actividad no. 1: dominio de la función.aemep.mex.tl/imagesnew/9/6/4/5/2/actividades.pdf · de las...

Actividades.

111

Actividad No. 1: Dominio de la función.

Nombres: _______________________________________ Grupo__________ Puntuación: _____

1. Es una relación en la que a cada elemento del dominio le corresponde uno y sólo un elemento del

contra dominio. Seleccione una respuesta.

A. Imagen

B. Función

C. Contra dominio

D. Dominio

2. De los datos que se muestran en la tabla siguiente:

x 0 1 2 3 4

y 0 1 4 9 16

¿Qué elementos forman el contra dominio de la función?

Respuesta:


x 0 1 2 3 4

y 0 1 4 9 16

¿Qué elementos forman el dominio de la función?

Respuesta:


x 0 1 2 3 4

y 0 1 4 9 16

¿Qué elemento es la imagen de x = 3?

Respuesta:

5. Seleccione una respuiesta.

El dominio de la función está formado por el conjunto de elementos que toma la variable

independiente.

Respuesta:

Verdadero Falso

6. En la gráfica siguiente identifique el dominio y el contradominio de la función.

Actividades.

112

7. Elija la respuesta que corresponde a la función que relaciona los datos de la siguiente tabla:

x 0 1 2 3 4

y 0 1 4 9 16

Seleccione una respuesta.

A. y = x²

B. y = x² - 1

C. y = 2x

8. Escriba el valor que resulta de sustituir el valor x = -3 en la función y = x2

- 4. Su respuesta debe

ser un número.

Respuesta:

9. Escriba la letra de la variable independiente en una función de dos variables.

Respuesta:

10. Escriba el valor que resulta de sustituir el valor x = 3 en la función y = x2 - 4. Su respuesta debe ser

un número.

Respuesta:

Evaluación: Esta actividad será calificada para un máximo de diez puntos.

Créditos: Esta actividad fue creada por los autores: Mtro. J. S. Beltrán L., Mtro. Arturo F. Rico, Lic.

Alejandrina Beltrán Enciso y Mtro. José Francisco Hernández Echeverría.

Actividades.

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Actividad No. 2: Gráficas.

Nombres: _________________________________________ Grupo: _____ Puntuación: _________

1. Introducción: Cuando graficamos una función cualquiera, el dominio de la misma los

consideramos a partir de un intervalo cualquiera, utilizando valores positivos y/o negativos, así

como solo números enteros. En la solución de problemas reales, el dominio de la función está

determinado por las restricciones físicas, económicas, etc., del mismo, según sea el caso. A partir

de las restricciones impuestas se genera una lista de datos, los cuales escribimos en una tabla para

elaborar la gráfica que represente el fenómeno.

2. Tarea: Se formarán equipos de cuatro integrantes como máximo. Construirán una caja abierta de

altura variable (x) a partir de una hoja de papel reciclado tamaño carta (21.5×27.9 cm). Después

calcularán el volumen de la caja construida y en una tabla como la indicada, escribirán el volumen

de todas las cajas que se hayan construido por los demás equipos de acuerdo a la siguiente

relación:

Volumen = largo × ancho × altura.

EQUIPO x Dimensiones en cm. VOL en

cm3

CAJA (existe

o no) L A H

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Por último, en un documento de Word que contenga la tabla de datos, elaborarán la gráfica

correspondiente a esas cajas de acuerdo a la función que representa el volumen de las mismas.

De acuerdo al gráfico, contestarán las siguientes preguntas:

a) ¿Cuál es la ecuación que representa el volumen de la caja?

b) ¿Cuál es el dominio de la función?

c) ¿En qué puntos, la función corta el eje x?

d) ¿Por qué cuando x = 0, no hay volumen?

e) ¿En qué intervalo el volumen es negativo?

f) ¿Qué significado tiene la función cuando el volumen es negativo?

3. Proceso: En la hoja de papel reciclado, tamaño carta (21.5×27.9 cm) dibujarán un margen de x

centímetros alrededor de la misma. El valor de x depende del número de equipo que le

corresponda. Una vez dibujado el margen y haciendo cortes en las esquinas, se doblará la hoja para

formar los lados de la caja (ver figura).

Actividades.

114

4. Recursos: una hoja de papel reciclado tamaño carta, regla graduada, lápiz, tijeras y grapas o

pegamento, calculadora científica o graficadora, papel milimétrico o software para gráficos

(Winplot, Algebrator, Matlab, Mathcad, etc.).

5. Evaluación: Esta actividad será calificada de acuerdo a la siguiente rúbrica para un máximo de

diez puntos.

CATEGORIA 4 3 2 1

Gráfica

elaborada

La gráfica coincide

bien con los datos y es

fácil de interpretar.

La gráfica es adecua-

da y no tuerce los

datos, pero la interpre-

tación de los mismos

es algo difícil.

La gráfica tuerce

algunos de los datos y

la interpretación de

los mismos es algo

difícil.

La gráfica tuerce seria

mente los datos hacien-

do la interpretación casi

imposible.

Tabla de

Datos

Los datos en la tabla

están bien organiza-

dos, son precisos y

fáciles de leer.


están organizados, son

precisos y fáciles de

leer.


son precisos y fáciles

de leer.

Los datos en la tabla no

son precisos y/o no se

pueden leer.

Presentación.

Excepcionalmente

bien diseñada, ordena-

da y atractiva. Colores

que combinan bien

son usados para ayu-

dar a la legibilidad del

gráfico. Se usa una

regla y papel de gráfi-

ca o un programa de

graficado computado-

rizado.

Ordenada y relativa-

mente atractiva. Una

regla y papel de gráfi-

ca o un programa de

graficado computado-

rizado son usados para

hacer la gráfica más

legible.

Las líneas están dibu-

jadas con esmero, pe-

ro la gráfica aparenta

ser bastante sencilla.

Aparenta ser desorde-

nada y diseñada a prisa.

Las líneas están visible-

mente torcidas.

6. Conclusiones: Es diferente graficar una función cualquiera que no representa algo en particular

comparado con un problema real. Cuando el problema deja de ser abstracto para convertirse en

algo real, tiene sentido hablar del dominio de la función.

7. Créditos: Esta actividad fue creada por los autores: Mtro. J. S. Beltrán L., Mtro. Arturo F. Rico,

Lic. Alejandrina Beltrán Enciso y Mtro. José Francisco Hernández Echeverría.

Actividades.

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Actividad No. 3

Nombres: ________________________________________ Grupo: _______ Puntuación: _________

WQ: Funciones.

1. Introducción.

Una función, en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o correspondencia

entre dos o más cantidades. El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático

francés René Descartes, quien escribió: “Una variable es un símbolo que representa un número dentro

de un conjunto de ello. Dos variables x y y están asociadas de tal forma que al asignar un valor a x

entonces, por alguna regla o correspondencia, se asigna automáticamente un valor a y. La variable x, a

la que se asignan libremente valores, se llama variable independiente, mientras que la variable y,

cuyos valores dependen de la x, se llama variable dependiente. Los valores permitidos de x constituyen

el dominio de definición de la función y los valores que toma y constituye su codominio,

contradominio o recorrido”.

2. Tarea.

Deberán formar equipos de 4 personas y presentar un resumen en formato de Word o cualquier

otro procesador de textos. Dicho resumen abarca los siguientes temas:

a) Funciones (variable dependiente, variable independiente, dominio de la función, contradominio e

imagen).

b) Escalas de temperatura (grados Celsius y Fahrenheit)

c) Gráficas

3. Proceso.

Los equipos deberán consultar las direcciones de internet descritas en el apartado “Recursos” y

y resolver los problemas propuestos a continuación:

a) La temperatura de ebullición del agua es a 100°C y la de fusión es a 0°C. Estos dos fenómenos

físicos se utilizaron para establecer la escala Celsius leer temperaturas. Establezca la relación entre

las dos escalas y deduzca la fórmula para hacer conversiones entre ellas sabiendo que, en la escala

Fahrenheit los valores son 212°F y 32°F. Explique el proceso.

b) En el canal de noticias de la CNN en español, en la barra informativa del clima aparece que la

temperatura máxima de la ciudad de Nuevo Laredo para este día será de 970F. ¿Qué temperatura en

°C marcará el termómetro en esa ciudad fronteriza?

c) ¿Qué temperatura tiene el mismo valor numérico en ambas escalas?

d) La pasteurización de la leche consiste en calentarla de 62°C a 64°C durante 30 minutos y luego

enfriarla entre 4°C y 10°C. El técnico debe verificar esto pero los indicadores de los contenedores

están en °F. ¿Cuáles son los rangos de calentamiento y de enfriamiento que debe vigilar para el

proceso?

Actividades.

116

4. Recursos.

Te sugerimos que visites y busques en las siguientes direcciones de internet. De no encontrar lo

que necesitas, busca en páginas similares.

http://www.mundohelado.com/helados/temperatura.htm

http://www.textoscientificos.com/fisica/escalastermometricas

http://enciclopedia.us.es/index.php/Grado_Celsius

http://enciclopedia.us.es/index.php/Fahrenheit

5. Evaluación.

El resumen deberá estar completo, que haya producto y no sea una simple copia. Que se

observe en el mismo limpieza, orden y sin faltas de ortografía.Se otorgarán 2 puntos por cada problema

resuelto correctamente para un total de 10 puntos, siempre y cuando justifique las respuestas y no sea

solo una ocurrencia o adivinanza. Debe haber participación de los integrantes del equipo. Es

importante que los alumnos muestren interés en la solución de los mismos.

6. Conclusión.

Seguramente esta forma de realizar trabajos es novedosa por lo que deben resumir la

experiencia y valorar la formación adquirida.

También deben valorar si fueron capaces de trabajar de forma autónoma sin la ayuda del

profesor, si las conclusiones fueron consensuadas y discutidas de tal manera que las distintas ideas de

los componentes del grupo hayan enriquecido el trabajo colectivo.

Tras la realización de este trabajo habrás comprobado que las posibilidades de la red son

enormes hasta para estudiar Matemáticas. Espero que este trabajo les haya servido para aprender algo

más sobre Gráficas y funciones.

7. Créditos.

Esta Webquest fue creada por los autores y está inspirada en los ejemplos del sitio: aula21.net

Actividades.

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Actividad No. 4

Nombres: ______________________________________ Grupo:______ Puntuación: ______

WQ: Gráficos y funciones.

1. Introducción.

En esta actividad se pretende que observes algunas de las funciones más conocidas y sus

correspondientes gráficas. Mediante la graficación de funciones resolverás algunos problemas

sencillos, observarás cómo se modifica una gráfica al cambiar sus parámetros y apreciarás algunas

gráficas de funciones y relaciones no tan conocidas.

2. Tarea.

Deberán formar equipos de 4 personas y presentar su producto en formato de Word o cualquier

otro procesador de textos. Como se trata de realizar gráficos, deberás bajar el software gratuito Winplot

de la página: http://math.exeter.edu/parris/winplot.html, o bien de cualquier otra, pero asegurándote de

que la interfaz esté en español.

3. Proceso.


hacer las siguientes gráficas de acuerdo a las instrucciones:

a) En una ventana 2-dim de Winplot, graficar las siguientes ecuaciones: y = 2x +5, y = 3 – 2x – x2 y

y = x3 + 2x

2 – 7x – 3.

b) En otra ventana 2-dim grafica y encuentra la solución del sistema: x + 2y = 8 y 2x + y = 7.

Recuerda que la solución por el método gráfico es el punto de intersección de ambas rectas.

c) En otra ventana 2-dim grafica la ecuación y = x2 – 3x – 10. Identifica las coordenadas donde cruza

con el eje x. Esas son las raíces de la ecuación, esto es, la solución por el método gráfico.

d) En otra ventana 2-dim grafica las funciones: y = x2, y = 0.5 x

2 y y = 2x

2. Escribe la diferencia que

observas entre cada gráfico.

e) En otra ventana 2 dim grafica las funciones: y = sin (x) y y = cos (x). Ambas son muy parecidas

pero, ¿por qué no lo son?

4. Recursos.

Para que se documenten, pueden consultar algunas de las siguientes direcciones:

http://winplot.softonic.com/ (para bajar Winplot en español)

http://www.monografias.com/trabajos11/tutwinpl/tutwinpl.shtml (tutorial en español)

http://www.youtube.com/watch?v=9q52PEOsBVE (video tutorial en youtube)

Actividades.

118

Además, en este mismo texto, en la página 5 del tema Funciones algebraicas del Eje 1,

encuentras cómo hacer los gráficos para que te queden de un tamaño aceptable.

5. Evaluación.

Se otorgarán 2 puntos por cada uno de los incisos anteriores para un máximo de 10. Debe

apreciarse el orden, la limpieza y que el trabajo sea original.

6. Conclusión.








más sobre Gráficas y funciones.

7. Créditos.


Actividades.

119

Actividad No. 5


WQ: Matrices.

1. Introducción.

La ciencia matemática nos ha proporcionado fórmulas y expresiones para facilitar los cálculos.

La tecnología actual nos permite disponer de herramientas interesantes como calculadoras, hojas de

cálculo y programas CAS (computer algebraic system) que nos permiten realizar operaciones

aritméticas y algebraicas rápidamente y con alto grado de exactitud.

Las matrices, aunque parezcan al principio objetos extraños, son una herramienta muy

importante para expresar y discutir problemas que surgen en la vida real. En los negocios a menudo es

necesario calcular y combinar ciertos costos y cantidades de productos. Las tablas son una forma de

representar estos datos. Sin embargo, agrupar los datos en un rectángulo nos muestra una

representación más clara y fácil de los datos. Tal representación de los datos se denomina matriz.

2. Tarea.


otro procesador de textos. Deberán resolver los problemas que se presentan en el apartado “Proceso”

realizando los pasos necesarios que se requieran. Es importante la participación de todos los miembros

del equipo ya se se pretende el aprendizaje cooperativo.

3. Proceso.


contestar las preguntas y resolver los problemas propuestos a continuación:

a) Una universidad privada, en los ciclos 2011-A y en el 2011-B ha admitido las siguientes

cantidades de alumnos:

Procedencia/Ciclo 2011-A 2011-B

Hombres Mujeres Hombres Mujeres

Nacionales 320 280 340 308

Extranjeros 80 65 84 68

Exprese en una matriz A la cantidad de alumnos admitidos en el ciclo 2011-A y en una matriz B los

admitidos en el ciclo 2011-B.

b) Exprese en una matriz C la cantidad de alumnos admitidos durante esa anualidad.

c) Exprese en una matriz D la diferencia de alumnos de los dos ciclos respecto del anterior.

Actividades.

120

d) Para el ciclo 2012-A se espera un incremento del 15% en la matrícula de alumnos respecto del

último ciclo. Represente en una matriz E la cantidad de alumnos de la nueva matrícula.

e) Un profesor de matemáticas ha obtenido las calificaciones de los 3 exámenes parciales de 5

alumnos en la siguiente tabla.

Alumno/Examen I II III

Alberto 80 92 94

Berenice 68 89 95

Carmen 86 100 96

Daniel 100 98 100

Gustavo 62 80 78

Si en el encuadre la ponderación de los exámenes es de 30%, 30% y 40%, defina una matriz

que muestre su calificación final.

f) La empresa Siderúrgica de Guadalajara quiere producir acero. Serán necesarias, entre otras

materias primas, mineral hierro y carbón duro. La siguiente tabla nos muestra las demandas (en

toneladas) de mineral hierro y carbón duro en un periodo de 3 semanas:

Semana/Producto Mineral de hierro Carbón duro

1ª semana 9 8

2ª semana 5 7

3ª semana 6 4

Existen tres proveedores diferentes que ofrecen estas materias primas. En la siguiente tabla se

muestran los costes (en dólares) por tonelada de materia prima para cada proveedor:

Material/Empresa Glencore In Ailia BHP Billiton

Mineral hierro 540 630 530

Carbón duro 420 410 440

¿Cuál es el proveedor que ofrece mayor beneficio?

g) Para sus estudios, cinco estudiantes reciben las siguientes subvenciones (en dólares) por cada mes:

Nombre/Cantidad Efectivo/mes En beca/mes

Mario 200 423

Humberto 168 378

Paul 193 564

Beatriz 125 188

Diego 219 297

Calcule la cantidad de efectivo y en beca que recibe cada estudiante por año. Calcule cuál es el

estudiante que recibe la subvención más alta.

4. Recursos.


http://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicaci%C3%B3n_de_matrices

www.vitutor.com/algebra/matrices/tipos.html http://www.elprisma.com/apuntes/curso.asp?id=8095 http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0289-02/ed99-0289-02.html

Actividades.

121

5. Evaluación.

Se atorgará un punto por cada respuesta (8) a los problemas anteriores para un máximo de 10

puntos. Es importante considerar el orden, la limpieza y que haya participación grupal.

6. Conclusión.








más sobre Matrices.

7. Créditos.


Actividades.

122

Actividad No. 6

Nombres: ___________________________________________ Grupo: ______ Puntuación: ______

WQ: Sistema de coordenadas cartesianas.

1. Introducción.

¿Sabías que hace varios años atrás existió un filósofo, matemático y científico llamado René

Descartes? Él fue el creador de un sistema de referencia llamado sistema de coordenadas cartesianas.

Ustedes se preguntarán cuál es la real importancia de aquello, pues gracias a esta creación somos

capaces de ubicar puntos en el espacio, es decir, localizar un lugar como por ejemplo tu casa.

2. Tarea.

Los invitamos a investigar sobre la vida de René Descartes y el sistema de coordenadas

cartesianas para posteriormente hacer una presentación utilizando Power Point, exponiendo la

importancia de la creación de este sistema y su relación en la vida cotidiana.

3. Proceso.

La investigación se llevará a cabo en equipos de 4 alumnos designados por ustedes mismos. La

recopilación de información debe ser un proceso participativo en que los integrantes trabajen

cooperativamente. Una vez recopilada la información deberán hacer la presentación en Power Point

donde expondrán los puntos que consideren más relevantes.

4. Recursos.

La recopilación de información podrán hacerla desde las siguientes direcciones:

Biografía de René Descartes:

http://personal.redestb.es/javfuetub/biografias/descartes.htm

http://www.mat.usach.cl/histmat/htm/desc.html

http://www.portalplanetasedna.comarg/hombres_ilustracion2.htm

Sistema de coordenadas cartesianas:

http://www.phy6.org/stargaze/Mcelcoor.htm

http://www.paginasprodigy.com/villadre/adicional/sistema_cartesiano_de_coordenada.htm

http://usuarios.lycos.es/calculo21/id350.htm

http://www.escolar.com/avanzado/matema067.htm

http://coliman.tripod.com/mate/1_rectas.htm

5. Evaluación.

Debe ponerse énfasis en el trabajo cooperativo y en que el producto no sea solamente una

copia de la información encontrada. La presentación debe ser breve (7 o 10 minutos), con imágenes y

Actividades.

123

sonidos adecuados al tema, sin faltas de ortografía y redacción clara. Se otorgarán un máximo de 10

puntos.

6. Conclusión.

Esperamos que el proceso de aprendizaje haya sido efectivo e interesante, dándote cuenta de

cómo las matemáticas se relacionan con tu diario vivir y que aprendieran sobre la vida de un gran

matemático y su legado. Esperamos también que hayan desarrollado sus capacidades de trabajo en

equipo, sintetizar información desde distintas fuentes, exponer y observar posibilidades de información

existente en internet.

7. Créditos.

Webquest elaborada por Daniel Saldivia con PHPWebquest (alojado en fenixer) y recuperado

de http://cfievalladolid2.net/webquest/visitante/resultadoBusq.php?pag=1 bajo licencia de Creative

Commons.

Actividades.

124

Actividad No. 7


WQ: Cónicas.

1. Introducción.

Llamamos superficie cónica de revolución a la superficie engendrada por una línea recta que

gira alrededor de un eje manteniendo un punto fijo sobre dicho eje; mientras que denominamos

simplemente Cónica a la curva obtenida al cortar esa superficie cónica con un plano. Las diferentes

posiciones de dicho plano nos determinan distintas curvas: circunferencia, elipse, hipérbola y

parábola. Las cónicas están presentes en la naturaleza y también en los inventos del hombre. Por

ejemplo las trayectorias que describen el planeta Tierra y el famoso cometa Halley son de forma

elíptica. Las antenas parabólicas y los faros de los automóviles fueron ideadas con esa forma para

utilizar las propiedades de las parábolas, teniendo en cuenta que las ondas y rayos se concentran en el

foco, y esto permite un mayor aprovechamiento de los mismos. Es por esto que nos parece importante

aprender este tema, ya que esto nos muestra que la matemática está presente y se puede aplicar en la

vida cotidiana.

2. Tarea.


otro procesador de textos. Además, resolver las actividades que se presentan en el apartado “Proceso”



3. Proceso.

Los equipos deberán consultar las direcciones de internet descritas en el apartado “Recursos”,

realizar y resolver los problemas propuestos a continuación:

Realizar los ejercicios, para poner en práctica la comprensión de la teoría, de las páginas:

http://descartes.cnice.mec.es/Descartes1/Otras/Las_conicas/conicas_construccion.htm

a) La trayectoria que describe la Tierra es una elipse de 0.0161 de excentricidad y de 148.5

millones de kilómetros de semieje mayor, en uno de sus focos se encuentra el Sol. Calcula la

ecuación de la elipse y las distancias mínima y máxima de la Tierra al Sol.

b) Se lanza horizontalmente una piedra desde un punto situado a 3 m de altura sobre el suelo.

Sabiendo que la velocidad inicial es de 50 m/seg y que g = 9.81 m /seg2, calcular la distancia

horizontal x al punto de caida.

4. Recursos.


http://www.cnice.mec.es/Descartes/Otras/Las_conicas/conicas_construccion.htm

Actividades.

125

http://es.wikipedia.org/wiki/Elipse

http://www.math2.org/math/algebra/es-conics.htm

http://es.wikipedia.org/wiki/Elipse

http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Conicas/marco_conicas.htm

http://conicas.solomatematicas.com/

5. Evaluación.

Se atorgarán 5 puntos por cada problema para un máximo de 10 puntos. Es importante

considerar el orden, la limpieza y que haya participación grupal.

6. Conclusión.








más sobre Cónicas.

7. Créditos.

Esta Webquest está inspirada en los ejemplos del sitio: aula21.net y elaborada por Mary Vale,

alojada en http://www.sectormatematica.cl/webquest.html bajo licencia de Creative Commons y fue

adaptada libremente por los autores.

Actividades.

126

Actividad No. 8


WQ: Líneas trigonométricas.

1. Introducción.

Las líneas trigonométricas y su variación en los diferentes cuadrantes siempre ha sido motivo

de preocupación para docentes y estudiantes por la alta concentración y la capacidad de abstracción

que el tema exige bajo esquemas tradicionales.

A través de esta WebQuest conocerás el potencial educativo de las tecnologías de la

información y la comunicación en el sector educativo y el papel que ellas juegan en la enseñanza

aprendizaje de las matemáticas. Utilizarás varios recursos de la Internet, (simuladores, graficadores)

que te permitirán sacar los conceptos matemáticos del plano abstracto para acercarlos hacia un plano

más natural, donde los objetos se mueven y se transforman; también podrás analizar y comprender

cómo varían las funciones trigonométricas en los diferentes cuadrantes.

2. Tarea.

Debes visitar los sitios recomendados, analizar el comportamiento de las funciones

trigonométricas y con base en esa información, redactar una carta a un amigo(a) que tenga en cuenta

lo siguiente:

La experiencia vivida en el uso de este modelo de aprendizaje guiado en sus diferentes etapas: En

la organización de los grupos, en la fase de navegación, en el análisis de información (con origen

diferente al tradicional libro) y la manera como se manejaron las opiniones de sus compañeros.

La variación de las funciones trigonométricas (seno, coseno, tangente, cotangente, secante y

cosecante), en los diferentes cuadrantes.

Las ventajas o desventajas del uso de esta nueva herramienta didáctica en los procesos de

enseñanza aprendizaje de las matemáticas y en cualquier otra disciplina.

3. Proceso.

Después de formar los equipos de trabajo y distribuir el rol que jugará cada integrante, los

estudiantes deben visitar los sitios recomendados y observar allí el comportamiento de cada función a

medida que se seleccionan ángulos de diferentes cuadrantes.

Usted podrá analizar de manera animada el comportamiento de las diferentes funciones,

manipulando unos controles denominados deslizadores. Observe los cambios y tome nota de lo

observado.

Para el análisis de cada función tenga en cuenta lo siguiente:

¿La función tiene valores máximos? ¿Mínimos?

¿Cómo varía la función en cada cuadrante?

¿Para qué valores la función se repite?

Actividades.

127

¿La función toma valores mayores que 1?

¿Para qué ángulos la función no está definida?

En la exposición cada estudiante debe describir lo observado, explicar su significado y

comentar cómo se sintió al usar nuevas tecnologías de la información.

4. Recursos.

Para resolver la tarea puedes visitar los siguientes sitios:

{1}

http://id.mind.net/~zona/mmts/trigonometryRealms/TrigFuncPointDef/TrigFuncPointDefinitions.h

tml. Analiza aquí la variación de las funciones trigonométricas. Selecciona en la parte superior la

función (seno, coseno, tangente, etc.) que deseas observar; mueve el punto rojo a través de los

cuadrantes y observa el desplazamiento del mismo punto rojo sobre la curva de la derecha. Cambia

a otra función y haz lo mismo.

{2}

http://descartes.cnice.mecd.es/4b_eso/Razones_trigonometricas/Razones_trigonometricas.htm#SE

NO. En esta página podrás analizar la variación de las seis (6) funciones trigonométricas. Sólo

tienes que mover los triángulos pequeños marcados con Rojo y Azul.

{3}

http://www.ies.co.jp/math/products/trig/applets/sixtrigfn/sixtrigfn.html. Selecciona la

función y mueve el botón rojo.

{4}

http://www.univie.ac.at/future.media/moe/galerie/fun2/fun2.html#sincostan. Esta página está en

inglés, pero no hay problema. Sólo tienes que hacer clic en el tercer rectángulo rojo que contiene el

texto "The graphs of sin, cos and tan". Aquí podrás apreciar la variación y las gráficas de las

funciones Seno, Coseno y Tangente. Selecciona una de estas tres funciones y mueve la caja gris

colocada en la parte inferior de la página. Hazlo despacio para que lo observes mejor.

5. Evaluación.

La exposición tendrá un máximo de 10 puntos que se otorgarán con el siguiente criterio:

Insuficiente: Si la exposición es deficiente, no se dan conclusiones, pocas herramientas

informáticas o mal utilizadas y si no hay participación del estudiante o se permanece callado.

Aceptable: Si hay pocos datos de análisis, si el análisis superficial, si la exposición es incompleta.

Sobresaliente: Si se dan buenas conclusiones, hay bastantes herramientas, seguridad en la

exposición y si hay participación con muestra de interés.

Excelente: Si la exposición es brillante, la clase se interesa, se responden dudas, se apoya la

presentación con herramientas apropiadas y hay partición con dominio del tema.

6. Conclusión.

Al finalizar el proyecto de webquest podrás analizar correctamente la variación de las

funciones trigonométricas en los diferentes cuadrantes y estarás preparado para trazar sus gráficas.

Te invitamos ahora a reflexionar sobre lo aprendido con esta estrategia de aprendizaje por

descubrimiento basada en la Internet. Sería interesante que evaluaras el uso de las WebQuest en los

procesos de enseñanza aprendizaje de las matemáticas y los cambios significativos que puede producir

en las prácticas pedagógicas, en las metodologías de enseñanza y en la forma en que los estudiantes

acceden e interactúan con el conocimiento matemático.

7. Créditos.

Esta Webquest fue creada por Diego Feria Gómez, docente del Colegio Oficial Marco Fidel

Suárez de Barranquilla y está inspirada en los ejemplos del sitio: aula21.net

http://id.mind.net/~zona/mmts/trigonometryRealms/TrigFuncPointDef/TrigFuncPointDefinitions.html

http://descartes.cnice.mecd.es/4b_eso/Razones_trigonometricas/Razones_trigonometricas.htm#SENO

http://www.ies.co.jp/math/products/trig/applets/sixtrigfn/sixtrigfn.html

http://www.univie.ac.at/future.media/moe/galerie/fun2/fun2.html#sincostan

Actividades.

128

Actividad No. 9


WQ: Análisis Combinatorio.

1. Introducción.

Cuando hablamos de Combinatoria o Análisis Combinatorio hacemos referencia a problemas

de conteo. Nos vamos a referir a problemas que impliquen Ordenaciones con repetición (también

llamadas variaciones), Ordenaciones sin repetición, Permutaciones y Combinaciones. En muchas

ocasiones éstas se confunden y nos cuesta trabajo distinguirlas. En esta ocasión vamos a utilizar un

recurso que se encuentra en la Web: el laboratorio del azar. En dicho laboratorio vamos a encontrar

diferentes experimentos de los cuales vamos a utilizar sólo una parte de ellos por cuestiones de espacio

y de tiempo pero eso no es obstáculo para que por tu cuenta sigas con los experimentos. Podrás utilizar

urnas, ruletas, baraja, etc., que te permitirán tener una idea de los juegos de azar para que no caigas en

la tentación de ir a perder tu dinero en las casas de juego conocidas actualmente como “Casinos”. Sin

embargo, estos juegos son solo una forma de entender la matemática ante la incertidumbre para

utilizarlos en la producción o en la industria.

2. Tarea.

Debes visitar el sitio recomendado en el apartado Recursos y realizar todas y cada una de las

actividades que se te proponen. No son problemas para que nos entregues una solución a los mismos

sino actividades que debes experimentar para que te formes una idea del fenómeno. En ella debes

manipular y cambiar las cifras que aparecen junto a la fórmula para que el problema lo puedas variar.

3. Proceso.

Deberán formar equipos de 3 o 4 personas y organizarse de tal manera que mientras unos

experimentan, los demás hagan anotaciones de lo que está ocurriendo. Repitan los experimentos las

veces que sean necesarias y acuerden lo que van a escribir utilizando la técnica de “carta a un amigo”.

En la exposición cada estudiante debe describir lo observado, explicar su significado y comentar cómo

se sintió al usar nuevas tecnologías de la información.

4. Recursos.

La página a visitar es:

http://ntic.educacion.es/w3/eos/MaterialesEducativos/mem2010/labazar/index.html

Haga clic en COMBINATORIA y enseguida escoja Variaciones con repetición.

En esta página, la actividad es la siguiente:

El candado que se muestra se abre formando un número de tres cifras secreto. Cada una de

ellas se puede seleccionar de entre las diez cifras de nuestro sistema decimal: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, y

9. Escribe tu número secreto y gira las ruedas para alinear las cifras y que se abra.

http://ntic.educacion.es/w3/eos/MaterialesEducativos/mem2010/labazar/index.html

Actividades.

129

Como puedes comprobar, el dispositivo permite repetir una cifra incluso tres veces y sí importa

el orden ya que el 123 es diferente del 321; la cifra de las centenas se selecciona girando la rueda más

pequeña y la de las unidades girando la rueda exterior. Contesta a las siguientes preguntas:

a) ¿Cuántos números diferentes, de tres cifras, pueden ser el código secreto para abrir este candado?

b) ¿Se considera aquí el número 000 como uno de los muchos posibles?

c) ¿Y el 023?

d) ¿Y el 111?

e) ¿Y el 636?

Puedes comprobar que hay tantos códigos secretos como Ordenaciones con repetición de 10

elementos (las diez cifras disponibles de nuestro sistema decimal) tomados de 3 en 3. Para otros

valores, manipula la fórmula asignando valores distintos a “n” y a “m” incrementando o disminuyendo

dichos valores con las flechitas. Observe que las posiciones de n y de m están invertidas a como se

utilizan en este libro.

Pasa a la escena siguiente haciendo clic en la flecha que se encuentra en la parte inferior

derecha.

En esta escena, el candado se abre formando un número de cuatro cifras secreto. Pero

disponemos de un conjunto de solo cinco cifras en cada caso, para elegir las unidades, decenas,

centenas y unidades de millar: 1, 2, 3, 4 y 5. Escribe tu número secreto y gira las ruedas para alinear las

cifras y que se abra.

Como puedes comprobar, el dispositivo permite repetir una cifra incluso cuatro veces y sí

importa el orden como lo mostramos en el ejemplo anterior. ¿Cuántos números diferentes, de cuatro

cifras, pueden ser el código secreto para abrir este candado?

También puedes comprobar que hay tantos códigos secretos como Ordenaciones con

repetición de 5 elementos (las cinco cifras disponibles en cada caso) tomados de 4 en 4. Para otros

valores, manipula la fórmula asignando valores distintos a “n” y a “m” incrementando o disminuyendo

dichos valores con las flechitas.


derecha.

En esta tercera escena, el código secreto para abrir este candado consta de un número (del 0 al

7) seguido de una letra mayúscula (de la A a la L) y de un signo (*, ?, =, $, % o &). Hay 8 posibles

elecciones para el número y para cada una de ellas hay 12 posibilidades de elegir una letra mayúscula.

Por último, para cada número y letra elegidos hay 6 posibilidades de elegir un signo. Así, si ya tenemos

elegidos 4 y B, por ejemplo, para ese número y esa letra concretamente tenemos los seis siguientes

códigos posibles:

4B*, 4B?, 4B=, 4B$, 4B% y 4B&.

Lo anterior pone de manifiesto que la rueda de los signos permite multiplicar por seis el

número de códigos formados con número y letra. De igual manera, la rueda de las letras mayúsculas

permite multiplicar por 12 el número de códigos formados únicamente con un número. Escribe tu

número secreto y gira las ruedas para alinear las cifras y que se abra.

Puede comprobarse que las Ordenaciones con repetición se pueden calcular de la siguiente

manera: m m

nOR n

Ahora vaya al Menú de combinatoria haciendo clic en la imagen que está en la parte superior

derecha.

Actividades.

130

Haga clic en Variaciones sin repetición.


Una urna contiene 6 esferas numeradas con las cifras 1, 2, 3, 4, 5 y 6 respectivamente. Se

extraen una a una, y sin reposición, cuatro bolas. Haga clic varias veces (con pausas para que observe

el suceso) en el recuadro EXTRAER CUATRO BOLAS que está junto a las esferas numeradas.

Se registra el número de cuatro cifras obtenido en cada caso (ver el recuadro de la derecha).

Conteste: ¿Cuántos números de 4 cifras diferentes se podrán obtener por este procedimiento?

El análisis combinatorio permite adelantar una respuesta a esta y otras situaciones similares.

No sabemos, con certeza, cúal va a ser la primera esfera o cifra extraída. Es evidente que el número de

4 cifras podrá comenzar por 1, 2, 3, 4, 5 ó 6.

El ORDEN de colocación de las cifras es primordial. No es lo mismo 1356 que 1563. Parece

lógico pensar que habrá la misma cantidad de números que comiencen por 1 que los que comiencen

por 2, 3, 4, 5 ó 6...


derecha.

Para averiguar cuántas Ordenaciones sin repetición de 6 elementos tomados de 4 en 4 hay,

recuerde el principio multiplicativo y se razona así:

a) Hay 6 posibilidades diferentes para la primera cifra.

b) Como la segunda cifra no puede ser igual a la primera, habrá 5 números diferentes que puedan

agruparse con la primera cifra elegida. Así, si la primera cifra es 3, para la primera + segunda cifra

se podrán dar los cinco grupos siguientes: 31, 32, 34, 35 y 36 (33 no puede darse porque no hay

números repetidos). Considerando que hay 6 posibilidades para la primera cifra, para primera +

segunda habrá 6 5 = 30 agrupaciones diferentes :12, 13, 14, 15, 16; 21, 23, 24, 25, 26; 31, 32, 34,

35, 36; 41, 42, 42, 45, 46; 51, 52, 53, 54, 56 y 61, 62, 63, 64, 65.

c) Un grupo concreto formado por primera y segunda cifra se podrá agrupar con una de las cuatro

cifras restantes que no coinciden ni con la primera ni con la segunda. Así, para el grupo 52, se

podrá obtener 521, 523, 524, 526. Por lo tanto de 30 grupos de 2 cifras posibles se pasaría a 30 4

= 120 grupos posibles de 3 cifras.

d) Razonando de manera análoga para la cuarta y última cifra, se obtienen 120 3 = 360 números de

4 cifras diferentes...

El número de Ordenaciones sin repetición, de 6 elementos (números) tomados de 4 en 4 es:

6 5 4 3 360


derecha.

De manera general, el número de Ordenaciones sin repetición de n elementos tomados de m

en m, con n > m, viene dado por:

!

!

m

n

nO

n m

Si n = m, se les llama Permutaciones sin repetición) y Pn = n!.

Para comprobarlo, manipula la fórmula asignando valores distintos a “n” y a “m”

incrementando o disminuyendo dichos valores con las flechitas.

Actividades.

131


derecha.

Algunos ejemplos de variaciones sin repetición son los siguientes. Para resolver dichos

problemas, manipula la fórmula asignando valores distintos a “n” y a “m” incrementando o

disminuyendo dichos valores con las flechitas.

a) En la carrera final de 100 metros planos, 8 corredores se disputan las medallas. ¿De cuántas formas

podrán repartirse las tres medallas (oro, plata y bronce)? n = 8, m = 3. Solución: 336 formas

diferentes.

b) ¿De cuántas maneras diferentes se pueden repartir tres premios distintos (A, B y C) entre Juan,

Pedro, María, Alicia y Pilar? n =5, m = 3. Solución: 60 maneras diferentes.

c) ¿Cuántos números de tres cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5 ? n = 5, m =

3. Solución: 60 números diferentes.

d) A un concurso literario se han presentado 10 candidatos con sus novelas. El cuadro de honor lo

forman el ganador, el finalista y un accésit. ¿Cuántos cuadros de honor se pueden formar? n = 10,

m = 3. Solución: 720 cuadros de honor diferentes.

e) ¿De cuántas maneras pueden sentarse 10 personas en un banco si hay 4 huecos disponibles? n =

10, m =4. Solución: 5040 maneras diferentes.

*Nota: Observe que las posiciones de n y m están invertidos a como se ha manejado en este libro.

Ahora vaya al Menú de combinatoria haciendo clic en la imagen que está en la parte superior

derecha.

Haga clic en Combinando frutas.


En un restaurante están buscando la combinación de frutas que más guste a los niños. Para ello

experimentan con combinaciones de dos frutas diferentes y disponen de seis tipos de fruta. ¿Sabrías tú

encontrar las 15 combinaciones diferentes de 6 frutas tomadas de 2 en 2?

Para colocarlas en el plato, primero selecciona la fruta que has escogido y luego arrástrala a

cualquiera de los platos. Después selecciona la siguiente fruta y así sucesivamente hasta que completes

las 15 combinaciones. Al final haz clic en el recuadro Verificar que se encuentra junto a la canasta.


derecha.

En un restaurante están buscando la combinación de frutas que más guste a los niños. Para ello,

experimentan con combinaciones de tres frutas diferentes y disponen de cinco tipos de fruta. ¿Sabrías

tú encontrar las 10 combinaciones diferentes de 5 frutas tomadas de 3en 3?

Intenta ahora el problema siguiendo el procedimiento del ejemplo anterior.

Es obvio que este proceso es bastante tardado por lo que para hacer el cálculo utilizamos la

siguiente fórmula:

!

! !

m

n

nC

m n m

Puede comprobar el uso de esta fórmula en los dos casos anteriores. Este tipo de problema no

permite repetir dos elementos como es el caso de poner varios plátanos en un mismo plato y es el más

simple. También hay combinaciones con repetición pero eso lo dejamos para otro curso.

Ahora vaya al Menú principal haciendo clic en la imagen que está en la parte inferior

izquierda. Puede abandonar la página o seguir explorando otras opciones de este laboratorio del azar.

Actividades.

132

5. Evaluación.

La exposición:

Insuficiente: Si la exposición es deficiente, no se dan conclusiones, pocas herramientas

informáticas o mal utilizadas y si no hay participación del estudiante o se permanece callado.

Aceptable: Si hay pocos datos de análisis, si el análisis superficial, si la exposición es incompleta.

Sobresaliente: Si se dan buenas conclusiones, hay bastantes herramientas, seguridad en la

exposición y si hay participación con muestra de interés.

Excelente: Si la exposición es brillante, la clase se interesa, se responden dudas, se apoya la

presentación con herramientas apropiadas y hay partición con dominio del tema.

6. Conclusión.

Te invitamos ahora a reflexionar sobre lo aprendido con esta estrategia de aprendizaje por

descubrimiento basada en la Internet. Sería interesante que evaluaras el uso de las WebQuest en los

procesos de enseñanza aprendizaje de las matemáticas y los cambios significativos que puede producir

en las prácticas pedagógicas, en las metodologías de enseñanza y en la forma en que los estudiantes

acceden e interactúan con el conocimiento matemático.

7. Créditos.


Actividades.

133

Actividad No. 10


WQ: Probabilidad condicional.

1. Introducción.

Hasta ahora hemos calculado la probabilidad de un evento sin conocer si otro evento

relacionado había ocurrido. En esta sección discutiremos las oportunidades que tiene un evento B

cuando se sabe que un evento relacionado A ha ocurrido; esto se llama probabilidad condicional.

También la discusión demostrará como hallar la probabilidad de 2 eventos conjuntos.

2. Tarea.


otro procesador de textos. Además, resolver las actividades que se presentan en el apartado “Proceso”



3. Proceso.

Los equipos deberán consultar las direcciones de internet descritas en el apartado “Recursos”,

realizar y resolver los problemas propuestos a continuación:

Entre los 700 empleados de una corporación, el número de hombres y mujeres empleados que

ganan menos de o más de $ 20,000 son los siguientes:

Empleados/Sueldo < $ 20,000 > $ 20,000 Total

Mujeres (M) 210 80 290

Hombres (H) 105 305 410

Total 315 385 700

Si uno de los empelados de la corporación es seleccionado al azar, encuentre la probabilidad de

que el empleado:

a) Gane al menos $20,000, dado que es hombre.

b) Gane menos de $20,000, dado que es mujer

c) Sea hombre, dado que gana al menos $ 20,000.

Para una familia con tres niños, encuentre la probabilidad de que el primero sea un varón, el

segundo sea hembra y el tercero sea varón.

4. Recursos.

Para resolver la tarea puedes visitar los siguientes sitios:

http://www.sepi.upiicsa.ipn.mx/mdid/diap033.pdf

http://www.sepi.upiicsa.ipn.mx/mdid/diap033.pdf

Actividades.

134

http://facultad.bayamon.inter.edu/JMARTINEZ/cursos/inge3200/p3.pdf

http://www.dm.uba.ar/materias/probabilidades_estadistica_C/2011/1/PyEC02.pdf

http://www.ub.edu/stat/GrupsInnovacio/Statmedia/demo/Temas/Capitulo1/B0C1m1t7.htm

5. Evaluación.

Se atorgarán 2 puntos por cada problema para un máximo de 10 puntos. Es importante

considerar el orden, la limpieza y que haya participación grupal.

6. Conclusión.








más sobre Probabilidad condicional.

7. Créditos.


http://facultad.bayamon.inter.edu/JMARTINEZ/cursos/inge3200/p3.pdf

http://www.dm.uba.ar/materias/probabilidades_estadistica_C/2011/1/PyEC02.pdf

actividad no. 1: dominio de la función.aemep.mex.tl/imagesnew/9/6/4/5/2/actividades.pdf · de las...

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