simulación (1)

SIMULACIÓN

NATURALEZA

La Simulación es una técnica que combina

conceptos Estadísticos, Financieros, Económicos y

de Investigación de Operaciones, con la capacidad

que tienen los ordenadores para automatizar

cálculos

¿PORQUE SE DEBE UTILIZAR LA SIMULACIÓN?

Al modelar algunos problemas del mundo real, estos pueden ser tan complejos o grandes, que no es posible o no es práctico desarrollar una metodología de solución basada en el análisis matemático existente quepudiera requerir supuestos adicionales que no son aplicables o realistas, como:

- Las hipótesis bajo las cuales se fundamentan los modelos teóricos no son fáciles de comprobar o, aún mas, no se cumplen en algunos problemas reales

- Todas las características del problema analizado no se involucran en el modelo analítico

- En algunas situaciones se puede modelar el problema analítico pero no es posible obtener solución.

HISTORIA DE LA SIMULACIÓN

Los orígenes están ligados al trabajo desarrollado por STAN ULAM y JHON VON NEUMAN a finales de los 40 en el laboratorio de los

ALAMOS, cuando investigaban el movimiento Aleatorio de los

neutrones y lo llamaron ANALISIS MONTE CARLO (proviene de la

ciudad de MÓNACO, donde abundan los casinos de juego y donde

el azar, la probabilidad y el comportamiento aleatorio conforman un estilo de vida)

La simulación MONTE CARLO se ha venido aplicando a una

infinidad de ámbitos como alternativa a los modelos matemáticos exactos o incluso como único medio de estimar soluciones para

problemas complejos

En la actualidad es posible encontrar modelos que hacen uso de

simulación MC En las áreas de Informática, Empresarial, Económica, Industrial e incluso Social, es decir, la simulación MC está presente

en todos aquellos ámbitos en los que el Comportamiento aleatorio

c probabilístico desempeña un papel fundamental

Los modelos de simulación abundan en el mundo. Boeing

Aircraft los utiliza para probar la aerodinámica de los jet

propuestos; la armada delos EE.UU, simula juegos de guerra

en las computadoras; los estudiantes de administración utilizan

juegos administrativos para simular la competencia real en los

negocios; y miles miles de organizaciones desarrollan modelos

de simulación como herramienta en la toma de decisiones de operación.

DEFINICIÓN DE SIMULACIÓN

- La Simulación es el intento de duplicar los aspectos, la

apariencia, y las características de un sistema real

- La Simulación es una ayuda formal para la toma de decisiones,

la cual es adaptable a las complejidades y cambios de los negocios

modernos y que puede desarrollarse y comunicarse eficientemente.

VENTAJAS Y DESVENTAJAS DE LA SIMULACIÓN

VENTAJAS

- La simulación es directa y flexible

- La simulación se puede utilizar para analizar situaciones grandes

y complejas del mundo real que no pueden ser resueltas por modelos

de Administración de Operaciones convencionales.

- La simulación permite la inclusión de complicaciones del mundo real que la mayoría de los modelos simbólicos no permiten.

- La simulación permite el tipo de preguntas ¿”Qué sucedería si …”?

- Con la simulación es posible la “compresión del tiempo”. Los efectos de las políticas de los modelos simbólicos sobre varios meses o años se pueden obtener a través de la simulación por computadora rápidamente.

- La simulación puede utilizar cualquier distribución de probabilidad

que defina el usuario; no requiere de distribuciones estándar.

- Las simulaciones no interfieren con los sistemas del mundo real.

- La simulación permite estudiar el efecto interactivo de los componentes individuales o las variables con el fin de determinar cuales son importantes.

- Los buenos modelos simulación pueden ser muy caros y tomar varios años para desarrollarse.

- La simulación no genera soluciones óptimas, es un sistema de ensayo y error que puede producir soluciones diferentes en corridas repetidas

DESVENTAJAS

- Los que simulan deben generar todas las condiciones y restricciones que desean examinar.

- Cada modelo de simulación es único

¿Qué es la Simulación Montecarlo?

La Simulación Montecarlo es una técnica cuantitativa que hace uso de las Estadísticas y los ordenadores para imitar, mediante modelos matemáticos, el comportamiento aleatorio de sistemas reales no dinámicos.

La clave en la simulación MC consiste en crear un modelo matemático del sistema, proceso o actividad que se quiere analizar. La técnica se desarrolla en los siguientes sencillos pasos:

En todos los experimentos de simulación existe la necesidad de generar valoresde las variables aleatorias que representan a una cierta distribución de probabilidad. Durante un experimento o de simulación, el proceso de generar un valor de la variable aleatoria de una distribución particular, puede repetirse tantas veces como se desee y tantas veces como distribuciones de probabilidadexistan en el experimento de simulación.

¿Qué son los números Aleatorios?

1. Identifique aquellas variables (imputs del modelo) cuyo comportamiento aleatorio determina el comportamiento global del sistema.2. Una vez identificados dichos imputs o variables aleatorias (valores concretos) se lleva a cabo un experimento consistente en generar valores concretos3. Establecer una distribución de probabilidad (frecuencia relativa) para esas variables de interés.4. Construir una distribución de probabilidad de acumulada para cada variable5. Generar números aleatorios6. Simular una serie de ensayos

Sin embargo, es conveniente señalar que el proceso de generación valores de variables aleatorias no uniformes se hace a partir de números aleatorios.

Los números Aleatorios conocidos como números pseudo-aleatorios son los elementos básicos a partir de los cuales se desarrolla cualquier simulaciónpor ordenador

Las Hojas de cálculo como excel (y cualquier lenguaje de programación estándar) son capaces de generar números pseudo-aleatorios provenientes de una Distribución Uniforme entre el 0 y el 1 en los que se cumple lo siguiente: 1. El enfoque se basa en métodos numéricos2. La serie específica, depende de un valor inicial proporcionado por el usuario llamado semilla Para una semilla particular la serie esta determinada. Cada vez que se usa esta semilla se generara la misma serie de números aleatorios.

La importancia de los números aleatorios radica en su uso para la generación de valores para las variables aleatorias mas complicadas que son requeridas enlos experimentos de simulación.

- Son Uniformemente distribuidos (generados por una distribución probabilística uniforme)- Son estadísticamente independientes- Son reproducibles- El período largo, es decir, sin repetición dentro de una longitud determinada de sucesión)- Generados a través de un método rápido- Generados a través de un método que no requiera mucha capacidad de almacenamiento de la computadora.

Independientemente del proceso o procedimiento que se utilice para la generación de números aleatorios estos deben poseer ciertas características deseables que aseguren o aumenten la confiabilidad de los resultados obtenidos en la simulación. Tales características son:

CASO

Los siguientes datos muestran los registros de rayos X obtenidos en 50 períodos consecutivos de 60 segundos:

1 0 2 4 1 1 2 1 3 0 0 2 1 0 2 3 3 0 4 1 2 0 2 1 1 4 2 1 1 31 1 4 2 0 0 3 2 1 23 1 0 2 3 1 0 1 0 3

CASOSuponga que se decide llevar a cabo un estudio comparativo del costo de una comida en un restaurante de una gran ciudad con el de una comida similar en un restaurante fuera de la ciudad (suburbios)

CONSULTA 1

CIUDAD50 38 43 56 51 36 25 33 41 4434 39 49 37 40 50 50 35 22 4544 38 14 44 51 27 44 39 50 3531 34 48 48 30 42 26 35 32 6336 38 53 23 39 45 37 31 39 53

FUERA DE LA CIUDAD37 37 29 38 37 38 39 29 36 38 44 27 24 34 44 23 30 32 25 2943 31 26 34 23 41 32 30 28 3326 51 26 48 39 55 24 38 31 3051 30 27 38 26 28 33 38 32 25

EJEMPLO

En la siguiente tabla se muestra un análisis histórico de 200 días sobre elNúmero de consultas diarias realizadas a un sistema de información empresarial(EIS) residente en un servidor central.

La tabla incluye el número de consultas diarias (0 a 5) junto con las frecuenciasAbsolutas (número de días que se producen 0, 1, …, 5 consultas)

Clase Consultas EIS

Frec. Abs. (días)

Frec. Relativa

(%)

Frec. Relat. Ac.(%)

1 0 10

2 1 20

3 2 40

4 3 60

5 4 40

6 5 30

TOTAL 200

El tercer paso es calcular las frecuencias relativas (Frecuencia absoluta / 200)podemos interpretar la Frecuencia relativa como la probabilidad de que ocurra el suceso asociado. En este caso, la probabilidad de un determinado número de consultas, por lo que la tabla anterior nos proporciona la distribución de probabilidadasociada a una variable aleatoria discreta.

El cuarto paso es acumular dichas frecuencias relativas

El quinto paso es generar números pseudo-aleatorios. En Excel es posible usando la función ALEATORIO

La función ALEATORIO es una función volátil de Excel. Esto significa que cada vezQue pulsamos la tecla F9 o cambiemos algunos imputs del modelo, todas las celdas donde aparezca la función ALEATORIO serán re calculadas de manera automática

Asignamos para la función aleatorio una casilla del Excel (digamos la columna G)y luego seleccionando la celda y “arrastrando” con el borde derecho de la misma se obtiene un listado de dichos números

Usando la columna de las frecuencias relativas acumuladas se pueden obtenerLos intervalos de los números aleatorios, así:

• [0.00 , 0.05)• [0.05 , 0.15)• [0.15 , 0.35)• [0.35 , 0.65)• [0.65 , 0.85)• [0.85 , 1.00)

A continuación podemos usar la función si de Excel para asignar un sucesoA cada uno de los números pseudo-aleatorios generados, así:

=SI(G1<E$3;B$3;SI(G1<E$4;B$4;SI(G1<E$5;B$5;SI(G1<E$6;B$6;SI(G1<E$7;B$7;B$8)))))

Repitiendo el proceso de seleccionar y “arrastrar” para finalmente, usando la función PROMEDIO será posible calcular la media de los valores de la columna H

Mientras se incremente el número de simulaciones los valores que obtendríamosSerían muy cercanos al parámetro o valor real

SIMULACIÓN MC CON VARIABLES DISCRETAS

Veamos un ejemplo algo mas complejo del uso del Excel paraconstruir modelos de simulación MC cuando las variables son discretas.

PLANEAMIENTO DEL PROBLEMA

Supongamos que trabajamos en un gran almacén informático, y que nos piden consejo para decidir sobre el número de licencias de un determinado sistema operativo que conviene adquirir- Las licencias se suministrarán con los ordenadores que se vendan durante el próximo trimestre, y es lógico pensar que en pocos meses Habrá un nuevo sistema operativo en el mercado de características superiores.Cada licencia de sistema operativo le cuesta al almacén un total de 75 dólares, Mientras que el precio al que la vende es de 100 dólares- Cuando salga al mercado la nueva versión del sistema operativo, el almacén podrá devolver al distribuidor las licencias sobrantes, obteniendo a cambio un total de 25 dólares por cada una-Basándose en los datos históricos de los últimos meses, los responsables del Almacén han sido capaces de determinar la siguiente distribución de probabilidad por lo que las ventas de licencias del nuevo sistema operativo se refiere:

N° de Lic. vendidas

probabilidad Prob. Acum. Ext.inf intervalo

Ext. sup. intervalo


100 0.30

150 0.20

200 0.30

250 0.15

300 0.05

FASES PARA DESARROLLAR EL MODELO

1. DEFINIR LAS VARIABLES NO CONTROLABLES (Aleatorias)

2. DEFINIR LAS VARIABLES NO CONTROLADAS DETERMINISTAS

3. DEFINIR VARIABLES CONTROLADAS

4. CALCULO DE LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN

5. INTEGRACIÓN DE LOS ELEMENTOS EN EL MODELO

6. FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE LOS ELEMENTOS SIMULADOS COMO HERRAMIENTA DE DECISIÓN

7. COMPARACIÓN DE LOS BENEFICIOS ESPERADOS

1. VARIABLES NO CONTROLABLES ALEATORIASN° de

Lic. vendidasprobabilidad

100 0.30

150 0.20

200 0.30

250 0.15

300 0.05

2. VARTIABLES NO CONTROLABLES DETERMINISTAS

- Costo por licencia 75 dólares- Ingresos por licencia vendida 100 dólares- Ingresos por licencia devuelta 25 dólares

-- Cantidad de licencias a comprar 200

3. VARIABLES CONTROLABLES

´Número de licencias vendidas: 100, 150, 200, 250, 300

4. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES DE LAS VARIABLES NO CONTROLABLES


probabilidad Prob. Acum. Ext.inf intervalo

Ext. sup. intervalo


100 0.30 0.30 0.00 0.3 100

150 0.20 0.50 0.3 0.5 150

200 0.30 0.80 0.5 0.8 200

250 0.15 0.95 0.8 0.95 250

300 0.05 1 0.95 1 300

5. INTEGRACIÓN DE LOS ELEMENTOS DEL MODELO

A2 : número de licencias vendidas

B2 : Probabilidad

C2 : Probabilidad Acumulada

D2 : Extremo inferior del intervalo

E2 : Extremo superior del intervalo

F2 : Número de licencias vendidas

H1 : Número aleatorio (titulo)

H2 : =ALEATORIO ()

C11: Costo por licencia

C12: INGRESOS POR LICENCIA VENDIDA

C13: INGRESOS POR LICENCIA DEVUELTA

C14 : CANTIDAD DE LICENCIAS A COMPRAR

I1 : Licencias vendidas (titulo)

I2 : =MIN(BUSCARV(H2;$D$:$F$7;3);$C$14)

J1 : Licencias devueltas (titulo)

J2 : =$C$14-I2K1 : COSTO (Titulo)

K2 : =$C$14*$C$11

L1 : INGRESOS POR VENTAS (Titulo)

L2: =12*$C$12

M1 : INGRESOS POR DEVOLUCIÓN (Titulo)

M2 : =J2*$C$13

N1 : BENEFICIO (Titulo)

N2 : =l2+M2-K2

LUIS JAVIER CEBALLOS GUTIÉRREZ

LA DISTRIBUCIÓN DE POISSON

USOS

Importante en la Teoría de Líneas de Espera y Confiabilidad o para eventos que tienen que ver con tiempo o espacio como:

-Llegadas o salidas de un sistema cualquiera

-Defectos en manufactura o en la mayoría de aspectos de Control de calidad


MODELO POISSON

...0

,...2,1,0!

)()(

...,2,1,0

:..

coe

Xparax

xxXp

X

lleganqueunidadesdeNúmeroXavlaSea

efx

2

XE : Numero promedio de unidades (clientes) que llegan al sistema por unidad de tiempo

1/ : Tiempo promedio entre llegadas

ESPERANZA Y VARIANZA


MODELO DE LA DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL

...0

01

)(

0

...:..

coe

TB

t

Btf

T

entreTiempoTavlaSea

e

22

][

B

BTE

B:Tiempo promedio entre...

1 / B : Número promedio de unidades que ...


GRAFICA DE LA DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL

PROBABILIDADES EN LA DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL

e

et

tTp

ttTp

tTp

T

entreTiempoTavlaSea

B

B

1

1

)(

1)(

0)(

0

...:..

LUIS JAVIER CEBALLOS GUTIÉRREZLUIS JAVIER CEBALLOS GUTIÉRREZ

DISTRIBUCIÓN CHI-CUADRADO

USOSAyuda a validar modelos diciéndonos si:- Un conjunto de ocurrencias son

aleatorias o - El modelo al cual se ajustan estas ocurrencias

...0

0

2

)(

0

)(:..

2

2

12

2coe

Xparav

x

X

socurrenciadeConjuntoXavlaSea

exfx

v

v

MODELO DE LA DISTRIBUCIÓN CHI-CUADRADO


v : Llamados grados de libertad

v = k - 1

k : Número de clases en la distribución experimental

v

vXE

2

][2

ESPERANZA Y

VARIANZA

GRAFICA DE LA DISTRIBUCIÓN CHI - CUADRADO

t


calculadacuadradoChi

xejeelsobrepuntoteoricocuadradoChi

c

t

:

)(:

k

i ic e

eo ii

1

2

)( xXpnei )( bXapnei

ei : Frecuencias esperadas

Oi : Frecuencias observadas

PRUEBA DE LA CHI-CUADRADO

Si la prueba es para una Distribución Discreta:

Si la prueba es para una Distribución Continua:


EJEMPLOS

1. Se supone que los registros de rayos cósmicos son completamente aleatorios y siguen una Distribución Poisson. Compruebe si esto es cierto en el caso de los siguientes datos acerca de los registros obtenidos en 50 períodos consecutivos de 60 segundos:

1 0 2 4 1 1 2 1 3 00 2 1 0 2 3 3 0 4 12 0 2 1 1 4 2 1 1 33 1 4 2 0 0 3 2 1 23 1 0 2 3 1 0 1 0 3

2. Los siguientes datos especifican la vida de 40 baterías de autos similares que se registran al décimo de año mas cercano. Se garantiza que las baterías duran tres años. Compruebe si los datos tienen un comportamiento de una Distribución Normal

2.2 4.1 3.5 4.5 3.2 3.7 3.0 2.6 3.4 1.63.1 3.3 3.8 3.1 4.7 3.7 2.5 4.3 3.4 3.62.9 3.3 3.9 3.1 3.3 3.1 3.7 4.4 3.2 4.11.9 3.4 4.7 3.8 3.2 2.6 3.9 3.0 4.2 3.5


EJERCICIO

En un estudio de un expendio local de hamburguesas, los estudiantes hicieron las siguientes observaciones: Parece que los clientes llegan al azar debido a diferencias en el volumen y la complejidad de los pedidos; y la duración para atender a cada cliente es aleatoria. Todos los clientes se colocan en una sola fila para hacer y recibir sus pedidos.

los tiempos de servicio (en segundos) son:

25 20 45 25 13 52 35 25 25 45 2538 42 55 45 15 70 20 28 30 55 3258 65 10 85 50 13 10 30 45 15 30

Se supone que los tiempos de servicio se ajustan a la distribución de probabilidad Exponencial y se quiere comprobar si esto es cierto

EJEMPLO

En la siguiente tabla se muestra un análisis histórico de 200 días sobre elNúmero de consultas diarias realizadas a un sistema de información empresarial(EIS) residente en un servidor central.

La tabla incluye el número de consultas diarias (0 a 5) junto con las frecuenciasAbsolutas (número de días que se producen 0, 1, …, 5 consultas)

Clase Consultas EIS

Frec. Abs. (días)

Frec. Relativa

(%)

Frec. Relat. Ac.(%)

1 0 10

2 1 20

3 2 40

4 3 60

5 4 40

6 5 30

TOTAL 200

simulación (1)

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