4-raz mat 1ro (1 - 16)

CORPORACIN EDUCATIVA

Form

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tica e

duca

cin i

nteg

ral Primero de SecundariaSchools

Matemtico

Razonamiento

Somos un grupo de educadores que busca contribuir en la solucin de uno de los

mayores problemas de nuestro pas, la educacin, brindando una enseanza de alta calidad.

Nuestra I.E. propone una perspectiva integral y moderna, ofreciendo una formacin

personalizada basada en principios y valores; buscando el desarrollo integral de nuestros

estudiantes, impulsando sus capacidades para el xito en la vida profesional.

Es por esta razn que nuestro trabajo para este ao 2013 se da tambien con el trabajo de

los docentes a travs de Guas Didcticas que permitirn un mejor nivel acadmico y lograr

alcanzar la prctica que es lo que el alumno(a) requiere, porque nuestra meta que es:

Formar lderes con una autntica

educacin integral

DidcticoPresentacinPresentacin Somos un grupo de educadores que busca contribuir en la solucin de

uno de los mayores problemas de nuestro pas, la educacin, brindando

una enseanza de alta calidad.

En ese sentido es pertinente definir pblicamente la calidad

asocindola a las distintas dimensiones de la formacin de las personas:

desarrollo cognitivo, emocional, social, creativo, etc.

Nuestra Institucin Mentor Schools propone una perspectiva integral

y moderna, ofreciendo una formacin personalizada basada en principios

y valores; buscando el desarrollo integral de nuestros estudiantes,

impulsando sus capacidades para el xito en la vida profesional.

Es por esta razn que nuestro trabajo para este ao 2014 se da

tambin con el esfuerzo de los docentes a travs de Guas Didcticas que

permitirn un mejor nivel acadmico y lograr alcanzar la prctica que

es lo que el alumno(a) requiere, porque nuestra meta es:

Formar lderes con una autntica

educacin integral

Captulo 1. Lgica Recreativa ............................................................. 9

Captulo 2. Habilidad Operativa ......................................................... 18

Captulo 3. Resolucin de Ecuaciones ............................................... 25

Captulo 4. Planteo de ecuaciones ....................................................... 33

Captulo 5. Edades ................................................................................ 41

Captulo 6. Ordenamiento lineal, vertical y horizontal .................... 48

Captulo 7. Ordenamiento circular y Test de decisiones ................ 55

Captulo 8. Induccin Matemtica ..................................................... 62

Captulo 9. Fracciones I ......................................................................... 69

Captulo 10. Fracciones II ....................................................................... 77

Captulo 11. Tanto por ciento ................................................................ 84

Captulo 12. Operaciones Matemticas I ............................................. 92

Captulo 13. Sucesiones Numricas I ................................................... 99

Captulo 14. Series .................................................................................. 106

Captulo 15. Sucesiones Literales .......................................................... 113

Captulo 16. Conteo de Figuras ............................................................. 119

9Raz. Matemtico - 1ro Sec.

Formando lderes con una autntica educacin integral

Captulo

1Lgica Recreativa

Hallaremos en este tema ejercicios muy interesantes en los cuales tendrs que aplicar tu habilidad y destreza visual, usando conocimientos elementales de la geometra y la aritmtica, aunque en algunos tu ingenio e imaginacin.Encontrars ejercicios de diferente nivel, desde los bsicos hasta los complicados. Emplears tu creatividad hasta desarrollar tu habilidad analtica y esto te ayudar a desarrollar tu pensamiento creativo mediante el empleo de nuevos enfoques ingeniosos.

Hallaremos ejercicios de inters que para resolverlos aplicars tu destreza visual y habilidad mental; cambiando de posicin, colocando o quitando cerillas segn la conveniencia del ejercicio.

Cerillas

Se ha construido una casa utilizando 10 cerillas. Cambia en ella la posicin de dos cerillas, de tal forma que la casa aparezca de otro costado.

Resolucin:

REtiRando onCE CERillaS, dEja SEiS.

Resolucin:

Quito once cerillas

Cambio Quedara

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Una balanza, compuesta por nueve cerillas se halla en un estado de desequilibrio. Es preciso cambiar la posicin de cinco cerillas, de tal forma que la balanza quede en equilibrio.

Ejemplo 3:

10 Formando lderes con una autntica educacin integral

Raz. Matemtico - 1ro Sec.

Resolucin:

Quedara

13 2

4

Como se ve, las ocho cerillas forman en este caso catorce cuadrados. Retira dos cerillas y deja solo tres cuadrados.

Resolucin:

Quito 2 cerillas

Para el desarrollo de este tipo de ejercicios se sugiere utilizar la recta numrica comparando los nmeros con los das; as:

3 2 1 0 1 2 3

HoyAyerAnteayer MaanaPasado

Maana

Ejemplo 4:

relaCin de Tiempo

1. reCTa nUmriCa

Cambioaarom, puedes decirme, qu da ser el ayer de pasado maana si el ayer de maana es jueves?

S, Farid, pues yo estudi en Mentor y en un momento te dar la respuesta.

despus de aquella conversacin, aarom hizo lo siguiente:

Resolucin:

Considerando la siguiente analoga:

ahora el dato: ayer de maana jueves

1 +1

0 jueves

luego piden : El ayer de pasado maana

1 +2 +1

2 1 0 1 2

HoyAyerAnteayer MaanaPasadoMaana

despus de resolver, aarom le responde a Farid que ese da ser el viernes.

Si hoy es domingo, qu da ser el ayer de pasado maana de hace dos das?

Resolucin:

dato : 0 domingoPiden : 1 + 2 2 = 1

2 1 0 1 2

(Dato)jueves

(Piden) viernes

Rpta.: Sbado

2 1 0 1 2

sbado domingo

(Piden) (Dato)

Ejemplo 5:

Ejemplo 5:

Rpta.: Viernes

5

31 2

45

11



Sabiendo que el maana del anteayer del ayer de maana era martes, qu da ser el anteayer del maana de pasado maana?

dato : +1 2 1 + 1 martes 1 martes

Piden : 2 + 1 + 2 = +1

2 1 0 1 2

Martes Mircoles

(Dato) (Piden)

Jueves

Rpta.: Jueves

Ejemplo 7:

En este tema se presentan ejercicios referentes a las situaciones de relaciones familiares o parentesco, en los cuales los enunciados son de difcil comprensin, para lo cual nosotros haremos uso de nuestra habilidad mental para llevar a cabo el proceso lgicodeductivo que nos lleve a la solucin de los ejercicios. alumno Mentor, te sugerimos resolver los ejercicios realizando enfoques diferentes al pensamiento convencional.

aqu observaremos enunciados de difcil comprensin, pues los resolveremos graficando los personajes de manera coherente.

Mi nombre es Gisela. Qu parentesco tiene conmigo el to del hijo de la nica hermana de mi padre?

parenTesCo

Ejemplo 1:

Resolucin:

Hagamos un grfico.

Hermanosnica

hermana

de mi padre

(ta)

de padre

a hija

de to a sobrino

de madre

a hijo

Hijo de TaYo

(Gisela)

del cuadro, se deduce que mi padre es el to del hijo de su hermana.

Rpta.: ES mi padRE.

Qu parentesco tiene conmigo la comadre de la madrina del sobrino de mi nica hermana?

Resolucin:

Hagamos un grfico.

del cuadro se deduce que la persona buscada es mi esposa.

Ejemplo 2:

Esposos

Yo

Mi hijo

Relacin de madrina a

ahijado

Existe otra forma para resolver este tipo de problemas? Pues si escribimos el texto para analizarlo, y empezamos del final del texto hacia el inicio del mismo.

la comadre de la madrina del sobrino de mi nica hermana

Mi hijo

Mi comadre

Mi esposa

Rpta.: Esa persona es mi esposa.

Usualmente para este tipo de problemas se pide la cantidad mnima de personas que integran un grupo familiar, y para resolver esto, debemos relacionar la mayor cantidad posible de caractersticas a las personas para que su nmero sea mnimo.

CanTidad de inTegranTes de la familia

En un restaurante estaban cenando dos padres y dos hijos, cul es el menor nmero de personas que haba en el restaurante?

Ejemplo 3:



Resolucin:

Es decir que haba dos padres. Hagamos lo posible para que a la vez sean dos hijos, as:

Rpta.: La respuesta sera 3.

(abuelo)

(Padre)

Hijos

Padres

En este tema nos encontraremos con situaciones ingeniosas que exigen raciocinios hbiles para dar respuestas ingeniosas.

josu tiene un libro de 200 hojas, y su hermanito ngelo le arranca las pginas 12; 15; 20; 100; 121; 138; 140. Cuntas hojas le quedan?

Resolucin:

Pues obvio, si arranc la pgina 15 por ejemplo, tambin se habr arrancado la pgina 16. Sabes por qu?

Entonces se habr arrancado en realidad las pginas:

Rpta.: Quedan : 200 7 = 193 hojas

Un automvil recorre 8000 km permutando sus llantas (incluyendo la de repuesto). Para que todas tengan igual desgaste, qu distancia recorre cada llanta?

Resolucin:

Pues el automvil lleva siempre 5 llantas (una de repuesto), de las cuales cuatro de ellas siempre estn en movimiento.

8000 km

Como las 5 llantas se permutan, entonces cada llanta recorre:

4 x 80005 = 6400 km

Rpta.: 6400 km

Cul es el menor nmero de rectas que deben trazarse para dividir la figura en 6 regiones?

Resolucin:

deben trazarse dos, tal como se muestra a continuacin:

situaciones diversas

Ejemplo 4:

Ejemplo 5:

Ejemplo 6:

1 hoja 1 hoja 1 hoja 1 hoja 1 hoja 1 hoja 1 hoja

11; 12 15 ; 16 19;20 99;100 121;122 137;138 139;14065

43

2

1

13



Resolviendo en claseResolviendo en clase

Para ReforzarPara Reforzar

4) Retire siete palitos y deje ocho.

1) Quita cuatro palitos de fsforo de la figura, de tal manera que queden slo cinco cuadrados del mismo tamao.

5) Cuntos fsforos como mnimo debes quitar para que no quede ningn cuadrado?

Rpta: _____

2) la siguiente igualdad formada con palitos de fsforo es incorrecta. Cuntos cerillos debes mover como mnimo para que exprese una igualdad correcta?

3) la siguiente igualdad formada con palitos de fsforo es incorrecta. Cuntos cerillos debes mover como mnimo para que exprese una igualdad correcta?

4) Retirando cinco palitos de fsforo deja uno.

5) Cuntos fsforos como mnimo debes quitar para formar tres cuadrados?

6) Halla el mnimo nmero de palitos de fsforo que se deben mover en la figura para que el pez representado mire al otro lado.

1) Quita tres palitos de fsforo, de tal manera que queden slo tres cuadrados.

2) En el siguiente grfico, cul es el menor nmero de cerillas que se deben cambiar de lugar para obtener una igualdad correcta?

Rpta: _____

3) Cuntos fsforos como mnimo debes quitar para que en total se formen 5 cuadrados?

Rpta: _____

6) Cuntas bolitas se deben de mover como mnimo para que la figura se invierta?

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____ Rpta: _____



PROBLEMAS PARA CLASE N 1

Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2

Para el alumno:Para el alumno:Para el profesor:Para el profesor:

El ayer de ayer fue jueves. Qu da ser el maana de maana?

a) lunes b) Miercoles c) juevesd) Viernes e) Sbado

Si el ayer de maana es jueves, qu da es hoy?

a) lunes b) Martes c) Miercolesd) jueves e) Viernes

Si el anteayer de maana de pasado maana es viernes, qu da fue ayer?

a) jueves b) Martes c) Viernesd) Mircoles e) Sbado

Si el anteayer de ayer de maana de pasado maana es sbado, qu da fue anteayer de ayer?

a) lunes b) Martes c) Mircolesd) jueves e) Sbado

Resolucin:

Resolucin:

Resolucin:Resolucin:

15



Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4

Sabiendo que el maana del anteayer del maana de pasado maana es jueves, qu da ser el anteayer del ayer del maana de hace 2 das?

a) lunes b) Mircoles c) Viernesd) Sbado e) domingo

Si el pasado maana de ayer de anteayer de pasado maana es lunes, qu da ser el maana de ayer de anteayer de hace 3 das?

a) mircoles b) lunes c) martesd) domingo e) sbado

Resolucin:

Resolucin:

Qu parentesco tiene conmigo una persona que su madre fue la nica hija de mi madre?

a) Hermana b) abuela c) tad) Prima e) nieta

Qu parentesco tiene conmigo la hija de la esposa del nico vstago de mi madre?

a) Hermana b) Prima c) Sobrina d) Hija e) nieta

Resolucin: Resolucin:



5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:

la hermana del hijo de la hermana del hijo del hermano de mi padre es mi:

a) Mi prima b) Mi sobrina c) Mi tad) Mi nieta e) Mi cuada

Qu parentesco tiene conmigo un joven que es el hijo de la esposa del nico vstago de mi abuela?

a) Padre b) Hermano c) tod) Hijo e) Primo

Resolucin:

Resolucin:

Quin es el hombre que es el padre de la hija de la esposa del nico vstago de mi madre?

a) Yo mismo b) Hermano c) abuelod) to e) Primo

Qu parentesco tiene conmigo una persona que su madre fue la nica hija de mi madre?

a) Mi hermana b) Mi ta c) Mi madred) Mi cuada e) Mi sobrina

Resolucin:

Resolucin:

17



Clave:Clave:

Clave:Clave:

7

Sello y Firma del Profesor

7

8 8

NOTA

Qu parentesco tengo con la madre del nieto de mi padre si soy hijo nico?

a) Madre b) Esposa c) Sobrinad) Hija e) Prima

Pepe le dice a su pap que la hermana de su to no es su ta, su pap le responde: tienes razn. Quin es entonces la hermana de su to que no es su ta?

a) Madre b) Prima c) Hermanad) ta e) Sobrina

Qu parentesco tiene conmigo una mujer que es la hija de la esposa del nico vstago de mi madre?

a) Madre b) Hija c) Suegra d) Sobrina e) nieta

Qu parentesco tiene conmigo el hijo de la esposa del nico vstago de mi abuela?

a) Mi hijob) Mi hermanoc) Yo mismod) Mi padree) Puede ser b c

Resolucin:

Resolucin:




Captulo

2Habilidad Operativa

iniciaremos el captulo mediante el estudio de mtodos que nos permiten ahorrar tiempo en los clculos. Presentaremos algunos casos sobre el desarrollo abreviado de ciertas operaciones bsicas.

El dominio de los mtodos o mecanismos que planteamos slo requieren de prctica y habilidad.

deduzcamos el procedimiento.

1) 213 x 5 = ?

21302 213 x

102 = = 1065

2) 325 x 5 = ?

325 x 102 =

32502 = 1625

1. 832 x 5 = ........................

2. 4 783 x 5 = .......................

3. 92 432 x 5 = .......................

Para multiplicar por 5 se le agrega al nmero un cero a la derecha y el resultado se divide entre 2.

Regla Prctica

mUlTipliCaCin abreviada

1. mUlTipliCaCin por 5

Ejemplos:


Veamos el procedimiento:

1) 3874 x 11 = ?

3874 x 11 = 42614

0 3 8 7 4 4 2 6 1 4

+ + + +

3 874 x 11 3 8743 87442 614

Regla PrcticaPara multiplicar por 11, la ltima cifra se repite, las siguientes cifras del resultado se obtienen sumando de derecha a izquierda sucesivamente, hasta llegar a la primera cifra, que tambin se debe sumar con la cifra cero.

1. 87 x 11 = ............................

2. 456 x 11 = ............................

Ejemplos:


1) 24 x 15 = ? 24 x 15 = (24+12) x 10 = 360

Regla PrcticaPara multiplicar por 15, slo se le agrega su mitad y a este resultado se le multiplica por diez.

1. 82 x 15 = ............................

2. 341 x 15 = ..........................


19



deduzcamos el procedimiento:

1) 42 x 25 = ?

Regla PrcticaPara multiplicar por 25, al nmero se le agrega dos ceros a su derecha y el resultado se divide entre 4.

1. 429 x 25 = ............................

2. 926 x 25 = ............................

deduzcamos el procedimiento:

1) 3265 x 999 = ? Se agregan 3 ceros (son 3 nueves)

3265000 32653261735

Regla PrcticaPara multiplicar por cifras 9, se coloca a la derecha del nmero tantos ceros como nueves tenga el otro nmero y en seguida al nmero obtenido se le resta el nmero original.

1. 27 x 9999 = ............................

2. 563 x 999 = ............................

42 x 1004

= 4200

4 = 1050


Ejemplos:

5. mUlTipliCaCin por 9, 99, 999, 9999, ...

Ejemplos:

1) 31 x 12 = ?

6 131

12

3726+1

x x

ab x cd abcd

x

3 2 1

x

Regla Prctica


6. mUlTipliCaCin de 2 nmeros de 2 Cifras Cada Uno

1 Producto de las cifras de las unidades (b x d).2 Suma de los productos en aspa. (a x d) + (c x b)3 Producto de las cifras de las decenas (a x c).

1. 25 x 48 = ............................

2. 57 x 34 = ............................

Ejemplos:

Veamos el procedimiento:1) (14)2 = ? (14)2 = (14 + 4) (14 4) + 42

(14)2 = (18) (10) + 16 (14)2 = 196

ClCUlo de nmeros al CUadrado

1. CUadrado de Un nmero de 2 Cifras

1. (52)2 = ............................

2. (93)2 = ...........................

(ab)2 = (ab + b) (ab - b) + b2

Regla Prctica

Ejemplos:

1. (85)2 = ............................

2. (235)2 = ............................

1) (185)2 = 34225

x 19

(n5)2 = .............25

x(n + 1)

Regla Prctica

2. CUadrado de Un nmero qUe Termina en 5deduzcamos el procedimiento:

Ejemplos:





6) Resuelve: n = 652 + 57 x 11

Rpta: _____

6) Resuelve: R = 352 + 38 x 11 + 21 x 34

4) Cul es el resultado de la expresin C? C = (xa)(x b)(x c) ... (x z)

2) Halla la suma de cifras de n, luego de efectuar: n = 172 x 999

Rpta: _____

1) Halla con rapidez el valor de a +b + c, si:4 321 x 11 = 4abc1

2) Halla a + b + c, si: 132 x 99 = a30bc

3) Halla a + b, sabiendo que:(5a)2 = b025

5) Halla a + b, sabiendo que:(3a)2 = 11b6

1) determina a + b, si: 23 x 11 = 2ba

Rpta: _____

3) determina a + b, si:(b5)2 = ab5

Rpta: _____

4) En qu cifra termina el resultado de: E = 2 x 4 x 6 x .... ; (n 5)

n factores

Rpta: _____

5) Hallar a + b:(3a)2 = 13b9

Rpta: _____

Rpta: _____ Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

21




Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2


Si MESa x 9999 = ... 2568 Halla M + E + S + a.

a) 12 b) 13 c) 14d) 15 e) 18

Si: PatY x 999 = ...7341 Halle P+a+t+Y

a) 20 b) 24 c) 22d) 21 e) 25

Calcula la suma de cifras de n, luego de efectuar:

n =11 x 101 x 10001 x 100000001

a) 10 b) 16 c) 8d) 32 e) 12


Resolucin:

Resolucin:

Si lUZ x 1001 = ...374, halla l + U + Z.

a) 12 b) 15 c) 13d) 16 e) 14



Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4 Si: a2b3 . 11 = 35 673 indique el valor de a + b

a) 3 b) 5 c) 7d) 9 e) 11

Si: mnp2 . 11 = 6 892 indique P - (m+n)

a) 2 b) 1 c) 3d) 0 e) 4


Halla las tres ltimas cifras de "a", si: a x 13 = ... 906 a x 47 = ... 814

a) 752 b) 543 c) 762d) 628 e) 482


Halla las tres ltimas cifras de n si: n x 18 = ... 8428 ... (1) n x 28 = ... 0888 ... (2)

a) 182 b) 426 c) 828d) 642 e) 246

23



5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:

Resolucin:

Resolucin:

Resolucin:

Resolucin:

Calcula: a2 + 2B - C si: 11 x a = 187 (B5)2 = 2025 11 x C = 341

a) 295 b) 266 c) 256d) 281 e) 315

Halla 3a + B2 + C si: (aB5)2 = 15 625 11 x C = 1078

a) 127 b) 138 c) 181d) 150 e) 132

Halla la ltima cifra, luego de efectuar el producto:

P = (22004+1)(22003+1)(22002+1)...(22+1)

a) 4 b) 5 c) 7d) 9 e) 6

En qu cifra termina M = (10+1)(102+3)(103+5)(10500+999)+4?

a) 5 b) 7 c) 9d) 0 e) 6



Clave:Clave:

Clave:Clave:

7


7

8 8

NOTA

Efectua y da como respuesta la suma de cifras de "a"

a) 68 b) 34 c) 17d) 51 e) 75


Efecta y dar como respuesta la suma de cifras de a.

a) 12/25 b) 25/12 c) 12d) Faltan datos e) 48

a = 1225 +

12122525+

121212252525+ ...

100 sumandos64

17 1717 171717

16 1616 161616= + + +

sumandos

a ...

Resolucin:

Resolucin:

14 2

1 5 34 2 6 1

1 5 3 4 24 2 6 1 5 3

1 5 3 4 2 6 1

* * * * * e d c b a

+

Si la suma posee 60 sumandos:

halla a + b + c - d - e

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

Hallar (a + b + c + d), si:

a) 17 b) 24 c) 23d) 26 e) 28

77777 ..... 7777 + 7777 ..... 7777 777 ..... 7777 ............. 7777 777 77 7

. . . dcba

50 trminos

25



Captulo

3Resolucinde Ecuaciones

3 x + 5 = 11 solucin: x = 2

incgnita

igualdad

x 2 = 4 soluciones:

incgnita

igualdad

eCUaCin

2. ClasifiCaCin de las eCUaCiones segn sUs solUCiones

Es una relacin de igualdad que se establece entre dos expresiones matemticas que tienen como mnimo una variable. a las variables que intervienen en una ecuacin se les denomina incgnitas y a los valores que satisfacen la igualdad se les llama soluciones de la ecuacin.

Ejemplo:

Pueden ser compatibles o incompatibles:

ecuacin compatibleEs aquella que tiene al menos una solucin posible. Se subdivide en:

DeterminadaSi tiene un nmero finito de soluciones.

1. definiCin

3x + 2 = 14 tiene una solucin: 4

x = 2 x = -2

ecuacin incompatible Es aquella que no tiene solucin posible.

x + 3 = x - 3

0 . x = 3

* 4(x + 3) + 2 = 3(x + 2) - 5 + x 4x + 12 + 2 = 3x + 6 - 5 + x 4x - 4x = 1 - 14 0 = -13

Conjunto de ecuaciones cuyas soluciones comunes se busca obtener en caso que existan.

x + y = 5x - y = 3

(Sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas.)

x2 = 16 tiene dos soluciones: 4 y -4* 3x + 5 = 2x + 11 x = 6

IndeterminadaSi tiene infinitas soluciones.

Ejemplos:

x - 5 = x - 3 - 2 x - 1 ; x 0 * 5(x + 3) + 7 = 4(x + 3) + x + 10 5x+ 15 + 7 = 4x + 12 + x + 10 5x - 5x = 22 - 22 0 = 0

Ejemplos:

3. sisTema de eCUaCiones

Ejemplo:



x = 4y = 1Solucin:

ya que satisface ambas ecuaciones

Hay diversas formas de resolver un sistema de ecuaciones, nosotros nos centraremos en resolver utilizando los siguientes mtodos:- Mtodo de reduccin o eliminacin.- Mtodo de sustitucin.- Mtodo de igualacin.

Por reduccin o eliminacinMultiplicamos la ecuacin (ii) por 3 y luego sumamos, con lo cual eliminaremos la incgnita y y obtendremos el valor de x.

2x + 3y = 139x - 3y = 9

11x = 22

x = 2

Conocido el valor x se reemplaza en (i) o (ii) para determinar el valor de y.

Reemplazamos en (i):2(2) + 3y = 13

y = 3

x = 2y = 3

Solucin:

Ejemplo:

Resuelve el sistema siguiente:

2x + 3y = 13 ... (i)3x - y = 3 ... (ii)

utilizando los tres mtodos mencionados.

Resolucin:

Por sustitucinde (ii) despejamos la variable y para luego reemplazarlo en (i).

3x - y = 3 3x - 3 = y .... a

2x + 3 y = 132x + 3(3x - 3) = 132x + 9x - 9 = 13 x = 2

Con x conocido, reemplazamos en a y hallamos y.

y = 3

Por igualacinde(i) y (ii) despejamos x o y, en este caso vamos a despejar y.

de i: 2x + 3y = 13 3y = 13 - 2x

y =

de ii: 3x - y = 3 3x - 3 = y ... B

igualando a y B :

13 - 2x3

... a

13 - 2x3

= 3x - 3 13 - 2x = 9x - 9 22 = 11x x = 2

Reemplazando en a o B obtenemos:

y = 3

EJERCICIOS RESUELTOS

1. Resuelve: 3(x - 7) + 5 = 2x + 4

Primero desaparecemos los parntesis, multiplicando 3 por (x - 7).

transponiendo trminos:3x - 2x = 4 - 5 + 21 x = 20

3x - 21 + 5 = 2x + 4

Resolucin:

nicols oresme (1323 - 1382) fue probablemente el primero en usar el signo + para la suma en su libro Algorismus proportionum, escrito supuestamente entre 1356 y 1361. anteriormente + se escriba et del latn y. despus tambin se uso p (plus).

+

27



2. Resuelve: (x + 3)2 + 7 = (x + 6) (x + 4)

Primero desaparecemos los parntesis, aplicando productos notables.

(x + 3)2 + 7 = (x + 6) (x + 4)

Se tiene:

x2 + 6x + 9 + 7= x2 + 10x + 24

transponiendo y agrupando trminos:9 + 7 - 24 = x2 - x2 - 6x + 10x

Reduciendo: -8 = 4xluego: -2 = x

Observacin: nota que se procura tener a la incgnita con coeficiente positivo.

3. Resuelve: 10x + 2x + 3(x + 8) - 30 = 0

Efectuando el parntesis:

10x + 2x + 3x + 24 - 30 = 0

15 x - 6 = 0

Resolucin:

Resolucin:

despejando x: 15x = 6

x = 615

4. Resuelve:

2 4 9 12 21 2 9 6 21 1 9 3 31 1 3 1 31 1 1 1

3x2

+ 14 =

13x9 +

512

MCM = 2 x 2 x 3 x 3MCM = 36

18 (3x) + 9(1) = 4(13x) + 3(5) 54x + 9 = 52x + 15 54x - 52x = 15 - 9 2x = 6 x = 3

5. Resuelve:

x = 4x2 - 5x + 50 - x

x + x = 4x2 - 5x + 50

2x = 4x2 - 5x + 50

Elevando al cuadrado:

(2x)2 = 4x2 - 5x + 50 4x2 = 4x2 - 5x + 50 0 = -5x + 50

x = 505

x = 10

Resolucin:

Resolucin:





6) Resuelve: 5(x - 2) + 3x = 2(3x + 4)

Rpta: _____

5) Indica el valor que verifica: 3(x - 1) + 4(x + 2) = 26

Rpta: _____

1) Halla "x": 3x - 1 = x + 9

Rpta: _____

2) Halla "x": 5(x - 1) + 3(x + 2) = 7(x + 1)

Rpta: _____

1) Halla "x": 2x + 3 = x + 5

2) Halla "x": 3(2x + 14) + 20 = 6(3x - 5)- 28

3) Halla "x":2x + 6

4= 3x - 7

5

6) Halla x en la ecuacin: 3(x - 1) - 4(5 - x)= 2(6 + x)

5) Resuelve: 3(x + 1) + 4(x - 2) = 16

4) Halla "x":3 x2

- x5 =

x10

+ 12

3) Resuelve:

Rpta: _____

4(x - 2)5 =

2(5 - x)2

4) Resuelve:

Rpta: _____

x - 12

+ x - 24 = 2

Rpta: _____Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

29




Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2


Resuelve:

a) 12 b) -8 c) 8d) 9 e) -6



Resuelve: (-x -4) - (4x - 2 + 3) = -(6x - 8) + (2x - 4 + 3)

a) 7 b) 5 c) -12d) 8 e) -5

Resuelve: 5(x + 8) + 4(x - 6) = 71

a) 6 1/9 b) 5 3/7 c) 5 2/9d) 6 2/3 e) 6

-2x - 1

3=3x +

x + 1324

5(x + 1)8

Resuelve:

a) -12 b) 8 c) 15d) -7 e) 9

12

+ x - x6 =

13

+ 16 - 2 x9



Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4 Si: a + b = 12 b + c = 8 c + a = 6 Calcular: "a"

a) 3 b) 4 c) 7d) 5 e) 6


Si x + y = 12 y + z = 8 x + z = 10 Calcula x + y + z

a) 15 b) 12 c) 14d) 11 e) 13

Resolucin:

Resolucin:

Resuelve: 3x + 2y = 18 x - y = -4

a) x = 2 b) x = 4 c) x = 2 y = 2 y = 3 y = 6

b) x = 3 e) x = 5 y = 6 y = 6

Calcula a + b, si: 3a - 8 = -b a = b + 4

a) -1 b) 3 c) 0d) 4 e) 2

31



5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:

Resolucin:

Resolucin:


Si: a - b + c = 5 b - c + d = 7 c - d - e = 4 a + b + d = 9 e - a + f = 2 , Calcula: 2(a + b + c + d + f).

a) 27 b) 26 c) 54d) -28 e) -14

Si x = 2y 2y = 3z x + y + z = 11, halla x + 2 y + 2z .

a) 32 b) 18 c) 26d) 29 e) 27

Calcula "x" en: 5x = 4y x(x + 2y) = (9 + y) (9 - y)

a) 3 b) 5 c) 3.5d) 6 e) 4

Si: 4 y = 9 x y - x = 40 , calcula "x".

a) 24 b) 48 c) 32d) 56 e) 40



Clave:Clave:

Clave:Clave:

7


7

8 8

NOTA

Calcule el valor de "a" en:

a) mn

b) mn 1

c) mn 1+

d) m nm n

+

e) mn

Resolucin:

Resolucin:

Resolucin:

Resolucin:

Indica el valor de x que verifica las siguientes igualdades:

a) 12 b) -8 c) 8d) 9 e) -6

-x2

x4

x = - 9

Resuelve:

a) 10 b) 5 c) 13d) -6 e) 12

x + 52x - 2

= 34

Calcula el valor de "x" en:

a) a b) ab c) bd) a - b e) a+b

x +1x - 1 =

a + b + 1a + b -1

1 1

1 1

+=

+ + a m na m n

33



Captulo

4Planteo deEcuaciones

aspeCTos elemenTales

Es una igualdad conformada por nmeros e incgnitas en la que nuestra finalidad ser hallar el valor de la variable.

1. qU es Una eCUaCin?

2. para qU esTUdiamos esTe Tema?

Para desarrollar y utilizar en forma adecuada la

notacin y el vocablo, para poder representar acciones

y resultados relacionados con el mundo real y la vida

diaria con sus situaciones problemticas.

la comunicacin es una actividad muy importante

para la vida y desarrollo de todo ser, pues as se

pueden transmitir situaciones de peligro, de hambre,

de malestar, etc. Por ejemplo, los animales, para

poder comunicarse, han logrado diferentes tipos de

lenguaje, algunos tan sorprendentes y sofisticados

como en el caso de los delfines o los murcilagos

(que inclusive llevaron al hombre a inventar el

radar). Estos animalitos emiten seales sonoras

de alta frecuencia, imperceptibles al odo humano.

Existen otros lenguajes, quizs, ms sencillos de

comprender como es el caso del perro. Es sabido que

al llegar a casa, l te recibir saludndote moviendo

la colita. sta es un seal de afecto. o tambin cuando

en algn momento al acercanos nos grue; sta es una

seal de incomodidad.

El ser humano, lgicamente, no escapa a esta caracterstica;

sin embargo l ha logrado desarrollar diferentes tipos

de lenguaje, como por ejemplo: el lenguaje simblico,

el lenguaje cromtico, el lenguaje gestual, el lenguaje

matemtico, el lenguaje textual, etc.

Observa los siguientes grficos:

Indica peligro Indica proceso correcto

Indica primeros auxilios

Indica servicios higinicos

masculinos

Estos corresponden al lenguaje simblico.

Cuando caminas por la calle y el semforo est en rojo, para ti indica que puedes cruzar la pista. Cuando vas a la playa y ves una bandera de color rojo, nos indica que el mar est



demasiado agitado y por lo tanto no debes nadar. Estos son ejemplos del lenguaje cromtico.

Indica que algo est correcto

Indica silencio

Indica que algo est incorrecto

En el lenguaje matemtico hacemos uso de los nmeros (que en realidad son los numerales) y de algunas operaciones conocidas (suma: +; resta: - ; multiplicacin: x; etc.)

observa los ejemplos:

8 + 2 x 34 ; 6 - 498

2

En el lenguaje textual hacemos uso de las letras (que en realidad son grafemas) y las reglas gramaticales. Un ejemplo de este lenguaje es todo lo que has ledo anteriormente.

todos estos ejemplos han sido vistos, porque en el tema de hoy relacionaremos dos lenguajes: el matemtico y el textual, interpre-tndolos de manera adecuada para la solucin de problemas.

En este tema no hay una teora nueva. todas las herramientas que necesitas para solucionar problemas, t ya las conoces.Quizs lo ms dificultoso que puede haber es interpretar adecuadamente el lenguaje textual y traducirlo al lenguaje matemtico. no hay una regla especfica para esta traduccin, sin embargo, aqu tienes unos ejemplos que de seguro te ayudarn.

Lenguaje Textual

Lenguaje Matemtico

la suma de dos nmeros.

la suma de los cuadrados de dos nmeros.

El cuadrado de la suma de dos nmeros.

la suma de dos nmeros consecutivos.

El cudruple de lo que tengo, aumentado en 20.

El cudruple, de lo que tengo aumentado en 20.

x + y

a2 + b2

(a + b)2

x + (x + 1)

4x + 20; tengo x

4(x + 20); tengo x

parTe TeriCa

El asterico, para representar la multiplicacin proviene de johann Rahn (1622 - 1676), quien en 1659 lo us en su libro Teutsche lgebra.

1. lee cuidadosamente el problema y estudialo hasta que quede perfectamente clara la situacin que se plantea.

2. Identifica las cantidades compren-didas en el problema, tanto las conocidas como las desconocidas.

3. Planteo del problema: Se elige la incgnita por una letra, x por ejemplo y se efecta con ella y con los datos, las operaciones que indique el enunciado.

1. mTodo para la resolUCin de Un problema

dicha ecuacin se resuelve segn las reglas que se enunciaron.

* Observacin: Para el planteo de una ecuacin es importante tener en cuenta la coma, veamos.

resolucin de la ecuacin

Ejemplo:

El triple de un nmero, aumentado en 8

3x + 8

El triple, de un nmero aumentado en 8

3(x + 8)

35




1. Halla un nmero, tal que al agregarle 432 obtendremos su triple disminuido en 8.

El nmero es: n

n + 432 = 3n - 8 440 = 2n n = 220

* Si la expresin hubiera sido: El triple de la diferencia del nmero con 8, se simbolizara as:

3(n - 8)

El nmero es 220.

2. Una habitacin rectangular tiene de largo tres veces su anchura y su permetro mide 24 m. Halla las dimensiones del rectngulo.

3 x

x

dato del problema:3x + 3x + x + x = permetro

8x = 24x = 3

luego, las dimensiones son: largo = 9 ancho = 3

3. En una reunin hay 64 personas, siendo el nmero de nios el triple de los adultos. Cuntos son nios y adultos?

Si x es el nmero de adultos, el de nios ser 3x.

Sea el rectngulo de ancho "x"

Resolucin:

Resolucin:

Resolucin:

Segn el enunciado: x + 3x = 64 4x = 64 x = 16

luego; los reunidos son: adultos = 16 nios = 3x16 = 48

4. Halla tres nmeros pares consecutivos que sumados den 216.

Si llamamos x al primero, entonces x + 2 y x + 4 sern los otros dos.

Segn el enunciado:

x + (x + 2) + (x + 4) = 216x + x + x + 6 = 216

3x + 6 = 2163x = 210x = 70

los nmeros son 70; 72 ; 74

5. Halla dos nmeros que sumados den 300 y restados 200.

llamemos x al mayor de ambos, el menor valdr 300 - x, la diferencia de ambos nmeros es 200 que se formular por la ecuacin:

x - (300 - x) = 200

Eliminando el parntesis:

x - 300 + x = 2002x = 500x = 250

El mayor: 250 El menor: 50

Resolucin:

Resolucin:





1) la cuarta parte de un nmero es 20. El triple de dicho nmero es:

2) la suma de dos nmeros pares consecutivos es 110. Halla el menor de los nmeros.

3) la suma de un nmero con su doble, su triple y su cudruplo es 110. Cul es el nmero?

6) Si al doble de un nmero natural, aumentado en 3 se eleva al cuadrado, resulta mayor en 10 que 111. El cudruple del nmero es:

4) la diferencia de dos nmeros es 36. Si al mayor se le disminuye en 12 se tiene el cudruple del menor. Halla el producto de los nmeros dados.

5) El exceso del triple de un nmero sobre 55 equivale al exceso de 233 sobre el nmero. Halla el nmero.

1) la mitad de un nmero es 29, cul es el nmero?

Rpta: _____

2) la suma de dos nmeros impares consecutivos es 112. Halla el mayor de los nmeros.

Rpta: _____

3) Halla un nmero, tal que al agregarle 504 obtenemos su triple disminuido en 8.

Rpta: _____

4) Halla dos nmeros consecutivos, tales que el cudruple del mayor disminuido en el triple del menor nos da 23.

Rpta: _____

6) Cuntos buzos tiene diego si sabemos que al octuplicarlos y restarle ocho, obtenemos siete veces dicha cantidad aumentada en tres?

Rpta: _____

5) El exceso de 15 sobre 8 es igual al exceso de a sobre 2. Cunto vale a?

Rpta: _____

Rpta: _____Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

37




Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2


Una casaca cuesta igual que cierto reloj, pero el costo de una camisa es la tercera parte del costo de dicho reloj. Si la casaca y la camisa juntas cuesta 80 soles, cunto cuesta la camisa?

a) 20 b) 40 c) 60d) 80 e) 100

Un padre compra para su hijo una corbata y una camisa por 300 soles. Si el precio de la camisa es el cudruplo que el de la corbata, cunto vale la corbata?

a) S/. 60 b) S/. 70 c) S/. 80d) S/. 90 e) S/. 65

El permetro de un rectngulo es de 84 m. Si el largo excede en 8 m al ancho, cul es el rea del rectngulo?

a) 400 m2 b) 420 m2 c) 240 m2

d) 360 m2 e) 425 m2

Si los tres lados de un tringulo miden 2x+3, 3x - 1 y 4x + 3 centmetros y el permetro de la figura es de 23 cm, indica el mayor de estos lados.

a) 3 b) 5 c) 7d) 11 e) 13


Resolucin:

Resolucin:



Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4 En una fiesta el nmero de hombres es cinco veces ms que el nmero de mujeres. Si en total hay 42 personas entre hombres y mujeres, cuntos hombres hay?

a) 36 b) 35 c) 6d) 7 e) 5

Resolucin:

Resolucin:

El nmero de hombres es cinco veces el nmero de mujeres. Si en total hay 42 personas entre hombres y mujeres, cuntas mujeres hay?

a) 7 b) 10 c) 5d) 15 e) 35

Subiendo la escalera de tres en tres, Rosa da seis pasos ms que subiendo de cinco en cinco. Cuntos peldaos tiene la escalera?

a) 45 b) 50 c) 40d) 35 e) 25

Una escalera tiene "x" escalones, si subimos de 4 en 4 escalones damos 10 pasos ms que subiendo de 5 en 5. indique el valor de "x".

a) 20 b) 210 c) 150d) 200 e) 250


39



5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:

david y Sonia tienen juntos S/. 480 pero Sonia tiene S/. 60 ms que david. Cunto tiene david?

a) S/. 270 b) S/. 240 c) S/. 210d) S/. 180 e) S/. 220

El exceso del triple de un nmero sobre 55 equivale al exceso de 233 sobre el nmero. Halla el nmero.

a) 72 b) 80 c) 64d) 56 e) 76



la cola de un lagarto mide 8 cm y el cuerpo mide el triple de su cabeza. Si el lagarto tiene 32 cm de largo, qu longitud tiene la cabeza?

a) 5 cm b) 6 cm c) 7 cmd) 8 cm e) 12 cm

El triple del exceso de un nmero equivale al cudruple del exceso del mismo nmero sobre 30. Halla el mencionado nmero.

a) 50 b) 60 c) 65d) 45 e) 55



Clave:Clave:

Clave:Clave:

7


7

8 8

NOTA

Entre a, B y C tienen 140 soles. Si C tiene la mitad de a y a tiene 10 soles ms que B, cun-to tiene a?

a) S/. 60 b) S/. 30 c) S/. 50d) S/. 40 e) S/. 45

los pasajes en microbs valen S/.0.80 y S/.1.50 para universitarios y adultos, respectivamente. luego de una vuelta en la que viajaron 80 de esas personas se recaud S/. 78. Cuntos universitarios viajaron?

a) 40 b) 60 c) 80d) 50 e) 70

Entre a, B y C tienen 210 soles. Si B tiene la mitad de a y la cuarta parte de C. indique la cantidad de C.

a) S/.120 b) S/.150 c) S/.60d) S/.90 e9 S/.100

Entre ocho personas tienen que pagar en partes iguales S/. 200. Como algunos de ellos no pueden hacerlo cada uno de los restantes tiene que pagar S/. 15 ms. Cuntas personas no pagaron?

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7


Resolucin:

Resolucin:

41



Captulo

5Edades

1. inTrodUCCin

En todo problema sobre edades se pueden distinguir principalmente tres elementos: sujetos, tiempos y edades. Sobre ellos trataremos a continuacin.

debido a que estos problemas sobre edades tienen un texto que debemos interpretar y traducir, cabe plantear la siguiente interrogante: Por qu no se estudiaron este tipo de problemas en el captulo anterior sobre planteo de ecuaciones?

lo que sucede es que esta clase de ejercicios pueden ser resueltos empleando formas particulares y prcticas muy interesantes y efectivas (incluso sin ecuaciones), y es por ello que ameritan ser tratados en un captulo aparte en el cual se propondrn otras tcnicas de planteo y resolucin de problemas.

la importancia del tema aqu desarrollado, queda en evidencia por cuanto contribuye a enriquecer nuestro conocimiento de otras tcnicas de planteo y resolucin de ecuaciones, y consolida las ya estudiadas en el captulo anterior.

2. observaCin

3. noCiones previas

3.1. sujetos

Son los protagonistas del problema, a quienes corresponden las edades y que intervienen en el problema.Ejemplo: Gisela es cinco aos menor que jorge pero tres aos mayor que janeth.

3.2. Tiempos

Es uno de los elementos ms importantes, ya que las condiciones del problema ocurren en tiempos diferentes (pasado, presente o futuro) y todo depende de su correcta interpretacin. Es decir:

PresenteEn un problema existe un solo presente. Se le identifica por las siguientes expresiones:

tengo... tenemos... tienes... Hoy la edad... la suma de nuestras edades es..., etc.

PasadoEn un problema pueden darse uno o ms pasados. Se le identifica por las siguientes expresiones:

Hace... tenamos... tuvimos ... tena, tuve, ... tenas, tuviste, ... la suma de nuestras edades fue..., etc.

Tiempos Expresiones

FuturoEn un problema pueden darse uno o ms futuros. Se le identifica por las siguientes expresiones:

dentro de... tendr... tendremos, tuvisemos, tendrs, ... la suma de nuestras edades ser..., etc.



la edad representa el tiempo de vida de un sujeto. Entre las edades se establecen determinadas relaciones, llamadas condiciones, las cuales se cumplen en un mismo tiempo o entre tiempos diferentes.

Hoy tengo 26 aos, pero dentro de cuatro aos tendr el doble de la edad que tena hace 11 aos.

Tiempo Edad

Hace 11 aos 15Hoy 26

dentro de 4 aos 30

Para facilitar su resolucin, clasificaremos los problemas en dos tipos.

3.3. edad

Ejemplo:

* Con un solo sujeto

Cuando interviene la edad de un solo sujeto.

dentro de 20 aos tendr tres veces la edad que tena hace 10 aos. Qu edad tuve hace tres aos?

Por condicin del problema:

x + 20 = 3(x - 10) x + 20 = 3x - 3020 + 30 = 3x - x 50 = 2xx = 25 Edad actual es 25 aos. Hace tres aos tuve 22 aos.

asumiendo la edad actual x aos:

Cuando intervienen las edades de dos o ms sujetos.

la edad de Sara es el triple de ngel y dentro de 5 aos ambas edades sumarn 46 aos. En la actualidad ngel tiene:

Ejemplo:

Resolucin:

x - 10 xpasado presente futuro

hace 10 aos

dentro de20 aos

x+20

* Con varios sujetos

Ejemplo:

Resolucin:

Sara

ngel

3x

x

3x+5

desarrollemos el cuadro:

Presente Pasado

x+5

dentro de 5

dentro de 5

Por condicin del problema:3x + 5 + x + 5 = 46 4x = 36x = 9 (Edad de ngel)

Respuesta: 9 aos

1. Hoy tengo 20 aos, podras decir qu edad tena hace seis aos y cuntos aos cumplir dentro de ocho aos?

20 aos

tiempo Presente

hoy tengo

hace 6 aos

dentrode 8 aos

Resolucin:

2. Cuatro veces la edad que tendr dentro de 10 aos, menos tres veces la edad que tena hace cinco aos, resulta el doble de mi edad actual. Cunto me falta para cumplir 60 aos?

Por condicin del problema:

4(x + 10) - 3(x - 5) = 2x x + 55 = 2x x = 55 (edad actual)

Para cumplir 60 aos me faltan: 60 - 55 = 5 aos

Resolucin:

x - 5 xpasado presente futuro

hace 5 aos

dentro de10 aos

x+10


43





1) dentro de 34 aos lizet tendr 63 aos. Qu edad tiene actualmente?

1) Si Margarita tiene 13 aos, cunto le falta para tener 67 aos?

2) dentro de 26 aos abel tendr 71 aos. Cuntos aos tiene actualmente?

2) juana es 15 aos mayor que su hermano Pepe quien tiene 9 aos. Cul es la suma de las edades de los dos?

4) Yo tengo 9 aos y mi mam, cuatro veces mi edad. Cuntos aos tiene mi mam?

3) Sally tiene 8 aos y Mara 15 aos. Cul ser la suma de sus edades dentro de tres aos?

3) Una madre tena 22 aos cuando naci su hija. Cul ser la edad de la madre cuando su hija cumpla 17 aos?

4) Si a la edad actual de Pedro le aumentas 16 y le disminuyes 9 te da 24. Cuntos aos tiene Pedro?

5) Betty tiene la mitad de la edad de Melanie, Melanie el triple de la edad de lizet. Si lizet tiene 8 aos, cul es la suma de las 3 edades?

5) Patricio este ao cumple 19 aos. En qu ao naci Patricio?

6) julia naci en 1986. En qu ao cumplir 32 aos?

6) Hace 10 aos tena 5 aos. Qu edad tendr dentro de 6 aos?

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____



Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2



Si tengo 32 aos, dentro de cuntos aos tendr el doble de la edad que tena hace 12 aos?

a) 10 b) 12 c) 6d) 4 e) 8

dentro de 10 aos mi edad ser el doble de la edad que tuve hace 10 aos. Cuntos aos tengo?

a) 29 b) 32 c) 30d) 31 e) 33

dentro de 13 aos el joven Miguel, tendr ocho veces la edad que tena hace ocho aos. Cul ser su edad dentro de 24 aos? a) 35 aos b) 50 aos c) 40 aosd) 55 aos e) 45 aos

dentro de dos aos tendr el doble de la edad que tena hace ocho aos. Cul es mi edad actual?

a) 16 aos b) 22 aos c) 24 aos d) 18 aos e) 15 aos



45



Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4

Qu edad tengo si la edad que tena hace 10 aos es a la edad que tendr dentro de 50 aos como 1 es a 4?


Hace ocho aos la edad de a era el triple que la de B y dentro de cuatro aos la edad de B ser los 5/9 de la de a. Halla la edad actual de a. a) 16 aos b) 18 aos c) 32 aosd) 36 aos e) 24 aos

dado el siguiente esquema, halla 2x.

a) 8 b) 12 c) 18d) 16 e) 20

Pasado Presente

liliMal

3 x26

385 x

En el siguiente esquema, halla x

a) 31 b) 34 c) 32d) 30 e) 28

Pasado Presente

alfredoluis

3024

36x





5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:

Si tengo 24 aos, hace cuntos aos tena la mitad de la edad que tendr dentro de 16 aos?

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

Mirtha dice: dentro de 16 aos mi edad ser tres veces la edad que tena hace dos aos. Qu edad tengo?


Scarlet le plantea a una de sus hermanas el si-guiente problema: Hace 10 aos tena la mitad de la edad que tendr dentro de 8 aos. Qu edad tiene Scarlet?

a) 28 aos b) 23 aos c) 30 aosd) 32 aos e) 25 aos

la suma de edades de dos personas es 30 aos. Si dentro de 10 aos la edad de uno ser el doble de la edad del otro, cul es la edad de este ltimo?



Resolucin:

Resolucin:

47



Clave:Clave:

Clave:Clave:

7


7

8 8

NOTA

la suma de las edades de dos personas es 30 aos. Si dentro de 10 aos la edad de uno ser el doble de la edad del otro pero hace 10 aos, cul es la edad de este ltimo?


Una seora tuvo trillizos cuando tena 19 aos. Hoy suman las edades de todos, 59 aos. Qu edad tendrn los trillizos dentro de 2 aos?


Yo tengo el doble de la edad que t tenas cuan-do yo tena la edad que t tienes, y cuando t tengas la edad que yo tengo, la diferencia de nuestras edades ser 6 aos. Qu edad tengo?


Maira tiene 24 aos, su edad es el sxtuplo de la edad que tena Coco cuando Maira tena la tercera parte de la edad que tiene Coco. Qu edad tiene Coco?


Resolucin:

Resolucin:




Captulo

6Ordenamiento Lineal,Vertical y Horizontal

En este captulo nos encontraremos con diversos tipos de problemas en cuya resolucin debemos tener en cuenta lo siguiente:

la informacin que nos da el ejercicio necesita ser ordenada.

Se comienza el ordenamiento utilizando la informacin precisa o la ms relacionada.

Debemos verificar que la respuesta final que hallamos cumpla con las condiciones del problema.

Para su mejor estudio, han sido agrupados segn la manera de ordenar la informacin en:

a. ordenamiento lineal

Ricardo, daniel, Mauricio y Sebastin conversan acerca de su estatura. Ricardo: Soy ms alto que Mauricio pero ms bajo que Sebastin.daniel: no soy el ms bajo.

indica verdadero (V) o falso (F), segn corresponda:

a) Mauricio puede ser el ms bajo. ( )b) Sebastin es el ms alto. ( )c) daniel es ms alto que Ricardo. ( )

Mirtha es 3 cm ms alta que Camila.

angela es 2 cm ms baja que Camila.

Kiara es 5 cm ms baja que Mirtha.

nataly es 3 cm ms baja que Camila.

indica verdadero (V) o falso(F), segn corresponda:

a) Kiara y angela son de la misma talla. ( )b) nataly es la ms baja. ( )c) Camila es la ms alta . ( )d) Mirtha es la ms alta. ( )

En este caso se procede a ordenar la informacin, ubicando los datos en forma horizontal o vertical, segn sea el caso.

1. CreCienTe o deCreCienTe

Ejemplo 1:

Resolucin:

Sebastin

Talla

Ricardo

Mauricio

Daniel

Entonces: a) (F) b) (F) c) (F)

Ejemplo 2:

49



Resolucin:

Graficando tenemos:

Mirtha

Camila

Angela Kiara

Nataly

3 cm

2 cm

1 cm

En conclusin : a) (V) b) (V) c) (F) d) (V)

Ubicando segn los datos:Casas de:

Renzo Jorge Johnny Oscar

Rpta: A la izquierda vive Renzo.

El volcn alex est ubicado al este de Max. El volcn jam al oeste de Max. El denix a su vez est ubicado al oeste de jam. Cul est ubicado ms al oeste?

Considera:

Denix Jam

Jam Max

Max Alex

Cuatro hermanos viven en un edificio de 4 pisos. Si jorge vive en el primer piso, juan Carlos vive ms abajo que ngel y Hugo vive en el piso inmediatamente superior al de juan Carlos, en qu piso vive Hugo?

Rpta : Hugo vive en el segundo piso.

En una carrera entre cinco compaeros, Mara lleg en el primer lugar y luca en ltimo lugar. Si juana le sigue a leticia e irene est mejor ubicada que juana, quin ocupa el segundo lugar?

Resolucin:

Ejemplo 4:

Resolucin:

Izquierda de M

Derecha de M

Oeste de M

Estede M

M

Ejemplo 5:

Resolucin:

Ejemplo 6:

2. laTeral

b. ordenamienTo por posiCin de daTos

Cuatro amigos viven en la misma calle, adems:

Renzo vive a la izquierda de johnny. la casa de johnny queda junto y a la derecha de la de jorge. jorge vive a la izquierda de oscar.

Quin vive a la izquierda de los dems?

izquierda derecha oeste Este occidente oriente

juntando los datos:

Rpta : El volcn Alex es el que est ms al este de los dems.

Denix Jam Max Alex

Ejemplo 3:

los datos del problema se ubican de forma vertical en un cuadro o lista, de forma que entre ellos exista una relacin que el enunciado nos indicar.

Jorge

Juan Carlos

Hugo

1.er piso

2. piso

3.er piso

4. piso ngel

los datos los colocamos en un cuadro horizontal segn el puesto que llegaron.

1.er puesto

2. puesto

3.er puesto

4. puesto

5. puesto

Mara Irene Leticia Juana Luca

Rpta : Irene lleg en segundo lugar.

Resolucin:





Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

1) Se tiene un edificio con cuatro pisos y en cada piso vive una familia. la familia Melena vive un piso ms arriba que la familia Guata. la familia duende vive ms arriba que la familia Piruln y la familia Melena ms bajo que la familia Pi-ruln. En qu piso viven los Melena?

1) Si Pablo vive en el piso inmediato superior al piso donde vive Erick, cul de los siguientes enunciados debe ser verdadero?a) Carlos vive en el tercer piso.b) javier y Erick viven en el primer piso.c) Erick vive en el tercer piso.

2) Si Sara es mayor que Maruja y Maruja es mayor que Ricardo, quin es el menor?

2) Si Percy es ms bajo que Eduardo y Percy es ms alto que ivn, quin es el ms bajo?

3) Si se sabe que: julio es ms alto que Perico pero ms bajo que

luciano. luciano es ms alto que Calixto pero ms bajo

que Renato. Quin es el ms bajo?

3) Si Rubn es ms alto que Rafael y Rafael es ms alto que Freddy, quin es el ms bajo?

4) juan es ms alto que Ral y Pedro es ms alto que juan. Quin es el de menor estatura?

4) julio es ms veloz que arturo y tony es tan rpido como julio. Quin es el ms lento?

5) Gina naci antes que lina; Maricielo es mayor que lina pero no que Gina. Por lo tanto:

a) lina es la mayor. b) Gina no es la mayor. c) Maricielo es la mayor. d) Gina es la mayor. e) ninguna es correcta.

5) En un edificio de cuatro pisos viven cuatro profesores, Shirley, anglica, Kenyo y rsula. Si se sabe que:

anglica no vive junto a Shirley ni a Kenyo. Kenyo vive ms arriba que Shirley y ms abajo

que anglica. Entre quines vive rsula?

6) Cinco hermanas viven cada una en un piso diferente de un edificio de cinco pisos.

Yolanda vive en el quinto piso. Claudia vive en el segundo piso. Karen vive dos pisos abajo de Yolanda. Claudia vive un piso arriba de ngela. En qu piso vive Gianina?

6) En un edificio de cuatro pisos, viven cuatro hermanos cada uno en un piso diferente:

Hugo vive en el tercer piso, arriba de Quique. Percy vive en el segundo piso, abajo de Manuel. En qu piso vive Manuel?

51




Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2


Resolucin:

Resolucin:


Pancho es mayor que lucho, anacleto es menor que antonio, Zoila es menor que anacleto y lucho es ms viejo que antonio. Entonces es cierto que:

a) lucho es el menor.b) antonio es el menor.c) Zoila es la menor.d) Pancho es menor que anacleto.e) lucho no es mayor que Zoila.

Cuatro hermanas se sientan en una fila de cuatro asientos contiguos: Miluska y ana se sientan en los extremos. norka no se sienta al lado de ana.al lado de quines se sienta Katy?

a) norka y anab) norka y Miluskac) ana y Miluskad) de ningunae) no se sienta

En una mansin de cuatro pisos viven los monstruos: Wilkins, Fernando, julio y jorge, uno por piso. Si se sabe que Wilkins vive entre Fernando y julio, y jorge un piso ms arriba que Fernando, en qu piso vive julio?

a) 2. piso b) 4to piso c) 1.er pisod) 3.er piso e) n. a.

En un examen, Miriam obtuvo menos puntos que andrea, teresa obtuvo menos puntos que Miriam y Mnica obtuvo ms puntos que andrea. Quin obtuvo el menor y el mayor puntaje, respectivamente?

a) Miriam y andreab) andrea y teresac) teresa y Mnicad) teresa y Miriame) Miriam y Mnica



Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4



Identifica a la mayor de un grupo de personas, sabiendo que: Pedro es mayor que Sofa pero menor que

Matilde. Sofa es mayor que Sixto. Sandro es mayor que Pedro.

a) Matildeb) Sofac) Sandrod) Pedroe) Falta informacin

Sabiendo que: aldo es ms alto que Pepe. lucho es ms bajo que juan. juan es ms bajo que Pepe.Quin es el ms alto?

a) aldo b) luchoc) Peped) juan e) aldo y juan son de igual tamao.

X es el nio ms alto del saln. En la misma aula, Y es ms alto que Z y ms bajo que W. Qu afirmaciones son correctas?i. Y, Z y W son ms bajos que X.ii. X es ms alto que W y ms bajo que Z.iii. Z es el ms bajo de los mencionados.

a) Slo i b) i y iii c) Slo ii d) ii y iii e) i y ii

En la clasificacin final de un torneo ecuestre, Mara qued primera, Pilar qued quinta y Sandra ocup el lugar intermedio entre ambas. Si jssica qued en algn lugar delante de Pilar y Cecilia lo hizo inmediatamente despus de Sandra, quin qued en segundo lugar?

a) Pilar b) Cecilia c) Sandra d) Mara e) jessica

53



5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:

Resolucin:

Resolucin:

Resolucin:

Resolucin:

de cinco cicudades V, W, X, Y y Z se sabe que: la ciudad X tiene ms habitantes que la

ciudad W y est al oriente de la misma. la ciudad W tiene menos habitantes que Y

pero ms que Z y est al occidente de V. la ciudad V est al occidente de Y y Z, pero

tiene ms habitantes que Y.Cules de las siguientes ciudades estn al oriente de W y tiene menos habitantes que Y?i. V ii. X iii. Z

a) i y ii b) Slo iii c) Slo ii d) todas e) i y iii

En una carrera intervienen siete participantes. los jueces determinan que no puede haber em-pates. Sabiendo que: l lleg un puesto detrs de M. n lleg dos puestos detrs de K. P lleg cinco puestos detrs de M. Q lleg un puesto detrs de P.luego, R lleg:

a) Entre M y K b) Entre n y Kc) dos puestos detrs de nd) despus de Pe) antes de M

Cinco amigos estn sentados en una banca en el cine, ubicados uno a continuacin de otro. Zenaida y Pedro se ubican en forma adyacente. Pedro no est al lado de Silvia ni de juan, Zenaida est en un extremo. Si Silvia y Manuel estn peleados, quin se sienta al lado de Silvia?

a) Zenaida b) Manuel c) Pedro d) jos e) juan

Sobre una mesa hay tres naipes en hilera. a la izquierda del rey hay un as. a la derecha de la jota hay uno de diamantes. a la izquierda del de diamantes hay uno de

trboles. a la derecha del de corazones hay una jota.Cul es el naipe del medio?

a) Rey de trbolesb) as de trbolesc) jota de diamantesd) as de diamantese) jota de trboles



Clave:Clave:

Clave:Clave:

7


7

8 8

NOTA

Resolucin:

Resolucin:

Resolucin:

Resolucin:

En una familia hay 3 hijos profesionales: un ingeniero, un mdico y un abogado. Sus nombres son: Hugo, Paco y luis. Hugo es el mayor de todos y no es abogado; a Paco nunca le gust anatoma; el menor de todos es mdico. Entonces es cierto que:i. El mayor es Paco.ii. luis es abogado.iii. El menor es luis.iV. Hugo es ingeniero.

a) i y iV b) i y ii c) ii y iV d) i y iii e) iii y iV

las cuatro casas son contiguas. Chavetn vive al este de navajita. navajita vive al oeste de Cara de loco. Cara de loco vive al oeste de Pistoln.Quin vive ms al oeste?

a) Chavetn b) navajita c) Cara de locod) Pistolne) Faltan datos

Seis amigas estn escalando una montaa. Carla est ms abajo que juana, quien se encuentra un lugar ms abajo que Mara. daniela est ms arriba que Carla pero un lugar ms abajo que tania, quien est ms abajo que Rosa, que se encuentra entre juana y tania. Quin est en el cuarto lugar del ascenso?

a) Mara b) juana c) Carlad) tania e) daniela

la ciudad X tiene ms habitantes que la ciudad W. la ciudad W tiene menos habitantes que la ciudad Y pero ms que la ciudad Z. Si X tiene menos habitantes que Y, qu ciudad tiene ms habitantes?

a) X b) Z c) Yd) W e) ninguna

55



Captulo

7Ordenamiento Circular y Test de Decisiones

Q no se sienta junto a n.

R no se sienta junto a P; esto descarta la posibilidad (ii) y tendramos:

P

M

N

P

M

N

Q

R

P

M

N

Q (I)

Q (II)

ordenamiento Circular En estos casos se presenta la informacin indicndose que se ubican los datos alrededor de un objeto, formando as una lnea cerrada (circunferencia).

los ejercicios de este tema son un tanto complicados y se necesita mayor atencin y un minucioso anlisis.

Seis amigos M, n, P, Q, R y t se sientan alrededor de una mesa circular con seis asientos distribuidos simtricamente.

Si se sabe que:

M se sienta junto y a la derecha de n y frente a P.

Q no se sienta junto a n.

R no se sienta junto a P.

Entre quines se sienta t?

Ejemplo 1:

Resolucin:

M se sienta junto y a la derecha de n, pero frente a P. luego, terminando de completar:

Rpta.: T est entre N y P.

P

M

N

Q

R

T



Ejemplo 2:

Seis amigos se ubican alrededor de una fogata. tala no est sentada al lado de nelly ni de Pal. Fausto no est sentado al lado de Rosa ni de Pal. nelly no est al lado de Rosa ni de Fausto. denis est junto y a su derecha de nelly. Quin est sentado a la izquierda de Fausto?

Rpta.: A la izquierda de Fausto est sentada Tala.

En algunos casos, la existencia de una diversidad de datos hace necesaria la construccin de una tabla o cuadro, en el cual se relacionan los datos proporcionados marcando las relaciones existentes y descartando las que no cumplen las condiciones del problema.

a una cita pactada por internet asistieron tres amigos: Manuel, Heinz y Csar; y tres damas: Paola, nancy y Sonia. terminada la cita, cada uno de ellos se fue acompaado por una dama. Heinz sali con la amiga de nancy, Paola que no simpatiza con nancy, sali antes que Manuel.

a) Quin acompa a Sonia?b) Con quin sali Manuel?

Nelly

DenisPal

Rosa

Tala

Fausto

tomando en cuenta los datos, la ubicacin ocupada por los amigos ser la siguiente:

Test de decisiones

Resolucin:

Ejemplo 3:

Resolucin:

Resolveremos de una forma sencilla, analizando los datos y colocndolos en una tabla.

Paola no simpatiza con nancy.

Paola sali antes que Manuel.

Nancy Paola Sonia

Manuel

Heinz

Csar

X X

X

X

X

Nancy Paola Sonia

Manuel

Heinz

Csar

X

Nancy Paola Sonia

Manuel

Heinz

Csar

X X

X

X

Finalmente, nancy sali con Manuel.

luego:

a) Heinz acompa a Sonia.b) Manuel sali con nancy.

Nancy Paola Sonia

Manuel

Heinz

Csar

X X

X

X

X

X

Mnica, lesly e isabel viven en tres ciudades diferentes: loreto, arequipa y tumbes; y estudian una carrera distinta: ingeniera, arquitectura y contabilidad, aunque no necesariamente en ese orden.

Se sabe que:

i. Mnica no vive en arequipa.ii. lesly no vive en tumbes.iii. la que vive en arequipa no estudia arquitectura.iV. Quien vive en tumbes estudi contabilidad.V. lesly no estudia ingeniera.

a) dnde vive lesly?b) Qu estudia isabel?c) Quin vive en tumbes?

de i, ii, iii y V:

En conclusin : a) Lesly vive en Loreto. b) Isabel estudia contabilidad. c) En Tumbes vive Mnica.

observamos que lesly no estudia contabilidad, porque no vive en tumbes, por lo tanto, estudia arquitectura.

Loreto Arequipa Tumbes Ingeniera Arquitectura Contabilidad

Mnica

Lesly

Isabel

X

X X X

XX

XX

X

X

X X

Loreto Arequipa Tumbes Ingeniera Arquitectura Contabilidad

Mnica

Lesly

Isabel

X

X X X

S NoS S

Ejemplo 4:

Resolucin:

Heinz sali con la amiga de nancy.

57





Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

1) En una mesa circular se encuentran distribuidos simtricamente tres nios: Gabriel, Csar y Freddy. Si Freddy est junto y a la izquierda de Csar, cul es el orden en que se sientan los nios empezando por Gabriel y siguiendo el sentido antihorario?

1) Cuatro amigos se sientan alrededor de una mesa redonda en la que hay cuatro sillas distribuidas simtricamente. Sabemos que:

juan se sienta junto y a la derecha de luis. Pedro no se sienta junto a luis. jos est entretenido viendo cmo los otros tres discuten. Segn esto podemos afirmar: a) jos y juan se sientan juntos. b) luis y jos no se sientan juntos. c) no es cierto que jos y juan no se sientan juntos. d) Pedro se sienta junto y a la derecha de jos. e) Pedro se sienta junto y a la derecha de juan.

2) Cinco personas a, B, C, d y E se sientan alrededor de una mesa circular que tiene cinco asientos.

a se sienta entre B y C. E se sienta al lado de B. Cul de las siguientes afirmaciones es verdadera? i. C se sienta junto a d. ii. a se sienta junto a E. iii. d se sienta junto a E.

2) Cuatro amigos se sientan alrededor de una mesa redonda con cuatro sillas distribuidas simtricamente. Si se sabe que:

Pilar no se sienta junto a julia. Pamela se sienta junto y a la derecha de julia. dnde se sienta jorge?

3) En una mesa circular seis super hroes (Batman, Robin, Superman, acuaman, Flash y la Mujer Maravilla) se ubican simtricamente. Si se sabe que:

Superman est a la izquierda de la Mujer Maravilla y frente a acuaman.

Robin est frente a Batman y no est al lado de acuaman.

Quin est a la izquierda de Flash?

3) En una mesa circular, cuatro peleadores (Bruce, Riu, Ken, Chunlee) se ubican simtricamente. Si se sabe que:

Ken se sienta frente a Riu. Bruce se sienta frente a Chunlee. Quin est a la derecha de Ken?

5) Cuatro hermanas: nancy, Rosa, Graciela y nilda se sientan alrededor de una mesa circular que tiene cinco asientos.

Entre Rosa y Graciela hay un asiento vaco. nilda no se sienta junto a Rosa. Quines se sientan junto a nancy?

5) En la biblioteca de una universidad, 8 alumnos se sientan en una mesa circular, guardando iguales distancias. todos son alumnos de diversas facultades. El de ingeniera est frente al de Educacin y entre los de Economa y Farmacia, el de Periodismo est a la izquierda del de Educacin y frente al de Economa, frente al de Farmacia est el de derecho; ste a su vez est a la siniestra del de arquitectura. Cul de ellos est entre los estudiantes de Biologa y Educacin?

4) En una fiesta se encuentran tres amigos: Daro, armando y Gerardo. Ellos a su vez son: profesor, marinero y contador, aunque no necesariamente en ese orden. El profesor, que es vecino de Gerardo, siempre va de compras con daro. Si Gerardo fue compaero de estudios del marinero, qu ocupacin tiene daro?

4) Patty, Claudia y Rosemary son tres tutoras de primer, segundo y tercer ao, aunque no necesariamente en ese orden. Si:

Claudia es tutora de primer ao. Rosemay no es tutora de segundo ao. Quin es la tutora del saln de tercer ao?

6) tres amigos: Glder, jos y Beto comentan acerca del equipo del cual son hinchas: U, Cristal y Cienciano.

Gilder dice: no soy hincha de Cienciano ni de Cristal. jos dice: Me gustara que mi equivo tuviera una

camiseta como la del Cienciano. Beto dice: Me encanta el uniforme rojo de mi equipo. Si el ms inteligente es hincha de la U, quin es ste?

6) Cuatro amigos: ngel, ian, Mauro y Roberto viven en cuatro distritos diferentes. adems se sabe que:

ian no vive en jess Mara, pero Roberto vive en Pueblo libre.

ngel va a jess Mara a visitar a Mauro. a ian le gustara vivir en San isidro. dnde vive ngel?Quin vive en San Borja?




Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2



Resolucin:

Resolucin:

tres personas: antonio, Fernando y jorge tienen diferentes aficiones: ftbol, bsquet y tenis, y gustan de colores diferentes: azul, rojo y blanco. Si se sabe que:Fernando no practica tenis.El basquetbolista no gusta del rojo.antonio no practica bsquet.Quien practica tenis gusta del blanco.Fernando no gusta del azul.Qu aficin tiene Antonio? Cul es el color favorito de jorge?a) Ftbol y blancob) tenis y rojoc) Ftbol y rojod) tenis y blancoe) tenis y azul

albino, Beto y Csar viven en distritos diferentes, y se movilizan usando transportes distintos. los distritos son: la Victoria, lima, Pueblo libre y los medios son: bicicleta, moto y automvil.Cuando Beto tenga dinero se comprar una

moto y se mudar a Pueblo libre.desde que Csar vive en lima ya no tiene bicicleta.El que vive en la Victoria usa 2 automviles

por la distancia.Qu medio usa el que vive en Pueblo libre?a) Faltan datos b) Bicicleta c) automvild) Motoe) n.a.

almorzaban juntos tres polticos: el seor Blanco, el seor Rojo y el seor negro. Uno de ellos llevaba corbata blanca, otro roja y el otro, negra, pero no en el mismo orden.En un corto dilogo, se escucha que:El seor de la corbata roja dice: Es curioso, a

pesar de que nuestros apellidos son los mismos que los colores de nuestras corbatas, ninguno lleva su correspondiente.

El seor Blanco responde: tiene usted razn.de qu color es la corbata del seor Blanco?

a) Blanca b) azul c) negra d) Verde e) Roja

a, B y C tienen una mascota cada uno: perro, gato y mono. Si B le dice a la que tiene el gato, que la otra tiene un perro y C le dice a la que tiene el perro, que debera vacunarlo contra la rabia; entonces:

a) a tiene el mono.b) C tiene el gato.c) B tiene el perro.d) Faltan datose) n.a.

59



Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4

Resolucin:

Resolucin:

Resolucin:

Resolucin:

Cinco hermanos P, Q, R, S y t se sientan alrededor de una mesa circular que tiene cinco asientos.P se sienta entre Q y R.t se sienta al lado de Q.Cul de las siguientes afirmaciones son verdaderas?i. R se sienta junto a S.ii. P se sienta junto a t.iii. S se sienta junto a t.

a) i y ii b) i y iii c) ii y iii d) las tres e) ninguna

diana, Elena, Fiorella, alejandro, Bruno y Carlos se sientan alrededor de una mesa circular con seis sillas distribuidas simtricamente de modo que:alejandro se sienta frente a Fiorella.dos personas del mismo sexo no se sientan

juntas.Cules de las siguientes afirmaciones son verda-deras?i. alejandro se sienta adyacente a diana y Elena.ii. Fiorella se sienta a la derecha de Carlos.iii. Elena se sienta a la izquierda de Bruno.

a) Slo i b) ii y iii c) i y iid) i y iii e) ninguna

Seis amigos juegan al pquer alrededor de una mesa redonda.adems se sabe que:luis no est sentado al lado de Enrique ni de

jos.Fernando no est al lado de Gustavo ni de jos.Enrique no est al lado de Gustavo ni de Fer-

nando.Pedro est a la derecha de Enrique.Quin est sentado junto y a la izquierda de Fernando?

a) Pedro b) Gustavo c) Enrique d) Fernando e) luis

tres amigos: ana, Beto y Carlos, tienen distintas profesiones: profesor, mdico y electricista, no necesariamente en ese orden. Si:ana es mdico.Beto no es el electricista.Cul es la profesin de Carlos?

a) Profesor b) Contador c) Mdicod) Electricista e) ninguna



5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:

Resolucin:

Resolucin:

Resolucin:

Resolucin:

Seis amigos: ngel, daniel, Mario, Ral, Sergio y toms se renen para cenar en una mesa redonda. Si se sabe que: Ral no se sent al lado de toms ni de ngel.Mario no se ubic al lado de ngel ni de Ral.Sergio no se sent al lado de toms ni de Ma-

rio.Quin se sent junto y a la izquierda de ngel?

a) Sergio b) toms c) daniel d) Ral e) Mario

En una mesa circular hay seis asientos simtrica-mente colocados ante la cual se sientan 6 amigas a jugar monopolio. adems se sabe que:luca no est sentada al lado de leticia ni de

juana.Mara no est al lado de Cecilia ni de juana.leticia no est al lado de Cecilia ni de Mara.irene est junto y a la derecha de leticia. Entonces es cierto: i. irene est junto y a la derecha de Mara.ii. luca est frente a leticia.iii. juana est junto y a la izquierda de Cecilia.

a) Slo i b) ii y iii c) Slo ii d) todos e) i y iii

Seis amigos a, B, C, d, E y F se sientan alrededor de una mesa circular con seis asientos distribuidos simtricamente. adems:d no se sienta junto a B.a se sienta junto y a la derecha de B y frente a C.E no se sienta junto a C.Entre quines se sienta F?

a) C y E b) C y a c) C y B d) B y E e) a y d

En una mesa circular con seis asientos distribuidos simtricamente se sientan cinco hermanos: Erica, Fabiola, Miluska, Guisela y Francisco. Si se sabe que:Francisco y Miluska no se sientan juntos.Guisela se sienta junto a Erica y Francisco.Fabiola se sienta frente a Guisela.Quin se sienta frente al sitio vaco?

a) Erica b) Guisela c) Miluska d) Fabiola e) Francisco

61



Clave:Clave:

Clave:Clave:

7


7

8 8

NOTA


Resolucin:

Resolucin:

Rommel, lex, luis y Eduardo practican los siguientes deportes: ftbol, atletismo, natacin y tenis; y viven en los distritos de los olivos, Brea, San Borja y Miraflores. Si se sabe que:luis no vive en los olivos ni en Brea.El atleta vive en los olivos.Rommel vive en Miraflores.Eduardo es futbolista.El nadador nunca ha emigrado de San Borja.Qu deporte practica Rommel?

a) natacin b) atletismo c) Ftbold) Bsquetbol e) tenis

tres hermanos practican natacin, atletismo o bsquet; y cada deporte se identifica con un color: azul, rojo o verde. juan no sabe nadar; el que juega por el verde es atleta; los rojos no juegan bsquet y Gustavo participa por el verde.Qu deporte le corresponde a alberto y Gustavo, respecti-vamente?

a) natacin y bsquetb) Bsquet y atletismoc) atletismo y natacind) natacin y atletismoe) Faltan datos

En una mesa circular hay 6 asientos y se sientan 4 amigos: a, B, C y d.nadie se ha sentado junto a a.Si llega un amigo ms, podra estar junto a B.Frente a d no hay nadie.Quin est frente a C?

a) a o B b) a o nadie c) ad) d e) nadie

En una mesa circular se sientan 8 amigos: a, B, C, d, E, F, G y H. Si se sabe que:H est frente a a y d frente a G.d no est a la izquierda de a, pero si a la iz-

quierda de E.B est frente a E y a la derecha de G.C est frente a F, F est a la derecha de B y H

no est junto a F.Quin est junto y a la derecha de a? a) G b) E c) Cd) d e) F



Captulo

8Induccin Matemtica

Consiste en analizar casos particulares para conseguir ciertos resultados que al analizarlos nos permiten llegar a una conclusin, que llamaremos Caso General.

al sumar nmeros impares consecutivos en forma ordenada, tenemos:

Vemos que el resultado de sumar nmeros impares consecutivos es de la forma n2 donde n es la cantidad de nmeros impares que se suman.

Sn = 1 + 3 + 5 + 7 +... (n sumandos) = n2

1) Halla la suma de cifras de:

E = (1111...111)2

9 cifras

Casos Particulares induccin

CasoGeneral

Ejemplo:

S1 = 1 = 1 = 12

S2 = 1 + 3 = 4 = 22

S3 = 1 + 3 + 5 = 9 = 32

S4 = 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42

S10=1+3+5+7+...+19=100 = 102

induccin con nmerosEjemplo 1:

Resolucin:

Se concluye que la suma de cifras del resultado de efectuar E sera:

cifras = (1+1+...+1+1)2 = (9)2

9 veces

cifras = 81

Calcula la suma de trminos de la Fila (28).

Fila (1) 1Fila (2) 3 5Fila (3) 7 9 11Fila (4) 13 15 17 19

Por Induccin:

Para 2 cifras : (11)2 = 121 cifras = 4 = (1 + 1)2

2 veces

3 veces

4 veces

Ejemplo 2:

Para 3 cifras : (111)2 = 12321 cifras = 9 = (1+1+1)2

Para 4 cifras: (1111)2 = 1234321 cifras = 16 =(1+1+1+1)2

Por Induccin:Sumando cada fila:Fila (1) = 1 = 13

Fila (2) = 8 = 23

Fila (3) = 27 = 33

Fila (4) = 64 = 43

entonces:Fila (28) = 283 = 21952

Resolucin:

...

63



Calcula el resultado al operar:

k = 47 x 48 x 49 x 50 +1

Empezamos evaluando valores pequeos guardando la forma original. nota que son 4 nmeros consecutivos.

1 . 2 . 3. 4 + 1 = 1 x 4 + 1 = 5

2 . 3. 4. 5 +1 = 2 x 5 + 1 = 11

3 .4 . 5 . 6 + 1 = 3 x 6 + 1 = 19

. . .

Se concluye que tambin cumplir para:

47 . 48. 49 . 50 + 1

= 47 x 50 + 1= 2351

x +

x +

x +

+x

de cuntas maneras distintas se puede leer la palabra KaRMinZ?

K a a R R R M M M M i i i i i n n n n n n Z Z Z Z Z Z Z

observamos que Karminz contiene 7 letras.

Ejemplo 3:

Resolucin:

Ejemplo 4:

Para: 3 letras K a a R R R 1 2 1 n. de formas de leer: KaR = 1 + 2 + 1 = 4 = 231

Para: 4 letras

K a a R R R M M M M 1 3 3 1

n. de formas de leer:

KaR = 1 + 3 + 3 + 1= 8 = 241 luego de analizar los casos particulares concluimos:n. de formas de leer:KaRMinZ = 271 = 26 = 64

7 letras

Para: 2 letras K a a 1 1 n. de formas de leer: Ka = 1 + 1 = 2 = 221

Calcula la suma de todos los elementos de la matriz.

1 2 3 4 ... 20 2 3 4 5 ... 21 3 4 5 6 ... 22 4 5 6 7 ... 23 . . . . . . . . . . . . . . . 20 21 22 23 ... 29

Para 1:

[1] = 1 = 13

Para 2:

1 2 2 3

Para 3:

1 2 3 2 3 4 3 4 5 . . .luego de analizar los casos particulares llegamos a la conclusin que:Para 20:

1 2 3 4 ... 20 2 3 4 5 ... 21 3 4 5 6 ... 22 4 5 6 7 ... 23 . . . . . . . . . . . . . . . 20 21 22 23 ... 29

= 8 = 23

= 27 = 33

= 203 = 8000

Ejemplo 5:

Resolucin:

Resolucin:





Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

1) Calcula:

E = 50 x 51 x 52 x 53 + 1

1) Calcula:

E = 30 x 31 x 32 x 34 + 1

2) Calcula la suma de:

2 4 6 8 4 6 8 10 6 8 10 12 8 10 12 14

2) Calcula la suma de:

2 4 6 8 10 4 6 8 10 12 6 8 10 12 14 8 10 12 14 16 10 12 14 16 18

3) Halla la ltima cifra del resultado de calcular:

5520 3130

3) Halla la suma de cifra del resultado de calcular:

(86542 1) (262 1)


(396)50 + (865)76 + (391)51


(296)40 + (965)61 + (181)41

5) Calcula la suma de las cifras del resultado de:

( )2

20cifras

99...95

6) Calcula:3 40 41 42 41 +

5) Calcula la suma de las cifras del resultado de:

( )2

15cifras

99...95

6) Calcula:3 50 51 52 51 +

65




Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2




de cuntas maneras se puede leer la palabra lUCidEZ?

l l U l l U C U l l U C i C U l l U C i d i C U l l U C i d E d i C U l l U C i d E Z E d i C U l

a) 64 b) 31 c) 63d) 128 e) 127

Calcula la suma de cifras del resultado en E si:

E = (333...33)2

49 cifras

a) 450 b) 480 c) 360 d) 510 e) 441

Calcula la suma de cifras del resultado de:

B = (999...995)2

101 cifras

a) 900 b) 90 c) 925 d) 907 e) 625

de cuntas formas consecutivas diferentes se puede formar la palabra RaZona, uniendo las letras en forma consecutiva?

R R a R R a Z a R R a Z o Z a R R a Z o n o Z a R R a Z o n a n o Z a R

a) 64 b) 31 c) 63 d) 128 e) 127


Raz. Matemtico - 1ro

4-raz mat 1ro (1 - 16)

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