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UNIDAD

226 En marcha

10

Al terminar esta unidad lograré:

-Diferenciar la medida angular en grados y radianes. -Calcular la longitud de un arco de círculo y el sector circular. -Identificar en un triángulo rectángulo ABC: vértices, ángulos internos, catetos e hipotenusa. -Utilizar las razones trigonométricas: seno, coseno y tangente, para resolver situaciones que involucren un triángulo rectángulo ABC. -Resolver situaciones que involucran la trigonometría de un triángulo rectángulo.

SESIÓN 1

Eratóstenes y el tamaño de la Tierra

Paso 1Leemos:

La primera persona que calculó la circunferencia de la Tierra fue Eratóstenes de Cirene (276-194 a.C). Luego de muchos años de observación, en Siena, una ciudad ubicada al sur de Alejandría, notó que el 21 de junio al medio día, justo cuando el sol se encontraba en el zenit, los templos y en general las cosas no proyectaban sus sombras en el piso.Durante un tiempo, Eratóstenes vivió en Alejandría y fue aquí donde observó que el mismo 21 de junio, justo al medio día, en esta ciudad, se proyectaban sombras de las columnas, templos y otros objetos en el piso de tal forma que era posible ver sombras de diversos tamaños.

- La Figura 1 ilustra las observaciones de Eratóstenes en ambas ciudades.

Actividad 1

DESCUBRO MIS HABILIDADES.

Figura 1

Rayos de Sol

Columnasin sombra Columna

con sombra

SienaAlejandría

UNIDAD10

227En marcha

Paso 2Leemos: Eratóstenes se dispuso a crear un modelo geométrico, para demostrar que la Tierra tiene forma esférica. En su modelo, extendió los rayos del sol que se proyectaban directamente en un pozo de agua en Siena hasta el centro de la Tierra. Al mismo tiempo, los rayos de sol caerían paralelos sobre la ciudad de Alejandría, en donde midió el ángulo formado por los rayos de sol y la columna obteniendo: α = 7.2°. La Figura 2 ilustra esta situación:

- Revisamos el siguiente cálculo efectuado por Eratóstenes:Si β es el ángulo central de una longitud de arco igual a 5,000 estadios, entonces dijo Eratóstenes, los 360º deben corresponder a la circunferencia C, de la Tierra.

- El planteamiento de esta situación fue este:

5000 estadios7.2º

5000 •360º7.2º

C360º= ∴ C= = 250,000 estadios

Respondemos: - ¿Cuál es la longitud de la circunferencia terrestre en metros y kilómetros, según los resultados de Eratóstenes?

- ¿Cuál es la longitud de la circunferencia terrestre medida en la actualidad? - ¿Por cuánto se equivocó este famoso matemático?

Luego de la lectura, comentamos: - ¿A qué se le llama zenit? - ¿Qué tiene de especial el día 21 de junio? - ¿Por qué en Siena no proyecta sombra la columna y en Alejandría sí lo hace?

ContinúaPaso 1

Debemos tomar en cuenta que:- Por ángulos alternos –

internos los ángulos α y β son iguales a 7.2o.

- La distancia entre ambas ciudades Siena – Alejandría es de 5,000 estadios.

- Un estadio es una medida antigua de longitud equivalente a 185 metros.

Aprendo más sobre esta historia en este enlace:https://goo.gl/wrspXQ

Figura 2

Siena Alejandría

sombra

Rayos solares

Columna

Centro de la Tierra

α

β

UNIDAD 10

228 Mochila de herramientas TALLER DE TRIGONOMETRÍA EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO.

SESIÓN 2

TALLER DE TRIGONOMETRÍA EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO.

UN TEMA PENDIENTE

Paso 1 Leo:Rosario ha leído con atención la historia de Eratóstenes. En la historia se indica que las ciudades de Siena y Alejandría están separadas por 5,000 estadios.

Rosario se pregunta: - ¿Cuántos kilómetros separan a ambas ciudades? - ¿Cuál es el valor de 7. 2º en radianes? - Expongo el resultado en clase.

Paso 2 Resuelvo:En las Figura 1 se muestra el arco de circunferencia AB, llamado S y un ángulo central α medido en radianes.

- Para cada una de estas situaciones encuentro la longitud del arco S, siguiendo las instrucciones dadas.

- Dejo constancia en el cuaderno del trabajo realizado.

Actividad 2

Paso 3

¿Qué necesitamos saber? Expresión para la longitud de arco de círculo. Si un arco de longitud S de un círculo de radio r subtiende un ángulo central α radianes, entonces se dice que: S = r α.Expresión para el área de un sector circular.Si α es la medida en radianes de un ángulo central de un círculo de radio r, y si A es el área de un sector circular determinado por α, entonces el área es: A = ½ r2 α

Figura 1

S = radio * ángulo

A

Sr

B1 rad

r= 25 cm

S = radio * ángulo

AS

r

B2 rad

r= 25 cm

S = radio * ángulo

A

S

rB

3 radr= 25 cm

UNIDAD10

229TALLER DE TRIGONOMETRÍA EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO. Mochila de herramientas

SESIÓN 2

Paso 4 Calculamos el área del sector para cada uno de los círculos de la figura 1.Dejamos constancia del trabajo realizado en el cuaderno.

Paso 5 Leemos y resolvemos en el cuaderno:En la feria de Quetzaltenango uno de los juegos preferidos del público es el tiro al blanco. El juego consiste en lanzar una pelota con fuerza hacia un bloque de madera y elevarlo hasta el punto P más alto para obtener un premio. Tal como se muestra en la Figura 2, el ángulo central barrido θ = 45º cuando el bloque llega hasta P.

- Expresamos el ángulo en radianes y determinamos la longitud de arco para esta situación.Adriana juega tiro al blanco, pero solo logra elevar el bloque hasta una longitud de arco igual a 75 centímetros.

- Expresamos los 75 centímetros en metros y determinamos el ángulo barrido por el bloque.

Paso 6 Leemos y resolvemos en el cuaderno:Alfredo, Martín y German, son tres amigos que se entrenan por un segmento de pista circular, tal como se muestra en la figura 3. Ellos corren en sentadillas al mismo tiempo barriendo un ángulo θ de 75º, pero recorren distintas distancias. Alfredo corre por adentro de la pista y para cuando r = 15 metros, Martín para cuando r = 30 metros y German para r = 45 metros.

- Calculamos la distancia recorrida por cada uno de ellos.

- Si a los tres, les asignan pintar todo el segmento de pista por donde corren, ¿Cuánta pintura necesitarán?

- Expresamos el resultado en metros cuadrados.

Figura 3

OAlfredo

θ

GermánMartín

Figura 2

antes del golpe después del golpe

r = 1.25 metros tope del bloquePθ

UNIDAD 10


SESIÓN 3

TRIGONON

Actividad 3

Paso 1 Leemos:La Figura 1 muestra un triángulo rectángulo. En esta figura el ángulo β = 30º y el cateto adyacente al ángulo alfa mide 6 centímetros y la hipotenusa mide 12 centímetros respectivamente.Respondemos:

- ¿Cuál es el valor del ángulo α?

Paso 2 A continuación, se presentan una serie de triángulos en cada uno de los casos determinamos los valores indicados. Triángulo 1:Calculamos la altura h, del triángulo equilátero y el valor del ángulo β sí α = 30º.Triángulo 2:Calculamos la longitud del cateto opuesto a β y el valor del ángulo β sí α = 22.6º.Triángulo 3:Calculamos la hipotenusa y el valor del ángulo α, sí β = 39.20º.

- ¿Cuál es el valor del cateto adyacente al ángulo β? - ¿Qué conocimientos fueron necesarios para responder a las preguntas anteriores?

- Dejamos constancia en el cuaderno del resultado y exponemos el resultado en clase.

¿Qué necesitamos saber? Triángulo proviene del griego: triogonon. Todo triángulo rectángulo tiene tres ángulos internos que suman 180o. En un triángulo rectángulo uno de sus ángulos interiores recto. Por el teorema de Pitágoras: a2 + b2 = c2, el lado opuesto al ángulo recto se llama: hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos del triángulo.

Trazamos en el cuaderno un objeto con forma de triángulo rectángulo que se encuentre en nuestro entorno y medimos sus lados y ángulos internos. Compartimos el resultado.

Ca

teto

Cateto

Hipotenusa

A C

B

β

α 90º

Figura 1

Triángulo 3Triángulo 2

7.5 cm

9.2 cm

β

α5 cm

α

β

13 cm

Triángulo 1

8 m

8 m

8 m

α

β

4 m

h

UNIDAD10


Paso 3

¿Qué necesitamos saber? Consideremos un triángulo rectángulo y un ángulo agudo representado por α, tal como se muestra en la Figura 1, donde a, b y h representan las longitudes de los lados. Podemos obtener tres razones usando estas longitudes y demostrar que estas relaciones dependen solo de α, y no del tamaño del triángulo, la Figura 1 ilustra las relaciones llamadas: seno, coseno y tangente. Estas relaciones están determinadas de manera única para el ángulo α y por lo tanto reciben el nombre de funciones trigonométricas.

Analizamos que en la Figura 2 se establecieron las tres funciones trigonométricas en correspondencia con el ángulo α del triángulo rectángulo.

Paso 4Copiamos en el cuaderno los triángulos de la Figura 3 y luego establecemos las tres funciones trigonométricas en correspondencia con α para cada triángulo.

Figura 3

Figura 2

Figura 1

sen α =opuesto

=8

hipotenusa 17

cos α =adyacente

=15

hipotenusa 17

tan α =opuesto

=8

adyacente 15

sen α =opuesto

=a

hipotenusa h

cos α =adyacente

=b

hipotenusa h

tan α =opuesto

=a

adyacente b

α

B

CA

a

b

h(hipotenusa)

(opuesto)

(adyacente)

α

17

15

8

90º

B

CA12.5

13.34.5

(c)

B

CA

16.8

5

16

(b)

B

C A

10.86

9

(a)

SESIÓN 4

ESTRATEGIAS TRIGONOMÉTRICAS.

Actividad 4

α

α

α

UNIDAD 10


SESIÓN 5

DETERMINACIÓN DE ÁNGULOS AGUDOS

Actividad 5

Paso 5En la Tabla 1 se muestra una lista de los ángulos notables: 30º, 45º y 60º. Estos ángulos fueron estudiados en el grado anterior.

- Para cada una de las situaciones que se plantean a continuación debemos determinar el valor del ángulo alfa. El ejemplo cero nos sirve de guía:

Ejemplo 0: - ¿Cuál es el valor de α en el triángulo de la Figura 1?

α 30º 45º 60º

sen (α) 12

22

32

cos (α) 32

22

12

tan (α)13 1 3

Tabla 1

1. Escribimos los datos:Adyacente = 12Hipotenusa = 24

2. Seleccionamos la función: cos α = adyhip

3. Escribimos: cos α = 1224 = 1

2 = 0.5

24 centímetroshipotenusa

12 centímetrosadyacente

opuesto

α

Figura 1

- Ubicamos en la Tabla 1 que cos α = 0.5, es válido para cuando α = 60º.

- Nos guiamos por la secuencia del ejemplo cero, para calcular el ángulo alfa en los siguientes triángulos rectángulos, mostrados en la Figura 2:

Figura 2

α

36 pies

18 pies

α

20 pies

800 pies

α

300 pies

10 pies

UNIDAD10


SESIÓN 5

Paso 6 Leemos:José ha representado las tres funciones trigonométricas, utilizando como referencia las gradas que se muestran en la Figura 1. Él midió la altura y ancho de las gradas y determinó que estas medían 20 cm de altura y ancho. Luego, procedió a medir la hipotenusa con una cuerda y obtuvo un valor de: 28.3 cm. A continuación, utilizó un trasportador para establecer el ángulo α y obtuvo como resultado: 45º.

- La Figura 1 muestra las tres funciones escritas por José.

Formamos tres triángulos rectángulos con los siguientes objetos o compañero de clase: - Un lápiz, escoba, escalera o palo apoyado sobre una pared. - Un brazo doblado. Ver Figura 2. - El cuerpo sobre el piso en posición para hacer flexiones. Ver Figura 3

- Luego procedemos a trazarlos en el cuaderno. - Medimos en cada triángulo, los lados: hip, ady y op, también ubicamos el ángulo agudo α del triángulo trazado.

- Establecemos una estrategia para medir el ángulo α con el transportador. - Establecemos las tres funciones para cada caso, tal como lo hizo José en su ejemplo.

Figura 1

Figura 2 Figura 3

sen 45 =opuesto

=20

= 0.706hipotenusa 28.3

cos 45 =adyacente

=20

= 0.706hipotenusa 28.3

tan 45 =opuesto

=20

= 1adyacente 20

α 20 cm

20 cm

UNIDAD 10


SESIÓN 6

LAS TABLAS TRIGONOMÉTRICAS

Actividad 6

Con base en la tabla completamos en el cuaderno las siguientes igualdades del Cuadro 1:

Figura 1

30°

Paso 1 Leemos:Hipo, es un hipopótamo que vive en el zoológico la Aurora en la ciudad capital de Guatemala. Los administradores del lugar le han construido una plancha de concreto inclinada tal como se muestra en la Figura 1.

- ¿Cuál es la inclinación de esta plancha?

Paso 2 La Tabla 1, representa los valores numéricos para algunos ángulos relacionados con las funciones trigonométricas: seno, coseno y tangente.

- Por ejemplo, la tabla nos indica que sen 34º = 0.559 (aproximamos a tres cifras decimales).

Ángulo sin α cos α tan α

30º 0.5 0.866025 0.57735

31º 0.515038 0.857167 0.600861

32º 0.529919 0.848048 0.624869

33º 0.544639 0.838671 0.649408

34º 0.559193 0.829038 0.674509

Tabla 1

Cuadro 1

FunciónValor numérico con tres cifras

FunciónValor numérico con tres cifras

sin 31º = cos 34º =

sin 33º = tan 31º =

cos 32º = tan 33º =

6 pies

2 3 pies

UNIDAD10


SESIÓN 6

Figura 2

¿Qué necesitamos saber? Por la dificultad que plantea el cálculo de funciones trigonométricas, se han diseñado tablas matemáticas para funciones trigonométricas para fines de consulta, donde aparecen los valores para diferentes ángulos. Las tablas trigonométricas son útiles cuando no se posee una calculadora científica.En la Figura 2 se observa una parte de esta tabla, la cual se puede consultar en el sitio electrónico:http://goo.gl/VY6ulQ

Paso 3

¿Cómo usamos las tablas trigonométricas? - Consideremos que necesitamos conocer el cateto opuesto del triángulo de la Figura 3,

donde α = 50º, entonces procedemos de la siguiente forma:

Aplicamos el procedimiento anterior, para calcular el cateto adyacente de un triángulo rectángulo, si el ángulo agudo alfa tiene un valor de: 55º y el cateto opuesto tiene un valor de 12 metros.

- Dejamos constancia en el cuaderno del procedimiento y trazamos el triángulo.

1. Escribimos los datos:Adyacente = 20, α =50º

2. Seleccionamos la función: tan α = opady

3. Escribimos: tan α = op20

4. En la tabla veirficamos que: tan 50º = 1.192

- Por último, procedemos de la siguiente forma:

tan 50º = op20 ; despejamos: op = 20 • tan 50º = 20 • 1.192 = 23.84 pies

Figura 3

Ángulos seno coseno tangente

46º 0,719 0,695 1,036

47º 0,731 0,682 1,072

48º 0,743 0,669 1,111

49º 0,755 0,656 1,150

50º 0,766 0,643 1,192

51º 0,777 0,629 1,235

52º 0,788 0,616 1,280

53º 0,799 0,602 1,327

54º 0,809 0,588 1,376

55º 0,819 0,574 1,428

α

20 pies

UNIDAD 10


SESIÓN 7

LA CALCULADORA EN TRIGONOMETRÍA

Actividad 7

Paso 4

¿Qué necesitamos saber? Las calculadoras científicas nos dan directamente el valor del sen, cos o tan de cualquier ángulo. También nos dicen cuál es el ángulo del que conocemos el valor de una de sus razones trigonométricas. Las calculadoras manejan tres medidas de ángulos, tal como se ilustra en la Figura 1. En esta sesión emplearemos el modo: DEG.

- Grados sexagesimales (DEG). Son los que utilizamos normalmente.

- Radianes (RAD). Expresa los ángulos en radianes.

- Grados centesimales (GRA). Se emplean en cursos superiores de matemática. No emplearemos estas unidades en el curso.

Empleamos una calculadora científica para encontrar los siguientes valores:

sen 37º = cos 53º = tan 25º = tan 36º =

Las calculadoras científicas permiten determinar el ángulo si se conoce el valor de la función. Veamos el siguiente procedimiento:

- Si sabemos que cos α = 0. 63, ¿cómo encontrar alfa en la calculadora? - La Figura 2 muestra el procedimiento:

Figura 1

Figura 2

si la calculadora no tiene pantalla, procedemos así:

si la calculadora tiene una pantalla, vemos el resultado así:

Ángulo cuyo coseno es 0,630,63

0,63

UNIDAD10


SESIÓN 7

Las calculadoras tienen rotuladas las expresiones:sen -1, cos -1 y tan-1. Estas se llaman funciones inversas y en este curso serán útiles para encontrar el ángulo agudo de un triángulo rectángulo en grados sexagesimales y radianes.En el siguiente link, encontramos información relevante:http://goo.gl/7TzHpr

Paso 5 Hallamos con la calculadora el ángulo α en las siguientes funciones trigonométricas:a) sen α = 0.25 b) cos α = 0.65 c) tg α = 2.5 d) cos α = 0.86 e) sen α = 0.78 f) tg α = 0.82

- Los resultados los dejamos indicados en el cuaderno, tal como se indica a continuación en el ejemplo cero. Ver la Figura 3 donde se ilustra el cálculo en calculadora:

Paso 6 Empleamos una calculadora científica para encontrar el valor numérico de las siguientes operaciones:

0,63Veamos esta calculadora científica en línea: http://goo.gl/VvfJA3

tan α = 0.8;efectúo la operación en la calculadora, luego: escribo en el cuaderno: Tan–1 (0.8) = 38.6598º ≈ 38.66º

Leemos:Alberto ha medido el ángulo de elevación desde su posición hasta la parte alta de un poste de alumbrado eléctrico, tal como se muestra en la Figura 4. La cuerda atada al extremo alto del poste hasta la posición de Alberto mide 10 metros.

Determinamos: seno de 37º

- Con la función sen 37º = h10

encontramos el valor de la altura del poste.

- Dejamos constancia en el cuaderno del trabajo realizado.

Figura 3

0.28a.

0.96b.

0.28c.

0.96d.

Figura 4

10 m

37º

h

238 Mochila de herramientas TALLER DE RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS.

UNIDAD 10 SESIÓN 8

TALLER DE RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

RESUELVO TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS.

Actividad 8

Paso 1Leemos y resolvemos:Alberto vive en Chimaltenango y tiene en su patio árbol de manzanas, tal como se muestra en la Figura 1. La altura del árbol es de 3.5 metros y el ángulo de elevación β desde el punto B es de 37º.

- Escribimos una función trigonométrica que permita determinar la distancia BC a la que se encuentra Alberto.

- Determinamos la distancia a la que se encuentra Alberto del árbol. - Exponemos nuestro resultado en clase.

Al resolver triángulos recordamos:

- Identificar en función del ángulo agudo: el cateto opuesto, adyacente e hipotenusa.

- Seleccionar la función: seno, coseno o tangente que resuelva el problema.

Paso 2 Resolvemos en el cuaderno:La Figura 2 muestra un triángulo rectángulo con sus respectivas medidas en centímetros.

- Escribimos las 3 razones trigonométricas para este triángulo. Para ello completamos el Cuadro 1 en el cuaderno.

- Seleccionamos una de las tres razones y determinamos el ángulo α. - Comparamos los resultados obtenidos con otros grupos.

sen α = opady cos α =ady

hip tan α = opady

Figura 2

Figura 1

37º

C B

17 8

15

α

239TALLER DE RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS. Mochila de herramientas

UNIDAD10

¿Qué necesitamos saber? Resolver un triángulo rectángulo quiere decir que se desea determinar la longitud de cada lado y la medida de cada ángulo del triángulo. Usaremos la notación siguiente para identificar un triángulo rectángulo: los vértices del triángulo se denotarán por: A, B, C; los ángulos por: α, β y γ respectivamente, y las longitudes de los lados opuestos a estos ángulos por: a, b y c respectivamente. El triángulo recibirá el nombre de ∆ABC, la Figura 3 muestra el triángulo que emplearemos.

SESIÓN 8

Paso 3

Ejemplo:Analizamos el siguiente ejemplo:

- Resolver el triángulo de la Figura 4.

Primero:Identificamos cada parte del triángulo. La Figura 5 nos dice cómo hacerlo.

Segundo:Elaboramos una lista con los datos conocidos.En este caso sabemos que, b = 7 y a = 2.

Tercero:Revisamos los datos que nos proporcionan, en este caso nos damos cuenta de que podemos emplear la función tangente para encontrar el ángulo alfa en el vértice A.

tan α = opady = 27 = 0.286 ∴ α = tan –1(0.286) = 15.96º

Cuarto:El teorema de Pitágoras me permite determinar el valor de la hipotenusa C:c2 =a2 +b2, sustituimos: c2 = 22 +72 = 53 ∴ c = 53 = 7.28 unidades

Quinto:Tomamos en cuenta que la suma de α + β = 90º, por lo tanto β = 90º - αAl resolver esta ecuación obtenemos: β = 90o - 14.28º = 75.72º

- Copiamos en el cuaderno este ejemplo, utilizando un organizador gráfico.

2

Figura 47

Figura 3

B

C A

a

b

c

αγ

β

Figura 5

B

C

a = 2

β

γα

c

A b = 7


UNIDAD 10 SESIÓN 9

INTEGRO MIS CONOCIMIENTOS

Actividad 9

Paso 4 A continuación, se plantean 4 triángulos rectángulos.

- Según los lados y ángulos dados, trace cada triángulo ABC en el cuaderno.

Paso 5 Elegimos uno de los triángulos anteriores y lo resolvemos en el cuaderno.

- Luego de completar el ejercicio intercambiamos el cuaderno con otro equipo. - Calificamos el problema resuelto por el otro grupo cuando el facilitador nos indique. Para ello verificamos que las respuestas de los compañeros son correctas.

- Regresamos los cuadernos calificados al equipo.

Paso 6Ana y Julio juegan en un resbaladero que tiene la forma de un triángulo rectángulo ABC. Ver Figura 1.

- Determinamos la longitud del resbaladero.

- Dejamos constancia en el cuaderno del trabajo realizado.

- Elegimos uno de los triángulos ABC y lo colocamos en una hoja de papel. - Exponemos la hoja con el triángulo resuelto cuando el facilitador indique.

Figura 1

Qué datos conozco. Qué datos no conozco.

a = 4, β = 27º b, c , α

a = 4 , b = 10 α , β , c

b = 3 , c = 6 α , β , a

b = 10.5 , α = 34º β , a, c

B

A

2.25 mts.

C25º


UNIDAD10SESIÓN 10

Paso 3

¿Qué necesitamos saber? En un triángulo ABC, si conozco el valor de la hipotenusa y el ángulo agudo correspondiente, entonces las expresiones siguientes, me permiten determinar el valor de los catetos:Cateto opuesto (a) = (hipotenusa) * (sen α)Cateto adyacente (b) = (hipotenusa) * (cos α)

Si la hip = 10 y el ángulo agudo α = 36.86º, determino la longitud del cateto opuesto y adyacente empleando las expresiones aprendidas.

CÁLCULO DE CATETOS

Actividad 10

Paso 4 Trazo en el cuaderno un triángulo con hip = 5 centímetros y ángulo de 36.86º.

- Empleo las expresiones aprendidas para calcular la longitud de los catetos.

Paso 5 Leo y respondo:Cuando el puente elevado de la Figura 1, llega hasta un ángulo de 18º, ¿Qué longitud tienen los catetos en el triángulo formado?

- Resuelvo en el cuaderno y dejo constancia del trabajo realizado.

Paso 6Explico con una nota que contenga un máximo de 15 palabras y un mínimo de 10 palabras, sobre el error que cometió Rodrigo en sus cálculos.

Paso 2 Trazo un triángulo rectángulo ABC en el cuaderno con hip = 10 centímetros, ady = 8 centímetros.

- Mido con una regla graduada en centímetros, la longitud del cateto opuesto. - Mido con un transportador el ángulo obtenido.

Paso 1La Figura 1 muestra un puente elevado de 7.5 metros de longitud. El ángulo máximo de elevación de este puente es de 45º. Rodrigo ha calculado los catetos del triángulo rectángulo formado por el puente cuando este está completamente abierto. Pero hay un error en sus cálculos.

- Encuentro el error de cálculo de Rodrigo. - Comento en clase el resultado.

7.5 m

7.5 m

45o

7.5 m

Figura 1


UNIDAD 10 SESIÓN 11

RAMPAS CON DIFERENTE INCLINACIÓN

Actividad 11

Paso 1 Leemos:Juan José emplea una escalera para llevar unos paquetes hasta el techo de dos casas que tienen diferente altura, tal como se muestra en la Figura 1. Para llegar hasta el techo de las casas ha colocado la escalera con diferente ángulo de elevación. La altura de la casa 1 es h1 = 4.6 metros y la altura de la casa 2 es h2 = 5.8 metros.

Respondemos: - ¿Juan José empleó la misma escalera o son dos escaleras diferentes? - Exponemos nuestro resultado en clase y dejamos constancia del trabajo realizado.

Paso 2 Leemos: En Flores, cabecera del departamento de Petén, se está planificando la construcción de rampas para que los jóvenes puedan practicar en sus patinetas. Ver Figura 2Para medir el ángulo de inclinación de la rampa, se consideraron tres medidas. En el Cuadro 1 se indican las medidas contempladas.

- Respondemos: ¿por qué el ángulo es el mismo en dos rampas? - Trazamos una rampa con el mismo ángulo de la rampa 1 pero con diferentes valores a y b.

Completamos el Cuadro 1 en el cuaderno y elegimos aquellas medidas que nos proporcionen el ángulo máximo de la rampa.

Figura 1

Rampa 1 a = 1.5 metros b = 6.5 metros α =

Rampa 2 a = 1.5 metros b = 6.0 metros α =

Rampa 3 a = 2 metros b = 8.0 metros α =

Rampa

Distancia horizontal (b)

Altura (a)

Figura 2

Techo 1

h1

50º

h2

75º

Techo 2


UNIDAD10

Paso 3 Leemos:

¿Qué necesitamos saber? Los ángulos de elevación y depresión son ángulos formados por dos líneas imaginarias llamadas: línea visual o línea de visión y la línea horizontal. La Figura 3 muestra la diferencia entre un ángulo de elevación y un ángulo de depresión.

SESIÓN 12

UN PASO HACIA ADELANTE

Actividad 12

La función tangente:

tan α= opady , me

permite determinar la altura de la torre.Revisamos el siguiente link:https://goo.gl/EDezL6

Leo:El Instituto Nacional de Electrificación (INDE), ha colocado a largo del país enormes torres como las que se muestran en la Figura 1. Estas sirven para transportar energía eléctrica.Respondo:

- ¿Cuántos triángulos rectángulos se observan en la Figura 1? - Trazo los 2 triángulos ABC que se extraen de la Figura 1 e identifico sus partes conocidas y desconocidas.

- ¿Qué cateto tienen en común ambos triángulos rectángulos?

En el cuaderno, encuentro la altura de la torre de electricidad, siguiendo el procedimiento:Primero:Verifico que unos de los triángulos trazados tengan relación con la siguiente expresión:

Segundo:Despejo h y encuentro la altura de la Torre.

Tercero:Determino el ángulo de elevación a una distancia de 200 metros de la torre. Para ello verifico que la siguiente expresión esté relacionada con uno de los triángulos trazados.

70o

h

50 m200 m

tan 70º = opady = h50 =

tan α = opady = h200=



LA PRÁCTICA FORTALECE MIS CONOCIMIENTOS.

Actividad 13

Resuelvo esta situación en el cuaderno. El procedimiento siguiente me sirve de guía:Primero:

- Trazo en el cuaderno los triángulos ABC y ADE. - Verifico que ambos triángulos tienen en común el ángulo α en el vértice A. - Determino el valor del ángulo en el vértice A, en el triángulo ADE. Para ello resuelvo:

tan α = opady =

610 ∴ α = tan–1 (0.6)

Segundo: - Determino la altura del poste con el triángulo ABC. Para ello resuelvo:

tan α = opady =

h20 + 10 =

h30 ∴ h =

Tercero: - Expongo el resultado obtenido en clase con dimensionales en pies y en metros.

Figura 1

Paso 4 Leo la siguiente situación:En el parque del pueblo de Alejandro, colocaron una serie de postes de iluminación. En la Figura 1 se observa uno de estos postes. Alejandro, para conocer la altura de uno de estos postes, ha medido un ángulo de elevación α desde A y la distancia horizontal desde A hasta B que es de 30 pies, tal como se indica en la figura. Alejandro tiene una altura de 6 pies y está a 20 pies del poste de iluminación.

- ¿Cuál es la altura del poste?

Revisamos el siguiente sitio que nos proporciona información útil sobre trigonometría del triángulo rectángulo:http://goo.gl/xR02Z1

AD20 10C

B

E

α6


UNIDAD10

Paso 6Resuelvo esta situación en el cuaderno:Una carretera está inclinada un ángulo α, tal como se muestra en la Figura 3. Conforme se sube por la carretera la altura aumenta. Lucía ha medido la primera altura AB = 1.5 m y la distancia AO = 6 m, para calcular el ángulo de elevación de la carretera y luego las otras alturas.

SESIÓN 13

Paso 5 Leo: Desde lo alto de un edificio es posible observar una patrulla de la policía que circula por la carretera. Margarita, colocada en lo alto del techo, mide con su clinómetro un ángulo de depresión de 75º (por debajo de la línea horizontal), hasta la patrulla, tal como lo muestra la Figura 2. El edificio tiene una altura de 10√3 metros.

- ¿A qué distancia se encuentra la patrulla del edificio?

Revisamos el siguiente sitio que nos proporciona información útil sobre trigonometría del triángulo rectángulo:http://goo.gl/xR02Z1

Resuelvo esta situación en el cuaderno. El procedimiento siguiente me sirve de guía: - Observo que el ángulo en el vértice A es de 75º. Explico por qué es correcta esta afirmación.

- Trazo en el cuaderno el triángulo ABC y enlisto los datos que proporciona esta situación. - Resuelvo empleando una de las tres siguientes razones trigonométricas:

tan α = altura

distancia , cos α = distancia

línea de mira , sen α = altura

línea de mira

Figura 2

- Con la información proporcionada determino el ángulo α. - Determino el valor de las alturas A´B´ y A´´B´´ de la carretera, si se sabe que la distancia 0A´ es el doble de OA y la distancia 0A´´ es tres veces y medio la distancia OA.

10 3 m

75ºLínea horizontal

Línea

de

mira

A

B’

A’

B’’

A’’

B

A O

α

Figura 3

246 Mesa de Trabajo PROYECTO

UNIDAD 10

Encuentro de ciencia y cultura para la productividad y el desarrollo comunitario.

Fase I: PreparaciónCon mi comunidadNivel Aula: VCC

HonestidadDecente, decoroso, justo.

Redes de vinculación Forma de organización entre personas e instituciones, que requiere de la identificación de las fortalezas y debilidades actuales.

Sinergia Acción conjunta de varios factores para obtener mayor efectividad.

Base de datos comunitariosConjunto de datos e información relevante, acerca de la situación actual de la comunidad, problemáticas y posibles rutas basadas en redes de vinculación.

Redes socialesMedio de comunicación a través de recursos físicos o electrónicos, mensaje o contenido e interpretando el significado de la obra.

Redes sociales para el desarrollo comunitario Medios de comunicación entre los miembros de una comunidad, que facilitan el intercambio y generación de espacios de reflexión y acción, para mejorar la calidad de vida.

Paso 2 90 minutosElaboración de una guíaSelección de la temática para el trabajo.Primero básico:

- Elaboramos el material publicitario; lo colocamos dentro y fuera del centro educativo.

Segundo básico: - Diseñamos la ruta de circulación interna y la ruta de evacuación, en caso

de emergencia. - Realizamos entrevistas, reportajes, tomamos fotografías del evento

y lo registramos en el periódico escolar.Tercero básico:

- Organizamos el trabajo con otros grados. - Orientamos y mantenemos control en el desarrollo de todas las actividades

que implica el evento.

Presentación 30 minutos

¿En qué consiste este proyecto integrador? En un encuentro de ciencia y cultura para la productividad y el desarrollo comunitario, organizado y ejecutado por los consejos estudiantiles de institutos con condiciones similares, con la participación de ONG, municipalidades, cooperativas, entre otras.

¿Cuál es el propósito de este proyecto?Generar un espacio para que los estudiantes expresen y compartan los logros y dificultades durante todo el proceso de aprendizaje y formulen sus expectativas a futuro con alianzas estratégicas de personas, instituciones u organizaciones de la comunidad y la región.

¿Qué necesito para realizar este proyecto? - La monografía de la comunidad, el mapeo de personas, instituciones

y organizaciones, con fines de vinculación y apoyo en la ejecución de proyectos educativos comunitarios.

- Productos generados por el consejo estudiantil, los gobiernos de aula y las comisiones específicas de cada grado.

Paso 1 90 minutosIdentificar la fuente de información y de apoyoDiseñamos el plan para el desarrollo de este proyecto, el cual debe contener los siguientes procesos: nombre del proyecto, descripción, propósitos, justificación, metas, beneficiarios, acciones concretas, croquis, recursos, cronograma, entre otros.

- Recabamos la información registrada en portafolios, diarios de clases y textos paralelos; experiencias indispensables para el desarrollo de las actividades de intercambio en el encuentro.

SESIÓN 14

Proyecto 10 Actividad 14

247PROYECTO Mesa de Trabajo

UNIDAD10

Con mi comunidadNivel Aula: VCC

Paso 3 180 minutosOrganización de la información para el encuentro

- Elaboramos carteles, tiras didácticas, presentación multimedia u otros recursos que considere la plenaria.

- Utilizamos el siguiente cuadro para registrar la información (ideas, conceptos, argumentos, productos, entre otros) que se constituyen en los elementos programáticos para el encuentro.

Actividad 15

Mi ruta de salud Planificamos un rally recreativo con actividades en circuito que se organizan por estaciones, respetando las tareas motrices, que se practicaron en clase durante el ciclo de educación básica.

- Esta actividad se estará ejecutando en el proyecto 11.

Organizamos: una rutina de ejercicios para flexibilidad de piernas o tren inferior, una de ejercicios de cintura y espalda, una específica de ejercicios de pecho y brazos.

- Esta actividad se estará ejecutando en el proyecto 12.

Sitios Web sugeridos - http://revista-redes.

rediris.es/webredes/textos/Mapeo_redes_LC06.pdf

Estrategias desarrollar redes

- http://revista-redes.rediris.es/html-vol7/vol7_1.htm

Ruta de la saludCon la orientación del facilitador, realizo mi ruta de la salud.

Paso 5 30 minutos Texto paralelo: Criterios de evaluación

- Aplico estrategias didácticas para diseñar el plan de proyecto, con recursos tecnológicos e informáticos al alcance.

- Agrego al texto paralelo, los comentarios, conclusiones y aportes como evidencia de administración efectiva de los recursos disponibles para la ejecución del proyecto.

- Resuelvo evaluaciones aplicadas, ya sea por autoevaluación, coevaluación y heteroevaluación.

- Grabo documentales de los eventos realizados por la red estudiantil local y regional.

Administración de proyectoEs una metodología usada a nivel mundial, por empresas e instituciones para alcanzar objetivos en un tiempo determinado.

SESIÓN 15

Paso 4 180 minutosPreparación de la presentación públicaEn equipos de trabajo: La comisión específica, organiza y asigna los roles y funciones para la presentación pública del proyecto.

- Estudiantes de Primer grado: diseñan la invitación y la hacen llegar con la debida anticipación (utilizan la tecnología como estrategia de comunicación).

- Estudiantes de Segundo grado: diseñan la ruta de circulación interna y la ruta de evacuación en caso de emergencia.

Preparamos un lugar adecuado para la convivencia e intercambio de saberes.Preparamos la agenda para el encuentro de ciencia y cultura, que se realizará en la Fase II de este proyecto.

Información de los participantes

(Ente individual o colectivo) Nombre Dirección Actividad principal

Aportes comunitarios

Institutos…Autoridad, local y/o regional...Persona, organización/o instituciónde apoyo…Persona, organización y/o institución donante……

248 Evaluación - UNIDAD 10-


EVALUACIÓN DE CIERRE DE LA UNIDAD

VALORO MI APRENDIZAJE.

Problema 1 La montaña rusa es una de las grandes atracciones que ha llegado a la feria de Zacapa. La Figura 1 muestra cómo un carro de este juego pasa por dos curvas pronunciadas A y B. Cada una de estas curvas es un arco de círculo con 10 metros y 15 metros de radio respectivamente. Cuando el carrito pasa por la primera curva describe un ángulo de 40º y cuando pasa por la segunda curva, un ángulo de 60º.

- Expreso el valor de cada ángulo barrido por el carrito en radianes. - Determino la longitud del arco para cada curva. - Trazo el sector circular barrido en cada caso e identifico el ángulo central y longitud de arco.

Actividad 16

Figura 1

Problema 2Leo:Alfredo es el responsable de dar mantenimiento a una pista circular que es utilizada para el atletismo y patinaje. Las autoridades le han encargado que coloque sobre una tercera parte de la pista tartán de color celeste y en las otras dos terceras partes tartán de color rosa. La pista tiene un radio de 100 metros. La Figura 2 muestra la pista circular.

Leo la siguiente situación y resuelvo:

Figura 2

Tartanceleste

Tartanrosa

A

B

θ

Determino: - El área de tartán color celeste. - El área de tartán color rosa.

BC

A

r15 m

10 m

249Evaluación - UNIDAD 10-

UNIDAD10SESIÓN 16

Problema 3Leo:Un globo aerostático se eleva ante la mirada de Carlos (C), Diana (D) y Ariana (A), este globo luego de elevarse se detiene a una altura h. Cada uno de los tres amigos observa el globo con diferente ángulo de elevación, según se observa en la Figura 3. La distancia que se encuentran separados Ariana y Carlos es de 100 metros.

Resuelvo: - ¿Cuál es la altura a la que se encuentra el globo aerostático? - ¿Qué distancia están separados Carlos y Diana? - ¿Qué distancia están separados Diana y Ariana?

Dentro del globo viaja Ernesto y saluda desde una altura h a sus amigos. Respondo:

- ¿Cuál es el ángulo de depresión con el que Ernesto observa a Ariana? - ¿Cuál es el ángulo de depresión con el que Ernesto observa a Diana? - Trazo estos ángulos de depresión. - Trazo el triángulo ADE e identifico sus ángulos internos.

Recuerdo analizar y registrar mis progresos.

90 a 100: Lo logré con excelencia. Color verde oscuro

76-89: Lo logré. Color verde claro

60-75: Puedo mejorar. Color amarillo

0-59: En proceso. Color rojo

Figura 3

30o60o

E

C A

100 m

actividad 1as y... · actividad 5 paso 5 en la tabla 1 se muestra una lista de los ángulos...

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