1

MÉTODO GEOESTADÍSTICO Introducción La Geoestadística no es la aplicación de la Estadística a la Geología, sino más bien una metodología utilizada para la evaluación de recursos, derivada de la Estadística por generalización de muchos de sus conceptos y creación de otros. La Geoestadística tuvo su origen en los problemas de estimación de reservas, nació en los años 60’ como consecuencia de trabajos de aplicación de la estadística a la estimación y evaluación de yacimientos realizados por Wijs, Sichel, Krige y otros. Fue consolidada por G. Matheron, de la Escuela Francesa, quién en los años 70, formalizó en un lenguaje riguroso las observaciones experimentales de la Escuela Sudafricana representada por el Dr. Krige; así se sentaron las bases de lo que se conoce como la Teoría de la Variable Regionalizada. En la actualidad es amplio su uso en la esfera internacional en instituciones que utilizan sus bondades en las Ciencias de la Tierra, existiendo dos polos fundamentales: El Centro de Geoestadística de la Escuela Superior de Minas de París, Fontainebleau, Francia y la Universidad de Stanford, Estados Unidos. El objetivo principal de la Geoestadística es, estimar en el espacio valores de variables desconocidas. Estas variables representan fenómenos naturales que están distribuidos geográficamente, por ejemplo: mineralizaciones, fenómenos estructurales, ambientales, etc. La Geoestadística calcula, a partir de información fragmentaria, valores de un determinado parámetro en los nodos de una grilla regular creada para un fin determinado, además suministra una medida del error de estimación. Ningún método de estimación puede determinar de forma exacta un valor desconocido, siempre existe un error, la Geoestadística permite calcularlo. A partir de los valores asignados a la malla regular se pueden realizar:

Mapas de isovariabilidad (isoleyes, isopacas, isodensidades. etc.) Mapas de errores Estimación por bloques de reservas Estimación por estratos o bancos Estimación de reservas totales

Variables regionalizadas En términos mineros se define la geoestadística como la aplicación de la teoría de las variables regionalizadas a la estimación de los recursos mineros. Una variable regionalizada es una función que representa la variación en el espacio de una cierta magnitud asociada a un fenómeno natural. Un punto del espacio se representa por la letra x. Por ejemplo la ley en el punto x se representa por z(x). Por consiguiente, z(x) puede significar: z(x) si el problema es unidimensional (1-D) z(x, y) si el problema es bidimensional (2-D) z(x, y, z) si el problema es tridimensional (3-D)

Ejemplo de una variable unidireccional z(x): muestro en canaletas en una galería

2

En el espacio de dos dimensiones, sea z(x, y) = potencia mineralizada en un yacimiento

En el espacio de tres dimensiones, sea z(x, y, z) = Ley en el punto x dentro de un depósito masivo

Observación: Los ejemplos anteriores nos muestran que una variable regionalizada es simplemente una función z(x) del punto x. Sin embargo, esta función no se comporta como las funciones estudiadas anteriormente; en general z(x) es muy desordenada en su variación espacial. Para interpretar el fenómeno de la variabilidad vemos el ejemplo siguiente: Cuando se tratan datos, como las leyes de la tabla siguiente, repartidos en un espacio XY, y asignamos a cada muestra un símbolo con una dimensión proporcional a su valor; como lo muestra la figura 1: Muestra g/t Muestra g/t Muestra g/t Muestra g/t

1 0,3 17 0,5 33 0,7 49 0,4 2 0,3 18 1,5 34 0,6 50 0,9 3 0,4 19 1,7 35 2,9 51 0,5 4 0,8 20 1,8 36 2,4 52 0,9 5 0,4 21 0,4 37 2,7 53 0,4 6 0,3 22 0,3 38 1,2 54 0,4 7 1,9 23 0,3 39 0,4 55 0,6 8 2.0 24 0,5 40 2,7 56 0,3 9 0,6 25 1,0 41 2,3 57 0,3 10 2,2 26 1,3 42 1,8 58 0,4 11 0,5 27 0,6 43 1,9 59 0,4 12 0,4 28 1,9 44 2,4 60 0,5 13 0,4 29 3,5 45 0,5 61 0,4 14 0,4 30 0,5 46 1,6 15 0,9 31 0,9 47 2,3 16 0,3 32 0,4 48 0,3

3

Figura 1: Distribución de las leyes en el espacio bidimensional

Para este conjunto de datos representados en el plano provenientes de la planilla, la media es de 0,95 % y la desviación estándar es de 1,20 %.

La figura 2 muestra la representación tridimensional de la distribución de las leyes de ese muestreo.

En la figura 3 se muestra un nuevo conjunto de datos equivalente al anterior en cuanto al número de muestras y ubicación, pero los valores de las leyes han cambiado de posición, o sea otro tipo de distribución de las leyes en el espacio.

La figura 4 muestra la representación tridimensional de la distribución anterior

Si realizamos los cálculos estadísticos correspondientes observaremos que la media nuevamente es 0,95 % y la desviación estándar igual a 1,20 %. O sea, los conjuntos de muestras 1 y 2 son estadísticamente equivalentes. Sin embargo, es evidente que la distribución espacial XY de los valores es totalmente diferente en cada caso: en el primero se observa una gran dispersión de

4

valores, mientras que en el segundo las leyes se agrupan en dos direcciones bien definidas, estamos en dos mineralizaciones diferentes. Resulta claro que la Estadística clásica no resulta una herramienta útil para tratar estos casos, con su concepto de variables independientes no nos permite representar en su totalidad nuestro fenómeno natural donde existe cierta dependencia entre variables. La estructura regional de nuestro fenómeno solo se puede manifestar si hacemos intervenir la posición geográfica de las leyes, o sea para cada muestra la coordenada XYZ. Surge ahora la pregunta ¿Cómo relacionamos entre sí estos valores que tienen una posición en el espacio?, aparece allí la Variable regionalizada. Las variables regionalizadas son funciones que describen fenómenos naturales que están distribuidos geográficamente en el espacio. Se considera una variable regionalizada Zx al valor en un punto de una característica Z del fenómeno de estudio (por ejemplo leyes). Es toda aquella propiedad que varía de un punto a otro, dependiendo ésta de su ubicación en el espacio.

Volviendo a nuestro ejemplo; si consideramos solo los valores de las leyes sin tener en cuenta su ubicación, estamos tratando variables aleatorias y trabajamos en el campo de la Estadística. Cuando asociamos a cada valor las coordenadas del punto donde fue extraída la muestra, estamos tratando

variables regionalizadas y podemos entrar en el campo de la Geoestadística. Una variable regionalizada tiene propiedades intermedias entre una variable verdaderamente aleatoria y una completamente determinística, por lo tanto presentan dos aspectos: Aspecto aleatorio, que caracteriza la gran irregularidad de estas variables consideradas

puntualmente. Aspecto estructural, que refleja el carácter regionalizado y global del fenómeno.

En el campo minero y geológico encontramos muchos ejemplos de variables regionalizadas: * La ley de un metal en un yacimiento minero (Espacio de 2 y 3 dimensiones) * La potencia de un depósito sedimentario (Espacio de 2 dimensiones) * El precio de los metales a través del tiempo (Espacio de 1 dimensión) La definición rigurosa de variable regionalizada sería: “Toda variable en el espacio n-dimensional que toma valores para un soporte dado, al desplazarse éste en un campo dado”. Campo y soporte El campo o dominio D es la región del espacio en el que la variable es definida y susceptible a asumir determinado valor (por ejemplo, el yacimiento, una zona alterada, un acuífero, etc.). Los valores de las variables regionalizadas son conocidos solo a través de las muestras; el tamaño, forma, orientación y configuración espacial de esas muestras constituye el soporte de la variable regionalizada, un soporte puede ser un testigo de diamantina, una muestra de calicata, una muestra de canaleta, una muestra obtenida por muestreador automático de cinta, etc. Para un mismo estudio todas las muestras deben tener soportes iguales para homogeneizar la población.

5

Consideremos por ejemplo una concesión minera, explorada mediante una campaña de sondeos por diamantina según una cierta malla, cuyos testigos se analizan por tramos de un metro. Para este caso, el campo o dominio es todo el volumen contenido entre los límites de la concesión, los trozos cilíndricos de testigo de un metro de longitud son, cada uno, el soporte, y la ley de cada testigo la variable regionalizada. Después de introducirnos en las variables regionalizadas podemos dar otras definiciones de la Geoestadística: Se define la Geoestadística como “La aplicación de la teoría de las variables regionalizadas al reconocimiento y a la estimación de fenómenos naturales, entre ellos los yacimientos mineros”. Sin embargo su carácter mucho más general y las numerosas aplicaciones a muy diversos ámbitos han permitido redefinir la Geoestadística como “La práctica de las variables regionalizadas”. El soporte es el volumen de la muestra que define la variable regionalizada. A menudo el soporte es un cilindro llamado testigo.

Un testigo. Tiene un cierto largo l y un cierto diámetro d. z(x) será entonces la ley del volumen de muestra localizado en el punto x. En general, en el estudio de una variable regionalizada no es conveniente mezclar soportes de tamaños diferentes. En el caso en que los testigos que constituyen el sondaje son de tamaño irregular, es necesario hacer una operación la cual consiste en regularizar o compositar el sondaje, es decir disponer de datos (compósitos) de longitud constante Regularización de un sondaje a un largo constante b.

La figura siguiente muestra una sección transversal en un depósito de óxidos de cobre. Las líneas representan los sondajes de exploración. El punto rojo se denomina collar del sondaje. El collar está caracterizado por las coordenadas x0, y0, z0 y por dos ángulos: (θ, φ) Azimuth e inclinación.

Se observan las unidades grava ( estéril), lixiviado, óxidos y sulfuros. Un compósito está

6

caracterizado por sus coordenadas x, y, z, las leyes, un código que indica la unidad geológica, el nombre del sondaje que contiene al compósito y eventualmente otra información. Se tiene así la base de datos de sondajes del depósito, la cual, en formato de texto, puede ser incorporada en cualquier paquete computacional. La teoría de las variables regionalizadas se propone dos objetivos principales:

• Expresar las características estructurales de una variable regionalizada mediante una forma

matemática adecuada.

• Resolver, de manera satisfactoria, el problema de la estimación de una variable regionalizada a

partir de un conjunto de muestras, asignando errores a las estimaciones. Estos dos objetivos están relacionados: El error de estimación depende de las características estructurales (continuidad, anisotropías) y se tendrá un error mayor si la variable regionalizada es más irregular y discontinua en su variación espacial Un modelo para las variables regionalizadas

La información disponible sobre un yacimiento es fragmentaria, solo conocemos una parte muy pequeña de él. Si queremos extraer conclusiones sobre el yacimiento basándonos en la información dispersa, debemos construir modelos que se ajusten lo mejor posible a la realidad que estudiamos. Estos modelos se representan mediante funciones matemáticas y se construyen con nuestras variables regionalizadas. La Geoestadística tiene una herramienta básica, el variograma, una función matemática que nos permite estudiar las diferencias entre muestras y las direcciones. Para introducirnos en el concepto del variograma, hacemos la siguiente abstracción mental: si la distancia h entre dos muestras es igual a cero, la diferencia entre los valores de éstas será nula, y la varianza igual a cero. Si ambas muestras están muy cerca, existirá una diferencia, pero ésta, expresada como varianza, será muy pequeña. Sin embargo, a medida que las muestras estén más alejadas, llegará el momento en el que deje de haber una relación entre las muestras. Este fenómeno se resuelve mediante la construcción de un variograma experimental y su posterior modelización. Para poder avanzar en el estudio destacamos algunos conceptos estadísticos: Media, Promedio o Esperanza matemática: mZ xx

E Momento de 1º orden

Varianza : mZZ xxEVar

x

2 Momento de 2º orden

Covarianza: mZmZZZ xxE

xCov

xxx,,́,

´.

´, Momento de 2º orden

Variograma. Concepto y propiedades

La Geoestadística permite conocer el comportamiento de la variable regionalizada en una, dos y tres dimensiones a través de un elemento básico llamado variograma, el cual expresa los cambios de la variable a lo largo de una dirección determinada. El variograma es una medida del grado de dependencia espacial entre las muestras. Si consideramos que las muestras están uniformemente espaciadas a lo largo de una dirección, dos valores de la variable, Z(x) y Z (x+h), situados en dos puntos separados por una distancia (h); la

variabilidad entre estas dos medidas está dada por la diferencia Z(x+h) - Z(x). El promedio cuadrático de todas las diferencias entre muestras situadas a distancia (h) me da la variabilidad promedio de la variable para dicha distancia. Ese estimador de la variabilidad está caracterizado por la función variograma:

ZZ xhxEh

22/1 o de otra manera:

ni

ih ZZ xix hi

N1

2

2/1 Donde:

7

Zxi+h y Z xi son las Variables Regionalizadas o muestras separadas una distancia h.

h es la variabilidad de las variables regionalizadas a una distancia h, en una dirección

Determinada

n es el número de variable regionalizada o muestras.

N es el número de pares de datos separados por el vector h.

Propiedades de la función variograma:

* Es simétrica: h =

h

* Es positiva: h h 0 puesto que todas las diferencias se elevan al cuadrado.

Comportamiento cerca del origen:

Aunque sabemos que 0 debe ser igual a cero, puesto que:

002/12

0 ZZ xxE

En la práctica, cuando construimos el variograma experimental, muchas veces no podemos asegurar esa igualdad. Por lo tanto se definen distintos comportamientos del variograma en el entorno del

origen, el más común es el comportamiento de pepita (Efecto Pepita), donde 0 0, indicando un

grado de irregularidad en el yacimiento que puede ser debido a dos orígenes distintos: a) Origen físico: como corresponde a yacimientos de tipo pepítico, con grandes

discontinuidades. b) Origen Experimental: debido a errores de medidas.

Zona de influencia:

Cuando h tiende a tomar valores constantes a partir de una cierta distancia (a), lo cual quiere decir

que desaparece la correlación para las distancias superiores, se dice que el variograma tiene Meseta ( m ). Se denomina Alcance al valor de h = (a) en que aparece la meseta. Este alcance determina la zona de influencia de una muestra y es el ámbito en el cual se estudia la correlación entre las variables, fuera de él las variables tienen un comportamiento errático e independiente. Cuando el variograma no tiende a tocar el origen, sino que toca al eje de ordenada en un punto Co, a este valor se le llama Constante Pepita o Efecto Pepita. Modelos teóricos de variogramas

El variograma experimental requiere ser modelado puesto que es imperfecto (los puntos obtenidos están sujetos a imprecisiones), es incompleto (se calculó para un número finito de distancias y de direcciones del espacio) Los variogramas experimentales tienen un modelo teórico que lo representa matemáticamente, entre ellos tenemos: Esquema con meseta y comportamiento lineal en el origen: Se los denomina Modelo Esférico (de Matheron), es el modelo que más usualmente describe la forma ideal del variograma. Su expresión matemática es:

a

h

a

hC C

h

3

02/12/3 h a (alcance)

h = meseta = 2

0 h a (alcance)

Otros tipos de esquemas teóricos son:

8

Modelo Exponencial: Comparado con el modelo esférico, el exponencial nunca alcanza completamente el valor límite de la meseta, la curva es asintótica a ella. Tiene la siguiente expresión:

e a

h

h1

2

0

Modelo Lineal: Es más simple que los anteriores y solo tiene un parámetro, la pendiente. El modelo

tiene la forma: hh

. Su representación gráfica es una recta que pasa por el origen. Obviamente este modelo no tiene meseta. A veces el modelo lineal es arbitrariamente modificado,

tomando las siguientes consideraciones: h = h para h a

h = 2

0 para h a

Efecto Pepita puro: Totalmente errático. Ajuste de un variograma a un modelo teórico El objetivo de ajustar un modelo teórico es disponer de una ecuación, la cual se utilizará en los cálculos posteriores. En general, los paquetes computacionales trabajan exclusivamente con el modelo teórico. Distinguiremos dos variogramas. i) El variograma experimental, calculado a partir de los datos. ii) el variograma teórico, que corresponde a una ecuación que se ajusta al variograma experimental:

Es evidente que el variograma teórico debe respetar al variograma experimental, sobre todo en los primeros puntos, que son más confiables. El ajuste de variogramas constituye un punto crucial en un estudio geoestadístico porque todos los cálculos posteriores se harán utilizando exclusivamente el modelo teórico. El modelo de variograma ajustado, definido en todas las direcciones del espacio y para todas las distancia. Se usará este modelo como si fuera el “verdadero” variograma de la variable regionalizada en estudio El modelo de variograma debe ser consistente en las distintas direcciones, es decir, tener el mismo efecto pepita y el mismo número y tipo de estructuras. Por ejemplo, si el variograma fuera de tipo esférico en una dirección y exponencial en otra, ¿cuál sería su expresión en las direcciones diagonales?, ¿Cómo asegurar un modelo consistente? Tomar un único (el más bajo) efecto pepita isótropo. Escoger el mismo número de estructuras para todas las direcciones. Asegurar que el mismo parámetro de meseta se use para todas las estructuras en todas las direcciones. Permitir un alcance diferente en cada dirección. Modelar una anisotropía zonal definiendo un alcance en una o más de las direcciones principales

9

TIPOS DE VARIOGRAMAS

(h) Modelo Esférico

m

C0

a

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 h

modelo esférico

modelo exponencial

h

modelo lineal

modelo efecto pepita

h

10

Análisis estructural El análisis estructural de un fenómeno regionalizado (depósito mineral), consiste en la construcción de un variograma que caracterice los principales rasgos de la regionalización, éste requiere tanto un buen conocimiento del fenómeno bajo estudio, como una buena práctica de ajuste de modelos. Una de las primeras consideraciones a efectuar es definir la escala de observación, la cual, en función de la magnitud de (h: distancia entre muestras) podrán dar lugar a: 1. Malla a nivel de soporte (h ≈ 0) Nos define la variabilidad en el soporte de información. En la práctica estaríamos estudiando la variabilidad en un pozo o en un bloque. 2. Malla a nivel local (h 10 m) Denominada variabilidad local debida a las características mineralógica del yacimiento.. 3. Malla a nivel zonal (h 100 m) Denominada variabilidad zonal, Puede ser debida a alternancias entre capas mineralizadas y capas de estéril. 4. Malla a nivel regional (h 100 Km.) Puede ser debida a la distribución de depósitos dentro de una provincia orogénica. Se denomina variabilidad regional. En la práctica, todas estas variabilidades no podrán ser observadas simultáneamente, pues precisaríamos una gran información que cubriera enteramente el campo de variabilidad desde 0 a 100 Km. La realidad requiere que la primera y segunda variabilidad queden agrupadas en una sola, y nos servirá para definir el grado del efecto pepita. La tercera y la cuarta sí podrán ser detectadas en función de la distancia de reconocimiento y de la cantidad de puntos de información considerados en el mismo. El variograma experimental y los datos a partir de los cuales ha sido calculado están definidos sobre un soporte determinado (Por ejemplo: un testigo, una muestra de rocas, de suelo). Es importante trabajar con el mismo tipo de soporte, si hay una mezcla de información de distintos soportes es necesario realizar estudios de regularización para compararlos. No es posible correlacionar leyes de bloques de algunos miles de toneladas con leyes provenientes de testigos de algunos kilos, es necesario regularizar esta situación. Construcción de un variograma Antes de construir el variograma asociado a una VARIABLE REGIONALIZADA es conveniente analizar los datos para detectar y corregir errores y si es necesario depurar datos. Debemos tener en cuenta: * Soporte de la variable * Distribución y orientación de los puntos de observación * Estudio crítico de los valores discordantes * Homogeneidad, No mezclar zonas heterogéneas Variograma experimental en una dimensión: Se construye cuando el fenómeno físico que se describe es lineal, o bien corresponde a un perfil de un fenómeno bidimensional. Si calculamos la variabilidad para diferentes valores de h, podemos graficar el resultado en forma de variograma.

Ni

ih ZZ xix hiN 1

2

2

1

2h

h

Para sistematizar la obtención de cada h, la práctica aconseja crear una secuencia de incrementos

h que sean múltiplos del h inicial (distancia mínima entre muestras).

De esta manera: hhhh hhhh 4;3;2;4321 ..... nhhn

11

Con el conjunto de valores calculados para cada h se dibuja el gráfico hen función de h. La forma

del variograma y especialmente su estructura aportan gran cantidad de información sobre el fenómeno físico representado. Variograma experimental en dos y tres dimensiones: Algo más complejo en su planteamiento es la construcción del variograma vinculado a fenómenos naturales con una distribución en el plano y en la tercera dimensión. Esta distribución podrá presentarse de dos formas: - Malla regular - Malla aleatoria En el caso de una malla regular, los datos podrán agruparse por filas, columnas o diagonales lo que dará lugar a que se proceda al cálculo del variograma en las sucesivas direcciones de alineamiento y también proceder a su estudio conjunto. En una malla aleatoria los datos no presentan ningún tipo de alineamiento, por lo que la descomposición según direcciones preferentes se realizará mediante criterios preestablecidos. En general el cálculo de variograma en dos y tres dimensiones se reducen al cálculo de variogramas direccionales de una sola dimensión mediante la introducción de restricciones de tolerancias angulares y de distancias.

Cálculo del variograma para una malla regular bidimensional Leyes de cobre en un banco de una mina a cielo abierto. En este caso h es un vector (con coordenadas cartesianas o polares):

Observación importante acerca del cálculo de variogramas: El variograma γ(h) es un promedio; este promedio es bueno cuando el número N' de parejas es grande. Sin embargo, a medida que h crece, N' decrece; la práctica justifica entonces la regla siguiente: "Un variograma γ(h) es significativo hasta una distancia dM igual a la mitad de la dimensión del campo en la dirección de h". Elementos del análisis estructural Análisis estructural es el procedimiento llevado a cabo para conocer y caracterizar las estructuras de la distribución espacial de la variable estudiada (leyes, potencias, permeabilidades, etc.) El variograma experimental obtenido es generalmente una curva irregular. La irregularidad crece y la significación decrece con la distancia h. La información asociada a cada variograma experimental, según una dirección considerada, es la siguiente:

1. El número de pares asociados a cada valor de h en la construcción del variograma. Es importante

conocer cuantos pares participan en la determinación de h. Una regla práctica indica que el

número de pares óptimo debe ser mayor de 30.

2. La dimensión del dominio de información. Se aplica una regla práctica de construcción [ nh L/2] donde L es la dimensión del campo de estudio. Esta es la máxima distancia a la cual es significativa la información.

3. La Media aritmética y la Varianza de dispersión del conjunto de N datos utilizados en el cálculo: La media aritmética es un estimador del valor real de la VARIABLE REGIONALIZADA dentro del

12

dominio. La varianza de dispersión puede considerarse como un estimador de la meseta del variograma.

Cuando se inicia el análisis estructural de una determinada regionalización se procede al cálculo de diferentes variogramas, ya sea en diferentes zonas o en diferentes direcciones. Su agrupamiento da origen al cálculo de un variograma medio representativo de la regionalización. De la misma manera que en estadística, en el caso del histograma, la curva obtenida del variograma es, en efecto, un estimador del verdadero variograma desconocido. Es necesario encontrar un modelo de variograma teórico, modelo que se utilizará en adelante en todos los cálculos necesarios. La obtención del modelo teórico a partir del variograma experimental se encuentra ligado al análisis de los siguientes elementos estructurales. * Meseta m * Alcance a * Efecto pepita Co * Transición Total C Se dice que un variograma tiene meseta m cuando tiende a estabilizarse a partir de una distancia a

alrededor de un valor constante de h

Se denomina alcance a la distancia a que determina la zona de influencia de la variable. Dentro de esta distancia es donde el variograma muestra el efecto de regionalización, más allá las variables pierden la correlación y se comportan como variables independientes.

El efecto pepita Co muestra la discontinuidad del variograma en el origen. Se calcula en forma práctica mediante la interpolación de los dos o tres primeros puntos del variograma que son los más significativos (mayor número de pares empleados en su cálculo). Las causas del efecto pepita son: La presencia de “micro-estructuras” (variabilidad a escala muy pequeña en comparación con la escala de observación) La presencia de errores de medición (errores de extracción, preparación y análisis químico) La presencia de errores en la ubicación de los datos (coordenadas equivocadas) Soporte de la medición es muy pequeño (efecto de soporte) Muestreo preferencial en zonas de altas leyes (y de alta variabilidad) Transición Total es la diferencia entre la meseta m y la coordenada de origen Co si existe. C = m - Co Continuidad: Considerando un variograma en una dirección particular, comenzando en el origen

0= 0, el variograma, en general, aumenta con h; esto significa que, en promedio, las diferencias

entre dos leyes tomadas en dos puntos diferentes incrementa con la distancia h entre ellas. La manera en que este variograma aumente para pequeños valores de h, caracteriza la continuidad espacial de la variable estudiada. Si valores extremadamente altos están rodeados por valores bajos, el promedio de las diferencias tiende a ser alto para pequeñas distancias, o sea para el primer h. Si estos valores elevados son removidos se observará un variograma más armónico. Anisotropía: En una dirección dada, el variograma generalmente es estable hasta una distancia

13

h = a (alcance), más allá de esta distancia la variabilidad entre las muestras no depende de h, por lo tanto no se consideran correlacionadas. El alcance a da una idea precisa del concepto de zona de influencia de una muestra. Generalmente el alcance no es el mismo en todas las direcciones del espacio. Se dice que un fenómeno es Isótropo cuando tiene la misma variabilidad (el mismo alcance) en cualquier dirección. Un fenómeno se dice que es anisótropo cuando su variabilidad no es la misma en todas las direcciones. En la práctica la anisotropía manifiesta la existencia de direcciones preferentes en el fenómeno en estudio. Si en el espacio volcamos los diferentes alcances direccionales, podemos construir la zona de influencia de la muestra. La anisotropía de correlación espacial se estudia calculando variogramas en diferentes direcciones. Una anisotropía se dice que es geométrica cuando los variogramas direccionales tienen la misma meseta pero diferentes alcances. Cuando los variogramas muestran diferentes mesetas (variabilidades) según las direcciones, hablamos de anisotropía zonal. Es muy común que en un mismo yacimiento, en las diferentes direcciones del plano se mantenga la misma meseta, fundamentalmente si es mantiforme, pero en profundidad la variabilidad es mayor, por lo tanto hablamos de anisotropía zonal. Construcción de un variograma en el plano Si la malla es regular, el variograma se calcula en forma sencilla para saltos que son múltiplos de cada lado de la malla en cada dirección. Si los datos son desordenados, se define una malla regular y se asigna cada dato a su vértice más cercano. En la práctica: Se considera una tolerancia lineal ( 10 % de h) y una tolerancia angular (22,5º a

ambos lados del segmento hxx , , 45º en total). Se genera una zona de búsqueda en la cual puede encontrarse la muestra correspondiente al punto x+h. 10% h

* 45º *

x x+h Si se sospecha la existencia de una dirección preferencial de la variabilidad, cerrar el ángulo de tolerancia en esa dirección, si se pone de manifiesto una anisotropía neta, se procede a cerrar el ángulo de tolerancia para ajustar el detalle. Principales aplicaciones del análisis variográfico Determinación de valores medios y el error de muestreo Para la determinación de valores medios de un depósito generalmente se cuenta con información proveniente de canaletas de muestreo a lo largo de las galerías longitudinales, o de sondeos o pozos a intervalos regulares. Esta información puntual se utiliza para estimar valores medios en unidades geométricas o bloques de estimación. Para el cálculo de estos valores medios, se considera que en el área de influencia de cada muestra, el bloque de estimación conserva las mismas características de las muestras. Obviamente, cuando extendemos los valores puntuales a toda su área de influencia para hacer la estimación de la ley, se incurre en un error de estimación, el mismo que debe ser medido por la varianza de estimación, o sea la seguridad con la cual se puede extender la información (ley, potencia, acumulación) de una muestra a su área de influencia. El variograma puede ser considerado como una varianza de estimación (la varianza es el error cometido cuando la ley en un punto x es estimada por la ley en otro punto x+h). Como se ha visto hasta ahora todos los cálculos geoestadísticos están basados en el variograma, y con 15 o 20 perforaciones podemos construir un variograma.

14

Matheron (1971) publicó un diagrama para determinar las varianzas o errores de extensión, 2e , de

casos simples mediante el uso del variograma esférico. Las curvas que se muestran en el Diagrama están determinadas para los tres casos más importantes:

1. Muestreo a lo largo de una alineación, con la muestra extraída en el centro del perfil del

muestreo. En este caso l es la distancia entre muestras y 2

1e su varianza de extensión.

2. Muestra en el centro de un área de influencia cuadrada o bloque cuadrado. En este caso l es

el lado del área de influencia y 2

2e su varianza de extensión.

3. Muestra en el centro de un área de influencia circular. En este caso r es el radio del área de influencia y 2

3e su varianza de extensión.

El Diagrama de Matheron se aplica de la siguiente manera.

Se considera que CMCe.

0

2

Donde 2

e es la varianza de extensión; C0

y C son el Efecto Pepita y Transición Total obtenidos

en el Variograma; y M se obtiene del Diagrama.

15

16

CUBICACIÓN DE YACIMIENTOS La cubicación de un yacimiento permite poner en evidencia la reserva del mineral (R), la cantidad de metal (Q) y los valores medios del mineral como la ley ( t ), la potencia ( e ), la acumulación ( a ), la densidad ( d ) que están todas unidas por las expresiones :

R = S . e . d Q = S . a . d a = e . t S = área mineralizada

La cubicación puede ser ejecutada por medio de trabajos mineros (galerías inclinadas, galerías transversales, etc.); de sondeos y de estudios geofísicos. Los resultados más exactos son obtenidos a partir de trabajos mineros que permiten observar y estudiar directamente el yacimiento y sus relaciones con la roca encajante. Este método difícilmente pueda aplicarse a yacimientos muy profundos y en condiciones hidrogeológicas muy adversas. Los sondeos permiten realizar trabajos de investigación a grandes profundidades, son efectuados rápidamente y a costos por debajo de los trabajos mineros. La exactitud de los datos geológicos obtenidos con los sondeos es inferior al de los trabajos mineros, pero para depósitos relativamente regulares es suficiente. Los estudios geofísicos permiten ocasionalmente la individualización de los cuerpos mineralizados, con todo, sus resultados deben siempre ser chequeado con la ayuda de sondeos o de trabajos mineros. La cubicación pasa por tres etapas sucesivas y dependientes: En la etapa preliminar siempre que sea posible son aplicados inicialmente métodos geofísicos para dar una idea del comportamiento del yacimiento en profundidad. Posteriormente se realiza una malla de sondeo exploratoria bastante amplia, casi siempre de forma cuadrada y dispuesta para cubrir todo el sector potencialmente mineralizado. Los principales objetivos a ser alcanzados en esta etapa son: (1) La definición de los grandes rasgos estructurales y morfológicos del depósito. (2) La identificación del contorno general del yacimiento. (3) El cálculo de la reserva posible. (4) La determinación del orden de los parámetros medios del depósito (ley, potencia, densidad) y de

su grado de regularidad. (5) La determinación de zonas más interesantes para el estudio de detalle. (6) La determinación de la factibilidad de continuar los trabajos de prospección. En la etapa intermedia se busca definir el modelo variográfico del yacimiento y para tal, se realizan sondeos de detalle en zonas específicas del depósito, estableciendo una cruz GEOESTADÍSTICA de sondeos de acuerdo a dos perfiles, uno longitudinal y otro transversal. Establecido el modelo variográfico, normalmente en los depósitos regulares se realiza una densificación para llegar a un error medio de evaluación que no supere el 20 % con un nivel de probabilidad de 95 %. En los depósitos irregulares los nuevos sondeos son sustituidos generalmente por labores mineras. En la etapa final de evaluación se efectúan nuevos sondeos o excavaciones mineras para cuantificar y calificar las reservas y los valores medios en sectores específicos, de tal manera que los bloques del depósito tengan un error máximo del 20 % al nivel de probabilidad del 95 %. Además de esto, se debe determinar características tecnológicas exactas y para esto es necesaria la apertura de trabajos mineros o de grandes excavaciones para la recolección de gran cantidad de muestras para pruebas industriales. Para depósitos diferentes, frecuentemente se utilizan métodos semejantes de cubicación que dependen fundamentalmente de la regularidad del yacimiento y de la mineralización, además de las características morfológicas del depósito.

17

Método de Cubicación Geoestadístico: KRIGEAGE El Krigeage es una técnica que permite estimar la ley en una unidad de estimación, a partir de las leyes de muestras (muestras superficiales, sondeos, pozos, calicatas) tomadas en su interior y alrededores. Permite también conocer el error de estimación, posibilidad que los otros métodos de interpolación no permiten.

Considerando como ejemplo una unidad de estimación V (Fig. 1 ) y los sondeos de leyes z1, z2, z3,...zn

. Z2

. Z5 . Z3

. Z4 Fig. 1

Una situación frecuente es la estimación del valor medio Z v

* en la unidad V, mediante el promedio

ponderado de n valores Z : ZZ i

n

iv.

1

*

La gran incógnita en este caso son los valores de i(ponderadores) cuyo valor dependerá de la

posición relativa de cada muestra con respecto al punto en que efectuamos la estimación. Para poder calcularlos se parte de la siguiente suposición:

El valor estimado Z v

* podrá ser muy parecido al real Z v pero nunca igual, por lo tanto habrá una

diferencia entre el Valor Estimado y el Valor Real de la variable en el volumen determinado, esta

diferencia es el Error de Estimación : Z v - Z v

* = e (error de estimación)

Para que la estimación sea óptima se precisa que la i = 1, o sea que la sumatoria de los pesos asignados a cada muestra que interviene en la estimación del valor medio, debe ser igual a 100 %. En este método cada muestra tendrá un peso que depende de la ubicación y la distancia que la separa del punto en que se asignará el valor medio estimado, por lo tanto los valores de los

ponderadores i serán : 0 % i 100 % Otra condición para que la estimación sea óptima es que la distribución de los errores de estimación de los volúmenes involucrados en el depósito, sea insesgada y con Varianza mínima. Ya se dijo en el capítulo anterior que la distribución de errores era normal.

La Varianza del Error de Estimación o Varianza de Estimación 2

e está dada por :

ZZ vveVar

*2 Desarrollando matemáticamente esa varianza se llega a que:

2

e= Var Z v

- 2 Cov ZZ vv

*, + Var Z v

* ( 3 )

Var Z v representa la varianza de la ley dentro del bloque

Var Z v

* representa la varianza del valor estimado en el bloque, o sea la covarianza

entre todas las muestras que intervienen en su estimación. Cov ZZ vv

*, es la Covarianza entre la ley asignada al centro del bloque y cada una de las

leyes que intervienen en la estimación.

. Z1

V

18

Reemplazando Z v

* por su equivalente ZZ i

n

iv.

1

*

2

e queda como sigue: 2

e= Var Z v

+ xx jiji j

iCov , - 2 xxi

iiCov ,

Podemos reemplazar la función Varianza y Covarianza por su complemento, nuestro conocido

variograma h, entonces:

viV

n

i ivivji

n

j

n

i jVVe ,,,

22 ( 4 )

Hay infinitas posibles combinaciones de i , cada una de las cuales proveerá diferente estimación y

diferente error de estimación. Pero necesitamos solo una combinación que minimice el error e, esta es la única combinación de ponderadores que el krigeage debe encontrar. Por lo tanto debo minimizar la expresión ( 4 ), se usa el método de Lagrange que introduce el multiplicador de Lagrange y define la función Q.

Q 2

e - 12

i = 0

Q 0122,,,

n

i iviV

n

i ivivji

n

j

n

i jVV

Los ponderadores de krigeage i

son solución para el siguiente sistema de ecuaciones:

0

i

Q o sea

i

Q0222

,, viVvjvi

n

j j

0Q

o sea 012 n

i i

Q

Este sistema de n+1 ecuaciones, donde n es el número de muestras, puede escribirse también como sigue:

viVvjvi

n

j j ,, para i = 1, 2, ...., n

1n

j j ( 5 )

Este sistema de ecuaciones es el Sistema General de Krigeage para una Media Desconocida.

Multiplicando las primeras n ecuaciones por i (para i= 1, 2, ....n) y sumando sobre i, se tiene:

viV

n

i ivjvij

n

i

n

j i ,, ( 6 )

Reemplazando en ( 4 ) y operando, la varianza de estimación de Krigeage queda finalmente :

viV

n

i iVVK ,,

2 ( 7 )

Esta ecuación da la Expresión General del Error de Krigeage para una Media Desconocida.

19

El Sistema General de Krigeage puede ser escrito usando la notación matricial, definiendo las matrices:

A =

0...1..................1......1

1..............

..................................

..................................

1..............

1...............

21

22221

11211

nnnn

n

n

B =

n

.

.2

1

C =

1

.

.2

1

nV

V

V

A: Matriz simétrica de variograma muestra - muestra, valores conocidos por variografía. B: Matriz lineal de ponderadores desconocidos. C: Matriz lineal muestra - bloque de valores conocidos por variografía El sistema ( 5 ) puede expresarse como A B = C

De allí puede expresarse que BCA 1, y la varianza de estimación ( 7 ) como :

VVK ,

2 - B C

Nótese que el sistema ( 5 ) depende solo del modelo estructural y de las geometrías relativas de los soportes V y vi, pero no dependen de los valores particulares de Z (xi). Este hecho puede utilizarse para determinar a priori la precisión de un muestreo adicional antes de ser realizado (Optimización de mallas de sondeos). Comparación entre los distintos métodos de estimación de reservas La principal diferencia entre los métodos que actualmente se utilizan en la estimación de reservas radica en:

1. Los métodos clásicos de polígonos y de secciones se basan en el criterio del vecino más próximo, o sea que extienden el valor de las leyes hasta mitad de distancia de la muestra más cercana.

2. El método de los triángulos se basa en el criterio de la variación gradual entre las muestras, promediando las leyes entre las muestras ubicadas en los vértices del triángulo.

3. El método de la distancia ponderada asigna pesos a las muestras en función de la distancia. 4. Los métodos anteriores no asignan pesos a las muestras de una manera racional y

matemática basándose en la distribución espacial de las leyes, sino que lo hace el calculista de una manera subjetiva y apoyándose principalmente en la experiencia. Tampoco permiten conocer el error que se comete al asignar a la unidad de estimación la ley calculada.

5. El método geoestadístico sí pondera la influencia de las muestras de una manera racional y matemática basándose en la distribución espacial de las leyes, así mismo permite conocer el error que se comete al estimar la ley.

6. La estimación por Krigeage toma en consideración la Variabilidad Espacial (definida por los variogramas). Las muestras que se encuentran más allá del alcance del variograma reciben pesos muy bajos. Muestras más distantes recibirán pesos más bajos mientras que las muestras cercanas tendrán pesos más altos.

20

Tratamiento de la información base desde el punto de vista Geoestadístico

21