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CONTROL AUTOMATICO

CAPITULO IXDISEÑO Y COMPENSACION DE SISTEMAS DE CONTROL CON

REALIMENTACIONJuan F. del Pozo

L.

Diseño y Compensación de Sistemas de Control

Introducción Redes de Compensación Compensación de sistemas en el dominio de

la respuesta a la frecuencia Compensación de sistemas en el dominio del

Plano “s”

22/04/23 FIEC 2

22/04/23 FIEC 3


Introducción Un sistema de control con realimentación que proporcione un funcionamiento óptimo sin

necesidad de ningún ajuste es verdaderamente raro Aun ajustando los parámetros del controlador del sistema muchas veces no se logra el

comportamiento deseado Es necesario por lo tanto “compensar” el sistema para lograr el comportamiento deseado Redes de Compensación pueden ser insertadas dentro de la estructura del sistema; por

ejemplo en: Camino Directo Camino de Realimentación A la entrada del sistema A la salida del sistema

El comportamiento deseado del sistema puede se especificado en: El Dominio del Plano “s” En el Dominio de la Frecuencia

22/04/23 FIEC 4

Redes de Compensación En esta sección consideraremos el caso de Compensadores insertados o en el Camino

Directo o en el Camino de Realimentación En forma general la red de compensación tendrá la forma:

De acuerdo con el caso a compensar, será necesario establecer el número de ceros y polos de la red

Es común que la red compensadora tenga un cero y un polo

Pueden ocurrir dos casos: Red de Adelanto de Fase: |z|<|p| Red de Atraso de Fase: |z|>|p|


N

1j j

M

1i icpcp

ps

zsKsG

)(

)()(

)()()(

pszsKsG cpcp

22/04/23 FIEC 5


Red de Adelanto de Fase Un circuito que cumple con las condiciones de la red de adelanto de

fase es:

De esta manera su función de transferencia puede ser definida de la siguiente forma:

zpRRR

zp

pzRCRRRp

CRz

RRRCRs

sCRRR

RsGcp

.;1;

;;1

1

1)(

2

21

21

21

1

21

21

1

21

2

1 1 /( ) ; ( ) ; ; .1 /cp cp

s z j zG s G j z p p zs p j p

22/04/23 FIEC 6


Red de Adelanto de Fase Gráfico normalizado de Bode de la red de

adelanto de fase:

Como se observa del gráfico, el ángulo máximo de adelanto de fase m ocurre en m , que es el promedio entre p y z en el gráfico logarítmico:

2

2

1 1

1 1 /( )1 /

( ) 20 log 1 /

20log 1 /

10 ( )

( ) tan ( / ) tan ( / )

cp

cp db

cp db

j zG jj p

G z

p

p G

z p

1log( ) (log( ) log( )) ; . /2m mz p z p p

22/04/23 FIEC 7


Red de Adelanto de Fase Gráfico normalizado de Bode de la red de adelanto de fase:

Utilizando las relaciones del triángulo rectángulo:

2

2

12

1

1 1 /( )1 /

1 1 / (1/ 1/ )( )1 ( / )

(1/ 1/ )tan ( ) ; ;1 /

1tan ( )2

cp

cp

m

m

j zG jj p

zp j z pG jp

z p pzpzp z

1 11m sen

22/04/23 FIEC 8


Red de Adelanto de Fase Gráfico del ángulo máximo de adelanto de fase m en función de Se observa que el máximo ángulo de adelanto que se puede lograr difícilmente

superaría los 70° Por otro lado, existen limitaciones prácticas del valor de que se puede obtener En caso de desear proveer una compensación mayor que 70° lo procedente es usar dos

redes de compensación de adelanto de fase en cascada

1 2

2

1 11

1 sin( )1 sin( )

m

m

m

R RR

sen

22/04/23 FIEC 9


Red de Atraso de Fase Un circuito que cumple con las condiciones de la red de atraso de fase es:

De esta manera su función de transferencia puede ser definida de la siguiente manera:

pzRRR

pz

pzRRC

pCR

z

RRsCsCRsGcp

.;1;

;)(

1;1)(1

1)(

2

21

212

21

2

1 1 /( ) ; ( ) ; ; .1 /cp cp

s z j zG s G j z p z ps p j p

22/04/23 FIEC 10


Red de Atraso de Fase Gráfico de Bode de la red de atraso de fase: Como se observa del gráfico, el ángulo máximo de atraso de fase m ocurre en m , que es

el promedio geométrico entre p y z:

1/ ; 1/ .1 /( )1 /

( ) 20log 1 /

20log 1 /( ) (1 / ) (1 / )

cp

cp db

z pj zG jj p

G j z

j p

j z j p

22/04/23 FIEC 11


Compensación de sistemas en el dominio de la respuesta a la frecuencia Compensación mediante red de Adelanto de Fase

Se dispone de un sistema que tiene la siguiente función de transferencia:

Se especifica como error de estado estacionario de 5% y que su margen de fase sea por lo menos 45° Como se observa, el sistema es “Tipo 1” por lo tanto tenemos un error finito

para entrada de prueba tipo rampa

1( ) ; ( ) 1 ; ( )( 2) (1 / 2)vKG s H s GH j K

s s j j

0lim ( ) ; ( ) .

0.05 ; 20

v s

ss vv

K sGH s r t A t

Ae A KK

22/04/23 FIEC 12


Compensación de sistemas en el dominio de la respuesta a la frecuencia

Compensación mediante red de Adelanto de Fase

Como primer paso encontraremos el Margen de Fase del sistema no compensado cumpliendo con la especificación de la constante de error deseada : Kv = 20

PM = 17.9° cp = 6.17 rad/s No se cumple con el PM

deseado de 45°

22/04/23 FIEC 13

Diseño y Compensación de

Sistemas de Control


Compensación mediante red de Adelanto de Fase.

Ejemplo 10.2 Ejemplo 10.2b


20( )(1 0.5 )

GHsc jj j

22/04/23 FIEC 14




El ángulo de aporte del compensador será 31.5°

Se calcula Se calcula m = 8.50 rad/s Se calcula el compensador

El sistema compensado1s0660

1s210Gcp

..

3 2

4.20 20( )0.033 0.56

sGHcc ss s s




Efecto del compensador de Adelanto de Fase en el Ancho de Banda

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22/04/23 FIEC 16


22/04/23 FIEC 17


Encuentre el Margen de Fase del sistema no compensado cumpliendo con la especificación de la constante de error deseada

Permitiendo un pequeño margen de seguridad (sobrecompensación), calcule el adelanto de fase necesario “m”

Calcule el valor de “” Calcule el valor de “10log” y encuentre el nuevo valor de “m” donde

el gráfico de magnitud no compensado es igual a - 10log Calcule los valores de p y z Obtenga la respuesta de frecuencia del sistema compensado y

compruebe sus resultados. Aumente la ganancia por el factor para compensar la atenuación que introdujo el compensador


22/04/23 FIEC 18


Compensación de sistemas en el dominio de la respuesta a la frecuencia Compensación mediante red de Atraso de Fase


Se especifica como error de estado estacionario de 5% y que su margen de fase sea por lo menos 45° Como se observa, el sistema es “Tipo 1” por lo tanto tenemos un error finito

para entrada de prueba tipo rampa

0lim ( ) ; ( ) .

0.05 ; 20

v s

ss vv

K sGH s r t A t

Ae A KK

1( ) ; ( ) 1 ; ( )( 2) (1 / 2)vKG s H s GH j K

s s j j

22/04/23 FIEC 19



Compensación mediante red de Atraso de Fase


PM = 17.9° cp = 6.17 rad/s No se cumple con el PM

deseado de 45°

22/04/23 FIEC 20


Sistemas de Control Compensación de sistemas en el

dominio de la respuesta a la frecuencia

Compensación mediante red de Atraso de Fase.

Ejemplo 10.8 Ejemplo 10.8b


20( )(1 0.5 )

GHsc jj j

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El margen de fase deseado ocurrirá en: c = 1.66 rad/s

Se calcula Se calcula el compensador

El sistema compensado1s5455

1s016Gcp

..

3 2

120.2 20( )27.77 56.04

sGHcc ss s s




Efecto del compensador de Atraso de Fase en el Ancho de Banda.

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22/04/23 FIEC 23


22/04/23 FIEC 24



Encuentre el Margen de Fase del sistema no compensado cumpliendo con la especificación de la constante de error deseada

Encuentre el valor de la frecuencia “c” donde se cumpliría el requisito del margen de fase deseado, permitiendo un pequeño margen de seguridad (sobrecompensación)

Calcule el valor de “” del valor que debe desplazarse verticalmente la curva de magnitud (20 log) para que el valor de “0 db” pase por la frecuencia “c”

Fije el valor del cero “z” del compensador de atraso una década mas abajo de “c” Calcule el valore de polo “p” del conpensador de la red de atraso Obtenga la respuesta de frecuencia del sistema compensado y compruebe sus

resultados

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Compensación de sistemas en el dominio del Plano “s” Compensación mediante red de Adelanto de Fase


Se desea que el sistema se comporte como uno de segundo orden con una constante de amortiguamiento de: 0.45, un tiempo de estabilización de: Ts = 1 s y una constante de error de estado estacionario de: Ess = 5%

Como se observa, el sistema es “Tipo 1” por lo tanto tenemos un error finito para entrada de prueba tipo rampa

2

4 1 ; 0.45

; 4

1 ; 8

sn

n

n

T

R R

I I

( ) ; ( ) 1( 2)KG s H s

s s

22/04/23 FIEC 26


Compensación de sistemas en el dominio del Plano s


Como primer paso encontraremos el Lugar Geométrico del sistema sin compensación


Como se observa, no es posible tener raíces dominantes en:

8j4r 21 ,

2

4 1 ; 0.45

; 4

1 ; 8

sn

n

n

T

R R

I I

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dominio del Plano s Compensación mediante red de

Adelanto de Fase. Ejemplo 10.4 Como primer paso encontraremos el Lugar

Geométrico del sistema sin compensación


)()(

2ssKsGH

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Se calcula el compensador ubicando el cero igual a la parte real de la raíz dominante deseada y el polo aplicando el criterio del ángulo

El sistema compensado

Como se observa, no se cumple con el Kv deseado, aunque su valor es muy cercano.

8710s4sGcp.

3 2

4( )

12.87 21.7596.2517.7v

K sG s

s s sKK

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Compensación de sistemas en el dominio del Plano s Compensación mediante red de Adelanto de Fase

22/04/23 FIEC 30


Compensación de sistemas en el dominio del Plano “s” Compensación mediante red de Adelanto de Fase

Obtenga el gráfico del lugar geométrico de las raíces del sistema no compensado Encuentre la ubicación de las raíces dominantes de acuerdo con las especificaciones

deseadas Ubique el cero “z” del compensador de adelanto de fase con una magnitud igual a la

parte real de las raíces deseadas Calcule el valor del polo “p” del conpensador de la red de adelanto aplicando el criterio

del ángulo Calcule la ganancia total del sistema en la localización deseada de las raíces aplicando

el criterio de magnitud y después calcúlese la constante de error

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Compensación de sistemas en el dominio del Plano “s” Compensación mediante controlador PI

El controlador PI tiene una función característica con un cero real y un polo en el origen.

El método a aplicar es similar al utilizado con la Red de Adelanto de Fase realizado en el dominio del Plano s. En este caso la posición del polo es fija y está ubicado en el origen; el cero se lo ubica aplicando el Criterio del Angulo. Mediante la aplicación del Criterio de Magnitud se determina la ganancia del sistema compensado.

Se desea que el sistema se comporte como uno de segundo orden con una constante de amortiguamiento de: 0.45, un tiempo de estabilización de: Ts = 6 s.

( / )1( ) ; ( ) 1 ; ( )( 2)( 0.5)

I I PP PK s K KG s H s Gc s K K

s s s s

2

4 6 ; 0.45

; 0.66

1 ; 1.32

sn

n

n

T

R R

I I

22/04/23 FIEC 32

Compensación de sistemas en el dominio del Plano “s” Compensación mediante controlador PI

22/04/23 FIEC 33


Compensación de sistemas en el dominio del Plano “s” Compensación mediante red de Atraso de Fase


Se desea que el sistema se comporte como uno de segundo orden con una constante de amortiguamiento de: 0.45 y una constante de error de estado estacionario de: Ess = 5%

Como se observa, el sistema es “Tipo 1” por lo tanto tenemos un error finito para entrada de prueba tipo rampa

( ) ; ( ) 1( 2)KG s H s

s s

0lim ( ) ; ( ) .

0.05 ; 20

v s

ss vv

K sGH s r t A t

Ae A KK

22/04/23 FIEC 34




Como primer paso encontraremos el Lugar Geométrico del sistema sin compensación

Se desea que el sistema se comporte como uno de segundo orden con una Constante de Amortiguamiento de: 0.45 y una constante de error de estado estacionario de: Ess = 5%

Se observa que el gráfico del Lugar Geométrico de las Raíces se intercepta con la línea de la condición de la Constante de amortiguamiento.

Como se observa, si es posible tener raíces dominantes en:

1,2 1 2r j

22/04/23 FIEC 35



dominio del Plano s Compensación mediante red de Atraso

de Fase. Ejemplo 10.6 Como primer paso encontraremos el Lugar

Geométrico del sistema sin compensación

Se desea que el sistema se comporte como uno de segundo orden con una constante de amortiguamiento de: 0.45 y una constante de error de estado estacionario de: Ess = 5%

)()(

2ssKsGH

22/04/23 FIEC 36




Se calcula el valor de la ganancia sin compensación K y Constante de Error de Velocidad sin compensación Kvsc

Se calcula el valor “”

Se calcula el compensador

El sistema compensado01250s10s1Gcp

..

/ 7.9801v vscK K

5.0124 ; / 2vscK K K

3 2

0.1( )

2.013 0.02538 ; 19v

K sG s

s s sK K

22/04/23 FIEC 37

Compensación de sistemas en el dominio del Plano s Compensación mediante red de Atraso de Fase

22/04/23 FIEC 38


Compensación de sistemas en el dominio del Plano “s” Compensación mediante red de Atraso de Fase

Obtenga el gráfico del lugar geométrico de las raíces del sistema no compensado Encuentre la ubicación de las raíces dominantes de acuerdo con las especificaciones del

funcionamiento transitorio deseado en el lugar geométrico de las raíces del sistema no compensado

Calcule la ganancia del circuito en la localización deseada de las raíces y en base de ese resultado calcule la Constante de Error del sistema no compensado

Calcule la Constante de Error deseada al aplicar el compensador de Atraso de Fase Calcule el factor por el que tiene que multiplicar la Constante de Error del sistema sin

compensación para que se iguale a la del sistema compensado. Este factor será igual a “”

Asigne un valor pequeño para el cero del compensador “z”. El polo del compensador “p = z/” En forma relativa, “p” y “z” estarán localizados cerca del orígen del “Plano s”en comparación al valor de “n”

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Compensación Adelanto de Fase Atraso de Fase

Método Compensador agrega ángulo de adelanto próximo a la frecuencia de cruce para producir raíces dominantes deseadas

Compensador produce un aumento en la constante de error manteniendo las raíces dominantes deseadas o Margen de Fase

Resultados 1. Aumento del Ancho de Banda2. Aumento de la ganancia en la frecuencias

mas altas

1. Disminuye el Ancho de Banda2. Disminución de la ganancia en la frecuencias mas

altas

Ventajas 1. Produce la respuesta deseada2. Respuesta dinámica mas rápida

1. Suprime el ruido de alta frecuencia2. Reduce el Error de Estado Estacionario

Desventajas 1. Requiere ganancia adicional2. Debido al aumento del Ancho de Banda

susceptibilidad al ruido3. Puede requerir valores altos de los

componentes RC

1. Vuelve lenta la respuesta transitoria2. Puede requerir valores altos de los componentes

RC

Aplicaciones Cuando se desea respuesta transitoria rápida Cuando se especifican las constantes de error

No aplicable Cuando la fase disminuye rápidamente cerca de la frecuencia de cruce

Cuando no existe un intervalo de bajas frecuencias donde la fase sea igual al margen de fase deseado

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Sistemas con un Prefiltro Se los usa cuando se desea eliminar la acción de un cero de una red

compensadora de adelanto o la del cero del controlador PI. No se los usa en caso de redes de compensación de atraso. Para el sistema de segundo orden, el cero afecta al Sobrenivel

Porcentual( )

( )p

pG ss p

22/04/23 FIEC 41


Sistemas con un Prefiltro Se los usa cuando se desea eliminar la acción de un cero

de una red compensadora de adelanto En la respuesta al escalón en un sistema de segundo

orden, el cero afecta al Sobrenivel Porcentual Para el Ejemplo 10.4b


22/04/23 FIEC 42


Sistemas con un Prefiltro Para el Ejemplo 10.4b

Se desea que el sistema se comporte como uno de segundo orden con una constante de amortiguamiento de: = 0.45, un tiempo de estabilización de: Ts = 1 s y una constante de error de estado estacionario de: Ess = 5%

El sistema compensado con la red de Adelanto de Fase es:

Al aplicar el Pre-Filtro:

96.5 4( ) ( )

( 2)( 10.6)c p

sG s G s

s s s

( )( )pF ss p

22/04/23 FIEC 43


Sistemas con un Prefiltro Para el Ejemplo 10.4b

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