UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATOFACULTAD DE CIENCIA E INGENIERÍA EN ALIMENTOS

SIMULACIÓN DE PROCESOS DE ALIMENTOSNoveno Nivel

Ing. Mg. Andrés Sánchez

Si buscas resultados

distintos, no hagas

siempre lo mismo

"La educación es lo

que queda una vez

que olvidamos todo

lo que aprendemos

en las aulas"

“Nunca consideres el

estudio como una

obligación, sino como una

oportunidad para

penetrar en el

bello y maravilloso mundo

del saber”

http://www.slideshare.net/JORGECASI1/simulacin-y-optimizacin-avanzadas-en-la-industria-

qumica-y-de-procesos-hysys

SIMULACIÓN

"La simulación es el proceso de diseñar un modelo de un sistema real y llevar a términoexperiencias con él, con la finalidad de comprender el comportamiento del sistema o evaluarnuevas estrategias dentro de los límites impuestos por un cierto criterio o un conjunto de ellospara el funcionamiento del sistema". La simulación tiene como principal objetivo la predicción, esdecir, puede mostrar lo que sucederá en un sistema real cuando se realicen determinadoscambios bajo determinadas condiciones.

SIMULACIÓN DE PROCESOS

Consiste en el diseño de un modelo matemático deun sistema, y la posterior ejecución de una serie deexperimentos con la intención de entender sucomportamiento bajo ciertas condiciones. El modelodebe ser capaz de reproducir el comportamiento delproceso real con la mayor exactitud posible.

MODELACIÓN Y SIMULACIÓN

La Simulación y Modelación son las dos caras de una misma moneda, en el sentido en que ambasrepresentan o nos permiten conocer la realidad, concreta o posible, que está a nuestro alrededor.La diferencia entre simulación y modelación, reside en que la simulación parte de un "sistema" encual se nos presenta una posible realidad y a través de cálculos o intercambio de valores en lasvariables podemos tomar decisiones según el comportamiento que tenga el "sistema" en lasimulación. La modelación parte de un sistema netamente real y lo convierte en patrones oformulas en que los resultados o valores no varían mucho de la realidad que ya se conoce.

Conclusión: La simulación imita la realidad y lamodelación crea un patrón de la realidad y en amboscasos podemos usar computadores o modelosmanuales según sea el caso de complejidad.

ETAPAS DE UN ESTUDIO DE SIMULACIÓN

1-Definición del sistemaConsiste en estudiar el contexto del problema, identificar los objetivos del proyecto, especificar losíndices de efectividad del sistema y objetivos específicos del modelamiento y definir el sistemaque se va a modelar.

2-Formulación del modeloUna vez definidos con exactitud los resultados que se esperan obtener del estudio, se define yconstruye el modelo con el cual se obtendrán los resultados deseados.

SISTEMA REAL COMPUTADORMODELO

Modelamiento Simulación

3-Colección de datosEs importante que se definan con claridad y exactitud los datos que el modelo va a requerir paraproducir los resultados deseados.

4-Implementación del modelo en la computadoraCon el modelo definido, se utiliza algún lenguaje de programación específico o se utiliza algúnpaquete de simulación en la computadora y obtener los resultados.

5-VerificaciónEl proceso de verificación consiste en comprobar que el modelo simulado cumple con losrequisitos de diseño para los que se elaboró. Se trata de evaluar que el modelo se comporta deacuerdo a su diseño del modelo.

6-Validación del SistemaA través de esta etapa es valorar las diferencias entre el funcionamiento del simulador y el sistemareal que se está tratando de simular.

7-ExperimentaciónLa experimentación consiste en generar los datos deseados y en realizar un análisis de sensibilidadde los índices requeridos.

8-InterpretaciónEn esta etapa del estudio, se interpretan los resultados que arroja la simulación y con base a estose toma una decisión.

9-DocumentaciónLa primera se refiere a la documentación del tipo técnico y la segunda al manual del usuario, conel cual se facilita la interacción y el uso del modelo desarrollado.

En la actualidad los simuladores lo manejan los ingenieros ambientales, ingenieros de proceso yhasta ingenieros de planta en su lugar de trabajo; ingenieros con poca o ninguna instrucción deprogramación pueden modelar procesos complejos. Los Softwares comerciales más utilizados enla simulación de procesos son: ASPEN Plus, PRO II/PROVISION, CHEMCAD, HYSYS, DESIGN II, entreotros.

La simulación de procesos puede usarse en las siguientes etapas de desarrollo de un proyectoindustrial:1. Investigación y Desarrollo2. Etapa Crítica en la Toma de Decisiones3. Planta Piloto4. Diseño5. Simulación de Plantas Existentes6. Deseabilidad Económica7. Caracterización del Proceso8. Entendimiento del Comportamiento9. Mecanismos Significativos del Proceso

La simulación de procesos químicos es una herramienta moderna que se ha hecho indispensablepara la solución adecuada de los problemas de proceso. Permite efectuar el análisis de plantasquímicas en operación y llevar a cabo las siguientes tareas, las cuales son comunes en las diversasramas de la industria química.

Esta estrategia de cálculo es utilizada en la mayoríade los simuladores de estado estacionario: Aspen,Chemcad, ProVision, Hysys, Prosim, Winsim.

El elemento básico es el modelo de operaciónunitaria, el cual es construido a partir de balancesde masa y energía, hasta finalmente obtener unconjunto de ecuaciones algebraicas no-lineales:

u Variable de entrada o salidaX Estado interno de la variable, temperatura,presión, concentración, et.d Variable dependiente de la geometría,como volumen, área de intercambio de calor, etc.p Variables que definen propiedades físicas,como entalpías especificas, valores de K, etc.El sistema de ecuaciones algebraicas no linealesdebe ser compatible y determinado

0),,,( pdxuf

MODELOS MATEMÁTICOS

Los modelos matemáticos son una descripción, desde el punto de vista de las matemáticas, de unhecho o fenómeno del mundo real y aplicar técnicas básicas para la modelación de sistemas.

SISTEMA: Conjunto de elementos interrelacionados entre sí que actúan juntos para lograr unobjetivo común.

MODELO: Es una idealización de la realidad utilizado paraplantear un problema, normalmente desde un punto de vistamatemático. Es una representación conceptual de unproceso o sistema, con el fin de analizar su naturaleza,desarrollar o comprobar hipótesis o supuestos y permitir unamejor comprensión del fenómeno real al cual el modelorepresenta. Existen tres tipos de modelos:• Modelos Icónicos• Modelos Análogos• Modelos Simbólicos

LOS MODELOS ICÓNICOS: son los modelos físicos que se asemejan al sistema real, generalmentemanejados en otra escala. Por ejemplo: Los modelos de aviones que construyen los ingenieros ylos modelos de ciudades que construyen los urbanistas.

LOS MODELOS ANÁLOGOS: son los modelos en los que una propiedad del sistema real se puedesustituir por una propiedad diferente que se comporta de manera similar. Ejemplo: El mapa decarreteras es un modelo análogo del terreno correspondiente, el velocímetro de un vehículorepresenta la velocidad mediante el desplazamiento análogo de una aguja sobre una escalagraduada.

LOS MODELOS SIMBÓLICOS: Son aquellos en los que se utiliza un conjunto de símbolos en lugar deuna entidad física para representar la realidad. Por ejemplo, los físicos construyen modeloscuantitativos del universo y los economistas crean modelos cuantitativos de la economía. Por elhecho de que se utilizan variables cuantitativamente definidas e interrelacionadas por medio deecuaciones, es frecuente que los modelos simbólicos sean conocidos como modelos matemáticos.

TIPO DE MODELO

CARACTERÍTICAS EJEMPLOS

FÍSICO

TangibleComprensión y posibilidad de compartirlo: difícilModificación y manipulación: difícilAlcance de utilización: la más baja

Modelo de unaeroplano, modelado deuna casa,modelo de una ciudad

ANALÓGICO

IntangibleComprensión: más difícilDuplicación y posibilidad de compartirlo: más fácilModificación y manipulación: más fácilAlcance de utilización: más amplia

Mapa de carreteras,velocímetro, gráfica derebanadas de pastel

SIMBÓLICO

IntangibleComprensión: la más difícilDuplicación y posibilidad de compartirlo: las más fácilesModificación y manipulación: las más fácilesAlcance de su utilización: el más amplio

Modelo de simulación,modelo algebraico,modelo de hoja decálculo electrónica.

Los Modelos Simbólicos se clasifican a su vez en:• Modelos determinísticos• Modelos estocásticos o probabilísticos• Modelos dinámicos• Modelos estáticos• Modelos continuos• Modelos discretos

Estos últimos modelos, los modelos dinámicos, son de mayor interés en el estudio de esta unidad,por tal razón nos enfocaremos más en ellos. Una de las características principales de los modelosdinámicos, es el cambio que presentan las variables en función del tiempo.

Esta presentación aproximada de la realidad en forma de un modelo numérico permite laresolución del problema. Los diversos coeficientes del modelo son automáticamente calculadospor el ordenador a partir de la geometría y propiedades físicas de cada elemento. Sin embargoqueda en manos del usuario decir hasta que punto la discretización utilizada en el modelorepresenta adecuadamente el modelo de la estructura.

La discretización correcta depende de diversos factores como son el tipo de información que sedesea extraer del modelo o tipo de solicitación aplicada. Actualmente el método de los elementosfinitos ha sido generalizado hasta constituir un potente método de calculo numérico, capas deresolver cualquier problema de la física formulable como un sistema de ecuaciones, abarcando losproblemas de la mecánica de fluidos, de la transferencia de calor, del magnetismo, etc.

En la transferencia de calor, puede abordarse problemas de conducción, convección o radiación,en régimen estacionario o transitorio. Los resultados son básicamente las distribuciones detemperatura y los fluidos de calor.

TRANSFERENCIA DE CALOR

Termodinámica: estudia la cantidad de transferencia de calor medida que un sistema pasa por unproceso de un estado de equilibrio a otro y no hace referencia a cuanto durará el proceso.

Transferencia de calor: estudia la razón o la rapidez de la transferencia.

Calor: forma de energía que se puede transferir de una sistema a otro como resultado de ladiferencia de temperatura.

El estudio de los fenómenos físicos comprende dospasos importantes:• Identificación de todas las variables que afectan los

fenómenos (suposiciones, aproximaciones yinterdependencia de las variables). Se plantea elmodelo matemático.

• Se resuelven las ecuaciones matemáticas y seinterpretan los resultados.

TRANSFERENCIA DE LA ENERGÍA

La energía se puede transferir hacia una masa dada, o de ésta, por dos mecanismos: calor Q ytrabajo W.

Calor Q: Se define como la parte del flujo total de energía a través de la frontera de un sistema quese debe a una diferencia de temperatura entre el sistema y su entorno, es decir un tipo de energíaen tránsito. El calor no se almacena ni se crea. El calor es positivo cuando se transfiere al sistema.El calor puede transferirse por convección, conducción o radiación. El calor, al igual que el trabajo,es una función de la trayectoria.

Trabajo W: Es una forma de energía que representa una transferencia entre el sistema y elentorno. Y en general se manifiesta por presentar una fuerza mecánica. El trabajo no es posiblealmacenar trabajo debido a que es una energía en transito. Y su signo depende si se lo realiza elsistema (-) o el entorno hacia el sistema (+). Para que una fuerza mecánica realice un trabajo lafrontera de sistema debe moverse.

MECANISMOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR

Existen tres formas diferentes en que el calor puede pasar de la fuente a un recibidor, aun cuandoen muchas aplicaciones de la ingeniería existen combinaciones de dos o tres de estosmecanismos.• Conducción• Convección• Radiación

CONDUCCIÓN: La conducción es el mecanismo de transferencia de calor en escala atómica através de la materia por actividad molecular, por el choque de unas moléculas con otras, donde laspartículas más energéticas le entregan energía a las menos energéticas, produciéndose un flujo decalor desde las temperaturas más altas a las más bajas. Los mejores conductores de calor son losmetales. El aire es un mal conductor del calor. Los objetos malos conductores como el aire oplásticos se llaman aislantes.

La conducción de calor sólo ocurre si hay diferencias de temperatura entre dos partes del medioconductor. Para un volumen de espesor ∆x, con área de sección transversal A y cuyas carasopuestas se encuentran a diferentes T1 y T2, con T2 > T1, se encuentra que el calor ∆Q transferidoen un tiempo ∆t fluye del extremo caliente al frío. Si se llama Q (en Watts) al calor transferido porunidad de tiempo, la rapidez de transferencia de calor Q = ∆T/∆t, está dada por la ley de laconducción de calor de Fourier.

Q=𝑑𝑇

𝑑𝑡= −𝑘𝐴

𝑑𝑇

𝑑𝑥

Donde k (en W/mK) se llama conductividadtérmica del material, magnitud que representala capacidad con la cual la sustancia conducecalor y produce la consiguiente variación detemperatura; y dT/dx es el gradiente detemperatura. El signo menos indica que laconducción de calor es en la direccióndecreciente de la temperatura.

Conductividad térmica: La conductividad térmicaes una medida de la capacidad de un materialpara conducir calor. Un valor elevado deconductividad térmica indica que el material esun buen conductor del calor y un valor bajoindica que es un mal conductor o un aislante. Ej:Hierro (alta conductividad), agua (bajaconductividad) El diamante es un sólido cristalinoque tiene la conductividad térmica conocida máselevada a temperatura ambiente.

Difusividad térmica: La difusividad térmica sepuede concebir como la razón entre el calorconducido y el calor almacenado por unidad devolumen. Un valor pequeño de la difusividadtérmica significa que, en su mayor parte, el calores absorbido por el material y una pequeñacantidad de calor será conducida a través de él.

Si un material en forma de barra uniforme de largo L, protegida en todo su largo por un materialaislante, cuyos extremos de área A están en contacto térmico con fuentes de calor a temperaturasT1 y T2 > T1, cuando se alcanza el estado de equilibrio térmico, la temperatura a lo largo de labarra es constante. En ese caso el gradiente de temperatura es el mismo en cualquier lugar a lolargo de la barra, y la ley de conducción de calor de Fourier se puede escribir en la forma.

Q= 𝑘𝐴𝑇2−𝑇1

𝐿

CONVECCIÓN: La convección es el mecanismo de transferencia de calor por movimiento de masao circulación dentro de la sustancia. Puede ser natural producida solo por las diferencias dedensidades de la materia; o forzada, cuando la materia es obligada a moverse de un lugar a otro,por ejemplo el aire con un ventilador o el agua con una bomba. Sólo se produce en líquidos ygases donde los átomos y moléculas son libres de moverse en el medio.

Convección natural: El movimiento del fluido se debe a losgradientes de densidad, inducidos por los gradientes detemperatura, sometidos a un campo gravitacional.

Convección forzada: En este caso el fluido es forzado por unmecanismo externo (bombas, ventiladores, compresores, viento,corrientes marinas, entre otras).

Convección por ebullición: En este caso el movimiento del fluido sedebe en gran parte a las burbujas que se escapan hacia lasuperficie.

Convección por condensación: En este caso el fluido es forzado porun mecanismo externo (bombas, ventiladores, compresores,viento, corrientes marinas, entre otras).

La rapidez de la transferencia de calor por convección esproporcional a la diferencia de temperatura Un modelo detransferencia de calor Q por convección, llamado ley deenfriamiento de Newton, es el siguiente:

Q = h A (TA – T)

donde h se llama coeficiente de convección, en W/(m2K), A esla superficie que entrega calor con una temperatura TA alfluido adyacente, que se encuentra a una temperatura T.

RADIACION: La radiación es la energía emitida por la materia en forma de ondaselectromagnéticas como resultado de los cambios en las configuraciones electrónicas de losátomos y las moléculas. La energía transferida por radiación no requiere de medio interventor. Larazón máxima de radiación que se puede emitir desde una superficie a una temperatura T esexpresada por la ley de Stefan-Boltzmann.

Qrad = σ A T4

Es la constante de Stefan-Boltzmann.

σ = 5.67 ×10−8 W/m2K4

Radiación térmica: es la forma de radiación emitida por los cuerpos debido a su temperatura. Si seencuentra, materia en su camino las ondas electromagnéticas puede ser: transmitida, reflejaday/o absorbida; solamente la energía absorbida se transforma en calor.• Transmitida cuerpos metálicos

• Reflejada cuerpos cristalinos

• Absorbida cuerpos negros

TRANSMISIÓN DE CALOR A TRAVÉS DE PAREDES DE GEOMETRÍA SENCILLA: En los desarrollos que sevan a realizar a continuación solo se demostrarán las aplicaciones de la ecuación de Fourier ensistemas en los que la transmisión de calor se realiza en régimen estacionario y con flujo de calorunidireccional. La integración de la mencionada ecuación es particularmente sencilla en el caso deuna pared plana homogénea y delgada, es decir, con un espesor relativamente pequeño encomparación con su superficie.

Ejercicio: Las caras de una pared que mide 6 pulgadas de grosor que mide 12*16 pies cuadradasdeberán mantenerse entre 1500°F y 300°F respectivamente, la pared esta hecha de ladrillo caolínaislante. Cuánto calor se pierde en la pared (watts).

SISTEMAS RADIALES

CILINDROS: Considérese un cilindro largo de radio interior ri, radio exterior re y longitud L, estecilindro se somete a una diferencia de temperaturas Ti – Te y se plantea la pregunta de cuál será elflujo de calor. En un cilindro cuya longitud sea muy grande comparada con su diámetro, se puedesuponer que el calor fluye sólo en dirección radial, con lo que la única coordenada espacialnecesaria para definir el sistema es r. De nuevo, se utiliza la ley de Fourier empleando la relaciónapropiada para el área. El área para el flujo de calor en un sistema cilíndrico es:

radio interior r1, donde la temperaturaes T1; un radio externo r2 atemperatura T2 y de longitud L m.Supóngase que hay un flujo radial decalor desde la superficie interior hastala exterior.Volviendo a escribir la ley de Fourier,con la distancia dr en lugar de dx

CILINDROS DE CAPAS MÚLTIPLES: La transferencia de calor en las industrias de proceso sueleocurrir a través de cilindros de capas múltiples, como sucede cuando se transfiere calor a travésde las paredes de una tubería aislada.

La figura muestra una tubería con dos capas deaislamiento a su alrededor; es decir, un total de trescilindros concéntricos. La disminución detemperatura es Tl - T2 a través del material A, T2 -T3,a través de B.

Evidentemente, la velocidad de transferencia decalor, q, será igual en todas las capas, pues se tratade un estado estacionario.

INTERCAMBIADORES DE CALOR

Son dispositivos utilizados para transferir calor desde una corriente (gas, líquido o sólido) a otra,un intercambiador de calor es un equipo utilizado para enfriar un fluido que está más caliente delo deseado, transfiriendo este calor a otro fluido que está frío y necesita ser calentado. Latransferencia de calor se realiza a través de una pared metálica o de un tubo que separa ambosfluidos, las aplicaciones de los intercambiadores de calor son muy variadas y reciben diferentesnombres.

Bajo la denominación general de intercambiadores de calor, o simplemente cambiadores de calor,se engloba a todos aquellos dispositivos utilizados para transferir energía de un medio a otro, sinembargo, en lo que sigue se hará referencia única y exclusivamente a la transferencia de energíaentre fluidos por conducción y convección, debido a que el intercambio térmico entre fluidos esuno de los procesos más frecuente e importante en la ingeniería. “Un intercambiador de calor esun dispositivo que facilita la transferencia de calor de una corriente fluida a otra”

Existen tres tipos básicos de intercambiadores de calor:

Recuperadores: son en los que nos centraremos, se basan en que los fluidos están separados porla pared del sólido y el proceso de transferencia de calor esta dominado por la convección y laconducción.

Regeneradores: los dos fluidos están en contacto con la misma superficie del sólido, el cual hacede almacén de energía entre los periodos en que pasa un fluido u otro. (bufanda en la boca).

De contacto directo: los dos fluidos se ponen en contacto mezclándose e intercambiando calor. Sison inmiscibles, posteriormente es fácil separarlos: (gas y líquido), en otros casos acaban comouna única corriente: equipos de regeneración en ciclos de turbinas de vapor.

Los intercambiadores recuperadores mas habituales son los de carcasa y tubo, uno de los fluidosva por la carcasa y el otro por el interior de los tubos que atraviesan la carcasa de lado a lado.Puede haber múltiples configuraciones de pasos por tubos y por carcasa.

Un intercambiador de calor sencillo se compone de tres secciones: la del evaporador en uno delos extremos donde el calor se absorbe y el fluido se vaporiza; la del condensador en el otroextremo en donde el vapor se condensa y el calor se rechaza y la adiabática entre ellas en dondelas fases de vapor y líquida del fluido se mueven en direcciones opuestas por el núcleo y la mecharespectivamente para completar el ciclo sin una transferencia significativa de calor entre el fluido yel medio circundante.

Dado que a lo largo del proceso de cálculo intervendrán dos fluidos, se deberá poder identificar entodo momento a cada uno de ellos, por lo que se utilizará la notación siguiente:• Se empleará el subíndice “c” para todas las propiedades o características correspondientes al

fluido caliente.• Para el fluido frío se usará el subíndice “f”.• Para indicar en que punto del intercambiador se considera la temperatura, se usará un segundo

subíndice, “e” para la entrada del cambiador, “s” para la salida del mismo.La ecuación de diseño general para un intercambiador de calor es:

𝑞 = 𝐴 𝑈 ∆𝑇Donde:A = superficie que separa ambas corrientesU = coeficiente global de transferencia de calor∆T = gradiente de temperatura entre la corriente fría y la corriente caliente

El calor fluye por convección a través del fluido caliente, por conducción a través de la pared deltubo y por convección al fluido frío. Como resultado de este proceso, la temperatura del fluido fríose eleva a medida que éste gana energía a su paso por el tubo y el fluido caliente disminuye sutemperatura a medida que éste pierde energía a su paso por el tubo.

El balance térmico de un intercambiador de calor, dice que el calor cedido por el flujo más calientees igual al absorbido por el frío.

𝑞 = ( 𝑚𝐶𝑝)𝑐 𝑇𝑒𝑐 − 𝑇𝑠𝑐 Fluido caliente

𝑞 = ( 𝑚𝐶𝑝)𝑓(𝑇𝑒𝑓 − 𝑇𝑠𝑓) Fluido frío

( 𝑚𝐶𝑝)𝑐 (𝑚𝐶𝑝)𝑓

=∆𝑇𝑓

∆𝑇𝑐

SISTEMA

Cualquier masa de material o segmento de equipoespecificados arbitrariamente y en el cual deseamosconcentrar nuestra atención. Un sistema se definecircundándolo con una frontera. La frontera del sistema notiene que coincidir con las paredes de un recipiente. Todamasa, equipos y energías externas al sistema definido sedesignan como entorno. Siempre debemos trazar fronterassimilares al resolver los problemas, pues este paso fijaclaramente el sistema y su entorno (Himmelblau,1997).TIPOS DE SISTEMAS:

1. Sistemas Abiertos: son aquellos que intercambian materia y energía con el entorno a través de las fronteras. Ej. Olla con agua hirviendo.

2. Sistemas Cerrados: son aquellos que solo pueden intercambiar energía con el entorno, pero no materia. Ej. Termo.

3. Sistemas Aislados: son aquellos en los que no se pueden intercambiar ni energía ni materia a través de las fronteras. Ej. Bomba Adiabática

BALANCE DE ENERGÍA

La expresión matemática del balance de masas puede simbolizarse de la siguiente manera, unavez hecho los arreglos matemáticos respectivos:

Acumulación = entrada – salida + producción – consumo

SIMULACIÓN NUMÉRICA: El Método de los Elementos Finitos, mediante la cual es posible generarsólidos de aspectos casi real, comprobar su comportamiento bajo diversas condiciones de trabajo,estudiar el movimiento conjunto de grupos de sólidos, etc. Esto permite un conocimiento muchomas profundo de un producto antes de que exista físicamente, siendo posible detectar muchos delos problemas que de otro modo se hubieran detectado en el servicio real. El método de loselementos finitos es una de las mas importantes técnicas de simulación y seguramente la masutilizada en las aplicaciones industriales.

Como puede apreciarse lo dicho, en el método de los elementos finitos son casi esenciales losconceptos de "discretización" o acción de transformar la realidad de la naturaleza continua en unmodelo discreto aproximado y de "interpolación", o acción de aproximar los valores de unafunción a partir de su conocimiento en un numero discreto de puntos. Por lo tanto el M.E.F. es unmétodo aproximado desde múltiples perspectivas.a) Interpolación.b) Regresiónc) Discretización.d) Diferencias numéricas.

INTERPOLACIÓN

Se denomina interpolación a la construcción de nuevos puntos partiendo del conocimiento de unconjunto discreto de puntos. En ingeniería y otras ciencias es frecuente disponer de un ciertonúmero de puntos obtenidos por muestreo o experimento y pretender construir una función quelos ajuste.

POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN DE NEWTON:Uno de estas formas de interpolación se denomina Polinomios de Interpolación de Newton, quetrabaja directamente en la tabla obtenida mediante el proceso de Diferencias Divididas;

Interpolación Lineal: La forma más simple de interpolar es la deconectar dos puntos con una línea recta. Este método,llamado interpolación lineal, se muestra en la figura.

INTERPOLACIÓN

Interpolación Cuadrática: Una estrategia que mejora la aproximación es la introducir ciertacurvatura en la línea que conecta a los puntos. Si se dispone de tres datos, lo anterior se puedellevar a cabo con un polinomio de segundo orden (llamado también polinomio cuadrático oparábola). Una manera conveniente para este caso es:

Diferencias Finitas Divididas: Sea F una función de valor real definida sobre Xk, Xk+1, ..... Xk+n nonecesariamente equidistante. Se define:

SIMULACIÓN DE SISTEMA

Ver el comportamiento de la temperatura mediante en un intercambiador de calor, utilizando elmétodo de diferencias finitas :mc 3 kg/s mf 1 kg/sCpc 1,9 KJ/Kg K Cpf 4,18 KJ/Kg KTec 120 °C Tef 25 °CU 0,5 KW/Km2 A 10 m2

DATOS

mc = 3kg/s

Cpc = 1,9KJ/Kg K

Tec = 120°C

mf = 1kg/s

Cpf = 4,18KJ/Kg K

Tef = 25°C

U = 0,5KW/Km2

A = 10m2

N = 20

Tc Tf qi ΔT

1 120 25 23,75 95

2 115,83 30,68 21,29 85,15

3 112,10 35,77 19,08 76,32

4 108,75 40,34 17,10 68,41

5 105,75 44,43 15,33 61,32

6 103,06 48,10 13,74 54,96

7 100,65 51,39 12,32 49,26

8 98,49 54,33 11,04 44,16

9 96,55 56,97 9,89 39,58

10 94,82 59,34 8,87 35,48

11 93,26 61,46 7,95 31,80

12 91,87 63,36 7,13 28,50

13 90,62 65,07 6,39 25,55

14 89,50 66,60 5,72 22,90

15 88,49 67,97 5,13 20,53

16 87,59 69,19 4,60 18,40

17 86,78 70,29 4,12 16,49

18 86,06 71,28 3,70 14,78

19 85,41 72,16 3,31 13,25

20 84,83 72,96 2,97 11,87

0

20

40

60

80

100

120

140

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

INTERCAMBIADOR DE CALOR

Temperatura fria Temperatura caliente

INTERPOLACIÓN

POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE:Presentamos ahora una forma alternativa del polinomio de interpolación P(x) asociado con unatabla de datos (xi , yi) con 0≤ i ≤ n. Es importante entender que existe uno y solo un polinomio deinterpolación de grado ≤ n asociado con los datos (suponiendo, claro está, que las n+1 abscisas xison distintas). Sin embargo, existe ciertamente la posibilidad de expresar este polinomio demaneras distintas y de llegar a él a través de distintos algoritmos.

Para el polinomio de grado uno nos queda:

Para el polinomio de interpolación de grado dos:

INTERPOLACIÓN

POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE:

La aproximación del polinomio cúbico es:

Ejemplo: Con un polinomio de interpolación de Lagrange de primero, segundo y tercer gradoevalué 1,5 ; basándose en los datos dados a continuación:

TAREA

1. En un proceso de desalinización usando un equipo de osmosis inversa se ha registrado los

siguientes datos:

¿Cuál es el flujo para una caída de presión de 23 bar usando un polinomio de grado 3?

2. ¿Cuál es el polinomio usando todos los puntos mediante el método de Newton?

Determine el polinomio de grado 3 para r= 30 y r= 45cm

3. La tabla siguiente enumera la población de los Estados Unidos a partir de 1940 a 1990.

TAREA

Encuentre el polinomio de Lagrange del grado 4, y utilice este polinomio para estimar la

población en los anos 1965.

4. Aproximar f (0.05) , mediante el polinomio interpolación de Newton usando la tabla siguiente:

REGRESION

Las técnicas de regresión permiten hacer predicciones sobre los valores de cierta variable Y(dependiente), a partir de los de otra X (independiente), entre las que intuimos que existe unarelación.

REGRESIÓN LINEAL: Consiste en ajustar a una línea recta un conjunto de parejas de datosobservados: (X1, Y1), (X2, Y2),………, (Xn, Yn) y para ello utilizaremos el método de mínimoscuadrados. La expresión matemática de la función lineal es g(x)=a0 + a1x donde a0 y a1 sonconstantes a determinar.

REGRESIÓN POLINOMIAL: El método de mínimos cuadrados puede extenderse para ajustar unpolinomio de cualquier valor a los datos de una medición. g(x) = a0 + a1x + a2x2 + amxm di=yi –g(xi).

REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE: Una extensión útil en la regresión lineal es el caso en que y es unafunción lineal de dos o más variables. Por ejemplo, y pudiera ser una función lineal de x1 y x2, dela forma: y = a0 + a1x1 + a2x2

ECUACIONES DIFERENCIALES NUMÉRICAS

Con mucha frecuencia aparecen problemas en ingeniería, física, química, ecología meteorología,sociología, etc., que exigen el manejo de ecuaciones diferenciales, muchas de las cuales no sepueden resolver pos los métodos convencionales, teniéndose que recurrir a métodos numéricosaproximados. Se llama ecuación diferencial aquella ecuación que contiene una variabledependiente y sus derivadas con respecto a una o más variables independientes. Se dividen endos grandes grupos:• EDO, si contienen una sola variable independiente.• EDP, cuando contienen varias variables independientes.

Una ecuación que relacione los valores de una función y = f(t) con una o varias de sus diferenciasfinitas, se llama ecuación en diferencias finitas en f(t). En adelante las llamaremos simplementeecuaciones de diferencia. El orden de estas ecuaciones está determinado por la diferencia demayor grado que se encuentre en la ecuación. Una función yt = f(t) es una solución de la ecuaciónde diferencia finita, si está definida para valores enteros no negativos y satisface la ecuación dada.

Estas se clasifican y estudian según el orden de la mayor derivada que aparece en la respectivaecuación diferencial. Ejemplo:𝑑𝑦

𝑑𝑡= −𝑘𝑦 es de 1er orden

m𝑑2𝑦

𝑑𝑡2= −𝑘𝑦 es de 2º orden

𝑑3𝑦

𝑑𝑥3− 5

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 6𝑦 =0 es de 3er orden

Por ejemplo, son ecuaciones de diferencia de primer orden:a) y (t+1) + 3y(t) = 0b) y (t+1) = 2y + 5tc) y (t+1)- yt = 8d) y (t+1)-3y (t+1) = 2t

MÉTODO DE EULER: Consiste en dividir el intervalo de X0 a Xn en n subintervalos de ancho h. ℎ =𝑥𝑛 −𝑥0

𝑛obteniéndose un conjunto discreto de (n + 1) punto: x0, x1, x2 ……xn en el intervalo [x0 , xn]

generándose la sucesión de aproximaciones siguientes:

y1 = y0 + hf (x0 , y0)y2 = y1 + hf (x1 , y1)y3 = y2 + hf (x2 , y2). . . . . .yn+1 = yn + hf (xn , yn)

MÉTODO DE DIFERENCIAS FINITAS: Las diferencias divididas finitas se sustituyen por las derivadasen la ecuación original. Así una ecuación diferencial se transforma en un conjunto de ecuacionesalgebraicas lineales simultaneas.

EJEMPLO: Un horno recibe calor de las paredes cada cierto tiempo y cumple la siguientecondición: el calor recibido en cualquier hora es igual a las tres cuartas partes del calor recibido enla hora inmediatamente anterior, aumentando en 20°C. Plantear una ecuación de diferencia querelacione el calor de dos horas consecutivas.

SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN: Ya sea que estemos afrontando unproblema de ingeniería cuya solución implique la resolución de una ecuación diferencial de ordenn, o uno que implique la resolución de un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias deprimer orden.

Existen escasos tipos de ecuaciones diferenciales resolubles de primer orden, y se ha comprobadoque las técnicas de dibujo aproximado fallan si la expresión de la ecuación no es especialmentesencilla. Pero aunque la f (t,y) sea complicada siempre se podrá acudir a los métodos numéricos(iterativos y fácilmente programables), uno de ellos el método de Euler, el cual se explica acontinuación a partir de un problema de valores iniciales. Se quiere calcular aproximadamente lasolución del siguiente problema de valor inicial:

y′(t) = f (t, y(t)) t ≥ t0y(t0) =y0

A continuación se presenta la forma algorítmica del método de Euler, para aproximar la solución delproblema de valor inicial: y' = f(t,y) a ≤ t ≤ b, y(a)=α, en (N+1) números uniformemente espaciados en elintervalo [a,b]:

ENTRADAS: puntos extremos a,b; entero N; condición inicial α,SALIDA: aproximación w de y en los (N+1) valores de t.

Paso 1: Hacer h=(b-a)/N;t= a;w= αSALIDA: (t,w)

Paso 2: Para i=1,2,.., N seguir los Pasos 3 y 4.Paso 3: Hacer w=w+hf(t,w); (Calcular wi)

t= a + ih. (Calcular ti)

Paso 4: SALIDA (t,w)Paso 5: PARAR

EJEMPLO: Use el método de Euler con h=0.1, para calcular el valor aproximado de y(0.5), del problema devalor inicial: y' = -3t2y ; con y(0)= 3 ; 0 ≤ t ≤ 0.5

SERIES DE TAYLOR

La serie de Taylor es el fundamento matemático más importante para comprender, manejar yformular métodos numéricos que se basan en la aproximación de funciones por medio depolinomios, aunque a veces no sea muy evidente, la mayoría de los métodos numéricos se basanen la aproximación de funciones por medio de polinomios.

Sea f una función cuyas ‘n’ derivadas existen en un intervalo I y estas no tienen un tamañodesmesurado; es decir están acotadas:

𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑎 +𝑓′𝑎(𝑥 − 𝑎)

1!+𝑓′′𝑎(𝑥 − 𝑎)2

2!+𝑓′′′𝑎(𝑥 − 𝑎)3

3!+⋯+

𝑓𝑛𝑎(𝑥 − 𝑎)𝑛

𝑛!

Una función infinitamente derivable en un intervalo puede representarse como un polinomio apartir de sus derivadas evaluadas en un punto. Hacer una función equivalente a un polinomio deTaylor permite aproximar los valores mediante operaciones mas simples.

EJEMPLO: En el punto Xi = 1, la función f(X) y sus derivadas toman los siguientes valores: f(1) = 1;f'(1) = 6; f''(1) = 2; f'''(1) = 6. A partir de estos datos y utilizando la expansión en serie de Taylordada, encontrar el polinomio que permita predecir valor de la función para cualquier valor de X,en particular el valor de la función para X i+1 = 3.

NÚMERO DE PUNTOS REQUERIDOS: Nos cuestionamos cuantos puntos son necesarios paraobtener una aproximación de un dado orden (digamos O(∆x)) para una derivada de orden k. Porejemplo para obtener una aproximación a la derivada primera es obvio que necesitamos al menosdos puntos ya que por dos puntos pasa una recta y la recta es el polinomio de bajo orden queposee una derivada de primer orden no nula. El mismo razonamiento nos dice que se necesitantres puntos para aproximar una derivada segunda. Por otra parte, parece también obvio que siqueremos una aproximación de mayor orden entonces necesitaremos más puntos. La expresiónque relaciona:• N el número de puntos• p la precisión del método• k el orden de la derivada a aproximar

Las diferencias divididas finitas se sustituyen por las derivadas en la ecuación original. Así unaecuación diferencial se transforma en un conjunto de ecuaciones algebraicas lineales simultaneas.

Primera derivada:𝒅𝒚

𝒅𝒙≈

𝒚𝒊+𝟏 −𝒚𝒊

∆𝒙

Segunda derivada:𝒅𝟐𝒚

𝒅𝒙𝟐≈

𝒚𝒊+𝟏 −𝟐𝒚𝒊+𝒚𝒊−𝟏

∆𝒙𝟐

Tomando una h pequeña, si h > 0 se llama formula de diferencia progresiva

f ′ x = y12x−x2−x3

(x1−x2)(x1−x3)+y2

2x−x1−x3

(x2−x1)(x2−x3)+y3

2x−x1−x2

(x3−x2)(x3−x1)

EJEMPLO: El flujo de calor en la interfaz suelo-aire puede calcularse con ley

𝑞 𝑧 = 0 = −𝑘𝜌𝐶𝑑𝑇

𝑑𝑧

x xi xi+1 xi+2 xi+3

f (x) f(xi) f(x+1) f(x+2) f(x+3)

Donde q = flujo de calor, k = coeficiente de difusividad térmica (3.5x10-7), ρ = la densidad del

suelo (1800Kg/m3), C = calor específico del suelo (840).

Z (m) 0 1,25 1,75

T (°C) 13,5 12 10