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1
IES SANTIAGO RAMÓN Y CAJAL. PROF. JOAQUÍN COTRINA.
MATEMÁTICAS II.
TEMA 7: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (SEL).
TEORÍA.
ÍNDICE:
1. Introducción. Definiciones.
2. Teorema de Rouché-Frobenius
3. Resolución de S.E.L.
3.1.Método de Gauss – Jordan.
3.2.Método de Cramer.
3.3.Mediante la inversa.
4. SEL homogéneos.
5. Discusión de S.E.L. con parámetros.
2
1.- INTRODUCCIÓN. DEFINICIONES.
Llamamos sistema de ecuaciones lineales (SEL) a un sistema en el que cada una de las
ecuaciones es polinómica de primer grado en todas las variables.
Una solución particular del sistema es un valor de las variables que es solución de cada una de
las ecuaciones, es decir, de forma que transforma cada ecuación en una identidad numérica. Llamamos
solución general (o simplemente solución) de un SEL al conjunto de todas las soluciones que tiene el
sistema.
Dos sistemas son equivalentes cuando pasamos de uno a otro a través de una de las siguientes
trasformaciones:
Cambiar de orden dos ecuaciones.
Multiplicar una ecuación por un número distinto de cero.
Cambiar una ecuación por una combinación lineal de ecuaciones del sistema en la que la
ecuación sustituida no tiene coeficiente 0 (también se puede decir: sumarle a una ecuación una
combinación lineal de las demás ecuaciones).
Es posible y no muy difícil demostrar que, efectivamente, un sistema y su transformado mediante
una de estas tres transformaciones, tienen el mismo conjunto de soluciones, es decir, con estas
transformaciones tenemos que dos sistemas equivalentes tienen la misma solución general.
Según sus soluciones, un SEL puede ser un sistema compatible (SC) si tiene alguna solución.
Cuando la solución es única, se denomina sistema compatible determinado (SCD) y cuando tiene más
de una, tiene infinitas y se denomina sistema compatible indeterminado (SCI). Cuando un sistema no
tiene solución alguna se denomina sistema incompatible (SI).
Estudiar un sistema según sus soluciones es decidir cual de las tres posibilidades anteriores se
da en el sistema. Discutir un sistema que depende de parámetros es estudiar qué tipo de sistema tenemos,
según los distintos valores de los parámetros (a veces se utiliza discutir para decidir el tipo de sistema
según sus soluciones, aunque no tenga parámetros). Resolver un sistema es hallar su solución general.
A la matriz de los coeficientes del sistema la denotaremos por A. A la matriz columna de los
términos independientes la denotaremos por B y a la matriz ampliada de los coeficientes junto a los
términos independientes la denominaremos por A . Así, dado el sistema
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
2211
22222121
11212111
la matriz de los coeficientes del sistema y la matriz ampliada son, respectivamente:
3
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
21
22221
11211
,
nnnnn
n
n
b
b
b
aaa
aaa
aaa
A
2
1
21
22221
11211
.
Un ejemplo concreto sería, para el sistema
123
33
22
zyx
zyx
yx
las matrices de los coeficientes y la matriz ampliada son, respectivamente:
213
131
012
A y
1
3
2
213
131
012
A
¿En qué parte de las ciencias se utilizan los sistemas de ecuaciones lineales?
Hay que entender que resolver un sistema tiene tras de sí la idea de hallar aquellos elementos
que son, simultáneamente, pertenecientes a más de un conjunto. En geometría analítica del espacio,
por ejemplo, las ecuaciones lineales representan planos. Así, un sistema se estudia cuando se quiere
saber la posición relativa de dos o más planos. En geometría analítica del plano tenemos una situación
similar, pero con rectas. En espacios vectoriales, que se escapa de nuestro ámbito, a la hora de descifrar
una combinación lineal de vectores, se halla estableciendo un sistema de ecuaciones. En problemas de
matemáticas generales, cuando se modeliza un sistema y se hallan las ecuaciones que lo gobiernan, se
suele linealizar, es decir, deshacerse de todo término no polinómico o de grado mayor que 1 para su
simplicidad. El resultado es un sistema, a veces demasiado básico, que permite un estudio inicial del
problema.
4
2.- TEOREMA DE ROUCHÉ – FROBENIUS.
Dado un SEL, consideramos las matrices A de los coeficientes y A ampliada, del sistema.
Estudiamos sus rangos y los comparamos entre ellos y con el número de incógnitas que tiene el sistema.
Hay tres posibilidades
SC, si AA ran ran .
SCD, si incógnitas de númeroran ran AA
SCI, si incógnitas de númeroran ran AA
SI, si AA ran ran .
Observemos que las posibilidades de que AA ran ran o de que los rangos superen al número
de incógnitas, no pueden darse. La primera es porque cualquier menor (caja) no nulo que esté en A, sirve
igualmente para A . La segunda opción no es posible por estar el rango de A acotado por la dimensión
y el número de columnas de A es el número de incógnitas. Si podría darse el caso de que rango de A
fuera mayor que el número de incógnitas, pero en ese caso, tendría que ser mayor que el rango de A y,
por tanto el sistema sería incompatible.
5
3.- RESOLUCIÓN DE UN SEL.
Para resolver un sistema veremos tres métodos distintos: el método de Gauss – Jordan, que
triangulariza la matriz ampliada, el método de Cramer, que utiliza determinantes, y hallar la matriz
inversa de los coeficientes, cuando ésta exista.
3.1.- MÉTODO DE GAUSS – JORDAN.
El método de Gauss – Jordan triangulariza la matriz ampliada A . Cuando está triangularizada
inferiormente se estudia y se aplica el teorema de Rouché – Frobenius. Si hay solución, bien se
triangulariza superiormente para dejar despejada cada una de las incógnitas, bien se resuelven las
ecuaciones desde la más inferior a la más superior, utilizando los valores hallados previamente.
Cuando el sistema sea compatible indeterminado, la ecuación situada más abajo tendrá más de
una incógnita. Se despeja una de ellas y se cambian las otras por los parámetros.
Ejemplo: (SCD. Método de Gauss) Estudia y resuelve el siguiente sistema:
123
33
22
zyx
zyx
yx
Solución:
Triangularizemos la matriz ampliada:
48
4
2
1800
270
012
4
4
2
450
270
012
1
3
2
213
131
012
3231
12
7523
2
FFFF
FFA
Contamos el número de filas no idénticamente nulas y tenemos que AA ran ran .
3incógnitas de número . Por el teorema de Rouché – Frobenius, el sistema es compatible determinado
(SCD).
38
1848
3 4818: zzE
34
2128
316
2 47427: yyzyE
35
610
34
1 2222: xxyxE
Solución: 38
34
35 ;; zyx
Ejemplo 2: (SCI. Método de Gauss) Estudia y resuelve el siguiente sistema.
94
2
322
zyx
zyx
zyx
Solución:
6
Triangularizemos la matriz ampliada:
0
7
3
000
030
212
21
7
3
090
030
212
9
2
3
141
111
212
3231
21
32
2
FFFF
FF
Contamos las filas no idénticamente nulas y tenemos 2ran ran AA luego el sistema es
compatible, pero como hay 3 incógnitas, el sistema es compatible indeterminado. La diferencia entre el
rango y el número de incógnitas es el número de parámetros de que depende la solución. En este caso
habrá 1 parámetro. Para resolverlo, tomamos la última incógnita y la igualamos al parámetro, t.
Procedemos despejando de la última ecuación hacia la primera.
37
2 73: yyE
kxkxkxzyxE 31
32
37
1 22322322:
Solución: R kkzykx ,;; 37
31 .
Ejemplo 3: (SI. Método de Gauss) Estudiar y resolver el sistema
335
432
2
zyx
zyx
zyx
Solución:
Triangularizemos la matriz ampliada,
1
0
2
000
130
111
1
0
2
260
130
111
3
4
2
351
312
111
3231
21
2
2
FFFF
FFA
Vemos que en la matriz A hay dos filas que no son idénticamente nulas, luego 2ran A pero en la
matriz A hay tres filas no idénticamente nulas, de donde 3ran A . Por el teorema de Rouché –
Frobenius, el sistema es incompatible, es decir, no tiene solución.
3.2.- MÉTODO DE CRAMER.
El método de Cramer realiza inicialmente un estudio del rango de A y luego del rango de A
mediante determinantes. Si el sistema es compatible, se hallan las incógnitas como cocientes de dos
determinantes. En el numerador tendremos el determinante que resulta de sustituir los coeficientes de la
variable que estamos hallando por los términos independientes. En el denominador tendremos la matriz
de los coeficientes del sistema.
7
Cuando el sistema es compatible indeterminado, habrá un menor no nulo de tamaño menor que
el número de incógnitas. Dicho menor nos indicará que sistema nuevo habrá que considerar, eliminando
alguna de las ecuaciones.
Ejemplo 4: (SCD. Método de Cramer) Estudia y resuelve el siguiente sistema.
123
33
22
zyx
zyx
yx
Solución:
1
3
2
213
131
012
A
Estudiamos el rango de A primero. Como es una matriz de dimensión 33 , el rango máximo es
3 y hay un único menor de tamaño 3, el propio determinante de A.
092200312
213
131
012
A
Como 0A , el rango de A es 3. Como 3ran ran AA y la dimensión de A es 43 , y el
rango máximo es 3, deducimos que el rango es 3. Por tanto 3ran ran AA . El teorema de Rouché –
Frobenius nos asegura que el sistema es compatible. Además, al coincidir con el número de incógnitas,
el sistema es compatible determinado.
3
5
9
15
9
2600112
9
211
133
012
A
Ax x
3
4
9
12
9
2400612
9
213
131
022
A
Ay
y
3
8
9
24
9
6118296
9
113
331
212
A
Az z
Solución: 38
34
35 ;; zyx
8
Ejemplo 5: (SCI. Método de Cramer) Estudia y resuelve el siguiente sistema.
94
2
322
zyx
zyx
zyx
Solución:
Estudiemos el rango de A.
0182812
141
111
212
A
Eliminando la tercera fila y la tercera columna queda el menor
031211
12:, 33
fc ,
por tanto el rango de A es 2. Veamos ahora el rango de A :
0218123169
914
211
321
:1
c
0
911
211
322
:2 c pues 21 cc
03030916312218
941
211
312
:3
c
Luego el rango de A es también 3 (todos los determinantes de orden 3 son nulos, y un menor de orden
2, el mismo que para A, es distinto de 0). El número de incógnitas es 3. Por el teorema de Rouché –
Frobenius, el sistema es compatible indeterminado.
En el menor de orden 2 no nulo hemos eliminado la fila 3. Entonces nos quedamos con las dos primeras
ecuaciones, es decir, el sistema queda
2
322
zyx
zyx
Como en el menor de orden 2 no nulo hemos eliminado la columna 3, entonces la tercera incógnita la
vamos a sustituir por un parámetro y considerarlos como términos independientes. Queda:
zyx
zyx
2
232.
9
En este nuevo sistema, la matriz de los coeficientes es, precisamente, el menor anterior que salió no
nulo. Así que podemos hallar sus incógnitas.
3
31
3
223
11
12
12
123
~
~tttt
t
A
Ax
x
3
7
3
2324
11
12
21
232
~
~
ttt
t
A
Ay
y
tz
Solución: R ttzytx ,;; 37
31 .
Ejemplo 6: (SI método de Cramer). Estudia y resuelve el sistema:
335
432
2
zyx
zyx
zyx
Solución:
Estudiemos el rango de A y el de A mediante determinantes,
061511033
351
312
111
A
Veamos ahora si hay algún menor de orden 2 distinto de 0,
0312
11:, 33
cf y, por tanto, el rango de A es 2. Estudiemos ahora el rango de A .
043842312306209
335
431
211
:1
c de donde el rango de A es 3 y, por el
teorema de Rouché – Frobenius, el sistema es incompatible, es decir, no tiene solución.
3.2.- MEIDANTE LA INVERSA.
Este método sirve sólo en el caso compatible determinado. Hace falta que haya tantas ecuaciones
como incógnitas y, además, que 0A . En tal caso, escribimos el sistema en forma de producto
matricial, hallamos la matriz inversa de A y multiplicamos por la izquierda en la ecuación. Esto equivale
a “despejar”.
10
Ejemplo 7: (SCD. Método de la inversa) Estudia y resuelve el siguiente sistema.
123
33
22
zyx
zyx
yx
Veamos el determinante de A.
092200312
213
131
012
A
Como es distinto de 0, sabemos que es compatible determinado. Escribimos el sistema en la forma
BXA
z
y
x
1
3
2
213
131
012
Hallamos 1A , por ejemplo, por el método de Cramer,
757
241
125
9
11A ,
Por último, multiplicamos el sistema, escrito en forma matricial, por 1A , por la izquierda. Por tanto,
BXA 1A (izqda.)
BAXAA 11
38
34
35
1
24
12
15
9
1
71516
2122
1610
9
1
1
3
2
758
241
125
9
1BAX
Solución: 38
34
35 ;; zyx
11
4.- SEL HOMOGÉNEOS.
Decimos que una ecuación polinómica es homogénea de grado n, si cada uno de sus términos es
de grado n. En general, una función kxxxf ,,, 21 es homogénea de grado n, si
knk xxxftxtxtxtf ,,,,,, 2121 , es decir, no tiene que ser polinómica necesariamente. Para
nosotros, será polinómica y además, lineal, es decir, de grado 1. Entonces, el hecho de ser homogénea
equivale a decir que no hay término independiente. Por tanto, un sistema de ecuaciones homogéneo es
aquél en el que los términos independientes son todos 0, como por ejemplo,
02
02
032
zyx
zyx
zyx
Como la columna de los términos independientes es idénticamente nula, se tiene que en un
sistema homogéneo, el rango de A y de A . Por el teorema de Rouché – Frobenius, un sistema
homogéneo es siempre compatible. Queda sólo decidir si será compatible determinado y tendrá solución
única, o si será compatible indeterminado y tendrá infinitas soluciones.
Hay que decir que un sistema homogéneo siempre admite la solución trivial, es decir, la solución
en la que todas las variables son 0. En el caso de tener un SCD, ésta será la única solución.
Ejemplo 8: (Sistema homogéneo) Estudia y resuelve el siguiente sistema.
02
02
032
zyx
zyx
zyx
Solución:
Estudiémoslo por el método de Cramer, por ejemplo,
020121381262
121
211
132
A , de donde el rango de A es 3, al igual que
el rango de A y el sistema es compatible determinado y la solución trivial es su única solución.
Solución: 0;0;0 zyx .
Ejemplo 9: (Sistema homogéneo) Estudia y resuelve el siguiente sistema.
0232
024
02
zyx
zyx
zyx
Solución:
Estudiémoslo por Cramer, por ejemplo,
12
020206841228
232
124
112
A
En este caso, al ser la última columna completamente nula, no hay que estudiar ningún otro menor de
orden tres, pues son todos 0. Veamos los menores de orden 2, por ejemplo quitando la tercera fila y la
primera columna.
12112
11:, 31
fc
El sistema es, por tanto, compatible indeterminado. Hallemos su solución. Nos quedamos con el sistema
de las dos primeras ecuaciones y la incógnita x la cambiamos por un parámetro. Por tanto,
tzy
tzy
zyx
zyx
42
2
024
02
En este nuevo sistema, resolvemos por Cramer,
tttt
t
A
Ay
y6
1
42
12
11
14
12
~
~
tttt
t
A
Az
z8
1
44
12
11
42
21
~
~
Solución: R ttztytx ,8;6; .
13
5.- DISCUSIÓN DE SEL CON PARÁMETROS.
Discutir un sistema de ecuaciones lineales que depende de uno o más parámetros es decidir qué
tipo de sistema es (SCD, SCI o SI) según los distintos valores de los parámetros. Se pueden utilizar tanto
el método de Gauss como el de Cramer, pero es más manejable en este caso el método de Cramer, es
decir, utilizar determinantes.
El método general de estudiar un SEL con parámetros es estableces un nuevo sistema de
ecuaciones, no necesariamente lineales, con cada uno de los menores de mayor orden posible igualado
a 0. Para cualquier valor de los parámetros que no sea solución de este nuevo sistema, alguna de las
ecuaciones no se satisface y se deduce el rango A. Análogamente se hace con A . Para los valores que
sean solución del nuevo sistema, se estudia caso a caso, teniendo en cuenta que A y/o A no tendrán
rangos máximos.
Aunque parece complicado, cuando sólo hay un parámetro es bastante sencillo, pero se complica
bastante cuando hay dos o más parámetros.
Ejemplo 10: Discutir según los valores del parámetro Ra el siguiente SEL:
1231
11
12
zyxk
ykx
zykx
Solución:
La matriz A es:
1
1
1
231
011
12
k
k
k
A
Estudiemos el rango de A.
kkkkkkkkk
k
k
k
A 24132204113012
231
011
12222
Así que 0A para 0k y 2k . Veamos estos dos casos en particular.
Caso :0k
La matriz ampliada queda
1
1
1
231
011
120
0A
El rango de A es menor que 3. Veamos si algún menor de orden 2 es no nulo.
14
0211
20:,, 433 ccf , luego el rango de A es 2. Estudiemos ahora el rango de A .
0410230
123
101
112
:1 c
0100210
121
101
110
:2
c
0021320
131
111
120
:3
c
Como los otros tres menores de orden 3 son nulos, el rango de A es menor que 3. El mismo menor de
orden 2 que utilizamos para A nos sirve para A y, por tanto, su rango es 2. Como el número de incógnitas
es 3, el teorema de Rouché – Frobenius establece que el sistema es compatible indeterminado
Caso :2k
En este caso, la matriz ampliada queda
1
1
1
233
011
122
2A
Terminemos de estudiar el rango de A. Claramente el menor de A 0101
12:, 13
cf y su rango es
2. Sabemos también que el rango de A es, al menos 2. Veamos si hay algún menor de orden 3 no nulo.
0165410230
123
101
112
:1 c
Por tanto, el rango de A es 3 y, en virtud del teorema de Rouché – Frobenius, el sistema es incompatible.
Solución: SCI,0k ; SI,2k ; SCD,2,0 kk .
Ejemplo 11: Discute, según los valores de los parámetros Rba y , el siguiente sistema según sus
soluciones:
bzyax
zyx
ayx
033
0
15
Solución:
La matriz ampliada es
ba
a
A 0
0
11
133
01
Estudiemos primero el rango de A.
4313003
11
133
0122 aaaa
a
a
A . Entonces 0A cuando 1a o bien 4a
.
Caso :1a
b
A 0
0
111
133
011
1 . Claramente el menor de A 0113
01:, 31
fc y el rango de A es 2. Para ver
el rango de A necesitaremos ver si hay un mismo valor de b que anula todos los menores de orden 3. Si
no lo hay, el rango de A será 3. Si sí lo hay entonces será de rango 2.
b
b
c 11
013
001
:1 pues es un determinante triangular superior. Como 21 cc , el menor que resulta
de eliminar 2c es idéntico al anteriormente hallado y, por último, cuando eliminamos 3c , queda un
determinante con las dos primeras columnas iguales, y es por tanto 0.
Por tanto, si 0b todos los menores de orden 3 son 0 y el rango de A es 2 con lo que quedaría un SCI.
Si 0b entonces algún menor de orden 3 es no nulo y quedaría un SI.
Caso :4a
b
A 0
0
114
133
041
4
Lo primero es terminar de estudiar en este caso el rango de A. Vemos que el mismo menor de antes, es
decir, 041311
13:, 31
fc y el rango de A es 2. Veamos ahora el rango de A .
16
b
b
c 4
11
013
004
:1
b
b
c
14
013
001
:2
b
b
c 15
14
033
041
:3
Al hacer los tres menores igual a 0, obtenemos una solución común, 0b . Por tanto, para este valor de
b, el rango de A es menor que 3. El mismo menor de orden 2 utilizado para A sirve para A , y deducimos
que el rango es 2. Como el número de incógnitas es 3, el sistema en este caso sería compatible
indeterminado.
Para cualquier otro valor de b, el sistema sería incompatible.
Para cualquier otro valor de a el sistema es compatible determinado, pues el rango de A, y por tanto el
de A también, sería 3, que coincidiría con el número de incógnitas.
Solución:
a b Tipo de sistema
1 0 SCI
1 0 SI
4 0 SCI
4 0 SI
4,1 R SCD
Ejemplo 12: (Discusión de un sistema con parámetros. Método de Gauss) Discutir para los distintos
valores del parámetro Rm , el siguiente sistema según sus soluciones.
mzymx
mmzyx
mzmyx
12
2
Solución: ESTA MAL!!!!
La matriz ampliada es
17
3231
21
122
43
2
110
110
11
12
2
11
11
11
FFmFmF
FF
mm
m
m
mm
mm
m
m
m
m
m
m
m
A
143
43
2
100
110
11
mm
m
m
mm
mm
m
En este método, podemos tener problemas cuando el pivote que se utiliza en la diagonal principal es 0,
es decir, en el segundo paso, para 1m . Estudiaremos ese caso particular también.
Observamos la matriz ampliada triangularizada. En la diagonal principal la entrada 22a depende de m,
así como la entrada 33a . La entrada 122 ma se anula para 1m y la entrada 133 mma se
anula para 0m y 1m
Caso :1m
La matriz queda
14
7
3
200
000
111
1A
Y vemos que el rango de A es 2 y el de A es 3. Por tanto el sistema es incompatible.
Caso :0m
La matriz ampliada queda
4
4
2
000
110
101
0A
de donde se observa claramente que el rango de A es 2 y el de A es 3. Por tanto el sistema en este caso
es incompatible.
Caso :1m
La matriz ampliada queda
0
1
1
000
220
111
1A
de donde se observa que tanto el rango de A como el de A es 2. Como hay 3 incógnitas, por el teorema
de Rouché – Frobenius, el sistema es compatible indeterminado.
18
Para cualquier otro valor de m, ninguna de las entradas de la diagonal principal de la matriz
triangularizada es 0, y por tanto A y A tienen rango 3 y el sistema es compatible determinado.
Solución:
Para 0 ó 1 mm , el sistema es incompatible.
Para 1m , el sistema es compatible indeterminado.
Para 1,0,1Rm , el sistema es compatible determinado.
Ejemplo 13: (Discusión de un sistema con parámetros. Método de Gauss). Discutir para los distintos
valores del parámetro Rm , el siguiente sistema según sus soluciones.
bzx
bayx
bzyax
12
1
Solución:
Triangularizemos la matriz ampliada. En la medida de lo posible, intentaremos no tener parámetros en
las entradas de la diagonal principal.
1
13
110
20
101
1
1
11
02
101
1
1
101
02
11
31
2131 2
bab
b
b
a
a
b
b
b
a
a
b
b
b
a
a
AFaF
FFFF
13
1
200
110
101
13
1
20
110
101
2232
32
abaa
bab
b
aa
a
b
bab
b
a
aFaF
FF
Ahora que la matriz ampliada está triangularizada, podemos observar que la única entrada que depende
de algún parámetro es 2233 aaa . Esta entrada es 0 en los casos 1a y 2a . Particularicemos
en estos dos casos y veamos qué pasa con los rangos de A y A .
Caso :1a
La matriz ampliada queda
b
b
A
3
1
000
210
101
1
El rango de A es 2 y el de A es 2 cuando 0b y 3 si 0b . Por tanto el sistema es compatible
indeterminado si 0y 1 ba y es incompatible si 0y 1 ba .
Caso :2a
19
La matriz ampliada queda
33
13
000
110
101
2
b
b
b
A
Claramente se observa que el rango de A es 2, independientemente del valor de b y el rango de A es 3
cuando 1b y rango 2 cuando 1b . Por tanto, el sistema es compatible determinado cuando
1y 2 ba e incompatible cuando 1y 2 ba .
Caso R baa ,2,1 :
En este caso los tres pivotes de la diagonal principal son no nulos, de donde tanto el rango de A como
el de A es 3, que coincide con el número de incógnitas y, por el teorema de Rouché – Frobenius, el
sistema es compatible determinado.
Solución:
SCD,2,1
SI1,2
SCI1,2
SI0,1
SCI0,1
R
baa
ba
ba
ba
ba