessandro

Las soluciones no triviales de una ecuacion polinomial con coeficientes en un anillo A no siempreyacen en el mismo anillo o, incluso, los metodos para hallarlas requieren la introduccion de anillosque contengan a A. De este modo, es natural definir y estudiar aquellos anillos cuyos elementosson raıces de polinomios con coeficientes en un subanillo.

Definicion 1. Dados un anillo R y un subanillo A, se dice, entonces, que un elemento x ∈ R esentero sobre A si x es raız de un polinomio monico con coeficientes en A.

No resulta trivial que dados dos elementos enteros sobre un anillo, al operarlos se obtenganelementos que, a su vez, sean enteros sobre el anillo original. Encontrar un polinomio monico que seanule en dichos elementos usualmente es una tarea difıcil. Un enfoque distinto, sin embargo, brindaherramientas incluso mas utiles que sencillamente conocer un polinomio cuyas raıces resulten deoperar elementos enteros. Para eso, es conveniente linealizar el problema y analizarlo desde elpunto de vista de modulos, obteniendo los siguientes resultados:

Proposicion 2. Sea R un anillo, A un subanillo, x ∈ R . Los siguientes enunciados resultanequivalentes.

1. Existen a0, a1, . . . , an−1 ∈ A tales que: xn + an−1xn−1 + . . . + a1x+ a0 = 0

2. El anillo A[x] es un A-modulo de tipo finito.

3. Existe un subanillo B de R que contiene a A y a x , que es un A-modulo de tipo finito.

Proposicion 3. Sea R un anillo, A un subanillo,{xi}1≤i≤n una familia de elementos de R. Sipara todo i, xi es entero sobre A[x1, . . . , xi−1], entonces A[x1, . . . , xn] resulta un A-modulo de tipofinitio.

Como consecuencia inmediata de estas propiedades resulta que tanto la suma como la multiplicacionson operaciones cerradas en el conjunto de los elementos enteros de R sobre A y este alcanzaestructura de anillo con dichas operaciones.

Definicion 4. Sea R un anillo, A subanillo. El anillo A’ formado por los elementos de R enterossobre A se denomina Cierre Integral de A en R. Si A es un anillo ıntegro y K su cuerpo defracciones, el cierre integral de A en K se llama Clausura Integral de A. Si todo elemento delanillo R es entero sobre el subanillo A, entonces se dice que R es entero sobre A.

El Teorema de Fermat afirma que no existen soluciones en Z para la ecuacion xn+yn = zn conn ∈ N. Surge naturalmente, entonces, la necesidad de estudiar el anillo Z, su cuerpo de fracciones,Q, extensiones algebraicas de Q y sus clausuras integrales.

Definicion 5. Dado K un cuerpo numerico, los elementos de K enteros sobre Z forman un subanillode K, llamado Anillo de Enteros de K.

Como se vera en la seccion 2, la factorizacion de la ecuacion de Fermat hara que nos interesenespecıficamente los cuerpos numericos Q (ζp). donde p es un numero primo y ζp es una raız p-esimade la unidad, y sus respectivos anillos de enteros. Los cuerpos Q (ζp) son llamados Cuerpos

Ciclotomicos y el estudio de estos cuerpos mediante el uso de trazas, normas y polinomiosciclotomicos permiten obtener el siguiente resultado.

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8 Lic. Agustın D’Alessandro

Teorema 6. Sea p un numero primo y ζp una raız p-esima de la unidad. Entonces el anillo deenteros de Q (ζp) es Z [ζp] y el conjunto {1, ζp, ζ2p , . . . , ζp−2

p } es un conjunto de generadores de Z [ζp]como Z-modulo.

La resolucion del teorema de Fermat en primos regulares se apoya fuertemente en el anilloZ [ζp], es por eso que resulta util conocer su estructura de anillo y las diversas propiedades quede el se desprenden. El descubrimiento de extensiones de Z en las cuales no habıa factorizacionunica resulto un gran problema para las demostraciones que se habıan planteado para el teoremade Fermat. Sin embargo, la introduccion de los entonces llamados numeros ideales por Kummerresulto ser una manera eficaz de evitar ese problema. En forma similar a los elementos de un anillo,sus ideales pueden factorizarse en productos de otros ideales, pero para que la factorizacion de losideales tenga propiedades utiles, los anillos deben cumplir algunas condiciones especiales, dandopie a una clasificacion mas rigurosa de anillos.

Definicion 7. Un anillo A se dice ıntegramente cerrado si es un anillo ıntegro y su clausuraalgebraica es el mismo A.

Definicion 8. Un anillo A se dice Noetheriano si todo ideal de A esta finıtamente generado.

Definicion 9. Se dice que un anillo A es un anillo de Dedekind si es ıntegramente cerrado,Noetheriano y todo ideal P primo es un ideal maximal.

La definicion de los anillos Noetherianos puede ampliarse, viendo al anillo A como un moduloen sı mismo y pidiendo que cumpla alguna de las siguientes equivalencias.

Proposicion 10. Sea A un anillo y E un A-modulo, las siguientes afirmaciones son equivalentes.

1. Toda familia no vacıa de submodulos de E tiene un elemento maximal respecto a la relacionde inclusion.

2. Toda sucesion creciente, segun la relacion de inclusion, de submodulos de E es estacionaria.

3. Todo submodulo de E esta finitamente generado.

La condicion 2) es conocida como condicion de cadena ascendente y es la razon por la cual enun anillo Noetheriano los ideales pueden expresarse como producto finito de ideales primos. Noobstante, esta factorizacion puede no ser unica, haciendo necesaria la introduccion de los anillosde Dedekind, en donde valen los siguientes enunciados.

Teorema 11. Sea A un anillo de Dedekind. El conjunto Φ de ideales fraccionarios de A alcanzaestructura de grupo.

Teorema 12. Sea A un anillo de Dedekind. Entonces todo ideal puede descomponerse de formaunica como producto finito de ideales maximales.

Estos teoremas destacan la importancia de los anillos de Dedekind, que surgen como aquellosen los que la factorizacion puede estudiarse en sus ideales y no solo en sus elementos, en quienespuede fallar. Como se menciono con anterioridad, existen extensiones de Z, por ejemplo Z [ζ23], endonde la factorizacion en irreducibles de sus elementos no era unica, pero, como afirma el siguienteteorema, sus ideales sı se factorizan en forma unica pues son anillos de Dedekind.

Teorema 13. Sea Z el anillo de los numeros enteros y ζp una raız p-esima de la unidad. Entoncesel anillo Z [ζp] es un anillo de Dedekind.

Junto con la generalizacion de la factorizacion de elementos de un anillo a la factorizacion desus ideales surgio naturalmente el interrogante de cuando un anillo de Dedekind lograba ser unanillo de factorizacion unica. Una vez hallada la respuesta a este problema, el siguiente puntode interes era el poder determinar a que ”distancia” se encontraba el anillo de Dedekind dado deser un anillo de factorizacion unica. Estos cuestionamientos llevaron a los siguientes resultados ydefiniciones, a partir de las cuales se han dividido los numeros primos.

Proposicion 14. Un anillo de Dedekind es un anillo de factorizacion unica si y solo si es unanillo de ideales principales.

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Definicion 15. Sea A un anillo de Dedekind, Φ el grupo de ideales fraccionarios de A, Υ elsubgrupo de ideales fraccionarios principales de A. El grupo C = Φ/Υ es llamado grupo de

clases y su orden es denominado numero de calse.

Definicion 16. Un numero p, primo, se dice primo regular si no divide al numero de clase dela extension Z [ζp]

1 Ultimo Teorema de Fermat

La conjetura que Pierre de Fermat dejo abierta afirmaba que la ecuacion xn + yn = zn no poseıasoluciones no triviales en el anillo de los numeros enteros, para todo n ∈ N mayor a 2. Laprimera observacion que resulta importante de hacer es que esta afirmacion no necesita ser probadadirectamente para todos los numeros naturales, sino que basta probarla cuando los exponentes dela ecuacion son numeros primos, esto es facil de ver ya que, si p es un primo que divide al exponenten, se tiene:

xn + yn = zn ⇔ xp.k + yp.k = zp.k ⇔(xk)p

+(yk)p

=(zk)p ⇔ x′p + y′p = z′p

De este modo, la ecuacion debıa resolverse unicamente para exponentes primos. De ahora enadelante, p representara un primo regular.Tambien cabe destacar que podemos reducir el problemaal caso en que x, y y z son coprimos dos a dos. De no serlo, llamando d = (x : y) se obtienefacilmente que d | z, de donde se sigue:

xp + yp = zp ↔ (d.x′)p + (d.y′)p = (d.z′)p ↔ x′p + y′p = z′p

Por lo tanto podemos considerar, sin perdida de generalidad, que los numeros x, y y z soncoprimos dos a dos.

El enfoque de Kummer por resolver la conjetura de Fermat para primos regulares no lograbaresolver por completo el problema, pero significaba un gran avance y fue impulsor de muchostrabajos en el area del algebra conmutativa. La tecnica empleada para resolver este problema seapoya en en las mismas bases que los trabajos de sus contemporaneos y predecesores, sin embargodestacaremos el punto en el que el trabajo de Kummer se diferencia del resto, logrando ası dar unarespuesta afirmativa a este problema.

Historicamente el problema se ha dividido en dos casos distintos, Caso I y Caso II, en dondeel caso I se realiza bajo la hipotesis de (xyz : p) = 1 y el caso II bajo la hipotesis p | z, probandoseel primero como el caso mas facil de demostrar.

1.1 Caso I

Teorema 17. La ecuacion xp + yp = zp no tiene soluciones enteras no triviales para p un primoregular mayor a 2 y (xyz : p) = 1 con x, y, z coprimos dos a dos.

Suponiendo que la ecuacion dada por Fermat admite soluciones enteras no triviales x, y y z, laecuacion admite una factorizacion conocida y empleada por los matematicos que habıan intentadodemostrar la conjetura. Esta es:

zp = xp + yp =

p−1∏

i=0

(x+ ζipy)

Donde ζp es una raız p-esima de la unidad. Como el exponente p se mantendra fijo, notaremossimplemente como ζi a las raıces p-esimas de la unidad. De este modo, el problema de Fermatse traslada de forma natural al anillo Z [ζ], el cual recordamos es un anillo de Dedekind. Lasdemostraciones que empleaban esta factorizacion de la ecuacion de Fermat procedıan a probar lacoprimalidad de los factores del miembro izquierdo de la igualdad, cuando (xyz : p) = 1, y, masluego, afirmar que cada uno de ellos debıa ser una potencia p-esima. Sin embargo, afirmar que sizp se podıa descomponer como producto de factores coprimos dos a dos, estos debıan ser potenciasp-esimas puede no ser correcto. La descomposicion de zp como producto de potencias p-esimasdependıa de la factorizacion unica dentro del anillo Z [ζ], cosa que no es valida para todo primo p.Por ejemplo, para p=23, el anillo Z [ζ23] no es un anillo de factorizacion unica. Sin embargo, los

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ideales de los anillos Z [ζp] sı se factorizan de forma unica, para cualquier p primo, por lo que tienemayor sentido abordar el problema desde los ideales del anillo, mas que sus propios elementos.

Traduciendo la ecuacion de Fermat a ideales, vemos que se trata de una igualdad entre idealesprincipales y productos de ideales principales de la siguiente forma:

p−1∏

i=0

(x+ ζipy) = (z)p

Como los ideales de la forma (x + ζiy) son coprimos dos a dos y los ideales, efectivamente, sefactorizan de forma unica, podemos afirmar que estos son potencias p-esimas de algun ideal deZ [ζ], obteniendo la siguiente igualdad, para 0 ≤ i ≤ p− 1:

(x+ ζiy) = Api

Esto implica que la potencia p-esima de Ai es el elemento neutro dentro del grupo de clasesde Z [ζ], por lo que el orden de Ai debe dividir tanto a p como al numero de clase de Z [ζ]. Lacondicion de regularidad de p implica, entonces, que Ai es un ideal principal. Por lo tanto se tienela siguiente igualdad de ideales:

(x+ ζiy) = Api = (tpi )

Siendo u una unidad de Z [ζ], la igualdad de ideales implica la siguiente igualdad entre elementosdel anillo:

x+ ζiy = utpi

Escribiendo t = b0+b1ζ+ . . .+bp−1ζp−1 se obtiene entonces la congruencia tp ≡ b0+b1+ . . .+bp−1

mod pZ [ζ] y, por lo tanto tp ≡ tp mod pZ [ζ]. En este punto, el siguiente lema sera de utilidadpara poder avanzar con las congruencias necesarias.

Lema 18. Sea u unidad en Z [ζ], entonces u/u = ±ζj, para 0 ≤ j ≤ p− 1

Tomando i = 1 y aplicando el lema 18, obtenemos las siguientes igualdades y congruencias enmodulo p:

x+ ζy = utp

x+ ζy = ±ζjutp

x+ ζy ≡ ±ζjutp mod pZ [ζ]

x+ ζy ≡ ±ζj(x+ ζy

)mod pZ [ζ] (3.1)

El analisis por casos de (3.1) muestra que para todo valor de j se llega a una contradiccionen el espacio vectorial Z [ζ] /(p) sobre el cuerpo Z/(p). Por lo tanto el Caso I de la conjetura deFermat no admite soluciones enteras no triviales cuando el exponente es un primo regular.

1.2 Caso II

Teorema 19. La ecuacion xp + yp = zp no tiene soluciones enteras no triviales para p un primoregular mayor a 2 y (xyz : p) = p con x, y, z coprimos dos a dos.

Siendo que el exponente p es impar, podemos escribir la ecuacion de Fermat de manerasimetrica. Por lo tanto, para el Caso II mostraremos que la ecuacion xp + yp + zp = 0 no tienesoluciones enteras no triviales. En este caso podemos asumir, sin perdida de generalidad, queunicamente z es divisible por p, pues si p dividiese a alguno de los numeros x o y, necesariamentedivide al tercero, lo cual contradice la coprimalidad de x, y y z.

Lema 20. Existe w ∈ Z [ζ]∗tal que p = w(1− ζ)p−1.

Como z es divisible por pr con 1 ≤ r, aplicando el lema 20 obtenemos:

xp + yp + u (1− ζ)r(p−1)p

zp0 = 0 (3.2)

Como consecuencia de (3.2), el Caso II del teorema de Fermat resulta un corolario de unresultado mas general, propio del anillo Z [ζ]:

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Teorema 21. La ecuacion αp + βp + ε (1− ζ)pnγp = 0 no tiene soluciones no triviales en Z [ζ]

para p un primo regular mayor a 2, ε ∈ Z [ζ], n ≥ 1 y (1− ζ) no divide a αβγ.

La ecuacion ahora planteada en el teorema 21 nos da la siguiente igualdad entre ideales:

p−1∏

i=0)

(α+ ζiβ

)= (1− ζ)

pn(γ)

p(3.3)

Como el miembro de la derecha es no nulo, los factores del miembro izquierdo tambien sonno nulos. En este caso no es posible afirmar que los factores de la izquierda sean coprimos. Sinembargo, se puede probar que al menos un ideal del miembro izquierdo se factoriza de modo queaparezcan nuevos ideales principales que permitan resolver el problema.

Lema 22. Los elementos 1 − ζ, 1 − ζ2, . . . , 1 − ζp−1 son asociados y el ideal (1− ζ) es el unicoideal primo en Z [ζ] que divide al ideal (p).

Como 1 − ζj = u (1− ζ), se tiene 1 ≡ ζj mod (1− ζ), lo que implica α + ζiβ ≡ α + ζjβ ≡α+β mod (1− ζ). Siendo que (1− ζ) es un ideal primo que divide al miembro izquierdo de (3.3),debe dividir a algun factor y, por lo tanto, divide a todos pues son congruentes entre si en modulo(1− ζ).

Asumiendo que todos los factores del miembro izquierdo de (3.3) son divisibles unicamente unavez por (1− ζ), es decir n = 1, se llega a una contradiccion, lo que indica que existe al menos un

factor divisible por (1− ζ)2y n ≥ 2. Mas todavıa, se llega al resultado que existe un unico j tal

que(α+ ζjβ

)es divisible por (1− ζ)

2. Sin perdida de generalidad podemos asumir j=0.

Para hallar los ideales necesarios para concluir la demostracion, debemos primero descomponerel miembro de la izquierda en nuevos factores, de modo que estos sı resulten coprimos dos a dos.Llamando δ = (α : β) y tomando las combinaciones lineales apropiadas, se deduce que el mcd. entrelos ideales del miembro izquierdo es (δ) (1− ζ). Esto nos permite reescribir (3.3) de manera que elideal (δ) aparezca como una potencia p-esima multiplicada por ideales coprimos dos a dos, quienes,por unicidad de factorizacion de ideales, son a su vez potencias p-esimas. Se tiene, entonces:

(α+ ζjβ

)= (δ) (1− ζ)Cp

j ; (α+ β) = (δ) (1− ζ)np−(p−1)

Cp0

Operando con los ideales se obtiene que

CpjC

−p0 =

(α+ ζjβ

)(α+ β)

−1(1− ζ)

np−p(3.4)

Por lo que CpjC

−p0 es un ideal fraccionario principal. Siendo p regular se deduce que CjC

−10 es

tambien un ideal fraccionario principal. Es decir que CpjC

−p0 = (tj)

p. Reemplazando en (3.4) y

multiplicando ambos miembros por (1− ζ)−p(n−1)

se obtiene.

(α+ ζjβ

)(α+ β)

−1= (tj)

p(1− ζ)

−p(n−1)(3.5)

Esta ultima ecuacion puede traducirse a una ecuacion de elementos de Z [ζ], teniendo en cuentaque, dado que (tj) es un ideal fraccionario, tj =

xj

yj, con xj ∈ Z [ζ] y yj ∈ Z [ζ]. De este modo,

trabajando sobre la ecuacion de ideales (3.5) se obtiene la siguiente ecuacion en Z [ζ]:

cpp−1 +ε1

ζεp−1cp1 −

1 + ζ

ζεp−1(1− ζ)

p(n−1)cp0 = 0 (3.6)

Donde cp−1, c1 y c0 son elementos de Z [ζ] y ε1 y εp−1 son unidades de Z [ζ]. Destaquemos que(3.6) es identica a la ecuacion planteada en el teorema 21 a excepcion del exponente de (1− ζ), quese ha reducido a p(n−1) en lugar de pn, y el coeficiente ε1

ζεp−1de cp1 que no figura cuando revisamos

el coeficiente de βp. Demostrar que ε1ζεp−1

es una potenca p-esima nos permitira introducirlo bajo

el mismo exponente de c1, logrando ası que (3.6) sea identica a la ecuacion planteada en el teorema21, salvo por n. Este es un resultado no trivial, conocido como Lema de Kummer.

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Lema 23. (Lema de Kummer) Sea p primo regular y u unidad en Z [ζ]. Si existe m ∈ Z tal queu ≡ m mod pZ [ζ], entonces existe una unidad w ∈ Z [ζ] tal que u = wp.

Tomando congruencias en (3.6) se obtiene facilmente que existe m ∈ Z tal que ε1ζεp−1

≡m mod pZ [ζ]. Aplicando el lema de Kummer a ε1

ζεp−1se concluye que existe w ∈ Z [ζ] tal que

ε1ζεp−1

= wp. Por lo tanto:

cpp−1 +ε1

ζεp−1cp1 −

1 + ζ

ζεp−1(1− ζ)

p(n−1)cp0 = 0

cpp−1 + wpcp1 −1 + ζ

ζεp−1(1− ζ)

p(n−1)cp0 = 0

cpp−1 + (wc1)p − 1 + ζ

ζεp−1(1− ζ)

p(n−1)cp0 = 0

cpp−1 + c′p1 − 1 + ζ

ζεp−1(1− ζ)

p(n−1)cp0 = 0

De este modo, si la ecuacion del teorema 21 tiene soluciones para algun n ≥ 1, debe existirun solucion para una ecuacion de la misma forma, con exponente n− 1. Pero hemos probado quen ≥ 2, por lo que por iteracion se llega a un absurdo, puesto que eventualmente el exponente ndescendera hasta el 1, lo cual, como dijimos, no puede ocurrir. Por lo tanto, queda demostrado elteorema 21 y el Caso II de la conjetura de Fermat es un corolario inmediato de este.

Referencias

[1] M. F. Atiyah and I. G. Macdonald. Introduction to commutative algebra. Addison-WesleyPublishing Co., Reading, Mass.-London-Don Mills, Ont., 1969.

[2] A. I. Borevich and I. R. Shafarevich. Number theory. Translated from the Russian by NewcombGreenleaf. Pure and Applied Mathematics, Vol. 20. Academic Press, New York-London, 1966.

[3] Keith Conrad. Fermat’s last theorem for regular primes. Preprint, 2004.

[4] Serge Lang. Algebra, volume 211 of Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, NewYork, third edition, 2002.

[5] Pierre Samuel. Algebraic theory of numbers. Translated from the French by Allan J. Silberger.Houghton Mifflin Co., Boston, Mass., 1970.

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Problemas para pensar

Certamen Intercolegial, XXXV OMA

Resumen. Los siguientes problemas fueron propuestos en el tercer nivel del certamenintercolegial de las XXXV Olimpiadas Matematicas Argentina, 2018.

1. Un cuadrado esta dividido en cuatro cuadraditos de 1×1. en cada vertice de los cuadraditoshay un cırculo. Escribir en cada cırculo un numero entero entre 0 y 8 inclusive, sin repetir,para que la suma de los numeros de los cuatro vertices de cada cuadradito de 1 × 1 seasiempre la misma. En el centro ya esta escrito el numero 4.

4

2. El entero positivo n tiene 90 dıgitos todos distintos de 0 y cada uno de ellos aparece 10 veces.Se forman dos nuevos numeros a y b; a agregando el dıgito 1 al comienzo de n y b agregandoel dıgito 1 al final de n. Luego se calcula

m =b− a

9.

Hallar la suma de los dıgitos de m.

3. En el cuadrado ABCD sea E en el lado BC tal que EC = 2BE. La recta por A y E corta ala recta que contiene al lado CD en F . Si area(ABEFD) = 60, calcular el area del cuadradoABCD.

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14 Emanuel Fernandez Paz

Numeros trascendentes

Emanuel Fernandez Paz

Resumen: El objetivo es poder analizar una de las demostraciones que prueba que elnumero e es trascendente sobre Q.

Comenzamos por definir numeros algebraicos y trascendentes, probar su existenciay demostraremos que el numero e es irracional. El metodo utilizado para probar que ees irracional servira para entender la estrategia de demostracion del teorema principal.

Definicion. Sea k un cuerpo y E una k-algebra. Un elemento x ∈ E es entero o algebraico sobrek si es solucion de algun polinomio no nulo con coeficientes en k. A los elementos que no sonalgebraicos los llamamos trascendentes.

Ejemplo. • 0 es algebraico pues f(x) = x ∈ k[x] es no nulo y f(0) = 0.

• Todo α ∈ k es algebraico pues f(x) = x− α ∈ k[x] es no nulo y f(α) = 0.

•√2 ∈ R es algebraico sobre Q pues f(x) = x2 − 2 ∈ Q[x] es no nulo y f(

√2) = 0.

De ahora en mas cuando hablemos de trascendentes, nos estaremos refiriendo a trascendentessobre Q

Lema. Existen numeros trascendentes.

Demostracion. Sabemos que los numeros reales algebraicos son un conjunto numerable y los realesson no numerables, por lo tanto existen numeros trascendentes. Sea:

F (n) = {f(x) =n∑

j=0

ajxj ∈ Z[x] : 1 ≤

n∑

j=0

|aj | ≤ n}

Notese que F (n) es finito. Ademas, todo polinomio no nulo en Z[x] pertenece a algun F (n).Tomando las raıces de los F (1), F (2), . . . , F (j) con j 6 n se pueden ordenar los numeros Algebraicos,por lo tanto son numerables. Para terminar con la demostracion se debera probar que R es nonumerable, pero esto puede encontrarse en la bibliografıa.

Teorema. Sea a ∈ R con la siguiente propiedad: Para cada ε ∈ R, ε > 0: ∃ M,M1 ∈ Z y ε1 6= 0con |ε1| < ε tal que a = (M1 + ε1)/M . Entonces, a es irracional.

Demostracion. Supongamos a ∈ Q con a = p/q donde p, q ∈ Z, q > 0 y sea ε = 1/(2q). Porhipotesis ∃M,M1 y ε1 6= 0 donde |ε1| < ε tal que:

p

q=M1 + ε1M

Entonces pM − qM1 = qε1 donde pM − qM1 ∈ Z. Por como definimos ε sabemos que:

0 < |qε1| < 1/2,

pero esto es absurdo ya que pM − qM1 ∈ Z por lo tanto a es irracional.

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Teorema. e es irracional.

Demostracion. Sabemos que para cualquier n, se cumple:

e = 1 +1

1!+

1

2!+ . . .+

1

n!+Rn

donde 0 < Rn <3

(n+ 1)!

Supongamos que e ∈ Q

⇒ ∃ p, q ∈ Z p 6= 0 tal que e =p

q

⇒ p

q= 1 +

1

1!+

1

2!+ . . .+

1

n!+Rn

Sin perdida de generalidad supongamos que n > q y ademas n > 3. Multiplicando por n! a amboslados de la igualdad:

⇒ n!p

q= n! +

n!

1!+n!

2!+ . . .+ 1 + n!Rn.

Como n > q, tenemos que q|n! y luego n!p/q ∈ Z. En forma similar n!+n!/1!+n!/2!+ . . .+1 ∈ Z,pero

0 < n!Rn <3

n+ 1<

3

4

⇒ Rn /∈ Z

lo cual es absurdo ∴ e es irracional.

Para demostrar que e es trascendente utilizaremos la siguiente estrategia: se supone que e

es algebraico para luego llegar a un absurdo. Tomando la idea del teorema anterior, notemos losiguiente sobre el polinomio de Taylor de e.

e = 1 +1

1!+

1

2!+ . . .+

1

n!+Rn

1.

1 +1

1!+

1

2!+ . . .+

1

n!

Puede escribirse como fraccion de:

p

qcon q < n! ∴ n!

(p

q

)∈ Z

2.

0 < Rn <3

(n+ 1)!∴ n!Rn /∈ Z

Esto implica que e se puede aproximar por racionales y vale para cualquier potencia finita e, e2, . . . , en

logrando aproximaciones simultaneas por elementos de Q. Por definicion de algebraico, debecumplirse:

anen + . . .+ a1e+ a0 = 0 con a0 . . . , an ∈ Z.

Luego se definen M,Mk ∈ Z, 0 < k ≤ n y ε1, . . . , εn > 0 tal que:

e =M1 + ε1M

, e2 =M2 + ε2M

, . . . , en =Mn + εn

M.

Por hipotesis, e, e2, . . . , en cumplen:

a0 + a1M1 + ε1M

+ . . .+Mn + εn

M= 0

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Multiplicando miembro a miembro por M y agrupando obtenemos:

(Ma0 + a1M1 + . . .+ amM) + . . .+ (ε1a1 + . . .+ εnan) = 0.

De acuerdo a como se definan las estimaciones por racionales de e, e2, . . . , en lograremos que:

|Ma0 + a1M1 + . . .+ amM | ∈ N

pero

|ε1a1 + . . .+ εnan| <1

2.

Como la suma de un entero distinto de cero y un real de valor absoluto menor a 1/2 no puede sercero, resulta e trascendente.

Teorema. e es trascendente.

Demostracion. Sean los numeros a0, . . . , an con a0 6= 0 tales que

anen + . . .+ a1e+ a0 = 0 (5.1)

Definimos los numeros M,Mk y εk de la siguiente forma:

M =

∫ ∞

0

xp−1((x− 1) . . . (x− n))pe−x

(p− 1)!dx

Mk = ek∫ ∞

k

xp−1((x− 1) . . . (x− n))pe−x

(p− 1)!dx

εk = ek∫ k

0

xp−1((x− 1) . . . (x− n))pe−x

(p− 1)!dx

El numero p es un primo del cual todavıa no estamos en condiciones de decir nada (elemento dedramatismo y suspenso).

Fijemos primero la atencion en M : en primer lugar, la siguiente expresion es una funcionpolinomica:

(x− 1) . . . (x− n) = f(x)

⇒ f(x) =

n∏

i=1

(x− i) = xn + . . .+ n!

Elevando a la p-esima potencia:

n∏

i=1

(x− i)p = xnp + . . .+ (n!)p

Reemplazando en la integral:

M =

∫ ∞

0

xp−1(xnp + . . .+ (n!)p)e−x

(p− 1)!dx

Distribuyamos xp−1 en f(x)p:

M =

∫ ∞

0

(xp−1+np + . . .+ xp−1(n!)p)e−x

(p− 1)!dx

Podemos ahora, abrir esta integral en una suma de integrales impropias convergentes:

M =

∫ ∞

0

xp−1+np

(p− 1)!e−xdx+ . . .+

∫ ∞

0

xp−1(n!)p

(p− 1)!e−xdx

Lo que equivale a:

M =

np∑

α=0

1

(p− 1)!Cα

∫ ∞

0

xp−1+αe−xdx

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donde Cα ∈ Z y C0 = ±(n!)p. Es importante notar que por propiedades de Γ(x):

∫ ∞

0

xp−1+αe−x = (p− 1 + α)!

⇒ M =

np∑

α=

Cα(p− 1 + α)!

(p− 1)!

Si α = 0:

±(n!)p(p− 1)!

(p− 1)!= ±(n!)p

Sea p > n tal que p ∈ Z y ademas p ∤ C0. (Muy importante)Si α > 0:

Cα(p− 1 + α)!

(p− 1)!= Cα(p+ α− 1)(p+ α− 2) . . . p

que sı es divisible por p, luego p ∤ M por ser la suma de un entero divisible por p y un entero nodivisible por p.

Consideremos Mk:

Mk = ek∫ ∞

k

xp−1((x− 1) . . . (x− n))pe−x

(p− 1)!dx

=

∫ ∞

k

xp−1((x− 1) . . . (x− n))pe−(x−k)

(p− 1)!dx

Veamos si podemos obtener una expresion lo mas similar posible a la de M . Propongo lasustitucion:

u = x− k

du = dx

⇒Mk =

∫ ∞

0

(u+ k)p−1((u+ k − 1) . . . u . . . (u+ k − n))pe−u

(p− 1)!du.

Notemos que para el polinomio, existira un factor u en el k-esimo lugar. Esto significa que lap-esima potencia contiene al factor up. Quiere decir que la expresion:

(u+ k)p−1((u+ k − 1) . . . u . . . (u+ k − n))p

es un polinomio de coeficientes enteros de grado mayor o igual a p.

⇒ Mk =

np∑

α=1

1

(p− 1)!Dα

∫ ∞

0

up−1+αe−udx

=

np∑

α=1

Dα(p− 1 + α)!

(p− 1)!.

Analogamente a Cα, Dα ∈ Z. Notese que la sumatoria comienza con α = 1; por lo tanto p|Mk

⇒ Mk ∈ Z y p|Mk

Ahora tenemos las herramientas para estimar ek

ek =Mk + εkM

.

Volviendo a la hipotesis principal, sustituyendo en (1) y multiplicando por M , obtenemos:

anMn + anεn + . . .+ a1M1 + a1ε1 +Ma0 = 0

⇒ (anMn + . . .+ a1M1 +Ma0) + (anεn + . . .+ a1ε1) = 0.

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Ademas de pedir que p > 0, pedimos p > |a0|. Con esto logramos que el termino Ma0 no seadivisible por p. Pero como cada Mk sı es divisible por p la siguiente sumatoria no lo sera

anMn + . . .+ a1M1 +Ma0

y ademas es un entero no nulo.Ya estamos muy cerca de lograr el absurdo que querıamos en (1). Nos falta demostrar que

anεn + . . .+ a1ε1 → 0 cuando p→ ∞

Bastara probar que |εk| es un infinitesimo. Hallemos una cota considerando que n representa unvalor fijo. De hecho, es el grado de (1).

Sea 1 ≤ k ≤ n

⇒ |εk| ≤ ek∫ k

0

|xp−1((x− 1) . . . (x− n))p|e−x

(p− 1)!dx

≤ en∫ n

0

np−1|((x− 1) . . . (x− n))p|e−x

(p− 1)!dx

Sea A = max{|x− 1|, . . . , |x− n|} para x ∈ [0, n]

⇒ |εk| ≤ennp−1Ap

(p− 1)!

∫ n

0

e−xdx

≤ ennp−1Ap

(p− 1)!

∫ ∞

0

e−xdx

≤ ennp−1Ap

(p− 1)!

∫ ∞

0

e−xdx

≤ ennp−1Ap

(p− 1)!porque

∫ ∞

0

e−xdx = 1

≤ ennpAp

(p− 1)!=

en(nA)p

(p− 1)!

Pero como n y A son fijos:(nA)p

(p− 1)!→ 0 cuando p→ ∞

Esto prueba que |εk| es un infinitesimo ∴ e es trascendente.

Referencias

[1] Guccione, Jorge A; Guccione, Juan J., Algebra 3, galois.pdf. UBA, 2004

[2] Spivak, Michael., Calculus. 1a ed. Londres: Addison-Wesley, 1967

[3] Rudin, Walter., Principles of Mathematical Analysis 3a ed. EEUU: MC-Graw Hill, 1976

[4] Jones, Arthur; Morris, Sidney A; Pearson, Kenneth R., Abstract Algebra and FamousImpossibilities :Springer-Verlag, 1991

[5] Baker, Alan., A concise introduction to the theory of numbers. Cambridge University Press,1984

[6] Gelfond, A.O., Trascendental and Algebraic Numbers. 1a ed. Dover, 1960

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La Distribucion de Probabilidad Logıstica

Lic. Susana Pasciullo

La distribucion Logıstica juega un importante rol en la Estadıstica y el Calculo de Probabilidadesya sea en modelos de crecimiento como tambien en la Regresion Logıstica. Fue descripta en suscomienzos por el belga Pierre Francois Verhulst (1804-1849) en sus estudios relacionados con elcrecimiento de la poblacion. La funcion de densidad es:

f(x) =e−

x−αβ

β(1 + e−

x−αβ

)2

y la funcion acumulada es:

F (x) =1

1 + e−x−αβ

y se la representa con el sımbolo Logi(α;β) con α parametro de posicion y β de escala. Se tratade una distribucion campanular simetrica alrededor de X = α como se observa en la Figuras 1. LaFigura 2 muestra la funcion de distribucion acumulada, muy aplicable a tal punto que se la conocecomo Funcion Logıstica cuando toma vida propia independizandose del concepto de funcion deprobabilidad.

Figura 1 Figura 2

Para una variable con distribucion Logıstica tenemos las siguientes caracterısticas:

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20 Lic. Susana Pasciullo

Caracterıstica Expresion

Esperanza Matematica E(X) = αVariancia V ar(X) = β2π2/3Mediana Mna = αModo Mdo = αCoeficiente de Asimetrıa As = 0Coeficiente de Curtosis K = 1.2Funcion Generatriz de Momentos ϕx(t) = eαtB(1 + βt; 1− βt),

−1 < βt < 1, B : funcion Beta

La funcion Logıstica estandar con α = 0 y β = 1, Logi(0; 1) acumula una probabilidad 0.9993 enel intervalo −8 < X < 8 como muestra la Figura 3

Figura 3

Las caracterısticas de la distribucion Logi(0; 1) son


Funcion de densidad f(X) = e−x

(1+e−x)2

Funcion de distribucion acumulada F (X) = 11+e−x

Esperanza Matematica E(X) = 0Variancia V ar(X) = π2/3Mediana Mna = 0Modo Mdo = 0Coeficiente de Asimetrıa As = 0Coeficiente de Curtosis K = 1.2Funcion Generatriz de Momentos ϕx(t) = B(1 + t; 1− t),

−1 < t < 1, B : funcion Beta

Tres distribuciones campanulares compiten a la hora de describir el comportamiento de datosempıricos, con gran concentracion alrededor de la media y poca concentracion a ambos de suslados: la distribucion Normal, la distribucion de Cauchy y la Logıstica. Historicamente la Normalha mantenido su hegemonıa dada su gran aceptacion entre los datos biometricos. La distribucionde Cauchy, que simbolizamos Ca, util en el area de la Fısica, presenta el inconveniente de susmomentos indefinidos, por lo que sencillamente no contamos con su esperanza ni con su variancia.La distribucion Logıstica no gozo de la popularidad de la Normal a pesar de la simplicidad de susfunciones de densidad y de distribucion, y de su capacidad para describir procesos de crecimientoy saturacion en diferentes campos como por ejemplo epidemiologıa, biologıa o marketing. Enefecto, las especies vivas, todas ellas incluida el hombre, muestran un comportamiento caracterısticocuando conviven en entornos competitivo; tambien la difusion de nuevos productos tratan de“destruir” a los viejos para acaparar el mercado.

En la Figura 4 comparamos las tres distribuciones. Notar que es Logi(0; 1) = N(0; 1) enx = ±1.32454 y que es Logi(0; 1) = Ca en x = ±3.87965 y en x = ±0.63826

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Figura 4

La distribucion Logıstica se relaciona con otras distribuciones de probabilidad, como porejemplo la Uniforme, la Exponencial y Gumbel. Veremos algunas de estas relaciones en detalle.Un resultado importante del Calculo de Probabilidades que usaremos es el Cambio de Variableque establece lo siguiente: Si X es una variable aleatoria continua con funcion de densidad f(x) ysi Y = ϕ(x) diferenciable y absolutamente creciente o decreciente con funcion inversa x = ϕ−1(y),se tiene que la funcion de densidad de y sera:

g(y) = f(ϕ−1(y))

∣∣∣∣dϕ−1(y)

dy

∣∣∣∣

Veamos un primer vınculo de la distribucion Logıstica con otra distribucion:

a) Si X ∼ U(0; 1), Y = α+ β(lnX − ln(1−X)) ∼ Logi(α;β).La funcion de densidad de X es f(x) = 1 con 0 < x < 1, no incluidos los lımites en este caso.

y = φ(x) = α+ β(lnx− ln(1− x)) =⇒

y − α

β= lnx− ln(1− x) = ln(x/(1− x)) =⇒

ey−αβ =

x

1− xde donde resulta x =

1

1 + e−y−αβ

= ϕ−1(y) =⇒

dϕ−1(y)

dy=

e−y−αβ

(1 + e−

y−αβ

)2−1

β

Por lo que g(y) = f(ϕ−1(y))∣∣dϕ−1(y)/dy

∣∣ sera

g(y) =e−

y−αβ

β(1 + e−

y−αβ

)2

que es la distribucion Logi(α;β).En la Figura 5 mostramos la recreacion de este resultado en una planilla de calculo Excel donde

obtenemos 2000 valores Logi(α = 5;β = 0.5). Comenzamos generando en la columna B los valoresU(0; 1) con la funcion indicada en la llamada. En la columna C calculamos los valores de Y, quesegun lo demostrado, tienen una distribucion Logi. Estos valores son posteriormente organizados en

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una distribucion de frecuencias y presentados en el histograma correspondiente. Al pie de la planillacalculamos algunos parametros de la distribucion de Y, celdas C2004 a C20011, como indican lasllamadas. Podemos cotejar estos valores con los respectivos teoricos que se muestran en el anguloinferior izquierdo de la planilla, columna A. La forma del histograma reproduce satisfactoriamentela forma campanular simetrica de la distribucion Logıstica, centrada en este caso en α = 5.

Figura 5

Para un segundo caso de generacion de variables aleatorias Logi necesitamos una nueva distribucionllamada Gumbel que presentaremos a continuacion. Toma el nombre de su creador, el matematicoy escritor aleman Emil Julies Gumbel (1891-1966), pacifista y energico opositor al regimen nazista.Con Gu(α;β) simbolizamos la distribucion de probabilidad de una variable aleatoria continuaGumbel con α parametro de posicion y β de escala que representamos en la siguiente figura paradistintos valores de sus parametros:

Figura 6

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En el siguiente cuadro vemos las principales caracterısticas de esta distribucion, muy util en elanalisis de los valores extremos, maximo y mınimo de una muestra. La naturaleza presenta muchasveces valores extremos en algunas variables que ponen en riesgo a la poblacion como por ejemplola altura de un rıo, ya sea por muy alta o por muy baja, la magnitud de un terremoto, las grandesprecipitaciones, la concentracion de contaminantes, la alta velocidad del viento; la distribucion deGumbel es un modelo apropiado para el analisis de estos casos extremos.


Funcion de densidad Gu(α;β) f(X) = 1β e

−

(x−αβ

+e−

x−αβ

)

, −∞ < x <∞

Funcion de distribucion acumulada F (X) = e−e−

x−αβ

Esperanza Matematica E(X) = α+ βγ con γ = 0.577216 constante de EulerVariancia V ar(X) = π2β2/6Mediana Mna = α− β ln(ln(2))Modo Mdo = αCoeficiente de Asimetrıa As ∼= 1.139Coeficiente de Curtosis K = 12/5Funcion Generatriz de Momentos ϕx(t) = Γ(1− βt)eαt

Funcion de densidad estandar Gu(0; 1) f(X) = e−(x+e−x)

Funcion de distribucion acumulada estandar F (X) = e−e−x

El Metodo de la Transformacion Inversa para generar variables aleatorias.

La generacion de variables aleatorias con una funcion de probabilidad puede realizarse condiferentes metodos. Uno de los mas difundidos es el Metodo de la Transformacion Inversa, MTI,basado en la funcion inversa de la funcion de distribucion acumulada de la variable aleatoria quese desea generar. Brevemente, si X tiene una funcion acumulada F (x) definida explıcitamente yque admite inversa, podemos escribir: F (x) = r con r con distribucion Uniforme en el intervalo[0, 1). Los valores aleatorios de X se generan haciendo x = F−1(r).

Mas formalmente, si X tiene como densidad f(x) y como funcion acumulada F (x) y hacemosr = F (x) con r U(0; 1) y ademas x = F−1(r), la funcion de densidad de probabilidad g(r) es:

g(r) = f(F−1(r))

∣∣∣∣dF−1(r)

dr

∣∣∣∣ = f(F−1F (x))

∣∣∣∣dF−1F (x)

dF (x)

∣∣∣∣ = f(x)dx

f(x)dx= 1.

El siguiente grafico es util para representar el trabajo del metodo:

Figura 7

Si la variable que deseamos generar es discreta, el grafico de F(x) es escalonado y el procedimientoes el mismo.

Ahora sı vamos a la segunda forma de generar variables Logi para lo que utilizamos el MTI

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b) Si X ∼ Gu(α;β) e Y ∼ Gu(α;β) resulta X − Y ∼ Logi(0;β).

Necesitamos un algoritmo para obtener valores deX y de Y con distribucion Gumbel y partimosde la F (x):

F (x) = e−e−

x−αβ

= r

ln e−e−

x−αβ

= ln r

e−x−αβ = − ln r

ln e−x−αβ = ln(− ln r)

−x− α

β= ln(− ln r)

de donde resulta x = α− β ln(− ln r) .

Hemos construidos la siguiente planilla de Excel, Figura 8 como se explica a continuacion: Enlas columnas B y C generamos valores de X e Y respectivamente usando el algoritmo que apareceen la llamada para C3. Naturalmente cada valor de X y de Y tendra su respectivo ALEATORIO().En la columna D hacemos las diferencias que nos proporcionan los valores Logi(0;β). Construimostambien las distribuciones de frecuencias y los histogramas para Y y para X − Y . Obviamosla presentacion de la distribucion y el histograma para X ya que resultarıan similares a lascorrespondientes a Y .

Al pie de la planilla calculamos algunos valores correspondientes a la variable X − Y cuyasllamadas indican la funcion de Excel utilizada, en el rango D2004:D2010. Notar que el valor deV ar(X−Y ) representa satisfactoriamente la V ar(X)+V ar(Y ) ya que X e Y se generaron en formaindependiente. Tambien se muestran los valores teoricos de las distribuciones G(3; 4) y Logi(0; 3)en los rangos A2006:A2010 y E2006:E2010 respectivamente.

Figura 8

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Otros caminos con diferentes relaciones para generar variables aleatorias con distribucion Logison:

c) Si X ∼ e(1) luego Y = α− β ln e−x

1−e−x ∼ Logi(α;β),

f(x) = e−x x ≥ 0 con x = ϕ−1(y) = ln(1 + e

y−αβ

)

g(y) = f(ϕ−1(y))

∣∣∣∣dϕ−1(y)

dy

∣∣∣∣ con f(ϕ−1(y)) =1

1 + ey−αβ

ydϕ−1(y)

dy=

ey−αβ

1 + ey−αβ

1

β

de donde resulta

g(y) =1

β

e−y−αβ

(1 + e−

y−αβ

)2

que es la densidad Logi(α;β).

d) Si X ∼ e(1) y Y ∼ e(1) luego Z = α− β ln(X/Y ) ∼ Logi(α;β).

En estos dos ultimos casos se deja la recreacion en Excel para el lector interesado, siguiendo loslineamientos expuestos en los casos anteriores. Es oportuno puntualizar que para generar variablesexponenciales con funcion de densidad f(x) = θe−θx, x ≥ 0 y funcion acumulada F (x) = 1− e−θx

se puede usar el algoritmo (−1/θ) ∗ ln(1−ALEATORIO()) con θ = 1 para los casos c y d.

e) Si X ∼ Pareto(α = 1;x0 = 1) Y = ln(X − 1) ∼ Logi(0; 1). La funcion de densidad y lafuncion de distribucion acumulada Pareto, debida al economista franco-italiano Vilfredo Paretoson respectivamente:

f(x) =α

x0

(x0x

)α+1

, x ≥ x0, α > 0, F (x) = 1−(x0x

)α

con

E(X) =αx0α− 1

, α > 1 y V ar(X) =αx20

(α− 1)2(α− 2), α > 2.

La Figura 9 muestra la forma de la distribucion de Pareto para distintos valores de α y x0 = 1

Figura 9

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Es una distribucion fuertemente asimetrica con muchas aplicaciones en Economıa donde abundanlas variables asimetricas positivas como la distribucion de ingresos, de haberes jubilatorios oriquezas. En particular cuando α = x0 = 1 como el caso que nos ocupa por su relacion conla distribucion Logi, la esperanza no esta definida y tampoco la variancia.

La relacion con la distribucion Logi es la siguiente: si α = x0 = 1, f(x) = 2 y siendo Y =ln(X − 1) sera x = ey + 1 = ϕ−1(y) cuya derivada es ey. Entonces la densidad de Y resulta:

g(y) = f(ϕ−1(y))

∣∣∣∣dϕ−1(y)

dy

∣∣∣∣ =ey

(ey + 1)2

que es la expresion de la funcion de densidad Logi(α = 0;β = 1).Para finalizar generemos en una planilla de Excel, Figura 10, valores X ∼ Pareto(α = 1;x0 =

1), como muestra la llamada de la celda B2 y valores de Y con la funcion indicada en la llamada dela celda C2. Construimos la distribucion de frecuencias de Y con distribucion Logi(α = 0;β = 1) ysu correspondiente histograma. En el rango C2002:C2008 calculamos algunos valores de los datossimulados de la variable Y que se pueden comparar con los parametros teoricos que aparecen enel rango D2004:D2008.

Figura 10

Existen otras pocas relaciones de la distribucion Logıstica con la distribucion Generalizada deValores Extremos que no las expondremos en el presente artıculo, dado que se trata de una extensafamilia de distribuciones continuas de probabilidad. Pertenecen a esta familia la ya presentadaGumbel, la distribucion de Weibul y la distribucion de Frechet o Weibul Inversa.

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Caracteres de Dirichlet y sus funciones L

Lic. Hernan Galletti

Resumen: Podrıa decirse que la teorıa analıtica de numeros empezo en 1837 cuandoDirichlet introdujo los caracteres de Dirichlet y las funciones L para demostrar elteorema de infinitud de numeros primos en progresiones aritmeticas. Los metodosutilizados por Dirichlet han probado ser ampliamente fructıferos y la sofisticacionde la teorıa, y sus generalizaciones, ha crecido sustancialmente en el ultimo siglo;involucrando elementos de una gran cantidad de areas matematicas.

Este artıculo se divide en dos partes. En la primera parte, vamos a dar unapequena introduccion a la teorıa clasica de funciones L de Dirichlet junto con algunasaplicaciones. En la segunda, vamos a introducir algunos conceptos esenciales de lateorıa moderna que permiten generalizar la teorıa clasica.

Introduccion y pequena resena historica

Las funciones L de Dirichlet son funciones generadoras formadas a partir de un caracter deDirichlet. El ejemplo mas conocido de estas funciones es la funcion ζ de Riemann, definida, apriori, como

ζ(s) =∑

n∈N

1

ns,

para s un numero complejo con parte real mayor a 1. El estudio de las propiedades analıticas deestas funciones permite extraer informacion aritmetica que generalmente no se obtiene de metodosalgebraicos elementales.

Entre los primeros ejemplos importantes de este tipo de resultados podemos mencionar elTeorema de Dirichlet de primos en progresiones aritmeticas. Este teorema afirma que si tenemosdos enteros positivos coprimos a y N entonces la progresion aritmetica {a+ kN : k ∈ N} contieneinfinitos primos. Por ejemplo, la progresion aritmetica {9 + k10 : k ∈ N} contiene los primos:

19, 29, 59, 79, 89, 109, 139, 149, 179, 199, 229, 239, 269, 349, 359, 379, 389, 409, ...

Unos anos mas tarde, Riemann en su celebre artıculo de 1859 [Rie59] probo que la funcion ζtiene extension meromorfa a todo C, que verifica una ecuacion funcional y conjeturo1 la formulaexplıcita, la cual relaciona la funcion contadora de primos π y sus ceros. Esto puso de manifiestoque el vınculo entre los numeros primos y este tipo de funciones analıticas era mas fuerte de lo quese creıa. A fines del siglo XIX, siguiendo las ideas de Riemann, se probo la conjetura de Gausssobre la distribucion de los numeros primos, ahora llamada Teorema de los numeros primos.

En la segunda decada del siglo XX, Hecke extendio la nocion de caracteres de Dirichlet a cuerposde numeros y definio las correspondientes funciones L. Esta generalizacion permite estudiar losideales primos en el anillo de enteros algebraicos del cuepo K. Hecke demostro que las funcionesL de estos caracteres tienen una extension meromorfa a todo C y verifican una ecuacion funcional.Cabe mencionar que la teorıa de Hecke era bastante complicada y las dificultades tecnicas venıanen aumento.

1Fue probada 36 anos mas tarde por von Mangoldt.

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28 Lic. Hernan Galletti

En 1946 Margaret Matchett, una alumna de Emil Artin, mostro en su tesis doctoral comoreinterpretar en forma mas conceptual los caracteres de Hecke. Estos podıan ser vistos comocaracteres del grupo de clases de ideles del cuerpo K; el grupo de clases de ideles de un cuerpoK es un cociente del grupo de ideles, un concepto que habıa sido introducido diez anos antes porChevalley. Matchett nunca publico su tesis [JLB17, 3.4.2]. Seis anos despues otro estudiante deArtin, John Tate, tambien en su tesis doctoral [Tat67]2 hizo una reformulacion de la teorıa deHecke, obteniendo de forma mucho mas simple y elegante los resultados de Hecke hallados tresdecadas atras. Ademas esta reformulacion explica los factores que tienen que ver con la funcion Γen la ecuacion funcional. El enfoque de Tate fue innovador y se basa en hacer analisis armonicoen el llamado anillo de los adeles de K.

1 Funciones L de Dirichlet

1.1 Caracteres de grupos abelianos finitos y caracteres de Dirichlet

Sea (G, ·) un grupo abeliano. Por simplicidad, supondremos que G es finito. Un caracter de G esun morfismo de grupos χ : G → S1 = {z ∈ C : |z| = 1}. El conjunto de todos los caracteres de

G forma un grupo con la multiplicacion puntual de funciones, lo denotamos G. Notar que dadoχ ∈ G, su inverso es el caracter dado por g 7→ χ(g)−1 = χ(g). Lo denotaremos χ.

No es difıcil probar que G ∼= G (ver ejercicio 1). Otra propiedad importante de los caractereses que son ortogonales en un sentido que vamos a precisar enseguida.

Lema 1. Sea χ ∈ G, entonces

1

#G

∑

g∈G

χ(g) =

{1, si χ es el caracter trivial;

0, si χ no es el caracter trivial.

Demostracion. Si χ es el caracter trivial la igualdad es clara. Si no, existe h ∈ G tal que χ(h) 6= 1.Es claro que si g recorre todos los elementos de G, entonces hg tambien. Luego,

χ(h)∑

g∈G

χ(g) =∑

g∈G

χ(hg) =∑

g∈G

χ(g).

Como χ(h) 6= 1, se concluye que∑

g∈G χ(g) = 0.

Corolario 2 (Ortogonalidad de caracteres). Sean χ, ψ ∈ G, entonces

1

#G

∑

g∈G

χ(g)ψ(g) =

{1, si χ = ψ;

0, si χ 6= ψ.

Como consecuencia inmediata de este corolario tenemos que G es una base ortonormal delconjunto de todas las funciones de G en C con el producto interno dado por

〈χ, ψ〉 = 1

#G

∑

g∈G

χ(g)ψ(g).

Sea N ∈ N. Un caracter de Dirichlet modulo N es una funcion χ : Z → C tal que:

1. χ(n) = 0 si y solo si n y N no son coprimos;

2. χ(n+N) = χ(n) para todo entero n;

3. χ(nm) = χ(n)χ(m) para todo par de enteros n y m.

2Recien fue publicada en 1967.

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Denotemos con (Z/NZ)× al grupo de unidades de anillo Z/NZ. Es claro que χ se restringe a uncaracter χ : (Z/NZ)× → S1, de modo que

χ(n) =

{χ (n) , si n es coprimo con N ;

0, si no.(7.1)

Recıprocamente, un caracter χ : (Z/NZ)× → S1 induce un caracter de Dirichlet modulo Ndefiniendolo como en 7.1. Concluimos entonces por el ejercicio 1 que la cantidad de caracteres deDirichlet modulo N es ϕ(N) (donde ϕ es la funcion de Euler).

Ejemplo 3. Sea N ∈ N. La funcion χN : Z → S1 definida por

χN (n) =

{1, si n es coprimo con N ;

0, si no;

es un caracter de Dirichlet modulo N . Se lo llama el caracter principal modulo N . Notar que χ1

es la funcion identicamente 1 en Z.

Si d ∈ N es un divisor de N entonces todo χ′ caracter de Dirichlet modulo d induce un caracterde Dirichlet modulo N dado por

χ(n) =

{χ′(n), si n es coprimo con N ;

0, si no.

Decimos en este caso que d es un modulo inducido por χ.Sea χ un caracter Dirichlet modulo N . Al menor modulo inducido por χ se lo denomina

conductor de χ. El caracter χ se dice primitivo si su conductor es N . Notar que el unico caracterque es principal y primitivo es χ1.

El siguiente teorema nos dice que los caracteres de Dirichlet primitivos junto con los caracteresprincipales alcanzan para describir como son todos los caracteres de Dirichlet.

Teorema 4. Sea χ un caracter de Dirichlet modulo N . Entonces existen d divisor de N y χ′ uncaracter de Dirichlet primitivo modulo d tales que

χ(n) = χ′(n)χN (n)

para todo n ∈ Z.

En particular, todo caracter de Dirichlet es inducido por un caracter de Dirichlet primitivo.

Ejemplo 5. Sea p un primo impar. Se define el sımbolo de Legendre como

(n

p

)=

1, si n es un cuadrado modulo p y n es coprimo con p;

−1, si n no es un cuadrado modulo p;

0, si n no es coprimo con p;

donde n ∈ Z. La aplicacion n 7→(np

)es un caracter de Dirichlet primitivo modulo p.

Ejercicios

1. Si G es un grupo cıclico probar que G ∼= G. Concluir que si G es un grupo abeliano finitoentonces G ∼= G.

2. ¿Que se puede decir sobre la primitividad de los caracteres de Dirichlet modulo p para pprimo?

3. Sea χ un caracter de Dirichlet modulo N . Entonces χ es primitivo si y solo si cada vez quese tiene un diagrama conmutativo

(Z/NZ)×

χ

%%

π

��

(Z/dZ)×η

// S1 ,

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donde π es la proyeccion canonica, d un divisor de N , χ el caracter dado por 7.1 y η uncaracter; se tiene que d = N .

4. Sean p primo impar y k ∈ N. Dar una formula explıcita para todos los caracteres de Dirichletmodulo pk en funcion de un generador del grupo (Z/pkZ)× y una raız primitiva ϕ(pk)-esimade 1. ¿Cuales de ellos son primitivos? ¿Como pueden obtenerse todos los caracteres deDirichlet modulo N para N natural arbitrario?

1.2 Funciones L

Una funcion aritmetica es una funcion definida en los numeros naturales que toma valores en C.Una funcion aritmetica f se dice multiplicativa si no es identicamente nula y f(nm) = f(n)f(m)siempre que n y m sean dos enteros coprimos. Una funcion multiplicativa se dice completamentemultiplicativa si la identidad anterior vale sin pedir la condicion que n y m sean coprimos.

Como ejemplos de funciones multiplicativas podemos mencionar la funcion ϕ de Euler, lafuncion µ de Mobius (ver ejercicios), el numero de divisores de un numero natural, la suma dedivisores de un numero natural, etc. Si s ∈ C es un numero complejo fijo, la funcion n 7→ ns escompletamente multiplicativa. Tambien los caracteres de Dirichlet son funciones completamentemultiplicativas.

Una de las ideas centrales de la teorıa analıtica de numeros es fabricarse a partir de una funcionaritmetica que se quiere caracterizar, otra funcion definida en una region del plano complejo yestudiar sus propiedades analıticas. Concretamente, si f es una funcion aritmetica consideramosla siguiente funcion generatriz:

Lf (s) =∑

n∈N

f(n)

ns,

para cada s ∈ C tal que la serie converja. Este tipo de series reciben el nombre de series deDirichlet y convergen en semiplanos de la forma {s ∈ C : ℜs > a}, siendo a un numero real.

Este cambio de perspectiva tiene propiedades muy interesantes. Por ejemplo, si f y g son dosfunciones aritmeticas entonces (formalmente)

Lf+g = Lf + Lg y Lf∗g = LfLg,

donde ∗ es el producto de Dirichlet (ver ejercicios). Luego, el anillo de las funciones aritmeticas esisomorfo al anillo de las series formales de Dirichlet.

Teorema 6 (Producto de Euler). Sea g una funcion multiplicativa tal que∑g(n) es absolutamente

convergente. Entonces ∑

n∈N

g(n) =∏

p

∑

k∈N0

g(pk), (7.2)

donde el producto del lado derecho se hace sobre todos los primos positivos p y es absolutamenteconvergente. Si ademas g es completamente multiplicativa, se tiene que

∑

n∈N

g(n) =∏

p

(1− g(p))−1. (7.3)

Demostracion. Sea m ∈ N mayor a 1. Calculemos el producto parcial∏

p≤m

∑k∈N0

g(pk). Sitenemos dos primos (o sea m = 3), dicho producto nos queda:

(1 + g(2) + g(22) + g(23) + . . .

) (1 + g(3) + g(32) + g(33) + . . .

)

=∑

i,j∈N0

g(2i)g(3j) =∑

i,j∈N0

g(2i3j),

por ser∑g(n) una serie absolutamente convergente y g una funcion multiplicativa. En el caso

general, si p1, . . . , pl son todos los primos menores o iguales a m, entonces

∏

p≤m

∑

k∈N0

g(pk) =∑

i1,...,il∈N0

g(pi11 . . . pill ) =

∑

n∈Am

g(n), (7.4)

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donde Am es el conjunto de numeros naturales tales que en su factorizacion en primos solo aparecenprimos menores o iguales a m (o no aparece ninguno, el caso m = 1).

Un criterio basico de convergencia de productos infinitos afirma que el producto∏

n(1+ an) esabsolutamente convergente si

∑n an converge absolutamente. De este criterio y de la convergencia

absoluta de∑g(n) es inmediato que el producto de la derecha de (7.2) es absolutamente convergente.

Por otro lado, de (7.4) vemos que

∣∣∣∣∣∣∑

n∈N

g(n)−∏

p≤m

∑

k∈N0

g(pk)

∣∣∣∣∣∣≤∑

n/∈Am

|g(n)| ≤∑

n>m

|g(n)| −−−−→m→∞

0,

por lo que concluimos que vale (7.2). Si g es completamente multiplicativa, la igualdad (7.3) sededuce inmediatamente de (7.2).

Notacion 7. Si s es un numero complejo, a su parte real la llamaremos σ.

El ejemplo mas conocido del producto de Euler (y precisamente el que Euler demostro para snumero real) es cuando se considera g(n) = n−s, en dicho caso se obtiene

ζ(s) =∑

n∈N

1

ns=

∏

p primo

(1− p−s

)−1,

identidad que vale para s ∈ C con σ > 1. Esta igualdad puede interpretarse como una versionanalıtica del Teorema Fundamental de la Aritmetica e historicamente fue el primer indicio alvınculo entre los numeros primos y ciertas funciones analıticas.

Mas en general, sea χ un caracter de Dirichlet. Se define la L-serie de χ o funcion L de Dirichletde χ, como la funcion

L(s, χ) =∞∑

n=1

χ(n)n−s,

donde s es un numero complejo con σ > 1 (notar que el caso de la funcion ζ es cuando se consideraχ = χ1). Como |χ(n)n−s| ≤ n−σ, la L-serie de χ es absolutamente convergente en compactos de{σ > 1}. En particular, la funcion s 7→ L(s, χ) es una funcion holomorfa en {σ > 1}. El productode Euler que se obtiene en este caso es:

L(s, χ) =∏

p primo

(1− χ(p)p−s

)−1, (7.5)

igualdad que vale para σ > 1.

Ejemplo 8. Consideramos el caracter de Dirichlet dado por

χ(n) =

1, si n ≡ 1 mod 4;

−1, si n ≡ 3 mod 4;

0, si n es divisible por 2.

Entonces

L(s, χ) = 1− 1

3s+

1

5s− 1

7s+ · · · =

∏

p primo

(1− χ(p)

ps

)−1

=∏

p primop≡1(mod 4)

(1− 1

ps

)−1

·∏

p primop≡3(mod 4)

(1 +

1

ps

)−1

.

A diferencia de la funcion ζ, la funcion L del ejemplo 8 esta acotada para s → 1+ (de hecho,la serie converge para s = 1 a π/4). En general, salvo para caracteres principales, las funcionesL de Dirichlet se van a poder extender analıticamente a todo el plano complejo. A continuacionenunciaremos el teorema de extension y la ecuacion funcional que verifican.

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Recordemos que la funcion Γ de Euler se define como

Γ(s) =

∫ +∞

0

xs−1e−x dt,

si s es un numero complejo tal que σ > 0. Un calculo elemental muestra que Γ(s) = Γ(s+1)/s. Estaecuacion funcional permite entender la definicion de Γ a todo el plano complejo (iterativamente,primero se extiende a {σ > −1}, luego a {σ > −2} y ası consecutivamente). La funcion Γ resultaser una funcion meromorfa en C, cuyos polos son los numeros enteros menores o iguales que cero,y son todos simples.

Sea χ un caracter de Dirichlet primitivo modulo N . Tomemos ε ∈ {0, 1} tal que χ(−1) = (−1)ε.Para s ∈ C con σ > 1, definimos la funcion

Λ(s, χ) = Ns+ε2 π− s+ε

2 Γ

(s+ ε

2

)L(s, χ). (7.6)

Ejemplo 9. Si χ1 es el caracter principal modulo 1, vamos a denotar Ξ = Λ(·, χ1). Se tieneentonces que

Ξ(s) = π− s2Γ(s2

)ζ(s), (7.7)

para s con σ > 13.

Teorema 10. Sea χ un caracter de Dirichlet primitivo. Entonces la funcion s 7→ Λ(s, χ) tienecontinuacion meromorfa a todo C, y su extension es entera, salvo si el caracter χ es el caracterprincipal modulo 1. En este ultimo caso, la funcion s 7→ Λ(s, χ1) = Ξ(s) tiene dos polos simplesen 1 y 0, con residuos 1 y −1, respectivamente. Ademas, en ambos casos, tenemos la ecuacionfuncional

Λ(s, χ) =W (χ)Λ (1− s, χ) , (7.8)

la cual vale para todo s ∈ C. En el caso χ = χ1, el numero W (χ) es igual a 1, y la ecuacion (7.8)resulta ser

Ξ(s) = Ξ(1− s), (7.9)

para todo s ∈ C.

Demostracion. Ver [IK04, 4.6].

Escrita en terminos de la funcion ζ, la ecuacion (7.9) nos queda:

π− s2Γ(s2

)ζ(s) = π− 1−s

2 Γ

(1− s

2

)ζ(1− s). (7.10)

Las ecuaciones (7.9) y (7.10) nos dicen que es mas “natural” considerar Ξ que ζ, ya que Ξ satisfaceuna ecuacion funcional mucho mas sencilla. Analogamente, la funcion Λ de un caracter de Dirichletresulta ser mas natural que la funcion L y la “completa” de cierta manera. En Caracteres delgrupo de clases de ideles y sus funciones L entenderemos mejor de donde salen los factores extra.

Ejercicios

1. Si f y g son dos funciones aritmeticas, se define el producto de Dirichlet (o convolucion deDirichlet) a la funcion aritmetica f ∗ g dada por

f ∗ g(n) =∑

a·b=n

f(a)g(b) =∑

d|n

f(d)g(n/d).

Por otro lado, se define la funcion identidad como

I(n) =

{1, si n = 1;

0, si n > 1.

Probar que el conjunto de las funciones aritmeticas con las operaciones + y ∗ forma un anillocon neutro multiplicativo I.

3Tambien es usual considerar la funcion ξ(s) = 1

2s(s − 1) Ξ(s); ası lo hizo Riemann en su artıculo. La ecuacion

funcional (7.9) en terminos de ξ es la misma: ξ(s) = ξ(1− s). A diferencia de Ξ, la funcion ξ es analıtica en todo C.

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2. La funcion de Mobius µ se define del siguiente modo:

µ(n) =

1, si n = 1;

(−1)k, si n = p1 · · · pk con p1, . . . , pk primos distintos;

0, si n es divisible por algun cuadrado.

Probar que:

(a) La funcion µ es multiplicativa pero no completamente multiplicativa.

(b) µ ∗ χ1 = I, donde χ1 es el caracter principal modulo 1.

(c) Si f(n) =∑

d|n g(d) entonces g =∑

d|n f(d)µ(n/d). (Esta ultima formula es la que se

llama formula de inversion de Mobius).

(d) Si f es completamente multiplicativa entonces fµ es la inversa de la funcion f con elproducto de Dirichlet.4

3. Sea α ∈ C. Si n es un numero natural se define σα(n) =∑

d|n dα. Probar que σα es una

funcion multiplicativa para todo α. Notar que σ0(n) es la cantidad de divisores positivos den y σ1(n) es la suma de los divisores positivos de n.

4. Sean χ un caracter de Dirichlet y χ′ un (¿el?) caracter primitivo que lo induce. Hallar unaformula que relacione las funciones L de χ y de χ′.

5. ¿Que se puede decir del enunciado del Teorema 10 si se cambiase la hipotesis de caracter deDirichlet primitivo por un caracter de Dirichlet arbitrario?

1.3 El teorema de Dirichlet

Como aplicacion de los caracteres de Dirichlet y sus funciones L vamos a dar un esbozo de lademostracion del teorema de Dirichlet de infinitud de primos en progresiones aritmeticas. Fijemosa y N enteros coprimos positivos. La idea de la prueba es estudiar el comportamiento de la serie

∑

p≡a(modN)

1

ps

para s cercano a 1. A priori dicha serie solo es convergente para σ > 1. Si logramos probar,por ejemplo, que el lımite para s real tendiendo a 1 por la derecha no es finito, el teorema quedaprobado.

Consideremos la funcion f : (Z/NZ)× → C, dada por

f(n) =

{1, si n = a;

0, si no.

Como (Z/NZ)× es una base ortonormal del conjunto de funciones de (Z/NZ)× en C, se tiene que

f =∑

χ∈ (Z/NZ)×

f(χ)χ,

donde

f(χ) = 〈f, χ〉 = 1

ϕ(N)

∑

g∈(Z/NZ)×

f(g)χ(g) =χ(a)

ϕ(N).

Extendiendo f a todo Z por cero, y los caracteres de (Z/NZ)× a caracteres de Dirichlet, obtenemosque

∑

χ

χ(a)

ϕ(N)χ(n) =

{1, si n ≡ a;

0, si no;

4Si f es solamente una funcion aritmetica que verifica que f(1) 6= 0 tambien es cierto que existe una inversa def con el producto de Dirichlet, pero la formula no es tan sencilla.

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para todo n ∈ Z, donde la suma se hace sobre todos los caracteres de Dirichlet modulo N . Luego,si s es un numero complejo con σ > 1 tenemos que

∑

p≡a(modN)

1

ps=∑

p

f(p)

ps=

1

ϕ(N)

∑

p

∑

χ

χ(a)χ(p)

ps=

1

ϕ(N)

∑

χ

χ(a)∑

p

χ(p)

ps.

Basta probar entonces que1

ϕ(N)

∑

χ

χ(a)∑

p

χ(p)

ps(7.11)

diverge si s tiende a 1.Si χ es un caracter de Dirichlet, definimos log(L(s, χ)) como la funcion dada por

log(L(s, χ)) =∑

p

∑

k∈N

χ(p)k

k psk. (7.12)

Obviamente el nombre no es casual, si en la identidad (7.5) se toma formalmente logaritmo y seusa la expansion de Taylor log(1− w) = −∑k≥0

wk/k, se obtiene dicha expresion. Por otro lado,es facil ver que

elog(L(s,χ)) = L(s, χ), (7.13)

si σ > 1.

Lema 11. Se tiene que

log(L(s, χ)) =∑

p

χ(p)

ps+O(1)5,

para todo s con σ > 1.

Demostracion. Notemos que el lado derecho de (7.12) converge absolutamente si σ > 1. En efecto,dado que

∑

p

∑

k∈N

∣∣∣∣χ(p)k

k psk

∣∣∣∣ =∑

p

∑

k∈N

p−σk

k= −

∑

p

log(1− p−σ) ≤ −∑

k≥2

log(1− k−σ),

la convergencia absoluta es consecuencia de que − log(1− k−σ)/k−σ −−−−−→k→+∞

1.

Podemos entonces escribir que

log(L(s, χ)) =∑

p

χ(p)

k ps+∑

k≥2

∑

p

χ(p)k

k psk.

No es difıcil ver que la suma doble de esta ultima igualdad esta uniformemente acotada por unnumero finito para σ > 1.

Con el Lema 11 obtenemos que (7.11) podemos escribirlo como

1

ϕ(N)

log(L(s, χN )) +

∑

χ 6=χN

χ(a) log(L(s, χ))

+O(1), (7.14)

donde χN es el caracter de Dirichlet principal modulo N .

Lema 12. Se verifica que lims→1+ log(L(s, χN )) = +∞.

Demostracion. Por (7.5) se tiene que

L(s, χN ) =∏

p∤N

(1− p−s

)−1= ζ(s)

∏

p|N

(1− p−s

).

Puesto que el producto de la ultima igualdad es finito (y no es cero) y la funcion ζ tiene un poloen s = 1, se sigue (tomando s real) que lims→1+ L(s, χN ) = +∞. De (7.13) es inmediato lo que sequerıa ver.

5Vamos a escribir f = O(1) si f es una funcion acotada en un entorno de s = 1 en {s ∈ C : σ > 1}.

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Recapitulando, nos bastaba probar que la expresion (7.14) diverge si s tiende a 1. Por el Lema12, alcanza con ver que log(L(s, χ)) = O(1) para todo χ 6= χN . Se puede probar con resultados

estandar de series de Dirichlet que para χ 6= χN la serie∑ χ(n)

ns converge uniformemente sobrecompactos de {σ > 0}. Luego la funcion L(s, χ) tiene extension analıtica a {σ > 0}6, en particular,se tiene que L(s, χ) tiende al numero complejo L(1, χ) cuando s tiende a 1. La parte mas difıcilde la demostracion del Teorema de Dirichlet consiste en probar el siguiente resultado.

Teorema 13. Para todo χ caracter de Dirichlet modulo N no principal se tiene que L(1, χ) 6= 0.

Demostracion. Hay varias demostraciones interesantes. Ver [Ser96, VI.3], [KI82, 16.5] o [BS66,Capıtulo 5].

Con el Teorema 13, no es difıcil probar que log(L(s, χ)) = O(1) si χ 6= χN . Por ejemplo,tomemos una rama del logaritmo ℓ definida en un entorno de log(L(1, χ)). En dicho entornoelog(L(s,χ)) y eℓ(L(s,χ)) coinciden y por lo tanto log(L(s, χ)) = ℓ(L(s, χ)) + 2πik(s) para s cerca de1. Luego,

log(L(s, χ)) −−−→s→1

ℓ(L(1, χ)) + 2πik

para algun k.

Volviendo a (7.14), concluimos que dicha expresion no tiene lımite finito si s tiende a 1 y porlo tanto el Teorema de Dirichlet queda demostrado.

2 El enfoque moderno

A continuacion haremos las construcciones basicas para poder reformular y generalizar los resultadosque vimos en Funciones L de Dirichlet. Vamos a limitarnos por simplicidad al caso en que el cuerpobase es Q (que es precisamente el que se corresponde con el caso de caracteres de Dirichlet), en uncontexto mas general se requieren conocimientos de teorıa algebraica de numeros. Nos detendremosespecialmente en la construccion del anillo de adeles y su grupo de unidades, y veremos quelos caracteres que se consideran en esta teorıa son esencialmente los mismos; la unica diferenciasignificativa es que los caracteres pueden tener orden infinito.

2.1 Dual de Pontryagin

En la primera parte definimos los caracteres en el caso de grupos abelianos finitos, veamos ladefinicion y algunos resultados en un caso mas general.

Sea G un grupo topologico abeliano. Decimos que χ : G→ S1 es un caracter de G7 si χ es unmorfismo de grupos topologicos. Al conjunto de todos los caracteres de G lo denotamos G. Notarque si G es un grupo finito y se considera su topologıa discreta, se recupera la nocion de caracterque tenıamos.

Sea C(G,S1) el conjunto de las funciones continuas definidas en G a valores en S1; lo dotamos

con la topologıa compacto abierta. Notemos que G es un subgrupo de C(G,S1) con la multiplicacion

puntual. La topologıa inducida en G tiene como abiertos basicos a los conjuntos S(K,U), los cualesse definen del siguiente modo: si K es un compacto de G y U es un abierto de S1,

S(K,U) = {χ ∈ G : χ(K) ⊆ U}.

Al grupo topologico G se lo llama el dual de Pontryagin de G.

Veamos algunos ejemplos. Consideremos la aplicacion e : R → S1 definida por e(x) = e2πix.Claramente e es un caracter de R. Mas aun, todos los caracteres de R son reescalados de estaaplicacion: Si a ∈ R, denotemos por ea a la aplicacion definida como ea(x) = e(ax) para x ∈ R.

Proposicion 14. Sea χ un caracter de R. Entonces existe un unico numero real a tal que χ = ea.

6Notar que no estamos usando el Teorema 10. Dicho teorema es mucho mas difıcil de probar.7Algunos autores definen caracter de G a un morfismo de grupos topologicos de G en C×. Notar que en el caso

que G sea finito ambas definiciones coinciden.

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Demostracion. La unicidad de a es una cuenta sencilla y queda de ejercicio, probemos la existencia.

Como χ(0) = 1 y χ es continuo, existe h > 0 tal que c =∫ h

0χ(t) dt 6= 0. Luego si x ∈ R,

χ(x)c =

∫ h

0

χ(x+ t) dt =

∫ x+h

x

χ(t) dt,

y por lo tanto χ(x) = c−1∫ x+h

xχ(t) dt. Tenemos entonces que χ es diferenciable y

χ′(x) = c−1 (χ(x+ h)− χ(x)) = kχ(x),

donde k = c−1 (χ(h)− 1). De modo que χ(x) = ekx para todo x. Como |χ(x)| = 1 para todo x,podemos tomar a ∈ R de modo que k = 2πia. Concluimos que χ = ea.

Trabajando un poco con la topologıa de R, no es difıcil probar que la aplicacion a 7→ ea es unisomorfismo entre R y R.

Proposicion 15. Sea G un grupo topologico. Se tiene:

1. Si G es compacto, entonces G es discreto.

2. Si G es discreto, entonces G es compacto.

3. Si G localmente compacto, entonces G es localmente compacto.

Demostracion. Ver [RV99, Proposicion 3-2] o tambien [DE14, Proposicion 3.1.5].

Supongamos de aquı en adelante que G es un grupo localmente compacto y abeliano. Paracada x ∈ G consideremos la aplicacion evx : G → S1 definida por evx(χ) = χ(x). No es difıcil

probar que evx ∈ G . Tenemos entonces definida una aplicacion ev : G→

G dada por ev(x) = evx,esta aplicacion se denomina aplicacion de Pontryagin.

Teorema 16 (Dualidad de Pontryagin). Supongamos que G es un grupo localmente compacto yabeliano. Entonces la aplicacion de Pontryagin es un isomorfismo.

Demostracion. Ver [DE14] o [Fol16].

En el caso que G no sea un grupo abeliano, no se puede concluir lo mismo y el objeto dual aG no es un grupo topologico. Para mas detalles ver [HR79, Capıtulo 6] y [HR70, Capıtulo 7].

Ejercicios

1. Sea χ un caracter de R>0. Probar que existe un unico numero real b tal que χ(x) = xib paratodo x ∈ R>0.

2. Probar que Z ∼= S1.

3. Probar que S1 ∼= Z. Sugerencia: Considerar la proyeccion canonica R → R/Z en laProposicion 14.

2.2 Valores absolutos en Q

Si K es un cuerpo, un valor absoluto en K es una funcion | · | : K → [0,+∞) que verifica paratodo x, y ∈ K:

1. |x| = 0 si y solo si x = 0;

2. |xy| = |x||y|;

3. |x+ y| ≤ |x|+ |y|.

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En este caso podemos considerar la metrica inducida por el valor absoluto, la cual esta definidacomo d(x, y) = |x − y| si x, y ∈ K. Dos valores absolutos son equivalentes si las correspondientesmetricas inducidas lo son. Vamos a centrarnos en el caso K = Q. En este caso, tenemos dosejemplos claros (no equivalentes) de valor absoluto: el valor absoluto trivial, i.e. |x| = 1 si x 6= 0y |0| = 0; y el valor absoluto usual, el cual denotaremos | |∞. Ahora vamos a definir, para cadaprimo, un valor absoluto no equivalente a estos dos.

Sea p ∈ N un numero primo. Dados dos enteros no nulos a y b, la valuacion p-adica del numeroracional no nulo a

b , que denotaremos como νp(ab

), es el unico entero k tal que a

b = pk nm con n y

m enteros no nulos coprimos con p.Dado un numero racional x, definimos el valor absoluto p-adico como

|x|p =

{p−νp(x), si x 6= 0;

0, si x = 0.

El valor absoluto p-adico verifica las tres propiedades anteriores, e inclusive verifica una versionmas fuerte de la tercera propiedad, llamada desigualdad ultrametrica:

|x+ y|p ≤ max{|x|p; |y|p}. (7.15)

Un valor absoluto que verifica la desigualdad ultrametrica se denomina no arquimediano; y encaso de no verificarla, se denomina arquimediano. La desigualdad ultrametrica tiene consecuenciaspoco intuitivas (ver ejercicios).

Para abreviar notacion definimos:

P = {p ∈ N : p primo}; P ′ = P ∪ {∞}.

El Teorema de Ostrowski (ver [Kob77, I.2]) afirma que todo valor absoluto no trivial en Q esequivalente a |·|p para un unico p ∈ P ′. Ası que al estudiar |·|p con p ∈ P ′, estamos estudiando enrealidad todos los valores absolutos posibles no triviales en Q.

2.3 Los numeros p-adicos

Sea p ∈ P fijo. Una de las formas de construir los numeros p-adicos es identica a la construccionde Cantor de los numeros reales; pero en lugar de completar el espacio metrico Q con la metricausual, se completa Q con la distancia p-adica. Dicha completacion resulta ser un cuerpo, se lollama cuerpo de los numeros p-adicos, y se lo denota Qp. No es difıcil probar que (Qp,+) y (Q×

p , ·)son grupos topologicos; por lo tanto (Qp,+, ·) es lo que se denomina cuerpo topologico. Ademasel valor absoluto p-adico en Q induce (por continuidad) un valor absoluto no arquimediano de Qp.

Debido a la desigualdad ultrametrica y la multiplicatividad del valor absoluto, el conjunto

Zp = {a ∈ Qp : |a|p ≤ 1}

es un subanillo de Qp, se lo llama anillo de enteros p-adicos. Es claro que Z ⊆ Zp y que el grupode unidades de Zp es

Z×p = {a ∈ Qp : |a|p = 1}.

Observacion 17. Los elementos de Q ∩ Zp son los numeros racionales cuyo denominador (en suescritura como fraccion irreducible) es coprimo con p. En particular,

⋂

q∈P

(Q ∩ Zq) = Z.

Para todo a ∈ Qp, por el ejercicio 2, existe m ∈ Z tal que pma ∈ Zp. Luego, a = n/pm conn ∈ Zp. Concluimos que Qp es el cuerpo de fracciones de Zp.

Del mismo modo que con los enteros usuales, podemos hablar de divisibilidad y congruenciaen el anillo de enteros p-adicos.

Observacion 18. Sea a ∈ Zp. Si n ∈ N, pn divide a a si y solo si |a|p ≤ p−n.

Pensar los numeros p-adicos como lımites de sucesiones de Cauchy no es la forma mas comodapara trabajar con ellos. Veremos a continuacion que pueden pensarse como series de potencias.

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Proposicion 19. Sea (an)n una sucesion de numeros p-adicos. Entonces la serie∑∞

n=1 anconverge si y solo si limn→∞ an = 0.

Demostracion. Veamos que si la sucesion tiende a 0, la serie converge.Si m > n, por la desigualdad ultrametrica,

∣∣∣∣∣m∑

k=1

ak −n∑

k=1

ak

∣∣∣∣∣p

≤ maxn+1≤k≤m

|ak|p −−−−→n→∞

0.

Luego, como Qp es completo, la serie∑∞

n=1 an converge.

Teorema 20. Si a es un elemento de Qp, entonces existen m ∈ Z y numeros enteros 0 ≤ an < pcon n ≥ m, tales que

a =∞∑

n=m

anpn. (7.16)

Si a 6= 0 y se toma m de forma que am 6= 0, dicha escritura es unica.

Demostracion. Ver [Kob77, 1.4].

La escritura de un elemento a de Q×p en la forma (7.16) la denominamos escritura canonica de

a. Al valor de m se lo llama valuacion p-adica de a y se lo denota νp(a). Esta definicion extiendela definicion que tenıamos para el caso a racional no nulo.

Teniendo en cuenta la Observacion 18 se concluye que los enteros p-adicos son los numerosp-adicos cuya serie no tiene potencias negativas de p, en particular, el conjunto Z es denso en Zp.Ademas a ∈ Z×

p si y solo si νp(a) = 0.

Proposicion 21. Sea φ : Z → Zp/pnZp el morfismo de anillos natural. Entonces φ es un morfismo

sobreyectivo de anillos e induce un isomorfismo φ : Z/pnZ → Zp/pnZp.

Demostracion. Es inmediato del Teorema 20 que φ es un morfismo de anillos sobreyectivo. Comoel nucleo de φ contiene a pnZ, solo hay que ver que todo elemento del nucleo esta en pnZ.

Supongamos que x 6= 0 es un elemento del nucleo de φ. Sean m = νp(x) y a un entero coprimocon p tales que x = apm. Como φ(x) = 0 ∈ Zp/p

nZp, por la Observacion 18 se tiene que m ≥ n ypor lo tanto x = pn(pm−na) ∈ pnZ.

En otras palabras, tenemos un isomorfismo Zp/pnZp

∼= Z/pnZ. El isomorfismo es simplementetruncar la (clase de la) expansion en potencias de p de un elemento de Zp. Restringiendo este

isomorfismo tambien se obtiene que Z×p /Up(p

n) ∼= (Z/pnZ)×, donde Up(N) (N ∈ N) es el subgrupode Z×

p (ver ejercicios) dado por

Up(N) = {x ∈ Z×p : x ≡ 1 (mod N)}. (7.17)

Teorema 22. El anillo de enteros p-adicos es compacto.

Como consecuencia de este resultado, y recordando que Qp es un cuerpo topologico, obtenemosque todas las bolas en Qp son compactas (ver ejercicio 3). En particular, el cuerpo Qp es localmentecompacto.

Ejercicios

1. Sea K un cuerpo con un valor absoluto no arquimediano |·|. Si x, y son elementos de K talque |x| 6= |y|, entonces |x+ y| = max{x, y}.

2. Sea a ∈ Qp. Probar que |a|p ∈ {0} ∪ {pn : n ∈ Z}.

3. Sean a un elemento de Qp y r > 0. Denotemos con B(a, r) (respectivamente con B(a, r)) ala bola abierta (respectivamente cerrada) en Qp de centro a y radio r.

Probar que:

(a) B(a, p−n) = a+ pnZp.

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(b) Toda bola abierta es una bola cerrada y toda bola cerrada es una bola abierta.

(c) Concluir que {a+ pnZp : n ∈ Z} es una base de entornos abiertos y cerrados de a.

4. Sean B1 y B2 dos bolas en Qp. Si B1 y B2 se intersecan, entonces B1 esta contenida en B2

o B2 esta contenida en B1. Sugerencia: Todo punto de una bola esta en su centro, es decir,si b ∈ B(a, r) entonces B(a, r) = B(b, r).

5. Probar que Qp = {0} ⊔⊔m∈Z pmZ×

p .

6. ¿Como es la escritura canonica del entero −1 ∈ Z ⊆ Qp?

7. Sea N ∈ N. Consideremos el conjunto Up(N) definido en (7.17). Probar que:

(a) Up(N) = Up

(pνp(N)

).

(b) Up(N) es un subgrupo de Z×p .

(c) Si n = νp(N), entonces

Up(N) =

{Z×p si n = 0;

1 + pnZp = B(1, p−n) si n ≥ 1.

2.4 Producto restringido de grupos topologicos

Nuestro proximo paso va a ser construir un anillo con una topologıa que condense la informacionde todos los posibles valores absolutos (no triviales) del cuerpo Q, y que contenga a Q. Parecenatural entonces tomar como candidato

∏p∈P′ Qp. Este anillo contiene al cuerpo de los numeros

racionales vıa la aplicacionQ ∋ x 7→ (x, x, x, . . . ). (7.18)

El inconveniente que presenta este candidato es no ser un espacio localmente compacto8. Esimportante que el anillo sea localmente compacto porque esa condicion asegura que haya unamedida con buenas condiciones9 para la integracion.

Veamos por que∏

p∈P′ Qp no es localmente compacto. Supongamos que un abierto U no vacıoestuviese contenido en un compacto K. Entonces U contiene un abierto W de la forma

∏pWp,

con Wp abierto de Qp para todo p, y Wp = Qp para casi todo p. Por lo tanto, proyectando K vıalas proyecciones canonicas, πp :

∏q∈P′ Qq → Qp, se tendrıa que Qp es compacto para casi todo p.

Pero es facil ver que Qp no es compacto para ningun p ∈ P ′.Para arreglar este problema, una posibilidad serıa tomar en lugar de

∏p∈P′ Qp, el producto

R×∏

p∈P Zp. En este caso la compacidad local esta asegurada, pero la aplicacion dada por (7.18)

no esta bien definida pues Q * Zp para ningun primo p.Vamos a fabricar entonces un objeto que cumpla ambas condiciones. Lo haremos en el contexto

de grupos topologicos pues no requiere ningun esfuerzo adicional, y mas adelante nos va a serviresta construccion en ese caso especıfico.

Dado un conjunto I, decimos que una propiedad se cumple para casi todo i en I (a vecesabreviaremos como p.c.t. i), si se cumple para todo i en I salvo quiza finitos.

Sea I un conjunto de ındices y para cada i ∈ I, sean Gi un grupo topologico y Hi un subgrupoabierto de Gi. Para cada S ⊆ I conjunto finito, denotemos con GS al grupo topologico

GS =∏

i∈S

Gi ×∏

i/∈S

Hi.

Como conjunto, el producto restringido de la familia {Gi}i∈I con respecto a {Hi}i∈I se define como

G =∏′

i∈I

Gi =⋃

S

GS ,

8Estamos pensando en la siguiente definicion: Un espacio topologico X es localmente si para cada x ∈ X, existenun abierto U de X y un compacto K tales que x ∈ U ⊆ K.Notar que como el espacio que estamos considerando es Hausdorff esta definicion es equivalente a otras definicionesalternativas.

9Invariante por traslaciones, es decir: Si E es un subconjunto medible del anillo y a es un elemento entonces lamedida de a+ E es la misma que la de E.

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donde la union se hace sobre todos los conjuntos S ⊆ I finitos. Es facil ver que

G =

{(gi)i∈I ∈

∏

i

Gi : gi ∈ Hi para casi todo i

}.

Como GS ⊆ GT si S ⊆ T , y todos los GS son subgrupos de∏

i∈I Gi, se tiene que G es subgrupode∏

i∈I Gi.Definamos ahora la topologıa de G. Para cada S ⊆ P ′ finito, sea BS la base de la topologıa del

producto directo GS dada por

BS =

{∏

i∈I

Ui : Ui ⊆ Gi abierto ∀i ∈ I, Ui ⊆ Hi si i /∈ S,Ui = Hi p.c.t. i

}.

Consideremos el conjunto B definido por

B =⋃

S

BS =

{∏

i∈I

Ui : Ui ⊆ Gi abierto ∀i ∈ I, Ui = Hi p.c.t. i

}.

Veamos que B es una base para una topologıa en G. Al ser BS base de GS para todo S, la unionde todos los elementos de B es G. Y por otro lado, si x ∈ U1 ∩ U2 con U1 ∈ BS1

y U2 ∈ BS2,

entonces U1, U2 ∈ BS1∪S2y por lo tanto existe U ′ ∈ BS1∪S2

⊆ B tal que x ∈ U ′ ⊆ U1 ∩ U2.

Proposicion 23. Sea S ⊆ I un conjunto finito. El conjunto GS es un abierto de G y la topologıaque hereda como subespacio coincide con la topologıa del producto directo.

Demostracion. Como BS ⊆ B, GS es abierto en G. Mas aun, todo abierto con la topologıa delproducto directo es abierto en G; en particular, es abierto en GS tomando en GS la topologıa delsubespacio. Para ver la otra inclusion, basta ver que si U ∈ B entonces U ∩ GS ∈ BS . TomemosU ∈ B, entonces existe T ⊆ I finito tal que U =

∏i∈T Ui ×

∏i/∈T Hi, con Ui abierto para todo

i ∈ T . Tenemos entonces que

U ∩GS =

(∏

i∈T

Ui ×∏

i/∈T

Hi

)∩(∏

i∈S

Gi ×∏

i/∈S

Hi

),

obteniendo que

U ∩GS =∏

i∈S∩T

Ui ×∏

i∈T\S

Ui ∩Hi ×∏

i/∈T

Hi.

De lo que es inmediato que U ∩GS ∈ BS .

Corolario 24. El grupo G es un grupo topologico.

Demostracion. Ejercicio.

El producto restringido de grupos topologicos es insensible a cambiar finitos subgrupos en lafamilia {Hi}i∈I . Mas precisamente: Supongamos que tenemos otra familia de grupos {H ′

i}i∈I talque H ′

i ⊆ Gi es subgrupo abierto para todo i ∈ I. Si Hi = H ′i para casi todo i, el producto

restringido de {Gi}i∈I con respecto a {Hi}i∈I y a {H ′i}i∈I es el mismo (no solo isomorfo), como

conjunto y como grupo topologico.

Proposicion 25. El grupo topologico G =∏′

i∈I Gi es localmente compacto10 si y solo si Gi eslocalmente compacto para todo i y Hi es compacto para casi todo i.

¿Como son los caracteres de un producto restringido? Los proximos enunciados nos aclararanesta cuestion, para las demostraciones ver [RV99, 5.1].

Sea χ un caracter de G. Para cada i ∈ I, denotemos con χi a la restriccion de χ a Gi. Porla Proposicion 23, la inclusion Gi → G es continua, de modo que χi es un caracter de Gi. Se lollama componente local i-esima del caracter χ.

10Cabe aclarar para evitar confusiones que un grupo topologico se dice grupo localmente compacto si es Hausdorffy como espacio topologico es localmente compacto.

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Proposicion 26 (Descomposicion en componentes locales). Sea χ un caracter de G. Entonces χi

es trivial en Hi para casi todo i. Ademas

χ =∏

i∈I

χi. (7.19)

Notar que si bien el producto de (7.19) tiene infinitos factores si I es infinito, para cada x ∈ Ghay solo finitos i ∈ I tal que χ(xi) 6= 1. En efecto, puesto que xi ∈ Hi para casi todo i y χi estrivial en Hi para casi todo i (esto ultimo por esta misma proposicion), fijado x ∈ G el producto∏

i∈I χi(xi) es en verdad un producto finito.

Proposicion 27. Para cada i ∈ I sea χi un caracter de Gi. Supongamos que dicha familia decaracteres verifica que χi es trivial en Hi para casi todo i. Entonces la aplicacion χ : G → S1

definida como en (7.19) es un caracter de G.

Se puede ir mas lejos y probar que si G es localmente compacto entonces su dual es isomorfo al

producto restringido de{Gi

}i∈I

respecto a la familia{H⊥

i

}i∈I

, donde H⊥i = {χi ∈ Gi : χi|Hi

≡1}. Ver [RV99, Teorema 5-4].

Ejercicios

1. Sea {Xi}i∈I una familia de espacios topologicos y sea X =∏

i∈I Xi. Probar que X eslocalmente compacto si y solo si Xi es localmente compacto para todo i ∈ I y compacto paracasi todo i en I.

2. Probar el Corolario 24.

3. Sea I un conjunto de ındices y para cada i ∈ I, sean Gi un grupo topologico y Hi un subgrupoabierto de Gi. Probar que:

(a) La topologıa del producto restringido es mas fina que la que hereda el conjunto G comosubespacio de

∏iGi. Concluir que el espacio G es Hausdorff y la inclusion de G en el

producto directo es continua.

(b) Si Hi ( Gi para infinitos i ∈ I, entonces∏

iHi es abierto de G con la topologıa delproducto restringido, pero no con la topologıa que hereda G como subespacio de

∏iGi.

Concluir que en este caso la topologıa del producto restringido es estrictamente masfina que la que hereda G como subespacio de

∏iGi.

2.5 Adeles e ideles

Consideremos la familia de grupos localmente compactos {Qp}p∈P′ . Para cada primo p, consideramosel subgrupo abierto y compacto Zp. Para p = ∞, podemos considerar como subgrupo abierto deQ∞(= R) a R. El producto restringido

∏′p∈P′ Qp se denomina anillo de los adeles del cuerpo Q y

se lo denota AQ, o simplemente A.Tenemos entonces que como conjunto,

A = {(xp)p∈P′ : xp ∈ Qp para todo p ∈ P ′, xp ∈ Zp para casi todo p ∈ P},

y tiene como base de la topologıa al conjunto

B =

∏

p∈P′

Up : Up ⊆ Qp abierto para todo p ∈ P ′, Up = Zp p.c.t. p ∈ P

.

Es facil ver que con las operaciones coordenada a coordenada A es anillo topologico.Vıa el morfismo de anillos inyectivo

ι :Q → A

x 7→ (x, x, x, . . . ) ,

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se identifica Q con ι(Q) ⊆ A. Se puede probar que Q ⊆ A es discreto y que el anillo topologicoA/Q es compacto. Ver [Dei12, Teorema 5.2.1].

Ahora consideremos el grupo de unidades de A,

A× = {(xp)p∈P′ : xp ∈ Q×p para todo p ∈ P ′, xp ∈ Z×

p p.c.t. p ∈ P}. (7.20)

Ingenuamente uno considerarıa en A× la topologıa subespacio de A. Nos topamos con el inconvenienteque dado un anillo topologico, no necesariamente el grupo de unidades con la topologıa subespacioes un grupo topologico. A continuacion veremos que precisamente en este caso es falsa dichaafirmacion.

Para cada n ∈ N, sea pn el n-esimo primo. Sea xn = (1, . . . , 1, pn, 1, . . . ), donde la unicacoordenada con el valor pn es la que corresponde a la asociada al primo pn, y la primer coordenadacorresponde a ∞. Afirmamos que limn→∞ xn = 1 si en A× se considera la topologıa subespaciode A.

Cualquier abierto que contenga a 1 contiene un abierto de la forma

U =

∏

p∈S

Up ×∏

p/∈S

Zp

∩ A×,

con S ⊂ P ′ conjunto finito y Up ⊆ Qp abierto para todo p ∈ S. Para n ∈ N suficientemente grande,pn no esta en S y por lo tanto xn ∈ U . Luego (xn)n tiende a 1 ∈ A× con la topologıa subespacio,como querıamos ver.

Por otro lado, si pn no esta en S, la coordenada correspondiente a ese primo de x−1n es p−1

n , elcual no es un elemento de Zpn

. Entonces no es cierto que x−1n este en U para n suficientemente

grande, y en consecuencia, la sucesion(x−1n

)nno tiende a 1 en A×. Concluimos que (·)−1 no es

continua en A× con la topologıa subespacio.De (7.20) vemos que A× es, como conjunto, el producto restringido de

{Q×

p

}p∈P′

con respecto

a{Z×p

}p∈P

∪ {Q×∞}; le daremos la correspondiente topologıa. Por la Proposicion 25 el grupo A×

es un grupo localmente compacto, se lo denomina el grupo de los ideles del cuerpo Q y a suselementos ideles. Notar que los abiertos basicos que contienen a 1 son los conjuntos de la forma

U =∏

p∈S

Up ×∏

p/∈S

Z×p

con S ⊂ P ′ conjunto finito que contiene a ∞ y Up ⊆ Q×p abierto para todo p ∈ S. En este caso, es

falso que xn ∈ U para pn /∈ S y por lo tanto (xn)n no tiende a 1.Dado un numero racional no nulo x = a/b, si S es el conjunto de primos que dividen a a o a

b, entonces x esta en Z×p para todo primo p que no esta en S. Por lo tanto podemos pensar Q×

dentro de A× vıa el morfismo de grupos inyectivo

ι : Q× −→ A×

x 7→ (x, x, x, . . . ) .

Dado un idele x = (xp)p∈P′ , como |xp|p = 1 para casi todo p, podemos definir la norma idelicacomo

‖x‖ =∏

p∈P′

|xp|p.

La aplicacion ‖·‖ : A× → R>0 es un morfismo de grupos topologicos.

Proposicion 28. El nucleo de ‖·‖ contiene a Q×. Es decir, para todo q ∈ Q× se verifica que∏

p∈P′

|q|p = 1.

Demostracion. Como el subgrupo generado por {q : q > 0 primo} ∪ {−1} es Q×, basta ver que‖(q, q, q, . . . )‖ = 1 para q primo. Pero esto es sencillo pues

‖(q, q, q, . . . )‖ =∏

p∈P′

|q|p = |q|∞|q|q = qq−1 = 1.

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Al nucleo de la norma idelica se lo denomina el subgrupo de los 1-ideles.

Teorema 29. Se tiene que A×/Q× ∼= R>0 ×K.

Demostracion. Ver [Dei12, Teorema 5.3.3].

2.6 Caracteres del grupo de clases de ideles y sus funciones L

Al grupo A×/Q× se lo denomina grupo de clases de ideles. Vamos a ver que los caracteres delgrupo de clases de ideles de orden finito estan en correspondencia con los caracteres de Dirichlet.

Por comodidad, hacemos la identificacion A×/Q× ∼= (Q×)⊥= {χ ∈ A× : χ|Q× ≡ 1}.

Sea p ∈ P. Un caracter χp de Q×p se dice no ramificado si es trivial en Z×

p . Definimos la funcionL (local) de χp como

Lp(s, χp) =

{(1− χp(p)p

−s)−1, si χp es no ramificado;

1, si χp es ramificado;

para todo s ∈ C con σ > 0.Si χ∞ es un caracter de Q×

∞, se puede probar que existe un unico λ ∈ R tal que

χ∞(x) = χ∞(sg(x))|x|iλ∞,

para todo x ∈ R× (ver ejercicio 1 de Dual de Pontryagin). Sea ε ∈ {0, 1} tal que χ∞(−1) = (−1)ε.Se define funcion L (local) de χ∞ como

L∞(s, χ∞) = π− s+iλ+ε2 Γ

(s+ iλ+ ε

2

), (7.21)

para todo s ∈ C tal que σ > 0.

Dado χ ∈ A×/Q× y p ∈ P, decimos que χ es no ramificado en p si la componente local p-esimaes no ramificada. Por la Proposicion 26, se tiene que χ es no ramificado para casi todo primo p.Se define la funcion L (parcial) del caracter χ como el producto

Lfin(s, χ) =∏

p∈P

Lp(s, χp) =∏

p/∈S

Lp(s, χp),

donde S = {∞} ∪R y R es el subconjunto de primos p tal que χ es ramificado en p. Esta funciones incompleta en el sentido que no depende de la componente ∞-esima de χ. Teniendo en cuentaesto, se define la funcion L (global) del caracter χ como el producto

L(s, χ) =∏

p∈P′

Lp(s, χp) = L∞(s, χ)Lfin(s, χ),

para todo s ∈ C con σ > 1.Recordemos que el conjunto de ındices P ′ = P ∪ {∞} surgıa de considerar todos los valores

absolutos no triviales de Q. En un contexto mas general, por ejemplo en un cuerpo de numeros Ky considerando caracteres de A×

K , la funcion L global de un caracter es el producto de una funcionL que corresponde a los valores absolutos no arquimedianos y otra funcion L que corresponde alos valores absolutos arquimedianos.

Ejemplo 30. Tomemos χ0 el caracter trivial de A×. Como χ0 no es ramificado en ningun primotenemos que para s con σ > 1,

Lfin(s, χ0) =∏

p primo

(1− p−s

)−1= ζ(s),

y de (7.21),

L(s, χ0) = π− s2Γ(s2

)ζ(s).

Notar que esta ultima funcion es Ξ, la funcion que aparece en el Teorema 10.

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2.7 Correspondencia con los caracteres de Dirichlet

Como consecuencia del Teorema 29 y del ejercicio 1 de Dual de Pontryagin puede probarse que loscaracteres del grupo de clases de ideles de orden finito se identifican con los de K. Mas precisamente,identificando K con {1} ×K ⊆ A1, la aplicacion χ 7→ χ|K es una biyeccion entre ambos conjuntos.

Antes de enunciar el resultado principal, definamos el conductor de un caracter idelico. Paracada N ∈ N, consideremos el subconjunto de K dado por

U(N) =∏

p∈P

Up(N) ⊆ K.

Es facil ver que U(N) es un subgrupo abierto de K para todo N . Ademas, si χK es un caracterde K, se puede probar que existe N ∈ N tal que χK es trivial en U(N) (ver ejercicios). Dado uncaracter idelico χ, al menor numero natural N tal que χ|K es trivial en U(N) se lo llama conductorde χ.

Un resultado clave para entender el Teorema de correspondencia es el siguiente lema.

Lema 31. Para cada N ∈ N, tenemos un isomorfismo K/U(N)γN−−→ (Z/NZ)×.

Demostracion. (idea) Se tiene la siguiente cadena de isomorfismos:

K/( ∏

p∈P

Up(N)

)∼=∏

p∈P

(Z×p /Up(N)

) ∼=∏

p∈P

(Z/pνp(N)Z

)× ∼= (Z/NZ)× .

El primer isomorfismo es el canonico de los productos directos. El segundo se deduce coordenada acoordenada: Si p divide aN proviene de truncar la serie (ya lo mencionamos luego de la Proposicion

21), si p no divide a N notar que Up(N) = Z×p y que

(Z/pνp(N)Z

)×= 0. El tercer isomorfismo es

el Teorema chino del resto.

Teorema 32 (Teorema de correspondencia). Hay una correspondencia biyectiva que preserva elconductor: {

χ ∈ A×/Q× de orden finito}−→

{Caracteres de Dirichlet primitivos

}.

χ 7−→ ξ.

Ademas, para todo s ∈ C con ℜs > 1,

Λ(s, ξ) = Ns+ǫ2 L(s, χ),

donde ǫ ∈ {0, 1} verifica que χ∞(−1) = ξ(−1) = (−1)ǫ, y N = cond(χ).

Si χ ∈ A×/Q× tiene orden finito y N es su conductor, entonces χ es trivial en U(N) y porlo tanto podemos pensarlo como un caracter de K/U(N). El caracter de Dirichlet ξ se construyecomponiendo χ con el isomorfismo γ−1

N del Lema 31.Para terminar, vamos a enunciar el teorema de extension analıtica y la ecuacion funcional para

caracteres del grupo de clases de ideles. La prueba de este teorema utiliza tecnicas de analisisarmonico en el anillo de adeles (mas concretamente, analisis de Fourier). Ver [Dei12, Capıtulos 5y 6], o en un contexto mas general y con mas prerrequisitos, [Bum97, 3.1].

Teorema 33. Sea χ un caracter del grupo de clases de ideles. La funcion s 7→ L(s, χ) tienecontinuacion meromorfa a todo C, y su extension es entera, salvo que el caracter χ sea trivialsobre A1. En este ultimo caso, existe λ ∈ R tal que χ(x) = ‖x‖iλ para todo x ∈ A× y s 7→ L(s, χ)tiene dos polos simples en 1 − λi y −λi con residuos 1 y -1, respectivamente. Ademas, en amboscasos, para todo s ∈ C se tiene que

L(s, χ) = ǫ(s, χ)L(1− s, χ−1

), (7.22)

donde ǫ(s, χ) es una funcion entera que nunca se anula. En el caso χ = ‖·‖iλ, la funcion s 7→ ε(s, χ)es identicamente 1, y la ecuacion (7.22) resulta ser

Ξ(s+ iλ) = Ξ(1− s− iλ).

La funcion ε(s, χ) se llama root number del caracter χ. Si el caracter tiene orden finito se puedetomar λ = 0. Vemos que si χ es el caracter trivial de A× estamos en el segundo caso y recuperamosla ecuacion funcional de ζ.

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Ejercicios

1. (“No small subgroup argument”). Sea G un grupo topologico que contiene una base deentornos de la identidad que consiste de subgrupos. Probar que el nucleo de todo caractercontiene un subgrupo de G.

2. Con las mismas hipotesis que el ejercicio anterior, pero suponiendo ademas queG es compacto,probar que todo caracter de G tiene orden finito.

Referencias

[BS66] A. I. Borevich and I. R. Shafarevich. Number theory. Translated from the Russianby Newcomb Greenleaf. Pure and Applied Mathematics, Vol. 20. Academic Press, NewYork-London, 1966.

[Bum97] Daniel Bump. Automorphic forms and representations, volume 55 of Cambridge Studiesin Advanced Mathematics. Cambridge University Press, Cambridge, 1997.

[DE14] Anton Deitmar and Siegfried Echterhoff. Principles of harmonic analysis. Universitext.Springer, Cham, second edition, 2014.

[Dei12] Anton Deitmar. Automorphic Forms. Universitext. Springer London, 2012.

[Fol16] Gerald B. Folland. A course in abstract harmonic analysis. Textbooks in Mathematics.CRC Press, Boca Raton, FL, second edition, 2016.

[HR70] Edwin Hewitt and Kenneth A. Ross. Abstract harmonic analysis. Vol. II: Structure andanalysis for compact groups. Analysis on locally compact Abelian groups. Die Grundlehrender mathematischen Wissenschaften, Band 152. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1970.

[HR79] Edwin Hewitt and Kenneth A. Ross. Abstract harmonic analysis. Vol. I, volume115 of Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles ofMathematical Sciences]. Springer-Verlag, Berlin-New York, second edition, 1979.Structure of topological groups, integration theory, group representations.

[IK04] Henryk Iwaniec and Emmanuel Kowalski. Analytic number theory. Colloquiumpublications 53. American Mathematical Society, 2004.

[JLB17] Jacqueline A. Jensen-Vallin Maura B. Mast (eds.) Janet L. Beery, Sarah J. Greenwald.Women in Mathematics: Celebrating the Centennial of the Mathematical Associationof America. Association for Women in Mathematics Series 10. Springer InternationalPublishing, 1 edition, 2017.

[KI82] Michael Rosen (auth.) Kenneth Ireland. A Classical Introduction to Modern NumberTheory. Graduate Texts in Mathematics 84. Springer New York, 2nd ed edition, 1982.

[Kob77] Neal Koblitz. P -adic numbers, p-adic analysis, and zeta-functions., volume 58 ofGraduate texts in mathematics. Springer-Verlag, 1977.

[Rie59] Bernhard Riemann. Ueber die anzahl der primzahlen unter einer gegebenen grosse.Monatsberichte der Berliner Akademie, pages 671–680, November 1859.

[RV99] Dinakar Ramakrishnan and Robert J Valenza. Fourier Analysis on Number Fields.,volume 186 of Graduate texts in mathematics. Springer New York, 1999.

[Ser96] Jean-Pierre Serre. A Course in Arithmetic. Graduate Texts in Mathematics. Springer,4th edition, 1996.

[Tat67] John T. Tate. Fourier analysis in number fields and hecke’s zeta-functions. In Algebraicnumber theory, Proceedings of an instructional conference organized by the LondonMathematical Society (a NATO Advanced Study Institute) chapter XV, pages 305–346.Academic Press, London; Thompson Book Co., Inc., Washington, D.C., 1967.

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