60224386 estructuras basicas para arquitectos nov 9 2010

Estructuras básicas

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Jorge Enrique Cruz Benedetti

Reseña

Para los estudiantes de arquitectura el tema del análisis estructural resulta complejo y tedioso, por cuanto su enfoque de una edificación u obra civil se basa en el aspecto estético y todo lo que tiene que ver con el soporte de la misma les causa problemas. Es más, si pudieran, los arquitectos harían la casa del cantautor Escalona: esto es en el aire. A los arquitectos les estorban las columnas y si por ellos fuera, no las colocarían.

Si bien es cierto que el tema estructural es a veces complejo para los arquitectos, es necesario reconocer que se constituye en un pilar fundamental que debe ser tenido en cuenta al momento de concebir un diseño, ya que se constituirá en la garantía y seguridad de los proyectos.

Otras

publicaciones

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para arquitectos

Estructuras básicas para arquitectos


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ISBN: 978-958-696-783-9

Jorge Enrique Cruz Benedetti nació en Cartagena, es ingeniero civil de la Universidad de Cartagena y realizó una especialización en Gerencia de Proyectos de Construcción en la misma universidad.

En su ejercicio profesional se ha desempeñado alrededor de tres campos principales: la Consultoría especialmente en diseño Estructural, la Construcción y la Actividad Académica. Desde 1988 ha participado en consultorías como calculista y contratista independiente en más de 350 obras civiles.

Profesor titular de la Universidad Pontificia Bolivariana Seccional Montería desde 1998, ha sido asesor de varios proyectos de grado y ha dictado los siguientes cursos: Estática, Resistencia de Materiales, Análisis estructural, Hormigón I, Hormigón II y manejo de software (SAP2000, ETABS).

Estructuras básicas para arquitectos


Profesor de Análisis Estructural

MONTERÍA

© Jorge Enrique Cruz Benedetti© Editorial Universidad Pontificia Bolivariana

Estructuras básicas para arquitectosISBN: 978-958-696-783-9Escuela de Arquitectura y DiseñoFacultad de ArquitecturaPrimera edición, 2009

Gran Canciller UPB: Arzobispo. Alberto Giraldo Jaramillo

Rector General: Mons. Luis Fernando Rodríguez Velásquez

Vicerrector Académico: José Fernando Montoya Ortega

Decano: Samuel Ricardo Vélez González

Editor: Juan José García Posada

Imagen portada: xxx

Diagramación: Ana Mercedes Ruiz M.

Corrección: xxxx

Coordinación de producción: Ana Milena Gómez C.

Dirección editorial:Editorial Universidad Pontificia Bolivariana, 2008Email: [email protected]: 57(4) 415 9012A.A. 56006 - Medellín - Colombia

Radicado: xxxxx

Prohibida la reproducción total o parcial, en cualquier medio o para cualquier propósito sin laautorización escrita de la Editorial Universidad Pontificia Bolivariana

721C957

Cruz Benedetti, Jorge EnriqueEstructuras básicas para arquitectos / Jorge Enrique Cruz Benedetti. -- Medellín: UPB, 2008.164 p: 17 x 24 cm.

ISBN: 978-958-696-783-9

1. CONSTRUCCIÓN SISMO RESISTENTE NSR-98 – NORMAS COLOMBIANAS. – 2. MATERIALES DE CONSTRUCCIÓN. – 3. ESTRUCTURAS ARQUITECTÓNICAS – ANÁLISIS. – l. Tit.

Prólogo

Para los estudiantes de arquitectura el tema del análisis estructural resulta complejo y tedioso por cuanto su enfoque de una edificación u obra civil se basa en el aspecto estético y todo lo que tiene que ver con el soporte de la misma les causa problemas. Es más, si pudieran, los arquitectos harían la casa del cantautor Escalona: esto es en el aire. A los arquitectos les estorban las columnas y si por ellos fuera, no las colocarían.

Si bien es cierto que el tema estructural es a veces complejo para los arquitectos, es necesario reconocer que se constituye en un pilar fundamental que debe ser tenido en cuenta al momento de concebir un diseño, ya que se constituirá en la garantía y seguridad de los proyectos.

Es por ésta razón que se propone éste texto académico guía para los estudiantes de arquitectura, que contiene los temas pertinentes explicados de la manera más simple y sencilla con ejemplos prácticos de la vida real, de forma que el estudiante pueda encontrar una correlación rápida y clara entre la teoría y la práctica.

Esto quiere decir que los temas tratados en éste libro son lo mínimo que necesitaría un arquitecto en este campo para el buen ejercicio de su profesión, lo cual no implica que se deban limitar al alcance del mismo; por el contrario, debería servir de estímulo para que los estudiantes investiguen y lean otros textos que traten sobre el tema.

Como quiera que se trata de un texto básico, no se demostrarán fórmulas sino que se enunciarán y se procederá a explicar cómo y para que se utilizan; el estudiante que quiera profundizar deberá por lo tanto apoyarse en textos auxiliares de ingeniería.

Finalmente, los ejercicios explicados en el texto son los mismos para los diferentes métodos con el fin de que el estudiante pueda establecer una comparación entre los mismos.


Tabla de contenido

1 Aspectos básicos ........................................................................................... 111.1 Normas Colombianas de Diseño y Construcción Sismo Resistente NSR-98 ................... 111.2 Sistemas de unidades ................................................................................................. 121.3 Prefijos griegos métricos ............................................................................................. 14

2 Concepto de estructura ................................................................................152.1 Una definición de estructura ....................................................................................... 152.2 Tipos de estructuras según su forma ........................................................................... 152.3 Factor de seguridad .................................................................................................... 17

3 Materiales de construcción ..........................................................................183.1 Consideraciones generales .......................................................................................... 183.2 Acero .......................................................................................................................... 193.3 Concreto reforzado C/R ............................................................................................... 223.4 Madera ....................................................................................................................... 24

4 Sistemas estructurales.................................................................................284.1 Grados de libertad ....................................................................................................... 284.2 Cerchas o armaduras .................................................................................................. 284.3 Pórticos ...................................................................................................................... 304.4 Arcos ...........................................................................................................................31

5 Fuerzas y esfuerzos actuantes ..................................................................... 315.1 Fuerza y esfuerzo; momento; par o cupla ......................................................................31

5.1.1 Fuerza y esfuerzo .......................................................................................................315.1.2 Momento .................................................................................................................. 325.1.3 Par o cupla ................................................................................................................ 32

5.2 Fuerza externas .......................................................................................................... 335.2.1 Cargas verticales ...................................................................................................... 33 5.2.1.1 Cargas muertas ............................................................................................ 33

5.2.1.2 Cargas vivas ................................................................................................. 355.2.2 Cargas horizontales ................................................................................................... 36 5.2.2.1 Cargas sísmicas ........................................................................................... 36 5.2.2.2 Cargas de viento ........................................................................................... 37

5.3 Fuerza internas (solicitaciones).................................................................................... 385.4 Reacciones ................................................................................................................. 395.5 Columnas .................................................................................................................... 395.6 Vigas .......................................................................................................................... 405.7 Fuerzas estáticas y fuerzas dinámicas ......................................................................... 40

88

6 Métodos de diseño ........................................................................................406.1 Método elástico - Método de la resistencia última o rotura .......................................... 406.2 Factores de mayoración - Combinaciones de carga ........................................................41

7 Escalares y vectores .....................................................................................437.1 Escalares .................................................................................................................... 437.2 Vectores ..................................................................................................................... 43

7.2.1 Vectores fuerzas ....................................................................................................... 437.2.2 Suma de vectores ...................................................................................................... 447.2.3 Resultante de varias fuerzas concurrentes ................................................................. 457.2.4 Componentes rectangulares ...................................................................................... 46

7.3 Diagramas de cuerpo libre ........................................................................................... 477.4 Reacciones y diagramas de cortante y momento ......................................................... 50

7.4.1 Viga simplemente apoyada .........................................................................................51 7.4.1.1 Carga puntual ............................................................................................... 54 7.4.1.2 Carga uniforme ............................................................................................. 55 7.4.1.3 Carga uniforme más puntual ......................................................................... 56

7.4.2 Voladizo .................................................................................................................... 58 7.4.2.1 Carga puntual ............................................................................................... 58 7.4.2.2 Carga uniforme ............................................................................................. 59 7.4.2.3 Carga uniforme más carga puntual ................................................................ 60

7.5 Momentos de inercia ................................................................................................... 627.5.1 Primer momento de área ........................................................................................... 627.5.2 Segundo momento de área ........................................................................................ 63 7.5.2.1 Segundo momento de área o momento rectangular de inercia de un área ...... 63 7.5.2.2 Momento polar de inercia de un área ............................................................ 64 7.5.2.3 Radio de giro ................................................................................................ 65 7.5.2.4 Teorema de Steiner o de los ejes paralelos ..................................................... 65

8 Esfuerzos y deformaciones...........................................................................678.1 Axial ........................................................................................................................... 678.2 Flexión .........................................................................................................................718.3 Cortante ..................................................................................................................... 748.4 Torsión ........................................................................................................................ 78

9 Estabilidad y determinación .........................................................................85

10 Cálculo de deflexiones ................................................................................8610.1 Método de Castigliano ............................................................................................... 8710.2 Método del trabajo virtual ..........................................................................................9110.3 Método de la doble integración .................................................................................. 96

88 9Estructuras básicas para arquitectos

11 Resolución de estructuras indeterminadas ............................................. 10211.1 Teorema de los tres momentos ..................................................................................10311.2 Método de ángulo de giro-deflexión ...........................................................................10811.3 Método de Cross ...................................................................................................... 112

12 Diseño de vigas en concreto reforzado .................................................... 11912.1 Análisis de carga...................................................................................................... 11912.2 Viga rectangular simplemente reforzada .................................................................. 12312.3 Viga rectangular doblemente reforzada .................................................................... 13212.4 Viga rectangular sometida a esfuerzo cortante ........................................................ 13712.5 Longitud de desarrollo, gancho, traslapo ...................................................................141

13 Columnas en concreto reforzado .............................................................14513.1 Columnas con carga axial ........................................................................................ 14513.2 Columnas con carga axial y flexión uniaxial ............................................................. 146

14 Diseño de losa maciza unidireccional en concreto reforzado ...................................................................................152

15 Diseño de escaleras en concreto reforzado .............................................156

16 Diseño de zapatas aisladas ......................................................................158

Parte Uno: Conceptos Básicos

1. Aspectos básicos

1.1. Normas Colombianas de Diseño y Construcción Sismo Resistente NSR-98

En el territorio colombiano se utiliza la NSR-98 que es la Ley 400 de 1997, Decreto Reglamentario 33 de 1998 y siguientes para reglamentar todo lo concerniente al diseño y construcción de obras civiles. Como es una Ley deben aplicarla todos los ingenieros, arquitectos, constructores, curadores, funcionarios públicos de dependencias municipales o departamentales que tengan que ver con infraestructura, y en general toda aquella persona que tenga que ver con diseño y construcción de obras civiles.

El Título I, de la norma, trata de la supervisión técnica para los diferentes procesos de diseño y construcción.

De una manera sintetizada se relaciona el contenido de la NSR-98:

Tabla 11

Título Contenido

A Requisitos Generales de Diseño y Construcción Sismo Resistente

B Cargas

C Concreto estructural

D Mampostería Estructural

E Casas de uno y dos pisos

F Estructuras Metálicas

G Estructuras de Madera

H Estudios Geotécnicos

I Supervisión Técnica

J Requisitos para Fuego

K Otros requisitos Complementarios

1 NSR-98, Normas Colombianas de Diseño y Construcción Sismo Resistente, Bogotá, 1998

1212

La NSR-98 es una de las más completas en el ámbito mundial y en cada uno de los Títulos está consignado todo lo que necesita un arquitecto o un ingeniero para llevar a cabo un cálculo estructural.

1.2. Sistemas de unidades

Los sistemas de unidades se definen a través de sus unidades de medida de longitud, fuerza y tiempo. Existen dos sistemas de unidades: Sistema Internacional (SI) e Inglés.

El sistema internacional SI tiene las siguientes unidades básicas:

Tabla 2

Magnitud Nombre Símbolo

Longitud metro m

Masa kilogramo kg

Tiempo segundos s

Intensidad de corriente eléctrica ampere A

Temperatura termodinámica kelvin K

Cantidad de sustancia mol mol

Intensidad luminosa candela cd

Y las siguientes unidades derivadas expresadas a partir de unidades básicas y suplementarias:

Tabla 3


Superficie metro cuadrado m2

Volumen metro cúbico m3

Velocidad metro por segundo m/s

Aceleración metro por segundo cuadrado m/s2

Número de ondas metro a la potencia menos uno m-1

Masa en volumen kilogramo por metro cúbico kg/m3

Velocidad angular radián por segundo rad/s

Aceleración angular radián por segundo cuadrado rad/s2


El sistema inglés tiene como unidades las siguientes:

Tabla 4


Longitud pie ft

Masa libra lb

Tiempo segundos s

Intensidad de corriente eléctrica ampere A

Temperatura termodinámica Fahrenheit F

Cantidad de sustancia mol mol

Intensidad luminosa candela cd

El sistema internacional SI tiene como unidades derivadas de fuerza y esfuerzo:

• Kilogramo fuerza o tonelada fuerza• Newton• Pascal, kilopascal, megapascal y gigapascal

A continuación damos unas tablas con factores de conversión para los diferentes sistemas de unidades:

Inglés a SITabla 5

Inglés SI Multiplicar x

pie m 0.3048

pulg cm 2.54

pie2 m2 0.0929

pulg2 cm2 6.4516

pie3 m3 0.0283

pulg3 cm3 16.3870

lbf kgf 0.4536

klbf Tf 0.0005

lbf/pulg2 kgf/cm2 0.0703

lbf-pie kgf-m 0.13820F 0C 0.566*(0F-32)

1414

SI a inglésTabla 6

SI Inglés Multiplicar x

M Pie 3.2808

Cm pulg 0.3937

m2 pie2 10.7639

cm2 pulg2 0.1550

m3 pie3 35.3357

cm3 pulg3 0.061

kgf Lbf 2.2046

Tf klbf 2.00

kgf/cm2 lbf/pulg2 14.2233

kgf-m lbf-pie 7.23590C 0F 1.8*(0C+32)

Como quiera que las unidades de fuerza y presión o esfuerzo son las que más se utilizarán en ésta materia, vale la pena recordar que:

1 lbf/pulg2 (psi) = 0.07 kgf/cm2 =~0.007 MPa1 Tf = 1000 kgf =~10 kN

ya que se puede aproximadamente tomar la aceleración de la gravedad como 10 m/seg2 y no 9.81 m/seg2.

1.3 Prefijos griegos métricos

Con frecuencia se oye a los estudiantes hablar de su memoria USB de 4 Gigas, de su portátil de 2 Gigas de RAM, disco duro de 160 Gigas, iPods de 8 Gigas, pero cuando se les pregunta que quieren decir éstos términos comienzan a divagar y no tienen idea de que están hablando. Ellos están utilizando los prefijos griegos para los múltiplos de 10, los cuales se emplean en conjunción con un sustantivo y quieren decir que dicho sustantivo se multiplica por la potencia de 10 usada.

Veamos el significado de dichos prefijos:


1024 1,000,000,000,000,000,000,000,000 yotta Y

1021 1,000,000,000,000,000,000,000 zetta Z

1018 1,000,000,000,000,000,000 exa E

1015 1,000,000,000,000,000 peta P

1012 1,000,000,000,000 tera T

109 1,000,000,000 giga G

106 1,000,000 mega M

103 1,000 kilo k

102 100 hecto h

101 10 deka da

100 1 - -

10-1 0.1 deci d

10-2 0.01 centi c

10-3 0.001 milli m

10-6 0.000 001 micro m

10-9 0.000 000 001 nano n

1012 0.000 000 000 001 pico p

10-15 0.000 000 000 000 001 femto f

10-18 0.000 000 000 000 000 001 atto a

10-21 0.000 000 000 000 000 000 001 zepto z

10-24 0.000 000 000 000 000 000 000 001 yocto y

2. Concepto de estructura2.1. Una definición de estructura

Es un conjunto de barras unidas entre si en los nodos, sometidas a fuerzas exteriores y que desarrollan unas fuerzas internas (solicitaciones), dentro de unos parámetros de economía y seguridad.

Dicho lo anterior se puede decir que todo el mundo físico y la naturaleza están constituidos por sistemas estructurales: árboles, mesas, sillas, edificios, animales, cuerpo humano, etc.

2.2. Tipos de estructuras según su forma

Reticulares: conformadas por barras que forman retículas o grillas las cuales generalmente son rectangulares, cuadradas, triangulares o de cualquier forma poligonal. La característica del elemento reticular es que una de sus dimensiones es mucho más grande que las otras dos: L>>b,h

1616

Laminares: conformadas por láminas cuya característica es la contraria de las reticulares: una de sus dimensiones es mucho más pequeña que las otras dos: e<<B,L

Figura 1

Figura 2Edificio en estructura metálica para fábrica

Ejemplo de estructura reticular: edificios, torres eléctricas.

Ejemplo de estructura laminar: tanques, piscinas, muros de contención


Figura 3Tanque elevado: recipiente es laminar curvo; torre es reticular

2.3. Factor de seguridad

La seguridad de las estructuras se le da a través de un colchón que permita que la estructura no tenga problemas de grandes deformaciones y eventualmente colapse.

Se puede definir el factor de seguridad como:

F.S.=Capacidad real de la estructura/Capacidad requerida de la estructura

Esto es, que si la estructura demanda por ej. una fuerza total de 400 Tf, se le suministrará 600 Tf y eso dará un F.S.= 600/400=1.50 (adimensional)

Se usa el factor de seguridad para compensar:

• Error humano: errar es de humanos; aun cuando se utilice el programa de computador más avanzado, se cumple la máxima de “basura entra, basura sale”

• Defecto de fabricación: todo proceso de fabricación implica algo llamado MTBF (Mean Time Between Failure) que significa Tiempo Medio Entre

1818

Fallas. Eso quiere decir que un perfil metálico o una varilla de acero pueden eventualmente no cumplir con la resistencia nominal por falla de las máquinas de fabricación de las mismas (horno de fundición, troqueladora, etc.)

• Defectos de construcción: Dice un adagio que “las estructuras no funcionan como se diseñan, sino como se construyen”. Todo el cuidado que se ofrece en un diseño de siete días de duración lo destruye un mal constructor en siete minutos: mala interpretación de los planos, ignorancia ó, en el peor de los casos, mala fe.

3. Materiales de construcciónConsideraciones generales

Todos los materiales utilizados en estructuras tienen propiedades mecánicas únicas para cada material, que se conocen y son las que le dan su resistencia característica. El principal parámetro es el Módulo de Elasticidad también conocido como Módulo de Young, quien definió la siguiente ecuación basado en la Ley de Hooke:

E=σ/e En donde:

E= Módulo de elasticidad o módulo de Youngσ= Esfuerzoe= Deformación

Si se grafica en un sistema cartesiano el esfuerzo contra la deformación se obtendrá una curva parecida a ésta:

Figura 4


En donde se puede notar que hay un tramo lineal que representa el rango elástico del material al final del cual se encuentra el punto de fluencia en donde el material llega al límite de resistencia elástica; de allí en adelante entra en el rango plástico en donde se presentan grandes deformaciones con poco aumento de el esfuerzo; el material entonces no recupera su forma original y eventualmente se rompe (punto de ruptura).

Otras propiedades mecánicas de los materiales:

Masa (m): cantidad de materia.

Peso: fuerza de gravedad ejercida por la tierra sobre el cuerpo, equivalente al producto de la masa por aceleración de la gravedad (g=9.81 m/seg2).

Resistencia última (Fu): el esfuerzo en el punto de rotura.

Resistencia nominal (Fy): el esfuerzo en el punto de fluencia.

Relación o Módulo de Poisson (µ): relación entre deformación lateral y deformación longitudinal.

µ= et/el; varía entre 0.20 y 0.50, dependiendo del tipo de material

Coeficiente de expansión térmica o dilatación (a): indica que tanto varía el material ante un gradiente o variación de temperatura.

Módulo de corte (G):

G = E/2(1+ µ)

En donde:

G = Módulo de corteE = Módulo de elasticidad o módulo de Youngµ = Relación de Poisson

3.2. Acero

Es uno de los materiales más empleados en el mundo. Es la aleación de hierro con carbono el cual no supera el 2.1% del peso del hierro, siendo el porcentaje promedio no mayor de 0.2~0.3%; una cantidad mayor al 2.1%

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da un acero quebradizo. Además del acero al carbono, existen otros que son básicamente el anterior con cantidades adicionales de magnesio, cromo, vanadio, silicio, con lo cual se obtienen aceros con diferentes propiedades mecánicas los cuales se utilizan en situaciones específicas.

Propiedades físicas:Densidad media: 7850 kg/m3

Punto de fusión: depende del tipo de acero; valor promedio 1375 °CPunto de ebullición: alrededor de 3000 °CEmpleo en estructuras:Metálicas: como perfiles laminados en caliente en forma de I, I ala ancha, C, L, O, que es la figura del área transversal.

Figura 5AISC: American Institute Steel Construction

Perfiles laminados en frio generalmente de poco espesor (1.5~3 mm) en forma de C, Z, I, Cajón (C doble), y cualquier combinación de éstos.

Figura 6


Concreto reforzado: en varillas redondas cuyos diámetros son:

Tabla 7

pulg #

¼=2/8 2

3/8 3

½=4/8 4

5/8 5

¾=6/8 6

7/8 7

1=8/8 8

1-1/8=9/8 9

1-1/4=10/8 10

La primera columna está en fracciones de pulgada y la segunda es la denominación alterna: numerador de la fracción en octavos de pulgada.

Las varillas vienen en dos resistencias:

Alta (Fy=4200 kgf/cm2)Baja (Fy=2400 kgf/cm2)

Las de alta resistencia son todas corrugadas, las de baja pueden ser lisas o corrugadas. En la parte exterior tienen varios símbolos: país de fabricación, siderúrgica fabricante, logo de la siderúrgica fabricante, dígito de diámetro, letra indicadora de soldadura y dos dígitos de resistencia (40 o 60 miles de libras por pulgada cuadrada o ksi).

Figura 72

2 Diaco Ltda., Guía para el cálculo estructural, Bogotá, Primera Edición 1994

2222

Las características de las varillas redondas son:

Tabla 8

Varilla # Diámetro (mm) Área (cm2) Perímetro (cm) Peso (kgf/m)

2 6.35 0.32 19.95 0.25

3 9.53 0.71 29.92 0.56

4 12.70 1.27 39.90 0.99

5 15.88 1.98 49.87 1.55

6 19.05 2.85 59.85 2.24

7 22.23 3.88 69.82 3.05

8 25.40 5.07 79.80 3.98

9 28.58 6.41 89.77 5.03

10 31.75 7.92 99.75 6.22

11 34.93 9.58 109.72 7.52

3.3. Concreto reforzado C/R

Es un material utilizado en la construcción de edificaciones y está compuesto de dos elementos: hormigón o concreto simple y acero al carbono en varillas o perfiles.

El hormigón a su vez está hecho de cemento Portland, agregado fino (arena), agregado grueso (china de río, caliza) y agua en diferentes proporciones de acuerdo a la resistencia que se desee obtener.

El cemento Portland fue patentado por Joseph Aspdin en 1824, aunque ha sido utilizado por los antiguos griegos (toba volcánica) pasando por los romanos desde el siglo I AC.

Está hecho de los siguientes minerales: caliza, sílica, alúmina y óxido de hierro. Durante la calcinación en el horno (clink) se produce

Silicato dicálcico Ca2SiSilicato tricálcico Ca3SiAluminato tricálcico Ca3AlAluminoferrito tetracálcico Ca4FeAl

De acuerdo con las proporciones de los anteriores componentes se pueden obtener los siguientes tipos de cemento portland:


Tabla 9

Tipo Nombre Aplicaciones

I, IA Normal Cuando no se necesitan propiedades especiales

II, IIA Resistencia moderada a los sulfatos Obras expuestas a aguas negras tales como alcantarillados

III, IIIA Alta resistencia inicial Construcciones fast-track, reducción del tiempo de curado en climas fríos

IV Bajo calor de hidratación Se utiliza en el hormigonado de grandes volúmenes como presas, etc.

V Resistencia alta a los sulfatos Obras expuestas a aguas negras tales como plantas de tratamiento sanitario

El cemento en contacto con el agua reacciona químicamente generando calor y aglutinando los agregados fino y grueso, se endurece y así forma el hormigón.

Para su constitución se hace necesario tener en cuenta parámetros como los siguientes:

Relación agua/cemento (a/c): razón entre peso del agua y peso del cemento por m3 de concreto. En 1928 Abrams descubrió que entre más baja la a/c, mayor resistencia del concreto pero menos manejabilidad.

Figura 8

2424

Mezcla en peso: es como debería hacerse siempre el concreto para un diseño de mezcla determinado; se pesan los materiales teniendo en cuenta el contenido de humedad de ellos si ha llovido por ejemplo la noche anterior. Una relación óptima promedio de a/c es de 0,50.

Mezcla en volumen: es como se hace generalmente en la práctica, a menos que se pida a una central de mezclas.

A manera de ejemplo, con materiales del rio Sinú se puede obtener fácilmente concretos de 3000 psi (210 kgf/cm2) con una mezcla 1:2:3 que quiere decir 1 parte de cemento, 2 de arena y 3 de china o caliza, siempre y cuando se utilice una a/c=0.50

Resistencia del concreto a la compresión (F´c): el concreto es bueno para esfuerzos de compresión, más no para los de tensión y esa es la razón por la que se combina con el acero: en las zonas donde está tensionado se le suministran barras de refuerzo, de manera que en la sección de C/R el hormigón se encarga de los esfuerzos de compresión y el acero de los de tracción (y de compresión si se necesita).

Valor típico del concreto estructural estándar: 3000 psi=210 kgf/cm2=21 MPa

Aditivos: se le agregan al hormigón con el fin de acelerar el fraguado, retardarlo, darle manejabilidad, agregarle aire, etc. con lo cual se obtienen propiedades especiales en el concreto para su uso en diferentes escenarios.

Ejemplos:

Para un concreto bombeado se utiliza aditivos que incorporan aire al concreto y le dan plasticidad y manejabilidad.

Hay que tener en cuenta que el aditivo líquido forma parte del agua de fraguado o amasado por lo que se deberá disminuir la cantidad de agua en la mezcla en la misma cantidad. Hay que seguir cuidadosamente las instrucciones consignadas por los fabricantes de los aditivos.

3.4. Madera

La madera es utilizada ampliamente en construcciones de todo tipo: casas, edificios de baja altura, puentes pequeños, etc. Junto con la piedra eran


los materiales preferidos en la antigüedad por encontrarse en forma natural y abundante.

Es un material orto-trópico, esto es, que sus propiedades mecánicas varían para cada una de las direcciones: largo, ancho y alto.

Es extraída de los árboles a través de cortes mecánicos dándole forma de listones rectangulares o redondos, tablas, etc. Debe secarse con el fin de que estabilice sus propiedades mecánicas y no cambie de volumen. Generalmente el proceso de secado implica una pérdida de alrededor del 25% del peso y puede ser realizado de forma natural (parada y con espacios entre las piezas) o artificial (por medio de inmersión, vacío, vaporización, bomba de calor).

En promedio se compone de un 50% de carbono (C), un 42% de oxígeno (O), un 6% de hidrógeno (H) y el 2% de nitrógeno (N) y otros elementos. Todo esto se compone formando la celulosa y la lignina. Los esfuerzos a considerar en la madera son: flexión (Fb, paralelo a la fibra), cortante (Fv, sentido perpendicular a la fibra), compresión o tracción axial (Fc, Ft, paralelos a la fibra), compresión perpendicular a la fibra (Fp), dichos esfuerzos varían dependiendo del tipo de madera.

De acuerdo con su densidad, la madera es clasificada en la NSR-98 en los siguientes grupos:

Grupo A: maderas con densidad básica superior a 710 kg/m3

Grupo B: maderas con densidad básica entre 560 y 700 kg/m3

Grupo C: maderas con densidad básica entre 400 y 550 kg/m3

Valores promedios de los esfuerzos en MPa: Tabla 10

GRUPO Fb Ft Fc Fp Fv

A 21 14.5 14.5 4.0 1.5

B 15 10.5 11 2.8 1.2

C 10 7.5 8 1.5 0.8

Módulo de elasticidad longitudinal (MPa): Tabla 11

GRUPO Emínimo Epromedio

A 9500 13000

B 7500 10000

C 5500 9000

2626

A continuación se presentan dos de las tablas del título G de la NSR-98:

Tabla G.1-1Secciones preferenciales PADT – REFORT:

Secciones nominales (b x h) (mm) Escuadría mínima (b x h) (mm) Pie - derechos, viguetas

50 x 50 40 x 40 Pies - derechos

50 x 75 40 x 65 Pie - derechos, viguetas

50 x 100 40 x 90 Pie - derecho, viguetas, columnas

50 x 150 40 x 140 viguetas, vigas




75 x 75 65 x 65 columnas

75 x 100 65 x 90 columnas, vigas

100 x 100 90 x 90 columnas

100 x 150 90 x 140 columnas, vigas

100 x 200 90 x 190 vigas

100 x 250 90 x 240 vigas

100 x 300 90 x 290 vigas

150 x 150 140 x 140 columnas

150 x 200 140 x 190 vigas, columnas

150 x 250 140 x 240 vigas

150 x 300 140 x 290 vigas

h = altura del elemento b = ancho del elemento

PADT- REFORT: Proyectos Andinos de Desarrollo Tecnológico en el Área de Recurso Forestales Tropicales

Tabla G-B-1 del título G de la NSR-98Maderas colombianas según grupo estructural

Nombre común Nombre científico Grupo

Abarco Carimana pyriformis B

Aceite maría Calophyllum mariae C

Achapo Cedrelinga catenaeformis C

Ají, arracacho Clavisia racemosa B

Algarrobo Hymenaea courbaril A

Avichun Brosimum mleanum B


Nombre común Nombre científico Grupo

Bálsamo Myroxylon peruferum A

Caimito Chrysophyllum cainito A

Carrá Huberoddendron patinol C

Ceiba amarilla Hura crepitans C

Ceiba tolna Bombacopsis quinata C

Copaiba Copaitera officinalis C

Costillo Aspidosperma macrocarpon A

Cupaiba Copaifera pubiflora B

Chanul Humiriasfram procerum A

Chaquiro Goupia glabra A

Chocolatillo Piptadenia grata A

Chocho Ormosia coccinea B

Chuguacá Hieronyma laxiflora C

Chupón Pouteria anibifolia B

Dinde Chlorophora tinctoria B

Dormilón Pentaclenthra macroloba C

Fernán Sánchez Triplaris guayaquilensis C

Flor morado (roble) Tabebuia rosea B

Guaimaro Brosimum alicastrum B

Guayabo Terminalia amazonia B

Guayabón Terminalia guianensis B

Machave Symphonia globulifera B

Mora Clarisia racemosa B

Murcillo Erisma uncinatum C

Nato Mora megistosperma B

Oloroso Humiria balsaminifera A

Pantano Hieronyma chocoensis B

Pino real (chaquiro) Prodocarpus sp C

Punte candado Minquartia guianensis A

Saman Pithecellobium saman C

Sande Brosimum utile C

Sangregao Pterocarpus sp A

Tananeo Peltogyne porphyrocardia A

Tangare Carapa guianensis C

2828

4. Sistemas estructurales

4.1. Grados de libertad

Cualquier punto del universo, en cuanto a su capacidad de trasladarse o girar, está sometido a dos estados extremos: 1) completamente libre de trasladarse o girar y 2) completamente inmóvil; existen dos estados intermedios que son: 3) apoyo simple y 4) articulado en los cuales las traslaciones y giros están parcialmente restringidas. Si se representan estos grados de libertad en un plano cartesiano y se llama UX y UY los desplazamientos en X e Y y RZ la rotación alrededor del eje Z que estaría mirando hacia el ojo del lector, se puede codificar cada uno de las condiciones de apoyo o grados de libertad de un punto así:

Figura 9

4.2. Cerchas o armaduras

Son estructuras que tienen las siguientes características:

• Un apoyo simple, otro articulado, son estáticamente determinadas, esto es, que se pueden resolver con las tres ecuaciones que proporciona la estática.

• Geometría conformada por barras unidas en forma de triángulos (poco deformables).

• Nudos articulados (no generan momentos ni cortantes a excepción del peso propio).

• Cargas aplicadas en los nudos.


Figura 10

Como quiera que los nudos son articulados, en las barras se generarán fuerzas axiales de compresión o tensión. Sin embargo, debido al peso propio de las barras, en éstas se presentarán también momentos y cortantes, pero el valor de éstos es irrelevante en comparación con las fuerzas axiales.

Generalmente se calculan en 2D aunque para estructuras complejas, es preciso analizarlas en 3D.

Las más comunes son:

Figura 11

3030

Se utilizan generalmente en fábricas, bodegas, almacenes de cadena y en general en situaciones en donde haya que salvar grandes luces de una manera económica, comparadas a soluciones con estructuras en concreto reforzado.

4.3. Pórticos

La característica principal de los pórticos es que los nudos son extremadamente rígidos y por lo tanto las barras concurrentes toman momentos, cortantes, axiales y torsiones. Pueden tener cualquier figura geométrica, sus apoyos pueden ser simples, articulados o empotrados y las cargas pueden ser de cualquier tipo.

Se utilizan generalmente en edificios, fábricas, etc. y son generalmente en acero, concreto reforzado o una mezcla de los dos.

Figura 12


4.4. Arcos

Son estructuras curvas con apoyos simples, articulados o empotrados que sirven para salvar grandes luces sin apoyos intermedios; son utilizados generalmente en bodegas, hangares, coliseos, estadios, etc. Pueden ser en acero, madera o concreto reforzado.

Figura 13

Si la línea de fuerzas internas no se sale de la sección transversal del arco, solo estará sometido a compresión, de lo contrario habrá flexión y cortante adicional.

5. Fuerzas y esfuerzos actuantes

5.1. Fuerza y esfuerzo; momento; par o cupla

5.1.1. Fuerza y esfuerzo

Se define fuerza como un vector actuante en cualquier barra o nudo de la estructura que la hace mover o detener. Como todo vector, debe tener dirección, magnitud y sentido.

Esfuerzo es la fuerza actuante en una unidad de área:f = F/A

En donde

f EsfuerzoF FuerzaA Área

3232

5.1.2. Momento

Momento de una fuerza respecto a un punto fijo (A) se define como el producto de dicha fuerza por la distancia perpendicular al vector fuerza. Los momentos son también vectores.

M=F*d

Figura 14

5.1.3. Par o cupla

Dos vectores fuerza de igual magnitud y sentido contrario separados una distancia d, definen un par o cupla.

Figura 14a


5.2. Fuerza externas

Son las que se le aplican a la estructura durante su vida útil y ésta se diseña para resistirlas de una manera segura y económica. Las hay generalmente verticales y horizontales, tales como los muros, baldosas, peso propio, viento, sismo, entre otras.

5.2.1. Cargas verticales

Como su nombre lo indica, actúan en sentido vertical, son por lo tanto las generadas por la gravedad y actúan el 100% del tiempo de vida de la estructura.

5.2.1.1. Cargas muertas

Son todas aquellas que no se mueven o trasladan durante la vida útil de la estructura.

Como carga muerta se puede enumerar:

• Peso propio de la estructura: se obtiene multiplicando el volumen de los elementos por su peso específico (P = D*V). El volumen se obtiene multiplicando L*b*h siendo respectivamente la longitud*el ancho*el alto de la viga o columna.

• Plantilla o plaqueta: la superficie de soporte de toda la carga muerta sobre-impuesta y la carga viva.

• Baldosa o piso.• Cielo raso.• Ductos de aire acondicionado.• Muros o tabiques divisorios.

A continuación se presenta un cuadro de clasificación de fuerzas tomado del libro del Ingeniero Jairo Uribe Escamilla:

3434

Tabla123

De la NSR-98, a continuación se presenta las densidades de los materiales más utilizados en ingeniería y arquitectura:

3 Jairo Uribe Escamilla, Análisis de Estructuras, Bogotá, Ediciones Uniandes, 1993


Tabla 134

5.2.1.2. Cargas vivas

Son las generadas por los habitantes de la estructura y su valor depende del uso de la misma. A continuación se dan valores típicos considerados en el Título B de la NSR-985:

Tabla 145



3636

5.2.2. Cargas horizontales

Son las que actúan en sentido más o menos horizontal.

5.2.2.1. Cargas sísmicas

Son las generadas por la acción de los sismos o terremotos, que no son más que el producto del forcejeo de las placas tectónicas de la corteza terrestre. La acumulación de la energía durante ese forcejeo, si no se libera regularmente, produce sismos de gran magnitud. De manera que lo ideal sería que se produjeran sismos frecuentes de poca intensidad en las zonas sísmicamente activas.

El valor de la carga sísmica es un porcentaje del peso de la edificación de manera que ésta sería otra razón para lograr estructuras más livianas y por lo tanto más baratas.

La fuerza símica actuante en la base de una edificación se puede representar de una manera simplificada así:

V = Sa*m*g

En donde

V fuerza sísmica en la baseSa coeficiente sísmicom masag aceleración de la gravedad

Nótese que la ecuación de arriba no es más que la aplicación de la 2ª Ley de Newton al caso sísmico. El coeficiente sísmico Sa depende de los siguientes factores:

Aa Aceleración pico de la zonaI coeficiente de importancia de la edificaciónS coeficiente de sueloT período fundamental de vibración de la estructuraCt coeficiente de material de la estructura


La fuerza sísmica V hallada por este método se reparte como vectores de fuerzas estáticos, aplicados proporcionalmente a nivel de cada losa de entrepiso. El método se denomina Método de la Fuerza Horizontal Equivalente, por cuanto, un fenómeno complejo y dinámico se representa y estudia de una manera simplificada y segura a través de vectores horizontales fuerza.

5.2.2.2. Cargas de viento

Son las generadas por la acción del viento y son relevantes para bodegas, fábricas y edificaciones altas en razón al área expuesta a la acción del viento. Para edificaciones bajas es más importante la carga sísmica.

La representación matemática del viento entonces es a través de un vector fuerza generado por una presión de viento actuante en un área expuesta (las fachadas, las cubiertas, etc.). La presión del viento es proporcional a la velocidad del mismo y podemos representarla por la siguiente ecuación:

p = Cp*q*S4 (En kN/m2); q = 0.000048*Vs*S4; Vs = V*S1*S2*S3

F = Cf*p*Ae

En donde

p presión de vientoCp coeficiente de presiónCf coeficiente de fuerzaq presión dinámica del vientoV velocidad del viento básico (m/s)Vs velocidad del viento de diseño (m/s)S1 coeficiente de topografíaS2 coeficiente de rugosidad, tamaño del edificio y altura sobre el terrenoS3 coeficiente estadístico o de seguridadS4 coeficiente de densidad del aireF fuerza de vientoAe Área frontal efectiva

La fuerza de viento F, hallada por éste método, se reparte como vectores fuerzas estáticos aplicados a nivel de cada losa de entrepiso proporcionalmente al área del mismo.

3838

5.3. Fuerzas internas (solicitaciones)

Si se considera una barra cualquiera de una estructura sometida a la acción de unas fuerzas externas; dentro de la barra se pueden generar 3 vectores fuerza y tres vectores momentos (cada uno asociado a tres ejes correspondientes al mundo tridimensional).

Estos ejes se llaman eje 1 (longitudinal), eje 2 (perpendicular al eje 1 hacia arriba) y eje 3 (perpendicular al eje 1 hacia el lado). Los 3 vectores fuerza aplicados en la dirección de cada uno de estos ejes son:

V11 fuerza axial y puede ser de compresión o tensiónV22 cortante principalV33 cortante secundario

Y los 3 vectores momentos serán:

M11 torsiónM22 momento de flexión principalM33 momento de flexión secundario

Entonces las fuerzas o solicitaciones internas son:

AxialFlexiónCortanteTorsión

que para efectos de recordarlo se pueden asociar a una bandeja paisa pobre: Arroz, Frijol, Carne y Tajadas.

Por supuesto que en el otro extremo de la barra estarán actuando los mismos vectores fuerzas y momentos de igual magnitud, pero de signo contrario y entonces la barra en consideración estará en equilibrio.

Si se estuviera analizando la barra en dos dimensiones solamente se tiene axial, cortante principal, momento flexionante principal y torsión.


Figura 15

5.4. Reacciones

Son las fuerzas externas actuantes en los apoyos de la estructura y que impiden que ésta se mueva o colapse. Por lo tanto la sumatoria de las reacciones debe ser por lo menos iguales a la sumatoria de las fuerzas externas actuantes en la estructura. En la realidad, las reacciones deben calcularse con un factor de seguridad para contrarrestar abusos de cargas, defectos de fabricación o errores de construcción.

El factor de seguridad se expresa matemáticamente asi: F = FS*R

En donde

F fuerzas externas actuantesFS factor de seguridadR reacciones

5.5. Columnas

Son elementos estructurales que reciben la carga alineada con el eje longitudinal, ya sea céntrica o excéntricamente, caso en el cual estarán

4040

sometidas a flexo-compresión uniaxial o biaxial dependiendo de si la excentricidad es con respecto a uno o dos ejes.

Con base en lo anterior se puede colegir que las columnas generalmente están en posición vertical o casi vertical. Para las columnas las solicitaciones principales son: axial y momentos.

5.6. Vigas

Son elementos estructurales que reciben la carga normal o perpendicular al eje longitudinal.

Lo anterior implica que las vigas generalmente están en posición horizontal o casi horizontal. Para las vigas las solicitaciones principales son: flexión y cortante.

5.7. Fuerzas estáticas y fuerzas dinámicas

La mayoría de las fuerzas actuantes en las estructuras son dinámicas, esto es, que varían con respecto al tiempo. El análisis estructural desde un punto de vista dinámico es complejo y difícil de interpretar. El fenómeno dinámico puede ser reemplazado de una manera segura y relativamente fácil por un análisis efectuado con fuerzas estáticas que reemplacen las fuerzas dinámicas realmente actuantes en las estructuras. Esta aproximación es válida para la gran mayoría de las estructuras; sin embargo, para estructuras complejas es aconsejable analizarla dinámicamente.

6. Métodos de diseño

Existen varios métodos para llevar a cabo el diseño de una estructura. Dos de los más utilizados son los que se detallan a continuación:

6.1. Método elástico – Método de la resistencia última o rotura

En toda estructura en equilibrio se debe cumplir la siguiente ecuación:

FE = FI


En donde

FE fuerzas externasFI fuerzas internas

Pero debe existir un factor de seguridad para prever errores humanos, de fabricación o construcción.

En el método elástico se obtiene el factor de seguridad considerando que la resistencia de los materiales es un porcentaje del real:

fc = ø f´cfs = ø fy

En donde

fc esfuerzo de trabajo concretof´c esfuerzo último del concretofs esfuerzo de trabajo del acerofy esfuerzo último del aceroø factor de reducción (0.40~0.60)

En el método de la resistencia última el factor de seguridad se le suministra mediante un factor de mayoración o aumento de las cargas y una reducción de las fuerzas internas; los materiales se trabajan a su resistencia última:

b FE = ø FI

En donde

FE fuerzas externasFI fuerzas internasb factor de mayoraciónø factor de reducción (0.70~0.90)

6.2. Factores de mayoración - Combinaciones de carga

Las estructuras se diseñan para la posibilidad más desfavorable de carga que se pueda presentar durante su vida útil. De manera que hay que considerar

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la actuación simultánea de los diferentes casos de carga, mayorarlos y combinarlos apropiadamente.

Para el método elástico las combinaciones a considerar son:

DD + LD ± WD ± 0.7ED + L ± WD + L ± 0.7E

Para el método de la resistencia última las combinaciones a considerar son:

1.4D + 1.7L1.05D + 1.28L ± 1.28W0.9D ± 1.3W1.05D + 1.28L ± 1.0E0.9D ± 1.0E1.4D + 1.7L +1.7H1.05D + 1.28L + 1.05T1.4D + 1.4T

En donde

D carga muertaL carga vivaW carga de vientoE carga sísmicaH empuje de suelo o presión hidrostáticaT temperatura

Nótese que en el caso de las fuerzas horizontales de sismo y viento, hay que considerar la fluctuación de las mismas (±).

42

Parte Dos: Estática y Resistencia de materiales

7. Escalares y vectores

El estudio de las fuerzas actuantes y resistentes en las estructuras se hará haciendo uso de los escalares y los vectores.

7.1. Escalares

Se denomina escalar a cualquier cantidad que quede plenamente determinada por su magnitud sea positiva o negativa. Ejemplos de magnitudes escalares: temperatura, energía, potencia, etc.

Ej. 5°C; -32°F; 125HP

7.2. Vectores

Un vector es un escalar que requiere además de su magnitud, de la dirección, sentido y punto de aplicación para quedar plenamente determinado. El alcance de éste curso es sobre vectores coplanares o sea que están en un mismo plano.

7.2.1. Vectores fuerzas

Por lo tanto, todas las fuerzas consideradas en los siguientes capítulos estarán definidas como vectores.

Figura 16

4444

En la figura previa el vector P cuyo valor es de 200 kgf tiene como punto de aplicación el punto A, está dirigido a 41° de la horizontal y en la figura 16b) el sentido es opuesto al de la figura 16a)

7.2.2. Suma de vectores

La suma vectorial no obedece a las reglas definidas por la aritmética ordinaria o el álgebra; si se tienen dos vectores cualesquiera de magnitudes 5 y 4 respectivamente, no se pueden reemplazar únicamente por uno de 9, ya que hay que tener en cuenta la dirección y el sentido de los mismos.

Figura 17

En la figura 17 se tienen dos vectores P y Q con magnitud, dirección y sentido los cuales se pueden reemplazar por un vector R que se obtiene gráficamente mediante el trazado de dos líneas paralelas a cada uno de los vectores P y Q; si se une el punto de encuentro de éstas paralelas con el origen A, se obtendrá el vector R que sería el resultante o la sumatoria de los vectores P y Q. Este método se denomina la ley del paralelogramo.

Otra manera de encontrar la resultante sería desplazar el vector Q haciendo coincidir su punto de aplicación con el punto de terminación del vector P manteniendo su dirección y sentido y luego trazar una recta desde al punto A hasta la punta del vector Q, lo cual nos daría el vector R como resultante. Este método se denomina la ley del triángulo. (Ver figura 18)


Figura 18

7.2.3. Resultante de varias fuerzas concurrentes

Los vectores coplanares pueden ser paralelos o no paralelos en cuyo caso siempre tendrán un punto de concurrencia en donde se pueden unir sus orígenes. Si se tienen varios vectores concurrentes coplanares, siempre se podrá aplicar repetidamente la ley del triángulo para hallar su resultante.

Figura 19

En la figura 19a se tienen tres vectores A, B y C; aplicando la ley del triángulo con A y B obtenemos su resultante A+B (19b); aplicándola nuevamente para los vectores A+B y C se obtiene su resultante A+B+C.

4646

7.2.4. Componentes rectangulares

Así como se hallan la suma o resultante de dos o más vectores, también se puede hacer el proceso contrario: descomponer un vector en dos vectores cuya suma o resultante sea el vector original y esto se hace a través de sus componentes rectangulares o sea, los vectores que forman ángulos rectos o de 90° con el vector y cuya suma da el vector original; para tal efecto, se hará coincidir un eje cartesiano en el punto de concurrencia y se proyectarán todos los vectores hacia los ejes X e Y de la siguiente manera:

Figura 20

En la figura 20 se tienen tres vectores A, B y C los cuales forman ángulos de 68°, 20° y 0° con respecto al eje X. Se proyectan entonces los vectores A y B (el C es colineal con el eje Y) y se obtiene, recorriendo los ejes de izquierda a derecha (- a +) para el eje x y de abajo hacia arriba para el eje y (- a +):


En el eje X: -Acos68° y Bcos20°En el eje Y: Asen68°, Bsen20° y –C

Estas fuerzas componentes rectangulares son extremadamente importantes para el análisis de las estructuras y en general para la resolución de todos los problemas vectoriales.

7.2.5. Ecuaciones de equilibrio - Reacciones

La tercera Ley de Newton establece que toda fuerza ejercida sobre un cuerpo induce una fuerza sobre el cuerpo que ejerce una acción igual y de sentido contrario llamada reacción.

Tomando en cuenta lo anterior y hablando de un plano XY, se puede entonces establecer las siguientes ecuaciones para las fuerzas y momentos actuantes en ese plano:

∑ Fx = 0; sumatoria de fuerzas en X = 0∑ Fy = 0; sumatoria de fuerzas en Y = 0∑ Mo = 0; sumatoria de momentos alrededor de cualquier punto= 0

La convención de signos que se utilizará a lo largo del libro es:

Fuerzas en X: positivo hacia la derechaFuerzas en Y: positivo hacia arribaMomentos: positivo en sentido de las manecillas del reloj

Para el análisis de las vigas se considerarán momentos positivos los que tensionan las fibras inferiores y negativos los que tensionan las fibras superiores.

Estas tres ecuaciones fundamentales permiten resolver problemas sencillos de estática y análisis estructural de hasta tres incógnitas, una por cada ecuación.

7.3. Diagramas de cuerpo libre

Para analizar y hallar los valores de los vectores de un problema determinado, se utiliza lo que se denomina ‘diagrama de cuerpo libre´, que no es más que la representación en un sistema cartesiano de los vectores involucrados en dicho problema. Si los vectores son concurrentes se coloca el origen

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del sistema cartesiano en el punto de concurrencia y se les descomponen en sus componentes rectangulares.

A continuación se aplican las ecuaciones de equilibrio que involucrarán las incógnitas del problema y se resuelven; como son tres ecuaciones de equilibrio se debe por lo tanto tener así mismo tres incógnitas. El sentido de las incógnitas se supone y si la respuesta da negativa quiere decir que el sentido de la barra era lo contrario de lo supuesto, pero el valor absoluto es igual.

Si los vectores no son concurrentes, es decir si son paralelos al eje X o al Y, la solución es más fácil por cuanto no hay que descomponer los vectores porque ya están alineados y la suma sería la de dos o más escalares; solamente hay que aplicar las ecuaciones de equilibrio.

Ejercicio 1. Se va a colgar una matera de 50 kgf de una cuerda ayudada por una barra tal como aparece en la figura 21. La longitud de la barra es de 1.80 m y la cuerda está asegurada a una altura de 1.97 m; la distancia de la punta de la barra hasta la pared izquierda es de 0.88 m. Se pide hallar las fuerzas actuantes en la cuerda (tensión) y la barra (compresión).

Figura 21

Analizando la figura de la izquierda se puede ver que el punto de concurrencia de los vectores es el B; por lo tanto se colocará el sistema cartesiano allí (fig. derecha). Los ángulos que hacen los vectores con el eje X son:


α=tan-1 (1.57/0.88)=60.73°; β=tan-1 (0.40/0.88)=24.44°Sen(α)=0.87; cos(α)=0.49; sen(β)=0.41; cos(β)=0.91

Se llamará:

M peso materaT tensión en la cuerdaC compresión en la barra

Aplicando ∑Fx = 0 se obtiene: -T*cos(β)+C*cos(α)=0 (1)Aplicando ∑Fy = 0 se obtiene: -50+C*sen(α)+T*sen(β)=0 (2)

De (1): C=0.91/0.49*T; C=1.86*T

Reemplazando en (2): -50+1.86T*0.87+0.41T=0 y T=50/2.03=24.63 kgfluego C=1.86*24.63=45.81 kgf

Ejercicio 2. Se va a desmontar el motor de un auto por medio de un par de barras de acero en forma de V invertida tal como indica la figura 22; el peso del motor es de 500 kgf y las barras están separadas 2.50 m pero los ángulos que forman con la vertical son diferentes. Se pide hallar las fuerza actuantes en las dos barras.

Figura 22

5050

Analizando la figura de la izquierda se puede ver que el punto de concurrencia de los vectores es el B; por lo tanto se colocará el sistema cartesiano allí (fig. derecha). Los ángulos que hacen los vectores con el eje X son:

α =tan-1 (2.50/1)=68.20°; β =tan-1 (2.50/1.50)=59.04°Sen(α)=0.93; cos(α)=0.37; sen(β)=0.86; cos(β)=0.51

Se llamará:

M peso motorC1 compresión en la barra BCC2 compresión en la barra AB

Aplicando ∑Fx = 0 se obtiene: -C1*cos(β)+C2*cos(α)=0 (1)Aplicando ∑Fy = 0 se obtiene: -500+C1*sen(α)+C2*sen(β)=0 (2)

De (1): C2=0.51/0.37*C1; C2=1.38*C1

Reemplazando en (2): -500+0.93*C1+1.38*0.86*C1=0 y C1=500/2.12=235.85 kgfluego C2=1.38*235.85=325.47 kgf

7.4. Reacciones y diagramas de cortante y momento

Como se ha dicho anteriormente, si los vectores son paralelos al eje X o al Y, la solución es más fácil por cuanto no hay que descomponer los vectores porque ya están alineados; solamente hay que aplicar las ecuaciones de equilibrio.

Ejercicio 3. Un tracto-camión cruza un puente de 25 m de largo y pesa 50 Tf repartidas a lo largo de 5 ejes de llantas cuyas medidas se ven en la figura 23. Cada eje carga 10 Tf y el primer eje está situado a 3 m del apoyo izquierdo del puente. Se pide encontrar cual es la carga que recibe cada estribo del puente.


Figura 23

Teniendo en cuenta la convención de signos consignada en la página 38:

Aplicando ∑Ma= 0: 10*3+10*5+10*6+10*14+10*15-25*Bv=0 (1 )Aplicando∑Fy = 0: Av+Bv-10*5=0 (2)

De (1) se obtiene Bv=17.2 TfDe (2) se obtiene Av+17.2-50=0; luego Av=32.8 TfAh=0 ya que no hay cargas horizontales

7.4.1. Viga simplemente apoyada

Es aquella viga que tiene un apoyo simple y otro articulado, tal como el caso del tracto-camión. Si las cargas actuantes son todas verticales, se puede eliminar la reacción horizontal del apoyo simple y se tendrá entonces dos incógnitas y tres ecuaciones para resolverlas. Lo mismo sucedería con un voladizo que es una viga empotrada en uno de sus extremos.

O sea, que para la viga simplemente apoyada y el voladizo de la figura 24, se les pueden hallar el valor de las reacciones (tres incógnitas y tenemos tres ecuaciones); a esto se le llama “resolver la viga”.

Figura 24

Si se hace un corte en una viga cualquiera sometida a una carga puntual P (figura 25) y se considera solamente la parte izquierda (o la derecha),

5252

se pueden colocar todas las cargas y reacciones presentes y al llegar al punto de corte se encontrará adicionalmente una fuerza de corte V, otra horizontal H (si hubiera una carga horizontal) y un momento M que equilibrarán las cargas y reacciones actuantes en la viga. A tal esquema se le llama también diagrama de cuerpo libre.

Figura 25


Al situarse en el punto de corte se puede hallar una ecuación que diga el comportamiento de las fuerzas verticales cortantes V y los momentos flexionantes M a los cuales se le llamarán diagramas de cortante y momento respectivamente.

Así, del lado izquierdo, al desplazarse a lo largo de la viga y relacionar las cargas y reacciones se obtiene:

V=+Av-P ; ecuación de cortanteM=+Av*x-P*(x-L/2) ; ecuación de momento

Del lado derecho:

V=+Bv ; ecuación de cortanteM=+Bv*(L-x) ; ecuación de momento

Los valores para los diagramas de cortante y momento se obtienen dándole valores a x para obtener valores de V o M; esos puntos se grafican para obtener los diagramas. Para el caso de cargas puntuales los diagramas son lineales para V y M por cuanto las ecuaciones están elevadas a la potencia 1; para cargas uniformes se obtiene diagrama lineal para V y diagrama parabólico para M, porque la ecuación es cuadrática.

Nótese que al unir los diagramas de cuerpo libre izquierdo y derecho se tendrá equilibrio ya que las fuerzas V y los momentos M son iguales y de signo contrario.

Cabe anotar que:

• El diagrama de corte es mayor en los apoyos.

• El diagrama de momento comienza y termina en cero y tiene su máximo hacia el centro de la luz.

• El momento máximo ocurre donde el cortante es cero.

• El valor de dicho momento, de una manera gráfica, es el área del diagrama de corte positiva o negativa.

5454

7.4.1.1. Carga puntual

Ejercicio 4. Resolver y hallar diagramas de corte y momento de la viga de la figura 26 la cual tiene una longitud de 6.00 m y una carga puntual de 3 Tf situada a una distancia de 2.50 m del apoyo A. No tener en cuenta el peso propio de la viga.

Figura 26

Se tienen tres incógnitas que son:

Av reacción vertical en A; Ah reacción horizontal en A;Bv reacción vertical en B Haciendo sumatoria de momentos alrededor del apoyo A; ΣMA=0 se obtiene:

(3.0*2.50)-6*Bv=0; resolviendo se obtiene Bv=1.25 Tf

Usando ahora ΣFy=0:

Av+Bv=3; se conoce Bv, luego se puede despejar Av=3-1.25=1.75 Tf


La incógnita Ah es cero debido a que no existen fuerzas actuantes en esa dirección.

En el diagrama de cuerpo libre se obtienen las ecuaciones de corte y momento haciendo el corte antes de la carga puntual en el intervalo AC (0≤x≤2.5) y el BC (0≤x≤3.5):

Intervalo AC (0≤x≤2.5) Intervalo BC (0≤x≤3.5)V=1.75; M=1.75*x; V=1.25; M=1.25*x

7.4.1.2. Carga uniforme

Ejercicio 5. Resolver y hallar diagramas de corte y momento de la viga de la figura 27, la cual tiene una longitud de 6.00 m y una carga uniforme de 2.5 Tf/m. No tener en cuenta el peso propio de la viga.

Figura 27

5656

Como no hay carga horizontal, se tienen dos incógnitas que son:

Av reacción vertical en A; Bv reacción vertical en B Haciendo sumatoria de momentos alrededor del apoyo A; ΣMA=0 se obtiene:

(6.0*2.5*3.0)-6*Bv=0

Resolviendo se obtiene Bv=7.5 Tf


Av+Bv-6*2.5=0; se conoce Bv, entonces Av=15-7.5=7.5 Tf

En el diagrama de cuerpo libre se obtienen las ecuaciones de corte y momento haciendo el corte en cualquier sitio entre el apoyo A y el B; para carga uniforme no se tienen intervalos:

V=7.5-2.5x; ecuación de corte; V=7.5 Tf para x=0M=7.5*x-2.5x2/2; ecuación de momento; M=11.25 Tf.m para x=3

7.4.1.3. Carga uniforme más puntual

Ejercicio 6. Resolver y hallar diagramas de corte y momento de la viga de la figura 28, la cual tiene una longitud de 6.00 m y dos cargas: una uniforme de 2.5 Tf/m y una carga puntual de 3 Tf situada a una distancia de 2.0 m del apoyo A. No tener en cuenta el peso propio de la viga.

Figura 28


Las incógnitas son:

Av reacción vertical en A Bv reacción vertical en B Haciendo sumatoria de momentos alrededor del apoyo A; ΣMA=0 se obtiene:

(2.5*6.0*6.0/2)+(3.0*2.0)-6*Bv=0

Resolviendo se obtiene Bv=8.5 Tf


Av+Bv-3.0-6.0*2.5=0; se conoce Bv, entonces Av=18-8.5=9.5 Tf

En el diagrama de cuerpo libre se obtienen las ecuaciones de corte y momento haciendo el corte después de la carga puntual en el intervalo CB:

V=9.5-2.5x-3.0 ; ecuación de corteM=9.5x-2.5x2/2-3*(X-2) ; ecuación de momento El punto de cortante cero se halla igualando la ecuación de corte a cero:

0=9.5-2.5x-3; entonces x0=6.5/2.5=2.6; x0=2.6 m

Como el momento máximo ocurre en este punto se puede hallar dándole valor a x=2.6 en la ecuación de momento:

M=(9.5*2.6)-(2.5*2.62/2)-3*(2.6-2)=14.45 Tf.m

También se puede hallar por medio del área positiva o negativa del diagrama de corte:

A+=[(9.5+4.5)/2*2.0]+(0.6*1.5/2)=14.45 Tf.m

A-=8.5*3.4/2=14.45 Tf.m

Para el diagrama de corte se le dan valores a la ecuación de corte antes de la carga puntual (intervalo AC):

V=9.5-2.5x

5858

para x=0 V0=9.5 Tfpara x=2 V2=4.5 Tf

en ese punto se encuentra la carga puntual de 3 Tf y por tal motivo el diagrama baja esa cantidad y queda en 1.5 Tf;

para el intervalo CB se utiliza la ecuación completa:

V=9.5-2.5x-3.0

para x=2.6 V2.6=0para x=6 V6=-8.5

7.4.2. Voladizo

7.4.2.1. Carga puntual

Ejercicio 7. Resolver y hallar diagramas de corte y momento de la viga en voladizo de la figura 29, la cual tiene una longitud de 3.00 m y una carga puntual de 3 Tf situada a una distancia de 3.00 m del apoyo A. No tener en cuenta el peso propio de la viga.

Figura 29



V reacción vertical en AM momento en A Haciendo sumatoria de momentos alrededor del apoyo A; ΣMA=0 se obtiene:

-3.0*3.0-M=0;

resolviendo se obtiene M=-9.00 Tf.m (las fibras superiores están tensionadas)

Usando ahora ΣFy=0 se obtiene inmediatamente: V=3 Tf

En el diagrama de cuerpo libre se obtienen las ecuaciones de corte y momento haciendo el corte en cualquier sitio entre el apoyo A y el B, pero tomando el origen en el extremo del voladizo para no involucrar las incógnitas:

V=3; ecuación de corteM=-3x; ecuación de momento

Se le dan valores extremos a x (x=0; x=3.0) y se grafica.

7.4.2.2. Carga uniforme

Ejercicio 8. Resolver y hallar diagramas de corte y momento de la viga en voladizo de la figura 30, la cual tiene una longitud de 3.00 m y una carga uniforme de 2.5 Tf/m. No tener en cuenta el peso propio de la viga.

Figura 30

6060



-2.5*3.02/2-M=0

Resolviendo se obtiene M=-11.25 Tf.m (las fibras superiores están tensionadas)

Usando ahora ΣFy=0 se obtiene:

V-3*2.5=0; resolviendo V=7.5 Tf.m

En el diagrama de cuerpo libre se obtienen las ecuaciones de corte y momento haciendo el corte en cualquier sitio entre el apoyo A y el B, pero tomando el origen en el extremo del voladizo para no involucrar las incógnitas:

V=2.5x ; ecuación de corteM=-2.5x2/2 ; ecuación de momento


7.4.2.3. Carga uniforme más carga puntual

Ejercicio 9. Resolver y hallar diagramas de corte y momento de la viga en voladizo de la figura 31, la cual tiene una longitud de 3.00 m una carga uniforme de 2.5 Tf/m y una carga puntual de 3 Tf situada a una distancia de 3.00 m del apoyo A. No tener en cuenta el peso propio de la viga.


Figura 31

Se tienen dos incógnitas que son:


-(2.5*3.02/2)-(3*3.0)-M=0

Resolviendo se obtiene M=-20.25 Tf.m

Usando ahora ΣFy=0 se obtiene:

V-3*2.5-3=0; resolviendo V=10.5 Tf.m

En el diagrama de cuerpo libre se obtienen las ecuaciones de corte y momento haciendo el corte en cualquier sitio entre el apoyo A y el B pero tomando el origen en el extremo del voladizo para no involucrar la fuerza V y el momento M en el empotramiento:

V=3+2.5x ; ecuación de corteM=-3x-2.5x2/2 ; ecuación de momento


6262

7.5. Momentos de inercia

7.5.1. Primer momento de área

Así como se definió momento como fuerza por distancia, también se puede definir momento de un área como el producto del área por su distancia desde el centroide hasta un eje cartesiano cualquiera.

Figura 32

Qx = A*y ; Qy = A*x

En donde:

Qx primer momento de área con respecto al eje xQy primer momento de área con respecto al eje yA áreax distancia del centroide al eje yy distancia del centroide al eje x

Si el área considerada tiene un eje de simetría, el primer momento del área con respecto a su eje es cero. Si tiene dos ejes de simetría ( en x e y) los primeros momentos de área serán cero. Esto sucede en un rectángulo o un círculo.


Figura 33

Y aplicando las fórmulas de primer momento se obtiene:

Qx = Ay = (b*h)*h/2) = bh2/2Qy = Ax = (b*h)*b/2) = b2h/2

7.5.2. Segundo momento de área

7.5.2.1. Segundo momento de área o momento rectangular de inercia de un área

Si se multiplica el primer momento de área nuevamente por su distancia desde el centroide hasta un eje cartesiano cualquiera se obtiene el segundo momento de área o momento rectangular de inercia del área.

Ix = Qx*y Iy = Qy*x

En donde:

Ix momento de inercia con respecto al eje xIy momento de inercia con respecto al eje yx distancia del centroide al eje yy distancia del centroide al eje x

6464

Si se multiplica el primer momento de área por su distancia desde el centroide hasta el origen de un eje cartesiano cualquiera, se obtiene el segundo momento de área o momento polar de inercia del área.

El centroide o centro de gravedad de un cuerpo es el punto de aplicación de la resultante de todas las fuerzas que la gravedad ejerce sobre los diferentes puntos materiales que constituyen el cuerpo.

Momentos de inercia de formas geométricas comunes:

Rectángulo/cuadrado: b*h3/12 siendo b=ancho; h=alturaCírculo: π*r4/4 siendo r=radioSemicírculo: π*r4/8 siendo r=radioTriángulo: b*h3/36 siendo b=ancho; h=altura

7.5.2.2. Momento polar de inercia de un área

Si el momento de área se toma con respecto al origen O de los ejes cartesianos, entonces se le llamará momento polar de inercia.

Figura 34

La relación que existe entre el momento polar de inercia y el rectangular para un área cualquiera es:

Jo=Ix + Iy


Se utiliza entre otras cosas para hallar los esfuerzos de torsión.

Momentos polar inercia de formas geométricas comunes:

Círculo: π*c4/2 siendo c=distancia del centroide al punto deseado

7.5.2.3. Radio de giro El radio de giro describe la forma en la cual el área transversal o una distribución de masa se distribuye alrededor de su eje centroidal.

Se define como radio de giro r= √(I/A) ; adimensional

En donde:

I momento rectangular de inerciaA área

7.5.2.4. Teorema de Steiner o de los ejes paralelos

El momento de inercia de un área con respecto a un eje arbitrario x es igual al momento de inercia del área con respecto al eje centroidal o paralelo al eje x más el producto del área por la distancia al cuadrado A*d2.

Ix = Io + A*d2

Se utiliza para averiguar el momento de inercia de secciones compuestas, como es el caso de los perfiles metálicos en forma de I, C, etc.

El centroide de áreas compuestas se puede obtener mediante:

x = ΣAixi/ΣAi; y = ΣAiyi/ΣAi

6666

Ejercicio 10. Halle el momento de inercia de la figura 35.

Figura 35

Primero se hallan las coordenadas del centroide C del área compuesta para lo cual se descompone en las áreas A1 y A2; se tabulan las áreas y los centroides y de cada área (la coordenada del x es 0 por ser simétrica la figura alrededor del eje y):

Área y Ay

A1=30x5=150 15 2250

A2=30x5=150 32.5 4875

∑=300 ∑=7125

Luego y = 7125/300= 23.75 desde el eje x

Luego se hallan los momentos de inercia de las áreas A1 y A2 con respecto a sus centroides:

I1 = bh3/12 = 5*303/12=11250 cm4

I2 = bh3/12 = 30*53/12=312.5 cm4

Las áreas ya se tienen; las distancias desde cada centroide C1 y C2 al centroide C son 8.75 cada una; luego:

Ix = Io + A*d2 = (11250+150*8.752)+(312.5+150*8.752)=34531.25 cm4


8. Esfuerzos y deformaciones

Anteriormente se había definido esfuerzo como fuerza sobre área; para cada una de las fuerzas o solicitaciones posibles en una barra se tendrá entonces un tipo de esfuerzo asociado.

8.1. Axial

Es el que produce una fuerza aplicada orientada con el eje longitudinal del elemento y puede por lo tanto ser de compresión (C), o de tensión (T), si comprime o tensiona las fibras de la barra respectivamente. La convención de signo adoptada es que las de compresión son negativas y las de tensión positivas.

Figura 36

6868

Entonces el esfuerzo axial se puede definir como:

σ = P/A

En donde

σ Esfuerzo axialP Fuerza aplicadaA Área del elemento

La deformación o elongación se definió como el cambio en la longitud del elemento, el cual puede ser positivo (alargamiento) o negativo (acortamiento) dependiendo de si la fuerza aplicada es de tensión o compresión.

δ = PL/AE

En donde

δ deformaciónL longitud del elementoE módulo de Young


Figura 4Deformación unitaria es la relación que hay entre la deformación y la longitud.

ε = δ/L

El esfuerzo axial es importante para el diseño de los elementos estructurales porque podemos hallar el área (A) necesaria que se necesita para resistir una fuerza (P), aplicada para un material que resiste un esfuerzo (σ):

A = P/σ

También se podría hacer lo contrario: averiguar si un elemento estructural existente (A) con un esfuerzo determinado (σ) puede soportar una fuerza (P) cualquiera.

Ejercicio 11. Para el ejercicio 1, halle los diámetros necesarios de la barra y la cuerda si los esfuerzos de trabajo de ambos son σb=255 kgf/cm2 y σc=2600 kgf/cm2; halle también la deformación total y unitaria para la barra y la cuerda si E=2.039.000 kgf/cm2

Figura 21Ya se habían hallado previamente las fuerzas actuantes:

T=24.63 kgf (T)C=45.81 kgf (C)

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Luego: para la barra AB=C/δb ; AB=45.81/255=0.17965 cm2

para la cuerda BC=T/δc ; AC=24.63/2600=0.00947 cm2

y como se sabe que el área de un círculo es A=πD2/4, se pueden hallar los diámetros pedidos despejando D=√4A/π:

Db=√(4*0.17965/π) =0.478 cm Dc=√(4*0.00947/π) =0.1098 cm

Deformación total: δ = PL/AE ; Lcuerda =√(402+882)=96.66 cm

Barra: δb = 45.81 kgf*180 cm/(0.17965 cm2*2.039E6 kgf/cm2) = 0.0225 cmCuerda: δc = 24.63 kgf*96.66 cm/(0.00947 cm2*2.039E6 kgf/cm2 = 0.1232 cm

Deformación unitaria: ε = δ/L

Long. final: Barra=180-0.0225=179.97 cm; Cuerda=96.66+0.1232=96.78 cm

Barra: εb=0.0225 cm/180 cm = 0.000125Cuerda: εc=0.1232 cm/97 cm = 0.00127

Ejercicio 12. Para el ejercicio 2, halle los diámetros necesarios de las barras si el esfuerzo de trabajo de ambas es σb=2600 kgf/cm2; halle también la deformación total, unitaria y longitud final para las barras AB y BC si E=2.039.000 kgf/cm2.

Figura 22


Las fuerzas actuantes calculadas previamente son:

C1=235.85 kgf; C2=325.47 kgf

Las áreas necesarias son:

para la barra A1=C1/σb ; A1=235.85/2600=0.0971 cm2

para la barra A2=C2/σb ; A2=325.47/2600=0.1252 cm2

y los diámetros:

D1=√(4*0.0971/π) =0.352 cm; D2=√(4*0.1252/π) =0.399 cm

Deformación total: δ = PL/AE

LbarraAB =√(2502+1002)=269.26 cmLbarraBC =√(2502+1502)=291.55 cm

Barra AB: δAB = 235.85 kgf*269.26 cm/(0.0971 cm2*2.09E6 kgf/cm2) =0.3129 cmBarra BC: δBC = 325.47 kgf*291.55 cm/(0.1252 cm2*2.09E6 kgf/cm2

= 0.3626 cm

Long. final: AB=269.26-0.3129=268.95 cm; BC=291.55-0.3626=291.19 cm

Deformación unitaria: ε = δ/L

Barra: εb=0.3129 cm/269.26 cm = 0.001162 Cuerda: εc=0.3626 cm/291.55 cm = 0.001244

8.2. Flexión

Esfuerzo flexionante es el que produce un momento aplicado alrededor del eje 3 o del eje 2 del elemento (ver figura 14).

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Figura 37

El esfuerzo de flexión se define como:

s = My/I

En donde

s esfuerzo de flexiónM momento aplicadoy distancia del eje neutro a la fibra tensionadaI momento rectangular de inercia

En la figura 37 se puede notar que para vigas de un solo material isotrópico los esfuerzos son lineales y el esfuerzo máximo ocurre en la fibra extrema superior o inferior de la viga a una distancia c y el esfuerzo será entonces:

sm = Mc/I

Los materiales isotrópicos son los que tienen las mismas propiedades mecánicas en todas las direcciones; esto quiere decir que tendrán los mismos esfuerzos a lo largo de las tres dimensiones.

Si se define como módulo elástico de la sección:

S = I/c

Se podrá expresar el esfuerzo de flexión máximo como:

sm = M/S


Si se despeja M queda:

S = M/sm cuyas unidades son m3 o cm3 o mm3

y si para un elemento estructural se conoce el esfuerzo de trabajo sm y el momento actuante M, se puede entonces hallar el módulo elástico de sección, el cual está tabulado para diferentes tipos de perfiles metálicos: si se escoge uno igual o ligeramente superior al calculado, entonces se habrá diseñado apropiadamente el elemento.

A continuación se presenta una tabla que muestra las propiedades mecánicas de diferentes perfiles, entre ellas los módulos de sección Sx y Sy.

7474

Tabla15


Ejercicio 13. Diseñe la viga del ejercicio 5 si el esfuerzo de trabajo es σb=2600 kgf/cm2 .

Figura 27

Ya se habían hallado el cortante y el momento máximo:

V=7.5 TfM=11.25 Tf.m = 1,125,000 kgf.cm

Se halla S = M/sm; S=1125000 kgf.cm/2600 kgf/cm2=432.69 cm3

Se busca en la tabla 16 en la columna Zx éste valor y se encuentra 449, que corresponde a un perfil IPE R 240, con un peso de 37.3 kgf/m y un área de 47.5 cm2.

8.3. Cortante

Es el que produce una fuerza aplicada orientada perpendicular o normal al eje longitudinal del elemento.

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El esfuerzo cortante se puede definir como:

τ = V/A

En donde

τ Esfuerzo de corteV Fuerza de corte aplicadaA Área del elemento

Figura 386

6. F. P. Beer-E.R.Johnston, Mecánica de Materiales, Bogotá, MacGrawHill, 1996


Si se considera la viga de la figura 38a formada por tablas apiladas y se le aplica una carga puntual P (fig.38b), se puede notar que las tablas se deslizan una con respecto a la otra denotando que se presentan esfuerzos de corte, tanto en planos horizontales como en planos verticales transversales; como quiera que el área de corte en el caso de planos horizontales es mayor que en el caso de planos verticales, ésta sería la de mayor cuidado en el diseño de vigas de material homogéneo. En el caso de la figura 38c con un momento aplicado que ́ aprieta´ la punta de la viga, las tablas se flexionarán formando arcos de círculos concéntricos y no resbalarán entre sí.

Si se va a estudiar el cortante a lo largo de un plano horizontal se pueden utilizar las siguientes fórmulas:

q = VQ/I; y

En donde:

q flujo de cortante horizontalV fuerza de corte verticalQ primer momento del área considerada con respecto al eje neutro

distancia del eje neutro al centroide del área AI momento de inercia de toda la secciónA área de la sección considerada

El esfuerzo de corte promedio se puede hallar mediante:

τmed = VQ/It

En donde:

t ancho del corte

Las fórmulas anteriores son válidas para cualquier sección; si la viga es rectangular, el esfuerzo de corte se puede hallar con:

τmed = 3V/2A

En donde:

V fuerza de corte verticalA área de la sección considerada (en éste caso base*altura)

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El flujo de corte no es más que la cantidad de fuerza de corte por unidad de longitud.

Ejercicio 14. Se tienen dos tablones de madera de 30 cm de ancho, por 5 cm de espesor y se pegan en forma de T para hacer una viga. Si la viga así formada tiene 4.5 m de largo y se le aplica una carga puntual en el centro de 300 kgf, diga cuánto es el esfuerzo de corte en la unión de los tablones.

Figura 35

El esfuerzo de corte promedio es τmed = VQ/It

La fuerza de corte es igual a V=300/2=150 kgf

El momento de inercia de la sección compuesta ya se había obtenido en el ejercicio 10:

I=34531.25 cm4

La distancia t desde el centroide C hasta el punto de unión de los tablones es:

t = 30-23.75=6.25 cm

El momento de A2 es Q=A2*(distancia de C a C2)

Q=150*8.75=1312.5 cm3


Por último, el esfuerzo cortante es:

τmed = 150 kgf*1312.5 cm3/(34531.25 cm4 *6.25 cm) = 0.91 kgf/cm2

Ejercicio 15. En el ejercicio 14 si en vez de pegar los tablones se clavan utilizando 3 puntillas, diga cuánto es la fuerza en cada clavo, si la distancia entre cada uno es de 15 cm.

Figura 39

Se aplica el concepto de flujo cortante q=VQ/I

V=150 kgf ; Q=1312.5 cm3 ; I=34531.25 cm4

luego q=150*1312.5/34531.25=5.70 kgf/cm

La fuerza actuante en cada clavo es F=s*q

En donde s es la separación entre cada clavo y q es el flujo cortante

F=45 cm*5.70 kgf/cm=256.5 kgf

8.4.Torsión

Ya se había visto que cuando el vector momento se aplica a largo del eje longitudinal de la barra estructural se genera un efecto de torsión, que es como si se estuviera exprimiendo la barra.

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Figura 40

El esfuerzo de torsión produce un esfuerzo de corte τ que varía desde cero en el centro geométrico hasta τmax en la fibra exterior y se puede definir como:

τmax = Tc/J

En donde

τmax Esfuerzo de corte provocado por la torsión T Momento de torsión aplicadac distancia desde el centro geométrico hasta el punto deseadoJ momento polar de inercia de la sección transversal

Si la barra es hueca el esfuerzo variará desde un τmin en la pared interior hasta un τmax en la fibra exterior.

Al aplicar un torque a un eje o barra cualquiera se producirá una deformación que estará reflejada en un ángulo de torsión ø el cual se puede hallar mediante las ecuaciones:


Figura 41

Ø = TL/JG ; γmax = Tc/JG

En donde

Ø ángulo de torsión expresado en radianesT momento de torsión aplicadoL longitud del elementoJ momento polar de inercia de la sección transversalG módulo de corte del materialγmax máxima deformación cortantec distancia desde el centro geométrico hasta el punto deseado

Ejercicio 16. Se tiene un eje sólido de 1000 mm de largo y 50 mm de diámetro al cual se le quiere aplicar un momento torsor o torque de 2.5 kN.m; diga si el eje es capaz de resistirlo, si se sabe que el esfuerzo cortante máximo que resiste es de 130 MPa.

Figura 42

8282

En la fórmula τmax = Tc/J conocemos τmax , se puede conocer J y se sabe que c= 25 mm = 0.025m

Se halla J = π*c4/2 = π*0.0254/2 =6.13e-7 m4

Despejando T = τmax J/c = 130e3 kN/m2*6.13e-7 m4/0.025 m = 3.18 kN.m

Entonces si puede resistir el torque de 2.5 kN.m

Ejercicio 17. En el ejercicio 16 si el eje fuera hueco, con un diámetro interior de 30 mm diga si el eje es capaz de resistir el mismo torque. Además, diga cuánto es el esfuerzo cortante mínimo.

Figura 43

El procedimiento es idéntico al ejercicio 15 pero ahora el momento polar de inercia será mucho menor:

J = π*(c14-c24)/2 = π*(0.0254-0.024)/2 = 3.62e-7 m4

T = τmax J/c = 130e3 kN/m2*3.62e-7 m4/0.025 m = 1.88 kN.m ; no resiste! El esfuerzo cortante mínimo ocurre para c=0.02 m; por triángulos semejantes:

τmin = (0.02 m/0.025 m)*130 MPa = 104 MPa

Ejercicio 18. Para los ejercicios 16 y 17 diga que torque hay que aplicarles para producir un ángulo de torsión de 2.5°; el módulo de corte (G ) es 80 GPa.


Se sabe que Ø = TL/JG; entonces T =JGØ/L; el ángulo 2.5° en radianes es 2.5*180/π=0.04363

Para el primer eje:

L=1 m; J=6.13e-7 m4; G=60e3 kn/m2

T = 6.13e-7 m4*60e6 kn/m2*0.04363/1 m=1.60 kN.mPara el segundo eje:

L=1 m; J=3.62e-7 m4; G=60e3 kn/m2

T = 3.62e-7 m4*60e6 kn/m2*0.04363/1 m=0.95 kN.m

Por supuesto que al eje hueco hay que aplicarle un torque menor.

9. Estabilidad y determinación

Ya se había dicho que para una viga que tenga hasta tres incógnitas, se tienen tres ecuaciones de equilibrio mediante las cuales se puede hallar dichas incógnitas.

∑ Fx = 0; sumatoria de fuerzas en X = 0∑ Fy = 0; sumatoria de fuerzas en Y = 0∑ M = 0; sumatoria de momentos alrededor de cualquier punto = 0

Cuando esto ocurre se dice que la estructura es estáticamente determinada.

Figura 24

Parte Tres: Análisis de Estructuras

Que sería el caso de las vigas de la figura 24: ambas tienen tres incógnitas. Sin embargo, en el caso de la viga de la figura 25 se puede notar que como quiera que ambos apoyos son simples, solamente se generan dos reacciones y se tienen tres ecuaciones así que se estaría “sobrado”; pero analizando con más profundidad se puede ver que los apoyos articulados le permitirían a la viga salir rodando en el caso de una carga horizontal. Cuando esto sucede se dice que la estructura es estáticamente determinada pero inestable.

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Figura 44

10. Cálculo de deflexiones

Todas las barras estructurales se deforman ante la acción de las cargas externas aplicadas porque aunque sean de acero o concreto reforzado, éstos se comportan dentro del rango elástico en condiciones normales: una vez se le quite las cargas, la barra vuelve a su posición original.

Es importante saber cuánto se va a deflectar una viga porque si lo hace demasiado, eventualmente puede entrar dentro del rango plástico y podría llevar a deformaciones irrecuperables o en el más extremo de los casos a una separación total de sus fibras o sea colapsar.

Otra razón es la estética: sería difícil vender un edificio de apartamentos cuyas vigas se vean como hamacas por causa de la deflexión o que el balcón en voladizo parezca que se va a caer; aunque se le explique al comprador que eso es normal, no va a invertir un peso en un inmueble que desde nuevo se va a ‘derrumbar’.

El análisis estructural permite además de hallar las solicitaciones internas, saber cuánto van a deflectar las vigas y columnas.

Los dos primeros métodos que se van a estudiar son llamados energéticos porque suman el trabajo efectuado a lo largo de la viga: Castigliano y Trabajo Virtual; el tercer método (doble integración) es matemático por cuanto lo que hace es hallar ecuaciones matemáticas de las curvas que hacen las vigas cuando se deflectan o deforman. Esta curva es llamada ‘curva de la elástica’.


10.1. Método de Castigliano

La ecuación a utilizar es:

En donde:

Δ deflexión o giroM ecuación de momento en cualquier sitio de la vigaP carga o momento ficticioE módulo de YoungI momento rectangular de inercia

Consiste en colocar en el sitio de la viga en donde se quiere hallar la deflexión una carga o un momento ficticio P, en la dirección en la cual se quiere hallar la deflexión o el giro; luego:

• Se resuelve la viga (se hallan las reacciones en función de la carga ficticia P).

• Se halla la ecuación de momento incluida la carga ficticia P.• Se deriva dicha ecuación con respecto a P.• Se integra el producto M(δM/δP) con respecto a x.• Si la carga ficticia no coincide con ninguna carga aplicada la reemplaza por

cero; si no, se le da su valor real.• Se divide todo por el producto el cual se conoce porque se sabe el

material y las dimensiones de la viga. • La integración debe incluir toda la longitud de la viga.• Se debe ser consistente en las unidades; si se trabaja en Tf y m, E

deberá estar en Tf/m2 y el momento de inercia en m4.

Si se coloca un vector fuerza ficticio se halla la deflexión; si se coloca un vector momento ficticio se halla el giro.

Ejercicio 19. Para la viga en voladizo del ejercicio 7 halle la deflexión vertical del punto B. Las dimensiones de la viga son: ancho=20 cm, alto=30 cm; el módulo de Young es 200000 kgf/cm2.

8888

Figura 45

Se coloca una fuerza ficticia vertical P en el punto B y se halla la ecuación de momento M en el diagrama de cuerpo libre, pero se toma el origen en el punto B para no tener que meterse con el momento M y el cortante V del punto A de empotramiento:

M=-Px ; negativo porque tensiona las fibras superiores de la viga

Se deriva con respecto a P: δM/δP=-x

Se multiplica M(δM/δP)=-Px(-x)=Px2

Se comprueba si P es real: P=3 Tf; luego M(δM/δP)=3x2

Se halla I=bh3/12=0.2*0.33/12=4.5e-4 m4; E=2e6 Tf/m2

luego EI=2e6 Tf/m2*4.5e-4 m4=900 Tf.m2

Se reemplaza en la ecuación Δ = ∫M(δM/δP)dx/EI

Δ = ∫3x2dx/900=3x3/(3*900)]03=27/900=0.03 m = 3 cm


Ejercicio 20. Para la viga en voladizo del ejercicio 8 halle la deflexión vertical del punto B. Las dimensiones de la viga son: ancho=20 cm, alto=30 cm; el módulo de Young es 200000 kgf/cm2.

Figura 46

Se coloca una fuerza ficticia vertical P en el punto B y se halla la ecuación de momento M en el diagrama de cuerpo libre, pero se toma el origen en el punto B para no tener que meterse con el momento M y el cortante V del punto A de empotramiento:

M=-Px-2.5x2/2; negativo porque tensiona las fibras superiores de la viga

Se deriva con respecto a P: δM/δP=-x

Se multiplica M(δM/δP)=(-Px-2.55x2/2)(-x)=Px2+1.25x3

Se comprueba si P es real: P=0 Tf; luego M(δM/δP)=1.25x3


Luego EI=2e6 Tf/m2*4.5e-4 m4=900 Tf.m2

se reemplaza en la ecuación Δ =∫M(δM/δP)dx/EI

Δ =∫1.25x3dx/900=1.25x4/(4*900)]03=25.31/900=0.0281 m = 2.81 cm

Ejercicio 21. Para la viga simplemente apoyada del ejercicio 4 halle la deflexión vertical del punto C. Las dimensiones de la viga son: ancho=20 cm, alto=30 cm; el módulo de Young es 200000 kgf/cm2.

9090

Figura 47

Se coloca una fuerza ficticia vertical P en el punto C y se resuelve la viga con esa carga P:

Se hace sumatoria de momentos alrededor del apoyo A; ΣMA=0 se obtiene:

(2.5P)-6*Bv=0; se resuelve y se obtiene Bv=2.5/6P Tf =0.42P


Av+Bv=P; se conoce Bv, luego se puede despejar Av=6P/6-2.5/6P=3.5/6P Tf=0.58P

Se consideran entonces dos intervalos: AC y CB y se tabula para hacer más fácil el procedimiento sabiendo que P es real y su valor es 3 Tf:

Tramo M δM/δP M(δM/δP) ∫M(δM/δP)dx

AC; 0 a 2.5Origen en A

0.58Px 0.58x 0.34Px2=1.0x2 ∫x2dx= x3/3]02.5=5.21

BC; 0 a 3.5Origen en B

0.42Px 0.42x 0.42Px2=0.53x2 ∫0.53x2dx=0.53x3/3]03.5=7.57

La suma da 5.21+7.57=12.78; se sabe que EI=900 Tf.m2

Entonces Δ = ∫M(δM/δP)dx/EI = 12.78/900=0.0142 m = 1.42 cm

Ejercicio 22. Para la viga simplemente apoyada del ejercicio 5 halle la deflexión vertical del punto C situado en la mitad de la viga. Las dimensiones de la viga son: ancho=20 cm, alto=30 cm; el módulo de Young es 200000 kgf/cm2.


Figura 48

Se coloca una fuerza ficticia vertical P en el punto C y se resuelve la viga con esa carga P:

Por simetría de cargas y geometría se puede decir que las reacciones son iguales y valen:

Av=Bv=6*2.5/2+P/2=7.5+0.5P

Como quiera que los intervalos son iguales, se considerará solamente AC y se multiplicará el resultado por dos; se tabula para hacer más fácil el procedimiento sabiendo que P es ficticia y su valor es 0:

Tramo M δM/δP M(δM/δP) ∫MδM/δP)dx

AC; 0 a 3 Origen en A

(7.5+0.5P)x= 7.5x+0.5Px

0.50x 3.75x2+0.25Px2-0.625x2= 3.75x2-0.625x2

∫3.75x2dx-∫0.625 x3dx= 3.75x3/3]0

3-0.625x4/4]03= 33.75-12.66

El total será entonces 33.75-12.66=21.09, que multiplicado por dos da 42.18; sabemos que EI=900 Tf.m2

Entonces Δ = ∫M(δM/δP)dx/EI = 42.18/900=0.0468 m = 4.68 cm

10.2. Método del trabajo virtual


En donde:

Δ deflexiónM ecuación de momento de carga real en cualquier sitio de la vigam ecuación de momento de carga virtual en cualquier sitio de la vigaE módulo de YoungI momento rectangular de inercia

9292

Consiste en colocar en el sitio de la viga en donde queremos hallar la deflexión una carga o un momento unitario en la dirección en la cual queremos hallar la deflexión o el giro:

• Se resuelve la viga para la carga real.• Se halla la ecuación de momento M de la carga real.• Se retira entonces la carga real y se coloca la unitaria.• Se resuelve para dicha carga.• Se halla la ecuación de momento m de la cargas unitaria.• Se halla el producto Mm.• Se integra el producto Mm con respecto a x.• Se divide todo por el producto (EI) conocido porque uno escoge el

material y las dimensiones de la viga. • La integración debe incluir toda la longitud de la viga y debemos ser

consistentes en las unidades; si trabajamos en Tf y m, E deberá estar en Tf/m2 y el momento de inercia en m4

Si se coloca un vector fuerza ficticio se halla la deflexión; si se coloca un vector momento ficticio se halla el giro.

Ejercicio 23. Resuelva el ejercicio 19 por el método de trabajo virtual. Las dimensiones de la viga son: ancho=20 cm, alto=30 cm; el módulo de Young es 200,000 kgf/cm2.

Figura 49


Se resuelve la viga para la carga real y se halla la ecuación de momento M en el diagrama de cuerpo libre, pero se toma el origen en el punto B para no tener que meterse con el momento M y el cortante V del punto A de empotramiento:

M=-3x ; negativo porque tensiona las fibras superiores de la viga

Ahora se carga la viga con el vector fuerza unitario situado en el punto B y colocado verticalmente; se resuelve y se halla la ecuación de momento m:

m=-x ; negativo porque tensiona las fibras superiores de la viga

Se multiplica Mm=3x2


luego EI=2e6 Tf/m2*4.5e-4 m4=900 Tf.m2

Se reemplaza en la ecuación Δ = ∫Mmdx/EI

Δ = ∫3x2dx/900=3x3/(3*900)]03=0.03 m = 3 cm

Ejercicio 24. Resuelva el ejercicio 20 por el método de trabajo virtual. Las dimensiones de la viga son: ancho=20 cm, alto=30 cm; el módulo de Young es 200000 kgf/cm2.

Figura 50

9494

Se resuelve la viga para la carga real y se halla la ecuación de momento M en el diagrama de cuerpo libre, pero se toma el origen en el punto B para no tener que meterse con el momento M y el cortante V del punto A de empotramiento:

M=-2.5x2/2 ; negativo porque tensiona las fibras superiores de la viga.

Ahora se carga la viga con el vector fuerza unitario situado en el punto B y colocado verticalmente; se resuelve y se halla la ecuación de momento m:

m=-x ; negativo porque tensiona las fibras superiores de la viga

Se multiplica Mm=2.5x2/2


Luego EI=2e6 Tf/m2*4.5e-4 m4=900 Tf.m2

Se reemplaza en la ecuación Δ = ∫Mmdx/EI

Δ = ∫1.25x3dx/900=1.25x4/(4*900)]03=0.0281 m = 2.81 cm


Figura 51

Se resuelve la viga para la carga real y se halla M:

Haciendo sumatoria de momentos alrededor del apoyo A; ΣMA=0 se obtiene:


(2.5*3)-6*Bv=0; se resuelve y se obtiene Bv=7.5/6 Tf =1.25 Tf


Av+Bv=P; se conoce Bv, luego se puede despejar Av=3-1.25=1.75 Tf

Se coloca una fuerza unitaria vertical en el punto C y se resuelve la viga con esa carga:

Se hace una regla de tres y se concluye que las reacciones son:

Av=1.75/3=0.58 Tf ; Bv=1.25/3=0.42 Tf

Se considera entonces dos intervalos: AC y CB y se tabula para hacer más fácil el procedimiento:

Tramo M m Mm ∫Mmdx

AC; 0 a 2.5Origen en A

1.75x 0.58x 1.02x2 ∫1.02x2dx=1.02x3/3]02.5=5.31

BC; 0 a 3.5Origen en B

1.25x 0.42x 0.53x2 ∫0.53x2dx= 0.53x3/3]03.5=7.57

La suma da 5.31+7.57=12.88; se sabe que EI=900 Tf.m2

Entonces Δ = M(δM/δP)dx/EI = 12.88/900=0.0143 m = 1.43 cm


Figura 52

9696

Se resuelve la viga para la carga real y se halla M:

Por simetría se puede decir que Av=Bv= 6*2.5/2=7.5 Tf

Se coloca una fuerza unitaria vertical en el punto C y se resuelve la viga con esa carga:

Por simetría se sabe que Av=Bv= 1/2=0.5 Tf

Se consideran entonces dos intervalos AC y CB que son iguales; por lo tanto se analiza el AC y se multiplica por dos; se tabula para hacer más fácil el procedimiento:

Tramo M δM/δP M(δM/δP) ∫MδM/δP)dx

AC; 0 a 3 Origen en A

(7.5+0.5P)x= 7.5x+0.5Px

0.50x 3.75x2+0.25Px2-0.625x2= 3.75x2-0.625x2

∫3.75x2dx-∫0.625 x3dx= 3.75x3/3]0

3-0.625x4/4]03=

33.75-12.66

El total será entonces 20.99*2=41.98; se sabe que EI=900 Tf.m2

Entonces Δ =∫M(Δm/Δp)dx/EI = 41.98/900=0.0466 m = 4.66 cm

10.3. Método de la doble integración


o

En donde:

M ecuación de momento de carga real en cualquier sitio de la vigaE módulo de YoungI momento rectangular de inercia(d2y/dx2)o y” segunda integral

En éste método no se aplican cargas auxiliares; se toma la viga con sus cargas reales y se siguen los siguientes pasos:


• Se resuelve la viga (se hallan las reacciones).• Se halla la ecuación de momento M haciendo un corte en un sitio de

la viga en el cual se incluyan todas las cargas aplicadas.• Se hace una primera integración lo cual da la ecuación de los giros de

la viga.• Se hace una segunda integración lo cual da la ecuación de las

deflexiones de la viga.

Como son ecuaciones matemáticas, se le puede dar valor a ‘x’ y obtener valores del giro o la deflexión en el sitio que se desee, pero se deberán dividir por EI que es conocido.

Para las constantes de integración que se generan se utilizan ‘condiciones de frontera’ que no son más que sitios de la viga en los cuales se conoce con certeza el giro o la deflexión; los sitios típicos de frontera son los apoyos en los cuales se sabe que no hay deflexión y para el giro, si la viga es simétrica en geometría y cargas, el centro de la luz.

Para la ecuación de momento se utilizará paréntesis angular llamado ‘singularidad’ cuyo significado es que si el contenido de dicho paréntesis es cero o negativo, no tiene validez.

Ejercicio 27. Resuelva el ejercicio 23 por el método de doble integración. Las dimensiones de la viga son: ancho=20 cm, alto=30 cm; el módulo de Young es 200000 kgf/cm2. Halle también el giro en B.

Figura 53

Se resuelve la viga y se halla la ecuación de momento M en el diagrama de cuerpo libre pero se toma el origen en el punto B para no tener que meterse con el momento M y el cortante V del punto A de empotramiento:

9898

M=-3x ; negativo porque tensiona las fibras superiores de la viga

La ecuación será: EIy”=-3x

Primera integración: EIy’=-3x2/2+C1 ; ecuación de giro

En el empotramiento no hay giro ni deflexión; la condición de frontera es: para x=3 y’=0; se reemplaza y se halla C1: 0=-3*32/2+C1; luego C1=13.5 ; entonces

EIy’=-1.5x2+13.5 ; ecuación de giro

Segunda integración: EIy=-1.5x3/3+13.5x+C2

La condición de frontera es: para x=3 y=0; se reemplaza y hallamos C2:

0=-1.5*33/3+13.5*3+C2 ; luego C2=27 ; EIy=-1.5x2+13.5x+27 ; ecuación de la elástica

Para la deflexión de B se le da a ‘x’ valor a 0 y sabiendo que EI=900 Tf.m2 se obtiene

y=(0+0+27)/900=27/900= -0.015 m = -1.5 cm

Nótese que el signo es negativo indicando que la deflexión es hacia abajo.

Para el giro en B se le da a ‘x’ valor de 0 pero en la ecuación de giro:

y’=θB=(0+13.5)/900 = 13.5/900 = 0.015 rad

Ejercicio 28. Resuelva el ejercicio 24 por el método de doble integración. Las dimensiones de la viga son: ancho=20 cm, alto=30 cm; el módulo de Young es 200000 kgf/cm2. Halle también el giro en B.


Figura 54

Se resuelve la viga y se halla la ecuación de momento M en el diagrama de cuerpo libre tomando el origen en el punto B de empotramiento:

M=-2.5x2 ; negativo porque tensiona las fibras superiores de la viga

La ecuación será: EIy”=-2.5x2/2

Primera integración: EIy’=-1.25x3/3+C1 ; ecuación de giro

En el empotramiento no hay giro ni deflexión; la condición de frontera es: para x=3 y’=0; se reemplaza y se halla C1: 0=-1.25*33/3+C1 ; luego C1=11.25 ; entonces

EIy’=-1.25x3+11.25 ; ecuación de giro

Segunda integración: EIy=-1.25x4/4+11.25x+C2

La condición de frontera es: x=3 y=0; se reemplaza y se halla C2:

0=-.25*34/4+11.25*3+C2 ; luego C2=-25.31 ; entonces EIy=-1.25x2+11.25x-25.31 ; ecuación de la elástica

Para la deflexión de B se le da a ‘x’ valor a 0 y sabiendo que EI=900 Tf.m2 se obtiene

y=(0+0-25.31)/900=25.31/900= -0.0281 m =-2.81cm


100100

Para el giro en B se le da a x valor de 0 pero en la ecuación de giro:

y’=θB=(-0+11.25)/900 = 11.25/900 = 0.025 rad

Ejercicio 29. Resuelva el ejercicio 25 por el método de doble integración. Las dimensiones de la viga son: ancho=20 cm, alto=30 cm; el módulo de Young es 200,000 kgf/cm2. Halle también el giro en C.

Figura 55

Se resuelve la viga y se halla la ecuación de momento M:

M=1.75x-3<x-2.5>; positivo porque tensiona las fibras inferiores de la viga

La ecuación será: EIy”= 1.75x-3<x-2.5>

Primera integración: EIy’=1.75x2/2-3<x-2.5>2/2 +C1 ; ecuación de giro

Como no se tiene la certeza en donde el giro es cero, se continúa la integración:

Segunda integración: EIy=0.875x3/3-1.5<x-2.5>3/3+C1x+C2

Se sabe que en los apoyos las deflexiones son cero así que las condiciones de frontera son: x=0 y=0; x=6 y=0 ; se reemplaza y se halla C1 y C2:

0=0-0+0+C2; luego C2=0; 0=.875*63/3-1.5<6-2.5>3/3+6C1; entonces C1=-6.93 y

EIy’=0.875x2-1.5<x-2.5>2-6.93; ecuación de giro

EIy=-0.29x3-0.5<x-2.5>3-6.93x; ecuación de la elástica


Para la deflexión de C se hace x=2.5 y sabiendo que EI=900 Tf.m2 se obtiene:

y=(-0.29*2.53-0-5<2.5-2.5>-6.93*2.5)/900=12.79/900= -0.0142 m =-1.42cm


Para el giro en C se le da a ‘x’ valor de 2.5 pero en la ecuación de giro:

y’=θC=(0.875*2.52-1.5<2.5-2.5>2-6.93)/900 = -1.46/900 = 0.001624 rad

Ejercicio 30. Resuelva el ejercicio 26 por el método de doble integración. Las dimensiones de la viga son: ancho=20 cm, alto=30 cm; el módulo de Young es 200,000 kgf/cm2. Halle también el giro en A.

Figura 56

Se resuelve la viga y se halla la ecuación de momento M:

M=7.5x-2.5x2/2; positivo porque tensiona las fibras inferiores de la viga

La ecuación será: EIy”= 7.5x-2.5x2/2

Primera integración: EIy’=7.5x2/2-2.5x3/6 +C1 ; ecuación de giro

Como la viga es simétrica se sabe que la tangente en el centro de la luz es cero:

x=3 y’=0 ; entonces 0=7.5*32/2-2.5*33/6+C1 y C1=-22.5

EIy’=3.75x2-0.42x3-22.5 ; ecuación de giro

102102

Segunda integración: EIy=3.75x3/3-0.42x4/4-22.5x+C2

Se sabe que en los apoyos las deflexiones son cero así que las condiciones de frontera son: x=0 y=0 se reemplaza y hallamos C2:

0=0-0-0+C2 ; luego C2=0 y

EIy=1.25x3-0.105x4-22.5x ; ecuación de la elástica

Para la deflexión de C se hace x=3 y sabiendo que EI=900 Tf.m2 se obtiene:

y=(1.25*33-0.105*34-22.5*3)/900 = - 42.26/900 = - 0.0469 m = - 0.46 cm


Para el giro en C se le da a x valor de 0 pero en la ecuación de giro:

y’=θC=(0-0-22.5)/900 = -22.5/900 = 0.025 rad

11. Resolución de estructuras indeterminadas

El otro aspecto importante en el análisis de estructuras es hallar las solicitaciones o fuerzas internas generadas en la estructura por la aplicación de las fuerzas externas.

Por regla general y sin afirmar que siempre sea así, para las vigas interesa la flexión y el cortante; para las columnas la flexión, compresión y cortante; para las losas macizas y zapatas la flexión y el cortante.

Ya se había establecido que si la viga tiene más de tres incógnitas era indeterminada por cuanto las tres ecuaciones de equilibrio no alcanzaban. El caso más común es el de la viga continua con varios apoyos en los cuales se generan incógnitas adicionales que es preciso encontrar. Los métodos que se explicarán a continuación permiten hallar los momentos actuantes en los nudos de la estructura; para hallar las fuerzas de corte, punto de cortante cero, momento positivo máximo y reacciones se aplican diagramas de cuerpo libre.


Figura 57

Las ecuaciones de corte y momento son: V=Vi-wx ; M=Vi*x-wx2/2

Si se iguala a cero obtenemos el punto de cortante cero xo en donde el momento es máximo: 0=Vi-wx ; xo=Vi/w

El cortante por la carga vertical w es: Vi=Vd=wL/2

El cortante por los momentos desbalanceados de los extremos es: V’=(Md-Mi)/L horario o anti-horario dependiendo del sentido del desbalance.

El momento máximo ocurre para x=xo:

Mmax=Vixo-wxo2/2 ; que es igual a: Mmax=Vi*xo/2-Mi

el momento Mi se toma en valor absoluto.

11.1. Teorema de los tres momentos

Fue desarrollado por Clapeyron en 1857 y se aplica a vigas continuas; se puede decir que a partir de ése instante se inicia el desarrollo de una verdadera ‘teoría de las estructuras’.

Figura 58

104104

Se considera en la viga continua de la figura dos luces cualesquiera de dicha viga L1 y L2 y los momentos negativos actuantes en los tres apoyos que comprenden las dos luces M1, M2 y M3; las cargas pueden ser cualesquiera y entonces se puede establecer ésta ecuación:

M1L1 + 2(L1+L2)M2 + M3L2 =

En donde:

M1 momento 1M2 momento 2M3 momento 3L1 luz 1L2 luz 2

coeficiente dependiente de las cargas aplicadas coeficiente dependiente de las cargas aplicadas

Si se aplica la ecuación de Clapeyron sistemáticamente de dos en dos luces y de izquierda a derecha, se podrán obtener unas ecuaciones simultáneas que involucren a las incógnitas que son los momentos en los apoyos, por cuanto se conocen las luces, y los factores alfa se obtienen mediante tablas:

Tabla 16


Ejercicio 31. Resuelva la viga continua que se muestra en la figura 59.

Figura 59

Los factores alfa son:

AB αab=αba=wL3/24=1.2*53/24=6.25BC αbc=αcb=wL3/24=1.2*43/24=3.20CD αcd=αdc=wL3/24=1.2*3.83/24=2.74DE αde=αed=wL3/24=1.2*4.13/24=3.45

Se aplica tres momentos en los tramos ABC, BCD y CDE:

ABC: 5Ma+2(5+4)Mb+4Mc=-6(6.25)-6(3.2) (1)BCD: 4Mb+2(4+3.8)Mc+3.8Md=-6(3.2)-6(2.74) (2)CDE: 3.8Mc+2(3.8+4.1)Md+4.1Me=-6(2.74)-6(3.45) (3)

En los apoyos A y C como la viga puede girar y no continúa, los momentos serán 0, (Ma=Me=0) y las ecuaciones quedan entonces así:

18Mb+4Mc=-56.7 (1)4Mb+15.6Mc+3.8Md=-35.64 (2)3.8Mc+15.8Md=-37.14 (3)

Resolviéndolas se obtiene:

Ma=0; Mb=-2.92Tf.m; Mc=-1.02 Tf.m; Md=-2.13 Tf.m; Me=0

A continuación se tabula toda la viga con sus diagramas de corte y momento, momentos negativos en los apoyos, cortantes, puntos de inflexión del cortante, momentos positivos máximos y reacciones en los apoyos.

El diagrama de momentos está dibujado al revés por conveniencia y para visualizar la elástica de la viga.

106106

La viga resuelta completa es:

Figura 60

En donde se puede apreciar los diagramas de cortante y momentos con sus valores máximos y las reacciones R que en cualquier apoyo serán la suma de los cortantes a la izquierda y derecha del apoyo.

Ejercicio 32. Resuelva la viga continua que se muestra en la figura 61.

Figura 61


Los factores alfa son:

AB αab=αba=wL3/24 =2.5*53/24=13.02; por carga uniforme αab=αba=PL2/16 =1.5*52/16=2.34; por carga puntual αab=αba=6.25+2.34=15.36; totalBC αbc=αcb=wL3/24=2.5*4.53/24=9.49CD αcd=αdc=wL3/24=2.5*5.23/24=14.65; por carga uniforme αcd=Pab/6L*(b+L)=1.2*2*3.2/(6*5.2)*(3.2+5.2)=2.06; por carga puntual αdc=Pab/6L*(a+L)=1.2*2*3.2/(6*5.2)*(2+5.2)=1.77; por carga puntual αcd=2.74+2.06=16.71; total αdc=2.74+1.77=16.42; total

El momento en el voladizo es:

Mvol=Md=-wL2/2-PL= -2.5*1.52/2-0.8*1.5=-4.01 Tf.m

Se aplica tres momentos en los tramos ABC y BCD:

ABC: 5Ma+2(5+4.5)Mb+4.5Mc=-6(15.36)-6(9.49) (1)BCD: 4.5Mb+2(4.5+5.2)Mc+5.2Md=-6(9.49)-6(16.71) (2)

En los apoyos A como la viga puede girar y no continúa, el momento es 0, el momento Md es -4.01; las ecuaciones quedan entonces así:

19Mb+4.5Mc=-149.1 (1)4.5Mb+19.4Mc=-136.35 (2)

Se resuelven y obtenemos:

Ma=0; Mb=-6.54 Tf.m; Mc=-5.51 Tf.m; Md=-4.01 Tf.m

A continuación se tabula toda la viga con sus diagramas de corte y momento, momentos negativos en los apoyos, cortantes, puntos de inflexión del cortante, momentos positivos máximos y reacciones en los apoyos.

108108

Figura 62

En donde se puede apreciar los diagramas de cortante y momentos con sus valores máximos y las reacciones R que en cualquier apoyo serán la suma de los cortantes a la izquierda y derecha del apoyo.

11.2. Método de ángulo de giro-deflexión

Desarrollado por Mohr en 1892 y Maney en 1915. Considérese una viga cualquiera con nudos inicial y final i y j sometida a cargas externas; se puede suponer que inicialmente estaba completamente quieta sometida a unos momentos fijos o de empotramiento perfecto y que se la va soltando primero el extremo inicial y luego el otro extremo: en ése proceso la viga gira y se desplaza y esos giros y desplazamientos de los nudos inducen unos momentos dependientes del giro y el desplazamiento de manera que los momentos finales de los nudos se pueden expresar a través de la ecuación de giro-deflexión:


Figura 63

Mij = MFij + M’ij + M’ji + M”ij (11-1)

En donde:

Mij momento final del nudo iMFij momento fijo o de empotramiento perfecto del nudo iM’ii momento inducido en i debido al giro del nudo iM´ij momento inducido en i debido al giro del nudo jM”ij momento inducido en i debido al desplazamiento relativo entre i y jMji momento final del nudo jMFji momento fijo o de empotramiento perfecto del nudo j

110110

M´ji momento inducido en j debido al giro del nudo iM’jj momento inducido en j debido al giro del nudo jM”ji momento inducido en j debido al desplazamiento relativo entre i y j

El valor del momento fijo depende de la carga aplicada y se puede ver en la tabla 17 donde se consignaron los factores alfa del método de los tres momentos.

Los momentos inducidos por giro y deflexión se pueden hallar mediante:

M’ii = MFij + EI/L(4θi+2θj+6Δ/L) (11-2)M’ij = MFji + EI/L(4θj+2θi+6Δ/L) (11-3)

En donde:

MFij momento fijo del nudo iMFji momento fijo del nudo jE módulo de YoungI momento rectangular de inerciaL longitud de la vigaθi giro del nudo i en radianesθj giro del nudo j en radianesΔ desplazamiento relativo entre los nudos i y j

La relación EI/L se le llama rigidez y es directamente proporcional al material de la viga (E) y las dimensiones (I) e inversamente proporcional a la longitud (L); si la viga es del mismo material y la misma sección se le puede dar a EI el valor de uno y entonces la rigidez será igual al inverso de la luz: k=1/L; los giros obtenidos no serán los reales pero los momentos finales sí.

De manera que en éste método se hallan primero los giros mediante un sistema de ecuaciones simultáneas y luego se hallan los momentos inducidos para finalmente obtener los momentos finales.

Se procederá de la siguiente manera:

• Se hallan los momentos fijos.• Se hallan las rigideces relativas 1/L.• Se aplican las ecuaciones 11-2 y 11-3 sistemáticamente de luz en luz.• Se resuelven las ecuaciones simultáneas para los giros.


• Se hallan los momentos inducidos mediante los giros.• Se hallan los momentos finales mediante los momentos inducidos con

la ecuación 11-1.

Ejercicio 33. Resuelva la viga continua del ejercicio 31 por el método de giro-deflexión.

Figura 59

Momentos fijos:

-MFab = +MFba = wL2/12 = 1.2*52/12 = 2.5-MFbc = +MFcb = wL2/12 = 1.2*42/12 = 1.6-MFcd = +MFdc = wL2/12 = 1.2*3.82/12 = 1.44-MFdc = +MFcd = wL2/12 = 1.2*4.12/12 = 1.68

Rigideces:

AB = 1/L = 1/5 = 0.2 ; BC = 1/L = 1/4 = 0.25CD = 1/L = 1/3.8 = 0.26 ; DE = 1/L = 1/4.1 = 0.24

Tramo AB: Mab=-2.5+0.2(4θa+2θb+0) (1) Mba=2.5+0.2(4θb+2θa+0) (2)Tramo BC: Mbc=-1.6+0.25(4θb+2θc+0) (3) Mcb=1.6+0.25(4θc+2θb+0) (4)Tramo CD: Mcd=-1.44+0.26(4θc+2θd+0) (5) Mdc=1.44+0.26(4θd+2θc+0) (6)Tramo DE: Mde=-1.68+0.24(4θd+2θe+0) (7) Med=1.68+0.24(4θe+2θd+0) (8)

En los apoyos A y C como la viga puede girar y no continúa, los momentos serán 0; además, en cada nudo debe existir equilibrio de manera que el momento a la izquierda del nudo debe ser igual y de signo contrario al de la derecha:

Mab = 0 ; Mba = -Mbc ; Mcb = -Mcd ; Mdc = -Mde ; Med = 0

112112

Las ecuaciones quedan entonces así:

0.8θa+0.4θb = 2.5 (i) de (1)0.4θa+1.8θb+0.5θc = -0.9 (ii) de (2) con (3)0.5θb+2.04θc+0.52θd = -0.16 (iii) de (4) con (5)0.52θc+2θd+0.48θe = 0.24 (iv) de (6) con (7)0.48θd+0.96θe = -1.68 (v) de (8)

Se resuelve y se obtiene:θa = 3.81428θb = -1.37386θc = 0.11143θd = 0.58071θe = -2.04036

Se hallan los momentos finales:

Mab = -2.5+0.2(4*3.81248-2*1.37386) = 0 (1)Mba = 2.5+0.2(4*-1.37386+2*3.81248) = 2.93 Tf.m (2)Mbc = -1.6+0.25(4*-1.37386+2*0.11143) = -2.92 Tf.m (3)Mcb = 1.6+0.25(4*0.11143-2*1.37386) = 1.02 Tf.m (4)Mcd = -1.44+0.26(4*0.11143+2*0.58071) = -1.02 Tf.m (5)Mdc = 1.44+0.26(4*0.58071+2*0.11143) = 2.10 Tf.m (6)Mde = -1.68+0.24(4*0.58071-2*2.04036) = -2.10 Tf.m (7)Med = 1.68+0.24(4*-2.04036+2*0.58071) = 0 (8)

Ma=0; Mb=-2.92Tf.m; Mc=-1.02 Tf.m; Md=-2.10 Tf.m; Me=0

De aquí en adelante se aplican las ecuaciones que brinda la estática y se hallan los momentos máximos, cortantes, punto de cortante cero y reacciones.

11.3. Método de Cross

El gran impedimento con el método de ángulo de giro-deflexión era que para la época no existían recursos tecnológicos para la resolución de tantas ecuaciones, razón por la cual no fue utilizado profusamente en ese entonces. En el año 1924 el profesor Hardy Cross propuso un método que resolvía el sistema de ecuaciones de una manera fácil mediante aproximaciones sucesivas (ciclos), que no requería sino las cuatro operaciones básicas y revolucionó la ingeniería estructural.


Figura 64

Partiendo de la ecuación de giro-deflexión el Profesor Hardy Cross planteó la ecuación:

Mij = MFij + Mθ

En donde:

Mij momento final en el nudo i da la barra ijMFij momento fijo del nudo iMθ momento inducido por los giros de los nudos i y j

El comenzó con una estructura de varias barras que coincidían en un nudo, las supuso en un principio fijas y sometidas a momentos de empotramiento perfecto y luego las fue soltando una por una y llegó a la siguiente conclusión:

• El nudo común equilibraba los momentos desbalanceados proporcionalmente a las rigideces de cada una de las barras que llegaban a él, a través de un factor de distribución.

• Los nudos aledaños se enviaban entre si la mitad del momento balanceado que tenían.

El factor de distribución es igual a:

En donde:

FD factor de distribuciónkij rigidez de la barra considerada = EI/L

114114

sumatoria de las rigideces de las barras que llegan al nudo considerado

Si la viga es del mismo material y la misma sección, entonces se puede trabajar con rigideces relativas haciendo EI=1 y k=1/L.

Se procederá entonces así:

• Se hallan las rigideces.• Se hallan los factores de distribución FD.• Se hallan los momentos fijos.• Se balancea nudo por nudo sumando los momentos y repartiéndolos

proporcionalmente a su FD a cada barra con signo contrario. • Se transmite la mitad de los momentos nudo aledaño a nudo aledaño.• Se repiten los dos últimos pasos hasta cuando el momento transmitido

sea pequeño.• Se balancea por última vez y sumamos desde el momento fijo hasta el

último momento transmitido; la suma será el momento final del nudo.

Entre más ciclos se hagan mayor será la precisión obtenida; se puede comenzar en cualquier nudo y recorrerlos en el orden que se quiera siempre y cuando se siga ese mismo orden todo el tiempo; sin embargo, con el fin de evitar confusiones se recomienda comenzar de izquierda a derecha y de arriba hacia abajo.

Se trabajará con aproximación de dos decimales. Los factores de distribución en cualquier nudo deberán sumar uno ya que estamos haciendo una repartición porcentual; así mismo, en cualquier nudo la sumatoria de los momentos debe ser cero.

El factor de distribución para un empotramiento es cero y para un apoyo simple es uno.

Por último, el método permite resolver la estructura en el tiempo que uno quiera: si se cansa se puede tomar un recreo y luego regresar por donde se había quedado sin mayores problemas.

Ejercicio 34. Resuelva la viga continua del ejercicio 31 por el método de Cross.


Figura 65

Momentos fijos:

-MFab = +MFba = wL2/12 = 1.2*52/12 = 2.5-MFbc = +MFcb = wL2/12 = 1.2*42/12 = 1.6-MFcd = +MFdc = wL2/12 = 1.2*3.82/12 = 1.44-MFdc = +MFcd = wL2/12 = 1.2*4.12/12 = 1.68

Rigideces:

AB = 1/L = 1/5 = 0.2 ; BC = 1/L = 1/4 = 0.25CD = 1/L = 1/3.8 = 0.26 ; DE = 1/L = 1/4.1 = 0.24

Factores de distribución:

Nudo A: FD=1.0Nudo B: FDab=0.2/(0.2+0.25)=0.44 ; FDba=0.25/(0.2+0.25)=0.56Nudo C: FDcb=0.25/(0.25+0.26)=0.49 ; FDcd=0.26/(0.25+0.26)=0.51Nudo D: FDdc=0.26/(0.26+0.24)=0.52 ; FDce=0.24/(0.26+0.24)=0.48Nudo E: FD=1.0

Momentos Definitivos:

Mab=0Mba=2.86 Tf.m; Mbc=-2.86 Tf.m Mcb=1.07 Tf.m; Mcd=-1.07 Tf.mMdc=2.00 Tf.m; Mde=-2.00 Tf.mMed=0

El método de Cross tiene una mejor aplicación (para eso fue desarrollado) para pórticos de edificios de varios niveles.

116116

Ejercicio 35. Resuelva el pórtico de la figura 66 por el método de Cross.

Figura 66

El pórtico corresponde a una edificación de tres pisos con cuatro ejes de columnas A, B, C y D. Las columnas tienen todas unas secciones de 30x35 cm; las vigas de los pisos 2° y 3° tienen la misma sección de 30x35 cm y las del nivel de cubierta 20x35 cm. Las luces son 5, 5.5 y 6.5 m y las alturas de entrepiso son 3.5 para el segundo y 3.0 m para los otros dos. Las cargas son uniformes de 5 Tf/m para el 2°, 4.5 Tf/m para el 3° y 1.5 Tf/m para la cubierta y una adicional de 0.5 Tf para todos los niveles en la luz BC.

Se identifican los nudos con letras de manera que cada barra se pueda identificar con la letra del nudo inicial y la letra del nudo final.

Se hallan las rigideces relativas a la rigidez de la sección 20x35 la cual se toma como uno y las demás se dividen por la rigidez real de ésta y se obtienen las rigideces relativas a ésta sección de las demás secciones.

Los momentos fijos están consignados a la derecha de la figura 47 y se presentan en las vigas que son las barras que tienen cargas; en las columnas no hay por la razón contraria.

Por último se tabula todo el proceso y se ejecutan dos ciclos, se balancea y se suma desde la fila de los MF hacia abajo.


Figura 67

12. Diseño de vigas en concreto reforzado

En ésta sección se aprenderá a dimensionar y colocarle el acero de refuerzo a vigas en concreto reforzado (C/R); hasta ahora en los ejercicios anteriores se habían analizado vigas que estaban sometidas a determinadas cargas sin saber de donde provenían éstas; como quiera que en la vida real las vigas no hablan y no dicen que carga tienen, lo primero que se hará será aprender a estimar las cargas actuantes.

12.1. Análisis de carga

Las losas de entrepiso de las edificaciones son aligeradas porque entre más livianas sean serán más económicas. Existen varios tipos de entrepiso aligerados a saber:

Viguetas unidireccionales con casetones de icopor o guadua (fig.68)Losas macizas (fig.69)Losas con steel deck o lámina colaborante (fig.70)

Figura 68

Parte Cuatro: Diseño de elementos en concreto reforzado

120120

Figura 69

Figura 70

Si se hace un corte transversal en una losa de entrepiso aligerada cualquiera se puede hacer un inventario de todo lo que interviene tales como cargas muertas y cargas vivas, las cuales ya se habían definido en (5.2.1.1 ).

Cargas muertas:

• peso propio viga• peso propio plantilla• muros• baldosas• cielo raso• ductos de aire acondicionado

Cargas vivas: De acuerdo al uso que se le de a la edificación (5.2.1.2)


Si se aplica la fórmula de densidad:

D = P/V ; y se despeja P = DV es posible hallar el peso de los elementos ya que se conoce el volumen V=d1*d2*d3 y la densidad de los materiales (ver tabla 14)

En donde:

D densidadP pesoV volumend1 dimensión 1d2 dimensión 2d3 dimensión 3

Análisis de carga para losa con viguetas unidireccionales:

Figura 71

122122

Análisis de carga para losa maciza:

Figura 72

Análisis de carga para losa con lámina colaborante:

Figura 73


12.2. Viga rectangular simplemente reforzada

Ya se había dicho que el concreto es ‘flojo’ para los esfuerzos de tensión y que por lo tanto en esas zonas hay que colocarle acero que supla esa deficiencia; se sabe que los esfuerzos relevantes que se presentan en las vigas son los de flexión y cortante y por lo tanto es preciso suministrarle acero longitudinal (varillas) para los de flexión y estribos para los de corte.

Figura 747

En la vida profesional se van a presentar dos escenarios posibles:

• Se llega a la obra y se ve la necesidad de remodelar una placa para lo cual se debe construir una viga de soporte adicional y entonces el maestro pide que se le den los detalles de la viga: sección y acero de refuerzo.

• Se llega a la obra y se encuentra una viga existente de sección conocida y con determinada cantidad de acero y se quiere saber si puede resistir una carga adicional que se le va a colocar.

En el primer caso, sabiendo mediante un análisis cuánto es el momento y el cortante máximos actuantes en la viga, se deberá decir cuánto es el ancho y alto de la viga y cuánto acero longitudinal y estribos se le debe colocar; es decir se conocen M y V y se quiere saber qué b, h y As le colocamos.

7 ACI, Essential Requirements for Reinforced Concrete Buildings, International Publication Series, 2002

124124

En el segundo caso, se sabe cuál es el b, h y As y se quiere saber cuánto es el momento resistente Mr de la viga, para saber si puede resistir una carga determinada que queremos colocar.

Mu momento último máximoV cortante máximoMr momento último resistenteb ancho de la vigah alto de la vigaAs acero longitudinal

Si se analizan los esfuerzos, deformaciones y fuerzas que actúan en una sección transversal de una viga rectangular de concreto reforzado se observa lo siguiente:

Figura 75

• Se considera el concreto a compresión solamente y la fuerza del mismo será igual a 0.85.f’c.b.a.

• Se considera el acero a tensión y la fuerza del mismo será As.fy.• El momento resistente de la viga será entonces As.fy(d-a/2) si se

considera la fuerza del acero o 0.85.f’c.b.a.(d-a/2) si se considera la del concreto.

• La semi-altura ‘a/2’ del bloque de esfuerzos es igual a β1.c, siendo c la distancia de la fibra superior al eje neutro de las varillas.

Para el primer escenario se utilizarán las siguientes ecuaciones y tablas:

K = Mu/bd2 ; ρ = As/bd ; ρmin=14/fy ; ρmax=0.75ρb


; en kgf/cm2

En donde:

K coeficiente para hallar la cuantía ρ en tablad distancia de la fibra tensionada al centroide de las varillasρ cuantía de acero (relación porcentual)ρmin cuantía mínima permitidaρmax cuantía máxima permitidaρb cuantía balanceada As cantidad de acero en cm2

f’c resistencia última del concretofy resistencia última del aceroβ1 coeficiente para la obtención de la altura del bloque de esfuerzos

126126

Tabla 17

Las últimas dos líneas corresponden a las cuantías máxima y la balanceada.

El procedimiento será el siguiente:

• Se halla K=Mu/bd2

• Se busca en la Tabla 17 el ρ correspondiente


• Se halla As= ρbd• Se halla ρmin y ρmax • Si ρ<ρmin se coloca Asmin

• Si ρ<ρmax se coloca Asmax y se tienen dos opciones: a) colocar refuerzo a compresión; b) cambiar de sección

Para el segundo escenario se utilizarán las siguientes ecuaciones:

;

En donde:

a altura del bloque de esfuerzos de compresiónb ancho de la vigaAs área de acerof’c resistencia última del concretofy resistencia última del aceroMr momento resistente de la vigaΦ factor de reducción del método de la resistencia última

La situación ideal para las secciones de concreto reforzado es que tanto el concreto como el acero trabajan al máximo de su resistencia, y cuando esto sucede el concreto alcanza una deformación de 0.003 y el acero llega al punto de fluencia. Esta condición se conoce como situación balanceada y es la que da origen a la cuantía balanceada ρb.

Lo que se quiere es que en caso de falla de la sección, el acero comience a fluir y genere entonces fisuras en el concreto y ruidos que adviertan que algo está funcionando mal y se puedan tomar correctivos para evitar el colapso. Si es el concreto el que falla repentinamente, no habrá tiempo para nada porque la falla es muy rápida.

Si la cuantía real es menor que la mínima, el concreto falla por tensión de una manera brusca; en éste caso se dice que la sección está sub-reforzada.

Por el contrario, si la cuantía real sobrepasa la máxima, el acero no entra en el rango plástico (no fluye) y entonces también el acero le costará trabajo entrar en fluencia.

128128

Ejercicio 36. Usted está remodelando una casa y necesita colocar una viga para apoyar una losa maciza e=10 cm. Diseñe la viga sabiendo que le va a colocar de carga muerta y viva a la losa lo siguiente:

• Baldosa espesor 5 cm de espesor• Cielo raso en pañete de 2 cm de espesor• Uso de la edificación: vivienda unifamiliar (180 kgf/m2)• f´c=210 kgf/cm2

• fy=4200 kgf/cm2

Figura 76

Se supone una viga de 30 cm de ancho y se atiende la recomendación de la NSR-98 en lo referente a la altura para no tener que chequear la deflexión:

h=L/18=500/18=27.8 cm ~ 30 cm; (Tabla C.9-1b NSR-98; simplemente apoyada); sin embargo se utilizará 35 cm por la carga que se le va a aplicar

La viga entonces será de 30x35 cm; la franja de carga o ‘ancho aferente’ de la viga será de 1.5 m a la izquierda más 1.5 m a la derecha para un total de 3.0 m; las densidades para el concreto y el mortero son 2.4 Tf/m3 y 2.4 Tf/m3 respectivamente, de manera que ahora se podrá hacer el análisis de carga para la viga que interesa.

Como se está trabajando por el método de la resistencia última se deberá ampliar la carga muerta por 1.4 y la carga viva por 1.7 y así se obtiene la carga última que estará aplicada sobre la viga.


Figura 77

Analizando la viga se encuentra que:

Mu=wL2/8=6.16 Tf.m ; que será el que interesa para proporcionarle el acero longitudinal a la viga:

K=616/(20*262)= 0.04557 ; se busca en la tabla 17 en la parte correspondiente a fy=4200 kgf/cm2 y se encuentra el valor de 0.04666 que corresponde a una cuantía de 0.015:

ρ =0.015; As= ρbd= 0.015*20*26= 7.8 cm2

Se halla ρmin= 14/fy= 14/4200= 0.0033; luego Asmin= 0.0033*20*26=1.72 cm2

Se halla ρb= 0.852 *210/4200*6120/(6120+4200)= 0.0214

Se halla ρmax= 0.75ρb= 0.75*0.0214=0.016; luego Asmax= 0.016*20*26=8.32 cm2

Se constata que ρmin > ρ > ρmax : 0.0033<0.015<0.016 ok

Para saber el diámetro y número de varillas que se deben colocar se divide As/Asunit para diferentes diámetros comerciales disponibles (tabla 9):

Diámetro Área # Área real

#4 1.27 6.14 ~ 7 8.89

#5 1.98 3.94 ~ 4 7.92

#4 2.85 2.74 ~ 3 8.55

130130

La solución más económica es la de menor área: 4#5 ; que caben en un ancho de 20 cm de viga.

Ejercicio 37. Usted está remodelando una casa y encuentra una viga de soporte de una losa maciza de 15 cm de espesor con una sección de 30x50 cm; la manda a picar y sabe que tiene 4 varillas #8 de fy=4200 kgf/cm2, que el recubrimiento es de 3 cm y haciendo una prueba de resistencia con el esclerómetro halla que f’c=280 kgf/cm2. Diga si la viga puede resistir la siguiente carga adicional que se le quiere colocar:

• Baldosa espesor 3 cm de espesor• Cielo raso en pañete de 1 cm de espesor• Uso de la edificación: vivienda unifamiliar (180 kgf/m2)• Muros en ladrillo (200 kgf/m2)

Figura 78

El primer paso es hallar el momento resistente Mr para luego analizar la viga con las nuevas cargas que se le van a colocar y hallar el momento último Mu; si el Mr>Mu entonces la viga sirve:

La viga tiene 5#8 ; As=5*5.07=25.35 cm2


a= 25.35*4200/(.85*280*30)= 14.91 cm

Mr= 0.9*25.35*4200*(47-14.91/2)= 3789320 kgf.cm= 37.89 Tf.m

Ahora se analiza la viga:

Figura 79

El momento último es Mu=wL2/8 =10.17*52/8 =31.78 Tf.m

Como Mr>Mu se concluye que la viga sirve.

A manera de información se pueden averiguar las cuantías:

ρ =As/bd= 25.35/(30*47)= 0.0179

Se halla ρmin= 14/fy= 14/4200= 0.0033

Se halla ρb= 0.852 *210/4200*6120/(6120+4200)= 0.0214

Se halla ρmax= 0.75ρb= 0.75*0.0214= 0.016

Se constata que ρmin > ρ > ρmax : 0.0033<0.0179>0.016

Como la ρmax > ρ la viga está sobre-reforzada, es decir que tiene más acero de lo que permite la norma.

132132

12.3. Viga rectangular doblemente reforzada

Cuando se busca el K para entrar a la tabla 17 y no se encuentra un valor de ρ, o sea que no alcanza la tabla, se tendrán dos opciones:

Colocar refuerzo a compresiónCambiar de sección

Figura 80

Teniendo en cuenta los dos escenarios contemplados en la sección anterior y para la primera opción, colocar acero a compresión, se utilizarán las siguientes ecuaciones:

En donde:

Mu momento último totalMu1 momento último proporcionado por acero a tensiónMu2 momento último proporcionado por acero a compresióna altura del bloque de esfuerzos de compresiónb ancho de la vigaAs área total de acero a tensiónAs1 área de acero a tensiónAs2 área de acero a compresiónf’c resistencia última del concretofy resistencia última del acero


Φ factor de reducción del método de la resistencia última= 0.9d’ recubrimiento del acerod distancia de la fibra tensionada al centroide de las varillasρmax cuantía máxima permitidaρ-ρ’ cuantía de la viga

El procedimiento a seguir es el siguiente:

• Se halla ρb y luego ρmax

• Se halla el máximo acero a tensión • Se halla la altura del bloque de esfuerzos

• Se halla el máximo momento a tensión que resiste la viga

• Se halla el momento correspondiente a compresión

• Se halla el acero a compresión

• Se chequea que la cuantía cumpla

Para el segundo escenario, hallar Mr, se utilizan las siguientes ecuaciones:

En donde:

f’s esfuerzo del acero a compresiónf’c resistencia última del concretofy resistencia última del aceroMr momento resistente de la viga


• Se halla f’s y si es menor que fy, entonces se toma fy igual a f’s

134134

• Se halla la altura del bloque de esfuerzo ‘a’

• Se halla Mr

• Se chequean las cuantías

Ejercicio 38. Hacer el ejercicio 36 teniendo en cuenta que la carga muerta contempla muros divisorios con un peso de 350 kgf/m2 y que el acero es de baja resistencia fy=2400 kgf/cm2.

Figura 76

Se hace el análisis de carga:

Figura 81


El momento máximo Mu=wL2/8=6.22*32/8=6.99 Tf.m

Se halla ρb= 0.852 *210/4200*6120/(6120+4200)= 0.0214

Se halla ρmax= 0.75ρb= 0.75*0.0214= 0.016

As1= 0.016*20*26= 8.32 cm2

; a=8.32*4200/(.85*210*20)=9.78 cm

; Mu1= 0.9*8.32*4200*(26-9.78/2)= 663901 kgf.cm = 6.64 Tf.m

; Mu2= 6.99-6.64= 0.36 Tf.m

Este es el momento que falta por resistir y se hará con acero a compresión:

; As2= 36000/[0.9*4200*(26-4)]= 0.43 cm2

; As= 8.32+0.36= 8.68 cm2

Se escogen las varillas para la tensión As= 8.68 cm2:

Diámetro Área # Área real#4 1.27 6.83 ~ 7 8.89

#5 1.98 4.38 ~ 5 9.90

#6 2.85 3.04 ~ 3 8.55

#7 3.88 2.23 ~ 3 11.64

La opción más económica es 5#5 pero no caben en un ancho de 20 cm así que se escogen entonces 3#7 para un As=11.64 cm2; para el acero a compresión se toman 2#4 para un As’=2.54 cm2 (hay que colocar mínimo 2 varillas de alta resistencia)

Se chequean los límites de la cuantía:

= (11.64-2.54)/(20*26)= 0.0175

= 0.11515*d’/d

136136

(ρ-ρ’)min= 0.852*(210/4200)*[6120/(6120-4200)]*(4/26)= 0.01771

Ρmax= 0.75*0.852*210/4200*6120/(6120+4200)= 0.01607

; 0.01771<0.0175<0.01607 no ok no ok

Ejercicio 39. Hacer el ejercicio 37 teniendo en cuenta que la viga de 30x50 cm tiene además de las 4 varillas #8, 2 varillas #5 de fy=4200 kgf/cm2 como acero a compresión.

Figura 82

Se halla

fs= 6120(1-3/47*(6120+4200)/6120)= 5461 kgf/cm2

entonces fy=4200 kgf/cm2 ; As=4*5.07= 20.28 cm2 ;A’s=2*1.98= 3.96 cm2

Se halla ; a=(20.28-3.96)*4200/(0.85*210*30)= 9.6 cm


y el momento resistente será

Mr=0.9[(20.28-3.96)*4200*(47-9.6/2)+3.96*4200*(47-3)]/1e5= 33.35 Tf.m

Se chequean los límites de la cuantía:

= (20.28-3.96)/(30*47)= 0.01157

= 0.11515*d’/d

(ρ-ρ’)min= 0.852*(210/4200)*[6120/(6120-4200)]*(3/47)= 0.00735

Ρmax= 0.75*0.852*210/4200*6120/(6120+4200)= 0.01607

; 0.00735<0.01157<0.01607 ok

12.4. Viga rectangular sometida a esfuerzo cortante

El otro refuerzo que hay que colocarle a las vigas son los estribos/flejes/aros que deben absorber los esfuerzos de corte que se generan en los extremos; el concreto en si tiene una resistencia a corte y si la fuerza de corte sobrepasa ésta resistencia, hay que colocarle los estribos que sean necesarios para contrarrestarla.

Para el caso de vigas simplemente apoyadas o voladizos (estructuras determinadas) la fuerza de corte máxima es la que se ha venido hallando como reacciones de la viga (V).

Diferentes tipos de estribos:

Figura 83

138138

Se deberá entonces definir el diámetro y la separación de los mismos que será menor en los extremos porque ahí la fuerza de corte es mayor; en el centro de la viga la separación es mayor y habrá un sector en donde no se necesiten pero hay que colocarlos para efectos constructivos.

Figura 84

Si se considera la mitad de un diagrama de corte típico de una viga simplemente apoyada con carga uniforme se verá un esquema como el siguiente:

Figura 85

Se distinguen cuatro zonas a saber:

• Zona 1: separación de estribos menor para máximo cortante • Zona 2: separación de estribos menor para cortante a una distancia ‘d’• Zona 3: separación de estribos mínima de acuerdo a la NSR-98• Zona 4: no se necesitan estribos sino constructivos


Los algoritmos a utilizar son los siguientes:

En donde:

vu esfuerzo de corte máximovud esfuerzo de corte a una distancia ‘d’Vu fuerza de cortevc esfuerzo de corte resistente del concretob ancho de la vigad distancia de la fibra tensionada al centroide de las varillasf’c resistencia última del concretofy resistencia última del aceroΦ factor de reducción del método de la resistencia última= 0.85Av área de la(s) rama(s) del estribo smax separación máxima permitidaxo punto de cortante cero

Se procederá de la siguiente manera: • Se halla el esfuerzo máximo de corte

• Se compara con ; si sobrepasa se halla • Se constata que ; si es mayor, se cambia de sección

• Se halla la separación para ésta zona 1

• Se halla y se repiten los pasos anteriores para hallar la separación en la zona 2

En todas las zonas se deberá respetar la separación máxima

140140

Ejercicio 40. Diseñar para cortante la viga del ejercicio 36.

Figura 86

Las dimensiones de la viga son: b=30 cm; h=50 cm; d=47 cm

Se halla ; vu=25430 kgf/(30*47) cm2= 18.04 kgf/cm2

El esfuerzo del concreto será =0.53*0.85*√210= 6.53 kgf/cm2 luego necesita estribos y el diámetro es #3 de baja resistencia con fy=2400 kgf/cm2; entonces Av=2*0.71= 1.42 cm2 (dos ramas)

Se halla = 18.04-6.53= 11.51 kgf/cm2

La separación =0.85*1.42*2400/(11.51*30)= 8.4 cm para la zona 1

Se halla ahora =18.04*(2.5-0.47)/2.5= 14.65 kgf/cm2

Se halla = 14.65-6.53= 8.12 kgf/cm2

La separación para la zona 2: =0.85*1.42*2400/(8.12*30)= 11.9 cm

Se chequea smax

: d/2=47/2= 23.5 cm; Av.fy/(3.5b)= 1.42*2400/(3.5*30)=32.5 cm


Se escoge el menor de los tres: 23.5 cm

Para saber cuántos estribos se colocarán en cada zona se halla

=6.53*2.5/18.04= 0.90 m

Teniendo en cuenta el ancho del apoyo de 20 cm y que el primer estribo se puede colocar a 5 cm de la cara del apoyo (NSR-98), se tabula:

Zona S (cm) Long.(cm) #

1 8 47-10-5=32 32/8+1=5

2 12 113 113/12=~10

3 23.5 45 45/23.5=~2

4 23.5 45 45/23.5=~2

La disposición final de los estribos será:

Figura 87

12.5. Longitud de desarrollo, gancho, traslapo

Las varillas de acero le ceden la fuerza que realizan al concreto a través de adherencia de manera que si se aplica la fórmula clásica de esfuerzo tendremos:

Figura 88

142142

En donde:

T fuerza de tensión de la barra Ab área de la barraFy resistencia del aceroΣs perímetro de la(s) barra(s)Ld longitud de desarrollodb diámetro de la barra

Otros factores que inciden en la adherencia son los resaltes de las varillas corrugadas y la adherencia química de la barra. Hoy en día no se permiten barras lisas para el acero de alta resistencia.

La longitud de desarrollo o adherencia varía dependiendo de si las barras están sometidas a tracción o compresión, siendo en el último caso más cortas. Como quiera que Ld depende del diámetro y las resistencias del concreto y el acero de la barra utilizada, se pueden tabular para no tener que calcularlas cada vez que se utilicen.

La otra situación que se presentará es que las barras vienen en longitudes comerciales de 6, 9 y 12 m; si la viga es muy larga habrá necesidad de empatar o traslapar las barras para lo cual se usarán las mismas tablas de adherencia pero con una consideración adicional:

• Si está el 50% de las barras traslapadas, se denominará Clase A y las longitudes serán las mismas

• Si está el 100% de las barras traslapadas, se denominará Clase B y las longitudes deberán multiplicarse por 1.3

Si se usan ganchos para darle anclaje mecánico, se pueden hacer de 90° o 180° (para losas macizas de poco espesor) y en ese caso la longitud de desarrollo se acortará porque el gancho ayuda al conjunto.


Tabla 18

Tabla 19

Tabla 20

144144

Tabla 21

Tabla 22


Las longitudes de desarrollo y traslapo de las tablas anteriores se pueden reducir por el factor ,

ya que al colocar las barras hay que adaptarse a los diámetros comerciales y siempre se le colocará un poco más de acero que el requerido.

En donde:

Asr área de acero requeridaAsc área de acero colocada

Si las barras están en paquetes o si son lisas, hay que aumentar la longitud de desarrollo así:

• Paquete de tres barras 1.20 (C.12.4.2)• Paquete de cuatro barras 1.33 (C.12.4.2)• Barras lisas 1.50 (C.12.4.1)

Si las barras están recubiertas con epóxico, hay que aumentar la longitud de desarrollo así:

• Barras con recubrimiento de hormigón menor que 3db o separación libre entre barras menor que 6db 1.50 • Todos los otros casos con recubrimiento epóxico 1.20

• Barras sin recubrimiento epóxico 1.00

13. Columnas en concreto reforzado

13.1. Columnas con carga axial

Son las que están sometidas a carga axial coincidente con el centroide del área transversal de la sección, o sea, no tienen momento aplicado. En este caso basta tener en cuenta el aporte de cada material así:

146146

Figura 89

En donde:Po Carga que resiste la columnaf’c resistencia última del concretofy resistencia última del aceroAg área bruta de concretoAs área de acero

Ejercicio 41. Cual es la carga que resiste una columna de 25x25 cm que tiene 4#5; tomar f’c=210 kgf/cm2 y fy=4200 kgf/cm2.

Se halla Ag=25*25= 625 cm2 ; As=4*1.98= 7.92 cm2

Se halla Po=[0.85*210*(625-7.92)+7.92*4200]/1e3=143.41 Tf

Los aportes de los materiales son: • Concreto 110.15 Tf• Acero 33.26 Tf• Total 143.41 Tf

13.2. Columnas con carga axial y flexión uniaxial

Cuando la columna tiene un momento flexionante además de la carga axial su capacidad de carga se reduce por la acción del momento; en éste caso se utilizan unas gráficas para diseñar la columna: en el eje de las ‘x’ se representa el momento M y en el eje ‘y’ la carga P y ésa es la razón por la cual se llaman P-M; en las curvas se establecen tres puntos claves:

• Condición balanceada (el punto más a la derecha).• Condición de falla a compresión (el punto de contacto con ‘y’).• Condición de falla a tracción (el punto de contacto con ‘x’)8

8 Luis E.García R, Columnas de concreto reforzado, Bogotá, Asocreto, 1991


Figura 90

La gráfica de la figura 68 está hecha para una columna de 40x40 cm con recubrimiento de 5 cm, f’c=210 kgf/cm2, fy=4200 kgf/cm2 y As=A’s= 3#8= 15.21 cm2. Se tendría entonces que tener una gráfica para cada sección de columna y diferentes combinaciones de acero y materiales. Sin embargo, existen gráficas a-dimensionales en las cuales en el eje ‘x’ se considera M/(f’c.b.h2) y en el eje ‘y’ se considera P/(f’c.b.h) y entonces se reduce el número de gráficas a unas cuantas en función del recubrimiento del acero. Las ecuaciones a utilizar para el uso de las tablas son:

; ; ;

En donde:

Pu carga que resiste la columnaf’c resistencia última del concretofy resistencia última del aceroMu momento flexionanteb base de la columnah altura de la columnam coeficiente de relación de las resistenciasg coeficiente de recubrimiento


• Se hallan y

148148

• Se hallan y

• Se busca en la tabla que más se acerque al g los valores de y y se ve interpolando a que curva ρtm corresponde

• Se divide éste valor por m y se obtiene ρt el cual debe cumplir 0.01≤ ρt ≤0.06; se divide por dos para colocar igual acero en las dos caras

Figura 919

9 SIMESA, Guía para ingenieros calculistas, Medellín, Décimo Séptima Edición, 2000


Figura 92

150150

Figura 93

Ejercicio 42. Diseñar una columna que tiene una sección de 25x30 cm, f´c=210 kgf/cm2, fy=4200 kgf/cm2, recubrimiento de 5 cm, una carga Pu=80 Tf y un momento Mu=6 Tf.m

Figura 96


=600000 kgf.cm/(210 kgf/cm2*25 cm*302 cm2)=0.13(1)

= 80000 kgf/(210 kgf/cm2*25 cm*30 cm)= 0.51 (2)

= 4200 kgf/cm2/(0.85*210 kgf/cm2)= 23.53

= (30-2*5)cm/30 cm= 0.67~0.7

Se busca en la figura 69 los valores (1) y (2) que corresponden a la curva ρtm=0.5

ρt= 0.5/23.53= 0.0212 y Ast= 0.0212*25*30= 15.9 cm2 o ~8 cm2 por cara.

Se escogen las varillas:

Diámetro Área # Área real

#4 1.27 6.3 ~ 7 8.89

#5 1.98 4.04 ~ 5 9.90

#6 2.85 2.80 ~ 3 8.55

#7 3.88 2.06 ~ 3 11.64

Se opta por 3#6+3#6 porque es la más económica y caben en el ancho de 25 cm.

El refuerzo de las columnas debe cumplir los siguientes requisitos:

152152

Figura 97

14. Diseño de losa maciza unidireccional en concreto reforzado

La losa de entrepiso maciza se diseña como una viga simplemente reforzada de ancho igual a un metro y la altura es el espesor de la losa y se considera unidireccional en el sentido corto siempre y cuando la relación L/B≥2; si no se cumple lo anterior entonces la losa deberá ser analizada como bidireccional y el proceso es mucho más complejo y fuera del alcance del curso.

En el sentido transversal se la colocará acero de temperatura y retracción de fraguado:

Ast=0.0018*b*h para fy=4200 kgf/cm2

Ast=0.0020*b*h para fy=2400 kgf/cm2

El acero se colocará separado una distancia s=Asu*100/As en donde Asu es el acero de una varilla y As el acero necesario; la separación máxima


no debe ser mayor que 5*h siendo h el espesor de la losa; sin embargo se recomienda que no sea mayor que 3*h.

En su vida profesional se la encontrarán en las tapas de aljibes, losas de cubierta de terraza, losas de tanques de agua, etc. El análisis de carga será similar al de la figura 53 y el modelo matemático es el de una viga simplemente apoyada con carga uniforme; generalmente el esfuerzo de cortante es tan pequeño que la losa no necesita estribos.

Figura 98


• Se comprueba que sea unidireccional (L/B≥2)• Se escoge el espesor h=L/20• Se hace al análisis de carga• Se analiza la losa (V y M)• Se diseña a flexión y se chequea el cortante

Ejercicio 43. Diseñar una losa maciza para soportar un tanque de 500 lts que está colocada sobre un baño de 2.10x1.00 m del segundo piso de una vivienda unifamiliar; las especificaciones son f´c=210 kgf/cm2, fy=4200 kgf/cm2.

154154

Figura 99

L/B=2.1/1=2.1 es unidireccional

Figura 100


Aunque el espesor de la losa dio 5 cm, es preferible tomar 8 cm para facilidad de colocación del acero; el acabado impermeabilizado es necesario para darle pendiente a la losa y que no se estanque el agua; el peso del tanque de 500 lts es de 0.5 Tf el agua más 0.1 Tf el recipiente; la carga viva es mínima y contempla la subida de un plomero a dar mantenimiento.

El análisis da:

V=w*L/2=1.28*1/2= 0.64 Tf; M=w*L2/8= 1.28*12/8=0.16 Tf.m

Para estos valores bajos de corte y momento se trabaja con acero de baja resistencia fy=2400 kgf/cm2

K = Mu/bd2= 16/(100*52)= 0.0064; ρ=0.0058 (mínimo para baja resistencia)

As=0.0058*100*5= 1.65 cm2; la separación s=0.71*100/1.65= 43 cm (varilla #3)

Ast=0.0020*100*5= 1 cm2; la separación s=0.32*100/1= 32 cm (varilla #2)

Sin embargo la separación máxima no debe ser mayor que 3*h= 3*8= 24 cm

Figura 101

156156

15. Diseño de escaleras en concreto reforzado

Las escaleras son elementos que se diseñan como losas macizas unidireccionales por metro de ancho y el modelo matemático es el de una viga simplemente apoyada con carga uniforme; también aquí el esfuerzo de cortante es tan pequeño que la escalera generalmente no necesita estribos. El análisis de carga contemplará el peso propio, los peldaños, el acabado superior e inferior y las barandas. La carga viva para viviendas multifamiliares es de 0.30 Tf/m2 de acuerdo a la NSR-98, en razón a que en un momento de emergencia la gente se agolpará en ellas tratando de evacuar.


• Se escoge el espesor h=L/20• Se hace al análisis de carga• Se analiza la losa (V y M)• Se diseña a flexión y se chequea el cortante

Para el análisis de carga se deberá proyectar la carga sobre la superficie inclinada a través de la descomposición rectangular de las fuerzas aplicadas F/cosβ, siendo β el ángulo de inclinación de la escalera.

Figura 102


Ejercicio 44. Diseñar una escalera en C/R con los siguientes parámetros: f´c=210 kgf/cm2; fy=4200 kgf/cm2; T.I.=2.50 m; D=1.0 m; h=3.0 m; peldaños: huella 30 cm, contrahuella 17 cm; acabados superior e inferior 5 cm; barandas dobles en bloque de cemento y carga viva de 0.3 Tf/m2

Figura 103

Figura 104

158158

16. Diseño de zapatas aisladas

El mecanismo de transmisión de las cargas externas de una estructura es como sigue: la plantilla recibe directamente la carga muerta y la viva, se la pasa a las viguetas, éstas a su vez se las transmiten a las vigas, de aquí pasan a las columnas y éstas las transmiten al suelo a través de la cimentación. Para garantizar ésta última transmisión, se deberán colocar ensanchamientos en la base de las columnas llamados zapatas, ya que de lo contrario las columnas se enterrarían,

En orden de economía y complejidad se pueden relacionar las cimentaciones así:

• Zapatas aisladas (superficial)• Zapatas combinadas (superficial)• Emparrillado de cimentación (superficial)• Placa flotante (mat foundation) (superficial)• Pilotes (profunda)• Caissons (profunda)

El alcance del curso se limita a zapatas aisladas para lo cual se utilizará la fórmula clásica de esfuerzo ;

pero el esfuerzo σ será la capacidad portante del suelo que se llamará Qa, la carga P será la de la columna y el área A será la de la zapata que nos interesa:

; si la zapata es cuadrada de lado L entonces

Figura 105


La carga P deberá incluir el peso propio de la zapata y el modelo matemático es el de un voladizo invertido con carga uniforme igual a Qa el cual se deberá diseñar a:

• Flexión en la cara de la columna.• Cortante en una dirección a una distancia ‘d’ de la cara de la

columna.• Cortante en dos direcciones o punzonamiento a una distancia ‘d/2’ de

la cara de la columna.• Longitud de desarrollo del acero de la columna dentro de la zapata.• Aplastamiento de la columna.

Figura 106

El procedimiento completo es:

• La carga total será Pt= P+0.1P para considerar el peso propio de la zapata

• El área de la zapata es y el lado

• Como se redondea éste último por exceso, se calcula el área real Ar y la presión real Qr

• El cortante en dos direcciones consiste en el esfuerzo de corte sobre el área lateral Ao=bo*d ejercida por Qr actuando en el área achurada Aa=L2-(b+d)*(h+d); siendo bo= 2*(b+d)+2*(h+d), la fuerza actuante hacia arriba será Vu=Qr/Aa que tratará de perforar la zapata en Ao y ese esfuerzo de corte no deberá sobrepasar el valor de en kgf/cm2

• El cortante en una dirección consiste en el esfuerzo de corte sobre el área lateral Ao=L*d ejercida por Qr actuando en el área achurada Aa=L*(L/2-h+d); la fuerza actuante hacia arriba será Vu=Qr/Aa que

160160

tratará de perforar la zapata en Ao y ese esfuerzo de corte no deberá ser mayor que en kgf/cm2

• El diseño por flexión se hará con y se hará como una viga de ancho L y alto e

• La longitud de desarrollo de las varillas de la columna dentro de la zapata se calcula con en cm

• El esfuerzo de aplastamiento de la columna en donde b y h son las dimensiones de la columna

Ejercicio 45. Diseñar una zapata en C/R con los siguientes parámetros: f´c=210 kgf/cm2; fy=4200 kgf/cm2; P=40 Tf; Qa=9 Tf/m2; columna de 30x30 cm con varillas #4.

Figura 107

La carga total será:

Carga de la columna P 40 TfPeso propio (10% de P) 4 TfCarga total Pt 44 Tf

El lado de la zapata será = √(44/9)=~ 2.30 m; el área real de la zapata será Ar=2.32= 5.29 m2 y la presión de contacto real Qr=44/5.29= 8.32 Tf/m2

El chequeo por cortante en dos direcciones se hace considerando el área lateral suponiendo una altura de zapata h= 35 cm con un recubrimiento d’= 7 cm lo que da un d= 35-7= 28 cm


bo= 2*(b+d)+2*(h+d)= 2*(0.30+0.28)+2*(0.30+0.28)= 2.32 m

Ao=bo*d= 2.32*0.28= 0.65 m2 ; el área presionada es Aa=L2-(b+d)*(h+d)= 2.32-(.3+.28)*2= 4.95 m2

La fuerza actuante hacia arriba Vu=Qr*Aa =8.32*4.95= 41.18 Tf y el esfuerzo de corte = 41180/6500= 6.33 kgf/cm2

El esfuerzo de corte permitido es =0.85*√210/1.1= 11.19 kgf/cm2 (ok)

Para el chequeo del cortante en una dirección se tiene:

Ao=L*d= 2.30*0.28= 0.64 m2 ; el área presionada es Aa=L*(L/2-h/2-d)= 2.3*(2.3/2-0.3/2-0.28)= 1.66 m2

La fuerza actuante hacia arriba Vu=Qr*Aa =8.32*1.66= 13.81 Tf y el esfuerzo de corte = 13810/6400= 2.16 kgf/cm2

El esfuerzo de corte permitido es = 0.53*0.85*√210= 6.53 kgf/cm2 (ok)

El momento de flexión es = 8.32*(2.3-0.3/2)2/2= 19.23 Tf.m

Se halla K=Mu/(bd2)= 1923/(230*282)= 0.01067 y ρ= ρmin=0.0033

As= 0.0033*230*28= 21.25 cm2 ; No.varillas= 21.25/1.98= 10#5 L= 2.20 m

Para la longitud de desarrollo se tiene que db=1.27 cm para varilla #4:

= 0 . 0 7 5 * 1 . 2 7 * 4 2 0 0 / √ 2 1 0 = 2 7 . 6 c m ; 0.0043*1.27*4200=22.93 cm (ok)

El esfuerzo de aplastamiento de la columna

0.85*0.7*302*210/1e3= 112.46 Tf > 40 Tf (ok)

162

Figura 108

162

Bibliografía:


2 Diaco Ltda., Guía para el cálculo estructural, Bogotá, Primera Edición, 1994

3 Jairo Uribe Escamilla, Análisis de Estructuras, Bogotá, Ediciones Uniandes, 1993

4 F. P. Beer-E.R.Johnston, Mecánica de Materiales, Bogotá, MacGrawHill, 1996

5 ACI, Essential Requirements for Reinforced Concrete Buildings, International Publication Series, 2002

6 Simesa S.A., Guía para los ingenieros calculistas, Medellín, Décimo Séptima Edición, 2000

7 Luis E. García R., Columnas en concreto reforzado, Bogotá, Asocreto, 1991

164

Este libro se terminó de imprimir en los talleres de Logoformas S.A.

en el mes de abril de 2008.

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60224386 estructuras basicas para arquitectos nov 9 2010

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