83022198 introduccion a la hidraulica

7/22/2019 83022198 Introduccion a La Hidraulica

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INTRODUCCIN L HIDR ULIC

De existir magia en este mundo

esta estara contenida en el agua

BUSTAMANTE PONCE M.

SEGUNDAEDICINCOCHABAMBA -BOLIVIA


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INTRODUCCIN A LA HIDRAULICA

Segunda Edicin

Octubre 2005.

Mauricio Bustamante Ponce, Ing.Ingeniro Civil, Hidraulico Geotecnico

Asistencia Tcnica En Ingeniera Municipal S.R.L.

Cochabamba, Bolivia

Comentarios y sugerencias:[email protected]

[email protected]


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INTRODUCCION A LA HIDRAULICA NDICE

i

NDICE

Pgina1. CONCEPTOS GENERALES 11.1. MECNICA DE FLUIDOS 11.2. DEFINICIN DE FLUIDO 1

1.3. SISTEMAS DE UNIDADES 21.4. DENSIDAD DE MASA 31.5. PESO ESPECIFICO 31.6. VISCOSIDAD 31.7. COMPRESIBILIDAD 51.8. TENSIN SUPERFICIAL 71.9. CAPILARIDAD 71.10. PRESIN DE VAPOR 8EJERCICIOS RESUELTOS 10

2. ESTTICA DE LOS FLUIDOS 182.1. PRESIN 182.2. VARIACIN DE LA PRESIN CON RESPECTO A SU POSICIN 202.3. PARADOJA DE LA HIDROSTTICA 222.4. MEDICIN DE LA PRESIN 232.5. FUERZA SOBRE SUPERFICIES SUMERGIDAS 26

SUPERFICIE PLANA VERTICAL 26SUPERFICIE PLANA INCLINADA 26SUPERFICIE CURVA 28

2.6. FLOTABILIDAD Y ESTABILIDAD 29

PRINCIPIO DE ARQUIMIDES 31ESTABILIDAD DE CUEROS SUMERGIDOS 31ESTABILIDAD DE CUERPOS FLOTANTES 32

2.7. MASAS FLUIDAS SOMETIDAS A ACELERACIN CONSTANTE 33ACELERACIN LINEAL CONSTANTE 35VELOCIDAD ANGULAR CONSTANTE 37

EJERCICIOS RESUELTOS 38

3. CINEMTICA DE FLUIDOS 673.1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES 67

VELOCIDAD 67PERMANENCIA Y UNIFORMIDAD DE LAS VELOCIDADES 67CAMPOS DE FLUJO, LNEAS DE CORRIENTE, TRAYECTORIAS 68

3.2. ECUACIN GENERAL DEL VOLUMEN DE CONTROL 693.3. CONTINUIDAD, VELOCIDAD MEDIA Y CAUDAL 72

PLANTEAMIENTO PARA UN TUBO DE CORRIENTE 72ECUACIN DE LA CONTINUIDAD PARA FLUJO BIDIMENSIONAL 74


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ii

Pgina3.4. ACELERACIONES 763.5. DEFORMACIN, ROTACIONALIDAD Y VORTICIDAD 77

TRASLACIN 77DEFORMACIN LINEAL 77DEFORMACIN ANGULAR 78

3.6. FUNCIN DE CORRIENTE 803.7. FLUJO POTENCIAL 82EJERCICIOS RESUELTOS 83

4. DINMICA DE FLUIDOS 954.1. DINMICA DE LOS FLUIDOS IDEALES INCOMPRESIBLES 95

ECUACIN DE EULER 95PLANTEAMIENTO BIDIMENSIONAL 98ECUACIN DE EULER PARA FLUJO PERMANENTE,ECUACIN DE BERNOULLI 99

4.2. ECUACIN DE LA ENERGA 101INTERPRETACIN DE LA ECUACIN DE LA ENERGA 105POTENCIA 106

4.3. FLUJO EN ORIFICIOS 109ECUACIN GENERAL DE LOS ORIFICIOS 109COEFICIENTE DE VELOCIDAD, CONTRACCIN Y GASTO ENORIFICIOS DE PARED DELGADA 110ORIFICIOS CON DESCARGA SUMERGIDA 114ORIFICIOS DE PARED GRUESA 115VACIADO DE TANQUES 117

4.4. ECUACIN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO 119MTODO DE SOLUCIN DE PROBLEMAS 121

4.5. DINMICA DE LOS FLUIDOS REALES 121EFECTO DE LA VISCOSIDAD, ECUACIN DE NAVIER-STOKES 122FLUJO VISCOSO UNIFORME Y PERMANENTE 123- Flujo entre placas paralelas 123- Flujo en tuberas circulares de seccin constante 123EXPERIENCIA DE REYNOLDS 127TEORA DE LA CAPA LIMITE 129TURBULENCIA 130DISTRIBUCIN DE VELOCIDADES,SUPERFICIES LISAS Y RUGOSAS 132- Superficies lisas 132- Superficies rugosas 136PERDIDAS DE ENERGA EN FLUJO TURBULENTO 137- Planteamiento general 137- Planteamiento para tuberas circulares 138

EJERCICIOS RESUELTOS 142


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iii

Pgina5. FLUJO EN TUBERAS 1645.1. RESISTENCIA AL FLUJO EN TUBERAS CIRCULARES 164

TUBERAS CIRCULARES 164FACTOR DE FRICCIN 165FORMULA DE HAZEN-WILLIANS 167

FORMULA DE MANNING 169PERDIDAS LOCALIZADAS 170a) Formula general 170b) Entradas 171c) Expansin 171d) Contraccin 173e) Cambios de direccin 173f) Vlvulas 175g) Bifurcaciones 176

5.2. FLUJO PERMANENTE 179ECUACIONES BSICAS 179TIPOS DE PROBLEMAS 183

5.3. TUBERAS SIMPLES 1845.4. TUBERAS MLTIPLES 1875.5. PLANTEAMIENTO GENERAL PARA REDES 189

SISTEMA Q 190SISTEMA H 191SISTEMA Q 191MTODOS DE SOLUCIN DE REDES 192

- Mtodo de Cross 192- Mtodo de Newton-Raphson 192EJERCICIOS RESUELTOS 194


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INTRODUCCION A LA HIDRAULICA CONCEPTOS GENERALES

1

1CONCEPTOS GENERALES

1. MECNICA DE FLUIDOSLa mecnica de fluidos es la ciencia en la cual los principios de la mecnica general se

emplean en el estudio del comportamiento de los fluidos, tanto lquidos como gases, en lo referentea la esttica, cinemtica y dinmica.

El anlisis del comportamiento de los fluidos se basa en las leyes fundamentales de lamecnica aplicada, las cuales relacionan la conservacin de la masa, energa y cantidad de

movimiento.

La hidromecnica es la rama de la mecnica de fluidos que estudia las leyes de equilibrio ymovimiento de fluidos incompresibles, especialmente los lquidos.

Cuando las leyes y principios de la hidromecnica se aplican al estudio del flujo de agua en

estructuras que interesan directamente al ingeniero civil, surge la disciplina conocida comohidromecnica tcnica o hidrulica.

2. DEFINICIN DE FLUIDODe acuerdo con el aspecto fsico que se tiene en la naturaleza, la materia se puede clasificar en

tres estados: slido, lquido y gaseoso, de los cuales los dos ltimos se conocen como fluidos.

A diferencia de los slidos, por su constitucin molecular, los fluidos pueden cambiar

continuamente la posicin relativa de sus molculas, sin ofrecer gran resistencia al desplazamientoentre ellas, aun cuando ste sea muy grande o muy pequeo.

La definicin anterior implica que si el fluido se encuentra en reposo en su interior no puedenexistir fuerzas tangenciales a superficie alguna, cualquiera que sea su orientacin y que dichas

fuerzas se presentan slo cuando el fluido est en movimiento.

Por el contrario, un slido en reposo s admite fuerzas tangenciales a las superficies (en

igualdad de condiciones), las cuales producen desplazamientos relativos entre sus partculas con unamagnitud perfectamente definida.

El anlisis riguroso del comportamiento de los fluido debe considerar la accin individual delas molculas; sin embargo, en las aplicaciones propias de la ingeniera el centro de inters reside

sobre las condiciones medias de velocidad, presin, temperatura, densidad, etc., de ah que en lugar

de estudiar por separado la conglomeracin real de molculas, se supone que el flujo es un mediocontinuo, es decir, una distribucin continua de materia sin espacios vacos.

3. SISTEMAS DE UNIDADESTodo problema relacionado con el movimiento de los fluidos puede ser definido en trminos

de: longitud (L), tiempo (T), y fuerza (F) o bien de longitud, tiempo y masa (M). La equivalencia

entre ambos sistemas viene establecida por la ecuacin de Newton, que dimensionalmente puede

expresarse:


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2

2

d

T

LMF= ;

L

TFM

2d

= (1)

Donde la letra d sobre el signo igual, significa igualdad dimensional. Se puede decir en funcin de lomencionado previamente que 1 N es la fuerza requerida para acelerar 1 kg masa a 1 m/s

2, dado que

la relacin entre pes|o (W) y masa (M) viene dado por la ecuacin de Newton:

gMW= (2)Donde la variable g es la aceleracin de la gravedad. De esto resulta que un Newton es equivalente a

un kgf dividido por la aceleracin de gravedad, o sea, 1 N es aproximadamente igual a 0.1019 kgf o

1 kgf es 9.807 N.

De la misma manera se aplica a cualquier sistema de unidades, que uno use, por ejemplo elsistema ingles, o el sistema tcnico de unidades. Lo importante es que no se mezcle unidades de un

sistema a otro, todo el sistema debe ser consecuente. En la Tabla 1.1 se presenta las unidades paratres sistemas diferentes.

Tabla 1.1

Smbolos y unidades usuales.

Sistema de medicinConcepto Smbolo

Internacional Ingles Tcnico

Longitud L Metro, m Pulgada, Plg Metro, mTiempo T Segundo, s Segundo, s Segundo, s

Velocidad V m/s Plg/s m/sAceleracin A m/s

2 Plg/s m/s2Masa M, m Kilogramo, kg Slug kg s-2/m

Fuerza F Newton, N Libra, lbf Kilogramo, kgPresin P Pascal, Pa lbf/plg2 Kg/m2Trabajo T N m lbf plg Kg m

4. DENSIDAD DE MASALa densidad de una sustancia es la cantidad de materia contenido en una unidad de volumen de

la misma.

La densidad de masa en un punto es determinada por consideracin de la masa m de unvolumen pequeo V alrededor de un punto. Para preservar el concepto de fluido como continuo,decimos que el V no es ms pequeo que 3x, donde x es una dimensin lineal la cual es masgrande comparada con la distancia entre las molculas.

La densidad:

V

M= (3)

Para agua a 4 C = 1000 Kg/m3.

Para aire a 20 C y presin estndar = 1.2 Kg/m3.


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3

5. PESO ESPECFICOEl peso especfico es el peso de una sustancia por unidad de volumen de la misma. Donde el

peso de la sustancia esta influenciada por la fuerza gravitacional.

V

W= (4)

Donde W es el peso del fluido de volumen V. Existe una relacin entre el peso especfico y ladensidad, esta puede ser deducida desde la segunda ley de newton, esta relacin es:

g= (5)

6. DENSIDAD RELATIVALa densidad relativa gravedad especifica, es el ndice entre los pesos especficos o

densidades de una sustancia cualquiera con el agua. El peso especifico y la densidad del agua debeser a 4 C de temperatura. La ecuacin aplicada para determinar este parmetro se presenta a

continuacin:

agua

sust

agua

sustr

D == (6)

7. VISCOSIDADLa viscosidad de un fluido es una medida de su resistencia a fluir, como resultado de la

interaccin y cohesin de sus molculas.

Los fluidos en reposo no ofrecen resistencia a los esfuerzos de corte, si estos esfuerzos actan

directamente sobre el fluido. Pero si el fluido esta en contacto con una superficie rgida y a esta se le

induce una fuerza que hace que la superficie se mueva con una velocidad, entonces el fluido tambinse mover a las misma velocidad que esta superficie.

Se tiene dos placas paralelas, una esttica y la otra mvil, separadas una distancia dy. Cuandoa la placa superior mvil, no se le aplica ninguna fuerza la seccin AB se mantiene inalterado, pero

al inducirle una fuerza dF, se producir una velocidad en direccin v, por lo que las partculas de

fluido en contacto con la placa mvil adquieren la velocidad de la placa y las partculas en contactocon la placa fija se mantienen con velocidad cero. Ver esquema de la figura 1.1. Se producir un

gradiente de velocidades, que en el caso de un fluido real tendr una forma parablica y en caso de

un fluido ideal tendr una distribucin lineal. El esfuerzo de corte que se produce entre laspartculas es proporcional a la pendiente de la recta del segundo caso:

dy

dv (7)

Donde dv/dy es el gradiente de velocidades del sistema que mencionamos con anterioridad o lapendiente de la recta. Para hacer que esta relacin de proporcionalidad sea una igualdad, se incluye

un coeficiente:

dy

dv= (8)

Donde se conoce como el coeficiente de viscosidad dinmica de un fluido.


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4

dF

y

vA

B B'Caso Ideal

Caso real

dy

dv

Fig. 1.1. Fluido entre placas paralelas.

Si experimentalmente se midiera la velocidad de deformacin y el esfuerzo de corte, seobtiene una recta que pasa por el origen, a la pendiente de esta recta se le llama viscosidad dinmica.

Este coeficiente es funcin del tipo de fluido. Mientras el fluido es ms viscoso la placa superiortendr un movimiento ms lento.

La relacin presentada para la viscosidad dinmica en la ecuacin 8 se denomina ley de la

viscosidad de Newton. Los fluidos que cumplan con esta ley, se los denomina fluidos newtonianos ylos que no la cumplan se los denomina fluidos no-newtonianos.

Las unidades de la viscosidad dinmica son: N s/m2o Lb s/Pie

2.

Se denomina viscosidad cinemtica () a la relacin entre la viscosidad dinmica y la densidad

del fluido.

= (9)

Las unidades de la viscosidad cinemtica son: m2/s o pie

2/s.

8. COMPRESIBILIDADLa compresibilidad de un fluido es una medida del cambio de volumen (y por lo tanto de su

densidad) cuando se somete a diversas presiones. Cuando un volumen V de un lquido de densidad y presin p se somete a compresin por efecto de una fuerza F, como se muestra en la figura 1.2 la

masa total del fluido V permanece constante, es decir:

( ) 0dVdVVd =+= (10)

Ordenando se obtiene la siguiente expresin:

d

dV

V= (11)

Al multiplicar ambos miembros por el diferencial de presin (dp), se obtiene:


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5

d

dp

V

dV

dpEV +==

(12)

La variable EV se conoce como mdulo de elasticidad volumtrico y es anlogo al mdulo de laelasticidad lineal empleado para caracterizar la elasticidad de los slidos.

Fig. 1.2. Esquema de fluido comprimido.

El mdulo de elasticidad volumtrico se define como el cambio de presin divido al cambio

asociado en el volumen o densidad, por unidad de volumen o densidad respectivamente, siendo una

medida directa de la compresibilidad del fluido.

Sus dimensiones son las de esfuerzo F/L2. El signo negativo de la ecuacin indica una relacin

inversa entre el volumen del fluido y la presin aplicada a este, es decir, a un aumento de la presin

disminuye en el volumen.

El mdulo de elasticidad volumtrico del agua vara principalmente con la temperatura, como

se muestra en la Figura 1.3 donde el valor de las condiciones estndar es28

mKg1009.2 es decir,aproximadamente 100 veces ms compresible que el acero.

Fig. 1.3. Mdulo de elasticidad volumtrico del agua en funcin a la temperatura.

Es comn designar la compresibilidad como el recproco del mdulo de elasticidad

volumtrico:

VE

1= (13)


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9. TENSIN SUPERFICIALUna molcula sumergida dentro un fluido, es atrada en todas las direcciones por molculas

que se encuentran a su alrededor y ejercen sobre ella una fuerza cohesiva.

Cuando las molculas estn por debajo la superficie del lquido, estas ejercern fuerzas en

todas las direcciones haciendo que estas fuerzas alcancen un equilibrio. Pero las molculas que se

encuentran justamente en la superficie del fluido tendrn un desbalance entre las fuerzas cohesivas,como se muestra en la figura 1.4. Esto provocara una tensin en la superficie entre las componentes

horizontales de estas fuerzas. Esta tensin es conocida como tensin superficial.

Fig. 1.4. Esquema de fuerzas en puntos de un fluido dentro y en la superficie del mismo.

El caso de la gota de agua:

Fi

FT

Fig. 1.5. Esquema de fuerzas en media gota de agua.

Fuerza debido a la presin interna se determina mediante la siguiente expresin:

2

i rpF = (14)

Y la fuerza debido a la tensin superficial se presenta en la siguiente ecuacin:

r2FT = (15)

Para lograr el equilibrio entre ambas fuerzas estas deben ser iguales:

Ti FF = (16) r2rp 2 = (17)

Despejando P se obtiene la siguiente ecuacin:

r

2p= (18)

Donde la variable p es la presin al interior de la burbuja, es la componente de tensin superficialy r el radio de la gota.


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7

10. CAPILARIDADSi sumergimos un pequeo tubo dentro de un fluido, el lquido se elevara dentro del tubo, es

decir que las fuerzas de cohesin que existe entre las partculas del lquido con las del tubo son ms

grandes que las fuerzas de atraccin entre las partculas del lquido solamente. Por otro lado, cuandolas fuerzas de atraccin son ms fuertes que las de cohesin, Ej. Mercurio, la columna de lquido

descender. A este fenmeno se denomina efecto capilar, este es un efecto causado por la tensin

superficial.

Las fuerzas de cohesin son aquellas que existen entre dos partculas de naturaleza diferente, y

las fuerzas de atraccin son las que existen entre dos partculas de la misma naturaleza.

Fig. 1.5 Esquema de ascenso capilar en un conducto delgado

De la figura 1.5 el peso del lquido que asciende en el tubo es igual a:

H4

DgW

W

2

Liq

Liq

=

= V

(19)

La tensin superficial que produce el ascenso es igual a la componente de tensin que produceascenso por el permetro del tubo, es decir:

DcosFTS= (20)

La nica fuerza que se opone al ascenso es el peso propio del bloque lquido de altura H ecuacin

19. Para el sistema este en equilibrio el peso del bloque de lquido que asciende debe ser igual a la

fuerza debido a la tensin superficial:

H4

DgDcos

2

=

Dg

cos4H=

(21)

Donde la variable H es la altura la que sube el fluido dentro del tubo capilar.

11. PRESIN DE VAPORPara ciertas condiciones de temperatura y presin, los lquidos se vaporizan; es decir, cambian

de estado, convirtindose en gases. La presin de vapor (Pv) se define como aquella presin, para

una temperatura dada, en la cual un lquido se vaporiza.


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8

En el estudio de la mecnica de los lquidos, la presin de vapor es de especial importancia,

pues el lquido se vaporizara si llegara a alcanzarse, perdiendo as, no solo la continuidad de la

materia, sino ocasionado el llamado fenmeno de cavitacin. En la tabla 1.2 se presenta los valoresde algunas propiedades de los fluidos para distintos lquidos entre ellos la presin de vapor.

El fenmeno de cavitacin se produce cuando el fluido alcanza la presin de vapor, el fluido

se convierte en gas o cambia se estado formando burbujas de gas, esta se mueven de zonas de

presiones bajas a zonas de presiones altas e implocionan, provocando ondas de expiacinperjudiciales a las estructuras.

Tabla 1.2.Propiedades fsicas aproximadas de algunos lquidos a presin atmosfrica

Liquido Temperatura DensidadDensidad

relativa

Tensin

superficialPresin de vapor (abs.)

C kg/m3 N/m kPa kg/m

2

Benceno 876.2 0.88 0.029 10 1.019

CCL4 1567.4 1.59 0.026 13.1 1.336

Alcoholetlico 20 788.6 0.79 0.022 5.86 598

Gasolina 20 680.3 0.68 --- 55.2 5625

Petrleo

crudo 20 855.6 0.86 0.03 --- ---Glicerina 20 257.6 1.26 0.063 1.4x10

-5 1.43x10

-3

Mercurio 20 13555 13.57 0.51 1.7x10-4

1.73x10-2

Agua 20 999.8 1 0.076 0.61 62.215.6 1000 1 0.075 0.87 87.7

0 999.7 1 0.074 1.23 125.4

5 998.2 0.998 0.073 2.34 235.610 992.2 0.992 0.07 7.38 752.5

20 983.2 0.983 0.066 19.92 2031.340 971.8 0.972 0.063 47.34 4827.3

60 958.4 0.956 0.059 101.33 10332.7


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EJERCICIOS RESUELTOS

1. Para la distribucin de velocidad parablica, generada por el movimiento de una placa sobre un

fluido de viscosidad , encontrar el esfuerzo de corte sobre la placa mvil.

yVo

d

O

A

Se considera a la distribucin de velocidades como una parbola con vrtice en A, por lo tantotomando como ejes coordenados el origen en O tendremos sus coordenadas O(0,0) y de A (vo,d).

Aplicando la ecuacin general de una parbola:

byav 2 +=

Para O (0,0):

b = 0.

Para A (vo, d):

2

o dav =

2

o

d

va=

Por lo tanto la ecuacin de la parbola es:

2

2

o yd

vv=

Derivando la velocidad en funcin de y:

yd

v2

dy

dv2

o=

Reemplazando en la ecuacin de Newton (ecuacin 8):

yd

v2

2

o=

El esfuerzo de corte mximo se dar cuando la variable y sea igual a d, distancia mxima entreplacas:

dd

v2

2

o=

d

v2 o=


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2. Se tiene dos recipientes A y B colocados sobre los platillos de una balanza. Cuando estn vacosla balanza esta en equilibrio. Al llenar el recipiente A de un lquido hasta una altura de 20 cm, labalanza indica 930 g peso; para volver a equilibrarla es necesario llenar el recipiente B con otro

liquido hasta una altura de 20 cm. Cules son los pesos especficos de los lquidos?

20 cm.

5 cm.

15 cm.

5 cm.

8 cm.

20 cm.

A B

Como ya se explico en el aparte 5, el peso especfico es el peso de un lquido por unidad de

volumen.

V

W=

El peso del lquido del recipiente A es de 0.93 kg que es igual al del recipiente B.

El volumen de los dos recipientes se determina de la siguiente manera:

( )( )

( )( )05.0

4

15.015.0

4

05.0V

22

A

+

=

33

A m1018.1V =

( )( )20.0

4

08.0V

2

B

=

33

B m1001.1V =

Una ves obtenidos los volmenes se puede determinar los pesos especificos de ambos liquidos:

3

A

AA

1018.1

93.0

V

W

==

3A m

fkg

5.789=

3

B

BB

1001.1

93.0

V

W

==

3A mfkg

8.920=


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3. Un cilindro slido A de masa 2.5 kg se desliza hacia abajo dentro de un tubo, como se muestra enla figura. El cilindro es perfectamente concntrico con la lnea central del tubo, con una pelculade aceite entre el cilindro y la superficie interna del tubo. El coeficiente de viscosidad del aceite

es de 7 x 10-3

N s/m2. Cul ser la velocidad terminal del cilindro, es decir, la velocidad

constante al final del cilindro.

Se asume que el fluido del sistema es Newtoniano, entonces se aplica la ecuacin de Newton

(ecuacin 8) para fluidos ideales:

dy

dv=

0.0001

0-v=

0001.0v10x7 3=

v70=

En la ecuacin anterior, el valor de v se tomara como la velocidad terminal vT.

Por otro lado se determina el peso del cilindro interior mediante la siguiente expresin:

cAW = LDW =

Donde:

Ac; rea del cilindro interior en contacto con el lquido.

W; peso del cilindro interior.D; Dimetro del cilindro interior.

L; la longitud del cilindro interior.

Reemplazando, y resolviendo:

( )( ) ( )( )( )150.00738.0v7081.95.2 T =

s/m07.10vT =


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4. Un cuerpo que pesa 90 lb y que tiene una superficie plana de 2 pie2se resbala sobre un planolubricado, el cual forma un ngulo de 30 con la horizontal. Para una viscosidad de

23 pieslb1009.2 y una velocidad del cuerpo de 3 pie/s, determinar el espesor de la pelculalubricante.

El esfuerzo cortante es igual a la fuerza por unidad de rea:

A

F=

El peso se descompone en sus componentes perpendicular (1) y paralelo (2) al plano inclinado.

( ) 30cos9030cosFF1 == lb94.77F1=

( ) 30sen9030senFF2 == lb45F2 =

De las dos fuerzas calculadas previamente, la componente 2 es la que produce el esfuerzo de corte,

por lo tanto el esfuerzo de corte es:

2

45

A

F2==

2Pielb5.22=

Se asume que el fluido es Newtoniano, entonces se aplica la ecuacin de Newton (ecuacin 8) para

fluidos ideales:

dy

dv=

=

dvdy

( )= 0vy

( ) ( )5.22

310x09.2vy

3

==

El espesor de la pelcula lubricante es:

lgp103.3y 3=


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5. Un eje rota dentro de una camisa concntrica a 1200 rpm. La luz e es pequea con respecto alradio R, de tal manera que se puede suponer una distribucin lineal de velocidad en el lubricante.Cules son los requerimientos de potencia para rotar el eje? R =2 cm, L = 6 cm, e = 0.1 mm y

= 0.2 N S/m2.

L

Re

Aplicando la ecuacin de Newton (ecuacin 8), se determina el esfuerzo de corte:

( ) ( )( )

0001.0

02.066.1252.0

e

R

dy

dv===

2mN5.5026=

La potencia requerida para rotar el eje se determina mediante la siguiente ecuacin:

= TP

Donde:

T = momento torsor.

= Velocidad angular del eje.

La velocidad angular del eje es:

Rv =

srad66.125

60

21200 =

=

El momento torsor es igual a:

RLpRAT C == Donde:

Ac; rea del eje en contacto con el lquido.

p; permetro del eje.

( )RLR2RLpT ==

( )( )( )( )( )02.006.002.025.5026T =

mN758.0T =

Potencia requerida para rotar el eje es:

( )( )66.125758.0P=

W2.95P=


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6. Un viscosmetro (aparato para medir la viscosidad), consiste en 2 cilindros coaxiales separadosuna distancia muy pequea, donde se coloca el fluido deseado. Uno de ellos se hace girar con unavelocidad angular , mientras que el otro se mantiene estacionario mediante la aplicacin de un

momento que puede medirse. Para el caso mostrado en la figura, se desea calcular la viscosidad,

si la velocidad angular es 40 rpm y el momento 2 kg m.

Se asume que el lquido a medir es Newtoniano, por tal motivo se aplica la ecuacin de Newton:

dy

dv=

Se determinar por un lado el gradiente de velocidades:

( ) ( )

=

==

ms

m57.833

dy

dv

002.0

002.04.060

240

e

r

dy

dv

Por otro lado se conoce que el esfuerzo de corte, es igual a la fuerza por unidad de rea:

A

F=

( )( )( )( ) ==== 26.1042F5.0002.04.0257.833Ady

dvAF

El momento medido, es igual a: bFM=

Reemplazando la ecuacin de la fuerza:( )( ) === 8.414M002.04.026.1042bFM

= 8.4142

= 23m

sKg1082.4


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7. Determinar la ecuacin de tensin superficial para los casos de una burbuja y de un chorro deagua.

Para el caso de una burbuja:

Fi

FT

FT

Fuerza debido a la presin interna: 2i rpF =

Fuerza debido a la tensin superficial: ( )r22FT =

Para lograr el equilibrio:

0FF Ti = Ti FF = r4rp 2 =

Despejando P:r

4p=

Para el caso del chorro:

Fi

FT

D

L

Fuerza debido a la presin interna: LDpFi=

Fuerza debido a la tensin superficial: = L2FT

Para lograr el equilibrio:

0FF Ti = Ti FF = L2LDp =

Despejando P:r

8

D

4p ==


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8. Encontrar el ngulo de tensin superficial para un tubo vertical sumergido en agua, si el dimetrodel tubo es de 5 [cm.] y la altura capilar es de 2 [cm.]; = 5x10

-5[KN/cm.]

Tenemos como datos:

D = 5 [cm.] = 0.05 [m.]

H = 2 [cm.] = 0.02 [m]

= 5x10-5

[KN/cm.]= 5x10-3

[KN/m]

Usando la ecuacin deducida para ascenso capilar:

Dg

cos4H

=

Donde:

( )( )

=== 3mKN810.981.91000g

Despejando el coseno del ngulo:

( )( )( )( )( )31054

05.002.081.9

4

DHcos

==

63.60=


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INTRODUCCION A LA HIDRAULICA ESTTICA DE FLUIDOS

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2ESTTICA DE FLUIDOS

Es el caso ms sencillo de anlisis de mecnica de fluidos, cuando se encuentran en reposo, en estecaso no existe velocidad (gradiente de velocidad 0dydv = ), por tanto los esfuerzos cortantes noexisten. Solo estn presentes la presin y gravedad. Estas dos fuerzas deben estar en equilibrioesttico, por cuanto no existe aceleracin.

2.1.PRESINEl termino presin es usado para indicar la fuerza normal por unidad de rea que se presenta encualquier punto de una masa fluida. Al no existir esfuerzo cortante en una masa fluida en reposo.

Las unidades de la presin son:

=2

L

Fp

Blaise Pascal, un cientfico del siglo XVII, describi dos principios importantes acerca de la presin.

El primero: La presin en un punto, en una masa fluida en reposo, es la misma cualquiera sea ladireccin en que se la mida.

Esto indica que la presin es una cantidad escalar, lo cual se puede demostrar mediante un elementopequeo prismtico triangular de dimensiones; x, y, como catetos y n como la hipotenusa, conun acho unitario.

Fig. 2.1. Volumen de control triangular de ancho unitario

Como se trata de un fluido en reposo, este tiene equilibrio esttico, entonces:

=+= 0senFF0H nx

0sennpyp nx =+ Como:

n

ySen =

nxnx PP0n

ynPyP ==

+

nxnx PP0yPyP ==+ Por otro lado:

0WcosFF0V ny ==


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0yx2

1cosnpxp ny =

Como:n

Cos x=

0yx2

1

n

xnpxp ny =

Hacemos tender xy za cero, adems si el volumen del prisma tiende a cero:ny pp =

nyx ppp ==

El segundo: En un fluido confinado entre fronteras slidas, la presin acta perpendicularmente a lafrontera.

Tubo rectagular Tubo circular

Recipiente Fig. 2.2. Direccin de la presin de fluido sobre las fronteras.

2.2.VARIACIN DE LA PRESIN CON RESPECTO A SU POSICINLa presin en una masa fluida no vara en un plano horizontal. En el sentido de la vertical existiruna variacin de la presin que aumenta con la profundidad.

Tomamos un elemento diferencial rectangular de lados x, y y ancho unitario, con el eje y quecoincide con la vertical, las fuerzas actuantes sern la fuerza debido a la presin y el peso delelemento.

Fig. 2.3. Volumen de control de ancho unitario.


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Por equilibrio esttico:

0yxx

ppyp0H xxx =

=

0yxx

pypyp xxx =

0x

px =

Esto indica que la presin no vara a lo largo del eje x, es decir, la presin no vara horizontalmente.

En el sentido vertical:

=

+= 0yxxy

y

ppxp0V yyy

0yxxyy

PxPxP yyy =

yxxyy

py =

=

y

py

Integrando entre 1 y 2: =2

1

2

1dydp

Tenemos: ( )2112 yypp =

Si se toma p1como presin atmosfrica y se trabaja con presiones relativas, y por otro lado se diceque la diferencia de alturas y1 y2es igual a la profundidad, entonces tenemos:

hp=

Donde h ser la distancia medida verticalmente hacia abajo desde el plano horizontal de presincero, es decir la superficie del lquido.

La ultima expresin indica la variacin de la presin con la profundidad en un liquidoincompresible, en funcin a esta se determina el grafico denominado prisma de presiones, donde lapresin en la superficie de un liquido ser cero (presin atmosfrica, posteriormente se ladesarrollara), la cual ira variando linealmente con la profundidad. En la fig. 2.4 se presenta estarelacin.

Fig. 2.4. Distribucin de presiones en un fluido en reposo


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En caso de gases, la presin no tiene variacin horizontal ni vertical, de hecho la presin en un gasse distribuye homogneamente en todo el recipiente que contiene el gas, es decir, la presin en ungas es la misma en todos sus puntos.

Si existiera una sobre presin en la superficie del lquido, esta se distribuir de forma homognea enlas presiones del prisma.

A partir de:

=

y

p y

=2

1

2

1dydp

tetanconsyp

=+

Cada uno de los elementos de la ltima ecuacin est en unidades de longitud. Como la altura depresin mas la altura es constante, esta puede igualarse a otra en la misma vertical, fig. 2.4.

yp

yp

aa +

=+

La presin en el punto de altura y, ser:

( )yypp aa +=

Esta relacin es la misma que la presentada en la propiedad 2, pero con la inclusin de una presinextra Pa, la cual es la sobre presin.

Fig. 2.5. Distribucin de presiones en un fluido en reposo incluyendo una sobre presin.

2.3.PARADOJA DE LA HIDROSTTICA

Fig. 2.6. Esquema de la paradoja de la hidrosttica.

La presin en el fondo de los recipientes de la fig. 2.6 es el mismo, si la altura de agua es h igualpara todas sin importar el volumen de agua que contengan estos recipientes o el rea del fondo.


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La fuerza de presin del lquido sobre el fondo de cada uno de los recipientes representados en lafig. 2.5 es igual, si los vasos tienen igual altura de agua e iguales reas de fondo, aunque el peso dellquido en ellos es diferente.

La fuerza de presin hidrosttica se calcula, de la siguiente manera:

APF=

hP = AhF =

Este hecho es explicable en el concepto de las dos primeras propiedades de la presin, donde, lapresin en un punto es igual cualquier sea la direccin en que se la mida, y de mayor importancia, esque la presin no varia horizontalmente, solo varia verticalmente de acuerdo a la relacin yapresentada.

2.4.MEDICIN DE LA PRESIN.Cuando se realizan clculos que implican la presin de un fluido, se debe hacer la medicin enrelacin con alguna presin de referencia. Normalmente, la presin de referencia es la atmosfrica.

Normalmente, y la presin resultante que se mide se conoce como presin relativa. La presin quese mide en relacin con el vaco prefecto se conoce como presin absoluta.

La relacin entre ambos sistemas de medicin de presin es:

atmrelabs ppp += Donde:pabs; presin absoluta.prel; presin relativa.patm; presin atmosfrica.

Las presiones absolutas y relativas (manomtricas) se pueden esquematizar en la Fig. 2.7. Unos

cuantos conceptos bsicos pueden ser de ayuda para entender la figura:1. Un vaco perfecto es la presin ms baja posible. Por consiguiente, una presin absoluta ser

siempre positiva.2. Una presin relativa que est por encima de la presin atmosfrica es positiva.3. Una presin relativa que est por debajo de la presin atmosfrica es negativa, esta tambin se

conoce como vaci o presin de succin.4. La magnitud real de la presin atmosfrica vara con el lugar y con las condiciones

climatolgicas.

Fig. 2.7. Esquema de presiones


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En adelante se denotar la presin absoluta como pabs, mientras la presin relativa simplementecomo p.

Los instrumentos que se utilizan para medir la presin son: barmetros, manmetros y piezmetros.

Los barmetros son unos instrumentos sencillos destinados a medir la presin atmosfrica local;consiste de un tubo de vidrio lleno de mercurio, con un extremo cerrado y el otro abierto, sumergidodentro del recipiente que contiene dicho elemento. En la fig. 2.8 se tiene un esquema. En la partesuperior del tubo se produce un vaco que se encuentra muy cercano al vaco perfecto, conteniendovapor de mercurio a una presin de solamente 0.17 [Pa] a 20 C.

La presin atmosfrica se medir con la siguiente formula:

hp Hgatm =

Como el peso especfico del mercurio es aproximadamente constante, un cambio en la presinatmosfrica ocasionar un cambio en la altura de la columna de mercurio. Esta altura se reporta amenudo como presin la baromtrica.

La presin atmosfrica vara segn la condicin climatolgica y tambin varia con la altitud. Unadisminucin de aproximadamente 85 [mm.] en la columna d mercurio se presenta para un aumentode 1000 [m.] de altitud.

Fig. 2.9. Manmetro de mercurio

Un manmetro medir presiones absolutas o relativas, segn sea su calibracin. El manmetroabierto, fig. 2.9, consiste en un tubo transparente en forma de U, parcialmente lleno de un liquidopesado, comnmente mercurio. Uno de sus extremos se conecta de manera perpendicular a la paredque confina el flujo del recipiente que lo contiene, el otro extremo puede estar abierto a la atmsfera

Fig. 2.8. Esquema de barmetro


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o bien con otro punto de la pared en cuyo caso el manmetro medir diferenciales de presiones entrelos dos puntos.

1122A ZZP =

Procedimiento para escribir la ecuacin de un manmetro.

1. Empiece desde un punto conveniente, normalmente donde la presin sea conocida, y escriba estapresin en forma de smbolo (por ejemplo, pAse refiere a la presin en el punto A).2. Utilizando hp = escriba expresiones para los cambios de presin que se presentan desde el

punto de inicio hasta el punto en el cual la presin se va a medir, tiendo cuidado de incluir elsigno algebraico correcto para cada trmino.

3. Iguale la expresin del paso 2 con la presin en el punto deseado.4. Sustituya los valores conocidos y resuelva para la presin deseada.

Los piezmetros se utilizan para medir las presiones de un lquido que fluye dentro de una tubera.Consiste de un tubo transparente de dimetro pequeo, conectado al interior de la tubera medianteun niple y con el otro extremo abierto a la atmsfera. La altura h que alcanza el lquido dentro deltubo transparente multiplicado por el peso especfico del lquido ser igual a la presin del lquidodentro de la tubera.

2.5.FUERZAS SOBRE SUPERFICIES SUMERGIDAS.SUPERFICIE PLANA VERTICAL.

Como se menciono anteriormente, la presin varia en el sentido de la profundidad. A esta variacinse denomina prisma de presiones. Si sobre una superficie vertical se tiene una compuerta de rea A,se puede determinar la fuerza de presin que acta sobre la misma.

Fig. 2.10. Fuerza sobre superficie plana vertical

La fuerza resultante se define como la suma de las fuerzas que actan sobre pequelis elementos delrea de interes. La fuerza sobre la superficie vertical, es igual a la presin sobre dicha superficie,multiplicado por el rea de la de la misma:

== dApdFdApdF ApF=

AhF cg=

Donde:hcg; es la distancia desde la superficie del liquido al centro de gravedad del rea.A; rea de la superficie.


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; peso especfico del fluido.

SUPERFICIE PLANA INCLINADA.

Sobre un rea pequea dA, existe una fuerza dF que acta perpendicularmente al rea debido a lapresin del fluido, p.

dAhAdpdF == La variable h es la representacin de la profundidad del fluido, por lo tanto se mide verticalmentecon cero en la superficie del lquido y positivo hacia abajo. Se tomara el eje y en la misma direccinque la inclinacin de la superficie.

Fig. 2.11. Fuerza sobre superficie plana inclinada

Por lo tanto: = senyh

dAsenydF =

Integrando, la expresin anterior:

===AAA

dAysendAsenydFF

ALdAy cgA

=

Donde:Lcg; Es la longitud inclinada desde el punto O hasta el centro de gravedad de la superficie.

Por lo que la fuerza resultante ser:

ALsenF cg=

Por lo tanto: = senLh cgcg AhF cg=

El centro de presiones es aquel punto sobre un rea en el que se puede suponer que acta la fuerzaresultante para tener el mismo efecto que la fuerza distribuida sobre el rea entera representada porel prisma de presiones. Podemos expresar este efecto en trminos del momento de una fuerza conrespecto de un eje que pasa por el punto O, perpendicular al plano de la pgina.

El momento de cada pequea fuerza, dF, con respecto al eje es:

ydFdM =

Se sabe que: dAsenydF =


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[ ]dAsenyydM =

Integrando la ecuacin previa, obtendremos el momento que produce la fuerza resultante, sobre lasuperficie.

= dAsenyM 2

El momento ser la fuerza resultante multiplicando por la longitud de O hasta el centro de presionesLcp.

== dAysendAsenyLF 22cp

La expresin dAy2 se define como el momento de inercia I del rea completa respecto del eje desdeel cual se mide y, entonces:

IsenLF cp =

F

IsenLcp

=

AL

I

ALsen

IsenL

cgcg

cp =

=

Se puede desarrollar una ecuacin ms conveniente mediante el uso del teorema de la transferenciapara el momento de inercia de la mecnica.

2cgcg LAII +=

Reemplazando en la ecuacin del centro de presiones:

AL

LAIL

cg

2cgcg

cp

+=

cgcg

cgcp LAL

IL +=

Esta ecuacin se usa para ambos casos, superficie plana vertical y superficie inclinada.

SUPERFICIE CURVA.

Para determinar la fuerza hidrosttica sobre una superficie curva, se descompone la fuerza en doscomponentes FHy FV, fuerza horizontal y fuerza vertical respectivamente.

Para determinar la fuerza horizontal, hallaremos la fuerza sobre la proyeccin en el plano vertical dela superficie curva, que pasara a ser una superficie plana vertical, y procedemos del modo yaexplicado.

Para la fuerza vertical, la fuerza hidrosttica ser el peso del lquido que se encuentra sobre lasuperficie, es decir, el volumen que forma la superficie limitado por los contornos del mismo:

VFV =

Donde: V; volumen.


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Fig. 2.12. Fuerzas en superficies curvas.

Para determinar el centro el punto de aplicacin de las dos fuerzas, horizontal y vertical, seresuelven las ecuaciones siguientes, siguiendo el mismo procedimiento, que el explicado para elcaso de superficies rectas:

=A

Hcp dAPyFy ; =A

Vcp dAPxFx

2.6.FLOTABILIDAD Y ESTABILIDAD.Es fcilmente apreciable la diferencia de peso de objetos sumergidos en agua u otros lquidos,adems de que cuerpos de grandes pesos flotan si mayor problema. Este hecho es posible gracias ala existencia de una fuerza denominada fuerza ascensional.

La fuerza ejercida por la presin del fluido sobre un cuerpo sumergido o flotante, se da por lapresencia de diferencial de presiones en el sentido vertical. Si observamos la fig. 2.13 notaremos quelas componentes horizontales de las fuerzas que se dan sobre el cuerpo son iguales y opuestas,mientras que las componentes verticales son opuestas pero no iguales, ya que las fuerzas que actanen la parte inferior del cuerpo son mayores, por lo tanto la resultante de la fuerzas verticales nos daruna fuerza en sentido vertical con direccin hacia arriba, a esta fuerza se denomina fuerzaascensional.

Fig. 2.13. Fuerzas que actan sobre un cuerpo sumergido

Por lo tanto la fuerza ascensional ejercida por el lquido sobre un cuerpo, en sentido vertical, es elvolumen sumergido del slido, multiplicado por el peso especfico del lquido.


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Fig. 2.14. Fuerza ascensional

De la figura 2.14: Fa; Fuerza ascensional:

FluidoSolidoa VF =

W = Peso del cuerpo.

Procedimiento para resolver problemas de flotabilidad:

1. Determinar el objetivo de la solucin del problema. Tiene que encontrar una fuerza, un peso, unvolumen o un peso especifico?

2. Dibuje un diagrama de cuerpo libre del objeto que se encuentre en el fluido. Muestre todas lasfuerzas que actan sobre el cuerpo en la direccin vertical, incluyendo su peso, la fuerza de

flotacin y las fuerzas externas. Si la direccin de alguna fuerza no se conoce, suponga ladireccin ms probable y mustrela en el diagrama.3. Escriba la ecuacin del equilibrio esttico en la direccin vertical, = 0Fv tomando la direccin

positiva hacia arriba.4. Resuelva la ecuacin para la fuerza, peso, volumen o peso especifico deseados, tomando en

consideracin los siguientes conceptos:a)La fuerza de flotacin o fuerza ascensional se calcula con:

sfa VF = b)El peso de un objeto slido es el producto de su volumen total por su peso especifico:

ssVW = c)Un objeto con un peso especifico promedio menor que el del fluido tender a flotar, debido a

que aFW< con el objeto sumergido.d)Un objeto con un peso especifico promedio mayor que el del fluido tender a hundirse, debido

a que aFW> con el objeto sumergido.e)La flotabilidad neutral se presenta cuando un cuerpo permanece en una posicin dada en

dondequiera que este sumergido el fluido. Un objeto cuyo peso especifico promedio sea igualal del fluido ser neutralmente flotante.

PRINCIPIO DE ARQUMEDES

El principio para la fuerza ascensional fue descubierto y establecido por Arqumedes hace alrededorde 2200 aos. Este principio se enuncia:

Un cuerpo sumergido en un lquido ser levantado por una fuerza ascensional igual al peso delvolumen del fluido desplazado. Un cuerpo flotante desplaza su propio peso en el fluido donde flota.

ESTABILIDAD DE CUERPOS SUMERGIDOS.

La condicin para cuerpos completamente sumergidos en un fluido es que el centro de gravedad delcuerpo debe estar por debajo del centro de empuje o centro de flotacin.


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El centro de empuje de un cuerpo sumergido se encuentra en el centro de gravedad del fluidodesplazado, y es a travs de este punto que acta la fuerza de empuje en direccin vertical haciaarriba. El peso del cuerpo acta verticalmente hacia abajo a travs de su centro de gravedad.

Analizamos el caso del objeto sumergido de la fig. 2.15 (a) en posicin original, donde CG, es elcentro de gravedad y CE el centro de empuje o flotacin.

En la fig. 2.15 (b) se muestra el desbalanceo del objeto debido al movimiento lateral, la fuerzaascensional se encuentra accionado en el centro de empuje y el peso del cuerpo en el centro degravedad, tomado en cuenta esta disposicin las dos fuerzas crean un momento que ayuda aldesbalanceo, por esta razn el caso es inestable.

En la fig. 2.15 (c), las fuerzas crean un momento opuesto al movimiento, este ayuda a que el cuerpose equilibre, por esta razn el caso c es estable.

Fig. 2.15. Estabilidad de cuerpos sumergidos.

ESTABILIDAD DE CUERPOS FLOTANTES

Se denominara CG al centro de gravedad y CE centro de empuje (centro de gravedad del fluido

desplazado por la parte del cuerpo que esta sumergido).

CE

CG

Fig. 2.16. Cuerpo flotante, posicin original

Fig. 2.17. Cuerpo flotando con estabilidad


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Fig. 2.18. Cuerpo flotando con inestabilidad

Denominamos metacentro (mc) a la interseccin entre el eje del cuerpo, que pasa por el centro degravedad, y la recta vertical que pasa por el centro de empuje.

Si el metacentro queda sobre el centro de gravedad, decimos que el cuerpo se encuentra enequilibrio estable fig. 2.17. Si el metacentro queda por debajo del centro de gravedad entonces elcuerpo queda en equilibrio inestable fig. 2.18.

Tambin se puede decir:

dV

IME=

Donde:I; inercia en el eje de rotacinVd; Volumen de fluido desalojado.

Tambin:

GEMEMG = Donde:

MG; distancia desde el metacentro al centro de gravedad.ME; distancia desde el metacentro al centro de empuje.GE; distancia desde el centro de gravedad al centro de empuje.

Si MG es menor que 0, entonces el cuerpo flota con inestabilidad y si MG es mayor que 0, entoncesel cuerpo flota con estabilidad.

2.7.MASAS FLUIDAS SOMETIDAS A ACELERACIN CONSTANTE.Cuando a una masa fluida contenida en un recipiente se le aplica una aceleracin constante, esta esadquirida por todas las partculas de dicha masa y por lo tanto no existe movimientos relativos entreestas. Una vez aplicada y mantenida permanentemente la aceleracin, la masa adquiere un equilibrio

relativo, por lo que puede ser analizada como un fluido en reposo.


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Fig. 2.19. Volumen de control rectangular acelerado

= aMF

Segn X: xzxzxxxzx axp

pp =

+

xzxzxx

zxzx ax

ppp =

xxx a

g

a

x

p- ==

(1)

Segn Z: zzxzxxzzzxz a-zp

pp =

+

zzxzxzz

xzxz a-z

ppp =

( )gag

a

z

P- zz +=+=

(2)

Tendiendo el volumen control a un punto, se tiene que px= pz= p.

Las ecuaciones 1 y 2 son las ecuaciones que se usa para determinar las presiones en las mismasdirecciones.

El diferencial total de la presin en funcin de sus derivadas parciales:

dzz

pdx

x

pdp

+

= (3)

Reemplazando las ecuaciones (1) y (2) en la ecuacin (3):

( ) dzgag

dxa

g

dp zx +=

A lo largo de una lnea de presin constante la variacin de presiones es cero, dp = 0.

( ) dzgag

dxa

g

0 zx +=

( ) dzgag

dxa

g

zx +=

ga

a

dx

dz

z

x

+=

La ecuacin es la pendiente de la recta de presin constante.


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ACELERACIN LINEAL CONSTANTE.

Si la aceleracin tiene una solo la componente vertical az, la aceleracin no tiene la componentehorizontal, es decir la aceleracin horizontal es cero, las diferenciales parciales se las toma comototales en la ecuacin 2.

( )ga

g

z

p- z+=

( )dzgag

dp- z+=

dzg

adzdp- z+=

Esta ecuacin es similar a la de los fluidos en reposo, solo que incluimos en ella la componente de laaceleracin.

Como la componente horizontal de la aceleracin es cero la ecuacin 4 es:

0

dx

dz=

Lo que indica que la superficie de presin constante es horizontal.

az> 0

Hidrostatica

az< 0

h

Fig. 2.20. Aceleracin vertical

Cuando la aceleracin vertical es mayor que 0 el fluido ira hacia arriba y cuando la aceleracin esmenor que 0 ira hacia abajo. Entonces si la aceleracin vertical es positiva la presin hidrostticaaumentara.

Si la aceleracin tiene una solo la componente horizontal ax, la componente vertical es igual a ceropor lo que las ecuaciones 1 y 2 son:

xagx

p =

=

z

p

La pendiente de la recta de presin constante:g

a

dx

dz x=

g

am x=

Las presiones en el sentido vertical tiene una distribucin hidrosttica, mientras que la presin en elsentido horizontal no es constante, las superficies de presin constante son rectas con pendiente m.


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Sup. Inclinada

(P=0, m=ax/g )

h1

h 2

ax

Fig. 2.21. Aceleracin horizontal

En el caso de que existan las dos componentes.

Se debe usar las ecuaciones (1), (2) y (4), como caso general.

h 1

h 2

az= 0

az< 0

P=0 ax

a-az

Fig. 2.22. Aceleracin en cualquier sentido.

VELOCIDAD ANGULAR CONSTANTE.

Cuando una masa liquida se hace girar con una velocidad angular constante , se introduce a cadauna de sus partculas una aceleracin centrpeta: ra 2c = Donde r es la distancia de la partcula aleje de rotacin.

De la ecuacin (1) y (2):

rgr

p 2

=

(5)

=z

p (6)

Donde el eje x coincide con r, pero en sentido contrario y en tal forma que a z = 0, el eje z coincidecon el eje de rotacin.

Por diferencial total: dzz

pdr

r

pdp

+

= (7)

Sustituyendo (5) y (6) en (7):

dzdrr

g

dp 2

=

La variacin de presiones sobre la misma lnea de presin es cero, 0dp= :

g

r

dr

dz 2=

Integrando: ( )2o22

o rrg2zz

= (8)

La ecuacin (8) es la ecuacin de una parbola.


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Fig. 2.23. Aceleracin angular


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EJERCICIOS RESUELTOS

1. Calcular la presin en [KN/m2] si el equivalente en columna de liquido es de 400 [mm.] de:

a)Mercurio de densidad relativa 13.6.b)Agua.c)Aceite de peso especifico 7.9 kN/m3

d)Liquido de densidad 520 kg/m3

[ ] [ ]m4.0mm400h ==

La presin es igual a

hp = Se tiene como dato la altura de columna de liquido, por lo que se debe hacer es hallar el pesoespecifico con los datos dados en los incisos.

a) La densidad relativa de un fluido es:

( ) ( )

===

= 3HgHgHgOH

sustR m

KN42.13381.96.13gD2

( ) ( )

=== 2HgHgHg mKN4.53p4.042.133hp

b) El peso especfico del agua es un valor conocido:

( )( )

=== 2OH0HOH mKN92.3p4.081.9hp

222

c) El peso especfico es dato:

( ) ( )

=== 2acacac mKN16.3p4.09.7hp

d) La densidad es igual al peso especfico entre la velocidad de la gravedad:

( )( )

=== 3LLL mN2.510181.9520g

( )( )

=== 2LLL mKN04.2p4.01012.5hp


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2. Cual es la presin en [KN/m2] absoluta y relativa en un punto 3 [m] debajo de la superficie librede un liquido cuya densidad de masa es de 1.5.x103 [Kg./m3], si la presin atmosfrica esequivalente a 750 [mm.] de mercurio. Tomamos la densidad relativa de mercurio como 13.6 y ladensidad del agua como 1000 [Kg./m3].

El peso especfico de un lquido es igual a la densidad de masa multiplicada por la aceleracin de lagravedad.

( ) ( )

=

=== 33L

3LL m

KN01.15m

N3.1500981.91053.1g

Presin relativa es aquella que se mide tiendo como cero la presin atmosfrica.

( ) ( )301.15hp LR ==

= 2R mKN03.45p

Para poder hallar la presin atmosfrica, se tiene de dato la altura equivalente de mercurio.

( )( )

===

= 3HgOHRHg

OH

HgR m

Kg1360010006.13DD2Hg

2

Hg

( )( )

=

=== 33HgHgHg m

KN42.133m

N13341681.913600g

( )( )

=== 2atmHgHgatm mKN07.100p42.13375.0hp

Por lo tanto la presin absoluta es la suma de la presin relativa y la presin atmosfrica:

07.10003.45ppp atmRabs +=+=

= 2abs mKN1.145p


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3. Cul es la lectura del manmetro de la figura?

Se comienza el anlisis de un punto de presin conocida, como el tubo del lado derecho esta cerradose trabajara en presiones absolutas, adems se tiene un valor de presin en el gas de tubo igual acero.

Los valores entre parntesis son las densidades relativas de los lquidos, por lo que se debe hallar lospesos especficos.

( )( )

=== 3HgHgRHg mKN42.13381.96.13D

Hg

( )( )

=== 3LOHRL mKN85.781.980.0D

2Hg

Se debe hallar la presin que ejerce el mercurio en el punto A.

( )( )

=== 2)abs(AHgA)abs(A mKN71.66p42.1335.0hp

Como los puntos A y B se encuentran sobre la misma horizontal y adems el punto B es mercuriopero directamente en contacto con agua, las presiones sern iguales.

== 2)abs(B)abs(A mKN71.66pp

La presin en C, ser igual a la presin en B menos la presin provocada por la columna de aguaAC.

( )( )

=== 2)abs(COHBC)abs(B)abs(C mKN81.61p81.95.071.66hpp

2

La presin en D, de la misma manera que en C, ser igual a la presin en C menos la presinprovocada por la columna DC.

( )( )

=== 2)abs(DLDC)abs(C)abs(D mKN03.61p85.71.081.61hpp

== 2)abs(D)abs(E mKN03.61pp

La presin G, ser igual a la presin en E mas la presin provocada por la columna EG.

( )( )

=+=+= 2)abs(GOHEG)bas(E)abs(G mKN86.69p81.99.003.61hpp

2

( )( )

=+=+= 2)bas(HHgGH)abs(G)bas(H mKN20.83p42.1331.086.69hpp

== 2)abs(H)abs(I mKN20.83pp


42/198


37

== 2)abs(I)abs(man mKN20.83pp


43/198


38

4. Existen dos tuberas por donde fluye agua a diferentes presiones, por estas tuberas salen unospiezmetros que se unen como se muestra en la figura, determinar cual es la diferencia depresiones entre las dos tuberas.

1.52

Hg

(13.6)

1.20

1.35

0.89

(0.80)

Agua

(0.75)0.45

1.60

0.62B

A

Agua

Datum

C

D

E

F

G

Primero se halla la presin en la parte inferior del mercurio:

( )( )( )20.152.16.1381.9hp CDHgD ==

= 2D mKN69.42p

La presin en D es igual a una presin en la misma horizontal del lquido de densidad relativa iguala 0.80. Por lo tanto la presin en E y F ser:

( ) ( )( )( )20.135.180.081.969.42hpp ED80.0DE ==

= 2E mKN51.41p

( ) ( )( )( )89.020.180.081.969.42hpp DF80.0DF +=+=

= 2F mKN12.45p

La presin en A ser:

( )( )35.160.181.951.41hpp AEaguaEA ==

= 2A mKN06.39p

La presin en G ser:

( ) ( )( )( )45.089.075.081.912.45hpp FG75.0FG +=+=

= 2G mKN36.48p

La presin en B ser:

( )( )45.062.081.936.48hpp BGaguaGB ==

= 2B mKN69.46p


44/198


39

La diferencia de presin entre la tubera A y B ser:

06.3969.46ppp AB ==

= 2mKN63.7p


45/198


40

5. Se tiene dos estanques, uno con agua y el otro con aceite, conectados por un piezmetro, como semuestra en la figura. Se desea calcular la longitud A, que es la diferencia de niveles losreservorios.

6 m

0.1 m

AAgua

C

Aceite

(0.80)

pm = 25 mm de Hg de vacio

B

La presin en el manmetro corresponde a una presin de vaci o negativa:

( )( )( )025.06.1381.9hp mHgm ==

= 2m mKN34.3p

La presin en B ser:

( )( )681.934.3hpp aguamB +=+=

= 2B mKN52.55p

La presin en C ser:( )( )( )1.06.1381.952.55hpp HgHgBC +=+=

= 2C mKN86.68p

La altura desde el punto C hasta la superficie del aceite ser:

A1.6A1.6h =+=

Aplicando la ecuacin de la presin para el punto B desde el lado del aceite, este debe ser igual alencontrado por el otro lado:

( )( )( ) 86.68A1.680.081.9hp aceiteB ===

[ ]m67.2A = El nivel del aceite estar a 2.67 [m] por encima del nivel del agua.


46/198


41

6.

a)Determinar la fuerza resultante F debido a la accin del agua sobre la superficie planarectangular AB de medidas 1 x 2 [m]

b)Determinar la fuerza resultante debido a la accin del agua sobre el rea triangular CD de 1.2x 1.8 [m] con c en el vrtice del triangulo

a)Determinacin de la fuerza sobre la compuerta AB:

AhF cg=

Se determina las componentes de la ecuacin previa.( ) ( ) [ ]2m2A21hbA ===

[ ]m2.2h12.12

h2.1h cgcg =+=+=

( ) ( ) ( ) [ ]KN16.43F22.281.9AhF cg ===

Se debe hallar el centro de presiones:

( ) ( )

( ) ( ) [ ]m35.2h2.2

22.212

21

hAh

Ih cp

3

cgcg

cgcp =+=+= desde O1.

b)Se hallar la longitud desde O2hasta el centro de gravedad de la compuerta.

[ ]m41.145sen

1L

1 ==

[ ]m61.28.13

241.1Lcg =+=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

==2

2.18.181.945sen61.2A45senLF cg

[ ]KN55.19F=

El punto de aplicacin de la fuerza ser:


47/198


42

( ) ( )

( ) ( )( )

[ ]m68.2L61.2

2

8.12.161.2

36

8.12.1

LAL

IL cp

3

cgcg

cgcp =+=+=


48/198


43

7. Calcular la fuerza total ejercida sobre el rea inclinada en la figura, la cual esta situada en unplano inclinado a 30. El lquido es agua y en su superficie la presin es atmosfrica.

Dividimos el rea de la compuerta en tres subareas:

Triangulo ABE: ABEcgABE AhF =

( ) ( ) 5.230sen33

12h cg =+=

( )( ) ( )( ) [ ]KN36.110F2335.281.9F ABEABE ==

Localizacin de esta fuerza:

( )( )

( )( )( ) ( )

+=

+=

30sen

5.2

2

33

30sen

5.236

33

LAL

IL

3

cgABEcg

cgcp

[ ]m1.5Lcp= desde G.

Para la localizacin lateral de la fuerza, esta debe situarse sobre la media del ngulo AEB. Porsemejanza de tringulos:

1.13

x

3

5.1

= [ ]m95.0x=

Cuadrado BCDE:

( ) ( ) ( )[ ]( )( ) [ ]KN8.242F3330sen5.1281.9AhF BCDEBCDEcgBCDE =+==

Localizacin de esta fuerza:


49/198


44

( )( )

( ) ( )( ) ( )

+=

+=

30sen

75.2

3330sen

75.212

33

LAL

IL

3

cgABEcg

cgcp

[ ]m64.5Lcp= desde G

Localizacin lateral: [ ]m5.1x23

x == de BE.

Semicrculo CFD:

( ) ( ) ( )[ ] ( )

[ ]KN23.95F8

330sen5.1281.9AhF CFD

2

CFDcgCFD =

+==

Localizacin de la fuerza:

( )

( )

( ) ( )

+

=

+=

30sen

75.2

53.3

30sen

75.28

5.1

LAL

IL

4

cgABEcg

cgcp

[ ]m60.5Lcp= desde CD

Localizacin lateral:

dyxhdAhdFhdA

dFp ====

Tomando momentos respecto CD:

dFbdM= Donde: b; brazo.

dyxh2

1dyxh

2

xdM 2==

Por otra parte, la ecuacin de la circunferencia:22222 y25.2x5.1yx ==+

Adems, colocamos h en funcin de y:( ) ( )30seny75.230senyhh cp +=+=

( )30seny75.2h += sobre OF( )30seny75.2h = bajo OF

Reemplazando:

( )( ) ( )( )

++

=

5.1

0

25.1

0

2 dyy25.2y5.075.2dyy25.2y5.075.22

M


50/198


45

Integrando:

( ) [ ]mKN77.60M56.583.62

81.9M =+=

Por lo tanto la posicin lateral ser:

[ ]m64.0

23.95

77.60

F

Mx

CFD

=== desde CD.

Fuerza total que acta sobre la compuerta ser:

[ ]KN39.448F23.958.24236.110F TT =++=

Ubicacin de la fuerza total:

Para hallar la ubicacin vertical se toma momentos desde G:

( )( ) ( )( ) ( )( ) [ ]mKN52.246560.523.9564.58.24210.536.110M =++=

[ ]m49.5L39.448

52.2465

F

ML cp

Tcp ==

= desde G.

Para hallar la ubicacin lateral se toma momentos desde A:( )( ) ( )( ) ( )( ) [ ]mKN17.19513364.023.9535.138.24295.0336.110M =+++++=

[ ]m35.4x39.448

17.1951

F

Mx cp

Tcp ==

= desde A.


51/198


46

8. En la figura, el cilindro de 1.22 [m] de dimetro y 1.22 [m] de longitud est sometido a la accindel agua por su lado izquierdo y de un aceite de densidad relativa de 0.8 por su lado derecho.Determinar la fuerza vertical total en B si el cilindro pesa 17.8 [KN].

Aceite

(0.80)

Agua

0.61 m

B

En el lado izquierdo el efecto del agua causara dos fuerzas verticales:

A2

F2

Las reas coloreadas son las que producen las fuerzas:

( )( )

( )

44

22.1

61.061.061.0A

2

1

+=

[ ]21 m452.0A = ( )( )22.1452.0LAV 11 ==

[ ]31 m551.0V = La fuerza vertical 1 ser:

( )( )551.081.9VF 1agua1 == [ ]KN41.5F1 =

El rea que produce la segunda fuerza vertical ser:

( )( )

( )

44

22.1

61.061.061.0A

2

2

++=

[ ]22 m036.1A = ( )( )22.1036.1LAV 22 ==

[ ]32 m264.1V = La fuerza vertical 1 ser:

( )( )264.181.9VF 2agua2 == [ ]KN39.12F1=

La fuerza total ejercida por el agua ser la suma vectorial de ambas:

41.539.12FFF 12agua == [ ]KN98.6Fagua =

A1

F1


52/198


47

En el lado derecho, de la misma manera que en el izquierdo, el efecto del aceite causara dos fuerzasverticales:

A3

F3A4

4 Las reas coloreadas son las que producen las fuerzas:

( )( )

( )

44

22.1

61.061.0A

2

3

=

[ ]23 m079.0A = ( )( )22.1079.0LAV 33 ==

]33 m096.0V = La fuerza vertical 3 ser:

( )( )( )096.080.081.9VF 3aciete3 == [ ]KN75.0F3=

El rea que produce la segunda fuerza vertical ser:

( )( )

( )

44

22.1

61.061.0A

2

4

+=

[ ]24 m664.0A = ( )( )22.1664.0LAV 44 ==

[ ]3

4 m81.0V = La fuerza vertical 4 ser:( )( )( )81.080.081.9VF 4agua4 ==

[ ]KN36.6F4 =

La fuerza total ejercida por el agua ser la suma vectorial de ambas:

75.036.6FFF 43aceite == [ ]KN61.5Faceite =

La fuerza total en el punto B ser:

8.1798.661.5FB +=

[ ]KN21.5FB =


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48

9. En la figura se muestra la seccin de una presa con una cara parablica. El vrtice de la parbolaesta en O. Encontrar la fuerza resultante debido a la accin agua y su inclinacin con la vertical.

Encontramos la ecuacin de la curva que representa la presa:

bxay 2 +=

Con: b = 0 entonces ( ) 08.0a25a50 2 == 2x08.0y=

Se tomara D = 50 [m] profundidad del agua con ancho unitario W = 1 [m]

La fuerza de la presin ejercida por el agua sobre la presa, es:

dApdF= Donde: yDh;hP ==

Fuerza Horizontal:

dyWhdyWpdApdFx === ( ) dyWyDdFx =

Integrando:

( ) ( ) ==50

0

50

0x dyyDWWdyyDF

( ) ( )( )

=

=

2

50505081.9

2

yDyF

250

0

2

x

[ ]KN5.12262Fx =

Se saca un resultado similar hallando la fuerza sobre la proyeccin de la curva sobre un planovertical, aplicando:

proyeccioncgx AhF = Fuerza vertical:

( ) dxWyDdxWhWdxpdApdFy ====

( ) dxWx08.0DdF 2y =

Integrando:

( ) ( ) ==25

0

25

0

22y dxx08.0DWdxWx08.0DF


54/198


49

( ) ( )( ) ( )

=

=

3

2508.0255081.9

3

x08.0xDF

325

0

3

y

[ ]KN8175Fy=

Punto de aplicacin:

dApxdFx ycp = Integrando:

( ) =25

0

2ycp dxWxx08.0DFx

( )

=25

0

3

ycp dxx08.0xDF

x

( )( ) ( )( )

=

=

4

2508.0

2

2550

8175

81.9

4

x08.0

2

xD

Fx

4225

0

42

ycp

[ ]m38.9x cp= desde O

( )( )

( )( )25

502512501

yAy

Iy

3

cgcg

cgcp +=+=

[ ]m33.33ycp= desde la superficie del liquido.

( ) ( )222y2xT 81755.12262FFF +=+=

[ ]KN69.14737FT =

( )8175

5.12262

F

Ftan

y

x ==

3.56=


55/198


50

10. Que cantidad mnima de concreto (peso especifico = 2400 Kg/m3) debe agregarse a una vigade 0.1 [m3] de volumen y densidad relativa 0.70 para que se hunda?

Peso agua del mismo volumen de la viga:

( )( ) [ ]Kg100P10001.0VP agagVag ===

Peso especifico de la viga:

( )( )

=== 3VagVV mKg70010007.0Dr

Peso de la viga:

( )( ) [ ]Kg70P7001.0VP VVVV ===

CVag PPP +=

Peso del concreto:

[ ]Kg30P70100PPP CVagC ===

Volumen de concreto mnimo necesario para hundir la viga:

2400

30PV

C

CC =

=

[ ]3C m0125.0V =


56/198


51

11. Se tiene una barra de seccin cuadrada de material homogneo de Dr = 0.5. Se quiere saber encual de las dos posiciones A o B flotara en el agua con equilibrio.

Caso A, realizamos un diagrama de cuerpo libre y hallamos la altura h.

Peso = empujedesagBB VV =

LhbLb ag2

B =

ag

agB

ag

B

ag

2B

bDrb

Lb

Lbh

=

=

=

( ) b5.0hb5.0bDrh B ===

MG = ME GE

Donde:

G; centro de gravedad.M = metacentroE = centro de empuje.

2

b12

b

h12

b

Lbh12

bL

V

IME

22

3

des

yy ====

6

bME=


57/198


52

4

bGE

22

b

2

hGE ===

012

bMG

24

b2

24

b6b4

4

b

6

bMG


58/198


53

0b6

2MG >=

Caso B flota con equilibrio


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54

12. Un cono de madera flota en la posicin que se muestra en la figura. La densidad relativa de lamadera es de 0.60. Determinar si la flotacin es estable.

25 cm

b

h

Primero se debe hallar las dimensiones del volumen de lquido desplazado por el cono:

El volumen del cono de madera ser:( )( )

12

18.025.0

12

DhV

22

c

=

=

[ ]3c m0021.0V =

El volumen del cono de lquido desalojado por el cono de madera ser:12

bh

12

DhV

22

d

=

=

Por semejanza geomtrica se puede decir que:

h

25

b

18= h72.0h

25

18b ==

Reemplazando en la formula del volumen desplazado:( )12

h72.0hV

2

d

=

]33d mh136.0V =

Segn el principio de Arqumedes, un cuerpo flotante desplaza un volumen de liquido con un peso

igual al peso del cuerpo.

dc WW =

aguadcc WV =

( )( )( ) ( )81.9h136.06.081.90021.0 3= [ ]m21.0h=

( )21.072.0b= [ ]m1512.0b=

Para determinar si un cuerpo es inestable se aplica la siguiente ecuacin:GEMEMG =

La posicin del centro de gravedad ser:

4

25.025.0

4

h25.0G ==

[ ]m1875.0G= desde el vrticeLa posicin del centro de empuje ser:

4

21.021.0

4

h21.0E ==


60/198


55

[ ]m1575.0G= desde el vrticePor lo tanto la distancia desde el centro de gravedad al centro de empuje ser:

1575.01875.0GE = [ ]m03.0GE=

La distancia entre el metacentro y el centro de empuje se halla mediante la siguiente expresin:

d

cg

V

IME=

( )

( )( )3

4

3

4

21.0136.064

1512.0

h136.064

b

ME

=

=

[ ]m0204.0ME=

Por lo tanto la distancia entre el metacentro al centro de gravedad ser:

03.00204.0MG = [ ]m0096.0MG =

Este valor es menor que cero; por lo tanto el cuerpo en esta posicin es inestable!


61/198


56

13. Un cuerpo hecho de dos trozos de madera pesada con peso especifico m=1150 [Kg/m3] flota en

un liquido de Dr = 0.93 tal como se muestra en la figura. Se desea calcular la profundidad dehundimiento del cuerpo en el lquido. Considere una unidad de ancho.

Primero se calcula el centro de gravedad CG del cuerpo, ya que se trata de un cuerpo compuesto devarias piezas diferentes:

Taco superior de madera (abcd):

( )( )( )( ) Kg1150W1150125.0VW m === ( )( ) mKg5.287M25.01150BWM abab ===

Taco inferior de madera (efgh):

( )( )( )( ) Kg2300W1150121VW m === ( )( ) mKg5750M5.22300BWM abab ===

La posicin del centro de gravedad de todo el sistema ser:Horizontalmente estar sobre el eje de simetra.Verticalmente:

Tcg F

M

y =

m75.1y11502300

5.2875750y cgcg =+

+= Desde ab.

El centro de flotacin estar en el centro de gravedad del volumen (gijh):Horizontalmente estar sobre el eje de simetra del sistema.Verticalmente:

( )( )( ) d1860F100093.02dVF agijha ===

Donde:Fa; fuerza ascensional.

La fuerza ascensional debe ser igual al peso del cuerpo, para que el cuerpo flote en el lquido.

cuerpoa WF = 11502300d1860 += [ ]m85.1d=

Se determina si el cuerpo flota con estabilidad, para esto se debe hallar el centro de flotacin.

[ ] abDesdem075.2y2

85.13y cfcf ==

El centro de flotacin se encuentra por debajo del centro de gravedad, esto indica que el cuerpo flotacon estabilidad.


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57

14. En el caso del ejercicio 9, cul seria el espesor del taco superior de madera, para que elcuerpo comience a ser inestable?

Primero se halla el peso del cuerpo en funcin de la distancia ac. Los pesos de los tacos superior einferior son:

( )( ) [ ]Kg11502acWabcd= [ ]Kg2300Wegfh =

El peso total ser:( ) ( )ac12300ac211502300PT +=+=

De la misma manera se halla el momento total debido al peso en funcin de la distancia ac, respectoab:

2ab ac115057502

acac23005750M +=+=

La distancia vertical desde la cara ab hasta el centro de gravedad del cuerpo ser:

( )ac12300ac11505750

y2

cg ++

=

La fuerza ascensional debe ser igual al peso del cuerpo:

Ta PF =

( ) ( )ac1237.1dac12300d1860 +=+=

( )ac62.038.2

2

ac1237.13ycf =

+=

Un cuerpo flota con inestabilidad cuando el CF esta sobre el CG. Por esto, si el CG coincide con elCF, empezara la inestabilidad.

cfcg yy =

( )ac62.038.2

ac12300

ac11505750 2=

++

[ ]cm5.6ac=


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58

15. El orifico rectangular de dimensiones b x h, practicado en la pared rectangular de un recipiente,se cierra con una compuerta de iguales dimensiones; dicha compuerta esta conectada a unapalanca y unida rgidamente por otra a un tambor cilndrico hueco de dimetro D, longitud L ypeso W, de tal manera que al subir el nivel del agua el recipiente, se abre la compuerta girando elsistema alrededor de O. Cul debe ser la distancia x, de modo que ello ocurra para Z G = 25[cm.], D = 39 [cm.], L = 60 [cm.], h = 40 [cm.], b = 30 [cm.], W = 25 [Kg.]?

La fuerza ascensional que se da sobre el cilindro ser:

( )

( )( ) [ ]Kg84.35F10006024

39.0

L24

D

F a

22

a =

=

=

Fuerza hidrosttica sobre la compuerta, se calcula del mismo modo que el explicado en compuertasverticales:

( )( )( )( ) [ ]Kg30F3.04.025.01000bhZAhF Gcg ====

( )( )

( )( )( ) [ ]m303.0h25.0

4.03.025.012

4.03.0

hAh

Ih cp

3

cgcg

cgcp =+=+=

Para que exista equilibrio, la suma de momentos respecto del eje O debe ser cero:

0MO = 0hFxF cpT =

Donde la fuerza total es igual a la fuerza ascensional menos el peso del cilindro:

( ) cpa hFxWF =

( )( )2584.35

30.030

WF

hFx

a

cp

=

=

[ ]m83.0x=


64/198


59

16. Un cubo de lado 2 [m], abierto en la parte superior y completamente lleno de agua, si se sometea una aceleracin igual a la aceleracin de la gravedad. Determinar la fuerza que ejerce el aguasobre la cara AB.

a)La aceleracin es vertical.b)La aceleracin es horizontal.c)La aceleracin tiene una inclinacin 45 con la horizontal,.

Qu cantidad de agua se bota en el caso b y c?El caso a:

La variacin de la presin para el caso de aceleracin vertical es:

( )gagdz

dpz+

=

( ) +

=2

1

2

1z dzgag

dp

( ) ( )21z12 zzgagpp +

=

La presin 1 es la presin de referencia, en este caso la atmosfrica.

( )hgag

p z+

=

( ) ( )( )( )298102h2hg2g

p ==

=

La presin en el fondo del cubo ser:

= 2f mKN24.39p

La presin el centro de gravedad ser:

== 2mKN62.19

2

24.39p

La fuerza que acta en la cara AB, ser:

( )( )( )2262.19APF == [ ]KN48.78F=

El caso b:


65/198


60

La pendiente de la recta de presiones constantes es:

1g

g

g

a

dx

dz x ===

Este indica que la superficie del fluido ser una recta de 45 de inclinacin, como se indica en lafigura.

La variacin de la presin respecto a la vertical en el caso de aceleracin horizontal simplemente es:

=

z

p

Esta es la misma variacin ya estudiada, por tal motivo la fuerza ser igual a:

AhF cg= ( )( )( )( )22181.9F=

[ ]KN24.39F=

El volumen de agua que se bota ser:

( )( )( )2222

1Lhb

2

1V ==

[ ]3m4V=

El caso c:

Se determina las componentes cartesianas de la aceleracin:


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61

== 2x sm94.645cosaa

== 2x sm94.645senaa

La pendiente de la recta de presiones constantes es:

81.994.6

94.6

ga

a

dx

dz

y

x

+=

+=

41.0dx

dz=

Para x = 1 [m], entonces z = - 0.41 [m]Para x = 2 [m], entonces z = - 0.82 [m]

Volumen derramado:

( )( )( )282.022

1V=

[ ]3m64.1V=

Determinacin de la fuerza sobre la pared:

( )gagdz

dPz+

=

( ) ( )( )281.994.681.9

9810hga

gP z +=+

=

= 2mN33500P

( )( )( )225.33APF == [ ]KN134F=


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62

17. Un vehculo con un recipiente cerrado que esta totalmente lleno de un lquido de densidadrelativa 0.85, se mueve en un plano inclinado, como se muestra en la figura. Cuando el vehculono esta en movimiento la lectura del manmetro A es de 30 [KPa]. Cul ser el valor de laaceleracin si el manmetro A marque 35 [KPa] cuando el vehculo esta en movimiento?

Cuando el recipiente est esttico:

[ ] == 2A mN00030KPa30P

( )( )

== 3mKg85085.01000

( )( )

=== 3mN5.833881.9850g

Altura de presin ser:

[ ]m6.3h5.8338

00030Ph A ==

= Desde A.

Cuando esta en movimiento:

La nueva altura de presin ser:

[ ]m2.4h5.8338

35000Ph 1

A1 ==

= Desde A.

La pendiente de la superficie ser:

3.0m2

6.0

dH

dVm =

==

Por otro lado:


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63

45senag

45cosa

ag

a

dx

dz

y

x

+=

+=

a71.0g

a71.0

dx

dz

+=

La ltima ecuacin es igual a la pendiente de la recta:

dxdzm=

3.0a71.0g

a71.0=

+

= 2sm92.5a

Esta aceleracin esta 45 y ascendente.


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64

18. Calcular las presiones en A y B cuando el recipiente mostrado en la figura gira a 50 [rpm] paralos casos siguientes:

a)El eje de rotacin pasa por A.b)El eje de rotacin pasa por B.

Para el caso a:

Primero se debe convertir los [rpm] en radianes por segundo:

[ ]srad23.5602

rpm50 =

=

Aplicando la ecuacin para rotacin relativa de fluidos:

( )2o22

o rrg2zz

=

( )( )( )

( )0181.92

23.56.4rr

g2zz

22o

22

o =

=

[ ]m21.3zo =

Se determina la presin en A y B:

( )( ) === 2AoA mKN5.31P21.381.9zP

( )( )

=== 2BoB mKN1.45P6.481.9zP

Para resolver el caso b:

( )2o22

o rrg2zz

=

( )( )( )

( )0281.92

23.56.4rr

g2zz 2

22o

22

o =

=


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65

[ ]m97.0zo =

Se halla la presin en A y B:

0PB=

Para hallar la presin en A primero se debe hallar la altura de agua en A:

( )( )( )

( )0181.92

23.597.0rr

g2zz

22o

22

oA +=

+=

[ ]m42.0zA =

( )( )

=== 2AAA mKN12.4P42.081.9zP


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INTRODUCCIN A LA HIDRULICA CINEMTICA DE FLUIDOS

66

3CINEMTICA DE FLUIDOS

La cinemtica es una parte de la mecnica de fluidos que analiza el movimiento sin tomar en cuentalos motivos por lo que se produjo este, este flujo se analiza en trminos de velocidad, aceleracin ydesplazamiento.

3.1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES.

VELOCIDAD.

La velocidad v se define como un vector:

zyx v;v;v

Donde la velocidad en cada eje, es funcin de su posicin y del tiempo:

( )t,z,y,xfv 1x = ; ( )t,z,y,xfv 2y = ; ( )t,z,y,xfv 3z =

Tambin se define por su vector posicin:zkyjxiv

rrr

++=

Para el anlisis del movimiento de las partculas revisaremos dos mtodos:

Mtodo de Lagrange: Para este mtodo se elige una partcula de una masa fluida y analizar lavariacin de la velocidad y aceleracin en el espacio y el tiempo.

Mtodo de Euler: Se selecciona un punto fijo en el espacio, relacionado con un sistema decoordenadas cualquiera, y se analizan las variaciones, con el tiempo, de las velocidades yaceleraciones de las diferentes partculas de la masa fluida que pasan por el.

PERMANENCIA Y UNIFORMIDAD DE LAS VELOCIDADES.

Cuando la velocidad permanece en todos los puntos invariable con el tiempo, aunque vare de unpunto a otro, el flujo ser permanente o estable, cuando no ocurra as, el flujo ser no permanente oinestable.

Cuando la velocidad se mantiene constante con respecto del desplazamiento, el flujo se denominaflujo uniforme, por el contrario se denomina flujo no uniforme o variado.

El flujo permanente uniforme es aquel donde el vector velocidad permanece inalterado con eltiempo en cada punto del espacio y es constante para puntos sucesivos en el sentido del movimiento.

Un flujo permanente variado ser similar al anterior con la diferencia de que la velocidad vara en elsentido del flujo.

En el flujo no permanente y variado la velocidad se modifica tanto con el espacio como en eltiempo.

El flujo no permanente y uniforme es aquel donde el vector velocidad vara con el tiempo, peropermanece constante en puntos sucesivos en el sentido del movimiento.


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INTRODUCCIN A LA HIDRULICA CINEMTICA DE FLUIDOS

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Fig. 3.1. Permanencia y uniformidad de fluidos.

CAMPOS DE FLUJO, LNEAS DE CORRIENTE, TRAYECTORIASUn campo de flujo es cualquier regin en el espacio donde hay un fluido en movimiento, acondicin de que la regin o subregin del flujo esta ocupada completamente por el fluido.

En cada punto del campo de flujo es posible determinar o especificar una serie de magnitudesfsicas, ya sean escalares, vectoriales o tensoriales, que forman a su vez campos independientes odependientes dentro del flujo. Un campo escalar se define exclusivamente por la magnitud queadquiere la cantidad fsica a la cual corresponde; ejemplo: presin, densidad y temperatura. En uncampo vectorial, adems de la magnitud, se necesita definir una direccin y sentido para la cantidadfsica a la que corresponde; esto es tres valores escalares. La velocidad, la aceleracin y la rotacinson ejemplos de campos vectoriales. Finalmente para definir campos tensoriales se requieren nueveo ms componentes escalares; ejemplo: esfuerzo, deformacin unitaria y momento de inercia.

Lneas de corriente son lneas que son tangentes a los vectores velocidad en unos puntosdeterminados del flujo en un instante de tiempo. Tubo de corriente es una superficie cerrada formadapor lneas de corriente e limitada en el sentido de ellas.

v

v

v

83022198 introduccion a la hidraulica

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