5. MAGNETISMO5.1 Cargas en un campo magnético.

Representación gráfica útil:

I↑I

F

I

F

I

F

5.2 Efecto del campo magnético sobre una corriente.5.3 Dinámica de una carga en presencia de campos magnéticos y eléctricos.5.4 Dipolo magnético en un campo magnético.

(Origen relativista del campo magnético).

5.1 Cargas en un campo magnético.La fuerza mutua entre cargas fijas es la de Coulomb. Si las cargas se mueven aparece otra fuerza adicional sobre cada una de ellas cuyo comportamiento es más complejo. Para describir esta fuerza se utiliza el concepto de campo magnético B. Por lo tanto el campo magnético B tiene su origen en cargas que se mueven. En vez de ver como aparece B por el movimiento de una carga q, tal como hice con E por la presencia de una carga q, resulta más simple empezar por el efecto de B sobre una carga, olvidando de momento qué cargas han generado ese campo B (y también olvidando el origen relativista de B aunque haré una pequeña incursión es este punto):

Fuerza de Lorentz : BvqF

×=

q debe tener velocidad no nula

BFvF

⊥⊥

0|| =⇒ FBv

B obliga SÓLO a cambiar de dirección a q

OJO CON LOS SIGNOS DE LAS CARGAS

θsinqvBF =

mAN

segundometroculombioNewtonTesla

×=

×≡

/

F

v

B

θ

0>q

FUERZA NO CONSERVATIVA

0<q

Origen del magnetismo: teoría de la relatividad

+

v

R

+ + + + +- - - - -

L

v +

v

R

+ + + +- - - - -

+L

- - -−L

EqFE

=,

Contracción de Lorentz: los objetos que se mueven se contraen

L es la longitud contraída: 22 /1/ cvLL −=+

Análogamente por simetría: 22 /1 cvLL −=−

Densidad de carga vista: 2

2

...//cv

LQLQLQ ≈=−= −+σ

Fuerza sobre Q: qvBLcQv

Rkq

RkqqEF =≈== 2

222 σ

20

222 22122

RcI

RckI

ctRkQ

cv

RLkQB

πε==

∆==

BvqF

×=

F

vB

2/π

+

v

R

+ + + + +- - - - -

L

vF

B

RI

RI

RcIB

πµ

πεµε

πε 2220

0

002

0

===

+

v

R

+ + + + +- - - - -

L

q

Q

Q−

5.2 Efecto de B sobre una corriente eléctrica:

F

vB

0>q∑= iconductor FF

--++

++

++

++

++

++-

-- - --

--

--uniforme B

I← L

,...2,1 ,sin === iqvBBqvF iii θ

nLAqvB=

Número de electrones en la longitud del conductor: n*Vol=nLA

nqvAI =

Con la siguiente definición de longitud vector del hilo L: vector cuyo módulo es la longitud del hilo y dirección la de la intensidad que lo recorre, se escribe la fuerza del campo B sobre el hilo como: BLIF

×=

De aquí se llega a que si la longitud del hilo es pequeña: que se puede aplicar ahora a cualquier forma de hilo y en cualquier tipo de campo magnético.

BlIdFd

×=

(Compruebe que la dirección de la fuerza dada por las expresiones anteriores es la correcta ya sean las cargas que se mueven positivas, negativas o ambas.)

↓I

ld

Fd

B

ILB=1F 2F

3F

1FnLA×=

BLIF

×=

I← B

L

5.3 Dinámica de una carga en un campo magnético B uniforme:

B

RF v

0>qBvqF

×=Fuerza de Lorentz :qvBF =⇒v⊥B :

F⊥v, no hay aceleración tangencial, sólo normal: RmvmaF /2==⇒

RmvqvB /2=

qBmvR /=

Periodo ciclotrónico: qBmvRT /2.../2 ππ ===Frecuencia ciclotrónica: mqBTf π2//1 ==

Si inicialmente la velocidad no es perpendicular al campo magnético B, aquella se desdobla en una componente al paralela a B que no sufre ningún efecto manteniéndose constante (generando una trayectoria recta) y otra perpendicular a B que genera el movimiento ciclotrónico anterior. La combinación de los dos movimientos da como resultado una trayectoria helicoidal:

¡Dependen de q y m sólo como q/m!

B

||vvv += ⊥

qBmvR /⊥=

qBmT /2π=Tvhélicedepaso ||__ =

https://sites.google.com/site/physicsflash/home/cyclotron trayectoria en función de B y el signo de la cargahttp://webphysics.davidson.edu/physlet_resources/bu_semester2/c12_force.html

Órbita ciclotrónica de radio qBmvR /=

Caso más general (B uniforme):

Caso v ⊥ B (B uniforme):

Campo NO uniforme

Video http://en.wikipedia.org/wiki/Van_Allen_radiation_belt

confinamiento magnético

Reactor nuclear de fusión

Lentes magnéticas

Dinámica de una carga en campos magnético y eléctricos cruzados y uniformes:qvBFmagnética =

qEFelectrica =BvqFmagnética

×=

EqFelectrica

=

vEBv ⊥⊥⊥

Fe Fm paralelas y de sentido contrario

B

electricaF

v0>q

E

magnéticaF

qvBqEFneta −=

BEv /=

Ejemplo: selector de velocidades

BEv =

Para que siga un movimiento rectilíneo la fuerza neta debe ser cero: . En caso contrarioLa trayectoria se curva y la Fmag cambia de dirección(le fuerza eléctrica es independiente de la velocidad).

Para los iones en que la fuerza neta sea nula se debe verificar:

Modificando los campos E y B podemos seleccionar la velocidad deseada.

Carga en campos E y B uniformes http://www.phy.ntnu.edu.tw/ntnujava/index.php?topic=1431.0

Ejemplo: Experimento de J.J.Thomson

2

0

1211 2

121

∆==∆

vx

mqEaty

)0,0,( 0vv =

0

2

0

1222 v

xvx

mqEtvy final

∆∆==∆

2y∆

1y∆

1x∆ 2x∆

v

)0,0,( 0vv =

Velocidad antes de entrar en E

)0),(,( 0 tvvv y=

Velocidad en el campo E

)0,,( 0 yfinalfinal vvv =

Velocidad al salir de E

0

11 v

xmqEatvyfinal

∆==

( )21120

21 ... xxxvE

mqyyy ∆+∆∆==∆+∆=∆

( )211

20

xxyx

vE

qm

∆+∆∆∆

=⇒

http://www-outreach.phy.cam.ac.uk/camphy/electron/electron4_1.htm sobre el electrón

https://sites.google.com/site/physicsflash/home/thomson experimento de Thompson

http://www.hscphysics.edu.au/resource/template.swf experimento de Thompson

Resultado de Thompson para el electrón (1897): charge / mass ratio of 1.76 x 1011 C kg-1

Nobel Física 1906

?¿ 0vBEv =0

Ejemplo: espectrómetro de masaspc EE ∆−=∆

||21 2 Vqmv ∆=⇒

mrqBvqBmvr // =⇒=

||2

22

VrB

qm

∆=

Primero los iones se aceleran en el tramo recto debido a la diferencia de potencial ∆V:

Después B les obliga a seguir media trayectoria ciclotrónica cuyo radio debe ser

Sustituyendo esta expresión en la de la energía cinética se llega:

Separación de isótopos:

B

Fuente de +

−+

r

V∆

+

Selector de velocidades

F.W. Aston Nobel Química 1922

%25.9 %27.0 %48.90%23.24 %77.7510 protones + 10 +11 +12 neutrones

17 protones +18 20 neutrones

+ +Isótopos: misma carga distinta masa

espectrómetro de masas de bolsillo

Ejemplo: Ciclotrón

E.O. Lawrence (Nobel Física 1939) y su estudiante M.S.Livingston (11inch)

B

Fuente de cargas

~V∆

Radio máximo alcanzado (el del aparato): qBmvr /=mrqBv /=Velocidad máxima alcanzada

( )m

qBrEc

2

21

=Energía cinética máxima:

4.5 inch

GeV -TeV

184 inch

MeV-GeVCiclotrón muy interactivohttp://www.phy.ntnu.edu.tw/ntnujava/index.php?topic=2021.0

5.4 Dipolo magnético (espira) en un campo magnético uniforme

I

B

A

1a

1b

2b

2a

La disposición de la espira de corriente en el campo magnético uniforme determina las fuerzas sobre los cuatro brazos de la espira:

BLIF aa

11 =

BLIF aa

22 =

aaa LLL == 21

bbb LLL == 21

21 ab FLM

×=⇒

θθ sinsin2 BLILFLM abab ==⇒

BILFF aaa ==⇒ 21

BAIM

×=⇒

Los resultados son los mismos aunque la espira no sea rectangular

ANI

≡µSi hay N espiras: BM

×= µ⇒

11 bb FF

−=

LA ESPIRA SE ORIENTA DE MANERA QUE SEA MÁXIMO EL FLUJO DE CAMPO MAGNÉTICO

Iguales y actuando en la misma recta: efecto nulo Iguales y actuando en direcciones

paralelas: par de fuerzas

θsinIAB=

Definición de dipolomagnético de unaespira: AI

≡µ

B

×= µ

Recuerde la definición de dipolo eléctrico:

rqp ≡

A

I

1aF

2aF

θ

M B

B

Por otra parte el trabajo que se realiza para girar la espira debería ser igual a la pérdida de energía potencial, veamos que es así:

¿Tiene sentido? En equilibrio, µ||B es mínima …

02 222211 >=+= aaaaaa rdFrdFrdFdW

Definimos la energía potencial de una espira en B como: BEp

µ−=

I

B

B

ANIA

=µ ,

)2

cos(2 22 θπ−= aa drFdW

∫∫ −=−=θ

θ

θ

θ

θθµθθµ00

sinsin dBdBW

BILF aa 22 =

θθ sin2

2 BILdLa

b−=

θθdIABsin−=

θθµ dBsin−=θθ dLdrdr baa 2

)sin(22 −=−=

0coscos θµθµ BB −=

0coscos θµθµ BBWEp +−=−=∆ BBEp

µθµ −=−= cos

Dipolo eléctrico Dipolo magnético (la espira puede tener otra forma)

ANI

≡µ

BM

×= µ

BEp

µ−=

rqp ≡

EpM

×=

EpEp

−=

M

A

1aF

θ

B

θ

µ

2aF

θd2ar

1ar

2ard

ANI

≡µ

Hay una diferencia esencial entre las energías potenciales: para el caso magnético es una definición restringida al dipolo, ya que la fuerza de Lorentz no es conservativa.