conteo y azar

INSTITUCION EDUCATIVA

LICEO SHALOM

2018

GUIA Nº 1

ASIGNATURA: ESTADISTICA

GRADO: NOVENO

FECHA: 8/08/2018 Hasta 15/08/2018

PERIODO: III

DOCENTE: JAIRO TOVAR HERNÁNDEZ TEMA: MATRCONTEO Y AZARICE Y

DETERMINANTE

WEB https://ingjairotovarherna.wixsite.com/ieliceoshalom2018/ - https://jairotovar2018.jimdofree.com/

1 Elaborado Por: Jairo Tovar Hernández

conteo y azar

PROPÓSITOS DEL PERIODO

A NIVEL AFECTIVO

Que concedamos el máximo interés a los procesos de:

Reconocer y utilizar las herramientas de la estadística descriptiva e inductiva

para el análisis de datos e información estadística.

Construir y graficar conceptos.

A NIVEL COGNITIVO Que:

Comprehendamos lo que es población, muestra, variables estadísticas (cualitativas y

cuantitativas), diagramas de tallos y hojas, y distribuciones de frecuencias.

A NIVEL EXPRESIVO Que:

Interpretemos y resolvamos problemas estadísticos utilizando poblaciones,

muestras, variables cualitativas y cuantitativas, diagramas de tallos y hojas, y

distribuciones de frecuencia.

Grafiquemos conceptos relacionados con los ejes temáticos.

ESTANDAR

Comparo resultados de experimentos aleatorios con los resultados previstos por un

método matemático probalistico.

OBJETIVOS GENERALES


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Lograr que los alumnos sean capaces de:

Trabajar cooperativa y activamente, respetando el pensamiento ajeno desde una

actitud crítica y constructiva, por el desarrollo personal y social.

Dar significado al concepto de clasificación en matemática.

Interpretar y utilizar las definiciones en su quehacer matemático.

Trabajar en grupo y comunicar sus ideas con confianza.

Aceptar el error como un mecanismo para el aprendizaje.

Organizar su tarea, sus registros, sus formas de estudio, etc.

CONTENIDO

Técnicas de conteo

Técnicas de conteo

Experimentos aleatorios

Principio de adición

Principio de multiplicación

Permutación

Combinaciones

DESEMPEÑO

• Aplica diferentes técnicas de conteo para encontrar el total de resultados posibles

de un experimento aleatorio.

COMPETENCIA

Interpreta y representa


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Capacidad del estudiante para expresar ideas, interpretar, usar diferentes tipos de

representaciones, describir relaciones matemáticas, describir situaciones o problemas

usando el lenguaje escrito, concreto, pictórico, gráfico y algebraico, manipular

expresiones que contengan símbolos y formulas, utilizar variables y describir cadenas

de argumentos orales o escritas, traducir, interpretar y distinguir entre diferentes

tipos de representaciones, interpretar lenguajes formal y simbólico así como traducir

de lenguaje natural al simbólico formal y viceversa.

CONTENIDOS ENTREGADOS POR EL DOCENTE.

Se comenzará a trabajar la unidad de estadística, para ello esta guía entrega

previamente un pequeño resumen de algunas definiciones importantes y luego los

ejercicios correspondientes.

INSTRUCCIONES

Debe resolver cada ejercicio en su cuaderno, sea ordenado y limpio con su cuaderno.

EVALUACIÓN.

Esta guía se evaluará formativamente, ya que se pretende ver si ha comprendido los

contenidos tratados en clase para su aplicación en la resolución de ejercicios y problemas.

El docente decidirá si al concluir la guía, ésta se evaluará de otra forma.

TECNICAS DE CONTEO

Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de

cuantificar.


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Se les denomina técnicas de conteo a: las combinaciones, permutaciones y diagrama de

árbol, las que a continuación se explicarán y hay que destacar que éstas nos

proporcionan la información de todas las maneras posibles en que ocurre un evento

determinado.

Entre las técnicas de conteo se conocen: el principio de la adición, el principio de la

multiplicación, el principio del palomar, la permutación y la combinación

CONTEXTUALIZACION

Cuando lazamos un dado no sabemos qué número va a salir; sin embargo, si lanzamos

una piedra al aire estamos seguros de que caerá al suelo. Es decir, en algunos

experimentos podemos saber lo que va a ocurrir y en otros no.

Los fenómenos o experimentos aleatorios son los que pueden dar lugar a varios

resultados, sin que pueda ser previsible enunciar con certeza cuál de estos va a ser

observado en la realización del experimento a pesar de haberlo realizado en similares

condiciones.

Un experimento aleatorio es aquel del que no podemos predecir su resultado, es decir,

que depende de la suerte o azar.

EXPERIMENTOS ALEATORIOS

Un experimento aleatorio sin antes de llevarlo a cabo no se sabe con certeza cual va a

ser el resultado que se va a obtener.

ESPACIO MUESTRAL


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El espacio muestral de un experimento aleatorio es el conjunto formado por todos los

resultados posibles. El espacio muestral de un experimento se simboliza como S.

Ejemplo: Determinemos el espacio muestral del siguiente experimento aleatorio.

Carlos, Martin, Juliana y Luisa compiten en una prueba de ciclismo en la cual habrá

premios para los dos corredores que crucen primero la línea de meta.

El espacio muestral es: S={ (C,M), (M,C), (C,J), (J,C), (C,L), (L,C), (M,J), (J,M),

(M,L), (L,M), (J,L), (L,J)}

Donde, C: Carlos, M: Martin, J: Juliana, L: Luisa. La pareja (C, M) significa que Carlos

ganó el primer puesto y Martin el segundo.

SUCESOS ALEATORIOS Un suceso aleatorio, también denominado evento, es un subconjunto del espacio

muestral de un experimento aleatorio. Los sucesos se suelen nombrar utilizando

letras mayúsculas, con sus elementos entre llaves y separados por comas.

Es posible distinguir varios tipos de sucesos:

Suceso simple: Es el suceso que esta formado por un único resultado.


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Suceso compuesto: Es el suceso que esta formado por dos o mas resultados.

Suceso compatible: Dos sucesos son compatibles si se pueden obtener a la vez.

Sucesos mutuamente excluyentes: Dos sucesos son mutuamente excluyentes si no

tienen resultados en común, es decir, si no se pueden obtener a la vez.

Suceso independiente: Dos sucesos son independientes si la ocurrencia de uno no

condiciona la ocurrencia del otro.

Suceso dependiente: Dos sucesos son dependientes si la ocurrencia de uno afecta la

ocurrencia del otro.

EJEMPLOS

• Dos eventos A y B son independientes si el hecho de que ocurra A no afecta la

probabilidad de que ocurra B.

– Si lanzamos una moneda y luego lanzamos un dado, la salida de la

moneda no afecta la salida del dado.

• Si la ocurrencia del primer evento de alguna forma cambia la probabilidad de

que ocurra el segundo evento, los eventos son dependientes

– Si extraemos una carta de un mazo, no la devolvemos y luego

extraemos otra.

EJERCICIOS: Determinar si los siguientes eventos son dependientes o

independientes


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Lanzar una moneda y seleccionar un carta al azar

Manejar sobre hielo y tener un accidente

Tomar una esfera de una urna, no reemplazarla, y luego tomar una

segunda esfera

Lanzar una moneda y luego lanzar una segunda moneda

PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE CONTEO En lo que respecta a técnicas de conteo, tenemos dos principios importantes:

El principio de adición

El principio de multiplicación

Principio de la adición

“Un suceso “A” se puede realizar de “m” maneras diferentes, y otro suceso “B” se

puede realizar de “n” maneras diferentes, además, si ocurre uno no puede ocurrir

el otro, el total de formas en que puede ocurrir A o B es m + n“.


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Es decir, aquí ocurre A o ocurre B. El “o” indica suma.

Ejemplo: ¿de cuántas formas se puede proteger del frío una persona que tiene 3

chompas y 3 casacas? sabiendo que no se puede poner casaca y chompa a la

vez.

Para enfrentar el frío, la persona se puede poner casaca o chompa, es decir, tiene

3 + 3 = 6 opciones diferentes para protegerse del frío.

Principio de la multiplicación

“Si un suceso se puede realizar de “m” formas diferentes y luego se puede

realizar otro suceso de “n” formas diferentes, el número total de formas en

que pueden ocurrir es igual a m x n”.

Es decir, ambos eventos se realizan, primero uno y luego el otro. El “y” indica

multiplicación.

Ejemplo: ¿de cuántas formas se puede vestir una persona que tiene 3 pantalones y

3 camisas?

Para vestirse, la persona se pone el pantalón y luego la camisa, es decir tiene 3 x

3 = 9 opciones diferentes de vestirse.

Ejemplos:

Erika para ir a de su casa a la universidad lo hace tomando un solo microbús. Si

por su casa pasan 3 líneas de transporte que la llevan a la universidad, ¿de

cuantas maneras diferentes, según el microbús que tome, llegara Erika a la


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universidad? Se sabe que la línea A tiene 3 microbuses, la línea B tiene 5

microbuses y la línea C tiene 8 microbuses.

Los alumnos de un colegio se comprometen a pintarlo por motivo de su

aniversario. El primer piso lo harían los alumnos de un aula del 3º año, el

segundo piso lo harían los alumnos de un aula de 4º año, el tercer piso lo harían

los alumnos de un aula de 5º año. Si el colegio tiene 4 aulas de 3º año, 5 de 4º

año y 6 de 5º año, ¿de Cuántas maneras distintas, según las aulas que

intervienen, podrá hacerse la distribución para el pintado del colegio?

Problema 1.- Juan el alumno más inteligente del salón se saca un premio al final del año,

el premio consiste en vacaciones todo pagado a cualquiera de 3 posibles lugares que le

gustaría ir, usando cualquiera de los 2 medios de transporte disponibles, y acompañado

de uno de los 3 familiares que lo pueden acompañar, ¿cuantas posibilidades diferentes

se le presentan a Juan?

LUGARES MEDIOS FAMILIARES

cancun avión hermano

acapulco auto mamá P.M.=> 3*2*3 = 18

vallarta papa

n= 3 n= 2 n= 3


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PROBLEMA 2.- María Fernanda alumna del salón quiere ir al baile de graduación, para dicha

fiesta ella puede usar uno cualquiera de sus 4 vestidos, uno cualquiera de sus 3 pares de

zapatos y una de sus 2 bolsas. ¿De cuantas maneras diferentes puede asistir al baile y

cuales son ellas?

n1 =4 n2 = 3 n3 =2

**P.M.= 4 * 3 * 2 = 24**

PROBLEMA 3.- Ya en el baile Carmen se junta con sus amigas María, Ana y Josefina cada

una de ellas puede bailar con cualquier de los 5 jóvenes que están disponibles en la

fiesta, ¿cuantas parejas diferentes es posible formar y cuales son estas?

AMIGAS {María, Ana, Josefina, Carmen}


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n= 4 P.M. = 4*5 = 20

JOVENES {Jl, J2, J3, J4, J5}

n= 5

RECORDAR QUE **CUALES** ES EL DIAGRAMA DE ARBOL Y DE TAREA CONSTRUIRLO A ESTE PROBLEMA.

PROBLEMA 4. Marcela almuerza en el casino de su trabajo de lunes a viernes, y siempre hay

dos variedades de entradas y tres variedades de plato de fondo. ¿Cuántos menús

distintos puede escoger?

Solución:

En situaciones como estas es muy útil dibujar un diagrama llamado: “Diagrama de árbol”

que consiste en ir combinando cada uno de los eventos o sucesos por etapa o vez:

Al contar las ramas de la segunda elección, se cuentan cuántos posibles menús hay. En

este caso se aprecian seis: 6 = 2 • 3

Al aplicar directamente el principio multiplicativo, la solución es la siguiente:

Para seleccionar la entrada hay 2 posibilidades; Para seleccionar el plato de fondo hay 3

posibilidades. Entonces hay 2 • 3 = 6 posibilidades de seleccionar el menú.


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PROBLEMA 5. Si se lanzan al aire tres monedas. ¿Cuántos resultados posibles se pueden

obtener?

Solución:

El resultado de lanzar las tres monedas al aire, se pueden obtener un total de ocho

resultados posibles.

De igual modo, aplicando el principio multiplicativo resulta que:

Al lanzar la primera moneda hay dos resultados posibles;

Al lanzar la segunda moneda hay dos resultados posibles;

Al lanzar la tercera moneda hay dos resultados posibles.

Entonces al lanzar las tres moneda hay 2 • 2 • 2 = 8 resultados posibles;

PROBLEMA 6. Un constructor propone a la empresa que pueden construir las paredes de una

casa con tres tipo de ladrillo (fiscal, princesa o King Kong 18); dos mezclas para los

bolones de los cimientos (cemento o concreto armado ); y con dos tipos de planchas para

el techo ( Zinc Alum o tejas asfálticas) ¿Cuántas elecciones posibles de materiales se

pueden hacer?


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Al contar las ramas de la tercera elección, se cuentan cuántas las elecciones posibles que

hay de los materiales para la casa. En este caso se aprecian doce.

Al aplicar directamente el principio multiplicativo se obtiene que:

Hay 3 opciones para material de paredes; 2 opciones para completar la mezcla de los

bolones para los cimientos y, finalmente, 2 opciones de material para el techo. Por lo tanto

hay 3 • 2 • 2 = 12 posibilidades diferentes de escoger los materiales que se han citado

para aplicarlos a la construcción de la casa.

PARA REALIZAR EN CLASE

1. Patricia es invitada a un recital de su artista favorito, por lo que debe seleccionar la

ropa que vestirá entre: cinco chalecos, tres jeans y dos chaquetas, el calzado lo elegirá

entre un par de zapatillas o un par de botines. ¿De cuántas formas puede seleccionar las

prendas de ropa que usará?


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2. ¿De cuántas maneras pueden repartirse 3 premios entre un conjunto de 10 personas,

suponiendo que cada persona no puede obtener más de un premio?

Solución: Aplicando el principio fundamental del conteo:

Tenemos 10 personas que pueden recibir el primer premio. Una vez que este ha sido

entregado, entre 9 personas se puede entregar el segundo premio, y luego, entre 8

personas se puede entregar el tercer premio. Por lo tanto el número de maneras distintas

de repartir los tres premios está dado por: 10 • 9 • 8 = 720

EJERCICIOS Calcular cuántos passwords o contraseña de cuatro letras distintas se pueden

diseñar con las letras de la palabra MEMORIA.

PERMUTACIONES:

Una permutación de un cierto número de elementos es una disposición en la que

entran todos ellos en un orden determinado.

(Diremos que todos se mueven). En otras palabras una permutación es una

variación en la que n=r, es decir:

PERMUTACIÓN LINEAL DE N ELEMENTOS

EJEMPLO 1.

¿Cuántos números diferentes de 4 cifras se pueden hacer con los dígitos 1, 3, 5 y 7?

Solución:

La cifra de las unidades de mil tiene 4 posibilidades de elección; La cifra de las

centenas tiene 3 posibilidades de elección; La cifra de las decenas tiene 2

posibilidades de elección; Finalmente, la cifra de las unidades tiene una sola

posibilidad de elección.


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Entonces, de acuerdo al principio multiplicativo, la cantidad de números posibles

de 4 cifras con los dígitos 1, 3, 5 y 7 es 4 • 3 • 2 • 1, es decir, 4! = 24.

En otras palabras, la cantidad de números diferentes con los 4 dígitos dados,

corresponde a una permutación lineal de estos 4 dígitos que es 4! = 24 2)

EJEMPLO 2.

Se tienen 6 frascos con diferentes semillas ¿De cuántas maneras se pueden

ordenar en un estante?

Solución:

El mismo razonamiento realizado en la solución a la pregunta anterior, permite

establecer que la cantidad de maneras de ordenar los 6 frascos en fila en el

estante, es una permutación lineal de 6 objetos, esto es 6! = 720

Así, una permutación lineal de n elementos o sea el número de filas que se puede

hacer con n objetos diferentes es n!. Notación: Pn = n!

EJEMPLO 3. ¿De cuántas formas diferentes se pueden ordenar las letras de la

palabra IMPUREZA?

Solución: Puesto que tenemos 8 letras diferentes y las vamos a ordenar en

diferentes formas, tendremos 8 posibilidades de escoger la primera letra para

nuestro arreglo, una vez usada una, nos quedan 7 posibilidades de escoger una

segunda letra, y una vez que hayamos usado dos, nos quedan 6, así

sucesivamente hasta agotarlas, en total tenemos:

8 ´ 7 ´ 6 ´ 5 ´ 4 ´ 3 ´ 2 ´ 1 = 40320


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EJEMPLO 4. ¿De cuántas formas diferentes se pueden sentar seis alumnos en un

salón de clases con 25 pupitres?

Solución: El primer estudiante puede elegir entre 25 lugares, el segundo tendrá 24

lugares a escoger, el tercero 23, así sucesivamente; por lo tanto el número de

arreglos sin repetición de 25 elementos tomados de 6 en 6 es:

Esto se simboliza por

ACTIVIDAD EN CASA

EJERCICIOS 1. Un vendedor quiere visitar 5 ciudades (por ejemplo Albacete,

Barcelona, Córdoba, Denia y Estepona). Si no quiere repetir ciudades, ¿cuántas

rutas distintas puede elaborar si puede empezar y acabar en cualquiera de las

ciudades? (tomado de un examen del curso de acceso a la universidad en la

UNED, curso 2008/09)

El vendedor puede elegir la primera ciudad que visitará de entre las 5. Elegirá la

segunda ciudad que visitará de entre las 4 restantes. Para la tercera ciudad tiene 3

opciones. Para la cuarta, 2. Y para la última, 1.

Así que puede elaborar 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120 rutas distintas.

¡Podemos utilizar también la fórmula de las permutaciones y decir que P= n! = 5! = 120

EJECICIOS DE PERMUTACION

EJERCICIOS 1. Un vendedor quiere visitar 5 ciudades (por ejemplo, Montería

Barranquilla, Sincelejo, Medellín y Bogotá). Si no quiere repetir ciudades, ¿cuántas


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rutas distintas puede elaborar si puede empezar y acabar en cualquiera de las

ciudades?

EJERCICIOS 2. ¿De cuántas maneras se pueden disponer 7 personas en una fila?

EJERCICIOS 3. ¿De cuántas formas pueden quedar clasificados 6 equipos de fútbol

que participan en un torneo?

EJERCICIOS 4. ¿De cuántas maneras se pueden disponer en una mesa 3 hermanas?

(María, Sofía, Clara) Determínelas.

EJERCICIOS 5. ¿De cuántas formas pueden quedar clasificados 10 equipos de

baloncesto que participan en un campeonato?

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