Despacho Optimo de la GeneracinFlujo de Carga: Estimamos valores razonables de Pgen de las barras PV adicionalmente Pgen de la barra Slack es calculada por:

Despacho Optimo: Pgen de las barras PV e incluso de la slack se calculan tal que el costo total de la generacin sea mnimo.Funcin objetivoDespachoMin. costoCostos de la generacin.Lmites min. y max.Datos de la rednoFINsiDespacho Optimoo (ms general)Flujo de Carga Optimo

Optimizacin de una funcin sujeta a restricciones de igualdad

El problema es minimizar la funcin costo:

Sujeta a restricciones de igualdadTales problemas pueden resolverse por el mtodo de los multiplicadores de Lagrange. Se crea unafuncin aumentada introduciendo un vector de k elementos : Los valores de que minimizan f sujeto a la igualdad g son los que resuelven las siguientes ecuaciones: Ejemplo 7.1:

Hallar el mnimo de la funcin:(cuadrado de la distancia del origen hasta x,y).Sujeto a la restriccin:

Formamos la funcin de Lagrange:Las ecuaciones a resolver son:En muchos problemas la solucin directa no es posible por lo que las ecuaciones arriba sonresueltas iterativamente.De las dos primeras ecuaciones, encontramos x e y:Sustituyendo en la tercera ecuacin resulta en:La que puede ser resuelta por Newton-Raphson:CORREGIR

Empezando con un valor estimado de , un nuevo valor es encontrado. El proceso se repite en la direccin del gradiente decreciente hasta que f() es menor que un especificado. Este mtodoes conocido como el mtodo del gradiente.Para la funcin arriba el gradiente es:Utilizar la funcin te6ej1 para resolver la ecuacin de f(), luego calcular x e y.Hallar el mnimo o el mximo depender de la direccin del gradiente, Para que rango deestimacin inicial de hallaremos un mnimo y para cual un mximo?Optimizacin de una funcin sujeta a restricciones de igualdad y restricciones de desigualdad

El problema es ahora minimizar la funcin costo:

Sujeta a restricciones de igualdadSe trata de formular una extensin de los multiplicadores de Langrange a los efectos de incluirlas restricciones, este mtodo generalizado se le conoce como condiciones necesarias de optimalidad deKuhn-Tucker. En la expresin abajo se incluye entonces un vector j de m elementos indeterminadosa los efectos de considerar las m restricciones de desigualdad:Y a restricciones de desigualdad

Siendo las condiciones necesarias las siguientes:Ejemplo:

Hallar el mnimo de la funcin:(cuadrado de la distancia del origen hasta x,y)Sujeto a la restriccin:Y a la desigualdad:Si el problema no est planteado de la misma forma los signos de los multiplicadores podrasser diferentes:Planteando Las condiciones de Kuhn-Tucker son:

SiLas ecuaciones a resolver son:Tenemos que:Resolviendo por Newton-Raphson:Sabemos que de la resolucin de las tres primera ecuaciones que x=4 e y=3Lo que viola la condicin de desigualdad de la cuarta ecuacin, por lo tanto de la quintaecuacin se debe cumplir que:

COSTO OPERATIVO DE LAS CENTRALES TERMICASEn todos los casos prcticos el costo del generador i puede ser representado como:Una caracterstica importante es la derivada del costo respecto a la potencia activa, lo que seconoce como costo incremental:$/hPi MWi$/MWhPi MW

Aplicando el mtodo de los multiplicadores de Lagrange:Y planteando las respectivas ecuaciones :Despacho ptimo de las unidades de generacin sin considerar prdidas ni lmites de generacin.C1P1C2P2CngPngPDNuestra funcin objetivo es entonces:Sujeta a la restriccin:La primera condicin resulta en :Pero como :La condicin para el despacho ptimo:todos los generadorestengan el mismo costoincremental

La segunda condicin:Mtodo analtico de resolucin:Por un lado tenemos Para cada generador (i=1,...,ng) se las conoce como ecuaciones de coordinacin.Tenemos que determinar el valor de , de la segunda condicin: De donde: Ejemplo:El costo total de tres plantas trmicas en $/h est dada por: Donde P1, P2 y P3 estn en MW. La demanda total PD es 800MW. Sin considerar prdidas nilmites en la generacin, encontrar el despacho ptimo y el costo total en $/h.

Sustituyendo en las ecuaciones de coordinacin: El costo total es entonces: Interpretacin grfica: P, MW$/MWh8.5150250400

Ejemplo incluyendo lmites en la generacin:El costo total de tres plantas trmicas en $/h est dada por: Donde P1, P2 y P3 estn en MW. La demanda total PD es 975 MW. Los lmites de generacin son:

Sin considerar prdidas, encontrar el despacho ptimo.P1 viola el mite de Pmax, por lo que la pego al tope de 450MW y redespacho las otras dos

P, MW$/MWh9.161873054834508.93259.4200El costo total sin considerar las restriccin de P3:Con la restriccin:

Despacho Econmico Optimo Incluyendo Restricciones en la Generacin y PrdidasComo ya hemos visto, en todoos los casos prcticos el costo del generador i puede ser representado como:Por lo tanto, la funcin aminimizar(funcin objetivo) es:Sujeta a la restriccin de igualdad:Y a las desigualdades:Usando los multiplicadores de Lagrange y los terminos adicionales para incluir las desigualdades:Queda entendido que:o sea, si las restricciones de desiguladad no son violadas los correpondientes terminos no existen.Una prctica comn para incluir el efecto de las prdidas de la transmisin es expresar lasprdidas totales de la transmisin como una funcin cuadrtica de las potencias de las unidadesgeneradoras, cuya forma ms general es:Se la conoce como la frmula de Kron, y los coeficientes B son llamados coeficientes de prdidas ocoeficientes-B, ms adelante se presenta la obtencin de los mismos.

Los valores de que minimizan L son los que anulan las derivadas parciales:La primera condicin, y resolviendo el problema sin considerar en primera instancia las restrccionesde desigualdad: resulta en:como:la condicin resulta en:Incremental de perdidas de transmisinIncremental del costo de generacinSe activan cuando alguna o algunas restricciones sonvioladas en uno o varios generadores:Es comn reordenarla como:Factor de penalidad del generador ioEl incremental de las prdidas de transmisin vale: Adems sabemos que: Sustituyendo respectivamente en la expresin arriba

Reordenando los trmino de la siguinete forma: Extendiendo la ecuacin arriba a todas las plantas resulta en el siguiente sistemalinear de ecuaciones representado en su forma matricial: O en su forma abreviada: En la prctica se resuelve: P=E \ DDe la segunda condicin: Siendo: Sustituyedo, nos queda: o: La resolvemos por Newton-Raphson, siendo entonces (0) la estimacin inicial y (0) lapequea desviacin de la solucin correcta tenemos:

Expandiendo en series de Taylor hasta el trmino de primer orden:o:finaemente:Y se repite el proceso hasta que:Es menor que un dado valor de precisin especificado.A partir de la segunda iteracin los valores de P de las distintas unidades generadores se obtienendel sistema de ecuaciones lineares que resuelve la primera condicin:P=E \ DUna vez que converge se verifica si alguna mquina viola alguno de sus lmites de generacin, siesto es as, la o las unidades correspondientes pasan a generar un valor igual al lmite que correspondiente, y se vuelve a entrar en el algoritmo de Newton-Raphson, siendo entonces los valoresde generacin de estas mquinas parmetros dados y ya no incognitas.

Funciones matalb desarrolladas:despacho.m - funcin principal donde se implementa el algoritmo presentado.op2dat.m - funcin del estilo de red2.mat, desde donde se lee un archivo ascii con los datos de ls costos de las mquinas y sus lmites operativos y se guardan en variables a ser usadas por las dems funciones.costogen.m - clculo del costo total de la generacin.costoB.m - se calcula los coeficientes B d la frmula de Kron para el clculo de las prdidas en un sustema de transmisin..daledes.m - rutina para corrida facil de la aplicacin y realiza el procesos iterarativo flujo de carga despacho ptimo.function[]=daledes(archivo,archivo2)

[N,pN,Barras]=red2mat(archivo);[mv,an,Pd,Qd,Pg,Qg,Qsh,maxerror,iter,Y]=flunrdr(N,pN);global SbZbus=full(inv(Y));[B,B0,B00,PL]=coefB(pN,mv,an,Pd,Qd,Pg,Qg,Qsh,Zbus);[costo,mwlimites]=opt2dat(archivo2,N,pN,Barras);lambda=7;Pgg=Pg(pN(2,1):pN(3,1));[costototal]=costogen(Pgg,costo)[Nopt,dpslack,lambda,Pgg,PL]=despacho(Pd,Pg,costo,B,B0,B00,pN,N,mwlimites,lambda);while dpslack>0.001, [mv,an,Pd,Qd,Pg,Qg,Qsh,maxerror,iter,Y]=flunrdr(Nopt,pN); [B,B0,B00,PL]=coefB(pN,mv,an,Pd,Qd,Pg,Qg,Qsh,Zbus); [Nopt,dpslack,lambda,Pgg,PL]=despacho(Pd,Pg,costo,B,B0,B00,pN,N,mwlimites,lambda);endtabbar[costototal]=costogen(Pgg,costo)save ejemplo5b.dat Nopt lambda PL Pgg -appendSi interesa salvar las variables hay que cambiar a mano el nombre del archivo

Ejemplo

Dado la red abajo, con los valores estimados de despacho de potencia reactiva, determinar el despacho ptimo.V1=1.060|V2|=1.045|V3|=1.0330 MW40 MW1234520 MW10 MVar20 MW15 MVar50 MW30 MVar60 MW40 MVar0.08+j0.240.02+j0.060.04+j0.120.06+j0.180.06+j0.180.08+j0.240.01+j0.03% DATOS DE BARRA% CARGA GENERACION min max Shunt% BARRA TENSION MW MVAR MW MVAR MVAR MVAR MVArSL 1 1.06 0 0 0 0 0 0 0PV 2 1.045 20 10 40 30 10 50 0PV 3 1.03 20 15 30 10 10 40 0PQ 4 1.00 50 30 0 0 0 0 0PQ 5 1.00 60 40 0 0 0 0 0%% DATOS DE LINEAS% BARRA_1 BARRA_2 RESISTENCIA REACTANCIA SUCEPTANCIALinea 1 2 0.02 0.06 0.060Linea 1 3 0.08 0.24 0.050Linea 2 3 0.06 0.18 0.040Linea 2 4 0.06 0.18 0.040Linea 2 5 0.04 0.12 0.030Linea 3 4 0.01 0.03 0.020Linea 4 5 0.08 0.24 0.050% DATOS PARA DESPACHO OPTIMO DE LA GENERACION% archivo: ejemplo5b % % BARRA C1 C2 C3 Pmin PmaxSlack 200 7.0 0.008 10 85Gen_1 180 6.3 0.009 10 80Gen_2 140 6.8 0.007 10 70Coeficientes de la funcincosto de la generacin y lmitesoperativos de los generadores

daledes('ejemplo5b.m','ejemplo5b_opt.m')Flujo de carga no optimo Mximo error en la potencia = 0.058002 No. de Iteraciones = 4

Barra Tensin Angulo ------Carga------ ---Generacin--- Shunt Mag. grados MW MVAr MW MVAr MVAr Carga_1 1.019 -3.248 50.0 30.0 0.0 0.0 0.0 Carga_2 0.990 -4.406 60.0 40.0 0.0 0.0 0.0 Gen_1 1.045 -1.782 20.0 10.0 40.0 39.4 0.0 Gen_2 1.030 -2.664 20.0 15.0 30.0 23.3 0.0 Slack 1.060 0.000 0.0 0.0 83.0 7.3 0.0 Total 150.0 95.0 153.0 70.0 0.0

costototal =

1.6332e+003

Flujo de carga optimo Mximo error en la potencia = 0.0593484 No. de Iteraciones = 4

Barra Tensin Angulo ------Carga------ ---Generacin--- Shunt Mag. grados MW MVAr MW MVAr MVAr Carga_1 1.019 -1.199 50.0 30.0 0.0 0.0 0.0 Carga_2 0.990 -2.717 60.0 40.0 0.0 0.0 0.0 Gen_1 1.045 -0.270 20.0 10.0 69.8 28.3 0.0 Gen_2 1.030 -0.481 20.0 15.0 59.1 13.2 0.0 Slack 1.060 0.000 0.0 0.0 23.2 25.9 0.0 Total 150.0 95.0 152.1 67.3 0.0

costototal =

1.5973e+003

Mtodo de Kron para obtenerlas perdidas del sistema en funcin de la potencia activa del parque generador:Matriz impedancia

PQPV+SlPV+Sl1

C=C1 * C2PV+Sl+1PV+Sl+1PQPV+Sl

Los coeficientes B son en valores pu, cuando la potencia est expresada en MW, los coeficientes B valen:

Bij= Bij pu/Sb, Boi= Boi , B00= B00 pu*Sb

Donde Sb son los MVA Base

Funcin coefB:Esta funcin calcula los coeficientes de perdidads B, dada una red con su respectivoflujo de carga.Argumentos de entrada: Matriz pN puntera de la matriz N. Resultado del flujo de carga:. Matriz Zbus, inversa de YbusArgumentos de salda: Coeficientes de perdidas B. Perdidas totales en MW.function[B,B0,B00,PL]=coefB(pN,mv,an,Pd,Qd,Pg,Qg,Qsh,Zbus)

global Sb;V=mv.*exp(j*deg2rad(an)); % Tensin compleja.Il=-1/Sb*(Pd-j*Qd)./conj(V); % Corrientes de carga en todas las barras.ID= sum(Il); % Sumatoria de las corrientes (ec. [13]).l=Il/ID; % Fraccin de la corriente total (vector ec. [15]).sl=pN(3,1); % Ubicacin de la barra slack.T=Zbus(sl,:)*l; % Clculo de T (ec.[18]).nB=sl; % Nmero total de Barras.fPQ=pN(1,2); % Nmero de barras PQ.iPV=pN(2,1); % Ubicacin inicio de las barras PV.ng=nB-fPQ; % Nmero total de barras de generacin (Slack+PV).W(1:ng) = Zbus(sl,iPV:sl)/T; % Clculo de w (arriba ec. [23], definiendo ...).C1gg=eye(ng,ng); % Sub matrices que se concatenan para armar C1.C1g=[zeros(fPQ, ng);C1gg];C1=[C1g,l]; % C1C2gD=[C1gg;-W]; % Sub matrices que se concatenan para armar C2.C2D=zeros(ng,1);CnD=[C2D;-W(ng)];C2=[C2gD,CnD]; % C2C=C1*C2; % Cal=(1-j*((Qg(iPV:sl)+Qsh(iPV:sl))./Pg(iPV:sl)))./conj(V(iPV:sl)); % Elementosal=al.'; % para armar la matriz alpha (ec. [28]).alp=[al, -V(sl)/Zbus(sl,sl)]; % timo elemento de la diagonal de la matriz alpha.alpha=diag(alp); % Obtencin de la matriz alpha (segun ec. [30]).H = real(alpha*conj(C)'*real(Zbus)*conj(C)*conj(alpha)); % Clculo de H (ec. [34]).B=H(1:ng,1:ng); % Particin de la matriz H conforme ecuacin [36].B0=2*H(ng+1,1:ng);B00=H(ng+1,ng+1);PL = Pg(iPV:sl)'*(B/Sb)*Pg(iPV:sl)+B0*Pg(iPV:sl)+B00*Sb; % Perdidas totales (ec.[36]) % convirtiendo los valores pu de los coeficiente B.

Comentarios: C1gC1ggC2gDC2DCnD

Ejemplo

Dado la red abajo, calcular los coficientes B y las perdidas totales de la red.V1=1.060|V2|=1.045|V3|=1.0330 MW40 MW1234520 MW10 MVar20 MW15 MVar50 MW30 MVar60 MW40 MVar0.08+j0.240.02+j0.060.04+j0.120.06+j0.180.06+j0.180.08+j0.240.01+j0.03% DATOS DE BARRA% CARGA GENERACION min max Shunt% BARRA TENSION MW MVAR MW MVAR MVAR MVAR MVArSL 1 1.06 0 0 0 0 0 0 0PV 2 1.045 20 10 40 30 10 50 0PV 3 1.03 20 15 30 10 10 40 0PQ 4 1.00 50 30 0 0 0 0 0PQ 5 1.00 60 40 0 0 0 0 0%% DATOS DE LINEAS% BARRA_1 BARRA_2 RESISTENCIA REACTANCIA SUCEPTANCIALinea 1 2 0.02 0.06 0.060Linea 1 3 0.08 0.24 0.050Linea 2 3 0.06 0.18 0.040Linea 2 4 0.06 0.18 0.040Linea 2 5 0.04 0.12 0.030Linea 3 4 0.01 0.03 0.020Linea 4 5 0.08 0.24 0.050

clear[N,pN]=red2mat('ejemplo5b.m');[mv,an,Pd,Qd,Pg,Qg,Qsh,maxerror,iter,Y]=flunrdr(N,pN);Zbus=full(inv(Y));[B,B0,B00,PL]=coefB(pN,mv,an,Pd,Qd,Pg,Qg,Qsh,Zbus)

B =

0.0228 0.0017 0.0093 0.0017 0.0179 0.0028 0.0093 0.0028 0.0218

B0 =

0.0031 0.0015 0.0003

B00 =

3.0523e-004

PL =

3.0525Las perdidas totales de la red son de 3.0525 MW