abc gaceta

La Gaceta de la RSME, Vol. 11 (2008), Nm. 2, Pgs. 291308 291

El ABC de la Aritmtica

por

Xavier Xarles

Este artculo es una versin revisada, actualizada y (espero) mejorada del pu-blicado en cataln en [Xa], que a su vez fue una versin por escrito de la leccininaugural del curso 2004/05 de la Secci de Matemtiques de la Universitat Au-tnoma de Barcelona. Esta charla iba dirigida a alumnos de la licenciatura, y heintentado mantener el nivel suficientemente comprensible para no expertos en lamateria, aunque sin intencin de engaar al lector. De todos modos me guiar porla mxima de que las ideas predominen sobre las demostraciones.

Aunque est claro que no se pueden hacer Matemticas con medias verdades oengaos, es an ms cierto que no se pueden hacer sin ideas (aunque pueda parecerlopara un forneo). El objetivo de esta nota es explicar una intuicin que, por decirlo dealgn modo, justificara la verdad de muchos de los ltimos teoremas aritmticos. Porel camino haremos un repaso de algunos de los resultados recientes ms importantesde la teora de nmeros algebraica y la geometra aritmtica, intentando enfatizar lasideas comunes subyacentes y sus interrelaciones. De todos modos, animo al lectora profundizar en los resultados que considere ms interesantes en los numerosossurveys o directamente en los artculos originales.

Los problemas ms difciles y conocidos de la Aritmtica son casi siempre cues-tiones que relacionan las dos operaciones bsicas de los nmeros enteros: la suma y lamultiplicacin. As, por un lado, tenemos las conjeturas que relacionan los nmerosprimos (un concepto multiplicativo) y la suma, como la conjetura de Goldbach, ola conjetura de los primos gemelos, que involucra los primos y la resta (su versinms general, llamada a veces conjetura de Polignac1, afirma que cada nmero par esresta de dos nmeros primos de infinitas maneras). Otras relacionan suma y diviso-res, como la conjetura sobre la no existencia de nmeros perfectos impares. Y otras,sumas y potencias. En este artculo nos centraremos en estas ltimas.

1. Sumas de potencias

Empecemos por recordar el problema ms famoso del siglo pasado (o sea, elXX), resuelto en la ltima dcada del siglo: el (mal) llamado ltimo teorema deFermat, verificado por Andrew Wiles en 1994 [Wi], con la ayuda de Pierre de Fermat,Leonhard Euler, Gerhard Frey, Ken Ribet y Richard Taylor, entre otros.

Subvencionado parcialmente por el proyecto MTM2006-11391 del Ministerio de Educacin yCiencia.

1En realidad, la conjetura de Polignac afirma algo ms fuerte, y es que cada nmero par es ladiferencia de dos nmeros primos consecutivos de infinitas maneras.

292 El ABC de la Aritmtica

El ltimo Teorema de Fermat (Wiles, 1994). Sea n 3. Si tenemos enterosa, b y c tales que

an + bn = cn

entonces alguno de ellos es cero, o sea abc = 0.Concretamente, el resultado para n = 4 es de Fermat, para n = 3 es esencialmente

debido a Euler, y Wiles lo demuestra para n = p > 3 primo siguiendo una idea deFrey y un resultado de Ribet.

Despus de este resultado, se han usado las mismas tcnicas para probar otrosparecidos, como por ejemplo el siguiente, debido a Ken Ribet [Ri], Henri Darmony Loc Merel [D-M]: si n 3, y tenemos enteros a, b y c tales que an + bn = 2cn,entonces abc = 0 o bien a = b = c.

Otra conjetura famosa relacionada con la suma de potencias es la llamada conje-tura de Catalan (vase por ejemplo el artculo de Paulo Ribenboim [R1] o [R2]). Estaconjetura no es llamada as, aunque lo parezca, por su relacin con ningn cataln,sino por el primero que la formul, el matemtico belga Eugne Charles Catalan, enuna carta del ao 1844 al editor de la revista de Crelle2, publicada en el volumen 27de dicha revista.La conjetura de Catalan (Mihailescu, 2002). Sean a, b, c y d nmeros enterosmayores que 1. Si

ab = cd + 1

entonces a = 3, b = 2, c = 2 y d = 3.Esta conjetura fue casi demostrada por Robert Tidjdeman en 1976 [Ti], quien

prob que para nmeros enteros a, b, c y d suficientemente grandes la ecuacin notena solucin (dando incluso una cota explcita a partir de la cual la conjeturaera cierta, aunque demasiado grande para ser comprobada con un ordenador). Fi-nalmente, el 18 de abril de 2002, Preda Mihailescu anunci que haba encontradouna demostracin de la conjetura [Mi]. Puede verse un resumen de la demostracinen [Me], o bien en el seminario Bourbaki en [Bi].

Estos dos teoremas vienen a decir que la suma de potencias de nmeros enterossuficientemente grandes no puede ser una potencia de un nmero entero. Esto es loque afirma la siguiente conjetura, an no demostrada, llamada por algunos conjeturade Catalan-Fermat (aunque en esto no hay consenso: tambin es llamada conjeturade Beal y conjetura de Tdeman-Zagier).La conjetura de Catalan-Fermat. Si n, m y r son enteros mayores o igualesque 3, entonces

an + bm = cr

no tiene ninguna solucin con a, b y c enteros primos entre s y diferentes de cero.La historia de esta conjetura es bastante curiosa, ya que ha sido propuesta di-

versas veces en la historia de forma independiente. Parece ser que el primero enformularla fue Vigo Brun el ao 1914 [Br]. Segn Frits Beukers, Robert Tdeman

2Journal fr die reine und angewandte Mathematik.

La Gaceta ? Artculos 293

y Don Zagier la redescubrieron en 1994. Pero seguramente quien ms la popularizfue Andrew Beal (vase [Ma]), un multimillonario tejano y matemtico amateur3que, segn l mismo, tambin la redescubri en 1994, y la bautiz con su nombre,claro. Adems ha ofrecido un premio de 100 000 dlares4 para el primero que logreresolverla. En cualquier caso, el estudio de las ecuaciones de este tipo tiene una largahistoria que despus trataremos brevemente.

Antes de seguir, comentaremos la nueva condicin que aparece en esta conjetura:la necesidad de que a, b y c sean primos entre s. Sin esta condicin es fcil obtenersoluciones, como por ejemplo

274 + 1623 = 97.

Esto no es un caso aislado, dado que de hecho podemos encontrar infinitas solucionesno coprimas para cada eleccin n y m, sin ms que tomar r = n m+ 1.Ejemplo 1. Dados a, b, n y m, si llamamos c := an + bm, y d es mltiplo de n ym, entonces, multiplicando por cd a los dos lados de la igualdad, tenemos que

(c dn a)n + (c dm b)m = cd+1.

Obsrvese que esta condicin no apareca en los resultados anteriores porque, dehecho, estaba implcita en el enunciado. Por ejemplo, para el teorema de Fermat, sia, b y c verifican la ecuacin y no son coprimos, podemos dividir toda la ecuacin porsu mximo comn divisor elevado a n, obteniendo ahora una solucin que ya verificala condicin. Esto no es posible hacerlo si los exponentes no son todos iguales.

La conjetura de Catalan-Fermat ha sido explicitada an ms para incluir otroscasos. De hecho se sabe, como veremos ms adelante, que las soluciones coprimas dela ecuacin

xn + ym = zr

se comportan de forma diferente dependiendo del valor de su caracterstica

(n,m, r) := 1n

+ 1m

+ 1r.

Caso esfrico: Si 1n +1m +

1r > 1, entonces la ecuacin tiene, o bien infinitas

soluciones coprimas entre s, o bien ninguna; de hecho se pueden parametrizar, conparametrizaciones conocidas (algunas resueltas recientemente). En concreto, se tienelo siguiente:

{n,m, r} = {2, 2, s}, con s 2 es bien conocido (por ejemplo [Mo, p. 122]).{n,m, r} = {3, 3, 2} fue resuelto por Louis J. Mordell en 1969 ([Mo, p. 235]).{n,m, r} = {2, 3, 5} fue resuelto en parte por Frits Beukers, Steve Thiboutot yDon Zagier en 1998 [Be], y definitivamente por Johnny Edwards el 2001 [Ed].{n,m, r} = {2, 3, 4} fue resuelto casi totalmente por Don Zagier en 1998, ydefinitivamente por Johnny Edwards en 2001 [Ed].

3Tambin conocido por ser la persona que ms dinero ha ganado al pker en un solo da.4Vase la pgina www.bealconjecture.com.


Caso Eucldeo: Si 1n +1m +

1r = 1, entonces no hay soluciones aparte de las

triviales. Tenemos los casos{n,m, r} = {2, 4, 4}, resuelto por Pierre de Fermat.n = m = r = 3, resuelto por Leonhard Euler.{n,m, r} = {2, 3, 6}, la nica solucin es la trivial 16 + 23 = 32, y fue resueltopor Leonhard Euler.

Caso Hiperblico: Si 1n +1m +

1r < 1 (y por lo tanto

1n +

1m +

1r 4142 ), entonces

hay un nmero finito de soluciones. Los nicos casos con soluciones conocidas son:Si n > 6, la solucin general 23 + 1n = 32.Si {n,m, r} = {2, 3, 7} (nico caso en que 1n + 1m + 1r = 4142 , el valor mximo),todas las soluciones son (Bjorn Poonen, Ed Schaefer y Michael Stoll, 2004,[PSS]):1. 14143 + 22134592 = 657,2. 92623 + 153122832 = 1137,3. 27 + 173 = 712,4. 177 + 762713 = 210639282.

Si {n,m, r} = {2, 3, 8}, todas las soluciones son (Nils Bruin, 1999, [B1]):1. 338 + 15490342 = 156133,2. 438 + 962223 = 300429072.

Si {n,m, r} = {2, 3, 9}, todas las soluciones son (Nils Bruin, 2003, [B2]):1. 73 + 132 = 29.

Si {n,m, r} = {2, 4, 5}, todas las soluciones son (Nils Bruin, 1999, [B1]):1. 25 + 72 = 34,2. 35 + 114 = 1222.

Todos estos casos hiperblicos se han resuelto gracias a las ltimas herramientasdesarrolladas para el clculo efectivo de soluciones racionales de curvas algebraicas.Estas tcnicas muy recientes, concretamente las llamadas Chabauty-Coleman y Cha-bauty elptico, permiten certificar que las nicas soluciones de una cierta ecuacinson las de una lista previamente calculada, pero slo funcionan para determinadotipo de curvas y despus de clculos muy arduos con ordenador. Veremos un pocoms sobre ellas en la seccin 6.

Los nicos exponentes para los que se conoce alguna solucin son

{n,m, r} = {2, 3, 7}, {2, 3, 8}, {2, 3, 9}, {2, 4, 5}y se conjetura que no hay otras soluciones. Esto se sabe para algunos casos, porejemplo:

Para los valores {n,m, r} en que se conoce alguna solucin, se sabe que no hayms, tal como se indic arriba.


Para n = m > 3 y r = 2, se sabe que no hay soluciones, por Darmon y Merel[D-M] y Bjrn Poonen [Po], despus del resultado de modularidad de AndrewWiles [Wi] completado por Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond yRichard Taylor [BCDT].Para n = m > 2 y r = 3, se sabe que no hay soluciones, por Darmon yMerel [D-M] y Bjrn Poonen [Po].

Esta conjetura se puede inscribir en una conjetura an ms general que fueformulada por Henry Darmon y Andrew Granville el ao 1993 [D-G].La conjetura de Fermat Generalizada. Sean A, B y C tres nmeros enterosdiferentes de cero y primos entre s. Entonces hay un nmero finito de enteros xn,ym y zr, donde n, m y r son naturales con 1/n+1/m+1/r < 1 y x, y, z son enteroscon xyz 6= 0 y primos entre s, tales que

Axn +Bym = Czr.

Darmon y Granville demuestran que, si fijamos los exponentes n, m y r, hay unnmero finito de soluciones primitivas.Teorema 1 (Darmon-Granville [D-G]). Sean A, B y C tres nmeros enteros dife-rentes de cero y primos entre s, y sean n, m y r nmeros naturales con 1/n+1/m+1/r < 1. Entonces existe un nmero finito de enteros x, y, z, con xyz 6= 0 y primosentre s, tales que

Axn +Bym = Czr.

La demostracin se basa en el teorema de Faltings [Fa] (antes llamado conjeturade Mordell). Ms adelante comentaremos algo sobre este resultado de Gerd Faltings,y concretamente el hecho que sea un resultado slo de finitud de soluciones, sinninguna indicacin de cmo encontrarlas todas.

La idea comn a todas estas conjeturas (y principalmente la ltima) es la si-guiente mxima aritmtica: si sumas dos nmeros divisibles por potencias elevadasde enteros no puedes obtener un nmero divisible por una potencia elevada de unentero. Veremos que an se puede afinar mucho ms esta mxima en una inecuacinconjetural que resume la intuicin actual que tenemos de estos problemas.

Para llegar a esta formulacin razonaremos por analoga con los polinomios. stees de hecho un truco habitual en teora de nmeros: los enteros y los polinomios separecen tanto que muchos de los teoremas son idnticos en los dos casos, y, si no sonidnticos, son muy similares. Estas analogas han sido una gua constante en teorade nmeros los ltimos 100 aos, empezando por Richard Dedekind, David Hilberty Andr Weil (vase por ejemplo la carta publicada en [Kr]), y acabando por lasideas que llevaron a la geometra de Arakelov.

2. El ABC de los polinomios

Vamos a ver primero cmo muchos de los resultados que tanto cost demostrarpara los enteros son mucho ms fciles para los polinomios. Consideraremos en esta


seccin polinomios en una variable con coeficientes reales o complejos, aunque losmismos resultados (con las mismas demostraciones!) son igualmente vlidos con coe-ficientes en cualquier cuerpo de caracterstica 0 (e, incluso, de caracterstica positiva,con pequeas modificaciones).

El primer resultado se debe a Joseph Liouville en 1851 (aunque la demostracinque damos es posterior).Teorema 2 (Fermat Polinmico). Sea n 3 un entero. Entonces no existen polino-mios X(t), Y (t) y Z(t) con coeficientes en un cuerpo de caracterstica cero, primosentre s y de grado mayor que 0, tales que X(t)n + Y (t)n = Z(t)n.

Demostracin. Supongamos que existan tales soluciones. Derivamos respecto a ten la ecuacin X(t)n + Y (t)n = Z(t)n, dividimos por n (aqu es el nico sitio dondese usa la caracterstica cero), y obtenemos

Xn1X + Y n1Y = Zn1Z .

Multiplicamos la primera ecuacin por Y y la segunda por Y , y restamos, paraobtener

Xn1(XY Y X ) = Zn1(ZY Y Z ).Puesto que X y Z son primos entre s, obtenemos de esta ecuacin que Xn1 dividea ZY Y Z . Dado que Y y Z son primos entre s, ZY Y Z = Y 2(Z/Y ) 6= 0.

Consideremos ahora los grados de los polinomios. Tenemos que

(n 1) deg(X) deg(ZY Y Z ) deg(Y ) + deg(Z) 1,

o sean deg(X) < deg(X) + deg(Y ) + deg(Z).

Repitiendo el argumento para Y y para Z, tenemos tres inecuaciones que al sumarlasnos dan

n(deg(X) + deg(Y ) + deg(Z)) < 3(deg(X) + deg(Y ) + deg(Z))

y por lo tanto n < 3.

Observacin 1. Adems, la misma demostracin prueba que no tenemos solucionesen polinomios de grado mayor que 1 y primos entre s de la ecuacinX(t)n+Y (t)m =Z(t)r si n, m y r son mayores o iguales que 3.

El ao 1983, Richard C. Mason [Mas] descubri una desigualdad, que l llamdesigualdad fundamental, y que ahora denominamos teorema ABC polinmico,que generaliza este resultado y que de alguna forma descubre una propiedad fun-damental de la suma respecto del producto en el caso de los polinomios. De hecho,W. W. Stothers ya haba publicado este resultado en 1981 [St], aunque nadie cayen la cuenta de su importancia.


Antes de enunciar el teorema vamos a introducir una notacin usual. Llamamosradical de un polinomio P (t), y lo denotamos mediante rad(P (t)), al producto desus factores irreducibles sin repeticin. As,

rad(P (t)) :=

raz de P (t)

(t )

donde las races son en una clausura algebraica y sin repeticin.Teorema 3 (Mason, Stothers). Sean A(t), B(t) y C(t) tres polinomios no constan-tes con coeficientes en un cuerpo K de caracterstica 0, primos entre s, y tales queA+B = C. Entonces

max(deg(A),deg(B),deg(C)) < deg(rad(ABC)) = ]{ K | raz de ABC},donde K denota una clausura algebraica de K (y estamos usando ] para indicar elcardinal de un conjunto).

Daremos la demostracin casi elemental de Joseph Oesterl en [Oe].

Demostracin. Consideremos el polinomio

(t) :=A BA B

= A CA C = C BC B

;estas igualdades son fciles de comprobar usando, por ejemplo, operaciones elemen-tales de matrices. El hecho de que A y B son primos entre s nos da que 6= 0.

Vamos a ver que A, B y C dividen al polinomio (t) rad(ABC). Por simetra slotenemos que verlo para A. Supongamos que es una raz de A con multiplicidad e.Entonces (t )e divide a A(t) y (t )e1 divide a A(t); por lo tanto (t )edivide a

(t)(t ) = (AB BA)(t ),lo que demuestra la afirmacin.

Dado que A, B y C son primos entre s, obtenemos que ABC divide al polinomio(t)

(t ). Para concluir slo es necesario observar que

deg() deg(A) + deg(B) 1y que

deg(A) + deg(B) + deg(C) deg() + deg(rad(ABC)).Combinando las dos desigualdades nos da la desigualdad buscada para deg(C). Porsimetra, lo mismo ocurre con A y B.

Vamos a ver que la conjetura de Catalan-Fermat para polinomios se deduceinmediatamente de este resultado. De hecho se deduce un resultado an ms fuerte.Corolario 1. Sean A(t), B(t) y C(t) tres polinomios no constantes, con coeficientesen un cuerpo de caracterstica 0, primos entre s, y tales que A+B = C. Entonces

deg(rad(A))deg(A) +

deg(rad(B))deg(B) +

deg(rad(C))deg(C) > 1.


Demostracin. Podemos suponer que max(deg(A),deg(B),deg(C)) = deg(C).Entonces el teorema ABC polinmico nos dice que

deg(C) < deg(rad(ABC)) = deg(rad(A)) + deg(rad(B)) + deg(rad(C)).

Dividiendo por deg(C) obtenemos

1 < deg(rad(A))deg(C) +deg(rad(B))

deg(C) +deg(rad(C))

deg(C)

deg(rad(A))deg(A) +deg(rad(B))

deg(B) +deg(rad(C))

deg(C) .

Obsrvese que deg(C)deg(rad(C)) es la media aritmtica de las multiplicidades de los cerosde C. Este corolario nos dice as que la media armnica de las medias aritmticasde las multiplicidades de los ceros es menor que 3. La demostracin del siguienteresultado es inmediata a partir de aqu.Corolario 2 (Catalan-Fermat polinmico). Sea n, m y r enteros positivos talesque 1n +

1m +

1r < 1. Entonces no existen polinomios X(t), Y (t) y Z(t), primos entre

s y de grado mayor que 0, tales que X(t)n + Y (t)m = Z(t)r.Vamos a ver en la siguiente seccin cmo podemos traducir este resultado a una

conjetura plausible para nmeros enteros.

3. En busca del ABC perdido

El primer concepto que necesitamos traducir de polinomios a enteros es el deradical de un nmero. Esto est claro: dado que lo anlogo de los factores irreduciblesde un polinomio es, para enteros, los factores primos, el radical de un nmero enterodiferente de 0 (tambin llamado conductor del nmero) es el producto de los nmerosprimos diferentes que dividen al nmero dado. As, si

n = pe11 perr con pi 6= pj si i 6= j, pi nmeros primos,

entoncesrad(n) := p1 pr.

Llamaremos triple ABC a una terna de nmeros enteros diferentes de 0 y primosentre s dos a dos tales que A+B = C.

As, podramos pensar, de forma muy naf, que el anlogo del teorema ABC paraenteros podra ser que, dado un triple ABC, el nmero de factores primos de Ccontados con multiplicidad (llamado habitualmente (C)) es menor que el nmerode factores primos del radical de ABC (llamado tambin (ABC)). O seaConjetura muy naf:

Si A+B = C, con (A,B) = 1, entonces (C) (ABC).


Pero esta conjetura es claramente falsa! Por ejemplo, si tenemos un primo deMersenne, o sea un primo q := 2p 1, con p primo, entonces tenemos el triple ABCq+ 1 = 2p, y se cumple que (C) = (2p) = p, y (ABC) = (q2p) = 2. Obsrveseque se conjetura la existencia de infinitos primos de Mersenne, y se conocen primosde Mersenne muy grandes, as que no es posible esperar este resultado ni tan siquieramodificando la conjetura naf con una constante:Conjetura muy naf modificada: Existe K > 1 constante tal que

si A+B = C, con (A,B) = 1, entonces (C) K(ABC).

El punto clave est en pensar que el grado de un polinomio irreducible no es iguala uno si el cuerpo no es algebraicamente cerrado, y que los enteros se parecen msa los polinomios sobre (por ejemplo) el cuerpo de los racionales que sobre el cuerpode los complejos.

Por lo tanto primero tenemos que encontrar cul puede ser el anlogo del gradopara un entero. Observemos que el grado es una funcin que asigna a cada polinomioun nmero, y que el grado del producto es la suma de los grados. Si queremosuna funcin que cumpla esto ltimo para los enteros positivos, y queremos que seextienda a los reales positivos de forma continua, entonces la funcin tiene que serun logaritmo. Este hecho es bien conocido para los expertos en teora analtica denmeros, que dicen que los primos p se cuentan mejor con peso log(p).

As podramos conjeturar que se cumpleConjetura naf:

Si A+B = C, con (A,B) = 1, entonces log(|C|) log(rad(ABC)),

o, equivalentemente, que

si A+B = C, con (A,B) = 1, entonces max(|A|, |B|, |C|) rad(ABC).

Ahora bien, esta ltima conjetura an no es cierta, aunque parece un poco mscierta que la anterior. Por ejemplo, tenemos que 1+8 = 9, de donde debera seguirseque 9 < 2 3 = 6, y tambin que 1 + 63 = 26, de donde tendramos que 26 = 64 1 constante tal que

si A+B = C, con (A,B) = 1, entonces max(|A|, |B|, |C|) K rad(ABC).

Pero incluso esta conjetura es tambin falsa, como prueba el ejemplo siguiente.Contraejemplo 1. Sea p un nmero primo, y consideremos

A = 2pr1(p1), B = 1 y C = 2pr1(p1) 1.


Entonces pr divide a c, por el teorema de Fermat-Euler, ya que

(pr) = pr1(p 1) y 2pr1(p1) 1 (mod pr).

Por lo tanto tenemos que rad(ABC) 2c/pr1. As, si la desigualdad fuera ciertatendramos que K pr1/2 para todo nmero primo p y todo r 2.

Antes de darnos por vencidos, observemos que, si hubiramos puesto la constan-te K en la primera versin de la conjetura naf, habramos obtenido otra posiblemodificacin.Conjetura naf modificada de otra forma: Existe K > 1 constante tal que

si A+B = C, con (A,B) = 1, entonces log(|C|) K log(rad(ABC)),

o, equivalentemente, que

si A+B = C, con (A,B) = 1, entonces max(|A|, |B|, |C|) rad(ABC)K .

Finalmente hemos llegado a una conjetura que parece plausible. De hecho laconjetura ABC es una conjetura un poco ms fuerte que esta conjetura, poniendola constante K = 1 + , y diciendo que la desigualdad es vlida para todo > 0 simultiplicamos el radical por una constante que slo depende de .La conjetura ABC (Masser y Oesterl). Para todo > 0, existe una constanteK tal que, si A+B = C con A, B y C enteros primos entre s, entonces

max{|A|, |B|, |C|} K rad(ABC)1+.

Una versin un poco ms dbil de la conjetura fue la que formul Oesterl origi-nariamente en [Oe]. Dado un triple ABC, definamos

L(A,B,C) := log max(|A|, |B|, |C|)log rad(ABC) .

La conjetura afirma que, para todo K > 1, existe slo un nmero finito de triplesABC tales que

L(A,B,C) > K.

An hay otra versin mucho ms dbil de la conjetura, pero de la cual se decidi-ran an la validez de conjeturas como la de Catalan-Fermat de modo asinttico.La conjetura ABC dbil (Masser y Oesterl). Para todo > 0, existe una cons-tante K tal que, si A+B = C con A, B y C enteros primos entre s, entonces

|ABC| 13 K rad(ABC)1+.

Y hay adems una serie de conjeturas ms especficas y/o ms fuertes, dos de lascuales detallamos a continuacin (vase la pgina de Abderrahmane Nitaj [Ni] paramuchas otras):


K1 = 1, o seamax{|A|, |B|, |C|} rad(ABC)2.

(Granville) Si (N) es el nmero de enteros menores o iguales que N talesque todos sus factores primos son factores primos de N , entonces existe unaconstante absoluta K tal que

max{|A|, |B|, |C|} K(rad(ABC)) rad(ABC).

4. Algunas consecuencias de la conjetura ABC

Vamos a empezar por ver cmo todas las conjeturas de la primera seccin, enconcreto la conjetura de Catalan-Fermat y la conjetura de Fermat Generalizada, sepueden deducir (en algunos casos de forma dbil) de la conjetura ABC.

Supongamos que tenemos n, m y r enteros positivos y a, b y c enteros primosentre s y positivos, tales que

an + bm = cr,con 0 < an bm < cr.

La conjetura ABC implica que

cr K rad(abc)1+ K(abc)1+.Dado que a < cr/n y que b < cr/m, tenemos

cr K(c1+ rn+ rm )1+.De este modo

c1(1r+

1n+

1m )(1+) K 1r .

De aqu obtenemos, por ejemplo, que, si 1r +1n +

1m 1 , entonces

0 < an < bm < cr K2y por lo tanto slo puede haber un nmero finito de soluciones. Adems, si conocemosla constante K, podemos calcular todas las soluciones explcitamente. Dado que1r +

1n +

1m < 1 implica

1r +

1n +

1m 4241 , sera suficiente conocer la conjetura para

algn < 141 .En caso de que supisemos que K1 = 1, obtendramos tambin que, si

an + bm = cr,

con (a, b) = 1, entonces 1r +1n +

1m 12 . Por lo tanto lo reduciramos a probar unas

cuantas familias de ecuaciones en las que 1r +1n 12 (por ejemplo, n = m = 3, r

cualquiera), y una lista finita de casos excepcionales (por ejemplo n = 3, m = 7 y7 r 42).

De la misma forma se puede analizar la conjetura de Fermat Generalizada. Fa-mos A, B y C enteros positivos diferentes de cero y primos entre s, n, m y r enteros


positivos con 1/n+ 1/m+ 1/r < 1, y enteros positivos x, y, z con xyz 6= 0 y primosentre s, tales que Axn +Bym = Czr. Vamos a demostrar que hay un nmero finitode xn, ym y zr verificando estas condiciones.

Primero, podemos suponer z > 1, ya que con z = 1 hay claramente un nmerofinito de soluciones xn e ym. Sea d el mximo comn divisor de Axn, Bym y Czr(est claro que hay slo un nmero finito de posibles valores para d). Aplicando laconjetura ABC al triple (Axn/d,Bym/d, Czr/d), tenemos que

Czr/d K rad(ABCxnymzr/d3)1+.

Por tanto, tenemos una constante L(A,B,C), que depende de , A, B y C, tal que

zr L(A,B,C)(xyz)1+.

Puesto que Axn < Czr, se cumple x < C/Azr/n, e igualmente y < C/Bzr/m. Astenemos otra constante L(A,B,C) que depende de , A, B y C tal que

zr L(A,B,C)zr(1+)(1/n+1/m+1/r).

En consecuencia,(zr)1(1+)(1/n+1/m+1/r) L(A,B,C).

Dado que 1/n+1/m+1/r 41/42, tomando > 0 suficientemente pequeo (menorque 1/41), podemos asegurar que 1 (1 + )(1/n+ 1/m+ 1/r) > 0, y por lo tantozr est acotado en funcin de A, B y C, de donde se deduce que xn y ym tambinlo estn.

5. Qu sabemos de la conjetura ABC?

Obsrvese que de la conjetura ABC podemos deducir lo siguiente: Femos unconjunto finito de nmeros primos S, y consideremos el subconjunto de los enterosSZ formado por los enteros con factores primos slo en S. Entonces slo hay unnmero finito de triples ABC con A+B = C y primos entre s con A, B y C en S.

Este resultado es bien conocido, y su demostracin se remonta a Siegel y a Mah-ler. De hecho el problema es equivalente a la resolucin de la llamada ecuacin deS-unidades (o S-unit equation). Se trata de resolver la ecuacin a + b = 1 con a yb nmeros racionales (tomando (a, b) = (A/C,B/C)) que son unidades en el anilloZ[1/S] obtenido de Z invirtiendo todos los primos en S. Las tcnicas de aproxima-cin diofntica han permitido durante el siglo XX estudiar con detalle este tipo deecuaciones.

De hecho se conocen cotas para el nmero de soluciones de la ecuacin que slodependen del nmero de primos escogidos, y no de los primos en s. Concretamente,Jan-Hendrik Evertse [Ev] demostr que el nmero de soluciones est acotado supe-riormente por exp(4s+6), donde s es el nmero de elementos en S. Tambin se sabeque, para cada > 0, hay conjuntos S de s primos, con s arbitrariamente grande,que tienen ms de exp(s2

2) soluciones [K-S].


Tambin se conocen mtodos para encontrar, dado S, todas las soluciones dealgunas de estas ecuaciones. Por ejemplo, y slo por citar un caso bien conocido,tenemos el teorema clsico de Carl Strmer [Sto], que analiza el caso en que A = 1,dando un algoritmo para encontrar todas las soluciones. En general, se pueden darcotas especficas para el tamao de las soluciones, dependiendo de los primos queaparecen en S, como veremos a continuacin.

Usando el mismo tipo de tcnicas salidas de la teora de trascendencia, esen-cialmente el estudio de las formas logartmicas, se conoce un resultado, debido aCameron L. Stewart y Kun Rui Yu [S-Y1], [S-Y2], mucho ms cercano a la conjetu-ra ABC. Concretamente Stewart y Yu demostraron que el valor absoluto de c en laconjetura ABC est acotado en funcin del radical de abc, aunque la cota que obtu-vieron depende exponencialmente del radical (y no polinomialmente tal y comopredice la conjetura).Teorema 4 (Stewart y Yu, 2002). Existe una constante efectivamente calculable Ctal que, si a+ b = c con a, b y c enteros primos entre s, entonces

max{|a|, |b|, |c|} exp(C rad(abc)1/3(log rad(abc))3).Finalmente, sabemos que la conjetura ABC se puede deducir de algunas con-

jeturas que son versiones efectivas (o ms efectivas) de teoremas conocidos. En lasiguiente seccin veremos en detalle uno de estos resultados fundamentales y cmose relaciona directamente con la conjetura ABC.

6. ABC y Mordell efectivo

Aunque ya hemos visto en la seccin 3 que la conjetura ABC resolvera afirmati-vamente las conjeturas de la primera seccin, esto an no es suficiente para afirmarque sea una panacea de la aritmtica (o cura universal para mltiples problemasaritmticos). A pesar de ello, vamos a ver que, tal como prob Noam Elkies en 1991,la conjetura ABC (o una versin efectiva de ella) resolvera mucho ms de lo queaparentemente hace.

Para ello consideraremos el siguiente problema fundamental de la aritmtica (yde la geometra aritmtica): dado un polinomio f(x, y) Q[x, y] con coeficientesracionales, se trata de determinar si tiene o no soluciones, si tiene un nmero finitoo infinito de ellas, y, en el caso que haya un nmero finito, calcular efectivamentetodas las soluciones.

Una idea fundamental en aritmtica, desarrollada durante el siglo XX, es queel comportamiento aritmtico de la ecuacin f(x, y) = 0 (por ejemplo, que tenga ono un nmero finito de soluciones) est determinado por la geometra (en C) de lacurva asociada, y concretamente por su gnero (que es un invariante topolgico dela curva proyectiva definida por f(x, y) = 0 sobre C).

El gnero es un nmero natural asociado a toda curva algebraica, que coincidecon el gnero topolgico de la superficie dada por los puntos en C en el caso nosingular. Por ejemplo, si consideramos un polinomio g(x) Q[x] en una variablede grado d y sin races mltiples en C, entonces el polinomio f(x, y) = y2 g(x)


tiene gnero g igual a la parte entera de (d 1)/2 (si d = 3, esto da lugar a lasdenominadas curvas elpticas y, si d > 4, a las curvas hiperelpticas). Y si tomamosf(x, y) := ydg(x/y) a, donde a 6= 0 es un nmero racional (as se obtienen lascurvas de Thue5), entonces el gnero es igual a (d 1)(d 2)/2.

En el caso en que el gnero es 0, la ecuacin o bien no tiene soluciones o bien tieneun nmero infinito de ellas (y de hecho parametrizables por funciones racionales). Siel gnero es 1, entonces la determinacin de si tiene o no un nmero finito o infinito desoluciones depende, segn la famosa conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer6, de otroinvariante (que esencialmente cuenta cuntas soluciones tiene la ecuacin mdulo pal variar los primos p).

Y finalmente, si el gnero es 2 o superior, entonces el nmero de soluciones esfinito. Este resultado, debido a Gerd Faltings [Fa] y por el que se le concedi lamedalla Fields, es uno de los grandes logros de la geometra aritmtica. Pero tieneun hndicap importante para los que quieren resolver ecuaciones concretas: queaparte de decirnos que slo hay un nmero finito de soluciones, no nos dice (casi)nada ms.

Para atacar el problema del cmputo explcito de todas las soluciones de unaecuacin dada, se han desarrollado ltimamente varias tcnicas que permiten estarseguros de tener todas las soluciones despus de largos clculos con la ayuda delordenador. Estas tcnicas, salidas de un mtodo debido a Claude Chabauty y refi-nado por Robert Coleman, pasan por calcular el grupo de puntos racionales de lajacobiana de la curva, clculo que en principio es posible7, pero que en la prcticapuede ser muy largo. El mtodo original, adems, slo poda aplicarse bajo ciertascondiciones restrictivas, aunque se ha modificado para, en principio, poder aplicar-se iterativamente a curvas obtenidas a partir de la original (y esperar que siemprelleguemos a una que verifique las condiciones). Puede consultarse el artculo [PSS]para ver ejemplos de cmo usar estos mtodos.

Por otra parte, dado que el nmero de soluciones racionales es finito, debera serposible dar una cota para el tamao de las soluciones en funcin de los coeficientesde f . El problema, llamado de Mordell efectivo (o Faltings efectivo), consiste pre-cisamente en esto: encontrar una frmula en trminos de los coeficientes de f de lallamada altura de una solucin. Si (a, b) Q, y escribimos a = A/C y b = B/Ccon A, B y C enteros primos entre s, entonces la altura de (a, b) es, por definicin,H(a, b) := max(|A|, |B|, |C|). Obsrvese que slo hay un nmero finito de puntos ra-cionales con altura acotada superiormente por una constante, y adems es fcil darla lista completa. Por lo tanto, si tuviramos Mordell efectivo, podramos calcularla lista de todas las soluciones racionales simplemente probando para cada punto dela lista si es o no solucin.Teorema 5 (Elkies, 1991). Si la conjetura ABC es cierta para todo , entoncesMordell efectivo es cierto. Adems la cota efectiva depende de conocer los valores K.

5Por Axel Thue, quien demostr que, si d > 2 y g(x) tiene coeficientes enteros, entonces f(x, y) =0 tiene un nmero finito de soluciones enteras.

6Famosa principalmente por ser uno de los siete problemas del milenio.7Aunque la demostracin de que los mtodos conocidos siempre funcionan pasara por la reso-

lucin de una conjetura de Tate y Shafarevich.


La demostracin de este teorema usa un resultado sorprendente de G. V. Bely8[B]: para toda curva dada por un polinomio con coeficientes en Q existe una funcinracional F de la curva ramificada slo en 0, 1 e 9. La construccin de esta funcines totalmente efectiva, y est relacionada directamente con la teora de dibujos denios (o dessins denfants10). Por ejemplo, para la curva de Fermat xn + yn = 1,la funcin F (x, y) = xn cumple las condiciones: salvo para los valores x = 0 y paraxn = 1 (y x =), la antiimagen de x respecto a F (en la curva) tiene exactamenten2 puntos (sin multiplicidad) en C (esto nos dice que la funcin F tiene grado n2como funcin de la curva).

La idea de la demostracin es usar esta funcin F para ver que cualquier solucinracional de la curva que no sea ramificada para F nos da un triple ABC con radicalpequeo respecto a C (vanse los detalles en [E]).

Para ver el resultado es til considerar la siguiente conjetura equivalente a laconjetura ABC: dados dos nmeros racionales a y b con a + b = 1, la altura de(a, b) est acotada por el producto de los primos p en los que a 0, 1 o (mod p)elevado a 1 + por una constante que depende de . Esta versin de la conjeturapermite, adems, generalizar la conjetura ABC a otro tipo de nmeros: si K es uncuerpo de nmeros (una extensin finita de Q), entonces tenemos nociones anlogasde altura de un punto de K2 y radical (o conductor) de un nmero, y la conjeturaABC uniforme de Andrew Granville y H. M. Stark [G-S] predice lo siguiente:La conjetura ABC uniforme (Granville y Stark). Dado > 0, existe una cons-tante K tal que, para todo par (a, b) K2 con a+ b = 1 se tiene

HK(a, b) < K [K:Q] (|DK | radK(a, b))1+,

donde DK denota el discriminante de K/Q.Otras conjeturas menos ambiciosas proponen que existe una constante dependien-

te del cuerpo K, sin especificar cmo depende, para la cual se cumple la conjectura.Esta conjetura uniforme est en parte justificada por una conjetura de Vojta [Vo]y por la gran conjetura de Mordell, llamada conjetura de Lang, que generalizanel teorema de Faltings a cualquier dimensin. Esta ltima ltima conjetura implica,tal como demostraron Lucia Caporaso, Joe Harris y Barry Mazur (vase [CHM])que existe una cota absoluta (o uniforme) dependiente slo del gnero de la curva,para el nmero de soluciones racionales de una curva definida en Q. Por ejemplo,esto implicara que existe un nmero N tal que toda ecuacin de la forma y2 = p(x),con p(x) un polinomio con coeficientes en Q, de grado 5 y sin races repetidas en C,tiene a lo sumo N soluciones racionales11.

8Gennadii Vladimirovich Bely.9De hecho, el teorema es mucho ms fuerte: una curva definida sobre C es isomorfa a una curva

definida sobre la clausura algebraica de Q si y slo si existe una funcin racional de la curva queslo ramifica en 0, 1 e .

10Una idea introducida por Alexander Grothendieck despus de saber del resultado de Belyen su famoso Esquisse dun programme, y que permitira estudiar la aritmtica de las curvascombinatoriamente.

11Este resultado es visto de hecho por algunos como un indicio en contra de la conjetura de Lang.


Por otro lado, una cierta versin de la conjetura efectiva de Mordell implicarala conjetura ABC, o por lo menos la versin dbil. De hecho, Laurent Moret-Bailly[MB] demostr que si tenemos buenas cotas para la altura de las soluciones de laecuacin y2 + y = x5 en los cuerpos de la forma K := Q( 5

m), con m un entero,

en funcin del discriminante del cuerpo de una forma concreta (lo que l llamahiptesis ME), entonces la conjetura ABC es cierta para un cierto . El hecho deque sea especficamente esta ecuacin no es importante: lo importante es que slonecesitamos Mordell efectivo para una curva concreta pero, esto s, en una familiainfinita de cuerpos.

Adems de estos resultados, se sabe que la conjetura ABC es equivalente a va-rias versiones ms explcitas de teoremas famosos, como por ejemplo el Teorema deRoth de aproximacin diofntica, o el teorema de Siegel sobre soluciones enteras deecuaciones en dos variables, e implica algunas otras conjeturas como la conjetura deSchinzel-Tdeman sobre cundo un polinomio toma valores que son poderosos12, eincluso la finitud de soluciones de la ecuacin n! + 1 = m2 (Paul Erds conjeturque las nicas soluciones son n = 4,m = 5; n = 5,m = 11; y n = 7,m = 71). Enel artculo de Andrew Granville y Thomas J. Tucker [G-T] se comentan con msdetalle algunas de estas relaciones, y en la pgina de Abderrahmane Nitaj [Ni] sepuede ver una lista bastante exhaustiva de todas ellas.

El resumen final podra ser que la conjetura ABC no es slo otra conjetura ms delas muchas que hay en la aritmtica; es una conjetura clave cuyo principal mrito es,adems de tener un enunciado muy elemental, el hecho de situarse de forma centralen numerosos resultados y conjeturas del final del siglo XX y principios del XXI. Conmucha seguridad podemos predecir que servir de gua, por lo menos implcitamente,de muchos de los resultados futuros, y tanto si resulta ser cierta como falsa, nosproporcionar una mayor comprensin de la relacin, an tan incomprendida, entrela suma y las propiedades multiplicativas de los nmeros enteros.

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Xavier Xarles, Departament de Matemtiques, Universitat Autnoma de Barcelona,08193 Bellaterra, BarcelonaCorreo electrnico: [email protected] web: http://mat.uab.cat/~xarles/

abc gaceta

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