act 1 revision de presaberes

ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA

299010- Matemáticas Especiales

Act. No. 1: Revisión de Presaberes

1

Lectura para activar conocimientos previos

Por Miguel Ángel Montes Montaño

El Cálculo es una rama de las matemáticas que tiende una cantidad de

aplicación en todos los campos del conocimiento científico y tecnológico,

ha sido una de las grandes conquistas intelectuales del ser humano. El

Cálculo unifica conceptos y métodos que los hombres de ciencias

estuvieron tratando de dominar por más de veinte siglos. Hay una larga

lista de científicos que trabajaron arduamente con los métodos

"infinitesimales" y que tardaron mucho tiempo para tener la suficiente

madurez matemática y científica para construir el Cálculo que en este

momento utilizamos.

Cuantificar sus aplicaciones no es nada fácil de calcular porque toda la

matemática actual ha recibido su influencia, y toda la estructuración

matemática interactúa muy a menudo toda la tecnología moderna y

ciencias naturales.

Se sabe que Newton y Leibniz son los inventores del cálculo y su

aplicación a los fenómenos físicos y ellos representan un parte de una

larga lista de científicos que iniciaron el estudio del cálculo muchos

siglos antes.

Sin la contribución de éstos dos científicos y de muchos otros hombres

más, el cálculo seguramente no existiría. Su construcción fue parte

importante de la revolución científica que vivió todo el mundo y

principalmente la Europa del siglo XVII. Aparte de este descubrimiento

que se hizo en matemáticas, el descubrimiento y desarrollo formal de

función fue uno de los importantes conceptos porque gracias a la idea se

pueden modelar y representar relaciones de fenómenos naturales.




2

Para definir el significado de la palabra función fue un problema

importante, algunos matemáticos que en esa época estaban trabajando

en ese campo, entre ellos, Euler, Lagrange y Fourier hicieron sus

aportes pero más adelante, Dirichlet fue el que realmente escribió la

definición de función tal como lo conocemos en la actualidad.

En el siglo XVIII, exactamente en 1821, Cauchy, matemático francés le

dio un enfoque lógico y apropiado del cálculo y escribió una definición

exacta de función continua. Apoyó su visión en los conceptos de

cantidades finitas y de límite para armar la estructura del cálculo y

estudiarlo tal como lo hacemos hoy en día. La solución de este problema

planteó un nuevo problema, el de enunciar el concepto lógico de número

real.

Durante buena parte del siglo, los matemáticos, después de Newton y

Leibniz, desarrollaron sus trabajos con los trabajos de estos dos genios

de la matemática con la finalidad de solucionar diferentes problemas de

física, astronomía e ingeniería, lo que les permitió, al mismo tiempo,

desarrollar nuevas ramas dentro de las matemáticas. El matemático

francés Lagrange, dio un tratamiento completamente analítico de la

mecánica newtoniana, realizó contribuciones al estudio de las

ecuaciones diferenciales y la teoría de números, y desarrolló la teoría de

grupos. Su contemporáneo Laplace escribió Teoría analítica de las

probabilidades y el clásico Mecánica celeste, que le valió el sobrenombre

de "el Newton francés".

Como podemos ver, el concepto de función, de derivada, de ecuaciones

diferenciales y de cálculo integral es básico para el estudio,




3

entendimiento, aplicación y solución de problemas de ingeniería y de

otras ramas de la matemática. Recordaremos estos conceptos que son

importantes para el estudio de la Transformada de Laplace, de la Serie y

Transformada de Fourier, así como de las funciones discretas y

continuas que tienen mucha aplicación en fenómenos de probabilidad y

de Transformada Z.

Empezaremos a recordar el concepto de razón de cambio instantáneo.

El concepto de razón de cambio instantáneo es hacer el intervalo de x

cada vez más "pequeños", es decir, si donde la flecha se

interpreta que delta de x tiende a cero, podemos concluir que el valor

"límite" cuando x tiende a un número es un valor de .

Para poder calcular la razón de cambio instantáneo tomamos el

incremento cada vez más y más pequeño, es decir, Δ x

tiende a cero, el cual expresamos así y observamos que en los

dos casos obtuvimos un valor "limite". A este proceso lo podemos

enunciar como "límite de , en lenguaje matemático se

escribe:

Su representación gráfica es tal como se muestra en la figura, en

en ese punto se encuentra la razón de cambio instantáneo.




4

Ejemplo

Encuentre la razón de cambio instantáneo de la función

cuando x=2.

Aplicando el concepto de razón de cambio instantáneo dado por:

Se elimina lo que están en rojo:

Eliminando lo que está en rojo y sustituyendo x=2 y , se tiene el

resultado:




5

2(2)+(0)=4

Este problema si lo resolvemos directamente utilizando una de las

formulas vistas en el curso de cálculo integral, es más fácil de resolver.

Otros conceptos que es importante recordar son: series e integral

definida.

En cursos anteriores se han estudiado las series de Maclaurin y de

Taylor; la idea central de esta temática es saber que toda función

continua en cierto intervalo se puede expresar mediante un polinomio,

como el siguiente ejemplo:

Exprese en serie de Maclaurin la función

Solución

Derivando 6 veces la función

Como una serie de Maclaurin se expresa:




6

Expresamos de esta forma la serie generada:

Otro concepto importante que hay que recordar es el de cálculo integral,

sobre todo el de integral definida. Este concepto trata sobre el cálculo

del área bajo la curva, tal como se observa en la figura:

En esta grafica se ve que el área que se va a calcular es de la que se

encuentra bajo la curva. Por ejemplo

Calcular el área bajo la curva de la función en el intervalo .

Aplicando el concepto de integral definida tenemos.




7

Las diferentes funciones que existen en el mundo de las matemáticas,

ha obligado a los matemáticos crear métodos de integración tales como:

Integración por partes, por fracciones parciales, por cambio de variable

de funciones algebraicas y trigonométricas.

Otra de la rama con mayor aplicación al campo de la ingeniería son las

ecuaciones diferenciales. Recordaremos que una ecuación diferencial es

aquella ecuación que intervienen derivadas de una o más funciones

desconocidas. Dependiendo del número de variables independientes

respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en:

Ecuaciones diferenciales ordinarias, son aquellas que contienen

derivadas respecto a una sola variable independiente y ecuaciones en

derivadas parciales son las que contienen derivadas respecto a dos o

más variables.

Por ejemplo

Si tenemos una ecuación diferencial de la forma y que remos

calcular su solución, lo primero que hay que hacer es ver de qué forma

la podemos resolver.

Eta ecuación se resuelve separando las variables:

Despejando y se llega a la solución: como pueden ver, se

obtiene una familia de curvas.

act 1 revision de presaberes

Documents