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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE

Matemticas II

Luis A. Cadogan Prof. Titular Ingeniero Captulo 9: Geometra Analtica del espacio

INDICE

21.COORDENADAS CARTESIANAS DE TRES EJES.

1.1.Octantes.21.2.Octantes.21.3.ngulos de direccin cosenos directores.31.4.Componentes de una recta.41.5.Punto de divisin de un segmento de recta.51.6.Angulo entre dos rectas.92.EL PLANO.102.1.Recta perpendicular a un plano.102.2.Planos paralelos y perpendiculares.102.2.1.Distancia de un punto a un plano.112.2.2.Angulo entre dos planos.113.LA RECTA EN EL ESPACIO.123.1.Ecuaciones de la recta en el espacio.123.1.1.Ecuacin en forma paramtrica.123.1.2.Ecuacin en forma contnua.123.2.Recta que pasa por dos puntos.133.3.Planos proyectantes.133.4.Rectas y planos: paralelismo y perpendicularidad.134.GRFICA DE UNA ECUACIN SIMETRA.145.SUPERFICIES.155.1.Superficies cudricas.155.2.La esfera.165.3.Elipsoide.165.4.Hiperboloide de una hoja.165.5.Hiperboloide de dos hojas.175.6.Paraboloide elptico.175.7.Paraboloide hiperblico.175.8.Cono recto circular.185.9.Superficie cilndrica.18

1. COORDENADAS CARTESIANAS DE TRES EJES.1.1. Octantes.

En el plano, un punto queda determinado por el par ordenado: P(X; Y) de sus coordenadas, y para la representacin grfica es suficiente el sistema cartesiano de dos ejes: X e Y. En el espacio la posicin de un punto queda determinada por la terna ordenada: P(X; Y; Z); X: abcisa; Y: ordenada; Z: cota; que es la distancia de dicho punto a tres planos perpendiculares, tomados dos a dos, definidos por los ejes cartesianos X Y Z, el Plano XY, el Plano YZ y el Plano XZ.

Cada plano coordenado divide el espacio en ocho (8) octantes.

Tomamos el Plano XY y consideramos el semieje Z positivo; los octantes 1, 2, 3 y 4 estn por encima del plano XY:

Para Z > 0:

Octante 1:X > 0; Y > 0.

Octante 2:X < 0; Y > 0.

Octante 3:X < 0; Y < 0.

Octante 4:X > 0; Y < 0.

Tomamos el plano XY y consideramos el semieje Z negativo; los octantes 5, 6, 7 y 8 estn por debajo del plano XY:

Para Z < 0:

Octante 5:X > 0; Y > 0.

Octante 6:X < 0; Y> 0.

Octante 7:X < 0; Y< 0.

Octante 8: X > 0; Y< 0.1.2. Octantes.

La distancia de un punto P(X; Y; Z) al origen O(0; 0; 0) es:

1.3. ngulos de direccin cosenos directores.

La recta OP = R; forma ngulos con los ejes coordenados:

: OP con el eje OX. : OP con el eje OY.

: OP con el eje OZ.

;

Elevamos al cuadrado:

. Sumamos:

.

;

;

.

Los ngulos ; y : son ngulos de direccin de la recta OP, y sus respectivos cosenos son denominados cosenos directores de OP.

1.4. Componentes de una recta.

La recta P1P2 definida por dos puntos P1(X1; Y1; Z1) y P2(X2; Y2; Z2) tiene tres componentes: a = X2 X1;

b = Y2 Y1

c = Z2 Z1

La distancia entre dos puntos es:

La recta P1P2, tiene direccin y los cosenos directores estn definidos:

1.5. Punto de divisin de un segmento de recta.

El punto de coordenadas P(X; Y; Z) divide a la recta P1P2, definida por los puntos P1(X1; Y1; Z1) y P2(X2; Y2; Z2) en la proporcin R.

.

Las coordenadas del Punto Medio corresponden para R = 1:

.

Ejercicio 9.1. Para el punto P1(6; 2; 3) calcular:

1.1. Distancia al origen.

Distancia de P1 al origen:

= 7.

1.2. Distancia a cada eje coordenado.

Distancia de P1 al eje X: .

Distancia de P1 al eje Y: .

Distancia de P1 al eje Z: .

1.3. Cosenos directores de la recta OP1.

.

.

.

Ejercicio 9.2. Para el punto P2(8; 2; 4), calcular:

2.1. Distancia al origen.

.

2.2. Distancia a cada eje coordenado.

Distancia de P2 al eje X: .

Distancia de P2 al eje Y: .

Distancia de P2 al eje Z: .

2.3. Cosenos directores de la recta OP2.

.

.

.

Ejercicio 9.3. Dados dos puntos: P1(5; 4; 6) y P2( 4; 5; 3) Calcular:

3.1. La distancia entre ambos: .

d12 = 9,54.

3.2. Las coordenadas del punto medio del segmento P1P2;

.

3.3. Los cosenos directores del segmento P1P2.

= 160,64.

= 96,01.

= 108,33.

Ejercicio 9.4. Para los puntos: P1(3; 2; 4) y P2( 6; 5; 8) Calcular:

4.1. La distancia entre ambos: .

4.2. Las coordenadas del punto medio del segmento P1P2;

.

Ejercicio 9.5. Para los puntos: P1(1; 3; 5) y P2(5; 7; 9) Calcular las coordenadas del punto P que est a 1/3 de la distancia de P1 a P2.

Determinacin de la razn R:

3P1P = P1P + PP2

2P1P = PP2 ;

.

.

.

Ejercicio 9.6. Para los puntos A(1; 4; 7) y B(5; 1; 11) calcular las coordenadas del punto P que divide al segmento de recta AB de manera que la proporcin de AP a PB sea de 4 a 7.

.

Ejercicio 9.7. Punto de interseccin de las medianas. Determinar las coordenadas del Baricentro (centro geomtrico o centro de rea) del tringulo cuyos vrtices son los puntos P1(X1; Y1; Z1); P2(X2; Y2; Z2) y P3(X3; Y3; Z3). El punto del baricentro B est a 2/3 de cada vrtice.

Punto del Baricentro B: P1M = P1B + BM

.

Coordenadas del punto M:

;

;

.

COORDENADAS DEL BARICENTRO:

.

.

.1.6. Angulo entre dos rectas.

Tenemos dos rectas: R1 definida por OP1 y R2 definida por OP2; el ngulo definido entre ambas se puede calcular aplicando la ley del coseno.

D = R2 R1

=

=

Pero escribiendo los cosenos directores de cada recta tendremos:

.

Si las dos rectas son paralelas: = 0 cos = 1 y

Si las dos rectas son perpendiculares: = 90 cos = 0 y

.

2. EL PLANO.

La ecuacin general del plano es una ecuacin de primer grado en X; Y:

siempre que A; B y C no sean nulos en forma simultnea.

La ecuacin de la familia de planos que pasan por un punto del espacio: P(X0;Y0;Z0;)

Est dada por la ecuacin:

2.1. Recta perpendicular a un plano.

Componentes de la lnea recta: a = X2 X1;b = Y2 Y1

c = Z2 Z1

Ecuacin general del plano. Si a; b; c; A; B; C son diferentes de cero y las componentes de la recta son proporcionales a los coeficientes de la ecuacin del plano:

entonces la recta es perpendicular al plano.

2.2. Planos paralelos y perpendiculares.

Dos planos definidos por sus ecuaciones:

y

Son paralelos, si los coeficientes de X; Y; Z son proporcionales entre si:

Son perpendiculares si:

La forma normal de la ecuacin de un plano es:

p es la distancia del origen al plano, y los ngulos y son los ngulos de la direccin de la perpendicular al plano por el origen.

La forma general de la ecuacin del plano:

es

El signo del radical se toma opuesto al de D para que la distancia p sea siempre positiva.

La ecuacin del plano que corta a los ejes coordenados X; Y; Z en los puntos a; b; c respectivamente est dada por:

2.2.1. Distancia de un punto a un plano.

La distancia de un punto P1 (X1; Y1; Z1) al plano: est dada por:

2.2.2. Angulo entre dos planos.

El ngulo agudo definido entre los dos planos:

y

Est dado por la ecuacin:

Los planos:

representan planos perpendiculares respectivamente a los los planos XY; YZ y XZ.

Los planos:

representan planos perpendiculares respectivamente a los los ejes X; Y y Z.

3. LA RECTA EN EL ESPACIO.

Una recta en el espacio est definida por la interseccin de dos planos:

excepto cuando estos sean paralelos.

3.1. Ecuaciones de la recta en el espacio.

Consideremos una recta L cuyos ngulos de direccin son: y pasa por un punto: P1 (X1; Y1; Z1).

3.1.1. Ecuacin en forma paramtrica.

L es el lugar geomtrico de los puntos P(X; Y: Z) tales que:

X X1 = t.cos. (

X = X1 + t.cos.

Y Y1 = t.cos. (

Y = Y1 + t.cos.

Z Z1 = t.cos. (

Z = Z1 + t.cos.

El parmetro t representa la longitud variable P1P; si las componentes de L son a; b y c, entonces podemos escribir:

X = X1 + at.Y = Y1 + bt.

Z = Z1 + ct.

3.1.2. Ecuacin en forma contnua.

Si la recta L es perpendicular a uno de los ejes coordenados la ecuacin de la misma podr ser:

Perpendicular al eje X:

Perpendicular al eje Y:

Perpendicular al eje Z:

En el caso de que la recta sea perpendicular a dos ejes coordenados queda determinada por las dos ecuaciones siguientes:

Perpendicular al eje X e Y:X = X1;Y = Y1;

Perpendicular al eje X y Z:X = X1;Z = Z1;

Perpendicular al eje Y y Z:Y = Y1;Z = Z1;

3.2. Recta que pasa por dos puntos.

Las ecuaciones de la recta que pasa por dos puntos: P1 (X1; Y1; Z1) y P2 (X2; Y2; Z2) son:

3.3. Planos proyectantes.

Cada plano que contiene a la recta puede tener como ecuacin una de estas:

Cada uno de estos planos es perpendicular a uno de los planos coordenados reciben el nombre de planos proyectantes de la recta.

3.4. Rectas y planos: paralelismo y perpendicularidad.

Una recta de componentes a; b y c y un plano AX + BY + CZ + D = 0 son:

Paralelos si se cumple que: Aa + Bb + Cc = 0 y

Perpendiculares si se cumple que:

Dadas las ecuaciones:

y

La ecuacin:

Siendo K un parmetro, representa el haz de planos que pasan por la recta de interseccin de los dos dados, todos los planos que pasan por dicha recta.

4. GRFICA DE UNA ECUACIN SIMETRA.

La grfica de una ecuacin en el espacio, sistema tridimensional de coordenadas, consta del conjunto de todos los puntos (X; Y; Z) que satisfagan a la misma, y recibe el nombre de SUPERFICIE.

Para analizar la simetra del conjunto solucin consideramos lo siguiente:

Al reemplazar X por X y la ecuacin original no se altera, la grfica tiene simetra con respecto al plano YZ.

Al reemplazar Y por Y y la ecuacin original no se altera, la grfica tiene simetra con respecto al plano XZ.

Al reemplazar Z por Z y la ecuacin original no se altera, la grfica tiene simetra con respecto al plano XY.

Ejercicio 9.8. Graficar la ecuacin: Y = 4.

La grfica de la ecuacin es el Plano que pasa por Y = 4 y es paralelo al plano XZ.

Ejercicio 9.9. Graficar la ecuacin 2X + 3Z = 6.

En el Plano XZ la ecuacin: 2X + 3Z = 6; representa una recta. Si tomamos un plano que pase por la recta y que sea paralelo al eje Y, para cada punto P de coordenadas P(X; Y; Z) tendremos un punto P sobre la recta con las mismas coordenadas X y Z P(X; 0; Z). El plano considerado es la grfica de la ecuacin dada.

Teorema:La grfica de una ecuacin de primer grado en una o ms variables es un plano paralelo al eje de cada variable faltante.

5. SUPERFICIES.

5.1. Superficies cudricas.

La superficie cudrica o simplemente cuadrica est definida por la ecuacin de segundo grado en tres variables.

Si aplicamos una rotacin de ejes o una traslacin de ejes o ambas transformaciones, esta ecuacin puede transformarse en una de las dos ecuaciones siguientes:

(1)

(2)

Si ninguna de las constantes de las ecuaciones (1) y (2) es nula podemos reescribirla asi:

(3)

(4)

La ecuacin (3) puede representar tres superficies distintas cuyas ecuaciones sern:

(5.1)

(5.2)

(5.3)

Estas tres superficies son simtricas con respecto al origen, por eso se denominan cudricas con centro.

Las superficies representadas por la ecuacin (4) son cudricas sin centro.

5.2. La esfera.

Si en la ecuacin (5.1) tenemos que: a = b = c; la misma se transforma en:

(6)

que es la ecuacin de una esfera con centro en C(0; 0; 0) y radio = a. Si el centro de la misma est desplazado del origen del sistema de coordenadas y est en: C(h; k; j) su ecuacin ser:

(6.1)

5.3. Elipsoide.

Si en la ecuacin (5.1) tenemos que: a; b y c; son distintos la misma representa a una elipsoide con centro en el origen, que es el caso ms general de una cudrica:

(7)

Si a ( b y b = c tenemos una elipsoide de revolucin.

(7.1)

Si el centro del elipsoide est desplazado del origen del sistema de coordenadas y est en: C(h; k; j) su ecuacin ser:

(7.2)

5.4. Hiperboloide de una hoja.

En caso de que el signo de una de las variables sea diferente tenemos el hiperboloide de una hoja.

(8)

Si a = b la superficie es el hiperboloide de revolucin de una hoja.

Las secciones paralelas a los planos XZ e YZ son hiprbolas. Las secciones paralelas al plano XY son elipses, ecepto en el caso del hiperboloide de revolucin en ese caso son circunferencias.

5.5. Hiperboloide de dos hojas.

Cuando dos variables tienen signo negativo tenemos el hiperboloide de dos hojas.

(9)

Esta ecuacin coincide con la ecuacin del elipsoide con signo contrario en dos variables. Si b = c tenemos una cudrica de revolucin.

5.6. Paraboloide elptico.

Es el lugar geomtrico representado por la ecuacin:

(10)

Si c > 0: La cudrica est por encima del plano XY.

Si c < 0: La cudrica est por debajo del plano XY.

Las secciones correspondientes a planos paralelos a los de coordenadas XZ o YZ son parbolas.

Las secciones obtenidas por los planos Z = k son elipses que aumentan de tamao a medida que nos alejamos del plano XY.

Si a = b tenemos una superficie de revolucin.

5.7. Paraboloide hiperblico.

Es el lugar geomtrico representado por la ecuacin:

c > 0(11)

Las secciones obtenidas por los planos Z = k, para k > 0, son hiprbolas cuyos ejes: real: es paralelo al eje X e imaginario: paralelo al eje Y. Aumentan de tamao a medida que nos alejamos del plano XY. Si k < 0 los ejes real e imaginario son paralelos a los ejes Y y X respectivamente. Si k = 0 la seccin degenera en un par de rectas:

(11.1)

5.8. Cono recto circular.

Su ecuacin es:

La superficie es generada por la rotacin de la recta Y = kX alrededor del eje Z. Las secciones horizontales producidas por planos paralelos al XY son circunferencias y las correspondientes a planos paralelos al YZ o al XZ son hiprbolas.

5.9. Superficie cilndrica.

Est generada por una recta que se desplaza paralelamente a otra fija y que se apoya constantemente en una curva fija. La recta mvil se llama generatriz de la superficie y la curva fija se llama directriz.

Una superficie cilndrica cuya generatriz es paralela a uno de los ejes coordenados y cuya directriz es una curva en el plano coordenado que es perpendicular a la generatriz tiene la misma ecuacin que la directriz.

Si la directriz es la elipse: ; la ecuacin del cilindro ser la misma.

P1

P2

Y

Z

X

D = R2 - R1

R2

R1

(a; 0; 0)

(0; b; 0)

(0; 0; c)

X

Y

B

M

P3

P2

P1

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Cap. 9- 6

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