7. pl_01

Programacin Lineal

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Programacin Lineal

INTRODUCCION

Programacin Lineal

INTRODUCCION.-Es considerado uno de los avances cientficos msimportante de mediados del siglo XX S impacto haimportante de mediados del siglo XX. Su impacto hasido extraordinario.

L i li l (PL) h i tLa programacin lineal (PL) es una herramienta pararesolver problemas de optimizacin utilizando modelosmatemticos donde las restricciones y funcin objetivomatemticos donde las restricciones y funcin objetivoson funciones lineales.

Los problemas que se ajustan al modelo de la PL seLos problemas que se ajustan al modelo de la PL seconocen como problemas de programacin lineal(PPL). La PL es una tcnica poderosa para resolver( ) p pPPL.

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DEFINICION

Programacin Lineal

DEFINICION.-La PL es una tcnica que consiste en optimizar(ma imi ar o minimi ar) na f ncin lineal llamada(maximizar o minimizar) una funcin lineal llamadafuncin objetivo.

E ti d ti i l b d dEntindase por optimizar como la bsqueda de unasolucin (un valor mximo o mnimo) dentro de unaregin factible (conjunto de soluciones) delimitada porregin factible (conjunto de soluciones) delimitada porun conjunto de restricciones tambin lineales.

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REPRESENTACIN MATEMTICA DE UN P P L

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REPRESENTACIN MATEMTICA DE UN P.P.L..-1) Representacin algebraica desarrollada.-

nn2211 xcxcxcZOptimizar +++= Lsujeto asujeto a

1nn1212111 b),,(xaxaxa =+++ L

M2nn2222121 b),,(xaxaxa =+++ L

mnmn22m11m b),,(xaxaxa =+++ LM

i0xi -4-

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REPRESENTACIN MATEMTICA DE UN P P L

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XcZOptimizar =sujeto asujeto a

b),,(XA =0X

REPRESENTACIN MATEMTICA DE UN P.P.L..-2) Representacin matricial compacta.-

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FORMAS DE UN P P L

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FORMAS DE UN P.P.L..-1) Forma cannica de maximizacin.-

XcZMax =sujeto asujeto a

bXA 0X

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FORMAS DE UN P P L

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XcZMin =sujeto asujeto a

bXA 0X

FORMAS DE UN P.P.L..-2) Forma cannica de minimizacin.-

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REGLAS DE EQUIVALENCIA

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REGLAS DE EQUIVALENCIA.-Regla 1.-

a) Max Z = cX es equivalente a Min -Z = -cX.

ejemplo xx3x2ZMax +=ejemplo 321 xx3x2ZMax +=321 xx3x2ZMin +=es equivalente a

b) Min Z = cX es equivalente a Max -Z = -cX.

iejemploes equivalente a

321 x6x5x4ZMin +=321 x6x5x4ZMax +=q 321

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a) La restriccin j-sima de la forma cjixi bj esequivalente a la restriccin -cjixi -bj.ejemploes equivalente a

55x3x6x4 321 +55x3x6x4 +es equivalente a

b) La restriccin j-sima de la forma cjixi bj esequivalente a la restriccin -cjixi -bj

55x3x6x4 321 +equivalente a la restriccin cjixi -bj.ejemplo 31x7x2x3 321 +es equivalente a 3x1 + 2x2 7x3 31

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La restriccin j-sima de la forma cjixi = bj puededescomponerse como la interseccin de dosrestricciones cjixi bj y cjixi bj.ejemplo

65119j p

es equivalente a

6x5x11x9 321 =+q

6x5x11x9 321 +6x5x11x9 + 6x5x11x9 321 +

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a) Si se tiene m restricciones de la forma AX b,pueden convertirse en igualdad mediante la adicinde un vector Y, llamado vector de variables deholgura. El vector Y tiene m componentes nonegativasnegativas.ejemplo 15x5x6 21 +

19x7x3 se convierte a

19x7x3 21 15xx5x6 321 =++ 32119xx7x3 421 =+

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REGLAS DE EQUIVALENCIA.-b) Si se tiene m restricciones de la forma AX b,

p eden con ertirse en ig aldad mediante la resta depueden convertirse en igualdad mediante la resta deun vector Y, llamado vector de variables de exceso.El vector Y tiene m componentes no negativasEl vector Y tiene m componentes no negativas.

ejemplo35x2x7 21 +

se convierte a

21

21x9x8 21 +se convierte a

35xx2x7 321 =+21xx9x8 421 =+ 421

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Programacin Lineal


Una variable no restringida xi, (xi -, +), puedeescribirse como la diferencia de dos variables nonegativas. Sea xi una variable no restringida, luego

kji xxx =donde xj 0 y xk 0. Se cumple que:

Si xi > 0 entonces xj > xki j kSi xi = 0 entonces xj = xkSi 0 tSi xi < 0 entonces xj < xk

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Programacin LinealProgramacin Lineal

FORMULACION DE PROBLEMAS DEPROBLEMAS DE PROGRAMACION

LINEALLINEAL

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PROBLEMA 01

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PROBLEMA 01.-Se tiene que abastecer urgentemente una zonadeclarada en emergencia se disponen de dos tipos dedeclarada en emergencia, se disponen de dos tipos deaviones, el A y el B.

C t ti f t l d b tiblCaractersticas referente al consumo de combustible,aceite, carga til y tiempo que demora de ida y vueltaestn en la tabla adjunta igualmente estn en ella laestn en la tabla adjunta, igualmente estn en ella ladisponibilidad de aceite y combustible de la base,plantear el problema con miras a que se transporte lamxima carga posible con la gasolina y el aceitedisponible.

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A B DisponibilidadTIPO DE AVION

A B DisponibilidadGasolina/hora 8 12 800 galonesAceite/hora 0.25 0.2 40 galonesg

Horas de viaje 5 4Carga til (kg) 400 480

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SOLUCION

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SOLUCION.-Variables de decisinA : nmero de viajes del avin tipo A a la zona en

emergencia.B : nmero de viajes del avin tipo B a la zona en

emergencia.

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Restricciones

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Restriccin por disponibilidad de gasolina:Restricciones

800B)12()4(A)8()5( +800B48A40 +

Restriccin por disponibilidad de aceite:40B)200()4(A)250()5( 40B)20.0()4(A)25.0()5( +

40B80.0A25.1 +Restricciones de no negatividad:

0BA 0B,A -18-

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Funcin objetivo

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B480A400ZMax +=Funcin objetivo

B480A400ZMax +

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Programacin Lineal

El programa queda:

Programacin Lineal

B480A400ZMax +=El programa queda:

B480A400ZMax +sujeto a

800B48A40 800B48A40 +40B80.0A25.1 +

0B,A

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PROBLEMA 02

Programacin Lineal

PROBLEMA 02.-Se desea averiguar las cantidades de ciertos alimentosq e deben comerse para satisfacer ciertosque deben comerse para satisfacer ciertosrequerimientos nutritivos a un costo mnimo.Supongamos que las consideraciones se limitan aSupongamos que las consideraciones se limitan aleche, carne, huevos y a las vitaminas A, C y D.

Supongamos que el nmero de miligramos deSupongamos que el nmero de miligramos devitaminas contenidas en cada unidad de alimentos seda en la tabla siguiente:

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VITAMINAMnimo

requerido a Galn de

l hLibra de Docena de

h

A 1 1 10 1C 100 10 10 50

qdiario (mg)

leche carne huevos

C 100 10 10 50D 10 100 10 10

Costo en soles 40 44 20

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SOLUCION

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SOLUCION.-

Variables de decisinL : cantidad de leche en galonesC : cantidad de carne en librasH : cantidad de huevos por docena

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Restricciones

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Restriccin por requerimiento mnimo de vitamina A:Restricciones

1H10CL ++Restriccin por requerimiento mnimo de vitamina C:Restriccin por requerimiento mnimo de vitamina C:

50H10C10L100 ++Restriccin por requerimiento mnimo de vitamina D:

10H10C100L10 ++Restricciones de no negatividad:

0HCL 0H,C,L -24-

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Funcin objetivo

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H20C44L40ZMin ++=Funcin objetivo

H20C44L40ZMin ++

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El programa queda:

Programacin Lineal

El programa queda:

H20C44L40ZMin ++=sujeto a

H20C44L40ZMin ++

110C 1H10CL ++50H10C10L100 ++

0HCL 10H10C100L10 ++

0H,C,L

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PROBLEMA 03

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La compaa Mauser, fabricante de fusiles automticos,ti 3 d t t l l f ttiene 3 departamentos en los cuales se manufacturansus modelos S-1000 y S-2000, las capacidadesmensuales son las siguientes:

Requerimientos unitarios de tiempo (en horas)

mensuales son las siguientes:

de tiempo (en horas)

DepartamentosHoras disponibles en el siguiente mes

Modelo S-2000

Modelo S-1000

Departamento 1 4 2 1,600Departamento 2 2.5 1 1,200Departamento 3 4.5 1.5 1,600

PROBLEMA 03.- Propuesto

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Programacin Lineal

La utilidad del modelo S 1000 es de 40 dlares por

Programacin Lineal

La utilidad del modelo S-1000 es de 40 dlares porunidad y la del modelo S-2000 es de 10 dlares porunidad; suponiendo que la compaa puede venderunidad; suponiendo que la compaa puede vendercualquier cantidad de estos productos, debido acondiciones favorables de mercado.

Determinar el nmero de unidades de cada modelo quese debe de fabricar de manera que se maximice lautilidad total.

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