TRABAJO COLABORATIVOACTIVIDAD Nº 6

LUIS ALFREDO SALAS TOROCODIGO

1128063751Grupo Colaborativo

100408 _359 ALGEBRA LINEAL

TutorNELSON SANCHES

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIACEAD

SIMON BOLIVAR CARTAGENAoctubre de 2013

INTRODUCCIÓN

El presente trabajo tiene como objetivo el desarrollo de esta actividad tiene como objetivo complementar de manera práctica los conocimientos adquiridos sobre la unidad 1 de el modulo de algebra lineal.

La realización de los ejercicios propuesto en esta actividad son de mucha ayuda ya que nos permite demostrar que cumplimos con los objetivos propuestos en el avance de la unidad 1

OBJETIVOS GENERALES

- El estudiante estará en capacidad de entender y comprender los ejercicios realizados de forma colaborativa, basados en los conceptos algebraicos de la unidad uno.

- Analizar cada una de las formas para realizar operaciones sencillas en los ejercicios dados de vectores y matrices.

- Realizar el aprendizaje colaborativo basados en los ejercicios de la guía de trabajo.

- Entender y comprender los diferentes teoremas para la realización con ejercicios basados en vectores y matrices.

- El estudiante en forma individual aportará al desarrollo colaborativo de los ejercicios propuestos.

DESARROLLO DE LOS PROBLEMAS Y EJERCICIOS

1. Dados los siguientes vectores dados en forma polar:a. |u| 2;315O

ux=2cos45o

ux=(2 )∗(0.70 )

ux=1.4

uy=2sin 45o

uy=(2 )∗(0.70 )

uy=1.4

b. |v| 5;30O

vx=5cos30o

vx=(5 )∗(0.86 )

vx=4.3

v y=5sin 30o

v y=(5 )∗(0.5 )

v y=−2.5

θ=30o

α=45o

θ=315ou=2

v=5

Realice analíticamente, las operaciones siguientes:

1.1 u→

+2v→

u=(2cos 315° )+¿

v=¿

Ahora ya podemos realizar la suma:

u+2v=(1.4142 ,−1.4142 )+2 (4.33,2 .5 )→ (1.4142 ,−1.4142 )+(8.66 ,5 )

→→ (1.4142+8.66 ,−1.4142+5 )→(10.0742 ,3.5858)

→→u+2 v=(10.0742 ,3.5858)

1.2 v−u

v−u= (4.33,2.5 )−(1.4142 ,−1.4142 )→ (4.33−1.4142 ) ,

(2.5−(−1.4142 ))

→→ (2.92 ,3.91 )R / .

1.3 3 v−u

3 v−u=3 (4.33,2.5 )−(1.4142 ,−1.4142 )→→ (12.99 ,7.5 )−(1.4142 ,−1.4142 )

→→ (12.99−1.4142) ,¿ →→ (11.58 ,8.91 ) R/ .

2. Encuentre el ángulo entre los siguientes vectores:

u . v= (2,7 ) . (1,4 )=(−2 )+(−28 )=−30

|u|=√ (2 i)2+(7 j )2

|u|=√4+49

|u|=√53

|v|=√(−i )2+(−4 j )2

|v|=√1+16

|v|=√17

Por lo tanto:

cos α= u . v|u||v|

cos a= −30√53√17

α=cos−1( −30√53√17 )

α=cos−1( −30√901 )

α=178.090

+ j

+i

u=2 i+7 j

v=−i−4 j7

2− j

|u|=√53

-1

-4

α=178.090

Decimos que.

w=(−2 ,−3 ) u=(−3 ,−5)

w .u=(−2 ,−3 ) . (−3 ,−5 )→→w .u=(6+15 )=w . u=21

|w|=√(−2)2+(−3)2|w|=√4+9→→|w|=√13

|u|=√(−3)2+(−5)2|u|=√9+25→→|u|=√34

Entonces :

cosθ= w .u|w||u|.

→→cos θ= 21

√13.√34 →→θ=cos−1( 21

√13.√34)

θ=cos−1( 21√442

)→→θ=2.726 R/ .

3- Dada la siguiente matriz, encuentre A−1 empleando para ello el método de Gauss-Jordán.

−i|v|=√17

A=[2 5 57 −5 −10 2 −3 ]

Solución

A↑I=(2 5 57 −5 −10 2 −3|

1 0 00 1 00 0 1)

Haciendo la siguiente operación alteramos la matriz: F2' =−7 F1+2 F2

A↑I=(2 5 50 −45 −370 2 −3 | 1 0 0

−7 2 00 0 1)

Si hacemos la operación: F3' =

F32

tenemos la siguiente matriz alterada:

A↑I=(2 5 50 −45 −37

0 1−32

| 1 0 0−7 2 0

0 012)

Haciendo la operación: F3' '=45F3

' +F2' se tiene la siguiente matriz alterada:

A↑I=(2 5 50 −45 −37

0 0−2092

| 1 0 0−7 2 0

−7 2452

)Haciendo la siguiente operación: F3

' ' '=2F3

' '

−209 tenemos la matriz alterada:

A↑I=(2 5 50 −45 −370 0 1 | 1 0 0

−7 2 014209

−4209

45−209

)Haciendo la operación: F1

' =−5F3' ' '+F1 tenemos la matriz alterada:

A↑I=(2 5 00 −45 −370 0 1 |139209 20

209225209

−7 2 014209

−4209

45−209

)Haciendo la operación: F2

' '=37 F3' ' '+F2

' tenemos la matriz alterada:

A↑I=(2 5 00 −45 00 0 1|

139209

20209

225209

−945209

270209

−1665209

14209

−4209

45−209

)Haciendo la operación: F2

' ' '=F2

' '

−45 tenemos la matriz alterada:

A↑I=(2 5 00 1 00 0 1|

139209

20209

225209

21209

−6209

37209

14209

−4209

45−209

)

Haciendo la operación: F1' '=−5 F2

' ' '+F1' tenemos la matriz alterada:

A↑I=(2 0 00 1 00 0 1|

34209

50209

40209

21209

−6209

37209

14209

−4209

45−209

)Por último hacemos la operación: F1

' ' '=F1

' '

2 teniendo la matriz alterada:

A↑I=(1 0 00 1 00 0 1|

17209

25209

20209

21209

−6209

37209

14209

−4209

45−209

)Por lo tanto la matriz inversa es: A

−1=[17209

25209

20209

21209

−6209

37209

14209

−4209

45−209

]

4. Emplee una herramienta computacional adecuada (por ejemplo, MAPLE, o cualquier software libre) para verificar el resultado del numeral anterior. Para esto, anexe los pantallazos necesarios que verifiquen el resultado.

5. Encuentre el determinante de la siguiente matriz, describiendo paso a paso la operación que lo va modificando (sugerencia: emplee las propiedades e intente transformarlo en una matriz triangular).

2 0 9 2 1 F1 2 0 9 2 1 F1-1 1 3 -2 1 F2 0 2 15 -2 3 F2'

A= -1 0 -2 2 1 F3 A= 0 0 5 6 3 F3''

0 0 0 5 -2 F4 0 0 0 5 -2 F40 3 0 1 1 F5 0 0 0 -5 -8 F5''

Tomando la fórmula F3'=3F3'+F5 Tomando la fórmula F5''=F4+F5''

2 0 9 2 1 F1 2 0 9 2 1 F1-1 1 3 -2 1 F2 0 2 15 -2 3 F2'

A= 0 -1 -5 4 0 F3' A= 0 0 5 6 3 F3''

0 0 0 5 -2 F4 0 0 0 5 -2 F4

0 3 0 1 1 F5 0 0 0 0-

10 F5

Tomando la fórmula F2'=2F2+F1 Solución:

2 0 9 2 1 F1 Det(A)=(2)(2)(5)(5)(-10)=-10000 2 15 -2 3 F2'

A= 0 -1 -5 4 0 F3' Det(A)=-1000

0 0 0 5 -2 F40 3 0 1 1 F5

Tomando la fórmula F5'=2F2+F1

2 0 9 2 1 F10 2 15 -2 3 F2'

A= 0 -1 -5 4 0 F3''

0 0 0 5 -2 F40 0 15 13 1 F5'

Tomando la fórmula F3''=2F3'+F2'

2 0 9 2 1 F10 2 15 -2 3 F2'

A= 0 0 5 6 3 F3''

0 0 0 5 -2 F40 0 15 13 1 F5''

Tomando la fórmula F5''=-3F3'+F5'

Comprobación.

6. Encuentre la inversa de la siguiente matriz, empleando para ello determinantes

(Recuerde: A−1= 1

DetA∗AdjA¿

[−3 1 −10 2 5

−2 1 −5] Primero hallamos el determinante por sarrus

[−3 1 −10 2 5

−2 1 −5]= |−3 1 −1 −3 10 2 5 0 2

−2 1 −5 −2 1| =

(-2*2*-1)+ (1*5*-3)+ (-5*0*1) - (-3*2*5)+ (1*5*-2)+ (-1*0*1)Hay que tener en cuenta que del cuarto término en adelante se le cambia el signo

(4)+ (-15)+ (1)+ (30)+ (10)+ (1) = 31

Entonces el determinante es 31

Ahora hallamos la traspuesta de la matriz. Para esto convertimos las filas en columnas de la siguiente manera

A=[−3 1 −10 2 5

−2 1 −5] =At|−3 0 −21 2 1

−1 5 −5|Después de esto hallamos la adjunta por medio de la transpuesta teniendo en cuenta que a los términos

A11|−3 0 −21 2 1

−1 5 −5|=Det|2 15 −5|=¿ -15

A12|−3 0 −21 2 1

−1 5 −5|=Det| 1 1−1 −5|=¿ -4

A13|−3 0 −21 2 1

−1 5 −5|=Det| 1 −2−1 5 |=7

A21|−3 0 −21 2 1

−1 5 −5|=Det|0 −25 −5|=−10

A22|−3 0 −21 2 1

−1 5 −5|=Det|−3 −2−1 −5|=13

A23|−3 0 −21 2 1

−1 5 −5|=Det|−3 0−1 5|=−15

A31|−3 0 −21 2 1

−1 5 −5|=Det|0 −22 5 |=−4

A32|−3 0 −21 2 1

−1 5 −5|=Det|−3 −21 1 |=−1

A33|−3 0 −21 2 1

−1 5 −5|=Det|−3 01 2|=−6

Despues de hallar cada termino se organiza en la matriz cabiando el signo al A12 , A21 , A , 23A32, de la siguiente manera

Adj=|−15 4 7−10 13 154 1 −6|

Después realizamos la inversa con la ecuación A−1= 1

DetA∗AdjA

A−1= 131

∗|−15 4 7−10 13 154 1 −6|=|

−1531

431

731

−1031

1331

1531

431

131

−631

|A−1=|

−1531

431

731

−1031

1331

1531

431

131

−631

|Para probarlo multiplicamos la inversa por la matriz es decir (A∗A1) y debería dar la matriz identidad

|−1531

431

731

−1031

1331

1531

431

131

−631

|∗[−3 1 −10 2 5

−2 1 −5]=|1 0 00 1 00 0 1|CONCLUCION

Hoy día nosotros como personas y estudiantes hemos perdido el interés en las matemáticas en general quizás por metodologías o por temores infundados pero con esta modalidad de auto aprendizaje considero yo que se recupera ese interés ya que somos los creadores de nuestra propia metodología además que con el uso de las herramientas tecnológicas como videos tutoriales se aprende mucho, con la ejecución de esta actividad pude demostrar las competencias adquiridas en el modulo de algebra lineal unidad numero 1 atreves de la ejecución de los 6 ejercicios propuestos.

BIBLIOGRAFÍA

Zúñiga G, Camilo Arturo (2010) ALGEBRA LINEAL, Bogotá, Colombia. Universidad Nacional Abierta y a Distancia “Unad”.

http://www.wolframalpha.com