actividad 1: lanzamiento de un dado en … · web view... en el desarrollo del bloque temático...

AZAR Y PROBABILIDAD

UNIDAD DIDÁCTICA para 4º curso de la E.S.O.

Manuel Sada Allo

1

INTRODUCCIÓN

Esta unidad didáctica se centra en el desarrollo del bloque temático Tratamiento del Azar contemplado en el decreto del currículo correspondiente al área de Matemáticas de la Educación Secundaria Obligatoria. No obstante, en ella también se trabajan contenidos correspondientes a otros bloques temáticos, como son los relacionados con el tratamiento de la información y la estadística, la proporcionalidad numérica y el uso de los números en sus distintas formas.

En ella se asume el criterio, defendido por el propio currículo oficial, según el cual la mayoría de nuestros alumnos no comprenden el desarrollo formal de la Teoría de la Probabilidad (presentada tradicionalmente de una manera axiomática y poco intuitiva) y se hace necesario un tratamiento didáctico más manipulativo, mediante una metodología heurística y activa, a través de problemas concretos y la realización de experimentos reales o simulados.

La unidad está pensada para su aplicación con alumnos de 4º curso, Opción B. Si bien puede ser igualmente útil para la Opción A, con pequeñas variaciones, alguna matización y la supresión de determinadas (muy pocas) cuestiones de las últimas actividades propuestas.

Los alumnos y alumnas de 4º de E.S.O. seguramente ya estarán familiarizados con actividades en torno al azar, con el concepto de probabilidad (al menos en su aspecto cualitativo) y con parte del vocabulario utilizado en la descripción de fenómenos aleatorios (suceso probable, “más probable que”, imposible, frecuencia, media,...). Tendrán unos conocimientos, muy intuitivos quizá, acerca de los conceptos implicados. Estos conocimientos serán todavía algo confusos. Por ello, será conveniente volver a insistir de nuevo sobre todos los conocimientos previos, profundizando en ellos y propiciando un contenido matemático para dotar a los alumnos de recursos que le permitan enfrentarse a situaciones nuevas y más complejas y conseguir, con todo ello, mejorar su comprensión del azar.

En cuanto al tiempo necesario, estimo que entre 20 y 25 sesiones (depende de las características del grupo) pueden ser suficientes.

La elaboración y sobre todo el modo de presentación de esta unidad didáctica ha sido influida por la limitación de la misma a 25 páginas. Este imperativo ha hecho que alguno de los apartados y muchos de los comentarios dirigidos al profesor que acompañan a las actividades hayan sido más breves de lo que me hubiera gustado.

La unidad recoge los siguientes apartados:

1. Objetivos específicos.2. Contenidos3. Metodología4. Evaluación5. Actividades programadas.

Unidad Didáctica: Azar y Probabilidad.Manuel Sada Allo

2

1. OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Además de los objetivos generales recogidos en el currículo oficial en la parte correspondiente a Matemáticas, he tenido presente a la hora de elaborar esta unidad didáctica los siguientes objetivos de carácter más específico:

1. Tomar conciencia de la presencia del azar en situaciones muy variadas, tanto de la vida cotidiana como de otras áreas del conocimiento científico.

2. Reconocer que los fenómenos aleatorios están sometidos a regularidades y leyes que los rigen, eliminando la idea de azar como algo totalmente imprevisible.

3. Realizar experiencias diversas para apreciar las regularidades del azar y estimar probabilidades, interpretadas estas como proporción esperable de un resultado en un gran número de repeticiones del experimento.

4. Conocer procedimientos y recursos variados (recuentos, simulaciones, regla de Laplace, tablas y gráficas estadísticas, diagramas de árbol, tablas de contingencia, etc.) con los que poder realizar pequeñas investigaciones encaminadas a interpretar y predecir situaciones donde haya incertidumbre.

5. Distinguir en juegos y sorteos su carácter equitativo (o no) de su aleatoriedad.6. Utilizar un vocabulario apropiado, valorando el rigor y la precisión, en situaciones de azar.7. Valorar la precisión, el orden y la claridad en el tratamiento y la presentación de datos y resultados por

su influencia en la calidad de la transmisión e interpretación de la información.

2. CONTENIDOS

2.1. CONCEPTOS

Experimentos y sucesos aleatorios o acontecimientos dependientes del azar. Los sucesos y sus probabilidades. Sucesos seguros, probables e imposibles. Frecuencias absolutas y relativas. Fracciones, números decimales y porcentajes: uso y conversión. Comportamiento regular del azar. Ley de los grandes números. Probabilidad de un suceso en el sentido de frecuencia relativa esperada. Distribución esperada o teórica y distribución empírica. Sucesos elementales y otros sucesos. Regla de Laplace para sucesos elementales equiprobables. Relaciones entre sucesos. Suceso contrario. Sucesos incompatibles. Unión e intersección de sucesos. Asignación de probabilidades a los sucesos. Propiedades. Diagramas de árbol. Cálculo de probabilidades en experimentos compuestos. Regla del producto. Probabilidad condicionada. Esperanza en un juego. Juego equitativo.


3

2.2. PROCEDIMIENTOS

Empleo del lenguaje adecuado para comunicar situaciones relativas a fenómenos de azar. Confección de tablas de frecuencias y gráficas para representar el comportamiento de fenómenos

aleatorios y para asignar probabilidades. Cálculo de probabilidades en casos sencillos, mediante el empleo de la Ley de Laplace. Reconocimiento de la existencia de fenómenos aleatorios en situaciones de la vida y en el conocimiento

científico. Formulación y comprobación de conjeturas en el comportamiento de fenómenos aleatorios sencillos. Utilización de técnicas diversas y de números aleatorios para la simulación de situaciones donde

intervenga el azar. Cálculo de probabilidades en sucesos compuestos por métodos intuitivos (repartos proporcionales en

diagramas de árbol, tablas de contingencia, etc.) y mediante la regla del producto.

2.3. ACTITUDES

Reconocimiento del valor de las leyes del azar para predecir resultados en fenómenos aleatorios. Curiosidad e interés por investigar fenómenos aleatorios. Valoración crítica de las informaciones probabilísticas que aparecen en los medios de comunicación. Sensibilidad y gusto por la precisión en la observación y diseño de experiencias relativas a fenómenos

de azar. Disposición favorable a tener en cuenta las informaciones probabilísticas en la toma de decisiones en

donde haya incertidumbre. Sentido crítico ante las creencias populares sobre fenómenos aleatorios. Sensibilidad, interés y valoración crítica del lenguaje estadístico y probabilístico en informaciones y

argumentaciones sociales, políticas y económicas.

3. METODOLOGÍA

3.1. CONSIDERACIONES GENERALES

La probabilidad constituye uno de los ejemplos más claros en que se puede apreciar la necesidad de un tratamiento didáctico diferente del actual. Tradicionalmente ha sido presentada de una manera axiomática y poco intuitiva y, sin embargo, la mayoría de nuestros alumnos (en COU) han tenido muchas dificultades para comprender su desarrollo formal.

Frente a este modo de presentación, para la etapa de Educación Secundaria, se impone la idea de una didáctica más sugerente y manipulativa basada en la experimentación y no tanto en la relevancia de unos elementos teóricos.

Esta unidad didáctica está pensada para que su puesta en práctica favorezca un aprendizaje basado en la actividad del propio alumno. Las actividades programadas constituyen propuestas de trabajo en clase en las que casi todo lo tiene que hacer el alumno, mientras que el papel del profesor es más el de orientar, ayudar y resolver dudas que el de orador o mero transmisor de conocimientos.

No obstante, las citadas actividades no deben ser consideradas como autosuficientes para el desarrollo de la instrucción, que ha de ser completada por el profesor en los aspectos que considere conveniente.

Por otro lado, el mundo del azar y la probabilidad se presta a ser estudiado y observado en contextos de juegos y actividades con cierto sabor lúdico que pueden favorecer la motivación de los alumnos. Es algo que he intentado aprovechar a la hora e diseñar y elegir las situaciones didácticas.


4

3.2. USO DE LAS ACTIVIDADES

Las 13 actividades que integran la parte práctica de esta unidad didáctica están diseñadas para ser realizadas por los alumnos, unas de forma individual y otras por parejas (principalmente aquellas que conllevan experiencias con manipulación de objetos y recuentos de resultados). La mayoría pueden realizarse en una única sesión y para otras será conveniente utilizar dos o incluso tres sesiones.

Están secuenciadas en orden creciente de dificultad.En cuanto a la forma en que están presentadas, se incluyen tanto las cuestiones y aclaraciones dirigidas a los alumnos (en letra estándar), como comentarios dirigidos al profesor (siempre en letra cursiva y más pequeña).

La estructura es similar en la mayoría de las actividades: En primer lugar se describe una situación problemática (frecuentemente apoyada en juegos y apuestas) que pretende captar el interés de los alumnos y sobre la que girará toda la actividad. La cuestión inmediata suele ser el requerimiento de una primera opinión o de una conjetura que puede dar pie a un debate o discusión en clase en torno al tema. Seguidamente se presentan una serie de cuestiones apoyadas en la experimentación. De esta experimentación y tras los consiguientes recuentos y representación de los resultados en tablas y, a veces, gráficas surgen otro tipo de cuestiones destinadas a que el alumno observe regularidades, reflexione y modifique o confirme las conjeturas iniciales, así como a que las comunique de forma apropiada.

En algunas de las actividades el ordenador puede jugar un papel interesante por su capacidad de simular un gran número de repeticiones en muy poco tiempo.

Finalmente suelen aparecer cuestiones que pretender conducir al alumno a una resolución teórica del problema que permita luego la extensión a otras situaciones. Al final de la actividad viene una serie de apartados dirigidos al profesor: un resumen de los contenidos implícitos en la misma, los materiales necesarios, etc. Por último, el apartado de ampliación incluye una serie de problemas y cuestiones relacionados con los contenidos recién desarrollados. Alguno de estos problemas se pueden considerar como de refuerzo o afianzamiento y destinarse a los alumnos de ritmo más lento o con mayores dificultades. Otros pueden ser considerados como actividades complementarias o como retos destinados a los que quieran pensar más.

Estos problemas que aparecen al final de cada actividad pueden ser, por tanto, un material aprovechable de cara a la atención a la diversidad. Por otro lado, no es necesario que todos los problemas sean propuestos a la mayoría de los alumnos, por lo que se pueden emplear para compensar los distintos ritmos de aprendizaje haciendo que los alumnos más rápidos los trabajen en clase mientras sus compañeros terminan la actividad, otros puedan trabajarlos fuera de clase y algunos, si se cree conveniente, no trabajar más que los más sencillos.

Alguna de las actividades puede ser considerada como continuación de la anterior (la 4 de la 3, la 8 de la 7). Por ese motivo, en estos casos, los problemas de ampliación se proponen fundamentalmente al final de la segunda de ellas.

3.3. ORIENTACIONES SOBRE CONTENIDOS ESPECÍFICOS

Las actividades programadas van encaminadas principalmente al desarrollo de intuiciones correctas sobre probabilidad a partir de la experimentación, la observación y la reflexión correspondiente. Los contenidos, tanto conceptuales como procedimentales y actitudinales, se van introduciendo paulatinamente, ligados a los ejemplos y situaciones que se estudian.

En las primeras actividades se trabaja la idea de probabilidad de forma progresiva: inicialmente la probabilidad asignada subjetivamente como grado de creencia en que algo ocurra y luego en su sentido frecuencial.


5

El estudio de las frecuencias (que conlleva el uso de tablas estadísticas) es utilizado no sólo para la asignación “a posteriori” de probabilidades sino también para entender el comportamiento del azar: su carácter imprevisible cuando se observa en experiencias aisladas y, por otro lado, las importantes regularidades que presenta cuando se repiten las experiencias un número elevado de veces.

En seguida se llega a la Ley de Laplace útil para la asignación de probabilidades “a priori”, lo cual no merma el valor de la experimentación que sigue siendo interesante y puede servir para entender mejor el carácter no determinista del azar.

Progresivamente se va introduciendo el uso de alguna terminología (la imprescindible) y, sobre todo, modos de trabajo y representaciones que, como los diagramas de árbol, ayudan a resoluciones intuitivas de los problemas.

De la experimentación directa y el estudio de algún juego se pasa a las simulaciones, que constituyen uno de los procedimientos más valiosos y utilizados para observar los posibles resultados de una experiencia.

La unión e intersección de sucesos se introducen mediante ejemplos y desposeídos de su significado algebraico.

Se trabaja la idea de juego equitativo a partir de la definición de esperanza en un juego.Con las últimas actividades aparecen experimentos compuestos (dependientes e independientes), la

probabilidad condicionada y problemas que tradicionalmente han sido resueltos mediante la regla del producto y los teoremas de la Probabilidad Total y de Bayes. En todos ellos se conduce al alumno a procedimientos intuitivos (repartos proporcionales en diagramas de árbol, tablas de contingencia, simulaciones con números aleatorios, etc.) para enfrentarse a estas situaciones.

4. EVALUACIÓN

La evaluación, como instrumento para mejorar globalmente el proceso de enseñanza-aprendizaje, tiene una triple vertiente: la evaluación referida a cada alumno, la referida al profesor y su actividad docente y la referida a la propia unidad didáctica, susceptible de cambios y mejoras.

Me centraré, no obstante, en la evaluación de los alumnos pues en ella habrá menos consideraciones generales y más específicas de Azar y Probabilidad.

4.1. QUÉ EVALUAR

Señalaré a continuación una serie de criterios que indican los aprendizajes considerados esenciales:1. Utilizar tablas para recoger, organizar e interpretar los resultados en fenómenos de azar.2. Asignar probabilidades de forma empírica: como resultado de recuentos y cálculos de frecuencias.3. Reconocer en experiencias aleatorias sencillas regularidades y la tendencia a la estabilidad de la

frecuencia relativa.4. Planear experiencias y simulaciones para la predicción de resultados en situaciones de incertidumbre.5. Asignar probabilidades “a priori” por medio de la aplicación de la ley de Laplace.6. Usar apropiadamente el vocabulario propio de situaciones de azar.7. Utilizar diagramas de árbol para el estudio y la representación de experimentos compuestos.8. Utilizar la regla del producto para el cálculo de probabilidades en problemas sencillos de fenómenos

aleatorios compuestos.

De cualquier modo, no es únicamente lo que los alumnos saben lo que debe ser evaluado. Es importante también conocer cuales han sido los avances en su aprendizaje, así como el esfuerzo dedicado


6

a él. La valoración conjunta de logros, avances y esfuerzos será lo que permita al profesor tomar las consecuentes decisiones.

4.2. CÓMO EVALUAR.

En la evaluación se considerará: La observación del trabajo realizado por los alumnos en la clase día a día:

Por las características de las actividades, este apartado es el que tendrá un mayor peso específico en la evaluación de los alumnos. Un sesenta o setenta por cien de la calificación puede basarse en los trabajos realizados en clase. Estos quedarán reflejados en el cuaderno individual, el cual será una importante fuente de información. Pruebas individuales:

Se puede proponer una prueba individual al final de la unidad didáctica para todos los alumnos, que ponga de relieve los conocimientos adquiridos. Pero no únicamente: alguna de las actividades programadas se pueden plantear a todos o sólo a determinados alumnos como una prueba individual que estos entregarán por escrito al final de la sesión. Trabajos realizados por los alumnos fuera de clase:

Se pueden proponer a algunos alumnos, o a todos, voluntariamente trabajos que conlleven lecturas de temas relacionados con el azar, por ejemplo problemas que han hecho historia, paradojas probabilísticas, curiosidades, etc. que sean desarrollados con mayor autonomía que las actividades programadas para clase.

También algunos de los retos o problemas de ampliación de las actividades pueden ser propuestos como trabajos en casa para ser evaluados.

4.3. CUÁNDO EVALUAR.

Evaluación inicial:Es necesario estar informado de la situación del alumnado al inicio de la unidad didáctica.Habitualmente se suele recurrir a la realización de un test de conocimientos previos. Sin embargo, en

el caso del Azar y la Probabilidad para 4º de la E.S.O. no me parece que sea imprescindible: Los conocimientos previos que se requieren para las actividades programadas son mínimos (cálculo

con fracciones, uso de porcentajes, reconocimiento de situaciones de proporcionalidad).Por otro lado, lo más probable es que para cuando se trabaje en el aula la unidad que nos ocupa, el

profesor ya tenga bastantes datos acerca de la situación de cada alumno. Sí será necesario estar bien informado, y en coordinación con los demás profesores del departamento, sobre cómo se ha trabajado en cursos anteriores de la etapa el tema de Azar y Probabilidad.

Evaluación formativa:A lo largo de todo el proceso de enseñanza-aprendizaje el profesor debe procurar obtener de forma

sistemática información que le permita hacer un diagnóstico continuo de los conocimientos de los alumnos y diseñar actividades de ayuda cuando sean necesarias.

Evaluación sumativa:Al final de todo el proceso se debe hacer una valoración del grado en el que se han alcanzado nuestros

objetivos.


7

5. ACTIVIDADES

ACTIVIDAD nº 1: EL LENGUAJE DEL AZAR. ESCALA DE PROBABILIDADES.

Vamos a realizar una previsión del tiempo para el próximo 6 de Julio en Pamplona:

(1) Utiliza una de las siguientes expresiones (u otra similar) para describir cada una de las posibilidades que se citan:


8

Es bastante probable Lo más probable es Es probable

Es imposible Es muy probable Es casi seguro

Es seguro Es difícil Es casi imposible

Hay muchas posibilidades de Hay pocas posibilidades de Es poco probable

que llueva que nieve que el día sea cálido y soleado que haga un ligero viento que el cielo esté nublado

que la temperatura oscile entre los 25 y 30 grados que la temperatura máxima sobrepase los 30º que la mínima esté por debajo de los 5º que haga más calor que en Buenos Aires.

(2) Ordena las frases que has construido según la confianza que tienes de que ocurran. Compara tu lista con las de otros compañeros.

(3) Asigna a cada uno de los sucesos anteriores un número entre 0 y 1 tanto mayor cuanto mayor sea la confianza que tengas de que ocurra. (El 0 sería el valor correspondiente a la palabra “imposible”, el 1 a “seguro” y 0’5 correspondería a “es tan probable que ocurra como que no ocurra”).

Para asignar un número (o probabilidad) a cada suceso, intenta adivinar cuántas veces ha ocurrido en los últimos 10 años. Por ejemplo, si piensas que el 6 de julio llueve, por término medio, en tres ocasiones cada 10 años, daremos el valor 3/10 = 0’3 al suceso citado.

RESUMEN: Una situación de la vida ordinaria (el pronóstico del tiempo) sirve como pretexto para la asignación de probabilidades (primero cualitativa y luego cuantitativamente) como grado de creencia.

ORGANIZACIÓN: Trabajo individual (respondiendo a las cuestiones en el cuaderno)

AMPLIACIÓN:1. Asigna probabilidades según el grado de seguridad que tengas de que se produzcan a los siguientes sucesos:

a) Un bebé que va a nacer será niña.b) La carta extraída de una baraja será oros.c) Este año Osasuna subirá a 1ª División.d) Al lanzar un dado saldrá 5.e) Mañana saldrá el sol por el Este.

f) Al lanzar una moneda dos veces, saldrá cara por lo menos una vez.g) La próxima vez que juegues a la “primitiva” te tocará premio.h) El profesor de Matemáticas es de tu mismo signo del zodiaco.i) Alguna vez en tu vida viajarás a la Luna.j) Antes del año 2000 se inventará la vacuna contra el SIDA.

ACTIVIDAD nº 2: PROBABILIDADES IMPREVISIBLES. EXPERIMENTACIÓN.

LA PRUEBA DE LA BODA:Antiguamente, en cierta isla del Pacífico, para poder casarse era precisa la “aprobación de los dioses”.

Para obtenerla, la pareja debía superar la “prueba de las cuerdas” en presencia del sacerdote:Este tomaba 6 trozos de cuerda iguales y, juntos, los ataba con un nudo central. Después, cada novio

debía anudar de dos en dos los seis cabos de uno de los lados.

Finalmente, el sacerdote deshacía el nudo central y sólo si las 6 cuerdas aparecían unidas (formando un ciclo) concedía el permiso para la boda.


9

(1) A

primera vista, te parece que superar la prueba es ¿fácil, muy difícil, bastante probable, ….?. Intenta adivinar aproximadamente qué porcentaje de parejas superaba la prueba.

(2) Para poder medir o asignar un número a la confianza que se puede tener en superarla, vamos a experimentar reiteradamente:

Realiza la prueba con tu compañero 10 veces y anotar los resultados. ¿Qué probabilidad le asignarías ahora a recibir el permiso para la boda?.

El profesor recogerá en la pizarra los resultados de todas las parejas en una tabla como la siguiente :

Pareja nº

frecuencia absoluta

frecuencia acumulada(Fa)

Nº experiencias acumuladas (N)

frecuencia relativa (Fa/N) %

1 102 20....

..

..

15 150

Y recordará los conceptos de frecuencia absoluta y frecuencia relativa, ligando a ésta última la idea de probabilidad.

Resaltará también cómo (y por qué) tanto la frecuencia relativa como la probabilidad sólo pueden tomar valores entre 0 y 1. Por otro lado, ambas se pueden expresar en forma de fracción, decimal o porcentual. Habrá que aclarar posibles dudas o errores en el paso de una a otra forma.

(3) A la vista de los resultados de toda la clase, ¿qué os parece más probable, superar la prueba o fracasar en ella? RESUMEN: Se trata de asignar a un suceso, en principio incierto, una probabilidad “a posteriori” basándonos exclusivamente en la experimentación. Por consiguiente, se utiliza la probabilidad en el sentido frecuencial.

ORGANIZACIÓN: Trabajo por parejas.MATERIALES: 6 trozos iguales de cuerda (o hilos) para cada pareja de alumnos.

AMPLIACIÓN : 2. (RETO) Intenta deducir de una manera lógica la proporción de intentos que resultarán exitosos en la prueba de las cuerdas.


ACTIVIDAD nº 3: COMPORTAMIENTO DEL AZAR. LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS.

LANZAMIENTO DE UN DADO EN EL JUEGO DE LA OCA.

En el transcurso de una partida al juego de la Oca nos encontramos en la siguiente situación: Le toca tirar a Luis (en la casilla nº 57) y Amaia está en la 51. Cuando Luis lance el dado:

A) Si sale un 1, cae en la casilla de “la muerte”, termina la partida y Luis pierde.B) Si sale un 2 ó un 6, Luis gana.C) En los demás casos, le llega el turno a Amaia.

(1) Asignar a cada uno de los sucesos anteriores una probabilidad en forma porcentual: piensa cuántas veces ocurrirá, por término medio, cada suceso si se lanza 100 veces el dado.

(2) Haremos un experimento para aproximarnos a los números (o probabilidades) asignados a los tres primeros sucesos anteriores.

Fijaros en la tabla siguiente y tratad de adivinar cuántas veces, aproximadamente ocurrirá cada uno de los tres sucesos si lanzamos un dado 30 veces.

Resultados Nº de veces esperado

Recuento Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

A: Sale un 2 ó un 6B: Sale un 1C: Sale 3,4 ó 5

Total: 30

Lanzar el dado 30 veces y anotar los resultados en la tabla. Recuerda que el número de veces que ocurre cada suceso es su frecuencia absoluta. Si dividimos la frecuencia absoluta entre el número total de lanzamientos (en este caso, 30) obtenemos la proporción de veces que ocurre ese suceso, o sea la frecuencia relativa que, como podréis observar, siempre varía entre 0 y 1. Completar todas las columnas de la tabla.

El profesor mostrará en la pizarra los resultados de toda la clase. A partir de ellos completará la siguiente tabla:

Suceso observado, A: “que salga un 2 ó un 6”

Pareja nºfrecuencia absoluta

frecuencia acumulada(Fa)

Nº experiencias acumuladas (N)

frecuencia relativa (Fa/N) %

1 30

2 60....

..

..

15 450

En un diagrama cartesiano como el de la figura adjunta se representarán los puntos (N, Fa/N) , número de experiencias acumuladas, frecuencia relativa:

A pesar de que la ley de estabilidad de las frecuencias relativas es válida sólo cuando n crece indefinidamente, es posible que los alumnos aprecien una cierta regularidad o tendencia hacia el valor asignado a priori, aunque el numero de experiencias de clase sea limitado.

Posteriormente, y con la ayuda del ordenador, se mostrará la gráfica resultante para una número de experiencias muy grande:

En las experiencias de azar se puede observar que cuando el número de experiencias es

suficientemente elevado, los valores de la frecuencia relativa se estabilizan en torno a un número concreto.

A ese es al que llamaremos frecuencia relativa esperada o probabilidad del suceso estudiado.

(3) Repetir el proceso anterior (completar la tabla de frecuencias acumuladas y dibujar la gráfica de frecuencias relativas correspondiente) para los sucesos B: “que salga el 1” y C: “que salga 3,4 ó 5”.¿Qué número asignarías ahora a P(B) y P(C)?.

RESUMEN: El lanzamiento de un dado es un experimento con probabilidades previsibles de antemano para la mayoría de los alumnos. En la actividad se experimenta volviendo a trabajar la probabilidad en el sentido frecuencial y se comprueba el funcionamiento de la 1ª Ley de los grandes números. Se trata de comprobar como los fenómenos aleatorios, que son imprevisibles aisladamente, se vuelven tremendamente regulares cuando se repiten muchas veces.

MATERIALES: un dado cúbico por pareja.ORGANIZACIÓN: Trabajo por parejas, recogiendo los resultados en el cuaderno individual.AMPLIACIÓN: 3. Cuál de las tres afirmaciones siguientes es falsa?

a) La frecuencia relativa de un suceso tiene que ser menor que 1.

b) La frecuencia relativa de un suceso no puede ser menor que 0.

c) La frecuencia relativa del suceso imposible es 0.

ACTIVIDAD nº 4: DISTINTOS TIPOS DE SUCESOS.

SEGUIMOS CON EL JUEGO DE LA OCA:(1) Lanzar un dado es un ejemplo de experimento aleatorio (es decir, un experimento cuyo resultado no se puede predecir: depende del azar). ¿Cuántos resultados distintos se pueden obtener al lanzar un dado?. Representa estos resultados formando un conjunto: E = , , … .

¿Cuántos elementos tiene E ?.Al conjunto de resultados posibles de un experimento aleatorio lo llamamos espacio muestral y lo

representamos con la letra E.Como el espacio muestral es un conjunto, podemos formar subconjuntos suyos , por ejemplo:A = “que Luis gane en la 1ª tirada” =2, 6.Escribir los elementos de los subconjuntos de E siguientes:

B = “ que Luis caiga en la casilla de la muerte” = C = “ que le llegue el turno a Amaia” =D = “ que salga impar”

F = “ que salga mayor que 4 “E = “ que salga entre 0 y 7”G = “que salga el 5”.H = “que salga el 7”

El profesor aprovechará los ejemplos para definir suceso elemental, suceso compuesto, suceso seguro y suceso imposible.

(2) Si el dado no está trucado, ¿qué os parece más probable, que salga el 4 o que salga el 6?. Cuando en un experimento aleatorio todos los resultados posibles son igual de probables, se habla de sucesos elementales equiprobables .

Observar las siguientes cantidades:

P(A) = ; nº de elementos de A = ; nº de elementos de E = .P(B) = ; nº de elementos de B = ; nº de elementos de E = .P(C) = ; nº de elementos de C =

¿Existe alguna relación entre ellas?. Teniéndola en cuenta, calcular las probabilidades de los sucesos:

D = “ que salga impar”G = “que salga el 5”

I = “que salga el 4”H = “que salga el 7”.J = “que salga un número primo”

F = “que salga mayor que 4”K = “que no salga el 5”L = “que salga menor que 10”

RESUMEN: Es continuación de la actividad anterior. Se introduce alguna terminología como espacio muestral, suceso elemental, suceso seguro, etc. y la notación P(A) y al final se pone al alumno en situación de intuir la Regla de Laplace.

ORGANIZACIÓN: Trabajo individual con la ayuda del profesor.El profesor, al final de la actividad, puede aprovechar el ejemplo para explicar y enunciar la citada regla de

Laplace:En el lanzamiento de un dado, E={1,2,3,4,5,6} y se cumple que P(1)+P(2)+P(3)+P(4)+P(5)+P(6) = 1.

Si el dado es correcto P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=P(5)=P(6) = pues y si A={2,6}, P(A) = P(2)+P(6)= .

En general:

La probabilidad de un suceso es la suma de las probabilidades de sus sucesos elementales.

Cuando los N sucesos elementales del espacio muestral son equiprobables, la probabilidad de cada uno es

Si un suceso consta de n sucesos elementales, su probabilidad es

Es decir:

(Ley de Laplace).

Además de llegar al enunciado de la Regla, conviene matizar su utilidad para deducir la probabilidad “a priori” de sucesos sin necesidad de realizar los experimentos. Por contra, en muchos experimentos con resultados no equiprobables, la probabilidad se estima “a posteriori” después de repetir muchas pruebas u observaciones (por ejemplo, la probabilidad de curación con un determinado medicamento, la de que llueva en agosto en un lugar señalado, etc.)

AMPLIACIÓN:4. Se extrae una bola de una bolsa que contiene 4 bolas blancas, 5 rojas y 3 azules. ¿Cuál es la probabilidad de que sea roja? ¿Y la

probabilidad de que no sea blanca?

5. Expresa con un porcentaje la probabilidad de que en una jugada de la ruleta (números del 0 al 36) el resultado sea impar.

6. Se extrae una carta de la baraja de 40. Probabilidad de que sea a) de oros b) un rey c) oros o rey d) ni oros ni rey. ¿Qué es más

probable que salga un oro o una figura?

7. ¿Cuál es la probabilidad de que el número del “gordo” de Navidad termine en 3?

8. Gorka va a comprar un décimo de Lotería de Navidad y le ofrecen los números 00015, 12345, 88288 y 36726. Rechaza el primero

porque le parece difícil que salga un número tan bajo; el segundo porque le parece muy raro que salgan las cinco cifras consecutivas;

el tercero porque los capicúas casi nunca salen y elige el cuarto porque le parece el más normal y, por tanto, el que tendrá mayor

probabilidad de salir. ¿Te parece correcto su razonamiento?. Justifica tu respuesta.

9. (RETO) ¿Cuál es la probabilidad de que el número de la matrícula de un coche sea capicúa?. ¿Y el del “gordo” de Navidad?.

ACTIVIDAD nº 5: REGLA DE LAPLACE

JUGANDO A LOS DADOS: Dos hermanos deciden jugarse a los dados quién fregará la vajilla de la cena: lanzarán dos dados y si la diferencia entre ellos es de 0, 1 ó 2 friega uno. Si la diferencia es de 3, 4 ó 5 friega el otro.

(1) ¿Crees que se trata de un sorteo equitativo?. Si tuvieras que participar en él, ¿qué opción preferirías?

(2) Practica con tu pareja el sorteo y anota los resultados en una tabla como la que se adjunta:

Comprueba que todas las frecuencias relativas suman 1.

A la vista de los resultados, ¿confirmas tus primeras opiniones del apartado (1)?

El profesor anotará en la pizarra los resultados de todas las parejas.

(3) Completar la siguiente tabla:

SucesoFa para n = 25

Fr para n = 25

Fa para n = 375

Fr para n = 375

Probabilidad estimada

dif. = 0dif. = 1dif. = 2dif. = 3dif. = 4dif. = 5

gana el 1ºgana el 2º

(3) Considerando el experimento aleatorio de lanzar dos dados y anotar la diferencia, el espacio muestral será E = 0,1,2,3,4,5. Comprueba si las probabilidades que has estimado cumplen que P(0)+P(1)+P(2)+P(3)+P(4)+P(5) =1.

Las probabilidades de los sucesos A: “que gane el 1º” =0,1,2 y B: “que gane el 2º” =3,4,5 ¿cumplen

la Ley de Laplace según la cual ?

Diferencia de puntos Recuento Fa Fr

0gana uno 1

23

gana el otro 45Total de lanzamientos: 25

¿A qué te parece que es debido?. ¿Son equiprobables los resultados 0 y 5?. ¿De cuántas formas distintas pueden caer los dos dados para que su diferencia sea 0?. ¿Y para que sea 5?. ¿Encuentras alguna relación entre los números anteriores y las probabilidades estimadas anteriormente?.

(5) Se pueden representar todas las formas posibles de obtener cada diferencia mediante una tabla “de doble entrada”:

Observa que, si los dados no están trucados, la probabilidad de cada una de las 36 parejas de resultados es la misma. Si se lanzan los dos dados 1000 veces, ¿alrededor de cuántas veces cabe esperar que salga el “seis doble”? ¿Y que la diferencia de los dados sea 5?.(6) A la vista de la tabla, calcula de nuevo las probabilidades anteriores: P(0), P(1), P(2), P(3), P(4), P(5), P(que gane el 1º) y P(que gane el 2º).

El profesor, con la ayuda del ordenador podrá mostrar de nuevo tablas y gráficas en las que se observe la 1ª Ley de los grandes números para las frecuencias relativas de alguno de los sucesos anteriores:

Será conveniente recalcar y explicar la necesidad de que los sucesos elementales sean equiprobables para poder aplicar la Regla de Laplace.

También es interesante comentar las diferencias entre las probabilidades o frecuencias relativas esperadas y los resultados reales o frecuencias relativas obtenidas con la práctica. Hay que aprovechar estas diferencias para que los alumnos tomen conciencia del carácter no determinista del azar y de la imposibilidad de predecir los resultados.

Por último, se puede aprovechar el ejemplo para hablar de suceso contrario y recalcar la propiedad que cumple su probabilidad:

RESUMEN: Se propone a los alumnos las reglas de un juego sencillo para dos personas (basado en el lanzamiento de dos dados) en el que deben elegir ser uno de los dos jugadores. Se trata de que descubran si las reglas dan ventaja a alguno de los jugadores teniendo que asignar probabilidades a sucesos no equiprobables. Tras la experimentación se cuestiona la validez de la Regla de Laplace según el tipo de planteamiento teórico.

ORGANIZACIÓN: Apartado (2) por parejas, el resto individualmente (respondiendo en el cuaderno a las cuestiones).MATERIALES: dos dados (preferiblemente de distinto color) por pareja..

AMPLIACIÓN:10. Marta y Jorge han inventado un juego con las siguientes reglas: lanzan dos monedas simultáneamente; si las dos son caras, Marta

gana un punto; en caso contrario, gana un punto Jorge. Se repite 20 veces el lanzamiento y gana el que consiga más puntos. ¿Crees

que es un juego equitativo? ¿Qué jugador preferirías ser, Jorge o Marta?. Propón alguna pequeña modificación en las reglas para que

el juego sea justo.

11. La probabilidad de obtener suma 8 al lanzar dos dados es ... a) 1/11 b) 1/36 c) 1/12 = 3/36 d) 5/36. ¿Por qué?

0 1 2 3 4 5

1 0 1 2 3 4

2 1 0 1 2 3

3 2 1 0 1 2

4 3 2 1 0 1

5 4 3 2 1 0

ACTIVIDAD nº 6: DIAGRAMAS DE ÁRBOL. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD.

LA TRAVESÍA DEL RÍO.

ORGANIZACIÓN: Juego para dos personas.MATERIALES: Para cada pareja: dos dados, 12 fichas (o papelitos) de un color y 12 de otro color y un tablero (o

folio) como este:

REGLAS: Cada jugador dispone de 12 fichas. Uno de ellos las sitúa en un lado del río y el otro en el lado opuesto. Las fichas se distribuyen en las casillas de la manera que se desee, pudiéndose optar por poner más de una ficha en una casilla y dejar otras en blanco. Los jugadores van lanzando los dados por turno. Si la suma de los números obtenidos coincide con el número de una casilla en la que hay fichas, una de estas pasa al otro lado del río. Gana el primero que pasa al otro lado todas sus fichas.

(1) Propón una primera estrategia o disposición de las doce fichas que pienses puede ser la mejor para ganar el juego. Después realiza el juego con tu pareja. Cada pareja anotará el número de veces que aparece cada suma en una tabla como la siguiente:

SUMAS 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Recuento

Fa

Fr = Fa/N

Número de lanzamientos (N) =

Después de esta primera partida es conveniente una puesta en común en la que se comenten las distintas estrategias propuestas y se recojan las distintas conclusiones obtenidas por la clase. Es interesante aprovechar este tipo de situaciones para promover en los alumnos un vocabulario preciso y con sentido.

(2) Representar las frecuencias relativas de tu tabla en un diagrama de barras: has de dibujar sobre cada uno de los resultados posibles (representados en el eje horizontal) un rectángulo cuya altura mida tanto como su frecuencia relativa (escala en el eje vertical).

(3) Construye una tabla de doble entrada (similar a la de la actividad anterior) para representar las distintas formas de obtener cada suma.

El profesor representará en la pizarra el mismo espacio muestral utilizando un diagrama de árbol:

(4) Utiliza la información anterior para calcular las probabilidades de las distintas sumas: P(1), P(2), ...., P(12).(5) A partir de ellas dibuja el diagrama de barras correspondiente.(6) Si se realizan 1000 lanzamientos de los dos dados, ¿alrededor de cuántas veces cabe esperar que la

suma sea 2?, ¿y 3?, ¿y 7?, ¿y 11?.

El profesor, de nuevo con la ayuda del ordenador, podrá mostrar los histogramas correspondientes a distintos números de lanzamientos y aprovechar para explicar la idea de distribución de probabilidad:

RESUMEN: El juego sirve de excusa para seguir trabajando en clase con situaciones aleatorias. Se recurre por primera vez a los diagramas de árbol para representar los distintos sucesos elementales y calcular probabilidades. Finalmente, se introduce gráficamente la idea de distribución de probabilidad.

AMPLIACIÓN:12. Representa gráficamente las distribuciones de probabilidad correspondientes al lanzamiento de un dado y a la diferencia de dos dados

lanzados a la vez.13. Jugando al Monopoly, caeremos en un hotel del rival si en la próxima tirada nuestros dos dados suman 7,8 o 10. Calcula la

probabilidad de que así ocurra.14. (RETO) Un observador expresó a Galileo su sorpresa al observar que, al jugar con tres dados, la suma 10 aparece con más

frecuencia que la suma 9. ¿Por qué ocurre esto?.

1

6

5

4

3

2

11 --------- (1,1)

6 --------- (6,6)

6 --------- (1,6)5 --------- (1,5)4 --------- (1,4)3 --------- (1,3)2 --------- (1,2)

ACTIVIDAD nº 7: EXPERIENCIAS COMPUESTAS. SIMULACIÓN.

HIJOS E HIJAS:Una pareja desea tener dos hijos y especula con las posibilidades de que estos sean chicos o chicas.

(1) Teniendo en cuenta que aproximadamente la mitad de los recién nacidos son varones y la mitad hembras, de 1000 familias de dos hermanos, aproximadamente cuántas cabe esperar que sean de dos chicos? ¿y de dos chicas? ¿y de un chico y una chica?.

Volviendo a la pareja inicial, cuando tengan los dos hijos, estima las siguientes probabilidades:P(que las dos sean chicas), P(que los dos sean chicos), P(que sean chico y chica). Asegúrate de que las tres probabilidades sumen 1.

(2) Simularemos lo que ocurre con muchas parejas: lanzaremos dos monedas que representarán los dos hijos de la pareja. Las caras se interpretarán como chicas y las cruces como chicos. Repetir el lanzamiento 30 veces anotando los resultados y pedir los de otras parejas hasta completar la siguiente tabla:

Suceso

Recuento

Fa para n = 30

Fr para n = 30

Fa para n = 60

Fr para n = 60

Fa para n = 120

Fr para n = 120

%

los dos chicoslas dos chicaschico y chica

¿Sigues pensando que las probabilidades asignadas en el punto (1) son las frecuencias relativas esperadas?

El profesor puede aprovechar la ocasión para insistir en los riesgos de utilizar incorrectamente la regla de Laplace y volver a recurrir a los diagramas de árbol para aclarar al planteamiento:

Considerando E = {VV,VH,HH} , Laplace no sirve.

Considerando E = {VV,VH,HV,HH} , sí funciona:

RESUMEN: Se introduce la simulación como un nuevo recurso para cuando la experimentación directa es complicada. Se siguen utilizando tablas para recoger los resultados, diagramas de árbol y la regla de Laplace (advirtiendo sobre su posible mal uso).

ORGANIZACIÓN: Apartado (1) individualmente, a partir del (2) por parejas.MATERIALES: Dos monedas por pareja.AMPLIACIÓN: Actividad siguiente.

ACTIVIDAD nº 8: RELACIONES ENTRE SUCESOS.

SIMULACIÓN CON NÚMEROS ALEATORIOS:Haremos un estudio similar al de la actividad anterior para familias con tres hermanos:

(1) De 1000 parejas con tres hijos, intenta adivinar aproximadamente cuántas tendrán:- 3 chicos: - 2 chicos y una chica:- 1 chico y 2 chicas: - 3 chicas:

(2) Haremos una nueva simulación, utilizando esta vez los números aleatorios de la calculadora: Localizar en la calculadora la tecla de la función RAN. Al utilizarla aparecerá en pantalla un número comprendido entre 0 y 1 de tres cifras decimales. Comprobarlo haciendo varias pulsaciones.

VV

H

HH

VV

HH

VHHVV

(El profesor deberá explicar qué son los números aleatorios y los generadores de los mismos).

Se trata de identificar cada número obtenido mediante la función RAN (sus tres cifras decimales) con la composición de una familia de tres hermanos: las cifras pares se interpretarán como chicas y las impares como chicos. Por ejemplo, si aparece en pantalla el número 0.385, la familia estará compuesta por una chica y dos chicos.

Realiza la experiencia 25 veces anotando los resultados en la tabla (pedir los resultados de otros compañeros para completarla):

Suceso RecuentoFa para n = 25

Fr para n = 25

Fa para n = 50

Fr para n = 50

Fa para n = 100

Fr para n = 100

los tres chicos2 chicos y 1 chica1 chico y 2 chicas

las tres chicas

(3) Dibujar un árbol para representar los distintos casos posibles (teniendo en cuenta el orden).

(4) Si una pareja va a tener 3 hijos, utilizar la regla de Laplace y el diagrama de árbol para obtener las probabilidades de los sucesos siguientes:

A: que los tres sean chicos.B: que sean 2 chicos y unas chica.C: que sean 1 chico y dos chicas.D: que sean las tres chicas.F: que los tres sean del mismo sexo.

G: que los tres no sean del mismo sexo.H: que el primer hijo sea varón:I: que no todos sean varones pero sí el mayor.J: que el segundo hijo sea varón

(5) a) El suceso G se dice que es el suceso contrario de F pues ocurre cuando y sólo cuando no ocurre F. Se escribe: G = .

¿Encontráis alguna relación entre las probabilidades de F y de ?.b) El suceso F se dice que es el suceso unión de A y D pues ocurre cuando ocurre A, o D, o ambos.

Se escribe: F = AD.¿ Encontráis alguna relación entre las probabilidades de A, D y AD ?.Citar algún otro ejemplo de unión de sucesos entre los anteriores.c) El suceso I se dice que es el suceso intersección de G y H pues ocurre cuando G y H ocurren

simultáneamente. Se escribe: I = GH. ¿Cuál sería el suceso GH?. ¿Y su probabilidad?. ¿Encuentras alguna relación entre las probabilidades

de G, H, GH y GH ?.¿Cómo describiríais el suceso HJ?. Aplica la regla de Laplace para hallar su probabilidad. ¿Encontráis

alguna relación entre las probabilidades de los sucesos H, J y HJ?d) Los sucesos A y D se dicen sucesos incompatibles pues no pueden ocurrir simultáneamente.¿Cuál será el suceso AD?. ¿Y su probabilidad?. Citar algún par de sucesos de entre los anteriores

que sean incompatibles.

En este apartado de la actividad, el papel del profesor como orientador y ayuda puede ser imprescindible para muchos de los alumnos. En cualquier caso, al final será precisa una explicación más detenida, con más ejemplos y otros recursos como pueden ser los diagramas de Venn.

RESUMEN: En esta ocasión se aprovecha la calculadora (su generador de números aleatorios) para simular nacimientos de tres hermanos. Los alumnos tienen que utilizar diagramas de árbol y la regla de Laplace para calcular probabilidades. Finalmente, se aprovecha la situación para introducir, con ejemplos, las distintas relaciones entre sucesos.

ORGANIZACIÓN: Apartado (1) individualmente, a partir del (2) por parejas.MATERIALES: Una calculadora científica por pareja.AMPLIACIÓN: 15. Al lanzar tres monedas, ¿cuál es el suceso contrario de “sacar por lo menos una cara”?. Su probabilidad será: a) 7/8 b) 1/8 c) 3/8

d) 3/4 .16. (RETO) Lanzamos dos dados. Llamamos A, B y C a los siguientes sucesos: A, la suma de puntos es 6; B, en al menos uno de los

dados ha salido el 1; C, En los dos dados el resultado es el mismo.a) Calcula sus probabilidades.b) ¿En qué consisten los sucesos AB, AB, AC, B y ABc) Calcula las probabilidades de cada uno de los sucesos del apartado anterior.

17. En un grupo de 500 personas unos hacen deporte y otros no. Se tiene:Se elige al azar uno de ellos. Calcula, en forma porcentual, la probabilidad de que a) sea hombre; b) sea mujer; c) haga deporte;

d) sea mujer y haga deporte; e) sea mujer o haga deporte;f) sabiendo que hace deporte, sea mujer.

18. En un pueblo de Navarra el 60 % de los vecinos leen “el Noticias” , el 90 % “el Noticias” o “el Diario” y el 50 % leen los dos. Calcula la probabilidad de que al elegir una persona de ese pueblo lea “el Diario” .

ACTIVIDAD nº 9: REGLA DEL PRODUCTO.

JUGANDO AL BALONCESTO:Un jugador de baloncesto, que suele encestar el 70 por 100 de sus tiros libres, tiene que lanzar una

personal “uno más uno”. Esto implica que sólo si acierta el primer tiro, dispondrá de un segundo lanzamiento. Por tanto, es posible que consiga en la jugada 0 puntos (fallando el primer lanzamiento), 1 (encestando el primero y fallando el segundo) o 2 (acertando los dos intentos).

(1) ¿Qué es más probable que suceda?.

(2) Simularemos el lanzamiento utilizando de nuevo la función RAN de la calculadora:Nos fijaremos en los dos primeros decimales del número obtenido en pantalla. Si el primer decimal está

comprendido entre el 1 y el 7, interpretaremos que ha encestado el primer tiro y si es un 8, 9 o 0, que ha fallado. Análogamente asociaremos el resultado del posible segundo intento al segundo decimal del número. Por ejemplo 0.283 lo interpretaremos como que encesta el primer tiro y falla el segundo.

Repetir 30 veces la simulación, anotar los resultados y representarlos en un diagrama de barras.El profesor anotará en la pizarra los de toda la clase para que completéis la siguiente tabla:

Suceso RecuentoFa para n = 30

Fr para n = 30

Fa para n = 450

Fr para n = 450 %

logra los 2 puntoslogra 1 punto

0 puntos

(3) Contesta a las siguientes cuestiones:a) ¿Es más probable obtener 0 que 2 puntos?.b) ¿Es más probable obtener 0 que 1 punto?.c) ¿Cuál es la probabilidad de fallar el primer lanzamiento?d) ¿Y la de acertarlo?.e) ¿Cuál es la probabilidad de conseguir los 2 puntos si ya se ha logrado el primero?.

(4) Vamos a intentar calcular las probabilidades o frecuencias relativas esperadas de cada una de las tres posibilidades: imaginando que el lanzador va a repetir la jugada en 100 ocasiones y dado por hecho que acierta el 70 % de sus tiros, completa el siguiente árbol:

HOMBRES MUJERES

HACEN DEPORTE 56 127

NO HACEN DEPORTE 144 173

Distribución esperada de 100 personales:

Por tanto:P(2) = ...... ; P(1) = ...... ; P(0) = ...... .

(5) Otra forma de representar el problema es escribir las probabilidades sobre el diagrama de árbol en lugar de hacer un reparto proporcional:

¿Cómo se pueden obtener las probabilidades de conseguir 2 puntos y 1 punto a partir de las que aparecen en el diagrama?

La actividad concluirá con una explicación del profesor acerca del sentido de la regla de la multiplicación de probabilidades. Se trata de hacer comprender que una proporción de otra proporción o una fracción de otra fracción es equivalente al producto de las mismas.

RESUMEN: Se presenta una situación de experimentos compuestos independientes con sucesos no equiprobables. En primer lugar, se realiza una simulación (con números aleatorios) para sacar las primeras conclusiones y, posteriormente, se recurre al diagrama de árbol y los repartos proporcionales para la resolución teórica del problema. Todo ello enfocado a poder entender el sentido de la regla de la multiplicación de un modo intuitivo y sin introducir, de momento, la notación formal: P(AB) = P(A).P(BA).

ORGANIZACIÓN: Trabajo por parejas.AMPLIACIÓN:19. Utilizar la regla del producto para calcular la probabilidad de que en una familia de 3 hijos, los tres sean varones. ¿Cuál será la

probabilidad de que al menos haya una chica?.20. Una de las reglas del parchís consiste en “volver a casa” si sale 6 tres veces consecutivas. ¿Cuál es la probabilidad de que esto

ocurra?21. Sacamos dos cartas de la baraja (con reposición). Calcular las probabilidades de que:

a) ambas sean oros, b) ninguna sea oro, c) alguna sea oros.22. (RETO) Repite el problema anterior pero sin reposición.23. Calcular la probabilidad de sobrevivir en 4 ocasiones al “juego” de la ruleta rusa (con un revólver de 6 balas).24. Aprovechar la regla del producto para hallar la probabilidad de superar la “prueba de las cuerdas”.25. (RETO) ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar n veces dos dados se obtenga al menos un 6 doble?.

0’7

0’70’3

0’3

ACIERTO

FALLO

ACIERTO

FALLO

SEGUNDO TIROPRIMER TIRO

: 2 PUNTOS

: 1 PUNTO

: 0 PUNTOS

De 100 veces …

SEGUNDO TIROPRIMER TIRO

…... veces

…... veces

ACIERTO

FALLO

ACIERTO

FALLO

: 2 PUNTOS, ….. % de las 100 veces

: 1 PUNTO, ..... % de las 100 veces

: 0 PUNTOS, ..... % de las 100 veces

30 % de ….. =..... veces

70 % de..... =..... veces

ACTIVIDAD nº 10: PROBABILIDAD CONDICIONADA.

APUESTAS EN UN PARTIDO DE PELOTA:Dos amigos se han apostado 1000 pesetas (cada uno) al ganador de un partido de pelota. Con el

marcador en Beloki: 20 - Eugui: 21 , Beloki recibe un pelotazo en el ojo que obliga a suspender el partido.(1) ¿Cuál te parece que debe ser el reparto más justo de las 2000 pesetas apostadas?. ¿Por qué?.

(2) Imagina que la misma situación se fuera a repetir 1000 veces. Coloca en cada rama del siguiente “árbol” el número de veces que se podría esperar cada resultado (suponiendo a los dos jugadores igual de fuertes):

¿En qué porcentaje de ocasiones sería vencedor Eugui? ¿Y Beloki?.(3) Estima la probabilidad de que gane Beloki. ¿Cuál consideras entonces el reparto más justo de las 2000 pts.?. ¿Por qué?.

Sería conveniente una puesta en común de las distintas opiniones, pudiendo resolverse teóricamente, o mediante una simulación con (4) fichas, el problema en el supuesto de que en cada tanto es igual de probable que gane uno como el otro pelotari.

(4) Juan, que es quien apostaba por Eugui considera que le corresponden 1500 de las 2000 pts. Pero Sergio no está conforme: admite que hay un 50% de probabilidad de que Eugui ganase 22-20 pero argumenta que en el caso contrario, llegando al empate a 21, Beloki tendría ventaja por corresponderle el saque: en el mismo partido, de 20 tantos en los que ha sacado, ha ganado 16 de ellos y sólo ha perdido 4.

Según el punto de vista de Sergio, ¿Cuál es la probabilidad de que, si Beloki gana el primer tanto, también gane el segundo?.

Si llamamos B1 al suceso “que Beloki gane el primer tanto” y B2 a “que Beloki gane el segundo”, la probabilidad solicitada en la pregunta anterior se representa así: P(B2B1) y se lee probabilidad del suceso B2 condicionado al suceso B1 . ¿Qué representará P(E2B1) y cuál será su valor?

Repite de nuevo la distribución de los 1000 hipotéticos finales. ¿Cuál será el reparto justo propuesto por Sergio?. ¿Y la probabilidad de que Beloki gane el partido?.

Podría hacerse, en lugar de la distribución de los 1000 hipotéticos casos, una simulación con (10 o 20) fichas.

(5) Completa el diagrama siguiente poniendo el valor de las distintas probabilidades:

¿Funciona en este problema la regla del producto?. Intenta formularla:P(B1B2) = P( ).P( ) ; P(B1E2) = P( ).P( ) .

21-22

22-20

21-20

21-21

22-21

Eugui gana

Eugui gana

Beloki gana

RESUMEN: Las apuestas y los repartos justos son un contexto adecuado para un planteamiento probabilístico. Inicialmente se insiste en recurrir a los diagramas de árbol utilizando en ellos repartos proporcionales en lugar de las propias probabilidades. Y posteriormente se introduce la probabilidad condicionada y se aprovecha el ejemplo para que los propios alumnos formulen la regla del producto. (Todo ello en una situación de experimentos compuestos dependientes).

ORGANIZACIÓN: Trabajo en el cuaderno individual.AMPLIACIÓN:26. ¿Cómo se podría utilizar la calculadora (su función RAN ) para simular el final del partido? Hazlo 20 veces y anota los resultados.

Calcula la frecuencia relativa de que gane Beloki.27. (RETO) Con el partido en empate a 20 y Eugui en posesión del saque, calcular la probabilidad de que gane Beloki si se estima que

cada uno de los pelotaris gana el 80% de los tantos en los que saca.28. ¿Cómo se podría utilizar la calculadora para simular el final del partido en éstas nuevas circunstancias? Hazlo 20 veces y anota los

resultados. Calcula la frecuencia relativa de que gane Beloki.

29. La princesa de cierto país medieval quería casarse con un poeta sin fortuna en contra de la opinión de sus padres. Finalmente el rey le hizo la siguiente propuesta: “Para casarse contigo, el poeta deberá penetrar en un laberinto que termina en dos habitaciones A y B; en una de ellas habrá un tigre hambriento, en la otra le esperarás tú para casaros”. ¿En cuál de las dos habitaciones debe colocarse la princesa?Prueba “introduciendo 18 poetas” (o fichas).

30. En una clase hay 12 chicos y 18 chicas. Elegimos al azar dos alumnos de clase. Calcular la probabilidad de que:a) los dos sean chicos, b) las dos sean chicas, c) sean un chico y una chica.

31. Para el próximo examen de cierta asignatura entran 10 temas de los que sólo te sabes 6. En el examen tendrás que contestar a dos temas. Calcula la probabilidad de que: a) te sepas los dos temas; b) no te sepas ninguno de los dos; c) te sepas sólo uno de los dos.

ACTIVIDAD nº 11: NÚMEROS ALEATORIOS. ESPERANZA EN UN JUEGO.

EL JUEGO DE LA RULETA:Inocencio ha ideado un plan para vivir sin trabajar: ahorró 150.000 pts. y se ha trasladado a vivir a Biarritz

donde se propone ganar cada noche 10.000 pts. en el Casino con las que poder pasar el día siguiente. Para ello jugará a la ruleta siempre a “PASA” (números del 19 al 36) con la siguiente estrategia:

En la primera apuesta juega 10.000 pts. Si gana se retira, y si pierde (por que ha salido un número del 0 al 18) apuesta por segunda vez, pero ahora 20.000 pts. Ganando se retira y si pierde de nuevo, tendrá que jugarse 40.000 pts. en la tercera apuesta. Si gana se retira, y si pierde le queda la cuarta y última oportunidad donde se jugará 80.000 pts. (Ganando tendría, como siempre, un beneficio final de 10.000 pts. = 80.000 - 40.000 - 20.000 - 10.000).

Inocencio cree que perder cuatro tiradas consecutivas jugando a “PASA” en la ruleta es algo casi imposible, de lo que deduce que podrá ganar 10.000 pesetas diarias hasta aburrirse.

Antes de que los alumnos empiecen a desarrollar la actividad, el profesor podrá extenderse tanto como lo estime conveniente acerca del juego de la Ruleta: su origen, funcionamiento, diferentes tipos de apuestas y premios, etc. Incluso se puede llevar a clase una ruleta y un tablero de juguete (son relativamente sencillos de conseguir).

(1) ¿Qué te parece el plan de Inocencio?. ¿Crees que tendrá éxito o detectas alguna pega?

Para la simulación, el profesor repartirá una tabla de números aleatorios, preferiblemente diferente, para cada pareja. (Con el ordenador es algo muy fácil de obtener: ver una al final de la actividad).

(2) Idear y describir un método para, utilizando la tabla de números aleatorios, simular lo que le ocurrirá a Inocencio en la ruleta durante varias noches consecutivas.

Será conveniente una puesta en común para que cada pareja exponga a la clase qué método ha elegido, pudiendo, de esa manera, corregir las estrategias erróneas y enriquecer la visión de los alumnos.

(3) Realizar la simulación de lo que le ocurre a nuestro amigo en sus 20 primeras noches de juego, anotando los resultados. (Cada noche o bien sale del casino ganando 10.000 pts. y vuelve al día siguiente, o bien pierde las 150.000 y se queda sin ahorros).

Calcular cuánto ha perdido (o ganado) la Banca con Inocencio al final de estos 20 días.

Cuando todas las parejas hayan completado la simulación se pueden recoger los resultados y las conclusiones a las que ha llegado la clase. ¿En cuántas parejas el jugador “ha sobrevivido” las 20 noches?, ¿cuál seria el balance total de la banca imaginando que ha sido un jugador por cada pareja quien ha probado suerte?.

(4) Calcular y expresar en forma de porcentaje las probabilidades de los siguientes sucesos :a) Que en una tirada de la ruleta salga “PASA”.b) Que Inocencio gane 10.000 pts. en una noche. (Resultará más fácil si calculáis antes la probabilidad

de lo contrario: que pierda cuatro apuestas consecutivas).c) Que gane las 10.000 diarias durante los 8 primero días. (Utilizar la calculadora).d) Que “sobreviva” 20 días.

(5) Se llama esperanza en un juego al producto de la probabilidad de ganar por el premio que se recibirá en el caso de ganar. Un juego es equitativo cuando las esperanzas son iguales para todos los jugadores.

Calcular la esperanza del jugador y de la banca en cada una de los juegos siguientes en la ruleta: Una apuesta de 10.000 pts. a “PASA”. Una apuesta de 1.000 pts. al número 13. Una noche siguiendo la estrategia de Inocencio.¿Son equitativos estos juegos?, ¿a quién benefician?.

RESUMEN: El famoso juego de la ruleta es adecuado para actividades que pueden ser de un grado de complejidad muy variado. Nos sirve de excusa para introducir las tablas de números aleatorios como recurso para realizar simulaciones con mayor rapidez. Como en alguna ocasión anterior, se les sugiere utilizar la propiedad

para el cálculo de alguna probabilidad. Finalmente, se explica cómo conocer si un juego es equitativo.

ORGANIZACIÓN Y MATERIAL: Por parejas: una tabla de números aleatorios para cada una.AMPLIACIÓN:32. Un jugador apuesta en la misma jugada a la ruleta 500 pts. a “PASA” y otras 500 a la 3ª columna (la docena de números múltiplos de

3). ¿Qué probabilidad tiene de perder las 1000 pts.?. ¿Cuánto gana si sale el número 24?. ¿Y si sale el 15?. Calcular su esperanza y la de la banca en el mismo juego.

33. Kepa y Nerea practican un juego con dos dados: si sale “doble”, Nerea gana 10 puntos; si no sale “doble” ¿cuántos puntos debe ganar Kepa para que el juego sea equitativo?.

34. (RETO) Averigua el precio y los distintos premios que es posible obtener con un décimo de la Lotería de Navidad. Calcula la esperanza en el juego de alguien que compra un décimo y del organismo recaudador.

— Utiliza la tabla de números aleatorios para hacer simulaciones que te permitan aproximarte a la solución de los siguientes problemas (describe cómo la has utilizado y explica a qué conclusión llegas):35. Cada bollycao trae un cromo de una Spice Girl. ¿Cuántos bollycaos habrá que comprar para conseguir la colección completa de 5

fotos?.36. ¿Cuántas ocasiones por término medio sobrevive un jugador a la ruleta rusa?37. (RETO) ¿Cuál es la probabilidad de que en una clase de 25 alumnos coincidan dos cumpleaños?.38. (RETO) En una pastelería donde están preparando guindas en almíbar un empleado, por despiste, echa tres guindas de plástico en

alguno de los botes que están abiertos sobre la mesa. Si en ese momento hay allí cinco botes, ¿cuál es la probabilidad de encontrar una o más guindas de plástico en uno de los cinco botes, tomado al azar?

ACTIVIDAD nº 12: SUMA Y PRODUCTO DE PROBABILIDADES.

EL RATÓN:

Los números indican la probabilidad que tiene el ratón de tomar cada camino, una vez situado en la bifurcación previa, debido a las dificultades del mismo. ¿Cuántos ratones conseguirán saciar su apetito?.

(1) Imagina 300 ratones que se enfrentan a la misma situación. Escribe sobre cada tramo el número de ratones que se puede esperar que lo recorran. Al final, ¿cuántos se salvan del cepo?.

(2) Calcula y pon en forma de fracción irreducible las probabilidades de los siguientes sucesos:A: Que el ratón llegue al queso de arriba.B: Que el ratón llegue al queso de abajo.C: Que el ratón llegue a algún queso.

(3) ¿Hay alguna relación entre las probabilidades anteriores?. ¿Y entre ellas y las que aparecen en el dibujo?.

RESUMEN: Se insiste en el cálculo de probabilidades de manera intuitiva: utilizando en diagramas de árbol repartos proporcionales en lugar de las propias probabilidades. Al final, aparece en los cálculos la suma de dos productos: algo habitual en muchos problemas de probabilidad. Un suceso que puede ocurrir de varias maneras se expresa como unión de sucesos incompatibles, lo que se traduce en una suma de probabilidades. Por otra parte, si un suceso es compuesto, se expresa como intersección de otros, lo que equivale a un producto de probabilidades.

Es decir que se aplica el Teorema de la Probabilidad Total pero sin necesidad de enunciarlo ni formularlo.

ORGANIZACIÓN: Trabajo individual.AMPLIACIÓN:39. En Estella se sabe que si hoy hace sol, la probabilidad de que mañana también lo haga es 4/5. Pero si hoy está nublado, la

probabilidad de que mañana lo siga estando es 2/3. Si hoy es viernes y hace sol, ¿cuál es la probabilidad de que el domingo también haga sol?

40. (RETO) Una bolsa contiene 6 bolas negras y 4 blancas. Extraemos tres bolas. Hallar la probabilidad de que las tres sean del mismo color.

41. (RETO) Se cuenta que un rey, harto de su caballo, decide venderlo. La princesa se ha encariñado del animal y pide a su padre que se lo regale. El rey, ante la insistencia de su hija, resuelve concederle una oportunidad. Ella puede repartir dos bolas blancas y dos negras en dos urnas y, eligiendo al azar una de las urnas, se quedará con el caballo si extrae bola blanca.¿Cómo debe repartir la princesa las bolas para tener la máxima probabilidad de quedarse con el caballo?

ACTIVIDAD nº 13: TABLAS DE CONTINGENCIA.

CONTROL DE CALIDAD:La empresa “SILENCIOSOS S.A.” se dedica a la fabricación de tubos de escape para automóviles. Por

los controles de calidad que la misma empresa lleva a cabo se puede concluir diciendo que aproximadamente el 5% de los tubos de escape producidos son defectuosos. En el laboratorio de control de calidad hay instalado un dispositivo que detecta el 90% de los tubos incorrectos, pero también califica como defectuosos el 2% de los correctos. El gerente de la empresa está interesado en conocer las probabilidades siguientes:

Probabilidad de que sea correcto un tubo calificado como defectuoso por el dispositivo. Probabilidad de que sea defectuoso un tubo calificado por el dispositivo como correcto.

(1) ¿Qué respuesta le darías al gerente si te pidiera tu opinión inmediata?

(2) Teniendo en cuenta los datos anteriores, completar la tabla siguiente, donde se recoge la distribución esperada para 10000 tubos fabricados por SILENCIOSOS S.A.:

Tubos calificados como defectuosos (C)

Tubos calificados como no defectuosos ( )

Total

Tubos defectuosos (D)

Tubos no defectuosos ( )

Total 10.000

(3) A la vista de los datos de la tabla, calcula la probabilidad de los sucesos siguientes:D: que un tubo sea defectuoso.

: que un tubo no sea defectuoso.C: que un tubo sea calificado como defectuoso.

: que un tubo sea calificado como correcto.DC: que un tubo sea defectuoso y sea calificado como defectuoso.

C: que ….D : que ….

(4) ¿Qué representará P( C)?. Calcula su valor y exprésalo como un porcentaje.¿Encuentras alguna relación entre el valor de P( C) y las probabilidades calculadas en (3)?.

El profesor podrá explicar o resolver este apartado para los alumnos con mayores dificultades, dejando para que resuelvan ellos el siguiente que es análogo.

(5) Calcula P(DC) y P(D ). ¿A cuál de las cuestiones formuladas por el gerente dará respuesta cuál de estas probabilidades?.

¿Sabrías ponerla en función de algunas de las probabilidades calculadas en el apartado (3)?

(6) Planteemos el problema mediante un diagrama de árbol. Completa las cantidades que corresponderían a cada rama:

A la vista del árbol, responde a las siguientes cuestiones comprobando que no contradicen las conclusiones anteriores:

¿Cuántos de los 10000 tubos son calificados como defectuosos?. ¿Cuántos de ellos son en realidad correctos?. ¿Cuál es el valor de P(C)?. ¿Y de P(DC)?. ¿Y de P(DC)?.

(6) Otra forma parecida de representar el problema es escribiendo las probabilidades de cada rama del árbol. Complétalo:

(Ayuda: Cada una de las probabilidades condicionadas se deduce casi inmediatamente a partir de los datos del enunciado del problema. Por ejemplo, P(CD) sería la probabilidad de que un tubo realmente defectuoso no sea calificado como tal, es decir el 10% = 0’1).

(7) Pon en función de las seis probabilidades que aparecen en el árbol cada una de las siguientes (que ya has calculado anteriormente):

P(DC) = P(D ) = P(DC) =

P(C) =

P(C) =

P(DC) =

P(DC) =

P(DC) =

RESUMEN: Se conduce a los alumnos al uso de tablas de contingencia y de diagramas para resolver de una manera intuitiva, una situación típica de Bayes. Lógicamente se trabaja con la probabilidad condicionada. En el último apartado se intenta que el alumno llegue, aprovechando los ejemplos y de una manera intuitiva, a formular los teoremas de la Probabilidad Total y de Bayes.

ORGANIZACIÓN: Los alumnos trabajarán individualmente.AMPLIACIÓN:42. En cierto país donde existe una enfermedad endémica, se sabe que el 12% de la población padece dicha enfermedad. Se dispone de una

prueba para detectarla, pero no es totalmente fiable, ya que da positivo en sólo el 90% de los casos de personas realmente enfermas y también da positivo en el 5% de las personas sanas. ¿Cuál es la probabilidad de que esté sana una persona a la que la prueba le ha dado positivo?

43. En una empresa trabajan 150 hombres y 50 mujeres. Alguien ha estado fumando en la zona de descanso. ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido una mujer si estimamos que fuman el 30% de los hombres y el 50% de las mujeres?. (Haz una tabla de contingencia)

44. (RETO) A una reunión asisten 300 personas de las que 100 son vizcaínos, 60 guipuzcoanos y el resto navarros. Alguien está hablando en euskera. ¿Cuál es la probabilidad de que sea un navarro sabiendo que hablan vasco el 30% de los vizcaínos, el 60% de los guipuzcoanos y el 20% de los navarros?

actividad 1: lanzamiento de un dado en … · web view... en el desarrollo del bloque temático...

Documents