UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICAFACULTAD DE CIENCIAS DE INGENIERIA

ESCUELA ACADEMICA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL-HVCA

* CATEDRA : METODOS NUMERICOS APLICADOS* CATEDRATICO : ING. IVAN ARTURO, AYALA BIZARRO* ESTUDIANTE : QUISPE SANES, GABRIEL DAVID

* TEMA : SOLUCION DE ECUACIONES NO LINEALES(Metodo de Newton Rapshon).

APLICACION A LA INGENIERIA

Se tiene una viga de base igual a 0.25m y peralte h=0.60(Segun la figura).La caracterıstica delconcreto y acero es:

f ′c = 210kg/cm2

fy = 4200kg/cm2

Obtener la cantidad de aceros(∅ 1/2)

SOLUCION:

*Primero calculamos las reacciones en los apoyos fijos:

NOTA: Las reacciones en los apoyos se calculo por simetrıa

*Calculo y grafica de Momento Nominal(Mn):

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La ecuacion del Momento es: M = 5 ∗ x ;y el momento maximo se encuentro en la posicion4.25 m, que es equivalente a 21.125 Tn*m

*Datos y formulas necesarias para el calculo de Coeficiente de cuantia del acero(ρ):

∅ = 0,9 ;Mn = 21,25Ton ∗m ; b = 0,25m ;h = 0,6m

d = h− 0,05m −→ d = 0,6m− 0,05m = 0,55m

Mu = ∅ ∗Mn −→ Mu = 0,9 ∗ 21,125 = 19,125Tn ∗m

Ru = Mub∗d2 −→ Ru = 19,125Tn∗m

0,25m∗0,55m2 = 252,892562Tnm2

NOTA: Es importante hacer la conversion de las unidades de medida, antes de realizar las operaciones,

para no tener problemas en el transcurso del desarrollo del ejercicio.

f ′c = 210kg/cm2 −→ f ′c = 2100Tn/m2

fy = 4200kg/cm2 −→ fy = 42000Tn/m2

*Ecuaciones y datos necesarios para el calculo de Coeficiente de cuantıa del acero(ρ):

ECUACIONES:

f(ρ) = 0,59 ∗ fyf ′c∗ ρ2 − ρ+ Ru

φ∗fy = 0

f ′(ρ) = 1,18 ∗ fyf ′c∗ ρ− 1

DATOS:

fy = 42000Tn/m2; f ′c = 2100Tn/m2; φ = 0,9; Ru = 252,892562Tn/m2

*Simplificando las ecuaciones, reemplazando los valores correspondientes:

f(ρ) = 0,59 ∗ 42000Tn/m2

2100Tn/m2 ∗ ρ2 − ρ+ 252,892562Tn/m2

0,9∗42000Tn/m2

f(ρ) = 0,59 ∗ 42021∗ ρ2 − ρ+ 252,892562

37800

f(ρ) = 11,8 ∗ ρ2 − ρ+ 0,00669027941

f ′(ρ) = 1,18 ∗ 42000Tn/m2

2100Tn/m2 ∗ ρ− 1

f ′(ρ) = 1,18 ∗ 42021∗ ρ− 1

f ′(ρ) = 24,78 ∗ ρ− 1

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*Aplicacion de Metodo de Newton Rapshon para el calculo de Coeficiente de cuantıa del acero(ρ):

ρi = 0,5; Precision = 10−10

ρi+1 = ρi − f(ρi)f ′(ρi)

ITERACIONES:

No ρi f(ρi) f ′(ρi) ρi+1 Error0 0.5 2.4566902794 10.8 0.2725286778 0.22747132221 0.2725286778 0.6105697884 5.4316767968 0.1601195984 0.11240907942 0.1601195984 0.1491024534 2.7788225226 0.1064628959 0.05365670253 0.1064628959 0.0339726923 1.5125243435 0.0840019732 0.02246092274 0.0840019732 0.005953018 0.9824465682 0.0779425923 0.00605938095 0.0779425923 0.0004332499 0.8394451791 0.0774264777 0.00051611466 0.0774264777 0.0000031432 0.8272648737 0.0774226782 0.00000379957 0.0774226782 0.0000000002 0.8271752049 0.0774226780 0.00000000028 0.0774226780 0.0000000000 0.827175200 0.0774226780 0.0000000000

*Calculamos el area total de acero(As):

Cuantıa de acero(ρ) es:0,0774226780

b = 0,25m −→ b = 25cm

d = 0,55m −→ d = 55cm

As = ρ ∗ b ∗ d −→ As = 0,0774226780 ∗ 25cm ∗ 55cm −→ As = 106,4561823cm2

*Calculamos el area unitario del acero(Φ1/2):

d = 1/2′′ −→ d = 1/2 ∗ 2,54cm −→ d = 1,27cm

A = π ∗ d24−→ A = π ∗ 1,272

4−→ A = 1,266768698cm2

Cantidad de aceros = AsA

= 106,4561823cm2

1,266768698cm2 = 84,03758513 ∼= 84

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